Gabarito P1 A1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Noturno A1
Prof. Vladimir Perchine
Prova - 1 (gabarito)
1. Escolhemos aleatoriamente 4 nu´meros distintos de um conjunto com 6 nu´meros
positivos e 8 negativos. Qual a probabilidade de que o produto dos nu´meros
escolhidos seja positivo?
Para que o produto seja positivo, devemos ter 4, 2 ou 0 nu´meros positivos. Logo,
P =
(
6
4
)(
8
0
)
+
(
6
2
)(
8
2
)
+
(
6
0
)(
8
4
)
(
14
4
) = 0, 504
2. Seja P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 45 e P (A ∩B) = 0, 1. Calcule P (AC ∪BC) e P (AC ∪B).
P (AC ∪BC) = P ((A ∩B)C) = 1− P ((A ∩B)) = 1− 0, 1 = 0.9
P (AC ∪B) = P (AC) + P (B)− P (AC ∩B) = P (AC) + P (A ∩B) = 0, 7 + 0, 1 = 0, 8
3. Uma caixa conte´m 3 bolas brancas e 5 pretas, e outra, 6 brancas e 2 pretas.
Escolhemos ao acaso uma das caixas e retiramos dela uma bola. Descobrimos
que e´ uma bola branca. Se retirar mais uma bola da mesma caixa, com qual
probabilidade ela tambe´m sera´ uma bola branca?
Conforme a definic¸a˜o, a probabilidade de ter a segunda bola branca se a primeira foi branca
e´ P (2b|1b) = P (1b ∩ 2b)/P (1b). Para calcular tanto o numerador, quanto o deniminador,
devemos usar a fo´rmula de probabilidade total, somando as possibilidades de escolher a
primeira ou a segunda caixa:
P (1b) = P (1b|C1)P (C1) + P (1b|C2)P (C2) = 3
8
· 1
2
+
6
8
· 1
2
=
9
16
P (1b ∩ 2b) = P (1b ∩ 2b|C1)P (C1) + P (1b ∩ 2b|C2)P (C2) = 3
8
· 2
7
· 1
2
+
6
8
· 5
7
· 1
2
=
9
28
P (2b|1b) = 9/16
9/28
=
4
7
= 0, 57
4. Um grupo de cinco homens e cinco mulheres precisa ser distribuido em torno de
uma mesa redonda de forma intercalada, ou seja, nenhum homem senta ao lado
de outro homem, e nenhuma mulher, ao lado de outra mulher. Quantas opc¸o˜es
existem?
Imaginemos que as cadeiras sejam numeradas. Primeiro, temos duas escolhas: homens
nas cadeiras pares, ou nas ı´mpares. Depois, temos permutac¸o˜es independentes entre cinco
homens e entre cinco mulheres. Logo, o total de opc¸o˜es sera´ 2 · 5! · 5! = 28 800.