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LAJES DE CONCRETO

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ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
92
LAJES DE CONCRETO ARMADO 
 
1. Unidirecionais 
 
As lajes de concreto são consideradas unidirecionais quando apenas um 
 ou dois lados são considerados apoiados. 
 
1.1 Lajes em balanço 
 
Lajes em balanço são unidirecionais ou apoiadas numa só direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Laje em balanço de uma marquise 
 
 
A figura 1 mostra um exemplo de uma marquise que possui uma laje 
apoiada em uma viga. Nesse caso, o apoio tem que ser um engaste, configurando 
o esquema mostrado no item c da figura 1. 
O vão livre L0, é mostrado em c na Figura 1 e o vão de cálculo, no caso de 
balanços é no mínimo o vão livre acrescido da metade da altura→ L = L0 + h/2 
engaste 
L0 
L 
viga 
c) esquema 
b) seção 
a) perspectiva 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
93
1.2 Unidirecionais com dois bordos considerados apoiados 
 
As lajes de concreto são consideradas unidirecionais quando o lado maior tem 
dimensão superior a duas vezes o lado menor. Isso se deve ao fato da parcela 
correspondente a reação de apoio no lado menor ser muito pequena e 
conseqüentemente o momento fletor na direção do maior vão também resultar 
muito menor que o momento na menor direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 Laje unidirecional com quatro bordos apoiados 
 
O menor lado é chamado de direção x e o maior lado de y, λ é a relação 
entre o lado maior Ly pelo lado menor Lx. Assim se λ é maior que 2 a laje é 
considerada como unidirecional e o cálculo da reação e do momento fletor é feito 
como uma viga de largura unitária ( 1 m), como mostra a Tabela 1. 
O vão de cálculo para as lajes é tomado como o menor valor entre a 
distância entre os eixos das vigas de apoio ou o vão livre somado a 0,6 da altura 
da laje: Lx = Lx0 + (a1+a2)/2 ou Lx = Lx0 + 0,6.h 
 
Tabela 1 Reações e esforços em lajes biapoadas com carga uniforme 
Vinculação Reação no apoio Reação no 
engaste 
Momento Fletor 
apoio – apoio 
 
Rx = 0,5.p.Lx M=p.Lx 2 /8 
apoio – engaste 
 
Rxapoio = 0,4.p.Lx Rxengaste= 0,6.p.Lx M=p.Lx 2/14,22 
engaste – engaste Rx = 0,5.p.Lx M = p. Lx2/24 
 
45º 
45º 
45º 
45º 
Ly >2.Lx 
Lx 
λ = 
Lx
Ly
>2 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
94
1.3 Lajes unidirecionais continuas e apoiadas numa só direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 Laje unidirecional contínua 
 
No caso de haver continuidade, como na Figura 3, o cálculo de reações e 
esforços deve ser feito como viga contínua. 
 
 
Há também o caso das lajes maciças que só tem apoios em uma direção e 
das lajes pré-moldadas, ou de vigotas pré-moldadas, ou de treliças que pelo 
processo construtivo só podem ter apoio em uma única direção. 
 
 
 
Figura 4 Seção transversal de laje pré-moldada unidirecional 
 
 
capa 
vigota bloco 
Lx2 
Lx1 
Lx3 
Lx1 Lx4 
Lx2 
Lx4 
Lx3 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
95
LAJES DE CONCRETO ARMADO 
 
2. Lajes retangulares bidimensionais ou apoiadas nas duas direções 
 
2.1 Quatro bordos de apoio simples 
 
 
 
 
Figura 5 Laje retangular bidirecional de quatro apoios simples 
 
2.1.2 Obtenção das reações da laje nas vigas 
 
O valor da reação é obtido pela distribuição da carga correspondente, a 
área do triângulo ou trapézio, ao longo da viga, ou seja é a razão entre o produto 
da carga pela área correspondente dividida pelo comprimento da viga de apoio. 
 
Reação = Carga X Área / Extensão da viga = p . A / L 
 
No caso mostrado na Figura 5, para quatro apoios simples, tem-se: 
 
Rx = p.A/Ly = p. [(Ly+(Ly-Lx)/2).(Lx/2)]/Ly 
 
Ry = p.A/Lx = p. (Lx.Lx/4)/Lx = p.Lx/4 
45º 
45º 
45º 
45º 
45º 
45º 45º 
45º 
Lx 
Ly 
y 
x 
Lx/2 
Ry Ry 
Rx 
Rx 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
96
2.2 Laje bidirecional com um bordo engastado 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 Laje retangular bidirecional de três apoios simples e um engaste 
 
 
Se o trecho de engaste for menor que 1/3 da extensão do bordo deve-se 
considerar apoio simples. 
 
Se houver engastamento parcial no bordo a laje só poderá ser considerada 
engastada se 2/3 ou mais estiverem engastados. 
 
Para situações intermediárias deve-se considerar os dois casos e armar para 
a situação de maior solicitação. 
 
Esse critério deve ser usado para todos os tipos de engaste mostrados a 
seguir. 
60º 
60º 
45º 
45º 
30º 
45º 
60º 
45º 
45º 
60º 
Lx 
Ly 
y 
x 
30º 30º 
45º 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
97
2.3 Laje com apoio–engaste nas duas direções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 Laje retangular bidirecional de apoios e engaste nas duas direções 
 
 
 
A figura 8 mostra os seis casos que podem ocorrer e as três variações em 
relação a direção principal 
 
Para a obtenção das reações, em lajes retangulares bidirecionais, pode-se 
usar a tabela elaborada pelo Prof. Libânio (EESC-USP), 1993. Considerando esses 
critérios. 
 
Onde a reação é obtida pela expressão: R = ν.p.Lx/10 com p = carga unitária; e 
Lx sempre o menor vão da laje. 
 
Onde ν é fornecido pela tabela de acordo com o tipo de vinculação da laje e a 
respectiva relação entre o maior e o menor vão da laje. λ = Ly/Lx. 
 
45º 
60º 
45º 
60º 
45º 
45º 
30º 
30º 
60º 
45º 
45º 
60º 
Lx 
Ly 
y 
x 
30º 
30º 
45º 
45º 
engaste 
Apoio simples 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
98
2.4 LAJES RETANGULARES DE QUATRO APOIOS - TIPOS DE VÍNCULOS 
 
Figura 8 Laje retangular bidirecional de apoios e engaste nas duas direções 
4A 6 
2
A 
3 
5A 
1 
Lx Lx 
Lx 
2B 5B 4B 
Lx Lx 
Lx 
Ly 
Ly 
Ly 
menor vão 
m
a
io
r 
vã
o 
engaste 
menor vão 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
99
Exemplo de cálculo e detalhamento de lajes maciças de concreto 
1. PLANTA DE FORMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 2 
escada 
L 3 
V 1 A – 17 x 49 
243 
L 6 
L 5 
 L 4 
123 124 28 28 28 12 
243 
39
3 
25
8 
36
3 
28
3 
h = 9 
h = 9 
h = 9 
h = 9 
h = 9 
L 1 
V 1 B – 12 x 49 
V 2 B – 12 x 44 V 2 A – 12 x 44 
V 
7 
C 
–
 
17
 
x 
44
 
V 
9 
–
 
12
 
x 
39
 
V 
11
 
–
 
12
 
x 
49
 
V 3 – 12 x 44 
V 4 – 12 x 34 
V 5 – 12 x 39 
V 6B– 17 x 44 V 6A – 17 x 44 
V 
E 
–
 
12
 
x 
40
 
V 
8 
B 
–
 
12
 
x 
44
 
V 
7 
B 
–
 
17
 
x 
44
 
V 
10
 
B 
–
 
17
 
x 
44
 
V 
8 
A 
–
 
12
 
x 
44
 
V 
7 
A 
–
 
17
 
x 
44
 
V 
10
 
A 
–
 
17
 
x 
44
 
368 
563 123 
24
3
24
3 
P 1 P 2 
P 3 P 4 P 5 
P 6 
P 7 P 8 
P 9 
P 10 P 12 P 11 
17
 
75 
h = 9 
12 17 
727 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
100 
2. DETERMINAÇÃO DAS REACÕES NOS APOIOS 
 
2.1 Cargas na laje: 
Permanentes: Peso próprio: gp = h . δc = 0,09m . 25 kN/m3 = 2,25 kN/m2 
Revestimento: grev = hrev.δarg = 0,05.19 kN/m2 = 0,95 kN/m2 
Acabamento: gacb = hacb.δmármore = 0,02.28 kN/m2 = 0,56 kN/m2 
 g = gp + grev + gacb = 3,76 kN/m2 
Acidentais: Uso residencial: q = 1,50 kN/m2 
 Total: p = g + q = 5,26 kN/m2 
 
Ly = 5,75 m
L x
 
=
 
2,
95
 
m
Ly/Lx = 1,95 L 1h = 9
 
 
Rx,apo = νx.p.Lx/10 = 3,72.5,26.2,95/10 = 5,77 kN/m 
 
 
Ry,apo = νy.p.Lx/10 = 2,5.5,26.2,95/10 = 3,88 kN/m 
 
 
 
 
Rx,eng = 6,25.p.Lx = 6,25.5,26.1,35/10 = 4,44 kN/m 
 
Rx,apo = 4,38.p.Lx = 4,38.5,26.1,35/10 = 3,11 kN/m 
 
 
Lx = 2,55 m
L y
 
=
 
3,
75
 
m
 L 3
h = 10 Ly/Lx = 1,47
CASO 5A
 
 
Rx,eng = νx’.p.Lx/10 = 3,62.5,26.2,55/10 = 4,86 kN/m 
 
Rx,apo = νx.p.Lx/10 = 2,47.5,26.2,55/10 = 3,31 kN/m 
 
Ry,eng = νy’.p.Lx/10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kN/m 
 
 
 
Ly = 3,8 m
L x
 
=
 
2,
55
 
m
 L 4
h = 9
Ly/Lx = 1,49
CASO 3
 
Rx,apo = νx.p.Lx/10 = 2,88.5,26.2,55/10 = 3,86 kN/m 
 
Rx,eng = νx’.p.Lx/10 = 4,22.5,26.2,55/10 = 5,66 kN/m 
 
Ry,apo = νy.p.Lx/10 = 2,17.5,26.2,55/10 = 2,91 kN/m 
 
Ry,eng = νy’.p.Lx/10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kN/m 
 
Lx = 2,55 m
L y
 
=
 
4,
05
 
m
 L 5
h = 9 Ly/Lx = 1,59
CASO 3
 
Rx,apo = νx.p.Lx/10 = 2,97.5,26.2,55/10 = 3,98 kN/m 
 
Rx,eng = νx’.p.Lx/10 = 4,35.5,26.2,55/10 = 5,83 kN/m 
 
Ry,apo = νy.p.Lx/10 = 2,17.5,26.2,55/10 = 2,91 kN/m 
 
Ry,eng = νy’.p.Lx/10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kN/m 
 
Lx = 1,35 m
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
101 
2.2 Reações das lajes nas vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cargas na escada (uso residencial q = 2,5 kN/m2): 
L 1 L 2 
L 3 
L 5 
L 4 
L 6 
R = 5,77 kN/m 
R = 4,25 kN/m 
R = 5,81 kN/m 
R = 4,25 kN/m 
R = 5,66 kN/m 
R = 2,91kN/m R = 3,08 kN/m 
R = 5,77 kN/m 
R
 
=
 
3,
88
 
kN
/m
 
R
 
=
 
3,
88
 
kN
/m
 
R
 
=
 
3,
78
 
kN
/m
 
R
 
=
 
2,
65
kN
/m
 
R = 4,25 kN/m 
R
 
=
 
13
,
08
 
kN
/m
 
R
 
=
 
13
,
08
 
kN
/m
 
R
 
=
 
4,
86
 
kN
/m
 
R
 
=
 
2,
91
 
kN
/m
 
R
 
=
 
3,
31
 
kN
/m
 
R
 
=
 
3,
98
 
kN
/m
 
R
 
=
 
4,
25
 
kN
/m
 
R
 
=
 
5,
83
 
kN
/m
 
R
 
=
 
3,
96
 
kN
/m
 
R
 
=
 
5,
81
 
kN
/m
 
R = 3,86 kN/m 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
102 
3. DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS NAS LAJES 
 
3.1 Cargas na laje: 
Permanentes: Peso próprio: gp = h . δc = 0,09m . 25 kN/m3 = 2,25 kN/m2 
Revestimento: grev = hrev.δarg = 0,05.19 kN/m2 = 0,95 kN/m2 
Acabamento: gacb = hacb.δmármore = 0,02.28 kN/m2 = 0,56 kN/m2 
 g = gp + grev + gacb = 3,76 kN/m2 
Acidentais: Uso residencial: q = 1,5 cm2 
 Total: p = g + q = 5,26 kN/m2 
 
Ly = 5,75 m
L x
 
=
 
2,
95
 
m
Ly/Lx = 1,95 L 1
h = 9
 
 
 
Mx = µx.p.Lx2/100 = 9,73.5,26.2,952/100 = 4,45 kN.m 
 
My = µy.p.Lx2/100 = 3,23.5,26.2,952/100 = 1,48 kN.m 
 
 
 
Lx = 1,15 m
 
 
Mx =µx.p.Lx2/100 = 7,03.5,26.1,352/100 = 0,67 kN.m 
 
Xx = µx’ p.Lx2/100 = 12,5.5,26.1,352/100 = 1,19 kN.m 
 
 
Lx = 2,55 m
L y
 
=
 
3,
75
 
m
 L 3
h = 10 Ly/Lx = 1,47
CASO 5A
Mx = µx.p.Lx2/100 = 4,15.5,26.2,552/100 = 1,42 kN.m 
 
My = µy.p.Lx/10 = 2,45.5,26.2,552/100 = 0,84 kN.m 
 
Xx = µx’.p.Lx2/100 = 9,32.5,26.2,552/100 = 3,19 kN.m 
 
Xy = µy’.p.Lx2/100 = 7,9.5,26.2,552/100 = 2,70 kN.m 
 
Ly = 3,8 m
L x
 
=
 
2,
55
 
m
 L 4
h = 9
Ly/Lx = 1,49
CASO 3
Mx = µx.p.Lx2/100 = 4,72.5,26.2,552/100 = 1,61 kN.m 
 
My = µy.p.Lx2/100 = 2,26.5,26.2,552/100 = 0,77 kN.m 
 
Xx = µy’.p.Lx2/100 = 10,4.5,26.2,552/100 = 3,56 kN.m 
 
Xy = µy’.p.Lx2/100 = 8,05.5,26.2,552/100 = 2,75 kN.m 
 
Lx = 2,55 m
L y
 
=
 
4,
05
 
m
 L 5
h = 9 Ly/Lx = 1,59
CASO 3
 
Mx = µx.p.Lx2/100 = 4,98.5,26.2,552/100 = 1,70 kN.m 
 
My = µy.p.Lx2/100 = 2,06.5,26.2,552/100 = 0,71 kN.m 
 
Xx = µy’.p.Lx2/100 = 10,8.5,26.2,552/100 = 3,69 kN.m 
 
Xy = µy’.p.Lx2/100 = 8,11.5,26.2,552/100 = 2,77 kN.m 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
103 
Correção dos momentos negativos 
 
No eixo dos apoios entre duas lajes, simplificadamente pode-se adotar o maior 
valor entre a média e 0,80 (80%) do maior momento negativo, ou seja: 
 
M- = X = [ (X1+X2) / 2 ; 0,8.Xmaior ] 
 
Onde X é o momento negativo adotado; 
X1, X2 são os momentos negativos das lajes calculadas como isoladas; 
Xmaior é o maior valor absoluto entre X1 e X2. 
 
 
 
 
 
Correção dos momentos positivos 
 
Como o momento negativo foi modificado, o momento positivo pode necessitar 
também de um acréscimo. O momento corrigido é obtido pela soma do momento 
obtido da tabela com as diferenças consideradas na compatibilização dos 
momentos negativos nos apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X2 
X1 
X* X* 
M1 
M2’ = M2 +[(X2-X1)+(X3-X4)]/2 
M2 
M1’ < M1 
X3 
X4 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
104 
8. ARMADURA NEGATIVA 
 
Detalhamento das armaduras 
 
1. Lajes em balanço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Armadura negativa entre as lajes 
 
Lm é o maior entre os menores vãos das lajes contiguas 
Lm = Lx7 > Lx8 = 273 > 253 
O comprimento da armadura deve ter 0,25 do valor de Lm para cada laje. 
Podendo ser alternado, como mostra a figura, com 0,25.Lm para um lado e 0,125.Lm para o 
outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lbal Lbal 
Lbal/2 Lbal/2 
N6 - 12φ 6,3 – c.28 - 252 
118 
59 59 
118 8
 
8 
N7 - 12φ 6,3 – c.28 - 134 L 15 L 16 
110 
N6 – 15 φ 6,3 – c.16 - 118 
34 
34 68 
68 8
 
8 L 7 L 8 
328 253
8 
23
8 
27
3 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
105 
4. Dimensionamento para as armaduraspositivas 
 
bw = 100 cm 
d = h – (c + φ/2) 
Md = γf.Mk 
 
Posição da linha neutra: 
 






−−=
cdw
d
fdb
Mdx
...425,0
11..25,1 2 
 
Armadura: 
( )xdf
M
A
yd
d
s
.4,0. −
= 
 
Armadura mínima (AÇO CA-50): 
 As,mín = 0,15%.bw.h = 0,15.bw (Laje armada numa só direção) [≥ 0,9 cm2/m] 
 As,mín = 0,10%.bw.h = 0,10.bw (Laje armada nas duas direções) [≥ 0,9 cm2/m] 
 
Espaçamentos máximos: 
 s máx = 2.h ≤ 20 cm para a armadura principal, e 
 
 s máx ≤ 30 cm para a armadura secundária 
 
Cálculo do espaçamento: 
 
 s = as / As [em m] 
 
Bitolas para lajes (preferência pelo CA-60): 
 
 4,2 ≥ φ ≥ h / 8 
 
Aço CA - 60 Aço CA - 50 
φ as Peso/m φ as Peso/m 
4,2 0,14 0,109 6,3 0,315 0,245 
4,6 0,17 0,130 8 0,50 0,395 
5,0 0,20 0,154 10 0,80 0,617 
6,0 0,28 0,222 12,5 1,25 0,963 
 
 
bw = 100 cm 
h 
s s As 
φ 
c 
d 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
106 
4.1 Momento correspondente à armadura mínima Mk = Md/γc e Md=As.fyd.(d-0,4.x) 
 
4.1.1 Nas lajes armadas em uma só direção: [Exemplo: h = 9 cm] 
 
As,mín = 0,15%.bw.h = 0,15.h (Laje armada numa só direção) [≥ 0,9 cm2/m] 
 
As,mín = 0,15%.bw.h = 0,15.9 = 1,35 cm2/m 
 
Espaçamento máximo: s ≤ 2.h ou 20 cm → s ≤ 2.9 = 18 cm 
 
Como As = 100.as / s → s = 100.as/As 
 
Neste caso, para um concreto C-20, são possíveis as seguintes opções: 
 
CA-60 CA-50 
φ 
[mm] 
s 
[cm] 
As 
[cm2/m] 
Mk 
[kN.cm] 
φ 
[cm] 
s 
[cm] 
As 
[cm2/m] 
Mk 
[kN.cm] 
4,2 10 1,40 391 6,3 18 1,75 401 
4,6 12 1,42 394 8 18 2,78 603 
5,0 14 1,43 396 10 18 4,44 925 
6,0 18 1,56 427 12,5 - - - 
 
4.1.2. Nas lajes armadas nas duas direções: 
 
As,mín = 0,10%.bw.h = 0,10.bw (Laje armada nas duas direções) [≥ 0,9 cm2/m] 
 
As,mín = 0,10%.bw.h = 0,10.9 = 0,90 cm2/m 
 
Neste caso, para um concreto C-20, são possíveis as seguintes opções: 
 
CA-60 CA-50 
φ 
[mm] 
s 
[cm] 
As 
[cm2/m] 
Mk 
[kN.cm] 
φ 
[mm] 
s 
[cm] 
As 
[cm2/m] 
Mk 
[kN.cm] 
4,2 15 0,93 264 6,3 18 1,75 401 
4,6 18 0,94 266 8 18 2,78 613 
5,0 18 1,11 315 10 18 4,44 925 
6,0 18 1,56 427 12,5 - - - 
 
5. Elementos para o detalhamento das barras da armadura 
 
Armadura postiva 
Vinculação Comprimento das barras 
Apoio-apoio C = 0,85.L 
Apoio-engaste C = 0,80.L 
Engaste-engaste C = 0,75.L 
 
Armadura negativa: Sendo Lm o maior entre os menores vãos das lajes 
 
Armadura negativa alternada C = 0,375.Lm → Sendo de um lado (0,125.Lm) e 0,25.Lm 
 do outro lado, alternadamente. 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
107 
6. ARMADURA POSITIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 1 L 2 
L 3 
L 5 
L 4 
L 6 
N 1 – 14 φ 4,6 c.25 
N 4 – 14 φ 4,6 c.15 - 220 
N 6 – 14 φ 4,6 c.25 - 380 
N 3 – 14 φ 4,6 c.15 - 135 
N 10 – 14 φ 4,6 c.25 - 380 
N 8 – 14 φ 4,6 c.15 
380 
380 
220 
220 
135 
560 
31
0 
 
31
0 
 
37
5 
 
23
0 
 
40
5 
22
0 
 
N
5 
–
 
10
 
φ c
.
25
 
-
37
5 
 
N
7 
–
 
10
 
φ c
.
16
 
-
22
0 
 
N
9 
–
 
10
 
φ 4
,
6c
.
25
 
 
N
11
 
–
 
10
 
φ 
4,
6 
c.
14
 
 
N
2 
–
 
10
 
φ 5
,
0 
-
 
c.
12
 
N
2 
–
 
10
 
φ 4
,
6 
c.
25
 
 
 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
108 
7. MOMENTOS NEGATIVOS ENTRE AS LAJES 
 
X < (X1+X2) /2 
 0,8.Xmaior 
 
L 1 L 2 3,1
 
(Xy1 + Xx2)/2 = (0 + 0,87)/2 = 0,44 kN.m 
 
0,8.Xmaior = 0,8.0,87 = 0,70 kN.m 
 
L 1 L 3 2,8
 
(Xx1 + Xy3)/2 = (0 + 2,70 )/2 = 1,35 kN.m 
 
0,8.Xmaior = 0,8.2,70 = 2,16 kN.m 
 
L 3 L 4 2,8
 
(Xx3 + Xy4)/2 = (3,19 + 2,75 )/2 = 2,97 kN.m 
 
0,8.Xmaior = 0,8.3,19 = 2,55 kN.m 
 
L 4 L 5 2,9
 
(Xy4 + Xx5)/2 = (2,75 + 3,69 )/2 = 3,22 kN.m 
 
0,8.Xmaior = 0,8.3,69 = 2,95 kN.m 
 
L 3 L 5 2,55
 
(Xy3 + Xy5)/2 = (2,77 + 2,70 )/2 = 2,74 kN.m 
 
0,8.Xmaior = 0,8.2,77 = 2,22 kN.m 
 
Momentos negativos para o dimensionamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 1 
L 3 
L 4 
L 5 
L 6 
0,
7 
kN
.
m
 
2,
97
 
kN
.
m
 
2,
95
 
kN
.
m
 
2,16 kN.m 
2,74 kN.m 
 ? kN.m 
L 2 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
109 
8. ARMADURA NEGATIVA 
 
 
 
 
L 1 L 2 
L 3 
L 5 
L 4 
L 6 
N12 – 24 φ 6,3 – c. 12 - 154 
N
12
 
–
 
29
φ 6
,
3 
–
 
c.
13
 
-
 
11
6 
N15 – 19 φ 6,3 – c. 14 - 116 
N14 – 24 φ 6,3 – c. 12 - 110 
70 70 
32 
64 
64 
74
 
37
 
37
 
74
 
N14 – 24 φ 6,3 – c. 12 - 110 
N
14
 
–
 
20
 
φ 6
,
3 
–
 
c.
12
 
-
 
11
0 
32 7 
7 
64 
68 
68
 
N
13
 
-
 
32
φ 6
,
3 
–
 
c.
12
 
-
 
12
5 
7 
7 
7 
32 
68 34 
34
 
34 
7 
32 64 
7 
64
 
68
 
64
 
7 
7 
7 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
110 
13.2.4 Lajes 
 
13.2.4.1 Lajes maciças 
 
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a 
espessura : 
 
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
 
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
 
c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 
kN; 
 
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
 
e) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, L/42 para lajes de piso 
biapoiadas e L/50 para lajes de piso contínuas; 
 
 f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. 
 
13.2.4.2 Lajes nervuradas 
 
A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve 
ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm. 
 
O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas de 
diâmetro máximo 12,5 mm. 
 
A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm. 
 
Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de 
compressão. 
 
Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições: 
 
a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 
cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação 
do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios 
de laje; 
 
b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, 
exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao 
cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o 
espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das 
nervuras for maior que 12 cm; 
 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
111 
c) para lajesnervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 
110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de 
vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. 
 
13.2.5 Furos e aberturas 
 
Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais seu efeito na 
resistência e na deformação deve ser verificado e não devem ser ultrapassados os 
limites previstos nesta Norma, obedecido o disposto em 21.3. 
 
De maneira geral os furos têm dimensões pequenas em relação ao elemento 
estrutural enquanto as aberturas não. Um conjunto de furos muito próximos deve 
ser tratado como uma abertura. 
 
 
13.2.5.2 Aberturas que atravessam lajes na direção de sua espessura 
 
Em lajes lisas ou lajes cogumelo a verificação de resistência e deformação 
previstas em 13.2.5 deve sempre ser realizada. 
 
Outros tipos de laje podem ser dispensadas dessa verificação, devendo ser 
armadas em duas direções e verificadas, simultaneamente, as seguintes 
condições: 
 
a) as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão 
menor (Lx) (ver figura 13.1); 
 
b) a distância entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser 
igual ou menor que 1/4 do vão, na direção considerada; e 
 
c) a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade 
do menor vão. 
 
 
Figura 13.1 - Dimensões limites para aberturas de lajes com dispensa de verificação 
 
 ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem. 2012/1 
 
 
112 
19.4 Força cortante em lajes e elementos lineares com bw ≥≥≥≥ 5d 
 
19.4.1 Lajes sem armadura para força cortante 
 
As lajes maciças ou nervuradas, conforme 17.4.1.1.2-b), podem prescindir de armadura 
transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força 
cortante de cálculo obedecer à expressão: 
 
VSd ≤ VRd1 
 
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: 
 
VRd1 = [τRd k (1,2+40 ρ1) + 0,15 σcp ].bwd 
onde: 
τRd = 0,25.fctd 
fctd = fctk,inf/γc 
ρ1 = As1/bwd , não maior que | 0,02| 
σcp = NSd / Ac 
k é o coeficiente que tem os seguintes valores: 
 
para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio k=| 1 |; 
 
para os demais casos: k = | 1,6 – d |, não menor que | 1 | , com d em metros; 
 
τRd é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento; 
 
As1 é a armadura de tração que se estende até não menos que d + Lb,nec além da 
seção considerada; com Lb,nec definido em 9.4.2.5 e figura 19.1 
 
bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d; 
 
NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão 
positiva). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19.1 – Comprimento de ancoragem necessário 
 
Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalhamento a resistência de 
cálculo VRd2 é dada por: 
 
 VRd2 = 0,5.αv1 fcd bw 0,9d 
 
onde: αv1 = (0,7 – fck/200) , não menor que 0,5 
 
A distribuição dessa armadura ao longo da laje deve respeitar o prescrito em 18.3.2.3.1, 
considerando para a o valor 1,5d. 
VSd 
Lb,nec 
Lb,nec 
45º
 
VSd 
45º
 
ASL ASL 
Seção considerada 
Lb,nec 
45º

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