Derivada II

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Anotac¸o˜es sobre Derivadas
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
22 de julho de 2012
1
Suma´rio
1 Derivadas 3
1.1 Notac¸o˜es para derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Notac¸a˜o de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Notac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Notac¸a˜o de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Notac¸a˜o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Algumas equac¸o˜es diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Func¸o˜es convexas e coˆncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Ponto de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Desigualdade das me´dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Aproximac¸o˜es sucessivas e me´todo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
Cap´ıtulo 1
Derivadas
1.1 Notac¸o˜es para derivada
1.1.1 Notac¸a˜o de Leibniz
A notac¸a˜o de Leibniz para derivada de f e´
df
dx
,
aplicando a derivada num ponto a temos as notac¸o˜es
df(a)
dx
=
df
dx
.
A notac¸a˜o para n-e´sima derivada e´
dnf(a)
dxn
.
1.1.2 Notac¸a˜o de Euler
A notac¸a˜o de Euler para derivada e´
Df(x)
e para n-e´sima derivada
Dnf(x).
Essa notac¸a˜o e´ usada para enfatizar o fato da derivada ser um operador e tem aplicac¸a˜o
no estudo de equac¸o˜es diferenciais.
3
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 4
1.1.3 Notac¸a˜o de Newton
A notac¸a˜o de Newton para derivada e´
f˙
e para segunda derivada
f¨ .
Essa notac¸a˜o costuma ser usada apenas para primeira e segunda derivada e usada em
f´ısica.
1.1.4 Notac¸a˜o de Lagrange
A notac¸a˜o de Lagrange usa o apo´strofo para simbolizar a derivada
f ′
e´ uma das notac¸o˜es mais usadas. Ate´ a terceira derivada denotamos como
f ′′, f ′′′
a partir de n = 4, denotamos
f (n)
na˜o confundir com a notac¸a˜o de n -e´sima composic¸a˜o de func¸o˜es que e´ fn.
1.2 Algumas equac¸o˜es diferenciais
Propriedade 1. Seja f : R → R deriva´vel em R, tal que f ′(x) = af(x) enta˜o vale
f(x) = keax para alguma constante k ∈ R.
Demonstrac¸a˜o.
Consideramos a derivada da func¸a˜o de lei g(x) =
f(x)
eax
da´ı
g′(x) =
f ′(x)eax − f(x).aeax
e2ax
=
f(x)aeax − f(x).aeax
e2ax
= 0
logo existe k tal que
f(x) = keax.
A constante k pode ser encontrada por meio de uma condic¸a˜o inicial.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 5
Corola´rio 1. Se for dada a condic¸a˜o inicial f(x0) = c enta˜o f(x0) = ke
ax0 = c ⇒ k =
ce−ax0 ⇒ f(x) = cea(x−x0).
Propriedade 2. Sejam f e g duas func¸o˜es de R em R deriva´veis, satisfazendo f(0) = 0
, g(0) = 1 e
f ′(x) = g(x)
g′(x) = −f(x)
enta˜o f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x)∀x.
Demonstrac¸a˜o.
Considere a func¸a˜o definida de R em R com lei
h(x) = (f(x)− sen(x))2 + (g(x)− cos(x))2
vamos mostrar que tal func¸a˜o e´ identicamente nula. Primeiro, vale que
h(0) = (f(0)− sen(0)︸ ︷︷ ︸
0−0
)2 + (g(0)− cos(0)︸ ︷︷ ︸
1−1
)2 = 0.
Agora derivamos a func¸a˜o
h′(x) = 2(f ′(x)− cos(x))(f(x)− sen(x)) + 2(g′(x) + sen(x))(g(x)− cos(x))
substituindo as condic¸o˜es f ′(x) = g(x) e g′(x) = −f(x) segue
h′(x) = 2(g(x)− cos(x))(f(x)− sen(x)︸ ︷︷ ︸
A
) + 2(−f(x) + sen(x)︸ ︷︷ ︸
−A
)(g(x)− cos(x)) = 0
logo h(x) e´ constante, devendo ser 0 que implica f(x) = sen(x), g(x) = cos(x).
Propriedade 3. Seja f : R→ R duas vezes deriva´vel, tal que para todo x vale f ′′(x) =
−a2f(x), para algum a 6= 0 ∈ R, enta˜o existem constantes c1, c2 ∈ R tal que
f(x) = c1cos(ax) + c2sen(ax).
Demonstrac¸a˜o. Vale que
[f ′(x)sen(ax)− f(x)acos(ax)]′ = 0
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 6
pois
f ′′(x)︸ ︷︷ ︸
−a2f(x)
sen(ax) + f ′(x).a.cos(ax)− f ′(x)acos(ax) + f(x).a2.sen(ax) = 0
logo f ′(x)sen(ax)− f(x)acos(ax) = c onde c e´ uma constante.
Vamos mostrar agora que existe uma constante c1 tal que a derivada de
f(x)− c1.cos(ax)
sen(ax)
e´ nula, para isso vamos demonstrar que a expressa˜o no numerador da derivada se anula
para um certo valor de c1
[f ′(x) + c1.a.sen(ax)]sen(ax)− [f(x)− c1.cos(ax)]a.cos(ax) =
= f ′(x)sen(ax) + c1.a.sen2(ax)− f(x)a.cos(ax) + c1.a.cos2(ax) =
= f ′(x)sen(ax)− f(x)a.cos(ax)︸ ︷︷ ︸
c
+c1.a.sen
2(ax) + c1.a.cos
2(ax) = c+ c1.a
da´ı basta tomar c1 =
−c
a
. Disso conclu´ımos que existe uma constante c2 tal que
f(x) = c1cos(ax) + c2sen(ax).
Propriedade 4. Seja f : R→ R duas vezes deriva´vel, tal que para todo x vale f ′′(x) =
a2f(x), para algum a 6= 0 ∈ R, enta˜o existem constantes c1, c2 ∈ R tal que
f(x) = c1e
ax + c2e
−ax.
Demonstrac¸a˜o. Vale que eax[f ′(x)− af(x)] e´ constante, pois derivando
aeax[f ′(x)− af(x)] + eax[f ′′(x)− af ′(x)] = aeax[f ′(x)− af(x)] + eaxa[af(x)− f ′(x)] = 0
da´ı eax[f ′(x) − af(x)] = c. Agora vamos mostrar que existe uma constante c2 tal que
f(x)− c2e−ax
eax
e´ constante , por isso a derivada de tal expressa˜o deve ser nula, sendo o
numerador nulo
(f ′(x) + a.c2e−ax)(eax)− (f(x)− c2e−ax)aeax =
[f ′(x)− af(x)]eax︸ ︷︷ ︸
=c
+ac2 + ac2
da´ı basta tomar c2 =
−c
2a
o que implica que
f(x) = c1e
ax + c2e
−ax
e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial f ′′(x) = a2f(x).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 7
Propriedade 5. Seja f : R → R k vezes deriva´vel tal que f(tx) = tkf(x)∀ t, x ∈ R.
Nessas condic¸o˜es temos f(x) =
Dkf(0)
k!
xk = cxk.
Demonstrac¸a˜o. Aplicamos
Dk
k!
na identidade f(tx) = tkf(x) , isto e´, derivamos k
vezes em relac¸a˜o a` t , aplicando a regra da cadeia.
Usamos que Dkf(tx) = xkf (k)(tx) e
Dk
k!
tkf(x) = f(x) logo
xk
k!
f (k)(tx) = f(x)
tomando t = 0 tem-se
xk
k!
f (k)(0) = f(x).
Em especial se k = 1, f(x) = x.f ′(0) = c.x.
1.3 Func¸o˜es convexas e coˆncavas
Definic¸a˜o 1 (Secante). Sejam uma func¸a˜o f : A → R, a, b ∈ A o segmento que liga os
pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) e´ chamado a secante ab.
Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o convexa). f : I → R e´ dita convexa quando
f(x) ≤ f(a) + f(b)− f(a)
b− a (x− a) ∀ x ∈ [a, b] = I.
Se a func¸a˜o e´ convexa dizemos que ela tem concavidade voltada para cima.
Em uma func¸a˜o convexa, todos os pontos de um intervalo [a, b] esta˜o abaixo das
secantes que ligam os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Corola´rio 2. Uma func¸a˜o convexa em I = [a, b] e´ limitada pois
|f(x)| ≤ |f(a)|+ |f(b)− f(a)||b− a| (|x−a|) ≤ |f(a)|+
|f(b)− f(a)|
|b− a| (|b−a|) = |f(a)|+|f(b)−f(a)|.
Definic¸a˜o 3 (Func¸a˜o coˆncava). f e´ dita coˆncava quando −f e´ convexa. Se a func¸a˜o e´
coˆncava dizemos que ela tem concavidade voltada para baixo.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 8
Propriedade 6 (Desigualdades fundamentais). f e´ convexa em I ⇔
f(x)− f(a)
x− a ≤
f(b)− f(a)
b− a ≤
f(x)− f(b)
x− b
com x ∈ [a, b].
Demonstrac¸a˜o. ⇒ .) Se f e´ convexa enta˜o vale f(x) ≤ f(a) + f(b)− f(a)
b− a (x − a)
com x > a tem-se
f(x)− f(a)
x− a ≤
f(b)− f(a)
b− a
da mesma forma f(x) ≤ f(b) + f(b)− f(a)
b− a (x− b) com x < b da´ı x− b < 0 e
f(x)− f(b)
x− b ≥
f(b)− f(a)
b− a
da´ı segue que
f(x)− f(a)
x− a ≤
f(b)− f(a)
b− a ≤
f(x)− f(b)
x− b .
⇐). Se ambas desigualdades sa˜o va´lidas enta˜o vale que a func¸a˜o e´ convexa, basta
partir da desigualdade de maneira similar a que foi feita acima.
Exemplo 1. As func¸a˜o afim, da forma f(x) = ax + b sa˜o coˆncavas e convexas, pois
f(x)− f(y)
x− y = a, logo na desigualdade fundamental ficamos com a ≤ a ≤ a que e´
uma desigualdade que se verifica, portanto f e´ convexa, como −f e´ tambe´m e´ convexa,
conclu´ımos que f tambe´m e´ coˆncava.
Exemplo 2. f : R→ R com f(x) = ax2 + bx+ c e´ convexa se a > 0 e coˆncavase a < 0.
Vale que
f(y)− f(x)
y − x =
a(y − x)2 + b(y − x)
y − x = a(y + x) + b.
Enta˜o dado x ∈ [a1, a2], f e´ convexa ⇔
f(x)− f(a1)
x− a1 ≤
f(a2)− f(a1)
a2 − a1 ≤
f(x)− f(a2)
x− a2
no caso para ser convexa deveria valer
a(x+ a1) + b ≤ a(a2 + a1) + b ≤ a(x+ a1) + b⇔ a(x+ a1) ≤ a(a2 + a1) ≤ a(x+ a2)
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 9
como a1 ≤ x e x ≤ a2 somando a2 na primeira desigualdade e a1 na segunda desigualdade
e multiplicando por a > 0 segue que a(x + a1) ≤ a(a2 + a1) ≤ a(x + a2), logo a func¸a˜o
e´ convexa. Portanto se a > 0 a func¸a˜o tem concavidade voltada para cima e se a < 0 a
func¸a˜o tem concavidade voltada para baixo.
Propriedade 7. Um ponto de x ∈ [a, b] arbitra´rio se exprime de maneira u´nica como
x = (1− t)︸ ︷︷ ︸
t1
a+ t︸︷︷︸
t2
b = t1.a+ t2.b
onde 0 ≤ t ≤ 1.
Demonstrac¸a˜o. f : [0, 1] → R com f(t) = (1 − t)a + tb e´ cont´ınua com f(1) = b e
f(0) = a, da´ı por continuidade para qualquer y ∈ [a, b] existe x ∈ [0, 1] tal que f(x) = y.
Ale´m disso cada y ∈ [a, b] se escreve de maneira u´nica, pois se houvesse duas maneiras
distintas, enta˜o
x = (1− t1)a+ t1b = (1− t2)a+ t2b⇒ a(t2 − t− 1) = (t2 − t1)b⇒ a = b
logo o intervalo seria degenerado.
Vale ainda que a ≤ (1 − t)a + tb ≤ b, se t = 1 ela se verifica se t < 1 enta˜o de a ≤ b
temos
(1− t)a ≤ (1− t)b⇒ (1− t)a+ tb ≤ b
da mesma forma de a ≤ b temos ta ≤ tb portanto 0 ≤ −ta+ tb⇒ a ≤ (1− t)a+ tb.
Propriedade 8. f : I → R e´ convexa ⇔ a, b ∈ I, t ∈ [0, 1], tomando t1 = t e t2 = 1− t
tem-se
f(t1a+ t2b) ≤ t1f(a) + t2f(b).
Demonstrac¸a˜o. Provamos que qualquer x entre a e b se escreve como x = (1−t)a+tb,
da´ı x− a = t(b− a)⇒ x− a
b− a = t usamos agora a definic¸a˜o de func¸a˜o convexa
f(x) ≤ f(a) + f(b)− f(a)
b− a (x− a)
f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a) = f(a) + [f(b)− f(a)]t = tf(b) + f(a)(1− t) = t1f(a) + t2f(b)
portanto
f(t1a+ t2b) ≤ t1f(a) + t2f(b).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 10
Propriedade 9. Se f : I → R e´ convexa enta˜o existem os limites laterais f ′+(c) e f ′−(c)
em c ∈ int(I).
Demonstrac¸a˜o. Definimos g : J → R onde J = (c,∞) ∩ I com gc(x) = f(x)− f(c)
x− c
pela desigualdade fundamental vale
f(x)− f(c)
x− c ≤
f(y)− f(c)
y − c
isto e´ gc(x) ≤ gc(y) com c < x < y, portanto gc e´ na˜o-decrescente em J . Como c ∈ int(I)
enta˜o existe a ∈ I com a < c e pela desigualdade fundamental
f(a)− f(c)
a− c ≤
f(x)− f(c)
x− c = gc(x)
logo gc e´ limitada inferiormente, portanto possui o limite a` direita
f ′+ = lim
x→c+
gc(x).
Da mesma maneira gc e´ limitada superiormente portanto existe o limite a` esquerda, sendo
b o extremo do intervalo I, tem-se pela desigualdade fundamental
f(x)− f(c)
x− c ≤
f(b)− f(c)
b− c .
Corola´rio 3. Como existem as derivadas laterais enta˜o uma func¸a˜o convexa e´ cont´ınua
no interior de I.
Propriedade 10. Seja f : I → R deriva´vel em I. Sa˜o equivalentes
1. f e´ convexa.
2. f ′ e´ na˜o-decrescente.
3. ∀ a, x ∈ I temos
f(x) ≥ f(a) + f ′(a)(x− a),
isto e´, o gra´fico de f esta´ situado acima de suas tangentes.
Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 11
ˆ (1)⇒ (2). Supondo f convexa valem as desigualdades fundamentais
f(x)− f(a)
x− a ≤
f(b)− f(a)
b− a ≤
f(x)− f(b)
x− b
com a < x < b, tomando x→ a+ no termo da extrema esquerda e x→ b− no termo
da extrema direita, segue que
f ′(a) = f ′+(a) ≤ f ′−(b) = f ′(b)
pois f e´ deriva´vel, logo a < b⇒ f ′(a) ≤ f ′(b) portanto f ′ e´ na˜o decrescente.
ˆ (2) ⇒ (3). Supondo a < x, pelo TVM existe z ∈ (a, x) tal que f(x) = f(a) +
f ′(z)(x− a). Pelo fato de f ′ ser na˜o-decrescente tem-se que f ′(z) ≥ f ′(a) da´ı
f(x) ≥ f(a) + f ′(a)(x− a)
.
Caso x < a, pelo TVM existe z ∈ (x, a) tal que
f(a) = f(x) + f ′(z)(a− x)⇒ f(a) + f ′(z)(x− a) = f(x)
como f ′ e´ na˜o-decrescente vale f ′(z) < f ′(a) portanto
f(a) + f ′(a)(x− a) ≤ f(x).
Caso x = a vale a igualdade, assim ficam provados todos os casos, a desigualdade
vale em geral.
ˆ (3) ⇒ (1). Sejam a < c < b. Definimos a(x) = f(c) + f ′(c)(x − c), H = {(x, y) ∈
R2 | y ≥ a(x)} o semiplano superior determinado por a(x) que e´ tangente ao gra´fico
de f em (c, f(c)).
H e´ um subconjunto convexo do plano, qualquer segmento de reta que liga dois
pontos de H esta´ contido em H. (a, f(a)) e (b, f(b)) ∈ H e o ponto desse segmento
que possui abscissa c tambe´m, logo f(c) ≤ f(a)+ f(b)− f(a)
b− a (c− a) com a < c < b
arbitra´rios, disso segue que f e´ convexa.
Corola´rio 4. Todo ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o convexa e´ um ponto de mı´nimo absoluto
.
Sendo a o ponto cr´ıtico tem-se f ′(a) = 0, usando que f(x) ≥ f(a)+f ′(a)(x−a) tem-se
f(x) ≥ f(a) ∀x, logo a e´ ponto de mı´nimo absoluto.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 12
Corola´rio 5. Uma func¸a˜o f : I → R duas vezes deriva´vel e´ convexa ⇔ f ′′(x) ≥ 0 pois
isso equivale a dizer que f ′ e´ na˜o-decrescente.
Exemplo 3. A func¸a˜o com f(x) = ax2, a > 0 e´ convexa pois f ′′(x) = a > 0.
Exemplo 4. As func¸o˜es de lei f(x) = ax+ b sa˜o convexas, pois f ′′(x) = 0.
Exemplo 5. A func¸a˜o de lei f(x) = ex e´ convexa pois f ′′(x) = ex > 0.
Propriedade 11. f : I → R e´ convexa ⇔ para quaisquer (ak)n1 e (tk)n1 em [0, 1] com
n∑
k=1
tk = 1 enta˜o
f(
n∑
k=1
tkak) ≤
n∑
k=1
tkf(ak).
Demonstrac¸a˜o.
Provamos por induc¸a˜o sobre n, se n = 1 ja´ provamos. Suponha a validade para n ,
vamos provar para n+ 1, escrevemos
n+1∑
k=1
tkak = t1a1 + t2a2 +
n+1∑
k=3
tkak = (t1 + t2)(
t1a1 + t2a2
t1 + t2
) +
n+1∑
k=3
tkak
que interpretamos como uma soma com n termos e vale1
t1a1 + t2a2
t1 + t2
∈ I, aplicamos o
resultado va´lido para n termos
f((t1 + t2)(
t1a1 + t2a2
t1 + t2
) +
n+1∑
k=3
tkak) ≤ (t1 + t2)f(t1a1 + t2a2
t1 + t2
) +
n+1∑
k=3
tkf(ak)
aplicamos novamente desigualdade agora com o primeiro termo
≤ t1f(α1) + t2f(α2) +
n+1∑
k=3
tkf(ak) =
n+1∑
k=1
tkf(ak)
logo fica provada a desigualdade (consideramos t1 + t2 6= 0, podemos sempre arranjar
coeficientes com essa propriedade, a menos de mudanc¸a de nome, pois se t1 + tk = 0 para
todo k 6= 1, enta˜o t1 6= 0 e podemos tomar dois ı´ndices distintos com valor −t1 no lugar
de t1 + t2 e aplicar o mesmo procedimento).
1 pois
a < ak < b⇒ tka < tkak < tkb⇒
n∑
k=1
tka <
n∑
k=1
tkak <
n∑
k=1
tkb⇒ a <
n∑
k=1
tkak
n∑
k=1
tk
< b
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 13
Definic¸a˜o 4 (Func¸o˜es estritamente convexas- coˆncavas). Definir
Definic¸a˜o 5 (Func¸o˜es fortemente convexas- coˆncavas). Uma func¸a˜o f : I → R duas vezes
deriva´vel em I e´ fortemente convexa ⇔ f ′′(x) > 0 ∀x ∈ I.
Propriedade 12. Sejam g : R → R crescente convexa e f : R → R convexa, enta˜o
g ◦ f : R→ R e´ convexa.
Demonstrac¸a˜o. Temos que mostrar que
g(f(tx+ (1− t)y)) ≤ tg(f(x)) + (1− t)g(f(y)).
Por convexidade de f temos
f(tx+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y)
como g e´ crescente ela preserva a desigualdade, enta˜o
g(f(tx+ (1− t)y)) ≤ g(tf(x) + (1− t)f(y))
agora usamos o fato de g ser convexa
g(tf(x) + (1− t)f(y)) ≤ tg(f(x)) + (1− t)g(f(y))
disso segue o que quer´ıamos demonstrar utilizando as duas desigualdades
g(f(tx+ (1− t)y)) ≤ tg(f(x)) + (1− t)g(f(y)).
1.3.1 Ponto de inflexa˜o
Definic¸a˜o 6 (Ponto de inflexa˜o). Seja f : I → R . Um ponto de c e´ de inflexa˜o se existe
r > 0 tal que uma das condic¸o˜es ocorre
ˆ f e´ coˆncava em (c− r, c) e convexa em (c, c+ r).
ˆ f e´ convexa em (c− r, c) e coˆncava em (c, c+ r).
Um ponto de inflexa˜o e´ um ponto onde a func¸a˜o muda de curvatura, passando de
coˆncava para convexa ou de convexa para coˆncava.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 14
Definic¸a˜o 7 (Ponto de inflexa˜o forte). Seja f : I → R duas vezes deriva´vel no intervalo
aberto I. Um ponto de c e´ de inflexa˜o forte se existe r > 0 tal que uma das condic¸o˜es
ocorre
ˆ f e´ fortemente coˆncava em (c− r, c) e fortemente convexa em (c, c+ r).ˆ f e´ fortemente convexa em (c− r, c) e fortemente coˆncava em (c, c+ r).
Um ponto de inflexa˜o e´ um ponto onde a func¸a˜o muda de curvatura, passando de
coˆncava para convexa ou de convexa para coˆncava.
Propriedade 13. Seja f : (a, b) → R duas vezes deriva´vel, se existe r > 0 tal que
f ′′(x) > 0 (ou f ′′(x) > 0) em (c− r, r) e f ′′(x) < 0 (ou f ′′(x) > 0) em (c, c+ r) enta˜o c e´
ponto de inflexa˜o.
Demonstrac¸a˜o. f e´ coˆncava em (c, c+ r) e convexa em (c− r, r), portanto c e´ ponto
de inflexa˜o.
Propriedade 14. Seja f : I → R. Se (c, f(c)) e´ ponto de inflexa˜o de f e f ′′ existe em I
sendo cont´ınua em c enta˜o f ′′(c) = 0
Demonstrac¸a˜o. Se fosse f ′(c) 6= 0 enta˜o por continuidade de f ′′(c) existiria r tal
que em (c− r, c + r) ter´ıamos f ′′(c) com mesmo sinal de f ′′(c) logo c na˜o seria ponto de
inflexa˜o.
Exemplo 6. Pode valer f ′′(c) = 0 pore´m c na˜o ser ponto de inflexa˜o, como no caso de
c = 0 com a func¸a˜o f(x) = x4.
Propriedade 15. Seja f : I → R. Se (c, f(c)) e´ ponto de inflexa˜o forte de f e f ′′ existe
em I enta˜o f ′′(c) = 0
Demonstrac¸a˜o. Suponha sem perda de generalidade que [a, b] ⊂ (c − r, c + r),
a ∈ (c − r, r) , b ∈ (c, c + r), com f ′′(x) > 0 em (c, c + r) e f ′′(x) < 0 em (c − r, c),
portanto vale que f ′′(a) < 0 e f ′′(b) > 0 por Teorema de Darboux para f ′(x) segue que
existe t ∈ (a, b) tal que f ′′(t) = 0.
t na˜o pode pertencer ao intervalo (c − r, c) nem ao intervalo (c, c + r) como t ∈
(c− r, c+ r) segue obrigatoriamente que t = c.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 15
Exemplo 7. Estude a concavidade da func¸a˜o real f(x) =
x2
1 + x2
. Calculamos a primeira
derivada f ′(x) =
2x
(1 + x2)2
e a segunda f ′′(x) =
2− 6x2
(x2 + 1)3
. Os pontos de inflexa˜o sa˜o as
ra´ızes de 2 − 6x2, que sa˜o ±
√
3
3
, pois na vizinhanc¸a de tais pontos a segunda derivada
muda de sinal.
Propriedade 16. Sejam f : I → R treˆs vezes deriva´vel no aberto I, p ∈ I. Suponha que
f ′′(p) = 0 e f ′′′(p) 6= 0 enta˜o p e´ ponto de inflexa˜o.
Demonstrac¸a˜o. Supondo f ′′′(p) > 0 enta˜o
lim
x→p
f ′′(x)− f ′′(p)
x− p = limx→p
f ′′(x)
x− p = f
′′′(p) > 0
estudamos os limites laterais
lim
x→p+
f ′′(x)
x− p︸ ︷︷ ︸
+
= f ′′′(p) > 0
logo f ′′(x) > 0 em algum intervalo (p, p+ r), da mesma forma
lim
x→p−
f ′′(x)
x− p︸ ︷︷ ︸
−
= f ′′′(p) > 0
logo f ′′(x) < 0 em algum intervalo (p− r, p) por isso f possui ponto de inflexa˜o em p.
1.3.2 Desigualdade das me´dias
Corola´rio 6. f(x) = ex e´ convexa, tomamos tk =
1
n
, ak = ln(xk), vale que
f(
n∑
k=1
tkak) ≤
n∑
k=1
tkf(ak)
e
n∑
k=1
1
n
ln(xk) ≤ 1
n
n∑
k=1
eln(xk) =
1
n
n∑
k=1
xk
e
n∑
k=1
ln(x
1
n
k )
=
n∏
k=1
eln(x
1
n
k ) =
n∏
k=1
(x
1
n
k ) ≤
1
n
n∑
k=1
xk.
Portanto vale a desigualdade das me´dias
n∏
k=1
(x
1
n
k ) ≤
1
n
n∑
k=1
xk.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 16
Propriedade 17. Sejam f : I → R e g : J → R convexas com f(I) ⊂ J e g na˜o-
decrescente. Nessas condic¸o˜es g ◦ f : I → R e´ convexa.
Demonstrac¸a˜o. Sejam t1, t2 tais que t1 + t2 = 1 como f e g sa˜o convexas enta˜o vale
f(t1.a1 + t2.a2) ≤ t1f(a1) + t2f(a2)
e
g(t1.y1 + t2.y2) ≤ t1g(y1) + t2g(y2)
a1, a2 ∈ I e y1, y2 ∈ J.
Pelo fato de g ser na˜o-decrescente ela preserva a desigualdade, enta˜o
g(f(t1.a1 + t2.a2)) ≤ g(t1 f(a1)︸ ︷︷ ︸
y1
+t2 f(a2)︸ ︷︷ ︸
y2
) = g(t1.y1 + t2.y2) ≤ t1g(y1) + t2g(y2)
logo
g(f(t1.a1 + t2.a2)) ≤ t1g(f(a1)) + t2g(f(a2))
logo g ◦ f e´ convexa.
Demonstrac¸a˜o.[2] Supondo f e g duas vezes deriva´veis vale g′′(x) ≥ 0, f ′′(x) ≥ 0 e
g′(y) ≥ 0 as duas primeiras por serem func¸o˜es convexas e a u´ltima desigualdade por g ser
na˜o-decrescente, enta˜o
(g ◦ f)(x)′ = f ′(x)g′(f(x)).
(g ◦ f)(x)′′ = f ′′(x)︸ ︷︷ ︸
≥0
g′(f(x))︸ ︷︷ ︸
≥0
+(f ′(x))2︸ ︷︷ ︸
≥0
g′′(f(x))︸ ︷︷ ︸
≥0
≥ 0
portanto g ◦ f e´ convexa.
Exemplo 8. Se g na˜o e´ mono´tona na˜o-decrescente, enta˜o g ◦ f pode na˜o ser convexa,
como por exemplo, tomando g(x) = −x que e´ convexa, f(x) = x2 da´ı g(f(x)) = −x2 que
na˜o e´ convexa.
Propriedade 18. Se f : I → R possui ponto cr´ıtico na˜o degenerado c ∈ int(I) e f ′′ e´
cont´ınua, enta˜o existe δ > 0 tal que f e´ convexa ou coˆncava em (c− δ, c+ δ).
Demonstrac¸a˜o. Se o ponto cr´ıtico c e´ na˜o degenerado enta˜o f ′′(c) > 0 ou f ′′(c) < 0
pela continuidade de f ′′ existe δ > 0 tal que x ∈ (c − δ, c + δ) implica f ′′(x) > 0 ou
f ′′(x) < 0, portanto f e´ convexa ou coˆncava em tal intervalo, respectivamente.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 17
Propriedade 19. A soma de func¸o˜es convexas e´ uma func¸a˜o convexa .
Demonstrac¸a˜o. Temos que mostrar que
(f + g)(t1a1 + t2a2) ≤ t1(f + g)(a1) + t2(f + g)(a2)
onde t1 + t2 = 1.
f(t1a1+t2a2)+g(t1a1+t2a2) ≤ t1f(a1)+t2f(a2)+t1g(a1)+t2g(a2) = t1(f+g)(a1)+t2(f+g)(a2) .
Exemplo 9. O produto de func¸o˜es convexas pode na˜o resultar numa func¸a˜o convexa.
Por exemplo f(x) = x2 − 1 e g(x) = x2 de R em R sa˜o convexas, pore´m seu produto
p(x) = x4 − x2 na˜o e´ convexa, pois p′(x) = 4x3 − 2x, p′′(x) = 12x2 − 2, em x = 0 o
resultado e´ negativo, se ela fosse convexa deveria resultar um valor na˜o negativo.
Definic¸a˜o 8 (Quase-convexa). f : I → R e´ dita ser quase convexa quando ∀c ∈ R, o
conjunto {x ∈ I | f(x) ≤ c} e´ vazio ou e´ um intervalo.
Definic¸a˜o 9 (Quase-coˆncava). f : I → R e´ dita ser quase coˆncava quando ∀c ∈ R, o
conjunto {x ∈ I | f(x) ≥ c} e´ vazio ou e´ um intervalo.
Propriedade 20. Toda func¸a˜o convexa e´ quase-convexa e toda func¸a˜o coˆncava e´ quase
coˆncava.
Demonstrac¸a˜o. Sejam f convexa e A = {x ∈ I | f(x) ≤ c} dados x, y ∈ A e
z ∈ [x, y] tem-se z = t1x+ t2y com t1 + t2 = 1 enta˜o
f(z) = f(t1x+ t2y) ≤ t1f(x) + t2f(y) ≤ (t1 + t2)c = c
portanto f(z) ≤ c e A e´ um intervalo, isso prova que f e´ quase-convexa.
Sejam f coˆncava e B = {x ∈ I | f(x) ≥ c} dados x, y ∈ B e z ∈ [x, y] tem-se
z = t1x+ t2y com t1 + t2 = 1 enta˜o
f(z) = f(t1x+ t2y) ≥ t1f(x) + t2f(y) ≥ (t1 + t2)c = c
portanto f(z) ≥ c e B e´ um intervalo, isso prova que f e´ quase-coˆncava.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 18
Propriedade 21. Toda func¸a˜o mono´tona e´ ao mesmo tempo quase-convexa e quase
coˆncava.
Demonstrac¸a˜o. Sejam f mono´tona na˜o-decrescente e A = {x ∈ I | f(x) ≤ c} dado
x, y ∈ A e z ∈ [x, y] vale f(z) ≤ f(y) ≤ c portanto z ∈ A. A e´ intervalo portanto f e´
quase-convexa.
Da mesma forma, seja B = {x ∈ I | f(x) ≥ c} dados x, y ∈ B e z ∈ [x, y] ,
c ≤ f(x) ≤ f(z) portanto c ≤ f(z) e B e´ um intervalo, portanto f e´ quase-coˆncava.
Sejam f mono´tona na˜o-crescente e A = {x ∈ I | f(x) ≤ c} dado x, y ∈ A e z ∈ [x, y]
vale f(z) ≤ f(x) ≤ c portanto z ∈ A. A e´ intervalo portanto f e´ quase-convexa.
Da mesma forma, seja B = {x ∈ I | f(x) ≥ c} dados x, y ∈ B e z ∈ [x, y] ,
c ≤ f(y) ≤ f(z) portanto c ≤ f(z) e B e´ um intervalo, portanto f e´ quase-coˆncava.
Propriedade 22. Seja f : [a, b]→ R cont´ınua e convexa tal que f(a) < 0 < f(b). Enta˜o
existe um u´nico c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0 pelo fato de f ser cont´ınua.
Suponha a < c1 < c2 < b com f(c1) = f(c2) = 0. Tomamos o intervalo [a, c2] podemos
escrever c1 = t1a+ t2c2 e usando a propriedade de f ser convexa, segue que
0 = f(c1) ≤ t1f(a) + t2f(c2) = t1f(a)
da´ı ter´ıamos f(a) > 0 o que e´ absurdo, enta˜o existe um u´nico c com tal propriedade.
Propriedade 23. f : I → R e´ quase-convexa ⇔ x, y ∈ I e t ∈ [0, 1] vale
f(t1x+ t2y) ≤ max{f(x), f(y)}
onde t1 = 1− t, t2 = t.
Demonstrac¸a˜o. ⇒ .) Suponha f quase-convexa, enta˜o definimos c = max{f(x), f(y)}
como A = {x ∈ I | f(x) ≤ c} e´ um intervalo, enta˜o para qualquer z entre x e y tem-se
f(z) ≤ c, pore´m, todo z dessa forma pode ser escrito como z = t1x+ t2y da´ı
f(t1x+ t2y) ≤ max{f(x), f(y)}.
⇐ .) Sejam x, y ∈ A = {x ∈ I | f(x) ≤ c} enta˜o A e´ intervalo pois dadoz entre x e y
tem-se z = t1x+ t2y e vale
f(t1x+ t2y) ≤ max{f(x), f(y)} ≤ c
portanto A e´ um intervalo.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 19
Propriedade 24. f : I → R e´ quase-coˆncava ⇔ x, y ∈ I e t ∈ [0, 1] vale
f(t1x+ t2y) ≥ max{f(x), f(y)}
onde t1 = 1− t, t2 = t.
Demonstrac¸a˜o. ⇒ .) Suponha f quase-coˆncava , enta˜o definimos c = max{f(x), f(y)}
como B = {x ∈ I | f(x) ≥ c} e´ um intervalo, enta˜o para qualquer z entre x e y tem-se
f(z) ≥ c, pore´m, todo z dessa forma pode ser escrito como z = t1x+ t2y da´ı
f(t1x+ t2y) ≥ max{f(x), f(y)}.
⇐ .) Sejam x, y ∈ B = {x ∈ I | f(x) ≥ c} enta˜o A e´ intervalo pois dado z entre x e y
tem-se z = t1x+ t2y e vale
f(t1x+ t2y) ≥ max{f(x), f(y)} ≥ c
portanto B e´ um intervalo.
Propriedade 25. Seja f : [a, b] → R cont´ınua, quase-convexa, cujo valor mı´nimo e´
atingido em c ∈ [a, b].
ˆ Se c = a enta˜o f e´ na˜o-decrescente.
ˆ Se c = b enta˜o f e´ na˜o-crescente.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ Mı´nimo em a. Dados x < y em [a, b] temos x ∈ [a, y] da´ı
f(x) ≤ max{f(a), f(y)} = f(y)
logo f e´ na˜o-decrescente.
ˆ Mı´nimo em b. Dados y < x em [a, b] temos x ∈ [y, b] da´ı
f(x) ≤ max{f(b), f(y)} = f(y)
logo f e´ na˜o-crescente.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 20
Corola´rio 7. Se f e´ quase-convexa e atinge mı´nimo em c ∈ (a, b) enta˜o f e´ na˜o-crescente
em [a, c] e na˜o-decrescente em [c, b], basta considerar as restric¸o˜es a esses conjuntos e
aplicar a propriedade anterior.
Propriedade 26. Seja f : [a, b] → R cont´ınua, quase-coˆncava, cujo valor mı´nimo e´
atingido em c ∈ [a, b].
ˆ Se c = a enta˜o f e´ na˜o-crescente.
ˆ Se c = b enta˜o f e´ na˜o-decrescente.
Demonstrac¸a˜o.
ˆ Mı´nimo em a. Dados x < y em [a, b] temos x ∈ [a, y] da´ı
f(x) ≥ max{f(a), f(y)} = f(y)
logo f e´ na˜o-crescente.
ˆ Mı´nimo em b. Dados y < x em [a, b] temos x ∈ [y, b] da´ı
f(x) ≥ max{f(b), f(y)} = f(y)
logo f e´ na˜o-decrescente.
Corola´rio 8. Se f e´ quase-coˆncava e atinge mı´nimo em c ∈ (a, b) enta˜o f e´ na˜o-
decrescente em [a, c] e na˜o-crescente em [c, b], basta considerar as restric¸o˜es a esses con-
juntos e aplicar a propriedade anterior.
Propriedade 27. Seja f : [a, b]→ R cont´ınua. f e´ quase-convexa ⇔ existe c ∈ [a, b] tal
que f e´ na˜o-crescente em [a, c] e na˜o decrescente em [c, b].
Demonstrac¸a˜o. f e´ cont´ınua num conjunto compacto [a, b] enta˜o f assume ma´ximo
e mı´nimo, digamos mı´nimo em c ∈ [a, b].
⇒). f e´ quase-convexa da´ı f e´ na˜o-crescente em [a, c] e na˜o decrescente em [c, b] por
resultado ja´ demonstrado.
⇐ .) Seja A = {x ∈ [a, b] |f(x) ≤ l}, vamos mostrar que tal conjunto e´ um intervalo,
dados x, y ∈ A se x < z < y ∈ [a, c] nesse intervalo a func¸a˜o e´ na˜o-crescente, logo
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 21
f(y) ≤ f(z) ≤ f(x) ≤ l. Se x < z < y ∈ [c, b], nesse intervalo a func¸a˜o e´ na˜o-decrescente
portanto
f(x) ≤ f(z) ≤ f(y) ≤ l
No u´ltimo caso x ∈ [a, c] e y ∈ [c, b], f(c) e´ mı´nimo enta˜o f(c) ≤ f(x) ≤ l e f(c) ≤ f(y) ≤ l
pois c e´ ponto de mı´nimo, se z = c a propriedade vale, se z 6= c enta˜o z pertence a um
dos intervalos (c, b) ou (a, c) da´ı a propriedade reca´ı nos casos ja´ demonstrados.
Propriedade 28. Para cada n ∈ N seja fn : I → R uma func¸a˜o convexa tal que ∀ x ∈ I
(fn(x)) seja convergente, enta˜o f : I → R definida como f(x) = lim
n→∞
fn(x) e´ convexa. O
mesmo vale para func¸o˜es coˆncavas, quase-coˆncavas e quase-convexas.
Demonstrac¸a˜o.
1. Caso de func¸o˜es convexas. Para cada n vale a desigualdade
fn(t1x1 + t2x2) ≤ t1fn(x1) + t2fn(x2)
como o limite preserva a desigualdade, na passagem do limites temos
f(t1x1 + t2x2) ≤ t1f(x1) + t2f(x2).
logo f e´ convexa.
2. Caso de func¸o˜es coˆncavas. Usamos procedimento similar a das func¸o˜es convexas.
Para cada n vale a desigualdade
fn(t1x1 + t2x2) ≥ t1fn(x1) + t2fn(x2)
como o limite preserva a desigualdade, na passagem do limites temos
f(t1x1 + t2x2) ≥ t1f(x1) + t2f(x2)
3. Caso de func¸o˜es quase-convexas. Para cada n vale a desigualdade
fn(t1x1 + t2x2) ≤ max{fn(x1), fn(x2)} = fn(x1) + fn(x2) + |fn(x1)− fn(x2)|
2
novamente a passagem do limite implica
f(t1x1 + t2x2) ≤ f(x1) + f(x2) + |f(x1)− f(x2)|
2
= max{f(x1), f(x2)}.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 22
4. Finalmente para func¸o˜es quase-coˆncavas. Para cada n vale a desigualdade
fn(t1x1 + t2x2) ≥ max{fn(x1), fn(x2)} = fn(x1) + fn(x2) + |fn(x1)− fn(x2)|
2
novamente a passagem do limite implica
f(t1x1 + t2x2) ≥ f(x1) + f(x2) + |f(x1)− f(x2)|
2
= max{f(x1), f(x2)}.
Propriedade 29 (Desigualdade de Jensen). Seja f uma func¸a˜o convexa no intervalo
[a, b], (xk)
n
1 ∈ [a, b] e (uk)n1 enta˜o vale
n∑
k=1
ukf(xk)
n∑
k=1
uk
≥ f
( n∑
k=1
ukxk
n∑
k=1
uk
)
se a func¸a˜o e´ coˆncava vale
n∑
k=1
ukf(xk)
n∑
k=1
uk
≤ f
( n∑
k=1
ukxk
n∑
k=1
uk
)
.
Demonstrac¸a˜o.
Corola´rio 9. Se uk =
1
n
tem-se se a func¸a˜o e´ convexa
n∑
k=1
f(xk)
n
≥ f
( n∑
k=1
xk
n
)
n∑
k=1
f(xk) ≥ nf
( n∑
k=1
xk
n
)
se a func¸a˜o e´ coˆncava vale
n∑
k=1
f(xk) ≤ nf
( n∑
k=1
xk
n
)
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 23
Exemplo 10. Se
n∑
k=1
Ak = pi com 0 < Ak < pi enta˜o
n∑
k=1
sen(Ak) ≤ nsen(pi
n
).
Tomando f(x) = sen(x) vale que f ′′(x) = −sen(x) ≤ 0 para x ∈ [0, pi
2
] logo a func¸a˜o e´
coˆncava e vale a desigualdade de Jensen com o corola´rio anterior
n∑
k=1
sen(Ak) ≤ nsen(pi
n
).
Exemplo 11. Sejam A,B e C aˆngulos internos de um triaˆngulo, mostre que
sen(A) + sen(B) + sen(C) ≤ 3
√
3
2
.
Usamos o resultado anterior com n = 3 tem-se
sen(A) + sen(B) + sen(C) ≤ 3sen(pi
3
) =
3
√
3
2
.
Corola´rio 10 (Desigualdade das me´dias). Ainda do corola´rio anterior tomando xk = ln ak
com a func¸a˜o convexa de lei f(x) = ex tem-se
n∑
k=1
eln ak =
n∑
k=1
ak ≥ n(e
n∑
k=1
ln ak
)
1
n = n(e
ln
n∏
k=1
ak
)
1
n = n(
n∏
k=1
ak)
1
n
logo
n∑
k=1
ak
n
≥ (
n∏
k=1
ak)
1
n
valendo para a≥0, que e´ a desigualdade das me´dias aritme´tica e geome´trica.
Exemplo 12. Vale que cos2m(x) + sen2m(x) ≥ 1
2m−1
com m par.
Sejam x1 = cos
2(x), x2 = sen
2(x), f(x) = xm , vale que f ′(x) = mxm−1, f ′′(x) =
m(m− 1)xm−2 ≥ 0 pois m− 2 e´ par, portanto vale a desigualdade de Jensen
f(x1) + f(x2) ≥ 2f(x1 + x2
2
)
cos2m(x) + sen2m(x) ≥ 2 1
2m
=
1
2m−1
.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 24
Com m = 2 temos
cos4(x) + sen4(x) ≥ 1
2
,
se m = 4
cos8(x) + sen8(x) ≥ 1
8
.
Propriedade 30 (Desigualdade das poteˆncias). Sejam m > n e (ak)
t
1 uma sequeˆncia de
nu´meros na˜o negativos enta˜o
( t∑
k=1
(ak)
m
t
) 1
m
≥
( t∑
k=1
(ak)
n
t
) 1
n
.
Demonstrac¸a˜o.
Exemplo 13. Determine o menor valor de a6+ b6+ c6+d6 sabendo que a+ b+ c+d = 4.
Na desigualdade das poteˆncias tomamos m = 6, n = 1 e t = 4 chegando no resultado.
1.4 Aproximac¸o˜es sucessivas e me´todo de Newton.
Definic¸a˜o 10 (Contrac¸a˜o). f : A→ R e´ uma contrac¸a˜o quando existe c ∈ [0, 1) tal que
|f(y)− f(x)| ≤ c|y − x| ∀ x, y ∈ A.
Corola´rio 11. Toda contrac¸a˜o e´ lipschitz, logo e´ uniformemente cont´ınua.
Exemplo 14. Uma func¸a˜o f deriva´vel com |f ′(x)| ≤ c < 1 ∀ x e´ uma contrac¸a˜o pois
pelo TVM
|f(y)− f(x)| = |f ′(t)||x− y| ≤ c|x− y|
para algum c entre y e x.
Propriedade 31 (Ponto fixo das contrac¸o˜es). Toda contrac¸a˜o f : F → F onde F e´
fechado possui um u´nico ponto fixo.
Demonstrac¸a˜o.
Vamos primeiro demonstrar a existeˆncia do ponto fixo.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 25
Seja a sequeˆncia definida como
x1 = f(x0), xn+1 = f(xn)
onde x0 ∈ F e´ arbitra´rio, vamos mostrar que sequeˆncia (xn) definida dessa maneira
converge para um ponto a ∈ F tal que a = f(a). ∀ x, y ∈ F vale que
|f(y)− f(x)| ≤ c|y − x|
com c ∈ [0, 1). Tomando y = xn e x = xn−1 tem-se|xn+1 − xn|︸ ︷︷ ︸
|an+1|
≤ c |xn − xn−1|︸ ︷︷ ︸
|an|
|an+1| ≤ c|an|
logo pelo teste de D’Alembert a se´rie
lim sn =
∞∑
k=1
ak =
∞∑
k=1
xk − xk−1 = s
e´ absolutamente convergente. Tem-se que sn =
n∑
k=1
xk − xk−1 = xn − xn1 por soma
telesco´pica.
lim sn = s = limxn − x0 ⇒ lim xn = s+ x0 = a
e vale que a ∈ F , pois f e´ fechado e cada f(xn) = xn+1 ∈ F. Da identidade xn+1 = f(xn)
tomando o limite tem-se a = f(a) pois f e´ cont´ınua.
Unicidade do ponto fixo. Suponha dois pontos fixos a e b enta˜o
|b− a| ≤ c|b− a| ⇒ (1− c)︸ ︷︷ ︸
>0
|b− a|︸ ︷︷ ︸
≥0
≤ 0
portanto deve valer |b− a| = 0, b = a e existe um u´nico ponto fixo.
1.4.1 Me´todo de Newton
Propriedade 32 (Me´todo de Newton). Seja f : I → R C1 com f ′(x) 6= 0 ∀ x. Definindo
x1 = x0 − f(x0)
f ′(x0)
, xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
onde x0 e´ algum valor inicial. Se (xn) converge enta˜o seu limite e´ uma ra´ız da equac¸a˜o
f(x) = 0. Definimos N(x) = x− f(x)
f ′(x)
enta˜o xn+1 = N(xn).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 26
Demonstrac¸a˜o. Passando o limite em xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
tem-se
a = a− f(a)
f ′(a)
⇒ f(a)
f ′(a)
= 0⇒ f(a) = 0
onde usamos que f e´ C1.
Propriedade 33. Se f : I → R e´ C2 com f ′(x) 6= 0 ∀ x, enta˜o para cada ponto a ∈ intI
onde f(a) = 0 existe δ > 0 tal que para qualquer ponto inicial x0 ∈ J = [a − δ, a + δ] a
sequeˆncia xn+1 = N(xn) converge para a.
Demonstrac¸a˜o. Derivando N(x) tem-se N ′(x) =
f(x)f ′′(x)
f ′(x)2
como vale f(a) = 0
enta˜o N ′(a) = 0 e N(a) = a− f(a)
f ′(a)
= a.
Por f ser C2 segue que N ′(x) e´ cont´ınua, portanto dado c ∈ (0, 1) existe δ > 0 tal que
j = [a− δ, a+ δ] ⊂ I com |N ′(x)| ≤ c < 1 ∀ x ∈ J. Se x ∈ J enta˜o N(x) ∈ J , pois
|N(x)−N(a)︸ ︷︷ ︸
=a
| ≤ c|x− a| ≤ |x− a| ≤ δ
pelo TVM , portanto N : J → J e´ uma contrac¸a˜o logo N(xn) converge para um u´nico
ponto fixo a ∈ J da contrac¸a˜o N .
Propriedade 34. Sejam f : I → R, I = [a− δ, a+ δ] tal que
|f(y)− f(x)| ≤ c|y − x|
com c ∈ [0, 1). Se |f(a)− a| ≤ (1− c)δ enta˜o existe um u´nico x ∈ I com f(x) = x.
Demonstrac¸a˜o.
f e´ contrac¸a˜o , I e´ fechado, para que possamos usar o teorema do ponto fixo de
contrac¸o˜es basta mostrar que f(I) ⊂ I, isto e´, x ∈ I implica f(x) ∈ I.
Se x ∈ I = [a− δ, a+ δ] enta˜o |x− a| ≤ δ, o que implica por desigualdade triangular
|f(x)− a| ≤ |f(x)− f(a)|+ |f(a)− a| ≤ c|x− a|+ (1− c)δ ≤ cδ + (1− c)δ = δ
portanto f(x) pertence ao intervalo [a− δ, a+ δ] = I e podemos usar o teorema do ponto
fixo das contrac¸o˜es, da´ı f possui um u´nico ponto fixo.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 27
Exemplo 15. Seja f : [0,∞)→ [0,∞) com f(x) = 2−x2 . f e´ uma contrac¸a˜o.
Derivando a func¸a˜o temos f ′(x) =
− ln(2)2−x2
2
e vale |f ′(x)| ≤ 1, 20 = 1, 2x2 e´ crescente,
portanto
ln(2)
2
< 2
x
2 ⇒ |f ′(x)| = ln(2)
2.2
x
2
< 1
portanto f e´ contrac¸a˜o definida num conjunto fechado e com contradomı´nio igual ao
domı´nio, portanto podemos aplicar o teorema do ponto fixo, que nos garante que tal
func¸a˜o possui apenas um ponto fixo a, valendo
2
−a
2 = a⇒ 2−a = a2
−a e´ raiz negativa da equac¸a˜o 2x = x2. Agora utilizamos o me´todo das aproximac¸o˜es
sucessivas para obter o valor de a com 8 algarismos decimais exatos, tomamos x0 = 0
x1 = 2
− 0
2 = 1
x2 = 2
− 1
2 ≈ 0, 70710678
x3 = 2
−x2
2 ≈ 0, 78265402
x4 = 2
−x3
2 ≈ 0, 76247990
x5 = 2
−x4
2 ≈ 0, 76779123
x6 = 2
−x5
2 ≈ 0, 76636542
x7 = 2
−x6
2 ≈ 0, 76674421
x8 = 2
−x7
2 ≈ 0, 76664356
x9 = 2
−x8
2 ≈ 0, 76667031
x10 = 2
−x9
2 ≈ 0, 76666320
x11 = 2
−x10
2 ≈ 0, 76666509
x12 = 2
−x11
2 ≈ 0, 76666459
x13 = 2
−x12
2 ≈ 0, 76666472
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 28
x14 = 2
−x13
2 ≈ 0, 76666469
o valor com 8 algarismos decimais exatos e´ 0, 76666469, observe que precisamos de bastante
iterac¸o˜es para chegar nesse valor, apesar de termos tomado uma condic¸a˜o inicial pro´xima.
As contas foram feitas no site wolfram alpha (http://www.wolframalpha.com).
Propriedade 35. Seja I = [a− δ, a+ δ]. Se f : I → R e´ C2 com
f ′(x) 6= 0, |f(x)f
′′(x)
[f ′(x)]2
| ≤ c < 1 ∀ x ∈ I
e | f(a)
f ′(a)
| ≤ (1 − c)δ enta˜o independente do valor inicial x0 ∈ I o me´todo de Newton
converge para a u´nica raiz x ∈ I de f(x) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Primeiro vamos mostrar que N : I → R com N(x) = x − f(x)
f ′(x)
e´
contrac¸a˜o. Derivando temos N ′(x) =
f(x)f ′′(x)
[f ′(x)]2
logo pelo TVM temos que
|N(y)−N(x)| ≤ c|y − x| ≤ cδ
Portanto N e´ contrac¸a˜o, I e´ fechado , falta mostrar que N(I) ⊂ I. Temos tambe´m que
N(a) − a = f(a)
f ′(a)
portanto |N(a) − a| = | f(a)
f ′(a)
| ≤ (1 − c)δ que iremos usar na pro´xima
desigualdade. Dado x ∈ I, por desigualdade triangular temos
|N(x)− a| ≤ |N(x)−N(a)|+ |N(a)− a| ≤ cδ + (1− c)δ = δ
portanto N(x) ∈ I, assim N satisfaz todas condic¸o˜es necessa´rias para aplicac¸a˜o do teo-
rema do ponto fixo, portanto o me´todo de Newton converge para a u´nica raiz de f , pois
se houvesse mais uma N teria mais de um ponto fixo.
Propriedade 36. Seja f : [0,∞)→ R com f(x) = 1
a+ x
, a > 1.
Dado x0 > 0 fixo, a sequeˆncia definida como x1 = f(x0), xn+1 = f(xn) converge para
a ra´ız positiva da equac¸a˜o x2 + ax− 1 = 0.
Demonstrac¸a˜o. Usaremos o me´todo de Newton. Vale f ′(x) =
−1
(a+ x)2
,
1 < a⇒ a < a2 ⇒ a < a2 + 2ax︸︷︷︸
≥0
+ x2︸︷︷︸
≥0
= (a+ x)2 ⇒
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 29
|f ′(x)| = 1
(a+ x)2
≤ 1
a
< 1.
Portanto f e´ contrac¸a˜o. Vale tambe´m que [0,∞) e´ fechado e f(x) ∈ [0,∞). Da´ı
podemos aplicar o teorema do ponto fixo. Existe um u´nico valor c tal que c =
1
a+ c
⇒
c2 + ac− 1 = 0. Tal valor na˜o pode ser negativo, pois a sequeˆncia e´ de valores positivos.
Exemplo 16. Mostre que 1, 0754 e´ um valor aproximado com 4 algarismos exatos da ra´ız
positiva da equac¸a˜o x6 + 6x− 8 = 0.
Tomamos f(x) = x6 + 6x− 8, vale f ′(x) = 6x5 + 6 que possui sua u´nica raiz real em
−1. Observamos que f(1) = −1 e f(2) > 0, logo existe ra´ız em [1, 2] por continuidade de
f , aplicamos o me´todo de Newton com x0 = 1.
xn+1 = xn − x
6
n + 6xn − 8
6x5n + 6
x1 = 1, 083
x2 = 1, 07554
x3 = 1, 0754
no terceiro termo, ja´ conseguimos uma aproximac¸a˜o com 4 d´ıgitos , o me´todo de Newton
converge ”ra´pido”.
Propriedade 37. Seja f : [a, b]→ R convexa, duas vezes deriva´vel. Se f(a) < 0 < f(b)
enta˜o para qualquer condic¸a˜o inicial x0 ∈ [a, b] com f(x0) > 0 o me´todo de Newton
converge sempre para a u´nica raiz x ∈ [a, b] da equac¸a˜o f(x) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Como f(a) < 0 < f(b) e f e´ cont´ınua enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
f(c) = 0, portanto f possui ra´ız.
Vamos mostrar que a sequeˆncia (xn) obtida com o me´todo de Newton
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
converge para uma ra´ız de f , sendo que a condic¸a˜o inicial f(x0) > 0. Como f e´ duas vezes
deriva´vel enta˜o f e f ′ sa˜o cont´ınuas se xn → c enta˜o de xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
temos pela
passagem do limite e usando a continuidade que
c = c− f(c)
f ′(c)
⇒ f(c)
f ′(c)
= 0⇒ f(c) = 0
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 30
portanto o limite da sequeˆncia e´ a raiz.
A func¸a˜o f e´ cont´ınua definida num compacto logo ela possui um mı´nimo, esse mı´nimo
e´ u´nico e global pelo fato de f ser convexa, o mı´nimo e´ alcanc¸ado em t ∈ [a, b], nesse ponto
de mı´nimo a func¸a˜o deve assumir valor negativo pois vale f(a) < 0, no intervalo [a, t] a
func¸a˜o e´ na˜o-crescente e no intervalo [t, b] a func¸a˜o e´ na˜o-decrescente, portanto x0 ∈ [t, b],
pois f(x0) > 0. Por f ser convexa e duas vezes deriva´vel vale que f
′′(x) ≥ 0 portanto
f ′(x) e´ na˜o-decrescente em [t, b] tem-se f ′(x) > 0.
Vamos provar por induc¸a˜o que f(xn) ≥ 0 ∀n. Para n = 0 o resultado vale, agora
supondo f(xn) ≥ 0 vamos provar que f(xn+1) ≥ 0.
Pela recorreˆncia do me´todo de Newton vale que xn+1 − xn = −f(xn)
f ′(xn)
, pela func¸a˜oser convexa tem-se que seu gra´fico esta´ sempre acima dos pontos da tangente f(x) ≥
f(a) + f ′(a)(x− a) ∀ x, a disso segue que tomando x = xn+1 e a = xn tem-se
f(xn+1) ≥ f(xn) + f ′(xn)(xn+1 − xn) = f(xn)− f(xn) = 0
portanto vale que f(xn) ≥ 0∀ n por induc¸a˜o . Como f(xn) ≥ 0 segue que f ′(xn) ≥ 0
pois os pontos xn pertencem todos ao intervalo [c, b] onde a func¸a˜o e´ na˜o-decrescente.
Como vale xn+1 − xn = −f(xn)
f ′(xn)
≤ 0 enta˜o (xn) e´ na˜o decrescente, como ela e´ limitada
inferiormente, enta˜o ela converge, e converge para a raiz da func¸a˜o. Notamos que na˜o
precisamos nos preocupar com f ′(xn) = 0 pois xn ∈ [c, b] o u´nico ponto em que a derivada
se anula e´ no mı´nimo global t, que esta´ fora desse intervalo.
Exemplo 17 (Ca´lculo aproximado de a
1
p .). Dados a > 0, p ∈ N consideramos o intervalo
I = [a
1
p ,∞) a func¸a˜o f : I → R com f(x) = xp − a. Vale f ′(x) = pxp−1 a func¸a˜o de
Newton N : I → R satisfaz
N(x) =
1
p
((p− 1)x+ a
xp−1
).
N(x) e´ a me´dia aritme´tica dos p nu´meros (
p︷ ︸︸ ︷
x, · · · , x︸ ︷︷ ︸
p−1
,
a
xp−1
). Da desigualdade entre me´dia
aritme´tica e geome´trica (M.A ≥M.G) tem-se
N(x) ≥ (xp−1 a
xp−1
)
1
p = a
1
p
da´ı x ∈ I ⇒ N(x) ∈ I. Seja (xn) com xn+1 = N(xn) vale que
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 31
xn > a
1
p ⇒ xp−1n > a
p−1
p =
a
a
1
p
onde usamos racionalizac¸a˜o, da´ı
a
1
p >
a
xp−1n
portanto vale
a
xp−1n
< a
1
p < xn
a me´dia aritme´tica dos nu´meros (
p︷ ︸︸ ︷
xn, · · · , xn︸ ︷︷ ︸
p−1
,
a
xp−1n
) deve estar entre xn e
a
xp−1n
, mas tal
me´dia e´ N(xn) = xn+1, da´ı segue que xn+1 < xn e a sequeˆncia e´ decrescente.