CALCULO 2

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UNIVERSIDADE DOS AÇORES 
 
Depar t am ent o de Mat em át ic a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(9L=EiLA;9�$$�
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77HH[[WWRR��GGHH��DDSSRRLLRR��
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Lic enc iat uras em : 
Ec onom ia 
Gest ão de Em presas 
Gest ão / In form át ic a 
 
 
 
 
 
J osé Eduardo Carre iro 
2005 – 2006 
 
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Ì1',&(�
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&$3Ì78/2�,�
)XQo}HV�YHFWRULDLV�GH�YDULiYHO�YHFWRULDO ...............................................................................1 
1.1. Funções vectoriais de variável vectorial............................................................................1 
1.2. Inversão e composição de funções ....................................................................................8 
 1.2.1. Função inversa...........................................................................................................8 
 1.2.2. Função composta .....................................................................................................10 
1.3. Continuidade ..................................................................................................................14 
1.4. Limites ...........................................................................................................................20 
 1.4.1. Limites relativos ......................................................................................................23 
 1.4.2. Limites direccionais (caso geral)..............................................................................27 
1.5. Exercícios propostos.......................................................................................................33 
 
&$3Ì78/2�,,�
'LIHUHQFLDELOLGDGH�HP�¸ � ....................................................................................................37 
2.1. Funções reais de variável real .........................................................................................37 
2.2. Crescimento parcial e crescimento total de uma função ..................................................37 
2.3. Derivada da função composta .........................................................................................43 
2.4. Função implícita. Derivada da função implícita ..............................................................45 
2.5. Derivada segundo uma direcção .....................................................................................48 
2.6. Derivadas de funções vectoriais de variável vectorial .....................................................50 
 2.6.1. Gradiente .................................................................................................................51 
2.7. Interpretação geométrica: aplicações ..............................................................................53 
 2.7.1. Funções de ¸ em ¸..................................................................................................53 
 2.7.2. Funções de ¸2 em ¸.................................................................................................53 
 2.7.1. Funções de ¸ em ¸
�
.................................................................................................54 
 2.7.1. Funções de ¸
�
 em ¸
�
, P – 2, S – 2 .........................................................................55 
2.8. Problemas de optimização ..............................................................................................56 
 2.8.1. Extremos livres........................................................................................................56 
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�('
"��#ff*),+-"�$.ffi�$/"( �"�$.% &
�#�.�102�
+3ff54�% fi �.ffi
6
fi fi
6
 2.8.2. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange ............................................59 
2.9. Exercícios propostos.......................................................................................................63 
 
&$3Ì78/2�,,,�
,QWHJUDELOLGDGH�j�5LHPDQQ�HP�¸ � ��Q� ������.......................................................................75 
3.1. Generalidades.................................................................................................................75 
3.2. Integrais duplos ..............................................................................................................78 
 3.2.1. Domínios de integração rectangulares ......................................................................78 
 3.2.2. Domínios de integração quaisquer regulares.............................................................81 
3.3. Propriedades dos integrais duplos ...................................................................................83 
3.4. Algumas aplicações dos integrais duplos ........................................................................88 
 3.4.1. Cálculo de áreas planas ............................................................................................89 
 3.4.2. Cálculo de volumes..................................................................................................90 
3.5. Mudança de variáveis de integração................................................................................91 
 3.5.1. Coordenadas polares ................................................................................................93 
3.6. Integrais triplos...............................................................................................................98 
 3.6.1. Regiões de tipo 1 .....................................................................................................99 
 3.6.2. Regiões de tipo 2 ...................................................................................................100 
 3.6.3. Regiões de tipo 3 ...................................................................................................101 
3.7. Aplicações dos integrais triplos.....................................................................................103 
 3.7.1. Cálculo do volume de um corpo.............................................................................103 
3.8. Exercícios propostos.....................................................................................................106 
 
&$3Ì78/2�,9�
(TXDo}HV�GLIHUHQFLDLV ........................................................................................................121 
4.1. Generalidades...............................................................................................................121 
4.2. Equações diferenciais separáveis ..................................................................................133 
4.3. Equações diferenciais exactas .......................................................................................134 
4.4. Exercícios propostos.....................................................................................................138 
 
$1(;26�²�)RUPXOiULRV�
7DEHOD����)RUPXOiULR�GH�WULJRQRPHWULD..........................................................................144 
7DEHOD����)RUPXOiULR�GH�IXQo}HV�KLSHUEyOLFDV ...............................................................146 
7DEHOD����/LPLWHV�QRWiYHLV ..............................................................................................147 
�����	�
�����
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�	�������(�����
����ffflfi ffi7�8 #"�$�% &
�9'	"��#ff�)
+:"�$;ffi7$<"9 *"�$�% &
�#�.�=0>�
+3ff54�% fi �.ffi
6
fi fi fi
6
7DEHOD����)RUPXOiULR�GH�GHULYDGDV ................................................................................ 148 
7DEHOD����)RUPXOiULR�GH�SULPLWLYDV�LPHGLDWDV............................................................... 150 
7DEHOD����$OIDEHWR�JUHJR ................................................................................................. 151 
�
5()(5È1&,$6�%,%/,2*5É),&$6 .......................................................................................
153 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
&$3Ì78/2�,�
)81d¯(6�9(&725,$,6�'(�9$5,É9(/�9(&725,$/��¸ ? �|�¸ @ ��
 
�����)XQo}HV�UHDLV�GH�YDULiYHO�YHFWRULDO��¸ A �|�¸��
 
Ao estudarmos funções de uma variável apenas e tentando aplicá-las a diversas 
situações, notamos que a análise de numerosos fenómenos implica a utilização de funções de 
duas ou mais variáveis independentes. 
Tomemos um exemplo simples: a área de um rectângulo com as seguintes dimensões 
 
 \� 
 [� 
é dada pela fórmula $ = [\, ou seja, a cada par de valores ([, \) corresponde um valor bem 
determinado de $. $ é, portanto, uma função de duas variáveis: 
$: ' ° ¸2 | ¸ 
 ([, \)
 
 $([, \) = [\ 
Ao conjunto ', conjunto dos pares ([, \) para os quais esta função está definida 
'�= {([, \) ± ¸2: [ > 0 ¼ \ > 0} 
dá-se o nome de GRPtQLR�GH�H[LVWrQFLD�GD�IXQomR. 
 
Consideremos a função 
� I: ' ° ¸2 | ¸ 
 ([, \)
 
 ] = I([, \) 
 
 
 
O lugar geométrico de todos os pontos 3 de coordenadas 3([, \, ]), com ([, \) ± ' e 
] = I([, \), chama-se JUiILFR�GD�IXQomR�e representa-se por JUDI�I, ou seja, 
�
JUDI�I = {([, \, I([, \)), ([, \) ± '} 
�	��B8C	�
D�E�FG���5H*I2��J.K	"�$/L�"���% ��+:fi ffi
fi $/'
"#L.ffi�+:fi 4
L."�M2L�"���% ��+:fi ffi
M
6>NO6
 
Assim, como facilmente se percebe, o gráfico de uma função de duas variáveis é uma 
superfície no espaço (em ¸3) e cuja projecção no plano [R\ (plano que contém os valores das 
duas variáveis independentes de I) é o domínio de definição desta função. 
 
([HPSOR�>�����@� 
Seja ( ) 2 2, 9I [ \ [ \= − − . Determinemos o domínio de I e o seu gráfico. 
Desenhemos, em seguida o JUDI�I. 
Em primeiro lugar comecemos por escrever a condição que temos de impor para que a 
função tenha significado: 
( ){ }
( ){ }
2 2 2
2 2 2
, : 9 0
, : 9 .
' [ \ [ \
[ \ [ \
= ∈ − − ≥
= ∈ + ≤
¸
¸
 
Concluímos, portanto, que o domínio da função I é um círculo de centro na origem e raio 3 
unidades, cuja representação geométrica é 
 
Para representarmos o gráfico de I comecemos por entender a sua expressão analítica: 
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 9 9 9 9I [ \ [ \ ] [ \ ] [ \ [ \ ]= − − ⇔ = − − ⇔ = − − ⇔ + + = 
trata-se portanto de uma esfera centrada na origem e raio 3 unidades. Como 2 29] [ \= − − 
então ] – 0 e, portanto, temos uma semi-esfera, cuja representação geométrica é a seguinte: 
 P 
 
 
�	��B,C	�
D�E�FG���5H*I2��J.K
"�$/L�"���% ��+:fi ffi
fi $<'�"/L.ffi�+:fi 4
L."�MQL�"���% ��+:fi ffi
M
R>SOR
 
'HILQLomR�>�����@��)XQomR�UHDO�GH�Q�YDULiYHLV�UHDLV�
Chama-se IXQomR�UHDO�GH�Q�YDULiYHLV�UHDLV a toda a função do tipo 
I: ' ¯ ¸T | ¸. 
 
*HQHUDOL]DomR��
Define-se domínio de uma função real I de Q variáveis reais como sendo o conjunto dos 
Q-uplos ordenados ([1, [2, …, [
T
) para os quais a função está definida 
'U �= {([1, [2, …, [
T
) ± ¸T : � ]�± ¸: ] = I([1, [2, …, [
T
)} 
define-se, ainda, gráfico de I como sendo o conjunto 
JUDI�I = {([1,…, [
T
, I([1,…, [
T
)), ([1,…, [
T
) ± 'U }. 
 
Uma função I: ' ¯ ¸ T | ¸ (função real de Q variáveis reais) é denominada, por vezes, 
de campo escalar em '. 
 
A uma transformação linear cujo conjunto de chegada é ¸ dá-se o nome de IXQFLRQDO�
OLQHDU, 
I:�¸ V | ¸. 
 
Em particular, podemos estudar as SURMHFo}HV S W : 
S W : ¸ V | ¸ 
 [ = ([1,…, [
V
) 
 
S W ([) = [ W 
que são funcionais lineares, onde 1 † L † P. 
 
Provemos que SX é efectivamente uma transformação linear: 
Sejam [, \ ± ¸ V quaisquer. Assim, [ = ([1, [2, …, [
V
) e \ = (\1, \2, …, \
V
). Então: 
 
S W ([ + \) = S W ([1 + \1, [2 + \2, …, [
V
 + \
V
) = [ W + \ W = S W ([) + S W (\) 
S W (D[) = S W (D[1, D[2, …, D[
V
) = D[ W = DS W ([) 
Assim, S W é uma transformação linear e como o conjunto de chegada é ¸, a função S W é 
um funcional linear.
 Y
 
 
([HPSOR�>�����@� 
Tomemos [ = (3, 5, 1, 2, 0, 4) um ponto de ¸6. Assim, S2([) = 5. Y 
�	��B8C	�
D�E�FG���5H*I2��J.K	"�$/L�"���% ��+:fi ffi
fi $/'
"#L.ffi�+:fi 4
L."�M2L�"���% ��+:fi ffi
M
R�Z�R
 
'HILQLomR�>�����@��)XQomR�YHFWRULDO�GH�P�YDULiYHLV�UHDLV�
Chama-se IXQomR�YHFWRULDO�GH�P�YDULiYHLV�UHDLV a toda a função do tipo 
I: ; ¯ ¸ V | ¸T . 
 
Aproveitemos esta ocasião para fazer duas breves observações: 
�� Diz-se de P variáveis, porque o domínio é um subconjunto de ¸ V . 
�� Diz-se vectorial, porque o conjunto de chegada é ¸T que é um espaço vectorial. Aqui, 
o termo vectorial nada tem a ver com aplicação linear, é apenas no sentido de significar que 
as imagens são vectores do espaço euclidiano. 
 
Destaquemos alguns casos particulares de funções vectoriais de variável vectorial e 
aproveitemos para, em cada caso, dar um exemplo de cada tipo de função. 
 
���P� �Q� �� 
�
Ð )XQomR�UHDO�GH�YDULiYHO�UHDO�
I: ; ¯ ¸ | ¸ 
 [ 
 
I([) 
([HPSOR�>�����@� 
I: ; ¯ ¸ | ¸ 
 [ 
 
I([) = sen [
 Y 
 
���P�!����Q� �� 
�
Ð )XQomR�UHDO�GH�P�YDULiYHLV�UHDLV�
I: ; ¯ ¸ V | ¸ 
 ([1,… , [
V
) 
 
I([1,… , [
V
) 
 
([HPSOR�>�����@� 
I: ; ¯ ¸3 | ¸ 
 ([, \, ]) 
 
I([, \, ]) = 23 2[ \ ]− +
 Y
 
 
�	��B,C	�
D�E�FG���5H*I2��J.K
"�$/L�"���% ��+:fi ffi
fi $<'�"/L.ffi�+:fi 4
L."�MQL�"���% ��+:fi ffi
M
R\[(R
���P� ����Q�!�� 
�
Ð )XQomR�YHFWRULDO�GH�YDULiYHO�UHDO�
I: ; ¯ ¸ | ¸T 
 [ 
 
I([) = (\1, \2, … , \
T
) 
([HPSOR�>�����@� 
I: ; ¯ ¸ | ¸2 
 [ 
 
I([) = ([3, cos [)
 Y
 
 
Observemos que cada uma das componentes \ W é uma função de [, com valores em ¸, 
isto é, define uma função de ; ¯ ¸ | ¸. 
Temos, portanto 
Funções de [ com valores em ¸ 
( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
, :
, :
, :] ] ]
\ I [ I ;
\ I [ I ;
\ I [ I ;
 = ⊂ →
= ⊂ →
= ⊂ →
#
¸ ¸
¸ ¸
¸ ¸
 
Portanto I é inteiramente determinada por Q funções reais de variável real. Escreve-se então: 
I([) = (I1([), I2([), … , I
T
([)) ou apenas I = (I W ), L = 1, … , Q. 
 
 
([HPSOR�>�����@� 
I: ; ¯ ¸ | ¸2 
 [ 
 
I([) = (sen [, e^ ) 
I1([) = sen [ I2([) = e^ 
I1: ¸ | ¸ I2: ¸ | ¸ Y 
 
���P�!����Q�!�� 
�
Р)XQomR�YHFWRULDO�GH�YDULiYHO�YHFWRULDO��RX�IXQomR�YHFWRULDO�GH�P�YDULiYHLV�UHDLV��
� I: ; ¯ ¸ V | ¸T 
 [�= ([1, [2, … , [
V
) 
 
I([) = I([1, [2, … , [
V
) = (\1, \2, … , \
T
) 
I([) será um Q-uplo ordenado de ¸T , onde cada uma das suas coordenadas \ W é uma função de 
P variáveis, ([1, [2, … , [
V
), e tem valores em ¸, isto é, 
_	`�a8b	c
d�e�fGg�h5i*j2k�l.m	n�o/p�n�q�r s�t:u v
u o/w
n#p.v�t:u x
p.n�y2p�n�q�r s�t:u v
y
R8z�R
( )
( )
( )
1 1 1 2 1
2 2 1 2 2
1 2
, , , , :
, , , , :
, , , , :
{
{
{
{
{
| | { |
\ I [ [ [ I ;
\ I [ [ [ I ;
\ I [ [ [ I ;
= ⊂ →
= ⊂ →
= ⊂ →
!
!
#
!
¸ ¸
¸ ¸
¸ ¸
 
Escreve-se, então: 
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 1 1, , , , , , , , , , ,} } } ~ }I [ [ I [ [ I [ [ I [ [=! ! ! ! ! 
ou apenas, 
( ), 1, ,I I L Q= = ! . 
 
([HPSOR�>�����@� 
I: ¸2 | ¸3 
 ([, \) 
 
I([, \) = 4, 2 3 ,
2
[ \[ [ \ + −   
I = (I1, I2, I3) 
I1([, \) = [ I2([, \) = 2[ – 3\� I3([, \) = 42
[ \+
 
I1: ¸2 | ¸ I2: ¸2 | ¸ I3: ¸2 | ¸ € 
 
'HILQLomR�>������@��)XQo}HV�FRRUGHQDGDV�
A toda a função I: ; ¯ ¸  | ¸‚ denomina-se vectorial (porque as imagens são elementos 
de ¸ ‚ ) de P variáveis reais em que I([) = (I1([), I2([), … , I
‚
([)), �[ ± ;, e define, portanto, Q 
funções reais onde 
I ƒ : ; ¯ ¸  | ¸, L = 1, … , Q�
As funções I1, I2, … , I
‚
: ; ¯ ¸  | ¸ são chamadas IXQo}HV� FRPSRQHQWHV� �RX�
FRRUGHQDGDV��GH�I. 
�
3URSRVLomR�>������@��
Seja I: ; ¯ ¸  | ¸ ‚ definida por I([) = I([1, [2, … , [

) = (I1([), I2([), … , I
‚
([)) onde 
I ƒ : ; ¯ ¸  | ¸, L = 1, … , Q. 
Então as aplicações coordenadas de I são dadas pela composição: 
I ƒ = S ƒ “ I, L = 1, … , Q, sendo S ƒ a projecção de ordem L. 
 
 
„	…�†,‡	ˆ
‰�Ł�‹GŒ�5Ž*2�‘.’
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ž
Ÿ* *Ÿ
([HPSOR�>������@� 
Caracterizemos as funções coordenadas (ou componentes) da função I: ¸3 | ¸2 
definida por ( ) ( )2 2 2, , ,I [ \ ] [ \ ] [ \ ]= + + + + . 
Em primeiro lugar verificamos que a função I é do tipo I = (I1, I2), onde 
I1([, \, ]) = (S1 “ I)([, \, ]) = S1(I ([, \, ])) = S1([2 + \2���]2, [ + \ + ]) = [2 + \2���]2 
e, analogamente, 
I2([, \, ]) = (S2 “ I)([, \, ]) = S2(I ([, \, ])) = S2([2 + \2���]2, [ + \ + ]) = [ + \���] 
e, portanto, 
I1([, \, ]) = [2 + \2���]2 � I2([, \, ]) = [ + \ + ]� �
I1: ¸3 | ¸ � I2: ¸3 | ¸ € �
 
([HPSOR�>������@� 
Identifiquemos e esbocemos o domínio da função I, definida por 
( ) 2 2, 25I [ \ [ \= − − . 
Em primeiro lugar vejamos que o domínio da função é o conjunto seguinte 
( ){ }
( ){ }
2 2 2
2 2 2
, : 25 0
, : 25 ,
¡' [ \ [ \
[ \ [ \
= ∈ − − ≥
= ∈ + ≤
¸
¸
 
ou seja, é o círculo centrado na origem e que tem raio 5 unidades. 
A sua representação geométrica é, portanto: 
 €
 
 
([HPSOR�>������@� 
Identifiquemos e esbocemos o domínio da função J, definida por 
( )
2 2
,
4
\J [ \
[ \
=
+ −
. 
Facilmente se vê que as condições a impor aos pontos ([, \) ± ¸2 são que o radicando é 
não negativo e que o denominador não pode ser nulo. Assim, podemos escrever o domínio 
como o conjunto 
¢	£�¤8¥	¦
§�¨�©Gª�«5¬*­2®�¯.°	±�²/³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¸ ²/º
±#³.¹�·:¸ »
³.±�¼2³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¼
½\¾(½
( ){ }
( ){ }
( ){ }
( ){ }
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
, : 4 0 4 0
, : 4 4 0
, : 4 4
, : 4 .
¿' [ \ [ \ [ \
[ \ [ \ [ \
[ \ [ \ [ \
[ \ [ \
= ∈ + − ≥ ∧ + − ≠
= ∈ + ≥ ∧ + − ≠
= ∈ + ≥ ∧ + ≠
= ∈ + >
¸
¸
¸
¸
 
Portanto, a representação geométrica de 'À é a seguinte: 
 € 
 
 
�����,QYHUVmR�H�FRPSRVLomR�GH�IXQo}HV 
�
�������)XQomR�LQYHUVD�
�
'HILQLomR�>�����@��,QMHFWLYLGDGH�
Sejam $ e % dois conjuntos quaisquer e seja I uma função de $ em %. 
A função I diz-se LQMHFWLYD se dados [1, [2 ± $, [1 œ [2 Á I ([1) œ I ([2), ou seja, a valores 
diferentes da variável independente [ correspondem valores diferentes da variável 
dependente \. 
 
Na prática, a injectividade de uma função é verificada pela contra-recíproca, ou seja, 
I��[ Á �� �I��[ ��Á�[ Á � �[ . 
 
Se uma função I é injectiva podemos definir a respectiva IXQomR� LQYHUVD que, a cada 
\ = I($) faz corresponder um [ ± $ tal que \ = I([); Para representar a função inversa usa-se a 
simbologia 
I�-1: I($) | $ 
 \ 
 
I�-1(\) = [. 
O domínio da função inversa, I -1, é o contradomínio da função I e o contradomínio de 
I -1 é o domínio de I. 
 
¢	£�¤,¥	¦
§�¨�©Gª�«5¬*­2®�¯.°
±�²/³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¸ ²<º�±/³.¹�·:¸ »
³.±�¼Q³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¼
½!Ã9½
É fundamental que a função seja injectiva para se poder definir a sua inversa, pois caso 
contrário (se I não for injectiva) existem dois objectos distintos ([1 œ [2) com 
\1 = I([1) = \2 = I([2), e portanto, ao tomarmos \1 ± I($) não existe apenas uma imagem de 
[ ± $ tal que \ = I([). Assim, I -1 não é função. 
 
([HPSOR�>�����@� 
Indiquemos quais das funções seguintes admitem inversa e, sempre que possível, 
caracterizemos essa função inversa: 
�� I�: $ | ¸, com $ = [0, +ˆ[ 
 [ 
 
I ([) = [2 
Sejam [1, [2 ± $ quaisquer. 
Será que I é uma função injectiva em $? 
Vejamos se I([1) = I([2) Á [1 = [2: 
I([1) = I([2) ¾ ([1)2 = ([2)2 Á [1 = [2, em $. 
Assim, I é injectiva e portanto admite inversa. 
 
Caracterizemos a função inversa de I: 
\ = I([) ¾ \ = [2 ¾ [ = ” \ Á [ = \ , pois $ = [0, +ˆ[. 
 
Assim, 
 
I�-1: I($) | $, com I($) = I([0, +ˆ[) = [0, +ˆ[ 
 \ 
 
I (\) = \ = [� Ä 
 
�� J�: ¸ | ¸ 
 [ 
 
J ([) = [2 
Sejam [1, [2 ± ¸ quaisquer. 
J([1) = J([2) ¾ ([1)2 = ([2)2 ¾ [1 = ” [2. 
Assim, J é não injectiva e portanto não admite inversa. Ä 
 
 
�� K�: ¸2 | ¸2 
 ([, \) 
 
K ([, \) = ([ + \, [ – \) 
Sejam ([1, \1), ([2, \2) ± ¸2 quaisquer. 
¢	£�¤8¥	¦
§�¨�©Gª�«5¬*­2®�¯.°	±�²/³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¸ ²/º
±#³.¹�·:¸ »
³.±�¼2³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¼
½\Å2Æ<½
K([1, \1) = K([2, \2) ¾ ([1 + \1, [1 – \1) = ([2 + \2, [2 – \2) Á 1 1 2 2
1 1 2 2
[ \ [ \
[ \ [ \
+ = +
− = −
 
( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 1 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2
1 2
, ,
2 2
[ [ \ \ [ [ [ \ [ \[ \ \ \ [ \ \ \\ \

= + − = 
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ =  
+ − − = − = 
− = −
�
Assim, K é injectiva e portanto admite inversa. 
 
Caracterizemos a função inversa de K: 
�
K([, \) = (X, Y) ¾ ([ + \, [ – \) = (X, Y) Á 
2
[ \ X [ X \ [ X \
[ \ Y X \ \ Y \ Y X
+ = = − = −  
⇔ ⇔  
− = − − = − = −  
 
( )
2
2 2 2
, ,
2 2
2 2 2
X Y X X Y X Y[ X [ [ X Y X Y[ \X Y X Y X Y\ \ \
− − + +  
= − = =   + −    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    
− − −    
= = =    
 
 
Assim, 
K�-1: ¸2 | ¸2, pois K(¸2) = ¸2 
 (X, Y) 
 
([, \) = K (X, Y) = ,
2 2
X Y X Y+ −    � Ä
 
 
 
�������)XQomR�FRPSRVWD�
 
Consideremos $, %, & e ' conjuntos quaisquer. 
Dadas as funções I: $ | % e J: & | ' com I($) « & œ © define-se função composta 
de J por I e representa-se por JÍI do modo seguinte: dado um elemento [ ± $ tal que 
\ = I([) ± I($) « & faz-se-lhe corresponder um elemento ] = J(\) = J(I([)). 
Assim, 
� I J�
JÍI: $ | I($) « 'Ç | ' 
 [ 
 
I([) 
 
J(I([)) 
o seu domínio é o conjunto 'Ç
È É = {[ ± $: \ = I([) ± I($) « 'Ç }. 
 
Podemos ilustrar a forma de obter a função composta da seguinte forma: 
¢	£�¤,¥	¦
§�¨�©Gª�«5¬*­2®�¯.°
±�²/³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¸ ²<º�±/³.¹�·:¸ »
³.±�¼Q³�±�´�µ ¶�·:¸ ¹
¼
½\Å	Å9½
 
�
([HPSOR�>�����@� 
Sendo I([) = sen [ com domínio $ = 0,
2
pi    e J(\) = 1 1 2\+ − com domínio 
& = 1,
2
 
−∞   , definamos JÍI. 
Comecemos por determinar o domínio da função composta: 
 
Ora, [ ]0, 0,1
2
I pi   =     e portanto, 
'Ç
È É = {[ ± $: \ = I([) ± I($) « 'Ç } 
 
[ ] 10, : sen 0,1 ,
2 2
10, : sen 0,
2 2
[ [
[ [
pi
pi
     
= ∈ ∈ ∩ −∞          
    
= ∈ ∈        
 
tendo em conta que a função VHQR é crescente em 0,
2
pi    e sabendo que sen(0) = 0 e 
1
sen
6 2
pi 
=   então 0, 6Ê�Ë'
pi 
=   Ì . 
 
Determinemos a expressão analítica da função composta: 
(JÍI) ([) = J(I([)) = J(sen [) = 1 1 2sen [+ − , 
logo, 
JÍI: 0,
6
pi    | ¸ 
 [ 
 
JÍI ([) = 1 1 2sen [+ − � Í 
Î	Ï�Ð8Ñ	Ò
Ó�Ô�ÕGÖ�×5Ø*Ù2Ú�Û.Ü	Ý�Þ/ß�Ý�à�á â�ã:ä å
ä Þ/æ
Ý#ß.å�ã:ä ç
ß.Ý�è2ß�Ý�à�á â�ã:ä å
è
é\ê�ë�é
�
([HPSOR�>�����@� 
Sendo I(W) = ([, \) = ( )1,W W+ uma função de $ ¯ ¸+ em ¸2 e ] = J([, \) = [2 + \2 uma 
função de & = {([, \) ± ¸2: [2 + \2 † 4} em ¸. Definamos JÍI. 
'ì
í î = {W ± $: I(W) ± I($) « &} ( ) ( ){ }: 1,W $ W W I $ &= ∈ + ∈ ∩ 
Determinemos I($): 
Se W ± $ Á W > 0 Á 1 1
0
[ W
\ W
= + >
= >
 e portanto I($) = ]1, +ˆ[ — ]0, +ˆ [, e pela definição de & 
obtemos I($) « &, geometricamente: 
 
I(W) = ( )1,W W+ ± I($) « & Á 
( ) ( )22 2 21 4, pois +1 > 1 2 1 4 3 3 0W W W W W W W W⇒ + + ≤ ⇒ + + + ≤ ⇔ + − ≤ . 
 
Calculemos os zeros da função quadrática do primeiro membro da inequação: 
2 3 9 12 3 21 3 21 3 213 3 0
2 2 2 2
W W W W W W− ± + − ± − − − ++ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∨ = 
geometricamente temos 
 
assim, tendo em conta que W > 0, podemos escrever que 3 210,
2
W  − +∈   
 e, portanto 
� JÍI: 3
210,
2
 
− +  
 | ¸ 
 W 
 
JÍI (W) = ( ) ( )22 21 3 1W W W W+ + = + + ï 
�
ð	ñ�ò,ó	ô
õ�ö�÷Gø�ù5ú*û2ü�ý.þ
��������� �	��
 �
 ��������	��
 �
�.��������� �	��
 �
�
���	���
([HPSOR�>�����@� 
Sendo I(U, V) uma função de $ = {(U, V) ± ¸2: V – 0} em ¸3 definida por 
[ U V
\ U V
] U V
 = +
= −
= −
 e 
X = J([, \, ]) = [ \ ]+ + �uma função de & = {([, \, ]) ± ¸3: [ – 0, \ – 0, ] – 0} em ¸. 
 
 Definamos JÍI. 
�
'�
� ff = {(U, V) ± ¸2: I(U, V) ± I($) « &} ( ) ( ) ( ){ }2, : , ,U V U V U V U V I $ &= ∈ + − − ∈ ∩¸ 
 
Determinemos I($): 
 
Se U ± ¸ Á ( ) ( ) ( ) 23 ,
,
, , , , ,
,
fiffifl
[ U V
\ U V I U V [ \ ]
] U V
∈
 = + ∈
= − ∈ ⇒ = ∈ ∀
= − ∈
�
¸
¸ ¸
¸
 e portanto I($) = ¸3. Pela 
definição de & obtemos I($) « & = ¸3 « & = &, que representa o primeiro octante do espaço 
(¸3). Assim, 
 
( ){ }
( ){ }
( ){ }
2
2
2
, : 0 0 0
, :
, : .
 "!' U V U V U V U V
U V U V U V
U V U V
= ∈ + ≥ ∧ − ≥ ∧ − ≥
= ∈ ≥ − ∧ ≥
= ∈ ≥
# ¸
¸
¸
 
 
Determinemos a expressão analítica da função composta: 
 
( )( ) ( )( ) ( ), , , ,
2 ,
J I U V J I U V J U V U V U V
U V U V U V
U V U V
= = + − −
= + − + −+
= + −+
D
 
então, 
� JÍI: '$	% & | ¸ 
 (U, V) 
 
(JÍI )(U, V) = 2U V U V+ −+ � ' 
 
(*),+.-*/1032,46587:9<;>=3?�@*A�B�C�A�D�E F	G�H I
H B�J
AKC�I	G�H L
C�A�M>C�A�D�E F	G�H I
M
N�O
PQN
 
�����&RQWLQXLGDGH 
 
Comecemos por analisar a noção de continuidade para funções reais de variável real. 
Observemos as duas figuras seguintes: 
 
 
 
- Função contínua - - Função não contínua - 
 
Intuitivamente podemos assumir que: 
�L�� I é contínua em cada ponto do seu domínio. Por exemplo, I é contínua no ponto 
[0, porque para todo o ponto [ muito próximo de [0, I([) está muito próxima de 
I([0). 
�LL�� J não é contínua. Pois, por exemplo, J não é contínua no ponto [0, porque 
existem pontos [ muito próximo de [0 cujas imagens J([) não se encontram 
muito próximas de J([0). 
 
É do conhecimento geral que dada I : ; ¯ ¸ | ¸, função real de variável real, dado 
[0 ± ; (ponto do domínio de I) se exprimia pontualmente a noção de continuidade de I em [0 
do modo seguinte: 
I�p�FRQWtQXD�HP�[ R ¾ ( ) ( )0 0 0 0: ,S6T [ [ I [ I [ε δ δ ε> > ∈∀ ∃ ∀ − < ⇒ − < 
 ] [ ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0: , , ,U6V [ [ [ I [ I [ I [ε δ δ δ ε ε> > ∈  ⇔ ∀ ∃ ∀ ∈ − + ⇒ ∈ − +  
Vamos generalizar este conceito de continuidade de uma função num ponto, para 
funções vectoriais de P variáveis reais. 
 
'HILQLomR�>�����@��)XQomR�FRQWtQXD�QXP�SRQWR�
Sejam I: ; ¯ ¸ W | ¸X e [0 ± ;. Diz-se que a função I�p�FRQWtQXD�HP�[ R se e só se: 
( ) ( )0 0 0 0: ,Y6Z [ [ I [ I [ε δ δ ε> > ∈∀ ∃ ∀ − < ⇒ − < 
 
Vejamos alguns casos particulares, para P = 1 e para Q = 1: 
[*\,]ffi^*_1`3a,b6c8d:e<f>g3h�i
j�k�l�j�m�n o	p�q r
q k�s	j�l�r	p�q t
l�j�u�l�j�m�n o	p�q r
u
v�w*xyv
 
���P� �� 
I: ; ¯ ¸ | ¸X ([0 ± ;) 
I é contínua em [0 ¾ ( ) ( )0 0 0 0: ,z6{ [ [ I [ I [ε δ δ ε> > ∈∀ ∃ ∀ − < ⇒ − < 
 
���Q� �� 
I: ; ¯ ¸ W | ¸ ([0 ± ;) 
I é contínua em [0 ¾ ( ) ( )0 0 0 0: ,z6{ [ [ I [ I [ε δ δ ε> > ∈∀ ∃ ∀ − < ⇒ − < 
 
'HILQLomR�>�����@��)XQomR�FRQWtQXD�QR�VHX�GRPtQLR�
Sejam I: ; ¯ ¸ W | ¸ X e [0 ± ;. Diz-se que a função I� p� FRQWtQXD� HP�;� �RX� DSHQDV�
FRQWtQXD�, se I é contínua em todos os pontos de ; (em todos os pontos do seu domínio). 
Simbolicamente, podemos escrever: 
I é contínua em ; ¾ 
0
:|~}∈∀ I é contínua em [0 
( ) ( )
0 0 0 0 0
, : ,€ 6€ [ [ I [ I [ε δ δ ε∈ > > ∈⇔ ∀ ∀ ∃ ∀ − < ⇒ − < 
 
7HRUHPD�>�����@��&RQWLQXLGDGH�GD�UHVWULomR�
Sejam I: ; ¯ ¸W | ¸X uma função, $ ¯ ; e D ± $. 
Se I é contínua em D então: I�| ‚ : $ | ¸ X é ainda contínua em D. 
 
([HPSOR�>�����@� 
Verifiquemos, aplicando a definição, que a função 
� I: ; ¯ ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
I ([,\) = ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 , , 0,0
0 , , 0,0
[ \ [ \[ \
[ \

≠ +
=
 
é contínua em (0, 0). 
 
Ora, I é contínua em (0, 0) se e só se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0 ,: , , 0,0 , 0,0ƒ8„ [ \ I [ \ Iε δ δ ε> > ∈∀ ∃ ∀ − < ⇒ − <… . 
Podemos então, ter dois casos distintos: 
†*‡,ˆ.‰*Ł1‹3Œ,6Ž8:<‘>’3“�”*•�–�—�•�˜�™ š	›�œ 
œ –�ž
•K—�	›�œ Ÿ
—�•� >—�•�˜�™ š	›�œ 
 
¡�¢>£�¡
�� ([, \) = (0, 0) 
�� ([, \) œ (0, 0) 
Estudemos os dois casos separadamente: 
�� ([, \) = (0, 0) 
( ) ( ) ( ) ( )0 0 : 0,0 0,0 0,0 0,0I Iε δ δ ε> >∀ ∃ − < ⇒ − < 
Seja G > 0, qualquer. 
( ) ( ) 2 20,0 0,0 0 0 0δ δ δ− < ⇔ + < ⇔ < 
e ainda, 
( ) ( )0,0 0,0 0 0 0I I ε δ− < ⇔ − = < 
Seja G = G, temos que: 
( ) ( )0,0 0,0I I δ ε− < = , como pretendíamos. 
 
�� ([, \) œ (0, 0) 
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )20 0 , \ 0,0: : , 0,0 , 0,0¤8¥ [ \ I [ \ Iε δ δ ε> > ∈∀ ∃ ∀ − < ⇒ − <¦ 
Seja G >0, qualquer. Queremos verificar ( ) ( ){ } ( ) ( )20 , \ 0,0: : , ,§8¨ [ \ I [ \δ δ ε> ∈∃ ∀ < ⇒ <© . 
Ora, 
( ) 2 2 2 2 2,[ \ [ \ [ \δ δ δ< ⇔ + < ⇒ + < e também ( )
2 2 2 2
2 2 2 2,
[ \ [ \I [ \ [ \ [ \= =+ + . 
Vejamos que, 
( )( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
, pois 
[ \ [ \[ \ [ [ \ \ [ \[ \ [ \
[ \ δ
+ +
≤ ≤ + ∧ ≤ +
+ +
= + <
 
Então, seja ( ), 0δ ε δ= > . 
Vejamos que ( ) ( ){ } ( ) ( )2, \ 0,0 : , ,ª8« [ \ I [ \δ ε∈∀ < ⇒ <¬ 
Seja ([, \) ± ¸2\ {(0, 0)}: 
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2,
[ \[ \ [ \ I [ \ [ \[ \δ δ δ ε+ < ⇔ + < ⇒ = ≤ + < =+ , como queríamos 
demonstrar. 
Assim, I é contínua em (0, 0).�� ­ 
 
®*¯,°ffi±*²1³3´,µ6¶8·:¸<¹>º3»�¼
½�¾�¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
Ä ¾�Æ	½�¿�Å	Ã�Ä Ç
¿�½�È�¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
È
É�ÊÌË8É
3URSRVLomR�>�����@��&RQWLQXLGDGH�GD�FRPSRVLomR�GH�IXQo}HV�
Sejam I: $ ¯ ¸Í | ¸Î e J: % ¯ ¸Î | ¸Ï , tais que I($) ¯ %. 
Se I é contínua em D ± $ e J é contínua em I(D) então JÍI: $ ¯ ¸ Í | ¸Ï é contínua em D. 
 
 
3URSRVLomR�>�����@��
Uma função I: ; ¯ ¸Í | ¸ Î definida no conjunto ; ¯ ¸ Í , é contínua num ponto D ± ; se e 
só se cada uma das suas funções coordenadas I Ð : ; ¯ ¸ Í | ¸, L = 1, … , Q, é contínua em D. 
 
7HRUHPD�>�����@��
Sejam ; ¯ ¸ Í e I, J: ; ¯ ¸ Í | ¸ Î , D: ; ¯ ¸ Í | ¸ funções contínuas num ponto D ± ;. 
Então são também contínuas, em D, as funções: 
L� I ” J: ; | ¸ Î , (I ” J)([) = I([) ” J([) 
LL� D.I: ; | ¸Î , (D.I)([) = D([).I([) 
LLL� <I, J>: ; | ¸, <I, J>([) = <I([), J([)> (produto interno) 
LY� I ¼ J: ; | ¸3, (I ¼ J)([) = I([) ¼ J([), (Q = 3), (produto externo) 
Y� I
α
: ; | ¸, I
α
    ([) = 
( )
( )
I [
[α , definida se 0 ² D (;) 
 
3URSRVLomR�>�����@��
Toda a função linear é contínua. 
 
([HPSOR�>�����@� 
Seja I: ¸2 | ¸, definida por ( ) 2 3, sen e ÑÓÒI [ \ [ += . Mostremos que I é contínua. 
Pela definição de I podemos verificar facilmente que se trata do produto de duas 
funções: 
I = J�K 
onde: 
J: ¸2 | ¸ 
([, \) 
 
J([,\) = sen [
K: ¸2 | ¸ 
([, \) 
 
K([,\) = 2 3e ÔÖÕ+
 
 Se provarmos que J e K são duas funções contínuas, sabemos que I = J�K é também 
®*¯,°.±*²1³3´,µ6¶8·:¸<¹>º3»�¼*½�¾�¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
Ä ¾�Æ
½K¿�Å	Ã�Ä Ç
¿�½�È>¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
È
É�Ê*×yÉ
uma função contínua. 
Provemos então que J e K são funções contínuas: 
J: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
J([,\) = sen [ 
 
Ora, J pode ser escrita como a composição de duas funções: 
 
¸2 | ¸ | ¸ 
 ([, \) 
 
[ 
 
sen [ 
 S1 sen 
logo J = sen Í S1, é fácil verificar que têm o mesmo domínio, conjunto de chegada e igual lei 
de transformação, onde 
S1: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
S1([,\) = [
VHQ: ¸ | ¸ 
 [ 
 
sen [
Ora, S1 é continua por ser linear e VHQ é contínua por ser uma função real e variável real. 
Assim, J = senÍS1 é contínua, por ser a composição de duas funções contínuas. 
 
Provemos, agora, que K é uma função contínua: 
K: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
K([,\)
= 2 3e ÔÖÕ+ 
A função K também pode ser escrita como a composição de duas funções: 
¸2 | ¸ | ¸ 
 ([, \) 
 
[2 + \3 
 
2 3
e ÔÖÕ+ 
 \ exp 
então K = expÍ\, onde 
\: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
[2 + \3
H[S: ¸ | ¸ 
 W 
 
e Ø
Mostremos que \ e H[S são duas funções contínuas. 
Ora, \ pode ser escrita como a soma de duas funções: \ = \1 + \2 onde, 
\1: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
[2
\2: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
\3
 
Como se poderá verificar ambas as funções \1 e \2 são contínuas. Comecemos por verificar 
que \1 pode ser escrita como a composição seguinte: 
®*¯,°ffi±*²1³3´,µ6¶8·:¸<¹>º3»�¼
½�¾�¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
Ä ¾�Æ	½�¿�Å	Ã�Ä Ç
¿�½�È�¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
È
É�Ê�Ù,É
¸2 | ¸ | ¸ 
 ([, \) 
 
[ 
 
[2 
 S1 T1 
logo \1 = T1ÍS1, com 
T1: ¸ | ¸ 
 [ 
 
[2
S1: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
[
 
Ora, T1 é continua por ser polinomial e S1 é contínua por ser linear. Assim, \1 = T1ÍS1 é 
contínua, por ser a composição de duas funções contínuas. 
 
Verifiquemos, agora, que \2 pode ser escrita como a composição seguinte: 
¸2 | ¸ | ¸ 
 ([, \) 
 
\ 
 
\3 
 S2 T2 
logo \2 = T2ÍS2, com 
T2: ¸ | ¸ 
 \ 
 
\3
S2: ¸2 | ¸ 
 ([, \) 
 
\
Ora, T2 é continua por ser polinomial e S2 é contínua por ser linear. Assim, \2 = T2ÍS2 é 
contínua, por ser a composição de duas funções contínuas. 
Assim, sendo \1 e \2 duas funções contínuas, \ = \1 + \2 é contínua. 
Tendo em conta que a função exponencial é contínua, por ser uma função real e variável 
real, podemos concluir que K = expÍ\ é contínua. 
Então J e K são funções contínuas, portanto I = J�K é contínua. ­ 
 
'HILQLomR�>������@��)XQomR�FRQWtQXD�UHODWLYDPHQWH�D�XPD�YDULiYHO�
Seja I: ¸ Í | ¸Î , com I([1, … , [
Í
) = (I1([1, … , [
Í
), … , I
Î
([1, … , [
Í
)). 
Seja 1 † L † P, fixo. Diz-se que I�p�FRQWtQXD�HP�UHODomR�j�YDULiYHO�[Ú , se para quaisquer 
constantes (fixas) D1, D2, … , D Ð – 1, D Ð + 1, … , D
Í
 a função J: ¸ | ¸ Î , dada por 
J([) = I(D1, … , D Ð – 1, [, D Ð + 1, … , D
Í
) for contínua. 
J denomina-se de IXQomR�SDUFLDO�GH�I. 
 
([HPSOR�>������@� 
Seja I: ¸3 | ¸, definida por ( ) ( )2, , senI [ \ ] [ [ \ ]= + + + . Mostremos que I é 
contínua relativamente a \. 
Tomemos, por exemplo, [ = 2 e ]�= 1. 
®*¯,°.±*²1³3´,µ6¶8·:¸<¹>º3»�¼*½�¾�¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
Ä ¾�Æ
½K¿�Å	Ã�Ä Ç
¿�½�È>¿�½�À�Á Â	Ã�Ä Å
È
ÉÜÛ3Ý�É
Uma das funções parciais de I em relação à variável \ é: 
J: ¸ | ¸ 
 \ 
 
J(\) = I(2, \, 1) = 4 + sen (2 + \) + 1 
 = 5 + sen (2 + \) 
 
Ora, I é contínua em relação a \ se para todas as constantes D1, D3, a função 
J: ¸ | ¸ 
 \ 
 
J(\) = I(D1, \, D3) 
é contínua. 
Assim, J(\) = I(D1, \, D3) = D12 + sen(D1 + \) + D3 que é contínua e portanto I é contínua 
relativamente a \. ­ 
 
7HRUHPD�>������@��
Se I: ¸ Í | ¸ Î é contínua, então qualquer função parcial de I também é contínua, isto é, I é 
contínua relativamente a cada uma das suas variáveis. 
 
 
�����/LPLWHV 
 
'HILQLomR�>�����@��/LPLWH�GH�XPD�IXQomR�I��¸ Þ |¸ ß
Seja I: ; ¯ ¸ Í | ¸Î uma função definida num conjunto ; ¯ ¸ Í . 
Seja D ± ¸ Í um ponto de acumulação de ;, isto é, D ± ; à . 
Diz-se que E ± ¸ Î é o limite de I([) quando [ ‘ D, e escreve-se 
( ) ( )0 0lim : ,0á6â
áäã
I [ E [ D I [ Eε δ δ ε> > ∈
→
= ⇔ ∀ ∃ ∀ < − < ⇒ − < 
 
7HRUHPD�>�����@��
O limite, quando existe, é único. 
 
([HPSOR�>�����@� 
Aplicando a definição de limite, mostremos que ( ) ( )
2
2 2
, 0,0
lim 0.
å8æ
[ \
[ \→ =+ 
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )2
2 2
0 02 2 2 2\ 0,0
, 0,0
lim 0 : ,0 , 0,0 0
ç
ç8è
[ \ [ \[ \[ \ [ \ε δ δ ε> > ∈→ = ⇔ ∀ ∃ ∀ < − < ⇒ − <+ +é 
ê*ë,ìffií*î1ï3ð,ñ6ò8ó:ô<õ>ö3÷�ø
ù�ú�û�ù�ü�ý þ	ß�� ��� ú��	ù�û��	ß�� �
û�ù	��û�ù�ü�ý þ	ß�� ���
���
�
Seja G > 0, qualquer. 
Tentemos encontrar G > 0, no domínio ¸2 \ {(0, 0)}, tal que: 
( ) ( )
2
2 20 , 0,0
[ \[ \ [ \δ ε< − < ⇒ <+ 
( ) ( ) 2 20 , 0,0[ \ [ \δ δ< − < ⇔ + < 
Ora, 
2 2
2 2 2
[ \ [ \ \[ \ [≤ ≤+ . 
Como 2 2 2\ \ [ \ δ= ≤ + < , podemos concluir que: 
2
2 2
[ \ \[ \ δ≤ <+ 
Seja, então, G = G. 
Em primeiro lugar G > 0, pois G = G > 0. 
Em segundo lugar, para G = G�> 0 provamos que: 
( ){ }2
2
2 2
0 0 2 2\ 0,0: ,0 0�
[ \[ \ [ \ε δ ε δ ε> = > ∈∀ ∃ ∀ < + < ⇒ − <+� 
e portanto, 
( ) ( )
2
2 2
, 0,0
lim 0
���
[ \
[ \→ =+ � 
 
3URSRVLomR�>�����@��
Sejam I: ; ¯ ¸� | ¸� e J: < ¯ ¸ � | ¸� , com I(;) ¯ <; Seja D ± ; � : 
�� Se ( )lim
�fiff
I [ E
→
= e J é contínua em E (E ± <), então ( )( ) ( )lim
flfiffi
J I [ J E
→
=D . 
�� Se ( )lim
flfiffi
I [ E
→
= e ( )lim
�! 
J \ F
→
= , onde E ± < � e F ± ¸� , e se I([) œ E quando [ œ D, então: 
( )( )lim
"fi#
J I [ F
→
=D . 
 
 
7HRUHPD�>�����@��
Sejam I: ; ¯ ¸� | ¸� , I = (I $ ), L = 1, 2, … , Q, e D ± ; � , então: 
( ) ( )1 2lim , ,..., %
&fi'
I [ E E E E
→
= = se e só se ( )lim , 1,2,...,( (
)fi*
I [ E L Q
→
= = . 
+-,/.10-24365/798�:<;>=�?6@�A-BDCFE	B	G	H IKJ�L M�L CFN�BOE�MKJ�L P�E�B	Q�E	B	G	H IKJ�L M�Q
R�S-STR
 
Este teorema dá-nos uma forma de cálculo do limite de uma função vectorial, com Q 
funções coordenadas, ou seja, sendo 
� I: ; ¯ ¸ � | ¸� 
 ( )1 2, ,..., U[ [ [ 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , , ,..., ,..., , ,...,V V V W VI [ [ [ I [ [ [ I [ [ [ I [ [ [= 
com I = (I $ ), L = 1, 2, … , Q, e D ± ; X , então: 
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2lim lim , lim ,..., lim Y
Zfi[ Zfi[ Zfi[ Z\[
I [ I [ I [ I [
→ → → →
= . 
 
([HPSOR�>�����@� 
Determinemos, caso exista, ( )
0
lim
]
I W
→
, onde: 
I: ¸\{0} | ¸3 
 W 
 
I(W) = 2 sen, , WW W W
    . 
Como vimos, ( ) ( )2 2
0 0 0 0 0
sen senlim lim , , lim , lim , lim 0,0,1
^ ^ ^ ^ ^
W WI W W W W WW W→ → → → →
   
= = =       . _ 
 
3URSRVLomR�>�����@��
Seja ; ¯ ¸ ` e D ± ; X . 
Sejam I, J: ; ¯ ¸` | ¸ a e D: ; ¯ ¸ ` | ¸ tais que: ( )lim
bfic
I [ E
→
= ; ( )lim
dfie
J [ F
→
= e 
( ) 0lim
ffig
[α α
→
= , onde ( ) ( )1 2 1 2 0, ,..., ; , ,..., e .h hh hE E E E F F F F α= ∈ = ∈ ∈¸ ¸ ¸ 
Então: 
�� ( )( )lim
ifij
I J [ E F
→
± = ± ; 
�� ( )( ) 0lim
kfil
I [ Eα α
→
= ; 
�� ( )lim , ,
mfin
I J [ E F
→
= ; 
�� ( )( )lim , com 3
ofip
I J [ E F Q
→
∧ = ∧ = ; 
�� Se ( ) ( )lim lim
qfir q\r
I [ E I [ E
→ →
= ⇒ = . 
 
 
([HPSOR�>�����@� 
Determinemos, caso exista, ( ) ( )( )3 2 2, 2,1lim 2 2 .s�t [ [ \ \→ − + − + 
u-v/wyx-z4{6|/}9~�<€>�‚6ƒ�„�…D†F‡	…	ˆ	‰ ŁK‹�Œ �Œ †�ŽK…F‡�K‹�Œ �‡�…	‘‡	…	ˆ	‰ ŁK‹�Œ �
’�“-”T’
Ora, ( ) ( )( ) ( ) ( )3 23 2 2 2, 2,1lim 2 2 2 2 2 1 1 2 1•�– [ [ \ \→ − + − + = − + × − × − + = — 
 
 
 
�������/LPLWHV�UHODWLYRV��VXFHVVLYRV�H�GLUHFFLRQDLV�
 
Consideremos o caso particular de uma função real de Q variáveis reais, isto é, 
I: ; ¯ ¸ ˜ | ¸. 
 
'HILQLomR�>�����@��/LPLWH�UHODWLYR
Sejam % ¯ ;, I|™ : % | ¸ (restrição de I ao conjunto %) e D ± % š . 
Chama-se OLPLWH�GH�I�QR�SRQWR�D�UHODWLYR�D�%, ao limite, caso exista, da restrição de I a %, e 
representa-se por: 
( ) ( )|lim lim ›
œfi œfi
œ
›
I [ I [
→ →
∈
= . 
 
Tendo em conta o teorema da unicidade do limite, o limite da função, se existir, é igual 
ao limite relativo para qualquer conjunto % ¯ ;. Podemos afirmar que, se existir limite da 
função I, quando [ tende para D, o limite é o mesmo qualquer que seja o “caminho” que [ 
percorra a tender para D. 
 
No caso de ¸, isto é, para funções reais de variável real, são conhecidos dois casos 
possíveis de “caminhos” para fazer [ aproximar-se de D, são os chamados OLPLWHV� ODWHUDLV, 
( ) ( )lim e lim ,
žfiŸ ž\Ÿ
I [ I [
− +→ →
 OLPLWH� ODWHUDO� HVTXHUGR e OLPLWH� ODWHUDO� GLUHLWR, respectivamente.
Geometricamente podemos representar estes dois “caminhos” possíveis através do seguinte 
esquema: 
 
 
 
No caso das funções de ¸2 em ¸, existe uma infinidade de “caminhos” para fazer um 
ponto genérico ([, \) aproximar-se (tender) para um ponto fixo (D1, D2). 
Os mais usuais são os chamados OLPLWHV� VXFHVVLYRV e os OLPLWHV� GLUHFFLRQDLV, que 
geometricamente se podem representar pelo esquema: 
 -¡/¢1£-¤4¥6¦/§9¨�©<ª>«�¬6­�®-¯D°F±	¯	²	³ ´Kµ�¶ ·�¶ °F¸�¯O±�·Kµ�¶ ¹�±�¯	º�±	¯	²	³ ´Kµ�¶ ·�º
»�¼‘½¾»
 
No entanto, como se pode verificar, existe uma infinidade de “ caminhos” possíveis para 
tal aproximação. Tomemos, como exemplos, os que a seguir se indicam: 
 
�
'HILQLomR�>������@��/LPLWHV�VXFHVVLYRV
Seja I: ; ¯ ¸2 | ¸ e D = (D1, D2) ± ; š . 
Os limites sucessivos consistem em fazer tender o [ para D1, mantendo-se o \ inalterado 
(obtendo-se uma função de \ apenas) e em seguida faz-se o \ tender para D2, ou vice-versa, 
ou seja: 
( )
2 1
lim lim ,
¿ÁÀÃÂ\À
I [ \
→ →
 e, neste caso, segue-se o “ caminho” seguinte: 
 
ou, caso contrário, 
( )
1 2
lim lim ,
ÂfiÀÄ¿ÁÀ
I [ \
→ →
 que segue o “ caminho” seguinte: 
 
 
 -¡/¢y£-¤4¥6¦/§9¨�©<ª>«�¬6­�®�¯D°F±	¯	²	³ ´Kµ�¶ ·�¶ °�¸K¯F±�·Kµ�¶ ¹�±�¯	º‘±	¯	²	³ ´Kµ�¶ ·�º
»�¼�Å�»
 
'HILQLomR�>������@��/LPLWHV�GLUHFFLRQDLV
Seja I: ; ¯ ¸2 | ¸ e D = (D1, D2) ± ; š . 
Os limites direccionais consistem em fazer tender ([, \) para (D1, D2) através da recta que 
passa por (D1, D2) e tem um determinado declive P, ou seja, a recta \� ±� D Æ � �P�[� ±� D Ç � 
restringindo-se o domínio à recta. Assim, temos: 
( )( )2 1lim ,
ÈfiÉ
I [ D P [ D
→
+ − , ou seja, segue-se o “ caminho” seguinte: 
 
 
Convém, portanto, realçar que: 
1- No caso de obtermos limites relativos diferentes (sucessivos ou direccionais) 
podemos concluir que a função não possui limite quando ([, \) | (D1, D2). 
2- No entanto, não podemos concluir que existe limite pelo facto dos limites relativos 
serem iguais, pois pode haver um “ caminho” que dê um limite diferente. Para concluirmos 
acerca da existência de limite, e na impossibilidade de estudarmos todos os “ caminhos” 
possíveis por serem infinitos, teremos que recorrer à definição de limite. 
 
([HPSOR�>������@� 
Determinemos, caso exista, ( ) ( )
3 3
3 3
, 0,0
lim .
Ê�Ë
[ \
[ \→
−
+
 
Ora, comecemos por aplicar os limites sucessivos: 
3 3 3
3 3 30 0 0 0
3 3 3
3 3 30 0 0 0
lim lim lim lim1 1
lim lim lim lim 1 1
ÌÎÍ Ì Ì
ÍÏÌ Í Í
[ \ [
[ \ [
[ \ \
[ \ \
→ → → →
→ → → →
−
= = =
+
− −
= = − = −
+
 
Como os limites sucessivos são diferentes podemos concluir que ( ) ( )
3 3
3 3
, 0,0
lim .
Ð�Ñ
[ \
[ \→
−∃
+
 Ò 
 
 
Ó-Ô/Õ1Ö-×4Ø6Ù/Ú9Û�Ü<Ý>Þ�ß6à�á-âDãFä	â	å	æ çKè�é ê�é ãFë�âOä�êKè�é ì�ä�â	í�ä	â	å	æ çKè�é ê�í
î�ï6ð�î
([HPSOR�>������@� 
Verifiquemos que não existe ( ) ( )
3
2 6
, 0,0
lim .
ñ�ò
[\
[ \→ + 
Pelos limites sucessivos, temos que: 
3
2 6 20 0 0 0
3
2 6 60 0 0 0
0lim lim lim lim 0 0
0lim lim lim lim 0 0
óÎô ó ó
ôÏó ô ô
[\
[ \ [
[\
[ \ \
→ → → →
→ → → →
= = =
+
= = =
+
 
Como os limites sucessivos são iguais, nada podemos concluir quanto à existência de 
limite. Apliquemos, então, os limites direccionais. Consideremos a recta \ – E = P([ –D), 
com (D, E) = (0, 0). 
Assim, \ = P[ e portanto: 
( ) ( )
3 3 3 4 3 2
2 6 6 6 42 6 40 0 0 0 0 0
0lim , lim lim lim lim lim 0 0
1 11õ õ õ õ õ õ
[P [ P [ P [I [ P[ [ P [ P [[ P [→ → → → → →= = = = = =+ ++ 
Como os limites direccionais são também iguais e iguais a zero, nada se pode concluir. 
No entanto, se o limite existir terá que ser obrigatoriamente zero (uma vez que o limite 
quando existe é único). Vejamos que não existe limite. 
Façamos, por exemplo, ([, \) | (0, 0) através da linha \ = 3 [ , temos: 
( ) ( )( )
3
3 2
3
6 2 2 20 0 0 0 02 3
1 1lim , lim lim lim lim 0
2 2 2ö ö ö ö ö
[ [ [[ [I [ [ [ [ [[ [→ → → → →
= = = = = ≠
++
. 
Então, obtivemos um limite relativo diferente de zero, podemos concluir que 
( ) ( )
3
2 6
, 0,0
lim .
÷�ø
[\
[ \→∃ + ù 
 
([HPSOR�>������@� 
Estudemos, quanto ao limite no ponto (0, 0), a função ( ) 2 2, .[\I [ \ [ \= + 
Limites sucessivos: 
2 2 20 0 0 0
2 2 20 0 0 0
0lim lim lim lim 0 0
0lim lim lim lim 0 0
úÎû ú ú
ûÏú û û
[\
[ \ [
[\
[ \ \
→ → → →
→ → → →
= = =
+
= = =
+
 
Como os limites sucessivos são iguais, nada podemos concluir quanto à existência de 
limite. 
ü-ý/þyß��������	��
���������������ff�fffifffl ffi �"! #�! �%$ ����# �"! &����ff'(�ff�fffifffl ffi �"! #�'
)+*-,�)
Limites direccionais: 
Consideremos a recta \ = P[ e portanto: 
( ) ( )
2
2 2 2 2 22 20 0 0 0
lim , lim lim lim
1 11. . . .
[P[ P[ P PI [ P[ [ P [ P P[ P→ → → →= = = =+ + ++ 
Então os limites direccionais dependem do declive da recta considerada. Logo, para 
rectas com diferentes declives obtemos valores diferentes para o limite e, portanto, podemos 
concluir imediatamente que ( ) ( ) 2 2, 0,0lim ./�0
[\
[ \→∃ + 1 
 
 
�������/LPLWHV�GLUHFFLRQDLV��FDVR�JHUDO��
 
7HRUHPD�>������@�
Seja I: ; ¯ ¸ 2 | ¸, D ± ; 3 . 
Se ( )lim
465
I [ E
→
= então para qualquer vector X ± ¸ 2 , com X œ 0, temos que: 
( )
0
lim
7
I D WX E
→
+ = , W ± ¸ 
(restrição do domínio à recta D + WX) 
 
Atentemos no facto do recíproco nem sempre ser verdadeiro. 
Se tivermos uma função vectorial de P variáveis reais, então o seu limite é o limite de 
cada uma das suas funções componentes, que são funções reais. E portanto, podemos aplicar 
o teorema anterior. 
 
([HPSOR�>������@� 
Verifiquemos que não existe limite de ( ) 3 3 3, , [\]I [ \ ] [ \ ]= + + quando 
([, \, ]) | (0, 0, 0). 
Verifica-se de imediato que se obtém uma indeterminação do tipo 0
0
. 
Neste caso, não aplicaremos os limites sucessivos vistos para o caso de ¸2, iremos 
aplicar directamente o teorema anterior, que consiste na generalização do conceito de limite 
direccional. 
 
 
8�9�:<;�=�>�?�@	A�B
C�D�E�F�G�H�I�JffHffKffL M N"O P�O I�Q�HRJ�P N"O S�J�HffT�JffHffKffL M N"O P�T
U+V�WXU
Limites direccionais: 
Sejam X = (X1, X2, X3) ± ¸3; W ± ¸, com X œ (0, 0, 0). 
Assim, D + WX = (0, 0, 0) + W(X1, X2, X3) = (WX1, WX2, WX3). Consequentemente, temos: 
( ) ( ) ( )
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 30 0 0 0
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 3 3
1 2 3
lim , , lim lim lim
.
Y Y Y Y
WX WX WX W X X X X X XI WX WX WX W X W X W X W X X X X X X
X X X
X X X
→ → → →
= = =
+ + + + + +
=
+ +
 
Portanto, ( )
0
lim
Z
I D WX E
→
+ ≠ , E constante e consequentemente ( ) ( ) ( ), , 0,0,0lim , ,[�\X] I [ \ ]→∃ , 
pois para vectores diferentes, X ± ¸3, obtemos limites diferentes. Vejamos, apenas como 
exemplo: 
- Se X = (1, 0, 0), temos que ( )
0
0lim 0
1^
I D WX
→
+ = = 
- Se X = (1, 1, 1), temos que ( )
0
1lim
3_
I D WX
→
+ = ` 
 
7HRUHPD�>������@�
Seja I: ; ¯ ¸ a | ¸b , D ± (; «; c ). 
Então I é contínua em D se e só se ( ) ( )lim
d6e
I [ I D
→
= . 
 
([HPSOR�>������@� 
Averiguemos se a função I: ¸2 | ¸, em que ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3
2 2
2
, , 0,0
,
0 , , 0,0
[ \ [ \[ \I [ \
[ \
 −
≠ += 
=
, é 
contínua no ponto (0, 0). 
 
Como I(0, 0) = 0, para que a função seja contínua no ponto (0, 0) basta averiguar se 
( ) ( ) ( ), 0,0lim , 0f�g I [ \→ = . 
Como se trata de uma função de ¸2 | ¸ poderíamos utilizar os limites sucessivos, 
vamos, no entanto, recorrer directamente aos limites direccionais. 
Consideremos X = ( X1, X2) ± ¸2 e W ± ¸, com X œ (0, 0). 
Então D + WX = (0, 0) + W(X1, X2) = (WX1, WX2). 
Calculemos,
então o limite: 
h�i�j-k�l�m�n�o	p�q
r�s�t�u�v�w�x�yffwffzff{ | }"~ �~ x%€ w�y� }"~ �y�wff‚(yffwffzff{ | }"~ �‚
ƒ+„+…�ƒ
( ) ( ) ( )( )
3 3 33 3 3 3 3 3
1 21 2 1 2
1 2 2 2 2 2 2 22 2 20 0 0 0 0
1 2 1 21 2
22 2lim lim , lim lim lim 0
† † † † †
W X XW X W X X XI D WX I WX WX WW X W X X XW X X→ → → → →
−
− −
+ = = = = =
+ ++
 
Nada se pode concluir acerca da existência do limite, apenas sabemos que no caso de 
existir será igual a zero. Assim, vamos aplicar a definição de limite: 
( ) ( ) ( ){ } ( )2
3 3 3 3
0 02 2 2 2\ 0,0
, 0,0
2 2lim 0 : ,0 ,
‡
‡�ˆ
[ \ [ \[ \[ \ [ \ε δ δ ε> > ∈→
− −
= ⇔ ∀ ∃ ∀ < < ⇒ <
+ +
‰
 
Seja G > 0 qualquer e ([, \) ± ¸2\{(0, 0)}. 
Por hipótese, sabemos que ( ) 2 20 ,[ \ [ \δ δ< < ⇔ + < . 
Ora, 
3 33 3
2 2 2 2
22 [ \[ \
[ \ [ \
+ −
− ≤
+ +
, mas sabemos que: 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 33 33 2 2 2 3 2 2 2e .[ [ [ [ \ \ \ \ [ \= = ≤ + = = ≤ + 
Assim, podemos escrever: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
2 2 2 2 2 23 33 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 322
3 3
[ \ [ \ [ \[ \[ \
[ \ [ \ [ \ [ \
[ \ [ \ [ \
[ \
+ + + ++ −
− ≤ ≤ =
+ + + +
+ + +
= =
+
2 2
2 2
[ \
[ \
+
+
2 23 3[ \ δ ε= + < =
 
Seja então 
3
εδ = . 
Ora: 
1- G > 0, pois G > 0 e portanto 0
3
ε
> 
2- Vejamos que ( ){ } ( )2
3 3
2 2\ 0,0
2
,0 ,
Ł
[ \[ \ [ \δ ε∈
−∀ < < ⇒ <
+
‹
: 
Seja ([, \) ± ¸2\{(0, 0)}. 
Como sabemos 2 2[ \ δ+ < e portanto: 
3 3
2 2
2 2
2 3 3 3
3
[ \ [ \[ \
εδ ε− ≤ + < = =
+
. 
Então 
3 3
2 2
2[ \
[ \ ε
−
<
+
. 
Assim, concluímos que: 
Œ��Ž<��‘�’�“	”�•
–�—�˜�™�š�›�œ�ff›ffžffŸ   ¡"¢ £�¢ œ�¤�›R�£ ¡"¢ ¥��›ff¦�ff›ffžffŸ   ¡"¢ £�¦
§+¨�©%§
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
, 0,0
2lim 0 0,0
ª�«
[ \ I[ \→
−
= =
+
 
e portanto I é contínua no ponto (0, 0). ¬ 
 
 
([HPSOR�>������@� 
Determinemos, caso exista, ( ) ( ), 0,0lim­�®
[ \
[ \→
+
−
. 
Apliquemos os limites sucessivos: 
0 0 0 0
0 0 0 0
lim lim lim lim1 1
lim lim lim lim 1 1
¯±° ¯ ¯
°²¯ ° °
[ \ [
[ \ [
[ \ \
[ \ \
→ → → →
→ → → →
+
= = =
−
+
= = − = −
− −
 
Como os limites sucessivos são diferentes, podemos concluir que não existe o limite. ¬ 
 
([HPSOR�>������@� 
Determinemos, caso exista, 
2
3 20
0
2lim
³
´
\
[→→
. 
Apliquemos os limites sucessivos: 
2
3 2 3 20 0 0 0
2 2
3 20 0 0
2 0lim lim lim lim 0 0
2 2lim lim lim
0
µ±¶ µ µ
¶²µ ¶
\
[ [
\ \
[
→ → → →
→ → →
= = =
= = +∞
 
Como os limites sucessivos são diferentes, podemos concluir que não existe o limite. ¬ 
 
([HPSOR�>������@� 
Determinemos, caso exista, 
0
0
0
lim
·
¸ ¹
[ \ ]
[ ]→
→
→
+ +
−
. 
Apliquemos os limites direccionais (caso geral): 
Consideremos X = ( X1, X2, X3) ± ¸3 e W ± ¸, com X œ (0, 0, 0). 
Então D + WX = (0, 0, 0) + W(X1, X2, X3) = (WX1, WX2, WX3). 
Calculemos, então o limite: 
( ) ( ) 1 2 31 2 30 0 0
1 3
lim lim , , lim
º º º
WX WX WXI D WX I WX WX WX WX WX→ → →
+ +
+ = =
−
 
»�¼�½-¾�¿�À�Á�Â	Ã�Ä
Å�Æ�Ç�È�É�Ê�Ë�ÌffÊffÍffÎ Ï Ð"Ñ Ò�Ñ Ë%Ó Ê�Ì�Ò Ð"Ñ Ô�Ì�ÊffÕ(ÌffÊffÍffÎ Ï Ð"Ñ Ò�Õ
Ö+×�ØXÖ
( )
( )
1 2 3 1 2 3
0
1 3 1 3
lim (constante).
Ù
W X X X X X X EW X X X X→
+ + + +
= = ≠
− −
 
Assim, podemos concluir que não existe o limite. ¬ 
 
([HPSOR�>������@� 
Determinemos, caso exista, ( ) ( )
2
, 0,1
1lim
Ú�Û
\
[→
−
. 
Apliquemos os limites sucessivos: 
2
0 1 0 0
2 2
1 0 0
1 0lim lim lim lim 0 0
1 1lim lim lim
0
Ü²Ý Ü Ü
ÝÞÜ Ý
\
[ [
\ \
[
→ → → →
+→ → →
−
= = =
− −
= = ∞
 
É conveniente chamar a atenção para o valor do limite pelo segundo “ caminho” . 
Note-se que: 
- Para \2 – 1 > 0 ¾ \2 > 1 ¾ \ < -1 ½ \ > 1 Á 
2 2
1 0 0
1 1limlim lim
0ßÞà ß
\ \
[ +→ → →
− −
= = +∞ 
- Para \2 – 1 < 0 ¾ \2 < 1 ¾ -1 < \ < 1 Á 
2 2
1 0 0
1 1limlim lim
0ßÞà ß
\ \
[ +→ → →
− −
= = −∞ 
Assim, apenas pelos limites sucessivos, podemos afirmar que não existe limite. á 
 
([HPSOR�>������@� 
Determinemos, caso exista, ( ) ( ) ( )
2
22 2, 0,0
lim
â�ã
[\
[ \ [ \→ + − . 
Apliquemos os limites sucessivos: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 22 20 0 0 0
2
2 2 22 20 0 0 0
0 0lim lim lim lim 0
0 0
0 0lim lim lim lim 0
0 0
ä±å ä ä
å²ä å ä
[\
[[ \ [ \ [
[\
[ \ [ \ \ \
→ → → →
→ → → →
= = =
+ − + −
= = =
+ − + − −
 
 
Assim, pelos limites sucessivos, nada se pode concluir acerca da existência do limite. 
 
Apliquemos, então, os limites direccionais: 
�
\ – 0 = P ([ – 0) ¾ \ = P[ 
æ�ç�è<é�ê�ë�ì�í	î�ï
ð�ñ�ò�ó�ô�õ�ö�÷ffõfføffù ú û"ü ý�ü ö�þ�õR÷�ý û"ü ß�÷�õ���÷ffõfføffù ú û"ü ý��
�������
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3
2 2 22 2 4 20 0 0
2 3 2
2
2 22 2 22 2 20 0
lim , lim lim
1
0lim lim 0, com 1 0
1 11
	 	 	
	 	
[ P[ P [I [ P[ [ P[ [ P[ P [ P [
P [ P [ PP [ P PP [ P [
→ → →
→ →
= =
+ − + −
= = = = − ≠
+ − −+ −
 
Então, pelos limites direccionais e para (1 – P ) 2 œ 0, nada se pode igualmente concluir 
acerca da existência do limite. 
Vejamos para (1 – P ) 2 = 0 o que acontece: 
(1 – P ) 2 = 0 ¾ 1 – P = 0 ¾ P = 1 
Tomemos, então, o caminho \ = [. 
( ) ( )
2 3
2 42 20 0 0 0
1lim , lim lim lim
 
 
 
[[ [I [ [ [ [[ [ [ [→ → → →
= = = = ∞
+ −
 
E portanto, não existe o limite. � 
 
�
 
��
��������������ff�flfi�ffi! �"$#�%'&)(�%�*�+ ,.-0/ 1�/ &32.%)($1.-0/ 4�($%�56(�%�*�+ ,.-0/ 1�5
7�8�8�7
 
 
�����([HUFtFLRV�SURSRVWRV 
1) Indique e represente graficamente o domínio de cada uma das seguintes funções reais: 
1.1) I([, \) = 2225 \[ −− ( ){ }( )2 2 2ª: , : 2595 ' [ \ [ \= ∈ + ≤¸ 
1.2) I([, \) = 1 + ( )2\[ −− ( ){ }( )2ª: , ::5 ' [ \ \ [= ∈ =¸ 
1.3) I([, \) = ln([ + \)�� ( ){ }( )2ª: , :;5 ' [ \ \ [= ∈ > −¸ 
1.4) I([, \) = [ + arcos \� ( ){ }( )2ª: , : 1 1<5 ' [ \ \= ∈ − ≤ ≤¸ 
1.5) I([, \) = ln(\ + [2) + ( ) 11 22 −+− \[
 ( ) ( ){ }( )22 2 2ª: , : 1 1=> ' [ \ \ [ [ \= ∈ > − ∧ − + ≥¸ 
1.6) I([, \) = [ ln 



− \[
1
 ( ){ }( )2ª: , :?5 ' [ \ \ [= ∈ <¸ 
1.7) I([, \) = ln [([2 + \2 – 4)(\ – [2 – 2)]
 ( ) ( ) ( ){ }( )2 2 2 2 2 2 2ª: , : 4 2 4 2@A ' [ \ [ \ \ [ [ \ \ [= ∈ + > ∧ > + ∨ + < ∧ < +¸ 
1.8) I([, \) = [\ sen
 ( ) ( ) ( ){ }( )2ª: , : 0 2 2 0 2 2 2 ,B5 ' [ \ \ N [ N \ N [ N Npi pi pi pi pi pi pi= ∈ ≥ ∧ ≤ ≤ + ∨ ≤ ∧ + ≤ ≤ + ∈¸ À 
1.9) �I([, \) = [sen + ln(\2 – 1)
 ( ) ( ) ( ){ }( )2ª: , : 2 2 1 1 ,CD ' [ \ N [ N \ \ Npi pi pi= ∈ ≤ ≤ + ∧ < − ∨ > ∈¸ À 
1.10) I([, \) = 22 11 \[ −+− ( ){ }( )2ª: , : 1 1 1 1E5 ' [ \ [ \= ∈ − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤¸ 
1.11) �I([, \, ]) = 4222 −++ ]\[ ( ){ }( )3 2 2 2ª: , , : 4F5 ' [ \ ] [ \ ]= ∈ ≥+ +¸ 
1.12) �I([, \) = arcsen 


[
\
 ( ) ( ) ( ){ }( )2ª: , : 0 0G5 ' [ \ [ \ [ [ [ \ [ [= ∈ − ≤ ≤ ∧ > ∨ ≤ ≤ − ∧ <¸ 
1.13) I([, \) = ln 



\
[
 + arcsen([2 + \2)
 ( ) ( ) ( )[ ]{ }( )2 2 2ª: , : 0 0 0 0 1HI ' [ \ [ \ [ \ [ \= ∈ > ∧ > ∨ < ∧ < ∧ + ≤¸ 
1.14) I([, \) = ( )( )222222 2 \[DD\[ −−−+ , a ‡ 0
 ( ){ }( )2 2 2 2 2ª: , : 2 0J5 ' [ \ D [ \ D D= ∈ ≤ ≤ ∧ >+¸ 
K�L�MON�P�Q�R�S�TffUflV�W!X�Y$Z�['\)]�[�^�_ `.a0b c�b \)d�[e]$c.a0b f�]$[�g!]�[�^�_ `.a0b c�g
h�i6jkh
1.15) I([, \) = 221 \[ −− ( ){ }( )2 2 2ª: , : 1l5 ' [ \ [ \= ∈ ≤+¸ 
1.16) I([, \) = 22 44 \[ −+− ( ) ( ){ }( )2ª: , : 2 2 2 2mn ' [ \ [ [ \= ∈ ≤ − ∨ ≥ ∧ − ≤ ≤¸ 
1.17) I([, \) = log ([2 + \) ( ){ }( )2 2ª: , :o5 ' [ \ \ [= ∈ > −¸ 
1.18) �I([, \) = arctg 



+
−
221 \[
\[
 ( )2ª: p5 ' =¸ 
1.19) I([, \) = 22
1
\[ + ( ){ }( )2ª: \ 0, 0q
r ' = ¸ 
1.20) I([, \) = 
[\ −
1
 ( ){ }( )2ª: , : 0st ' [ \ \ [ [= ∈ > ∧ ≥¸ 
1.21) I([, \) = \[
1
1
1
+
−
 ( ){ }( )2ª: , : 1 0uv ' [ \ [ \= ∈ ≠ ∧ ≠¸ 
1.22) I([, \) = ( )22sen \[ + ( ){ }( )2 2 2 0ª: , : 2 2 ,wx ' [ \ N [ \ N Npi pi pi= ∈ ≤ + ≤ + ∈¸ Û 
 
2) Indique e represente graficamente o domínio das seguintes funções, I e J de ¸2 em 
¸2, de componentes: 
I1([, \) = [\
[
42 −
 e I2([, \) = ln 


+ [
\1 
 
J1([, \) = 221 \[ −− e J2([, \) = ln(\ – [2) 
( ) ( ) ( ){ }
( ){ }
2 2
2 2 2 2
ª:
1
, : 0 0 ;
4
, : 1
y
z
{ ' [ \ [ \ \ [ [ \ [ [
' [ \ [ \ \ [
= ∈ ≠ ∧ > − ∧ > ∧ < − ∧ <
= ∈ + ≤ ∧ >
     
¸
¸
 
 
3) Dê um exemplo de duas funções I: ¸ | ¸ e J: ¸ | ¸ tais que I e J sejam 
descontínuas mas cuja soma I�+ J seja contínua em ¸. 
(5: Por exemplo ( ) ( ), 0 1, 0: ; ; : ;
1, 0 , 0
[ [ [ [I I [ J J [[ [ [ [
< + <
→ = → =
+ ≥ ≥
   ¸ ¸ ¸ ¸ ) 
 
4) Considere as funções I e J definidas por: 
I([) = 



=
≠


0 ,0
0 ,1sen
[
[[ e J([) = 



=
≠


0 ,0
0 ,1sen
[
[[[ 
Mostre que J é contínua no ponto 0 e que I não é. 
 
 
5) Mostre, aplicando a definição, que a seguinte função é contínua no ponto (0, 0): 
J: ¸2 | ¸, J([, \) = ( ) ( )
2 2
2 2 , , 0,0
(0,0) 0
[ \ [ \[ \
J

≠
+
=
 
|�}�~��€��‚�ƒ�„ff…fl†�‡!ˆ�‰$Ł�‹'Œ)�‹�Ž� .‘0’ “�’ Œ3”.‹)$“.‘0’ •�$‹�–6�‹�Ž� .‘0’ “�–
—�˜!™š—
 
6) Justifique que a função I: ¸2 | ¸, I([, \) = sen [ H› 2 + œ 3 é contínua no seu domínio. 
 
7) Determine, se existirem, os seguintes limites: 
7.1) 22
2
)0,0(),(
3lim \[
\[
ž +→
 (5: 0) 
7.2) 


+
→ [
\\
Ÿ 
arctglim
)0,0(),(
 (5: ∃ ) 
7.3) 22
2
)0,0(),(
lim \[
[
¡¢ +→
 (5: ∃ ) 
7.4) 2
3
)0,0(),( 4
2lim [\
[
£¤ +
+
→
 (5: 1
2
) 
7.5) 2
22
)0,0,0(),,( 1
3lim ]
\[
¥
¦§ +
+
→
 (5: 0) 
 
 
8) Estude, quanto à continuidade, as seguintes funções: 
8.1) I([, \) = ( ) ( )



=
≠
+
0)0,0(
0,0, ,42
2
I
\[\[
[\
 (5: I é contínua em ¸2 \ {(0, 0)}) 
8.2) J([, \) = ( ) ( )



=
≠
+
−
0)0,0(
0,0, ,22
22
J
\[\[
\[
 (5: J é contínua em ¸2 \ {(0, 0)}) 
8.3) K([, \) = 
( ) ( ) ( )



=
≠
+
−
0)0,0(
0,0, ,sencos 22
K
\[\[
\\[\
 (5: K é contínua em ¸2 \ {(0, 0)}) 
8.4) N([, \) = ( ) ( )



=
≠
+
0)0,0(
0,0, ,
3
2
22
N
\[\[
[\
 (5: N é contínua em ¸2 \ {(0, 0)}) 
 
9) Considere a função I: ¸2 | ¸2, definida por: 
I1([, \) = 
22 \[
[\
+
 com I1(0, 0) = 0 e I2([, \) = 55
55
\[
\[
+
−
 com I2(0, 0) = 0. 
Verifique se I é contínua na origem. 
(5: I não é contínua na origem, pois I2 não o é.) 
 
10) Sendo I([, \) = ([2 + \2) arctg 


[
\
 com [  0, defina I(0, 0) de modo a que I seja 
contínua no ponto (0, 0). 
(5: I(0, 0) = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
&$3Ì78/2�,,�
',)(5(1&,$%,/,'$'(�(0�¸ ¨ �
 
Comecemos por recordar alguns conceitos relativos às derivadas de funções reais de 
variável real. 
 
 
�����)XQo}HV�UHDLV�GH�YDULiYHO�UHDO 
�
Já é do nosso conhecimento o cálculo de derivadas de funções reais de variável real. 
Recordemos a definição de derivada, num ponto, para este tipo de funções. 
A derivada num ponto, [0, de uma função real de variável real, I, é dada por: 
( ) ( ) ( )
0
0
0
0
lim ,
©ª©
I [ I [I [ [ [→
−
′ =
−
 
ou, 
( ) ( ) ( )0 00 0lim ,«
I [ K I [I [ K→
+ −
′ = 
com 0 0K [ [ [ K [= − ⇔ = + , e portanto 0K→ �quando 0[ [→ . 
 
Relativamente a este tipo de funções definiram-se igualmente as derivadas laterais: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
lim , derivada lateral direita
lim , derivada lateral esquerda.
¬
¬
I D K I DI D K
I D K I DI D K
+
−
+
→
−
→
+ −
′ =
+ −
′ =
 
 
�����&UHVFLPHQWR�SDUFLDO�H�FUHVFLPHQWR�WRWDO�GH�XPD�IXQomR 
 
Consideremos uma função ] = I([, \) qualquer. 
Para entendermos a influência do acréscimo dado a cada uma das variáveis no 
­�®�¯O°6±�²�³�´�µ'µff¶k·�¸ ¹�º�»0º�¼�½�¸ ¾�¿�¸ À ¸ Á�¾�Á�º)ºÃÂÅÄkÆ
Ç�È6ɚÇ
comportamento “ global” da função comecemos por definir o que entendemos por crescimento 
parcial em relação a cada uma das suas variáveis. 
 
Comecemos por afectar a variável [ de um acréscimo, [∆ , sem que se altere a variável \. 
Obtemos assim ( ),I [ [ \+ ∆ . Portanto, podemos afirmar que o FUHVFLPHQWR�SDUFLDO�GH�]�HP�
UHODomR�D�[ é dado por: 
( ) ( ), ,Ê ] I [ [ \ I [ \∆ = + ∆ − .�
Se, pelo contrário, afectarmos a variável \ de um acréscimo, \∆ , sem que se altere a 
variável [, obtemos ( ),I [ \ \+ ∆ . Portanto, podemos afirmar que o FUHVFLPHQWR�SDUFLDO�GH�]�
HP�UHODomR�D�\ é dado por: 
( ) ( ), ,Ë ] I [ \ \ I [ \∆ = + ∆ − .�
 
Assim, o FUHVFLPHQWR�WRWDO�GH�]� �I�[��\� é dado por: 
( ) ( ), ,] I [ [ \ \ I [ \∆ = + ∆ + ∆ − .�
 
Generalizando, podemos escrever: 
Consideremos X = I([, \, ], W). Então 
( ) ( ), , , , , ,Ì X I [ [ \ ] W I [ \ ] W∆ = + ∆ − �
( ) ( ), , , , , ,Í X I [ \ \ ] W I [ \ ] W∆ = + ∆ − �
( ) ( ), , , , , ,Î X I [ \ ] ] W I [ \ ] W∆ = + ∆ − �
( ) ( ), , , , , ,Ï X I [ \ ] W W I [ \ ] W∆ = + ∆ − �
temos então: 
( ) ( ), , , , , , .X I [ [ \ \ ] ] W W I [ \ ] W∆ = + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ − �
Convém, neste momento, referir que o crescimento total não é a soma dos crescimentos 
parciais. 
 
([HPSOR�>�����@� 
Seja ( ),] I [ \ [\= = . Calculemos , e ,Ð Ñ] ] ]∆ ∆ ∆ �verificando que Ò Ó] ] ]∆ ≠ ∆ + ∆ . 
Então: 
( ) ( ) ( ), ,Ô ] I [ [ \ I [ \ [ [ \ [\ [\ \ [ [\ \ [∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = ∆ 
( ) ( ) ( ), ,Õ ] I [ \ \ I [ \ [ \ \ [\ [\ [ \ [\ [ \∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = ∆ 
Ö�×�Ø�Ù�Ú�Û�Ü�Ý�Þ'Þffßkà�á â�ã�ä0ã�å�æ�á ç�è�á é á ê�ç�ê�ã)ãÃëÅìkí
î�ï�ð�î
e portanto: 
( ) ( ) ( )( ), ,] I [ [ \ \ I [ \ [ [ \ \ [\
[\ [ \ \ [ [ \ [\ [ \ \ [ [ \ [ \ \ [
∆ = + ∆ + ∆ − = + ∆ + ∆ −
= + ∆ + ∆ + ∆ ∆ − = ∆ + ∆ + ∆ ∆ ≠ ∆ + ∆ ‚ 
 
'HILQLomR�>�����@��'HULYDGDV�SDUFLDLV�GH�XPD�IXQomR�GH�YiULDV�YDULiYHLV�
Chama-se GHULYDGD� SDUFLDO� GH� ]� � I�[�� \�� HP� UHODomR� D� [� ao limite do quociente do 
crescimento parcial em relação a [ pelo crescimento da variável [, quando '[ tende para zero, 
isto é: 
( ) ( ) ( )
0 0
, ,
lim lim representa-se por: ; ; , ;
ñ
ñ
ñ ñ
ñ ñ
I [ \ I [ \] ] I I [ \ ][ [ [ [∆ → ∆ →
+ ∆ −∆ ∂ ∂
′ ′=
∆ ∆ ∂ ∂
. 
 
De modo análogo, chama-se GHULYDGD�SDUFLDO�GH�]� � I�[��\�� HP�UHODomR�D�\� ao limite do 
quociente do crescimento parcial em relação a \ pelo crescimento da variável \, quando '\ 
tende para zero, isto é: 
( ) ( ) ( )
0 0
, ,
lim lim representa-se por: ; ; , ;
ò
ò
ò ò
ò ò
I [ \ I [ \] ] I I [ \ ]\ \ \ \∆ → ∆ →
+ ∆ −∆ ∂ ∂
′ ′=
∆ ∆ ∂ ∂
. 
�
*HQHUDOL]DomR��DSHQDV�SDUD�Q� �����
Para I�= ([, \, ], W), as suas derivadas parciais relativamente a cada uma das suas varáveis são 
dadas por: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
0 0
0 0
, , , , , ,
lim lim
, , , , , ,
lim lim
, , , , , ,
lim lim
, , , , , ,
lim lim
ó
ó
ó ó
ô
ô
ô ô
õ
õ
õ õ
ö
ö
ö ö
I [ \ ] W I [ \ ] WII
[ [ [
I [ \ ] W I [ \ ] WII
\ \ \
I [ \ ] W I [ \ ] WII
] ] ]
I [ \ ] W I [ \ ] WII
W W W
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
+ ∆ −∆∂
= =
∂ ∆ ∆
+ ∆ −∆∂
= =
∂ ∆ ∆
+ ∆ −∆∂
= =
∂ ∆ ∆
+ ∆ −∆∂
= =
∂ ∆ ∆
 
 
Uma vez que as derivadas parciais são assim definidas (em tudo semelhante ao que já 
conhecemos para derivadas de funções com uma variável apenas), podemos aplicar as regras 
práticas do cálculo de derivadas em cada uma das derivadas parciais. Para tal, consideramos 
constantes todas as variáveis não envolvidas na derivada
que pretendemos calcular, e 
aplicamos as regras de derivação que conhecemos para funções com uma variável apenas. 
 
÷�ø�ùOú6û�ü�ý�þ�ß'ß������ ���
	��
��
� ����� � � ���������������
�fiffffifl��
([HPSOR�>�����@� 
Usando as regras práticas da derivação, calculemos as derivadas parciais de 1ª ordem das 
funções: 
L� X = [2 + \2 + [W]3 
LL� I ([, \) = [ 
LLL� ] = [2 sen \. 
 
Temos portanto: 
L� Sendo X = [2 + \2 + [W]3 temos: 3 2 32 ; 2 ; 3 ; .X X X X[ W] \ [W] [][ \ ] W
∂ ∂ ∂ ∂
= + = = =
∂ ∂ ∂ ∂
 
LL� Sendo I ([, \) = [ temos: 1; ln .! !I I\[ [ [[ \
−
∂ ∂
= =
∂ ∂
 
LLL��Sendo ] = [2 sen \ temos: 22 sen ; cos .] ][ \ [ \[ \
∂ ∂
= =
∂ ∂
 " 
 
Vejamos, esquematicamente, as derivadas parciais, de uma função de duas variáveis 
apenas, de várias ordens: 
( )
( )
( )
3 3
2 2 2 3
2 3
2
3
2
3
2
3 3
22
3
3
22 2
2 3
3
,
I I
I I [ [ [
[ [ [ I
[ \I
[ I
[ \ [I
[ \ I
[ \
I [ \
I I
\ [ [ \ [I
\ [ I
\ [ \I
\ I
\ [I I
\ \ \ I
\
   ∂ ∂
=  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  =  ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂∂  ∂  ∂  ∂ ∂ ∂∂  ∂ ∂ ∂  ∂ ∂   ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂  ∂  ∂  ∂ ∂∂ ∂  = ∂ ∂ ∂ ∂   ∂
"
"
( )1ª 2ª 3ªRUGHP RUGHP RUGHP


"
 
�
*HQHUDOL]DomR� 
A derivada de ordem Q de uma função de duas variáveis pode ser escrita na forma: 
#
$%#&$
]
[ \ −
∂
∂ ∂
 
'�(*),+�-/.10*24353�6�7�8 9�:
;�:
<�=
8 >�?�8 @ 8 A�>�A�:�:�B�C�D
E1FHGIE
 
([HPSOR�>�����@� 
Calculemos as quatro derivadas parciais de 2ª ordem de I([, \) = [\3 + 5[\2 + 2[ +1. 
Assim, temos: 
( )
( )
( )
( )
3 2
2
2
3 2
2
2
3 2 2
2
2 2
2
2
2
5 2
3 10
5 2 0
5 2 3 10
3 10 3 10
3 10 6 10
I \ \[
I [\ [\\
I I \ \[ [ [ [
I I \ \ \ \[ \ \ [ \
I I [\ [\ \ \\ [ [ \ [
I I [\ [\ [\ [\ \ \ \
∂
= + +
∂
∂
= +
∂
∂ ∂ ∂ ∂ 
= = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ 
∂ ∂ ∂ ∂ 
= = + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂
= = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂
= = + = + ∂ ∂ ∂ ∂  ƒ
 
 
([HPSOR�>�����@� 
Calculemos 
3X
[ \ ]
∂
∂ ∂ ∂
 e 
3X
\ ] [
∂
∂ ∂ ∂
 sendo X = HJLK sen ]. 
( ) ( )
( ) ( )
( )
3
3
sen sen
sen sen cos cos 1 cos
sen
M N M N
M N M N M N M N M N
M N
X X H ] \H ][ \ ] ] \ [ ] \ [ ] \
H ] \[H ] H ] \[H ] [\ H ]]
X X H ]\ ] [ [ ] \ [ ] \ [
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
= = =        ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        
∂
= + = + = +
∂
      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = =      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       ( )
( ) ( )
sen
cos cos e cos 1 e cos
M N
M N M N M N M N
[H ]]
[H ] H ] [\ ] [\ ][
   
∂
= = + = +
∂
ƒ
 
 
([HPSOR�>�����@� 
Calculemos todas as derivadas de 3ª ordem de ] = \2 HJ + [2\3 + 1. 
2 3
2 2
2
2 3
O
O
] \ H [\[
] \H [ \\
∂
= +
∂
∂
= +
∂
 
'�(*)P+H-/.10*24353�6�7�8 9�:
;�:
<�=
8 >�?�8 @ 8 A�>�A�:�:�B�Q�R
SfiFUT�S
( )
( )
( )
( )
2 3
2 2
2
2 3 2 3
2
2
2 3 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 3
2 2
2 2 6
2 3 2 6
2 3 2 6
V
V
V V
V V
V V
V V
] \ H [\[
] \H [ \\
] ] \ H [\ \ H \[ [ [ [
] ] \ H [\ \H [\[ \ \ [ \
] ] \H [ \ \H [\\ [ [ \ [
] ] \H [ \ H\ \ \ \
∂
= +
∂
∂
= +
∂
∂ ∂ ∂ ∂ 
= = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ 
∂ ∂ ∂ ∂ 
= = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂
= = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂
= = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ 
( )
( )
( ) ( )
2
3 2
2 3 2
3 2
3 2
2 3 2
2 2
3
2 2 2
2
2
2 2 6
2 3 2 6
V V
V V
V V
[ \
] ] ] \ H \ \ H[ [ [ [ [ [ [
] ] ] \ H \ \H \[ \ \ [ [ \ [ \
] ] \H [ \ \H [\\ [ [ [ \ [ [ [
  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= = = + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= = = + = +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= = + = +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
( ) ( )
( ) ( )
2
3
2 3 2 2
3
2 2 2
3
2
2 6
2 2 6 2 6
2 3 2 6 2 12
V
V V V
V V V
\H \
] ] \ H [\ \H [\ \H \[ \ [ [ \ [ [ \ [
] ] \H [ \ \H [\ H [\\ [ \ \ [ \ \ [ \
] ]
[ \ \ \ [ \ \
= +
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= = + = + = +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= = + = + = +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= =  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
3
2 2 2
2
3 2
2 2
3 2
2 2 6 2 12
2 3 2 6 2 12
2 6 6
V V V
V V V
V
\ H [\ \H [\ H [\\
] ] \H [ \ H [ \ H [\\ [ [ \ \ [ \ [
] ] ] H [ \ [\ \ \ \ \ \ \
  ∂
+ = + = +  ∂ 
    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = + = + = +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = + =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ƒ 
 
 
Do exemplo anterior, verificamos que: 
 
2 2 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2; ; .
] ] ] ] ] ] ] ]
[ \ \ [ [ \ [ \ [ [ \ \ [ \ [ \ \ [
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
'�(*),+�-/.10*24353�6�7�8 9�:
;�:
<�=
8 >�?�8 @ 8 A�>�A�:�:�B�Q�R
S1F�W�S
7HRUHPD�>�����@��7HRUHPD�GH�6KZDUW]��0XGDQoD�GD�RUGHP�GD�GHULYDomR��
Se ( ),XI [ \′ e ( ),YI [ \′ existem numa vizinhança de (D, E) e se ( ),Z [I [ \′′ existe e é contínua 
nesse ponto, ( ),[5ZI [ \′′ também existe nesse ponto e: 
( ) ( ), ,\ ] ]5\I D E I D E′′ ′′= ou 
2 2I I
[ \ \ [
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
�����'HULYDGD�GD�IXQomR�FRPSRVWD 
 
Seja ] = I(X, Y), em que X e Y são funções das variáveis [ e \, isto é, 
( )
( )
,
,
X [ \
Y [ \
ϕ
ψ
 =
=
. 
Assim, ] = I�(M([, \), \([, \)). Esquematicamente temos: 
[X \] [Y \
     
 
Então: 
. .
. .
] ] X ] Y
[ X [ Y [
] ] X ] Y
\ X \ Y \
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
5(*5$��'$��� &$'(,$ 
Façamos o mesmo raciocínio para ] = I (X, Y, Z), com 
( )
( )
( )
,
,
,
X [ \
Y [ \
Z [ \
ϕ
ψ
γ
 =
=
=
. 
Assim: 
. . .
. .
 
.
] ] X ] Y ] Z
[ X [ Y [ Z [
] ] X ] Y ] Z
\ X \ Y \ Z \
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
5(*5$��'$��&$'(,$ 
 
^�_*`PaHb/c1d*e4f5f�g�h�i j�k
l�k
m�n
i o�p�i q i r�o�r�k�k�s�t�u
vfiw�w�v
([HPSOR�>�����@� 
Seja ] = ln(X2 + Y) com X = Hx + y 2 e Y = [2 + \. Calculemos e] ][ \
∂ ∂
∂ ∂
. 
Ora, como sabemos: 
. .
] ] X ] Y
[ X [ Y [
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
Calculemos as derivadas parciais envolvidas na expressão anterior: 
2
2
2
2
1 2
z|{] X X HX X Y [
] Y [Y X Y [
+∂ ∂
= =
∂ + ∂
∂ ∂
= =
∂ + ∂
 
Assim, 
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 1 2 22
2 22 2
2 2
}|~
}|~
}|~
}|~}€~
}€~ }€~
}€~
}€~
] X XH [H [[ X Y X Y X Y
H [H H [
H [ \ H [ \
H [
H [ \
+
+
+
+ +
+ +
+
+
∂ +
= + =
∂ + + +
++
= =
+ + + +
+
=
+ +
 
Por outro lado, sabemos: 
. .
] ] X ] Y
\ X \ Y \
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
Calculemos, então, as derivadas parciais envolvidas nesta expressão e que ainda não 
foram calculadas: 
2
2 e 1
|‚X Y\H\ \
+∂ ∂
= =
∂ ∂
 
E, portanto, 
 
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 22 2
22 2
2 2 2
2
2
2 2 2 22 2
2 1 4 12 1
4 14 1 4 1
ƒ|„
ƒ€„
ƒ€„
ƒ|„
ƒ|„ ƒ|„
ƒ€„
ƒ€„ ƒ€„
] X X\H\H\ X Y X Y X Y
\ HH \H \H
H [ \H [ \ H [ \
+
+
+ ++ +
++ +
∂ +
= + =
∂ + + +
++ +
= = =
+ ++ + + +
ƒ
 
 
 
…�†*‡,ˆ�‰/Ł1‹*Œ45�Ž�� ‘�’
“�’
”�•
 –�—� ˜  ™�–�™�’�’�š�›�œ
1žHŸI
�����)XQomR�LPSOtFLWD��'HULYDGD�GD�IXQomR�LPSOtFLWD 
 
Consideremos uma função real de variável real definida por 
\ = I([).
Nem sempre é possível expressar \ explicitamente em função da variável independente 
[. Nesses casos, sendo possível definir uma relação entre [ (variável independente) e \ 
(variável dependente, ou seja, função de [) obtemos uma equação do tipo )([, \) = 0. 
Usualmente existe uma função \ = I([) que “ resolve” esta equação, no sentido de que 
reduz aquela equação a uma identidade verdadeira em [. 
Considerando que \ é função de [, começamos por derivar a equação )([,\) = 0 em 
ordem a [ e resolvemos a equação em ordem a G\G[ , chamando a esse processo GHULYDomR�
LPSOtFLWD. 
Vejamos, para melhor compreensão do processo, um exemplo. 
 
([HPSOR�>�����@� 
Consideremos a equação 
[2\5 – 2[\ + 1 = 0. 
que define implicitamente \ como função de [. Calculemos a derivada de \ em ordem a [, 
tendo em conta que \ é uma função de [: 
( )
( )
5 2 4 5 2 4
5 2 4
2 4 5
5
2 4
2 5 2 2 1 0 0 2 5 2 2 0
2 2 5 2 0
5 2 2 2
2 2
5 2
G\ G\ G\ G\[\ [ \ \ [ [\ [ \ \ [G[ G[ G[ G[
G\[\ \ [ \ [ G[
G\[ \ [ [\ \G[
G\ \ [\
G[ [ \ [
 
+ − + + = ⇔ + − − =  
⇔ − + − =
⇔ − = − +
−
⇔ =
−
ƒ
 
 
Este processo da derivação implícita levanta-nos contudo algumas questões. Por um 
lado, neste caso particular, não sabemos se a equação inicial define efectivamente \ como 
função [ ou não; se não, todo o cálculo efectuado é desprovido de qualquer significado. Além 
disso, o próprio procedimento é um tanto confuso, pois requer que mantenhamos em mente os 
diferentes papéis desempenhados pelas variáveis [ e \. 
Para se evitar qualquer tipo de contra-sensos e inutilidade de quaisquer cálculos, 
utilizamos o teorema que se segue, que deve ser entendido como uma afirmação puramente 
…�†*‡PˆH‰/Ł1‹*Œ45�Ž�� ‘�’
“�’
”�•
 –�—� ˜  ™�–�™�’�’�š�›�œ
fižffi �
teórica de que a função implícita realmente existe e que não tem qualquer relevância o 
aspecto de se poder ou não encontrar uma forma simplificada para essa função. 
 
7HRUHPD�>�����@��7HRUHPD�GD�IXQomR�LPSOtFLWD�
Seja \ uma função de [ contínua, definida pela equação implícita )([, \) = 0 em que )([, \), 
( ),¡) [ \′ e ( ),¢) [ \′ são funções contínuas num certo domínio ' contendo o ponto ([, \) 
cujas coordenadas verificam a equação anterior. 
Suponhamos ainda que ( ), 0£) [ \′ ≠ . 
A derivada da função \, função de [, é então igual a: 
( )
( )
,
,
¤
¤ ¥
) [ \G\ \G[ ) [ \
′
′= = −
′
 
 
([HPSOR�>�����@� 
A equação [2 + \2 – 1 = 0 define, implicitamente, \ como função de [. Calculemos 
¦
G\ \G[ ′= . 
Seja I([, \) = [2 + \2 – 1. 
Deste modo, temos 
( ) ( ), 2 ; , 2§ ¨I II [ \ [ I [ \ \[ \
∂ ∂
′ ′= = = =
∂ ∂
 
e portanto, 
( )
( )
, 2
, 2
©
© ª
I [ \G\ [ [\G[ I [ \ \ \
′
′= = − = − = −
′
ƒ 
 
([HPSOR�>�����@� 
A equação (sen [)« + sen [« – sen 2[
pi
    = 1 define \ como função de [. Calculemos 
G\
G[ 
no ponto ,0
2
pi    . 
Seja I([, \) = (sen [)« + sen [« – sen 2[
pi
    – 1. 
Deste modo, temos 
¬�­*®,¯�°/±1²*³4´5´�µ�¶�· ¸�¹
º�¹
»�¼
· ½�¾�· ¿ · À�½�À�¹�¹�Á�Â�Ã
Ä1ÅPÆ�Ä
( )
( ) ( ) ( )
1 1 2 2sen cos cos cos
sen ln sen cos ln
Ç
Ç Ç
Ç
Ç Ç
[I \ [ [ \[ [G\ [
IG[ [ [ [ [ [
\
pi pi
−
−
 ∂ + −   ∂
= − = −∂ +
∂
 
E, portanto, 
( )
( )
( )
( )
20 0 cos 1
,0
2 1ln sen 1cos 1 ln
2 2
2
cos 1
0 cos 1 ln
2
2
2
ln ln
2 2
G\
G[
pi pi
pi pi
pi
pi
pi
pi pi
pi
+ − 
= −       +      
=  
+   
= =         
ƒ
 
 
Observemos que, para funções com mais de uma variável independente, o teorema da 
função implícita, assume algumas modificações, definindo as seguintes derivadas parciais: 
Consideremos, então, ] = I([, \), ou seja, )([, \, ]) = 0. Então: 
, 0
, 0
)
] )[
)[ ]
]
)
] )\
)\ ]
]
∂
∂ ∂∂
= − ≠∂∂ ∂
∂
∂
∂ ∂∂
= − ≠∂∂ ∂
∂
 
 
([HPSOR�>�����@� 
Consideremos a equação [2 + \2 + ]2 – 4 = 0. Calculemos ][
∂
∂
 e 
]
\
∂
∂
. 
Deste modo, temos 
¬�­*®P¯H°/±1²*³4´5´�µ�¶�· ¸�¹
º�¹
»�¼
· ½�¾�· ¿ · À�½�À�¹�¹�Á�Â�Ã
ÄfiÅ�ÈIÄ
2
2
2
2
)
] [ [[
)[ ] ]
]
)
] \ \\
)\ ] ]
]
∂
∂ ∂
= − = − = −∂∂
∂
∂
∂ ∂
= − = − = −∂∂
∂
ƒ
 
 
 
�����'HULYDGD�VHJXQGR�XPD�GLUHFomR 
�
Consideremos um sistema de eixos coordenados 2[\]. 
Sejam X([, \, ]) uma função definida, contínua e com derivada contínua no domínio ', e 
0 = ([, \, ]) um ponto. 
Consideremos ainda uma direcção VG à qual correspondem os cosenos directores cos D, 
cos E e cos J. 
Tomemos um ponto 01, sobre VG , à distância 'V de 0 tal que: 
2 2 2
100 V [ \ ]= ∆ = ∆ + ∆ + ∆ . 
Assim, o crescimento total da função é: 
1 2 3
X X XX [ \ ] [ \ ][ \ ] γ γ γ
∂ ∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆
∂ ∂ ∂
, em que 1 2 3, , 0γ γ γ → quando 0V∆ → . 
Dividindo a expressão anterior por V∆ , obtém-se: 
1 2 3
X X [ X \ X ] [ \ ]
V [ V \ V ] V V V Vγ γ γ
∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ ∆
= + + + + +
∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ ∆
. 
Ora, 
cos
cos
cos
[
V
\
V
]
V
α
β
γ
∆
= ∆
∆
= ∆
∆
=∆
 
e, portanto, obtemos: 
1 2 3cos cos cos cos cos cos
X X X X
V [ \ ]α β γ γ α γ β γ γ
∆ ∂ ∂ ∂
= + + + + +
∆ ∂ ∂ ∂
. 
Calculemos o 
0
lim
É
X
V∆ →
∆
∆
: 
Ê�Ë*Ì,Í�Î/Ï1Ð*Ñ4Ò5Ò�Ó�Ô�Õ Ö�×
Ø�×
Ù�Ú
Õ Û�Ü�Õ Ý Õ Þ�Û�Þ�×�×�ß�à�á
â1ãffiä*â
1 2 30 0
lim lim cos cos cos cos cos cos
å å
X X X X
V [ \ ]α β γ γ α γ β γ γ∆ → ∆ →
 ∆ ∂ ∂ ∂
= + + + + + ∆ ∂ ∂ ∂  
O limite do quociente XV
∆
∆
 quando 0V∆ → chama-se GHULYDGD�GD� IXQomR�X�QR�SRQWR�
0�[��\��]��VHJXQGR�D�GLUHFomR�GR�YHFWRU GV e é denotado por XV
∂
∂
, ou seja, 
cos cos cos
X X X X
V [ \ ]α β γ
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
. 
Podemos, então, dizer que XV
∂
∂
 é a derivada da função X no ponto 0([, \, ]), segundo a 
direcção do vector VG , ou ainda, XV
∂
∂
 é a derivada direccional de X em 0([, \, ]) com a 
direcção 001. 
 
Notemos que as derivadas parciais são um caso particular da derivada segundo uma 
direcção. 
 
 
([HPSOR�>�����@� 
Dada a função X = [2 + \2 + ]2, achar a derivada XV
∂
∂
 no ponto 0(1, 1, 1), na direcção do 
vector 2 3V L M N= + + GG GG . 
Determinemos os cosenos directores de VG : 
2 2 2
2 2
cos
142 1 3
1
cos
14
3
cos .
14
[
V
\
V
]
V
α
β
γ
∆
= = = ∆ + + ∆
= = ∆ ∆
= = ∆
 
Calculemos as derivadas parciais: 
( )
( )
( )
2 1,1,1 2
2 1,1,1 2
2 1,1,1 2.
X X[[ [
X X\\ \
X X]] [
∂ ∂
= ⇒ =
∂ ∂
∂ ∂
= ⇒ =
∂ ∂
∂ ∂
= ⇒ =
∂ ∂
 
Assim, obtemos a derivada direccional: 
æ�ç*èPéHê/ë1ì*í4î5î�ï�ð�ñ ò�ó
ô�ó
õ�ö
ñ ÷�ø�ñ ù ñ ú�÷�ú�ó�ó�û�ü�ý
þ ß
�
þ
2 1 3 122 2 2
14 14 14 14�
X
V
∂ 
= × + × + × = ∂  ƒ 
 
 
 
�����'HULYDGDV�GH�IXQo}HV�YHFWRULDLV�GH�YDULiYHO�YHFWRULDO 
 
Consideremos uma função I definida de ¸ � em ¸� , ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, , , , , ,� �I [ I [ [ [ I [ I [ I [= =! ! . 
Consideremos um ponto D ± LQW�D� , e admitamos que I admite derivada em D. 
Ora, como temos P variáveis independentes ([ � , L = 1, … P) e S variáveis dependentes 
(I	 , M = 1, … , S), podemos considerar as derivadas parciais de cada uma das funções 
coordenadas de I (I	 ) em ordem a cada uma das coordenadas do vector [ ([ � ), obtendo-se P — S 
derivadas parciais. 
Com essas derivadas parciais podemos construir uma matriz P — S, que se designa por 
PDWUL]�MDFRELDQD�GH�I, ou PDWUL]�GHULYDGD�GH�I. 
 
'HILQLomR�>�����@��0DWUL]�MDFRELDQD�
Seja I : ' ¯ ¸ � | ¸� e D ± LQW�'. 
Chama-se PDWUL]�MDFRELDQD�GH�I, ou PDWUL]�GHULYDGD�GH�I�à matriz 
( ) [ ]( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,