Unidade 2

Prévia do material em texto

EA
D
Integral Indefinida
2
1. OBJETIVOS
•	 Compreender	o	conceito	de	integral.
•	 Desenvolver	as	técnicas	de	integração.
•	 Reconhecer	 situações	 que	 podem	 ser	 resolvidas	 com	 o	
auxílio	da	integral.
2. CONTEÚDOS
•	 Integral	indefinida.
•	 Técnicas	de	integração.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 Se	encontrar	dificuldade,	não	desanime!	Não	se	esqueça	
de	acessar	a	Sala	de	Aula	Virtual!	 Interaja,	pois,	dessa	
maneira,	você	ampliará	seus	conhecimentos.
© Cálculo II54
2)	 As	ideias	apresentadas	a	seguir	serão	muito	importantes	
para	seu	aperfeiçoamento	e	não	esgotam	o	tema.	Ele	é	
passível	de	questionamentos.	Sugerimos,	portanto,	pes-
quisas	constantes,	sempre	buscando	o	aprofundamento.
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Na	Unidade	1,	revisamos	o	conceito	de	derivada	de	uma	fun-
ção	e	algumas	aplicações.	Também	vimos	que	a	derivada	consiste	
em	determinar	a	inclinação	de	uma	curva,	e	que	esta	inclinação	é	
obtida	pela	reta	tangente	à	curva	em	um	dado	ponto.
Agora,	estudaremos	o	conceito,	as	propriedades	e	as	aplica-
ções	das	 integrais	de	uma	função.	Abordaremos,	também,	a	pri-
mitiva	de	uma	função,	a	integral	indefinida	e	algumas	técnicas	de	
integração,	como	a	integração	por	meio	de	substituições	de	variá-
veis	ou	de	substituição	por	partes.
Isaac	Newton	(1642-1727)	desenvolveu	métodos	analíticos	
unindo	 técnicas	matemáticas	que	 tornaram	possível	a	 resolução	
de	problemas	de	diversos	tipos,	como	o	de	encontrar	áreas,	tan-
gentes	e	comprimentos	de	curvas,	assim	como	máximos	e	míni-
mos	de	funções.
Todas	essas	descobertas	foram	feitas	anos	antes	por	Leibniz	
(1646-1716),	que,	de	 forma	 independente,	veio	a	desenvolver	o	
Cálculo	Diferencial.	Newton	recusou-se,	durante	muito	tempo,	a	
divulgar	as	suas	descobertas,	e	foi	Leibniz	quem	primeiro	publicou	
conceitos	sobre	o	Cálculo	Diferencial.
Isso	gerou	uma	disputa	muito	grande	entre	os	dois	matemá-
ticos	sobre	quem	teria	realmente	desenvolvido	o	conceito	de	cál-
culo.	Apesar	de	Newton	ter	desenvolvido	o	cálculo	antes	de	Leib-
niz,	a	notação	e	a	maneira	de	calcular	derivadas	que	prevaleceram	
foi	a	desenvolvida	por	Leibniz,	que	se	mostrou	muito	mais	simples	
e	conveniente.
Claretiano - Centro Universitário
55© U2 - Integral Indefinida
5. ORIGEM DE INTEGRAL
Vamos	iniciar	o	estudo	desta	unidade	com	a	origem	da	noção	
de	integral	que	surgiu	a	partir	da	necessidade	de	se	calcular	áreas	
de	figuras	planas	cujos	contornos	não	são	segmentos	de	reta.
Na	Antiguidade,	problemas	para	determinar	e	medir	super-
fícies	planas	eram	frequentemente	enfrentados	pelos	geômetras.	
Para	determinar	áreas	de	superfícies	planas	não	conhecidas,	que-
riam	encontrar	um	quadrado	que	tivesse	a	área	aproximada	à	da	
superfície	estudada.	Esse	processo	recebia	o	nome	de	quadratura,	
um	termo	antigo	que	se	tornou	sinônimo	do	processo	de	determi-
nar	áreas.
Os	primeiros	registros	sobre	a	quadratura	de	figuras	planas	
datam	de	440	a.C.,	quando	Hipócrates	de	Chios	estudou	e	procu-
rou	 determinar	 a	 área	 das	 lúnulas,	 regiões	 que	 se	 assemelham	
com	a	lua	no	seu	quarto	crescente.	Além	disso,	tivemos	o	Antífon	
(430	a.C.)	que	procurou	determinar	a	quadratura	do	círculo.
Uma	grande	contribuição	dos	gregos	para	o	cálculo	ocorreu	
por	volta	do	ano	225	a.C.,	quando	Arquimedes	descreveu	um	teo-
rema	para	 a	 quadratura	 da	 parábola.	 Ele	 desenvolveu	 e	 provou	
com	rigor	a	soma	com	 infinitos	 termos,	além	de	 ter	contribuído	
para	o	cálculo	da	área	do	círculo,	obtendo	uma	aproximação	para	
o	número	π .	Também	colaborou	para	o	cálculo	do	volume	da	es-
fera	e	a	área	da	superfície	esférica,	entre	outros.
Somente	em	1606	o	italiano	Luca	Valério	publicou	Quadra-
tura parabolae	(Quadratura da parábola),	aplicando	o	mesmo	mé-
todo	utilizado	pelos	gregos	para	resolver	problemas	relacionados	
com	o	centro	de	gravidade	de	um	corpo.
Os	 matemáticos	 Fermat	 e	 Cavalieri	 também	 contribuíram	
para	 o	 desenvolvimento	 do	 Cálculo	 Integral.	 Na	 obra	 conhecida	
por	Geometria indivisibilibus continuorum nova	(Nova geometria 
de contínuos indivisíveis),	Cavalieri	desenvolveu	a	noção	de	área	
de	uma	figura	como	uma	soma	infinita	de	componentes	ou	seg-
© Cálculo II56
mentos	indivisíveis.	Por	volta	de	1640,	a	fórmula	geral	da	integral	
das	 parábolas	maiores	 era	 conhecida	 por	 Fermat,	 Blaise	 Pascal,	
Descartes,	Torricelli	e	outros.	Mas	foi	em	1655	que	o	inglês	John	
Wallis	aritmetizou	o	método	desenvolvido	por	Cavalieri	na	deter-
minação	da	área	de	 figuras	planas,	desenvolvendo	princípios	de	
indução	e	interpolação.
Paralelamente	ao	estudo	das	áreas,	Galileu,	Torricelli	e	Bar-
row	estudavam	o	problema	do	movimento	dos	corpos	com	veloci-
dades	variadas.	Sabiam,	na	época,	que	a	derivada	da	distância	era	
a	velocidade	e	a	operação	inversa	partindo	da	velocidade	que	le-
vava	a	distância.	A	partir	desse	problema	envolvendo	movimento,	
o	inglês	Isaac	Barrow	percebeu	que	os	dois	problemas	estavam	re-
lacionados	e	que	os	processos	de	diferenciação	e	integração	eram	
processos	inversos.
O	 inglês	 Isaac	 Newton	 e	 o	 alemão	 Gottfried	Wilhelm	 von	
Leibniz	exploraram	essa	conexão	percebida	por	Barrow	e	desen-
volveram	o	Cálculo	Integral.	Em	suma,	eles	perceberam	que	o	Teo-
rema	Fundamental	permitia	encontrar	a	área	de	uma	figura	pla-
na	de	forma	muito	fácil,	sem	a	necessidade	de	se	calcular	a	soma	
de	 áreas	 de	um	número	 indefinidamente	 grande	de	 retângulos,	
mas,	sim,	usando	a	antiderivada	da	função	envolvida.	Ambos	de-
senvolveram	o	Cálculo	Integral	separadamente.	Contudo,	Newton	
desenvolveu	o	cálculo	utilizando	métodos	geométricos,	enquanto	
Leibniz	utilizou	métodos	analíticos.
6. INTEGRAL INDEFINIDA
Primitivas
Iniciaremos	 nosso	 estudo	 com	 um	 exemplo	 simples.	
Queremos	 determinar	 uma	 função	 ( )f x 	 cuja	 derivada	 é	
'( ) 2f x x= .
Claretiano - Centro Universitário
57© U2 - Integral Indefinida
Se	 utilizarmos	 a	 regra	 da	 derivada	 de	 uma	 potência	 para	
derivarmos	a	função	 2f ( x ) x= ,	obteremos	 2 1( ) 2 2–f ' x x x= = .
Observe	que,	se	C 	for	uma	constante,	a	derivada	da	função	
2 f ( x ) x C= + 	 também	 será	 2x ,	 pois	 a	 derivada	 de	 uma	
constante	é	zero.	Assim,	escrevemos:
2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) 2f x x C f ' x x ' C ' x f ' x x= + ⇒ = + = + ⇒ =
Concluímos	 que	 a	 função	 procurada	 é	 2( ) f x x C= + ,	 na	
qual	C 	é	uma	constante	qualquer.
Vamos,	 agora,	 determinar	 a	 função	 ( )f x 	 cuja	 derivada	 é	
3( ) 4f ' x x= .
Temos	 como	 função	 procurada	 4( ) f x x C= + ,	
pois,	 se	 derivarmos	 ( ) 4f x x C= + ,	 obteremos	
4 1 3( ) 4 0 ( ) 4–f ' x x f ' x x= + ⇒ = .
Assim,	vemos	que	a	função	procurada	é	 4( ) f x x C= + ,	na	
qual	C 	é	uma	constante	qualquer.
Uma	 função	 F( x ) 	 é	 dita	 uma	 primitiva	 da	 função	 ( )f x 	
se,	 para	 todo	 “ x ”	 num	 intervalo	 : I a x b< < ,	 tivermos:	
( )( ) F' x f x= .	 Em	 outras	 palavras,	 ( )F x 	 é	 uma	 primitiva	 de	
( )f x 	se	a	derivada	de	 ( )F x 	for	igual	à	função	 ( )f x .
Observe	 que	 estamos	 tratando	 do	 problema	 “inverso”	 ao	
que	fizemos	na	unidade	anterior,	pois,	até	então,	aprendemos	a	
calcular	a	derivada	de	uma	função	conhecida;	agora,	nos	propomos	
a	obter	uma	função	da	qual	conhecemos	a	sua	derivada.
Analisando	 os	 exemplos	 anteriores	 e	 as	 conclusões	 antes	
citadas,	poderemos	definir	primitiva	de	uma	função.	Vamos	lá?
Definição:	uma	função	F( x ) 	é	uma	primitiva	de	uma	função	
( )f x 	se	 ( )( ) F' x f x= 	para	qualquer	 x 	no	domínio	de	 f .
© Cálculo II58
O	conjunto	de	todas	as	primitivas	de	 f 	é	a	integral	indefinida	
de	 f 	 em	relação	à	 x ,	denotada	por	 ( ) ( ) f x dx F x C= +∫ ,	na	
qual:
•	 	 ∫ 	é	o	símbolo	de	uma	integral.
•	 	 ( )F x 	é	a	primitivada	função	 ( )f x .
•	 	C 	é	a	constante	de	integração.
Dessa	forma,	a	equação	 ( ) ( ) f x dx F x C= +∫ 	deve	ser	lida	
como	“a	integral	indefinida	de	 f 	em	relação	à	 x 	é	 ( ) F x C+ ”.
Veja	alguns	exemplos	de	integral	indefinida.
Exemplo 1
3( ) F x x= 	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	 2( ) 3f x x= ,	 pois	
3 1 2( ) 3 3 ( )–F ' x x x f x= ⋅ = = .
Exemplo 2
4
( ) 
4
xF x = 	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	
3( ) f x x= ,	 pois	
3 31( ) 4 ( )
4
F' x x x f x= ⋅ = = .
Exemplo 3
3
( ) 
3
xF x x= + 	é	uma	primitiva	da	função	 2 ( ) 1f x x= + ,	
pois	 2 2
1( ) 3 + 1 + 1
3
F' x x x= ⋅ = .
Exemplo 4
4( ) F x x= 	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	 3( ) 4f x x= ,	 pois	
4 1 3( ) 4 4 ( )–F ' x x x f x= ⋅ = = .
Claretiano - Centro Universitário
59© U2 - Integral Indefinida
Exemplo 5
4 1F( x ) x= + 	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	 3 4f ( x ) x= ,	
pois	 4 1 3 4 + 0 4 –F '( x ) x x f ( x )= ⋅ = = .
Exemplo 6
4( ) + 27F x x= 	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	 3( ) 4f x x= ,	
pois	 4 1 3( ) 4 + 0 4 ( )–F ' x x x f x= ⋅ = = .
Exemplo 7
4( ) 5F x x –= 	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	 3( ) 4f x x= ,	
pois	 4 1 3( ) 4 + 0 4 ( )–F ' x x x f x= ⋅ = = .
Exemplo 8
Observando	 os	 Tópicos	 Exemplos 4,	 5,	 6	 e	 7,	 podemos	
afirmar	 que	 4( ) F x x C= + ,	 para	 qualquer	 valor	 da	
constante	 C ,	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	 3( ) 4f x x= ,	 pois	
4 1 3( ) 4 + 0 4 ( )–F ' x x x f x= ⋅ = = .
Em	 síntese,	 se	 F( x ) 	 é	 uma	 primitiva	 da	 função	 ( )f x ,	
a	 expressão	 ( ) F x C+ ,	 sendo	 C 	 uma	 constante,	 é	 chamada	
integral	indefinida	da	função	 ( )f x 	e	é	denotada	por:
( ) ( ) f x dx F x c= +∫
Observações:
1)	 	O	símbolo	 ∫ 	é	chamado	sinal	de	integração.
2)	 	 ( )f x 	é	a	função	integrando.
3)	 	 ( )f x dx 	é	o	integrando.
4)	 O	 símbolo	 dx ,	 que	aparece	no	 integrando,	 serve	para	
identificar	a	variável	de	integração.
© Cálculo II60
Na	 verdade,	 o	 símbolo	 dx 	 indica	 a	 diferencial	 da	 função	
y x= .
De	modo	geral,	para	uma	função	 ( )y f x= ,	a	diferencial	 df 	
dessa	função	é	definida	como	 ( )df f ' x dx= .
Propriedades da integral indefinida
Sejam	 ( )f x 	 e	 ( )g x 	 duas	 funções	 e	 K 	 uma	 constante,	
então:
•	 	 ( ) ( )K f x dx K f x dx⋅ =∫ ∫ .
E	ainda:
•	 	 ( ) ( ) ) ( ) ( ) f ( x g x ... dx f x dx g x dx ...= + = + +∫ ∫ ∫ .
•	 	 ( ( ) – ( ) ) ( ) ( ) f x g x – ... dx f x dx – g x dx – ...=∫ ∫ ∫ .
Ou	seja,	"a	integral	da	soma	ou	da	subtração	é	a	soma	ou	a	
subtração	das	integrais".
Veja	alguns	exemplos.
Exemplo 1
Sabemos	que	 3 2( ) 3x ' x= .
Então,	 2 33 x dx x C= +∫ .
Exemplo 2
5 61 
6
x dx x C= +∫ ;	pois	 6 5 5
1 1 6 
6 6
x ' x x  = ⋅ = 
 
.
Exemplo 3
Como	
4 4 1 1
3 3 33 4 3 
4 3 4
–
x ' x x
 
= ⋅ = 
 
	 e	
1
33x x= ,	 então	
1 4
3 3 33 = 
4
xdx x dx x C= +∫ ∫ .
Claretiano - Centro Universitário
61© U2 - Integral Indefinida
Observação –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Usando a definição de primitiva de uma função, as propriedades operatórias e as 
integrais de funções particulares, iremos resolver alguns exemplos explorando 
esses conceitos.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Exemplo 4
Vamos	calcular	 dx∫ 	(um	caso	especial)?
O	que	é	solicitado	nada	mais	é	do	que	uma	primitiva	de	1,	
que	é	 x C+ .
Então:
1dx dx x C= = +∫ ∫ ,	pois	 ( ) ' (1 0) 1x C+ = + =
Exemplo 5
Vamos	calcular	 2xdx∫ .
Ao	 resolver	este	exercício,	 temos	que	a	primitiva	de	 2x 	 é	
2 x C+ ,	 pois	 2( ) ' 2 0 2x C x x+ = + = .	 Assim,	 podemos	
escrever:	 22xdx x C= +∫ .
Exemplo 6
Agora,	iremos	calcular	 (2 5)x dx+∫ .	Nesse	caso,	uma	primitiva	
de	2 5x + 	é	 2 5x x+ .	Assim:	 2(2 5) 5x dx x x C+ = + +∫ ,	pois	
a	derivada	vale	 ( )2 5 ' 2 5 0 2 5x x C x x+ + = + + = + .
Exemplo 7
Vamos	calcular	 5x dx ∫ ?
Nesse	exercício,	o	que	se	solicita	é	a	primitiva	de	 5x ,	que	é	
6
6
x ,	afinal	ao	derivarmos	a	função	
6
( ) 
6
xf x = 	obtemos	a	função	
5( ) f ' x x= .	 Assim,	 podemos	 escrever	
6
5
6
xx dx C= +∫ ,	 pois	
© Cálculo II62
a	derivada	vale	
6
5 50
6
x C ' x x
 
+ = + = 
 
.	Se	você	observar	
bem	o	que	 foi	 feito	para	obter	a	 função	
6
( )
6
xf x = ,	 foi	 somar	1	
(um)	 ao	 expoente	 e	 repetir	 o	 resultado	 no	 denominador.	 E	 se	
você	 observar	 todos	 os	 outros	 exemplos	 no	 formato	 nx dx ∫ ,	
teremos	sempre	a	mesma	tendência,	ou	seja,	soma-se	a	unidade	
ao	expoente	e	repete-se	o	resultado	no	denominador,	resultando	
uma	regra	geral	que	pode	ser	dada	por	
1
1
n 
n xx dx C
n 
+
= +
+∫ .
Exemplo 8
Vamos	calcular	 ( )2 5 3x x – dx+∫ .
Para	 resolvemos	 este	 cálculo,	 determinamos	 a	 primitiva	
mais	 simples	 para	 cada	 parte	 da	 expressão	 ( )2 5 3x x – + 	 e	
acrescentamos	a	constante	de	integração	no	final.	Assim	temos:
( )
2 1 1 1 0 1
2
3 2 1 3
2
5 3 5 3
2 1 1 1 0 1
55 3 3
3 2 1 3 2
 x x xx x – dx – C 
 
x x x x – C = x – x C
+ + +
+ = + ⋅ ⋅ + =
+ + +
= + ⋅ ⋅ + + +
∫
Exemplo 9
Vamos	calcular	 xdx∫ .
Para	 isso,	 utilizaremos	 a	 expressão	 geral	 apresentada	
anteriormente	 para	 calcular	 essa	 integral.	 Lembre-se	 de	 que	
1
2 x x= 	e	que,	nesse	caso,	 1 
2
n = .	Então:
Claretiano - Centro Universitário
63© U2 - Integral Indefinida
 1
1 3 11 32 2
32 2
 
 1
2 2 1 3 3 3 1
2 2
nn xx dx C
n
x xxdx x dx x x
+
+
= + ⇒
+
⇒ = = = = ⋅ =
+
∫
∫ ∫
Assim,	 3
2 
3
xdx x=∫ .
Dessa	forma,	podemos	verificar	a	generalização	para	todos	os	
exemplos	anteriores	dados	pela	expressão:	
 1
 
 1
n
n xx dx C
n
+
= +
+∫ ,	
com	 1n ≠ .
Exemplo 10
Determinaremos	 as	 integrais	 indefinidas	 de	
2( 2 8)x x dx− =∫ .
Resolvemos	este	cálculo	determinando	a	integral	para	cada	
termo	 da	 expressão	 ( )2 2 8x x− + .	 Determinamos	 a	 primitiva	
mais	 simples	 para	 cada	 parte	 e	 acrescentamos	 a	 constante	 de	
integração	no	final.	Temos,	então:
2
3 2
2
( 2 8) =
 – 2 8 – 2 8 
3 2
x x dx
x xx dx xdx dx x C
− =
= + = + +
∫
∫ ∫ ∫
Simplificando,	temos:
3
2 2( 2 8) 8 
3
xx x dx x x C− = = − + +∫
Exemplo 11
Vamos	determinar,	agora,	as	integrais	indefinidas	 2
1 dx
x
 
 
 ∫
.
© Cálculo II64
Resolvemos	 este	 cálculo	 determinando	 a	 integral	 para	 o	
termo	
2
1
x
 
 
 
	da	expressão.
Determinamos	 a	 primitiva	 mais	 simples	 para	 o	 termo	 e	
acrescentamos	a	constante	de	integração	no	final.	Temos,	então:
( )
2 1 1
2
2
1 1 
2 1 1
x xdx x dx C C C
x x
− + −
−= = + = + = − +
− + −∫ ∫
Simplificando,	temos:
2
1 1 dx C
x x
= − +∫
Note	que	não	existe	uma	 regra	específica	para	divisão	em	
integração	 como	 havia	 em	 derivada.	 Para	 resolver	 a	 integral,	
tivemos	de	manipular	algebricamente	a	expressão	
2
1
x
,	passando-a	
para	o	formato	 –2x .
Exemplo 12
Vamos	determinar	as	integrais	indefinidas	de	
3
1 dx
x
 
 
 
∫ .
Resolvemos	 este	 cálculo	 determinando	 a	 integral	 para	 o	
termo	
3
1
x
 
 
 
da	expressão.
Determinamos	 a	 primitiva	 mais	 simples	 para	 o	 termo	 e	
acrescentamos	a	constante	de	integração	no	final.	Temos,	então:
1 11 3
3
13
3
2
23
3
1 1 1( 1)
3
3 2 2
3
xdx dx x dx c
x x
x c x c
− +
−    = = = + =     − + 
= + = +
∫ ∫ ∫
Claretiano - Centro Universitário65© U2 - Integral Indefinida
Simplificando,	temos:
3 2
3
1 3 
2
dx x
x
 
= 
 
∫
Você	deve	ter	notado	que	utilizamos	“ c ”	e	não	“C ”.	Tanto	
em	letra	maiúscula	ou	minúscula	podem	representar	a	constante	
de	integração.
Exemplo 13
Vamos,	 agora,	 resolver	 a	 integral	 indefinida	 da	 função	
exponencial	na	forma:	 xa dx∫ .
Como	 sabemos	 que	 a	 derivada	 da	 função	 ( ) xf x a= 	 é	
'( ) xf x a lna= ⋅ ,	então	a	primitiva	da	função	
xa 	será	 1 xa
lna
⋅ 	
ou,	ainda:
1 x xa dx a C
lna
= ⋅ +∫
Existe	o	caso	especial	da	função	exponencial	quando	a	base	é	
representada	pelo	número	de	Euler	(e),	sendo	a	integral	indefinida	
dada	por xe dx∫ .	Neste	 caso,	 a	 regra	é	 a	mesma,	mas	devemos	
lembrar	que	 1elne log e= = .	Portanto:
1 1 
1
x x x xe dx e C e C e C
lne
= ⋅ + = ⋅ + = +∫
Então,	de	forma	simplificada,	temos:
 x xe dx e C= +∫
Vamos,	 agora,	 observar	 a	 primitiva	 de	 algumas	 funções	
trigonométricas.	 Para	 isso,	 você	 deve	 tentar	 se	 lembrar	 das	
derivadas	das	funções	trigonométricas	principais.
© Cálculo II66
Exemplo 14
Vamos	calcular	a	integral	indefinida	 ( )cos x dx∫ .
Sabemos	 que,	 se	 derivarmos	 a	 função	 ( ) f x sen x= ,	
encontramos	a	função	derivada	 '( )f x cos x= .
Portanto,	a	integral	indefinida	 ( ) cos x dx sen x C= +∫ .
Exemplo 15
Para	calcularmos	a	integral	da	função	seno,	será	necessário	
lembrar-se	de	que	a	derivada	da	 função	 ( )f x cos x= 	 será	dada	
por	 '( ) –f x sen x= .	Portanto,	a	integral	indefinida	de	 senx 	será:	
( ) – sen x dx cos x C= +∫ .
Exemplo 16
Vamos,	 agora,	 encontrar	 a	 primitiva	 da	 função	 2sec x .	 Ou	
seja,	vamos	calcular	a	integral	indefinida	dada	por:	 2sec xdx∫ .
Para	 isso,	 lembre-se	 de	 que	 a	 derivada	 da	 função	
( ) f x tg x= 	é	dada	por	 2'( ) f x sec x= .
Daí,	a	integral	pode	ser	escrita	como:
2 sec xdx tg x C= +∫
7. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Os	 exemplos	 anteriores	 nos	 mostram	 que	 o	 processo	 de	
integração	 requer	 muita	 atenção	 e,	 por	 que	 não	 dizer,	 muita	
intuição,	pois	estamos	procurando	recuperar	uma	função	da	qual	
conhecemos	a	sua	derivada.
Ou	 seja,	 para	 termos	 sucesso	 no	 cálculo	 de	 integrais,	 é	
necessário	 termos	 bem	 nítidas	 em	 nossa	mente	 as	 técnicas	 de	
derivação.
Claretiano - Centro Universitário
67© U2 - Integral Indefinida
Algumas	integrais	são	chamadas	de	imediatas,	pois	podem	
ser	determinadas	diretamente,	sobretudo	se	você	conhecer	bem	
as	regras	de	derivação.
A	seguir,	listamos	algumas	das	principais	integrais	imediatas.
Integrais imediatas
1)	 	 dx x c= +∫ .
2)	 	 1
1 
 1
n nx dx x C
n
+= +
+∫ 	 (para	 n ,	 uma	 constante,	
 1n ≠ − ).	Ou,	ainda,	
 1
 
 1
n
n xx dx C
n
+
= +
+∫
.
3)	 	 1
1 x dx dx ln x C
x
− = = +∫ ∫ .
4)	 	
1 x xa dx a C
lna
= +∫ 	( a 	constante,	 0; 1a a> ≠ ).
5)	 	 x xe dx e C= +∫ 	(na	qual	 2,71828e ≅ 	é	o	número	de	
Euler,	sendo	também	a	base	dos	logaritmos	naturais	ou	
logaritmo	neperiano).	 Esta	 integral	é	um	caso	especial	
da	integral	imediata	4).
6)	 	 ( ) cos x dx sen x C= +∫ .
7)	 	 ( ) sen x dx cos x C= − +∫ .
8)	 	 2 sec xdx tg x C= +∫ .
Vamos	ver,	agora,	alguns	exemplos	mais	gerais	em	que	teremos	
vários	tipos	de	funções	somadas	ou	subtraídas.	Como	sabemos	que	
"a	integral	da	soma	(subtração)	é	a	soma	(subtração)	das	integrais"	
e	lembrando-se	das	primitivas	das	funções	citadas	anteriormente,	
não	teremos	dificuldades	em	calcular	as	integrais	a	seguir.
© Cálculo II68
Exemplo 1
3
2( 2) 2 
2
xx dx x c+ = + +∫ ,	pois,	usando	as	propriedades	
da	integral	indefinida,	temos:
3
2 2( 2) + 2 2
3
xx dx x dx dx x c+ = = + +∫ ∫ ∫
Exemplo 2
4
3 23( – 3 5) – 5 
4 2
xx x dx x x c+ = + +∫ , pois:
33
4 2
( – 3 5) – 3 5
 – 3 5 
4 2
x x dx x dx xdx dx
x x x c
+ = + =
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Exemplo 3
3
2 3 22(3 –1) – 
3
x x dx x x x c+ = + +∫ ,	pois:
1
2 2 2
33 2
(3 –1) 3 – 
 3 – 33 2
x x dx x dx x dx dx
x x x c
+ = + =
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Que,	 depois	 de	 simplificado,	 assume	 a	 forma	 antes	
mencionada.
Observe	que:
1 1 31 2 2
2 1 3 1 22
x xx dx
+
= =
+
∫
Claretiano - Centro Universitário
69© U2 - Integral Indefinida
Exemplo 4
12 2 x xe dx e lnx c
x
 − = − + 
 ∫ ,	pois:
112 2 2 x x xe dx e dx x dx e lnx c
x
− − = − = − + 
 ∫ ∫ ∫
Exemplo 5
Observe	a	função	a	seguir	e	calcule	a	sua	função	primitiva	ou	
sua	integral:
2 1 3 6 4xf ( x ) x x e cos x x−= − + + − + .
Utilizando	a	notação	de	integração,	temos:
2 1(3 6 4)xx x e cos x x dx−− + + − +∫
Se	 você	 se	 lembrar	 das	 funções	 que	 foram	 derivadas	
para	 originar	 cada	um	dos	 termos	da	 expressão	que	deverá	 ser	
integrada,	 então	 podemos	 escrever	 3 2( ) ' 3x x= ,	 2(3 ) ' 6x x= ,	
( ) ' x xe e= ,	 ( ) ' sen x cos x= ,	 –1( ) ' lnx x= ,	 (4 ) ' 4x = .
Portanto:
2 1
2 1
(3 6 4) 
= 3 6 4
x
x
x x e cos x x dx
x dx xdx e dx cos xdx x dx dx
−
−
− + + − + =
− + + − +
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ou,	ainda,	de	forma	resumida:
2 1
3 2
(3 6 4) 
= 3 4 
x
x
x x e cos x x dx
x x e sen x ln x x C
−− + + − + =
− + + − + +
∫
Você	percebeu	que	todo	resultado	de	uma	integral	pode	ser	
conferido	 ao	 calcularmos	 sua	 derivada?	 Tente.	 Você	 verá	 que	 é	
bem	fácil!
© Cálculo II70
Mas	algumas	 funções	não	são	 triviais	de	serem	 integradas	
ou	de	determinar	suas	primitivas.	Essas	 funções	advêm	das	fun-
ções	envolvendo	multiplicação	ou	divisão	entre	expressões	mais	
simples	ou	de	funções	compostas.
Veja,	 a	 seguir,	 algumas	 técnicas	 envolvendo	 essas	 funções	
mais	complexas.
Integral por substituição ou mudança de variáveis
Esta	técnica	fundamenta-se	na	Regra	da	Cadeia:	consideremos	
as	funções	 ( )F x ,	 ( )f x 	e	 ( )g x ,	de	modo	que:
•	 	 ( ) ( )F' x f x= ;	( ( )F x é	uma	primitiva	de	 ( )f x ).
•	 	A	composta	 ( )( )y F g x= 	esteja	definida.
Pela	Regra	da	Cadeia,	temos:
( ) ( ) ( )( ) ' ' ( ) '( ) ( ) '( )F g x F g x g x f g x g x= ⋅ = ⋅   ,	 isto	
é,	a	composta	 ( )( )F g x 	é	uma	primitiva	de	 ( )( ) '( )f g x g x⋅ .
Assim:
( ) ( )( ) '( ) ( ) f g x g x dx F g x c⋅ = +∫
Que	pode	ser	interpretada	da	seguinte	maneira:
•	 Fazendo	a	mudança	de	variável	 ( )u g x= ,	temos	a	dife-
rencial	 '( )du g x dx= .
•	 Podemos,	agora,	interpretar	a	integral	 ( )( ) '( )f g x g x dx⋅∫ 	
como	 ( )( ) '( ) ( )f g x g x dx f u du⋅ =∫ ∫ .
Como	 ( )F u 	 é	 uma	 primitiva	 de	
( ) ( ) ( ) f u f u du F u c⇒ = =∫ .
Na	 prática,	 temos	 que	 "visualizar"	 uma	 função	 ( )u g x=
conveniente,	 de	 forma	 que,	 substituída	 na	 expressão,	 torne	 a	
integral	mais	simples.
Claretiano - Centro Universitário
71© U2 - Integral Indefinida
Veja	os	exemplos	a	seguir.
Exemplo 1
Vamos	calcular	 2( 2)x dx+∫ .
Fazendo	a	mudança	de	variável	 2u x= + ,	temos	também	
 du dx= ,	se	derivarmos	a	função	 2u x= + .	Ou	seja:
 ( 2) 1du d x
dx dx
= + =
Ou,	ainda:
 1du
dx
= 		ou		 du dx= 	
Podemos,	então,	fazer	a	substituição	de	 2x + 	por	u ,	ou	seja:
2 2( 2) x dx u du+ =∫ ∫
E	 como	
3
2 
3
uu du c= +∫ ,	 substituímos	 novamente	
 2u x= + 	e	obtemos:
( )32 2( 2) 
3
x
x dx c
+
+ = +∫
Se	você	efetuar	a	derivada	do	resultado	da	integral	utilizando	
a	Regra	da	Cadeia,	perceberá	que	o	resultado	reproduz	o	termo	
integrando.
Exemplo 2
Vamos	calcular	 2(1 )2x xdx+∫ .
Fazendo	 a	 mudançade	 variável	 2 1 u x= + ,	 temos	 a	
derivada	como:
2 (1 ) 2du d x x
dx dx
= + =
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
© Cálculo II72
Ou	simplesmente	 2du x
dx
= ,	ou	seja,	 2du xdx= .
Podemos,	 então,	 substituir:	 2(1 )2 x xdx udu+ =∫ ∫ 	 e,	
como	 2 
2
uudu c= +∫ ,	obtemos:
2 2
2 (1 )(1 )2 
2
xx xdx c++ = +∫
após	retornar	a	substituição	de	 2 1 u x= + .
Exemplo 3
Vamos	calcular	 3
(3 2)
dx
x +∫
.
Fazendo	 a	 mudança	 de	 variável	 3 2u x= + ,	 temos	 a	
derivada	como:
 (3 2) 3du d x
dx dx
= + = .
Ou	simplesmente	 3du
dx
= ,	ou	seja,	 3du dx= .
Podemos,	 então,	 substituir:	 3 
(3 2)
dx du
x u
=
+∫ ∫
	 e,	 como	
 du ln u c
u
= +∫ ,	obtemos:
3 3 2 
(3 2)
dx ln x c
x
= + +
+∫
Exemplo 4
Agora,	vamos	calcular	a	integral	 ( )tg x dx∫ .
Se	 lembrarmos	 que	 sen xtg x 
cos x
= ,	 podemos	 reescrever	 a	
integral	na	forma	
 
 
sen xdx
cos x∫ .
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
Claretiano - Centro Universitário
73© U2 - Integral Indefinida
A	partir	da	substituição	de	 cos x u= ,	encontramos	a	sua	
derivada	como	 du sen x
dx
= − 	ou,	ainda,	como	 ( )du sen x dx= − .	
Então,	teremos:
 sen x sen xdx
cos x
=∫ 
du
u sen x
⋅
−∫
1 u du−= − ∫
Ou	seja:
 sen x dx ln u C ln cos x C
cos x
= − + = − +∫
Ou,	ainda:
 – ( tg x )dx ln cos x C= +∫
Integração por parte
Como	já	vimos,	toda	regra	de	derivada	invertida	dá	origem	
a	uma	regra	de	integração.	Quando	nos	referimos	à	operação	de	
multiplicação,	podemos	pensar	da	seguinte	forma:
Se	 ( ( ) ( )) ' '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x⋅ = ⋅ + ⋅ ,	
então	 a	 função	 ( ) ( )f x g x⋅ 	 é	 a	 primitiva	 da	 função	
'( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x⋅ + ⋅ .	Ou	seja:
( '( ) ( ) ( ) '( )) ( ) ( ) f x g x f x g x dx f x g x C⋅ + ⋅ = ⋅ +∫
Ou,	ainda:
( '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x dx f x g x C⋅ + ⋅ = ⋅ +∫ ∫
Se	isolarmos	o	termo	 ( ) '( )f x g x dx⋅∫ ,	teremos:
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
a ideia é encontrar uma integral mais fácil que a original. pega o bizú
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
© Cálculo II74
( ( ) '( )) ( ) ( ) ( '( ) ( )) f x g x dx f x g x f x g x dx C⋅ = ⋅ − ⋅ +∫ ∫
De	uma	forma	mais	simples,	podemos	denominar	as	funções	
tanto	 ( ) f x u= 	quanto	 ( ) g x v= 	e,	derivando	os	dois	termos,	
temos: '( )du f x
dx
= 	 ou,	 ainda,	 '( ) f x dx du= 	 e	 '( )
dv g x
dx
= ,	
como	também	 '( ) g x dx dv= ,	tornando	a	regra,	chamada	de	inte-
gração	por	partes,	como udv uv vdu= −∫ ∫ .
Portanto,	 se	 identificarmos	 o	 integrando	 com	 duas	 partes	
multiplicativas,	 uma	 delas	 como	 uma	 função	 derivada	 e	 a	
outra	 como	uma	 função	original,	 podemos	 aplicar	 a	 fórmula	de	
integração	por	partes.
Vamos	ver	alguns	exemplos	para	ilustrar	a	técnica.
Exemplo 1
Calcule	a	integral	indefinida	 ( )x sen x dx⋅∫ .
Se	analisarmos	a	função,	podemos	simplificar	o	integrando	
ao	 aplicar	 a	 regra	 de	 integração	 por	 partes	 ao	 substituir	
 u x= 	 e	 ( )dv sen x dx= ,	 ficando	 na	 forma	 substituída	
( ) x sen x dx udv⋅ =∫ ∫ .
De	 acordo	 com	 a	 regra,	 – udv uv vdu=∫ ∫ ,	 então	
precisamos	obter	a	função	original	de	 dv 	e	a	derivada	de	 u ,	ou	
seja:
•	 Se	 u x= ,	então	 du dx= .
•	 Se	 ( )dv sen x dx= ,	 então	 integrando	 ambos	 os	 lados,	
temos:
X44C
Texto digitado
essa integral é difícil de se resolver
X44C
Texto digitado
X44C
Linha
X44C
Linha
Claretiano - Centro Universitário
75© U2 - Integral Indefinida
 ( )
 
dv sen x dx
v cos x
=
= −
∫ ∫
Então,	fazendo	as	substituições,	teremos:
 udv uv vdu= −∫ ∫
Ou	seja:
( ) ( ) x sen x dx x cos x cos xdx⋅ = ⋅ − − −∫ ∫
Sabendo	 que	 ( ) cos x dx sen x C= +∫ 	 e	 simplificando	 a	
expressão,	teremos:
( ) x sen x dx x cos x sen x C⋅ = − ⋅ + +∫
Você	 pode	 perceber	 que	 a	 constante	 de	 integração	
surge	 no	 final,	 pois	 as	 constantes	 que	 surgem	 no	 decorrer	 do	
desenvolvimento	são	canceladas,	restando	apenas	a	final	C .
Assim	 como	 os	 demais	 resultados,	 você	 pode	 conferir	 a	
resposta	derivando-a	e	simplificando-a	em	seguida.	Você	verá	que	
o	resultado	está	correto.
Exemplo 2
Determine	a	integral	indefinida	da	função	 ( )f x ln x= .
Então,	devemos	calcular	 ln xdx∫ .
Para	isso,	devemos	substituir	 u ln x= 	e	 dv dx= ,	ou	seja,	
 udv uv vdu= −∫ ∫ ,	sendo ln xdx udv=∫ ∫ .
Como	 u ln x= ,	então	 –1 du x dx= .
Como	 dv dx= ,	então	 dv dx=∫ ∫ .	Ou	seja,	 v x= .	
X44C
Texto digitado
essa integral ficou bem mais fácil
X44C
Texto digitado
X44C
Retângulo
X44C
Linha
X44C
Linha
X44C
Linha
X44C
Linha
X44C
Linha
X44C
Texto digitado
X44C
Texto digitado
pega o bizú
X44C
Texto digitado
© Cálculo II76
Então,	 udv uv vdu= −∫ ∫ ,	 ou	 seja,	 se	 substituirmos	 e	
desenvolvermos	passo	a	passo,	teremos:
1
1 1
0
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 1
ln xdx ln x x x x dx
ln xdx x ln x x dx
ln xdx x ln x x dx
ln xdx x ln x dx
−
−
= ⋅ − ⋅
= ⋅ −
= ⋅ −
= ⋅ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Resolvendo	a	integral	 1dx∫ ,	teremos:
 ( ) ln xdx x ln x x C= ⋅ − +∫
Mais	uma	vez,	você	poderá	fazer	a	verificação	por	meio	da	
derivada	do	resultado	da	integral,	reproduzindo	o	valor	da	função	
( ) f x ln x= .
Exemplo 3
Calcule	a	integral	 3 xx e dx⋅∫ .
Para	a	resolução	desta	integral,	deveremos	tratar	inicialmente	
como	 uma	 derivada	 por	 partes.	 Ao	 fazermos	 as	 substituições,	
deveremos	resolver	uma	integral	por	substituição.
Portanto,	devemos	substituir	 u v= 	para	obter	 du dx= .
Devemos	 ainda	 substituir	 3 xdv e dx= 	 ao	 resolvermos	 a	
integral	 3 xv e dx= ∫ .
Para	 calcular	 esta	 integral,	 devemos	 chamar	 3w x= ,	
obtendo	 3dw
dx
= ,	ou,	ainda,	 3
dw dx= .
Claretiano - Centro Universitário
77© U2 - Integral Indefinida
Portanto:
3 1 
3 3
x w wdwv e dx e e dw= = =∫ ∫ ∫
Então:
31 
3
xv e= ⋅
Substituindo	na	fórmula	da	integral	por	partes,	teremos:
3 3 3
3 3 3
 
1 1 
3 3
1 1 
3 3
x x x
x x x
udv uv vdu
x e dx x e e dx
x e dx xe e dx
= −
 ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ 
 
⋅ = −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Mas	a	integral	 3xe dx∫ já	foi	calculada	anteriormente,	sendo	
3 31 
3
x xe dx e= ⋅∫ .
Então:
3 3 3
3 3 3
1 1 1 
3 3 3
1 1 
3 9
x x x
x x x
x e dx xe e
x e dx xe e C
 ⋅ = − ⋅  
 
⋅ = − ⋅ +
∫
∫
Mais	uma	vez,	você	pode	conferir	o	resultado	por	meio	da	
derivada	do	resultado,	obtendo	o	valor	contido	no	integrando.
Tabela de integrais
São	 muitas	 as	 integrais	 e	 as	 variações	 dos	 resultados	 em	
virtude	das	várias	técnicas	de	substituições.	Vimos	algumas	delas,	
© Cálculo II78
sendo	 as	 principais	 e	mais	 comuns.	Outra	 forma	de	 conhecer	 a	
integral	de	funções	variadas	é	por	meio	da	tabela	de	integrais.
A	seguir,	colocamos	algumas	dessas	regras,	lembrando	que	
não	são	 limitadas	a	essa	quantidade,	 sendo	uma	das	 tabelas	de	
cálculo	com	maior	número	de	regras.
Regras de integração
1)	 	 dx dx x C= = +∫ ∫ .
2)	 	 adx a dx ax C= = +∫ ∫ .
3)	 	
 1
 
 1
n
n axax dx C
n
+
= +
+∫ .
4)	 	 1 1 x dx dx ln x C
x
− = = +∫ ∫ .
5)	 	 ln xdx xln x x C= − +∫ .
6)	 	 x xe dx e C= +∫ .
7)	 	 
ax
ax ee dx C
a
= +∫ .
8)	 	 
x
x aa dx C
lna
= +∫ .
9)	 	 dy dxy C
dx
= +∫ .
10)	 	 ( ) ... ...u v dx udx vdx± ± = ± ±∫ ∫ ∫ .
11)	 	 
dy
dx dx ln y C
y
= +∫ .
Claretiano - Centro Universitário
79© U2 - Integral Indefinida
12)	 	 2 
dy
dx dx y C
y
= +∫ .
13)	 Integração	por	partes:	 udv u v vdu= ⋅ −∫ ∫ .
14)	 	
1 1 
 
dx ln a bx C
a bx b
= + +
+∫ .
15)	 	 2 .ln 
x x adx a bx C
a bx b b
= − + +
+∫ .
16)	 	 2 2
1 
( ) 
x xdx ln a bx C
a bx b a bx
 = + + + + + ∫ .
17)	 	
2 2
1 1 
 2 
x adx ln C
x a a x a
−
= +
− +∫
.
18)	 	 2 2
1 1 
 
xdx arctg C
x a a a
= +
+∫ .
19)	 	 2 2
2 2
1 
 
dx ln x x a C
x a
= + + +
+
∫ .
20)	 	 sen xdx cos x C= − +∫ .
21)	 	 cos xdx sen x C= +∫ .
22)	 	 2 sec xdx tg x C= +∫ .
23)	 	 2 cos ec xdx cotg x C= − +∫ .
24)	 	 ( )( ) sec x tg x dx sec x C= +∫ .
25)	 	 ( )( ) cos ecx cotg x dx cos ecx C= − +∫ .
© Cálculo II80
26)	 	 tg xdx ln cos x C= − +∫ .
27)	 	 cotg xdx ln sen x C= +∫ .
28)	 	 sec xdx ln sec x tg x C= + +∫ .
29)	 	 cos ecxdx ln cos ecx cotg x C= − +∫ .
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 Determine	as	integrais	indefinidas	a	seguir:
a)	 8dx∫
b)	 	 ( )5x dx∫
c)	 	 ( )23x dx∫
d)	 	 ( )3x dx∫
e)	 	 ( )3 2 3 5 2x x x dx+ − +∫
f)	 	 2
2 x dx
x
 + 
 ∫
g)	 	 ( ) u u du+∫
h)	 	
3 2 7x x dx
x
 + −
 
 
∫
i)	 	 ( )5 3 22 8 3 5x x x dx+ − +∫
j)	 	
3
2 13 2 xx e dx
x x
 − + − 
 ∫
Claretiano - Centro Universitário
81© U2 - Integral Indefinida
k)	 	 ( )1/2 2/3 3 6x x dx− +∫
l)	 	 2 3( – 5)x x dx∫
m)	 
n)	 	 21 ( 2 )x x dx− −∫
o)	 	 2 33 1x x dx+∫
p)	 	 2 2
 1
( 2 3)
x dx
x x
+
+ −∫
q)	 	
2
3 2(1 )
x dx
x+∫
r)	 	
2
4
1 
x dx
x+∫
s)	 	 2( )t sent dt∫
t)	 	 2( )w sec w dw∫
u)	 	 5ln xdx∫
Gabarito
Confira,	 a	 seguir,	 as	 respostas	 corretas	 para	 as	 questões	
autoavaliativas	propostas:
1)	 	
a)	 8.
© Cálculo II82
b)	 	
2
5 
2
x c⋅ + .
c)	 	
3
3 
3
x c⋅ + .
d)	 	
4
 
4
x c+ .
e)	 	
4 3 2
 3 5 2 
4 3 2
x x x x c+ ⋅ − ⋅ + + .
f)	 	
2 2 
2
x C
x
− + .
g)	 	
32
22 
2 3
u u C+ + .
h)	 	
3
 2 
3
x x ln x C+ − + .
i)	 	
6
4 3 2 5 
3
x x x x C+ − + + .
j)	 	
3 222 2 xx x ln x e C−+ + − + .
k)	 	
53
322 9 6
3 5
x x x C− + + .
l)	 	
2 4( 5) 
8
x C− + .
m)	 	 2 xe C−− + .
n)	 	
2 3/22( 1 ) 
3
x C− − + .
o)	 	
3 3/22( 1) 
3
x C+ + .
Claretiano - Centro Universitário
83© U2 - Integral Indefinida
p)	 	
2 1( 2 3) 
2
x x C
−− + −
+ .
q)	 	
3 1(1 ) 
3
x C
−− +
+ .
r)	 	 2 1/24( 1) x C+ + .
s)	 	 21 
2
cost C− + .
t)	 	 ( ) w tgw ln cosw C+ + .
u)	 	 5 x ln x x C⋅ − + .
9. CONSIDERAÇÕES
Na	Unidade	2,	definimos	primitiva	de	uma	função,	estuda-
mos	a	 integral	 indefinida	e	 suas	propriedades,	além	de	algumas	
técnicas	de	integração.	Na	Unidade	3,	veremos	a	definição	de	inte-
gral	definida	e	o	Teorema	Fundamental	do	Cálculo.
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ÁVILA,	G.	Introdução ao cálculo.	Rio	de	Janeiro:	LTC,	1998.
BOULOS,	P.	Cálculo Diferencial e integral.	São	Paulo:	Pearson	Makron	Books,	2000.
______.	Pré-cálculo.	São	Paulo:	Makron	Books,	1999.
BOYER,	C.	B.	Cálculo.	São	Paulo:	Atual,	1996.
FINNEY,	R.	L.;	WEIR,	M.	D.;	GIORDANO,	F.	R.	Cálculo de George B. Thomas.	11.	ed.	São	
Paulo:	Addison	Wesley,	2009.	v.	1.
GUIDORIZZI,	H.	L.	Um curso de cálculo.	5.	ed.	Rio	de	Janeiro:	LTC,	2001.	v.	1.
HUGHES,	D.;	GLEASON,	A.	M.	Cálculo.	Rio	de	Janeiro:	LTC,	1997.	v.	1.
LARSON,	R.	E.;	HOSTETLER,	R.	P.;	EDWARDS,	B.	H.	Cálculo com aplicações.	Tradução	
de	Alfredo	Alves	de	Farias.	4.	ed.	Rio	de	Janeiro:	LTC,	1998.
LEITHOLD,	L.	Cálculo com Geometria Analítica.	Tradução	de	Cyro	de	Carvalho	Patarra.	
© Cálculo II84
São	Paulo:	Harbra,	1994.
SIMMONS,	G.	F.	Cálculo com Geometria Analítica.	Tradução	de	Seiji	Hariki.	São	Paulo:	
McGraw-Hill,	1987.
STEWART,	 J.	Cálculo.	 Tradução	de	Cyro	de	Carvalho	 Patarra	 et	 al.	 São	 Paulo:	 Pioneira	
Thomson	Learning,	2001.
SWOKOWSKI,	E.	W.	Cálculo com Geometria Analítica.	Tradução	de	Alfredo	Alves	de	Faria.	
São	Paulo:	Makron	Books,	1994.
THOMAS,	G.	B.	Cálculo.	Tradução	de	Paulo	Boschcov.	10.	ed.	São	Paulo:	Pearson	Education	
do	Brasil,	2002.	v.	1.
VERAS,	L.	L.	Matemática aplicada à Economia.	2.	ed.	São	Paulo:	Atlas,	1995.