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Organização de Computadores Prof. Luiz di Marcello Aula 5 ÁLGEBRA BOOLEANA O QUE É E PARA QUE SERVE? A Álgebra Booleana é uma área da Matemática que trata de regras e elementos de lógica A Álgebra Booleana trata de variáveis e de operações com estas variáveis, porém utiliza variáveis binárias em que o valor 1 equivale à condição verdadeira e o valor 0 à condição falsa O QUE É E PARA QUE SERVE? Vimos na aula passada que os circuitos digitais são representados por expressões, cujas entradas são combinadas e a saídas analisadas através da tabela-verdade Mas, será que podemos reduzir o tamanho dessas expressões – e, consequentemente, os circuitos – sem alterar os resultados obtidos na saída? É exatamente nesse contexto que iremos estudar as regras (22 no total) de simplificação da Álgebra de Boole ÁLGEBRA BOOLEANA 1) X + 0 = X 2) X + 1 = 1 3) X + X = X 4) X + X = 1 5) X * 0 = 0 6) X * 1 = X 7) X * X = X 8) X * X = 0 9) X = X 10) X + Y = Y + X 11) X + X = 0 12) X * Y = Y * X 13) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z 14) X * (Y * Z) = (X * Y) * Z 15) X * (Y + Z) = X * Y + X * Z 16) X + X * Z = X 17) X * (X + Y) = X 18) (X + Y) * (X +Z) = X + Y * Z 19) X + X * Y = X + Y 20) X * Y + Y * Z + Y * Z = X * Y + Z 21) (X + Y) = X * Y 22) (X * Y) = X + Y AS REGRAS X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) PROVANDO A REGRA 16... X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) = X * (Z + Z) + X * Z (4) PROVANDO A REGRA 16... X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) = X * (Z + Z) + X * Z (4) = X * Z + X * Z + X * Z (15) PROVANDO A REGRA 16... X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) = X * (Z + Z) + X * Z (4) = X * Z + X * Z + X * Z (15) = (X * Z + X * Z ) + X * Z (10) PROVANDO A REGRA 16... X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) = X * (Z + Z) + X * Z (4) = X * Z + X * Z + X * Z (15) = (X * Z + X * Z ) + X * Z (10) = X * Z + X * Z (3) PROVANDO A REGRA 16... X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) = X * (Z + Z) + X * Z (4) = X * Z + X * Z + X * Z (15) = (X * Z + X * Z ) + X * Z (10) = X * Z + X * Z (3) = X * ( Z + Z ) (15) PROVANDO A REGRA 16... X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) = X * (Z + Z) + X * Z (4) = X * Z + X * Z + X * Z (15) = (X * Z + X * Z ) + X * Z (10) = X * Z + X * Z (3) = X * ( Z + Z ) (15) = X * 1 (4) PROVANDO A REGRA 16... X + X * Z = X X + (X * Z) = X * 1 + X * Z (6) = X * (Z + Z) + X * Z (4) = X * Z + X * Z + X * Z (15) = (X * Z + X * Z ) + X * Z (10) = X * Z + X * Z (3) = X * ( Z + Z ) (15) = X * 1 (4) = X (6) PROVANDO A REGRA 16... X = (A + B) * B REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (CIRCUITO) X A B A+B SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO... A B X = (A + B) * B X = (A + B) + B (regra 22) SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO... X = (A + B) * B X = (A + B) + B (regra 22) X = A * B + B (regra 21) SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO... X = (A + B) * B X = (A + B) + B (regra 22) X = A * B + B (regra 21) X = A * B + B (regra 9) SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO... X = (A + B) * B X = (A + B) + B (regra 22) X = A * B + B (regra 21) X = A * B + B (regra 9) X = A + B (regra 19) A B X SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO... X = (A + B) * B SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO E O CIRCUITO... X A B A+B A B A B X X = A + B Organização de Computadores Prof. Luiz di Marcello Exercícios Observe o circuito abaixo e assinale qual expressão booleana o representa: 20 2) Observe o circuito abaixo e assinale qual expressão booleana o representa: 21
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