estruturas hiperestc3a1ticas 2

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Método dos Esforços
Deslocamentos em Estruturas
Energia Potencial de Deformação:
Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os esforços N, Vx, Vy, T, Mx e My,.
Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é:
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
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Prof. Pedro Sá
1
Método dos Esforços
Deslocamentos em Estruturas
Energia Potencial de Deformação:
Logo,
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Método dos Esforços
Deslocamentos em Estruturas
Teorema de Castigliano:
"A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do esforço na sua direção."
P1
P2
M1
d1
q1
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Deslocamentos em Estruturas
Teorema de Castigliano:
P1
P2
d1
d2
P1
P2
d1
d2
dP1
dd1
P1
P2
d1
d2
dP1
dd1
dP1
dd1
Introduzindo um incremento dP1:
Acrescentando o sistema original:
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Deslocamentos em Estruturas
Teorema de Castigliano:
Igualando as duas expressões
desprezível
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Deslocamentos em Estruturas
Integrais de Mohr:
O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se utilizar o seguinte recurso:
Integrais de Mohr:
- aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada;
- determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço;
- aplica-se o teorema de Castigliano;
- e anula-se o esforço virtual.
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Deslocamentos em Estruturas
Integrais de Mohr:
Seja N, T, Mx e My os esforços internos numa seção, decorrentes de um sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e
N, T ,Mx, My os esforços internos decorrentes de um esforço virtual unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento.
onde Ev é o esforço virtual.
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Deslocamentos em Estruturas
Integrais de Mohr:
Exercícios
As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária.
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Método dos Esforços
Deslocamentos em Estruturas
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):
"O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço."
P1
d11
d21
d22
d12
P2
deslocamento do ponto 1
deslocamento do ponto 2
dij: deslocamento do ponto i provocado pela ação de Pj
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Deslocamentos em Estruturas
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):
Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos,
P1
d11
d21
aplicando-se inicialmente P1 e posteriormente P2
P1
d11
d21
d22
d12
P2
P2
d12
d22
P2
d12
d22
P1
d11
d21
aplicando-se inicialmente P2 e posteriormente P1
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Deslocamentos em Estruturas
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):
Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento,
P1
d11
d21
d22
d12
P2
P2
d12
d22
P1
d11
d21
(reciprocidade dos trabalhos)
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Deslocamentos em Estruturas
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):
Se P1 = P2,
(reciprocidade dos deslocamentos)
"O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual esforço aplicado no ponto 1." 
P
d
1
2
P
d
1
2
M
q
1
2
M
q
1
2
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Formulação do Método
Seja a viga abaixo representada.
O seu grau de hiperestaticidade é:
SP
X1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante.
X1
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Formulação do Método
A Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é:
onde d1 é o deslocamento, na direção de X1, da seção onde foi retirado o apoio.
Usando o PSE,
X1
X1
=
+
carregamento real
hiperestático
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Formulação do Método
Para cada um destes carregamentos, a seção onde foi retirado o apoio se deslocará.
carregamento real
hiperestático
d10
d11X1
d10 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real na viga e
d11 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.
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Formulação do Método
Assim,
Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.
Os deslocamentos d10 e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.
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Formulação do Método
Usando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos será:
X1
ou
SP
onde 
d1e é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte esquerda e
d1d é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte direita.
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Formulação do Método
=
+
carregamento real
hiperestático
X1
X1
d10e
d10d
carregamento real
hiperestático
d11eX1
d11dX1
Usando o PSE,
Deslocamentos no SP:
d10e – d10d é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real e
d11e – d11d é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.
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Formulação do Método
Logo,
Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, aplicável a vigas contínuas.
Os deslocamentos d10, e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.
Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são ,então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.
onde
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Formulação do Método
Seja o pórtico abaixo representado.
O seu grau de hiperestaticidade é:
Vy
Mx
N
N
Vy
Mx
SP
X2
X3
X1
X1
X2
X3
X1 = N, X2 = Vy, X3 = Mx são os hiperestáticos.
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Formulação do Método
As Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são:
SP
X2
X3
X1
X1
X2
X3
ou
ou
ou
onde
die é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte esquerda e
did é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte direita.
d1e, d1d, d2e e d2d são deslocamentos lineares enquanto d3ee d3d são deslocamentos angulares 
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Formulação do Método
Usando o PSE,
X2
X3
X1
X1
X2
X3
=
X1
X1
X2
X2
X3
X3
+
+
+
(a)
(b)
(c)
(d)
(a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática;
(b): SP submetido ao hiperestático X1;
(c): SP submetido ao hiperestático X2;
(d): SP submetido ao hiperestático X3.
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Formulação do Método
Para cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à esquerda e à direita.
d10e
X
Y
Z
SG
d10d
d20d
d30e
d20e
d30e
di0e – di0d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao carregamento real;
d1jeXj
X
Y
Z
SG
d1jdXj
d2jdXj
d3jeXj
d2jeXj
d3jeXj
dije – dijd é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao hiperestático Xj = 1.
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Formulação do Método
A equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou
onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura.
Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de equações lineares: 
onde
Os deslocamentos di0, e dij são determinados pelo Método da Carga Unitária.
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Formulação do Método
Determinação de Deslocamentos:
Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os mesmos verificados no SP.
Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP.
d = ?
X1
d
Exercícios
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os apoios intermediários.
viga contínua
SP
R1
R2
R3
R4
R5
L1
L2
L3
L4
M5
M1
X3=M4
X2=M3
X1=M2
R1
R2
R3
R4
R5
L1
L2
L3
L4
M5
M1
g = n-2, onde n é o número de apoios da viga.
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e aos hiperestáticos Xi=Mi+1.
As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão
ou			 onde i = 1, n-2.
Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são rotações.
Assim,			 ou
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
i = 1, n-2.
...........................................................................
Desenvolvendo as equações acima:
...........................................................................
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo.
Li-1
Mi
Mi-1
Li
Mi+1
Mi
Mi
Mi-1
Mi+1
Mi
Assim, a equação acima se resume a
(Equação dos Três Momentos)
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas ao carregamento real.
rotação, no SP, à esquerda do nó i, devida a Mi-1=1.
rotação, no SP, à direita do nó i, devida a Mi+1=1.
rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas a Mi=1.
Li-1
Mi-1=1
Li-1
Mi=1
Li-1
Li
Mi=1
Li
Mi+1=1
Li
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração da linha elástica ou Analogia de Mohr):
Assim, a equação fica:
Convenção de Sinais:
ou
A cada apoio interno corresponde uma equação.
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
Observações:
a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, a equação fica: 
b) Caso as rotações 	 sejam calculadas pela Analogia de Mohr, corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica:.
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
Observações:
R1
R2
R3
L1
L2
L3
M1
M3
R1
R2
R3
L1
L2
M1
V3d
d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio correspondente.
c) Se a rigidez EIx for constante, a equação se simplifica: 
ou
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Formulação do Método
Equação dos Três Momentos:
Observações:
e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita (o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de deslocamentos correspondente será 
para engaste no primeiro apoio ou
para engaste no último apoio.
Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando		 no primeiro caso, e 	 no segundo.
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Fim do Capítulo
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