1 Distúrbios Tensão

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Chagas – DEE/UFCG 
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Universidade Federal de Campina Grande 
Centro de Engenharia Elétrica e Informática 
Departamento de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distúrbios de Tensão em Redes Elétricas 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Francisco das Chagas Fernandes Guerra 
 
 
 
 
 
 
Campina Grande - PB 
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Capítulo I 
Sobretensões em Redes Elétricas 
Define-se sobretensão como toda tensão que excede o valor da tensão nominal em um 
sistema elétrico. Dependendo de sua amplitude e forma de onda, elas podem produzir severas 
solicitações nos isolamentos, acarretando em danos a equipamentos e interrupções no 
fornecimento de energia. Durante o projeto de redes elétricas, devem-se avaliar as diversas 
formas de solicitações a que os isolamentos poderão estar submetidos, de modo a permitir o 
estabelecimento de especificações corretas dos equipamentos. 
1. Classificação e Causas das Sobretensões 
As sobretensões são classificadas, basicamente, em três tipos: 
▪ sobretensões atmosféricas; 
▪ sobretensões de manobra; 
▪ sobretensões sustentadas ou temporárias. 
As sobretensões atmosféricas são causadas por raios que incidem diretamente sobre linhas 
de transmissão ou subestações, ou em regiões próximas à rede elétrica. Possuem caráter 
impulsivo, com valores de pico máximos de 6 pu. e duração de alguns microsegundos a até 1 
milisegundo. 
As sobretensões de manobra originam-se de operações de chaveamento, as quais 
promovem mudanças na configuração do sistema, como a energização ou desenergização em 
carga de elementos indutivos e/ou capacitivos (linhas de transmissão, transformadores, bancos 
de capacitores e de reatores, etc.). Essas operações acarretam em transferências abruptas de 
energia entre campos elétricos e magnéticos, resultando em sobretensões de caráter 
oscilatório, com altas frequências, forte amortecimento e duração de vários milisegundos a até 
vários ciclos. Normalmente, apresentam valores de pico máximos em torno de 4 pu. 
As sobretensões sustentadas ou temporárias são causadas principalmente pelas seguintes 
ocorrências: 
▪ curtos-circuitos fase-terra em sistemas trifásicos com neutro isolado ou aterrado através de 
impedância; 
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▪ abertura de terminal receptor de linha de transmissão que apresentam considerável valor de 
capacitância distribuída em derivação, como em linhas de transmissão aéreas longas ou em 
linhas de cabo isolado (efeito Ferranti); 
▪ fenômenos não lineares de ferroressonância, causados pela interação de capacitâncias 
distribuídas do sistema e indutâncias de magnetização de transformadores de potência ou 
de potencial; 
▪ fenômenos não lineares de correntes de inrush que ocorrem durante energização de 
transformadores localizados em subestações de corrente contínua, os quais produzem 
ressonância em frequências múltiplas da fundamental, envolvendo a indutância de 
magnetização do transformador e as capacitâncias dos filtros de supressão de harmônicos; 
▪ fenômenos de ressonância linear; 
▪ perda súbita de carga em geradores (rejeição de carga). 
As sobretensões sustentadas apresentam fraco amortecimento, duração de vários ciclos, 
vários segundos ou mais e valores de pico máximos de 1,5 pu. Ocorrem à frequência industrial, 
harmônica, sub-harmônica ou interarmônica. 
A Fig. 1.1 mostra características das três categorias de sobretensão citadas. 
 
Fig. 1.1. Representação dos diferentes tipos de sobretensão (D’AJUZ et al., 1987). 
É importante observar que as intensidades das sobretensões atmosféricas são determinadas 
por elementos externos ao sistema elétrico, o que não ocorre com os demais tipos de 
sobretensão. 
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2. Caracterização das Sobretensões Segundo a ABNT 
Na Fig. 1.1 são apresentados detalhes sobre as classes e formas das solicitações de tensão, 
definidas pela norma ABNT - NBR 6939 (2000) - Coordenação do Isolamento – Procedimento. 
 
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Sobretensões de Frente Lenta 
São sobretensões transitórias, usualmente unidirecionais, com tempo até a crista tal que 20 
µs < T1 ≤ 5000 µs, e tempo até o meio valor (na cauda) T2 ≤ 20 ms. Podem se originar de faltas, 
operações de chaveamento ou descargas atmosféricas diretas nos condutores de linhas aéreas. 
Sobretensões de Frente Rápida 
Sobretensão transitórias, usualmente unidirecionais, com tempo até a crista tal que 0,1 µs < 
T1 ≤ 20 µs, e tempo até o meio valor (na cauda) T2 ≤ 300 µs. Podem ser causadas por operações 
de chaveamento, descargas atmosféricas ou faltas. 
Sobretensões de Frente Muito Rápida 
Sobretensão transitórias, usualmente unidirecionais, com tempo até a crista tal que T1 ≤ 0,1 
µs, duração total Tt ≤ 3 ms, e com oscilações superimpostas de frequências 30 kHz < f < 100 
MHz. Podem ser causadas por faltas ou operações de chaveamento em subestações isoladas a 
gás (GIS). 
Há também as sobretensões combinadas (temporária, frente lenta, frente rápida e frente 
muito rápida), as quais consistem em duas componentes de tensão simultaneamente aplicadas 
entre cada um dos terminais de fase de uma isolação fase-fase (ou longitudinal) e a terra. É 
classificada pela componente de maior valor de crista. 
 
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Capítulo II 
Sobretensões Atmosféricas 
1. Introdução 
Este capítulo trata das sobretensões atmosféricas, classificadas como de origem externa, 
pois são causadas por raios que incidem diretamente sobre edifícios, linhas de transmissão ou 
subestações. A descarga também pode agir de forma indireta. Neste caso, a interação entre o 
meio externo e o sistema atingido se dá por indução eletrostática. Assim, há propagação de 
ondas de tensão em direções opostas, a uma velocidade próxima à da luz, produzindo solicita-
ções nos isolamentos da linha e em equipamentos instalados nos terminais. Devido à extensão 
física e ao nível de exposição, as linhas de transmissão aéreas são os elementos mais atingidos. 
2. Causas e Consequências 
Diferentes teorias explicam o carregamento das nuvens. O consenso é que em cerca de 90% 
dos casos há grande concentração de cargas negativas na parte inferior da nuvem, induzindo 
cargas positivas na terra, como é ilustrado na Fig. 2.1. A rigidez dielétrica do ar seco é de 30 
kV/cm, reduzindo-se com a umidade. Assim, há uma descarga piloto em degraus de 15 a 50 m, 
cada um. Os degraus são retos, tomando nova direção a cada avanço. Como é mostrado na Fig. 
2.2, quando a descarga piloto atinge a terra, há a descarga de retorno, com grande 
movimentação de cargas através do canal ionizado, brilho intenso e estrondo. Também pode 
haver descarga de retorno antes da descarga piloto alcançar a terra. 
 
Fig. 2.1. Mecanismo de ocorrência das descargas atmosféricas. 
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Fig. 2.2. Flagrante de ocorrência de uma descarga atmosférica. 
Normalmente, essas descargas se repetem. Cerca de 80% dos raios apresentam no mínimo 2 
descargas e 20% apresentam 3 a 5. Há registro de até 40 descargas. Felizmente, maior parte 
das descargas ocorre dentro da nuvem. 
Em consequência dos raios, verifica-se injeção de correntes de descarga de até 200 kA, com 
tempos de crescimento de 1 µs a 10 µs, e surgimento de ondas de tensão relacionadas ao surto 
de corrente através da impedância característica do sistema. O caráter das ondas é impulsivo 
(não oscilatório) e os valores de pico máximos são de 6 pu, com polaridade negativa em 90% 
dos casos. Elas se propagam para os dois terminais da linha com velocidade próxima à da luz, 
com reflexões e refrações nos pontos onde há mudança na impedância característica.Em caso de surto atmosférico, se o nível de suportabilidade de tensão da linha for excedido, 
há a formação de arco através do ar ou de uma cadeia de isoladores, o que normalmente não 
produz dano ao sistema por causa da atuação dos relés de proteção e da abertura do disjuntor. 
Neste caso, o isolamento é autoregenerativo, podendo o religamento ser feito alguns ciclos 
após, de forma automática e rápida. Nos transformadores, máquinas elétricas e outros 
equipamentos, a ruptura do isolamento é um dano permanente, pois não há regeneração. 
3. Mapa Ceráunico 
O termo índice ceráunico refere-se ao número de dias de trovoada de um determinado lugar 
por ano. Curvas isocerúnicas são linhas que ligam pontos (localidades) que têm o mesmo nível 
ceráunico. O conjunto de curvas isoceráunicas de cada região geográfica denomina-se mapa 
ceráunico. Abaixo, na Fig. 2.3 e na Fig. 2.4, os mapas ceráunicos do Brasil e mundo. 
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Fig. 2.3. Mapa ceráunico do Brasil. 
 
Fig. 2.4. Mapa ceráunico do mundo. 
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4. Atenuação das Sobretensões Atmosféricas 
4.1. Considerações Gerais 
A atenuação das sobretensões atmosféricas é feita por sistemas de aterramento associados 
aos seguintes elementos: 
▪ hastes captoras ou para-raios tipo Franklin (prédios); 
▪ gaiola de Faraday (prédios, galpões); 
▪ cabos-guarda ou cabos para-raios (linhas de transmissão); 
▪ descarregadores de surtos ou para-raios (linhas de transmissão, subestações). 
Tanto a gaiola de Faraday como as hastes captoras recebem a designação de SPDA (Sistemas 
de Proteção contra Descargas Atmosféricas). 
4.2. Sistemas de Aterramento 
Consistem em eletrodos enterrados no solo, os quais facilitam o escoamento do surto, 
atenuando o impacto da descarga. São compostos por 
▪ hastes verticais (casas, prédios); 
▪ hastes verticais interligadas por condutores em malha (prédios, usinas, subestações); 
▪ cabos contrapeso (linhas de transmissão). 
Os cabos contrapeso são cabos de aço galvanizado, enterrados horizontalmente a certa 
profundidade do solo, próximo a linhas de transmissão, como é mostrado na Fig. 2.5. 
 
Fig. 2.5. Vista superior de cabos contrapeso - (a) arranjo paralelo; (b) arranjo radial. 
A descrição, caracterização e especificações detalhadas dos sistemas de aterramento 
constituem matéria extensa. Além disso, modelagem matemática apresenta considerável grau 
de complexidade. Uma boa referência é o livro Aterramento Elétrico (KINDERMANN & 
AMPAGNOLO, 1995). 
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4.3. Hastes Captoras 
Esse tipo de proteção é mostrado na Fig. 2.6. O princípio de operação das hastes captoras é 
baseado no poder das pontas. Por interação eletrostática entre a nuvem e o captor (conjunto 
de pontas metálicas) existente na extremidade superior de uma haste instalada no alto do 
prédio, há concentração de cargas no captor, de modo a ocasionar uma descarga elétrica que é 
escoada para a terra mediante um cabo de descida e uma haste de aterramento ou malha. 
 
Fig. 2.6. Configuração usual de um sistema de proteção de edifícios baseado em haste captora. 
O cabo de descida é geralmente de cobre (seção ≥ 35 mm2) com o mínimo de curvas com 
raio de curvatura mínimo de 20 cm, sem emendas, exceto para o conector próximo ao solo. 
A regulamentação do uso das hastes captoras é feita pela norma ABNT - NBR 5419 (2001) - 
Proteção de Estruturas contra Descargas Atmosféricas. 
4.4. Gaiola de Faraday 
Esse sistema consiste em uma malha de condutores envolvendo a edificação, ligada a hastes 
de aterramento, como é mostrado na Fig. 2.7 (o campo elétrico no interior de uma gaiola 
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condutora é nulo). Apresenta custo relativamente elevado. Regulamentação também é feita 
pela norma ABNT NBR 5419 (2001) - Proteção de Estruturas contra Descargas Atmosféricas. 
 
Fig. 2.7. Configuração usual de um sistema de proteção baseado na gaiola de Faraday. 
4.5. Cabos-guarda 
Cabos-guarda são condutores de aço instalados acima dos condutores de fase das linhas de 
transmissão, os quais proporcionam uma blindagem contra a queda de raios. Na Fig. 2.8 são 
mostradas duas linhas de transmissão, uma com um cabo guarda (linhas de 69 kV, usualmente) 
e com dois cabos-guarda (linhas de tensões nominais superiores). 
O desempenho desse sistema é descrito pelo modelo eletrogeométrico descrito na Fig. 2.9. 
Este modelo é baseado no conceito de raio de atração, o qual corresponde à maior distância rs 
abaixo da qual, considerando uma descarga piloto com corrente I, esta atingirá diretamente os 
cabos para-raios, os condutores de fase ou o solo. Assim, se uma descarga atmosférica penetrar 
na região BC, ela incidirá sobre o condutor de fase. Para cada valor de corrente de descarga, 
novas regiões são definidas. 
A relação entre rs e I é a seguinte: 
65,09 Irs  (2.1) 
I - Corrente do raio (kA). 
rs - Raio de atração (m). 
Se uma descarga atinge diretamente uma das fases da linha, há injeção de uma onda de 
corrente de amplitude I no condutor, de modo que essa onda se divide em duas, de amplitudes 
I / 2, as quais se propagam em sentidos opostos a uma velocidade próxima à da luz. A essas 
ondas de corrente estão associadas ondas de tensão proporcionais, as quais são dadas por: 
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I
ZU c (2.2) 
onde Zc é a impedância característica da linha. 
 
Fig. 2.8. Linha de transmissão com (a) um cabo guarda e (b) dois cabos-guarda. 
 
Fig. 2.9. Modelo eletrogeométrico. 
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Supondo uma corrente de descarga de 30 kA incidindo sobre um condutor de uma linha com 
impedância de surto de 400 , tem-se diferenças de potencial fase-terra de 6000 kV. Tais 
tensões ultrapassam os limites de suportabilidade dos isolamentos das linhas, ocasionando 
curtos circuitos por formação de descargas através de isoladores ou mesmo a destruição de 
isolamentos não regenerativos em equipamentos terminais (ARAÚJO & NEVES, 2005). 
Atualmente têm sido utilizados os cabos OPGW (Optical Ground Wire), mostrados na Fig. 
2.10, os quais são cabos para-raios que apresentam estrutura composta por camadas de fios de 
aço e tubo de alumínio no interior do qual há uma ou mais fibras óticas. As partes metálicas 
funcionam como blindagem dos condutores de fase contra as descargas atmosféricas. A parte 
ótica é usada para transmissão de sinais de voz, teleproteção, telemedição e telecomando. 
 
Fig. 2.10. Cabos OPGW (Optical Ground Wire). 
4.6. Descarregadores de Surtos 
São dispositivos ligados em paralelo ao equipamento protegido, entre fase e terra, como é 
mostrado na Fig. 2.11. É desejável que eles apresentam as seguintes características: 
▪ apresentar impedância muito alta durante as condições normais de serviço, com correntes 
de fuga praticamente nulas; 
▪ apresentar baixa impedância durante a ocorrência de surtos de tensão, limitando as 
sobretensões a valores admissíveis; 
▪ dissipar a energia associada ao surto de tensão sem sofrer dano; 
▪ retornar às condições de circuito aberto após a passagem do surto, interrompendo a 
corrente subsequente de 60 Hz na sua primeira passagem por zero. 
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▪ nunca atuar em caso de sobretensão sustentada (longa duração), pois suas propriedades 
térmicas não permitem um regime de condução em longa duração. 
 
Fig. 2.11. Cabos OPGW (Optical Ground Wire). 
Os principais tipos de descarregadores de surtosão os seguintes: 
▪ para-raios tipo haste; 
▪ para-raios de carboneto de silício (SiC); 
▪ para-raios de óxido de zinco (ZnO). 
Para-raios Tipo Haste 
Como é indicado na Fig. 2,12, apresentam um gap formado por duas hastes entre fase e 
terra, com distância definida e com valor de tensão de disrupção inferior ao valor mínimo capaz 
de causar dano ao sistema. 
 
Fig. 2.12. Para-raios tipo haste. 
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Esses dispositivos são simples e baratos, mas têm os seguintes inconvenientes: 
▪ Ao atuarem, forma-se um arco que se mantém enquanto o sistema fornecer corrente, o qual 
só se extingue quando o fusível ou o disjuntor abre, havendo interrupção de serviço. 
▪ Fatores ambientais como poluição, umidade causam variações na tensão de disrupção. 
▪ Em cada disrupção o arco causa erosão e aumento do gap; assim, ocorre aumento da tensão 
de disrupção. 
Para-raios de Carboneto de Silício (SiC) 
Como mostram a Fig. 2.13 e a Fig. 2.14, são compostos por um resistor não linear (varistor) 
em série com vários gaps de material isolante com determinada tensão de ignição (múltiplos 
gaps facilitam a extinção da corrente). Tais elementos são colocados em invólucro de porcelana 
bem vedado e contendo gás inerte. O funcionamento dos mesmos é descrito a seguir. 
▪ Em condição normal, o sistema é isolado da terra pelo gap. A resistência é elevada. 
▪ Ocorrendo a sobretensão, há ignição e o contato se estabelece através do resistor, 
descarregando o surto para a terra (resistência baixa). 
▪ Quando a sobretensão cessa, a resistência volta a ser elevada, passando a circular apenas 
uma corrente subsequente de 60 Hz (≤ 250 A), interrompida na primeira passagem por zero, 
sem reacendimento do arco. Assim, a normalidade é restabelecida. 
 
Fig. 2.13. Para-raios de Carboneto de Silício (SiC). 
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Fig. 2.14. Para-raios de carboneto de silício (SiC). 
Esses para-raios são aplicados principalmente em sistemas distribuição e de subtransmissão. 
Na Fig. 2.15 são mostradas as variações da tensão e da corrente durante a operação de um 
para-raios de SiC. 
 
Fig. 2.15. Variações da tensão e da corrente durante a operação de um para-raios de SiC. 
uS - Sobretensão sem descarregador. 
uI - Tensão residual. 
uR - Tensão da rede. 
iD - Corrente de descarga do para-raios. 
iS - Corrente subsequente. 
tD - Instante da descarga. 
tR - Instante de restabelecimento do isolamento para a terra. 
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Para-raios de Óxido de Zinco (ZnO) 
Desenvolvidos mais recentemente (Matsushita Electrical Co., Japão, 1977). Não possuem 
gaps, como é mostrado na Fig. 2.16 (tipo usado em média tensão). São compostos por 
elemento cerâmico (pastilhas de óxido de zinco com adição de pequenas porções de outros 
óxidos metálicos). Usados em sistemas de baixa até extra-alta tensão. 
 
Fig. 2.16. Para-raios de óxido de zinco (ZnO). 
As propriedades dos para-raios de ZnO são as seguintes: 
▪ Simplicidade de construção, o que aumenta a confiabilidade. 
▪ Nível de proteção bem definido (redução da margem de segurança para o isolamento). 
▪ Valores de corrente subsequente em 60 Hz desprezíveis. 
▪ Maior capacidade de absorção de energia e dissipação de calor. 
▪ Em condições normais, apresenta resistência extremamente alta, com correntes de fuga da 
ordem de A e perdas de poucos watts. 
Na Fig. 2.17 são mostradas as variações da tensão e da corrente durante a operação de um 
para-raios de ZnO. Na Fig. 2.18 é mostrada a comparação entre os para-raios de ZnO e de SiC. 
Pode-se observar que o nível de proteção do para-raios de ZnO é mais bem definido que o de 
SiC, ou seja, a transição da zona de não operação para a zona de operação é bem mais nítida, o 
que acarreta em redução da margem de segurança para o isolamento. 
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Fig. 2.17. Para-raios de óxido de zinco (ZnO). 
 
Fig. 2.18. Comparação entre as características dos para-raios de ZnO e de SiC. 
São mostrados na Fig. 2.19 e na Fig. 2.20 para-raios usados em sistemas tensões nominais, 
desde baixa até extra-alta tensão. 
 
Fig. 2.19. Para-raios usados em sistemas de baixa tensão. 
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Fig. 2.20. Para-raios usados em sistemas de diferentes tensões nominais (média a extra alta tensão). 
Valores de Tensão de Para-Raios 
Define-se tensão nominal de um para raios como a máxima tensão na frequência industrial 
em que ainda é possível evitar a condução para a terra da corrente normal do sistema, 
imediatamente após a condução para a terra de uma corrente causada por um surto de tensão. 
É importante observar que, na frequência industrial, o para raios pode ser submetido a um 
valor de tensão superior a sua tensão nominal sem que haja condução para a terra através 
dele. O valor máximo para que isso ocorra é denominado tensão disruptiva na frequência 
industrial. Assim, em um tempo prolongado, o máximo valor de tensão na frequência industrial 
a qual um para raios é submetido não pode exceder a sua tensão nominal; se isso ocorrer, 
poderá ocorrer queima por ultrapassagem do limite térmico. 
Define-se tensão de reseal de um para raios como a máxima tensão de surto para a qual o 
para raios pode interromper a corrente subsequente. Assim, se o para raios conduzir devido a 
um surto de tensão, além de interromper a corrente de surto, ele também deve ser capaz de 
interromper a corrente subsequente. 
A tensão nominal de um para raio deve ser especificada de acordo com a forma de 
aterramento do neutro; assim, tem-se: 
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▪ Sistemas com neutro isolado – São utilizados para raios com tensão nominal igual a 105% da 
tensão fase-fase, pois a tensão fase-terra pode alcançar a tensão fase-fase. 
▪ Sistemas com neutro solidamente aterrado – São utilizados para raios com tensão nominal 
igual a 84% da tensão fase-fase, pois a tensão fase-terra não atinge 80% da tensão fase-fase. 
Normas de Especificação de Para-Raios 
As normas brasileiras que tratam de especificações de para-raios são citadas a seguir. 
▪ ABN - NBR 5287 (1988) - Para-raios de resistor não linear a carboneto de silício (SiC) para 
circuitos de potência de corrente alternada. 
▪ ABNT - NBR 5424 (2011) - Guia de aplicação de para-raios de resistor não linear em sistemas 
de potência — Procedimento. 
5. Coordenação de Isolamento 
5.1. Coordenação de Isolamento 
O termo coordenação de isolamento refere-se ao processo de correlação entre as possíveis 
solicitações causadas por sobretensões nos isolamentos dos componentes de um sistema 
elétrico e as características dos dispositivos de proteção utilizados (cabos-guarda, descarrega-
dores de surto, etc.). Os procedimentos devem ser tomados de modo a preservar ao máximo a 
integridade do sistema e a continuidade de serviço, observando-se as limitações de custo. Na 
Fig. 2.21 é indicado que deve haver uma margem de segurança entre a tensão de operação do 
para-raios e a máxima tensão de impulso suportável pela isolação do elemento protegido. 
 
Fig. 2.21. Curvas tensão-tempo do elemento protetor e do elemento protegido. 
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Deve ser observado que seria economicamente muito dispendioso construir um sistema 
elétrico que suportasse todas as sobretensões possíveis. Deste modo, a escolha dos 
isolamentos deve ser realizada de forma que os custos sejam minimizados, assumindo-se 
determinada probabilidade de desligamento da linha para cada evento transitório, expressa 
como um risco de falha aceitável. 
Na Fig. 2.22 é mostrada de forma simplificada a coordenação de isolamento dos 
componentes em uma subestação de alta tensão. 
 
Fig. 2.22. Coordenação de isolamentodos componentes em uma subestação de alta tensão. 
Assim, fica evidente que o desenvolvimento e a aplicação adequada de para-raios na 
limitação de sobretensões proporciona projetos mais econômicos de coordenação de isola-
mento. Observa-se que a máxima tensão suportável pelo transformador é inferior à máxima 
tensão de impulso a qual o mesmo pode ser solicitado, de modo que o para raios constitui uma 
proteção efetiva contra os possíveis danos ocasionados por uma descarga atmosférica. 
Até 345 kV, o nível de isolação dos elementos do sistema elétrico é determinado pelas 
sobretensões atmosféricas. Além desse valor, as sobretensões de manobra passam a ser 
determinantes. 
5.2. Ensaios de Impulso 
A norma ABNT- NBR 6936 (1992) - Técnicas de Ensaios Elétricos de Alta Tensão - estabelece 
uma onda de tensão padrão para reproduzir em laboratório as tensões impostas pelos raios, a 
qual é mostrada na Fig. 2.23. 
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Fig. 2.23. Onda de tensão padrão para ensaio de laboratório em isolamentos. 
S – Parte crescente, denominada frente. 
R – Parte decrescente, denominada cauda. 
M – Ponto de máximo, denominado crista. 
Up – Tensão máxima, denominada tensão de crista. 
Tn – Início convencional para contagem dos tempos. 
Ts’ – Tempo entre os instantes em que a onda alcança 30% e 90% de Up. 
Ts – Duração convencional da frente de onda, tomada como 1,67 x Ts’. 
Td – Tempo para a cauda alcançar 50 % de Up, ou tempo de descida. 
Os tempos Ts e Td são respectivamente iguais a 1,2 s e 50 s. 
As solicitações sobre os isolamentos aumentam com a amplitude do surto e com a inclinação 
da frente de onda (du/dt). 
A norma ABNT NBR 6939 (2000) - Coordenação do Isolamento – Procedimento - fornece 
valores de tensão suportáveis de impulso atmosférico (crista) para valores RMS de tensão 
máxima de equipamentos. 
5.3. Nível Básico de Isolamento (NBI) 
NBI ou BIL (do inglês Basic Insulation Level) é o máximo valor de crista da onda padronizada 
de impulso atmosférico (1,2 x 50 s ) que pode ser suportado sem que haja falha na isolação. A 
Tabela 2.1 fornece valores de NBI adotados pelo IEEEE. Os valores reduzidos referem-se a 
sistemas com neutro solidamente aterrado, onde os surtos são mais facilmente dissipados. 
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Tabela 2.1. Valores de NBI adotados pelo IEEE. 
TENSÃO NOMINAL DO 
SISTEMA (kV, RMS) 
NBI PADRÃO 
(kV, PICO) 
NBI REDUZIDO 
(kV, PICO) 
15 110 
34,5 200 
69 350 
138 650 550 
230 1050 825-900 
345 1550 1175-1300 
500 1300-1800 
 
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Capítulo III 
Sobretensões de Manobra 
1. Introdução 
As sobretensões de manobra ocorrem quando são inseridos ou removidos elementos da 
rede de energia, de modo a provocar mudanças súbitas no estado elétrico e magnético do 
circuito. Isso ocasiona transferência de energia armazenada nos campos elétricos e magnéticos 
associados aos diversos elementos capacitivos e indutivos que compõem a rede (linhas de 
transmissão, transformadores, bancos de capacitores e de reatores, etc.). A consequência é o 
surgimento de surtos de tensão em forma de oscilação amortecida de alguns kHz, com duração 
de vários milisegundos a até vários ciclos e valores de pico máximos de 4 pu. Para tensões 
superiores a 400 kV, são as sobretensões de manobra que determinam os níveis de isolamento. 
À medida que cresce a tensão de operação dos sistemas, os surtos de manobra também 
tendem a aumentar de intensidade. As principais causas que dão origem aos mesmos são: 
▪ interrupção de correntes de defeito; 
▪ interrupção de correntes capacitivas; 
▪ interrupção de pequenas correntes indutivas; 
▪ energização ou religamento rápido de linhas de transmissão de tensão nominal elevada; 
▪ chaveamento em condições assíncronas. 
Esses transitórios são usualmente analisados através dos seguintes métodos: 
▪ testes de campo; 
▪ simulações em TNA (Transient Network Analyser); 
▪ simulações em computadores digitais. 
Nos testes de campo são obtidos oscilogramas de tensão e de corrente relativos ao 
fenômeno de interesse, apresentando resultados mais confiáveis que os demais métodos. Eles 
são indispensáveis para a validação dos resultados obtidos pelos demais métodos. 
O TNA consiste em um modelo reduzido de sistema elétrico de potência no qual elementos 
de parâmetros concentrados (resistores, capacitores, indutores, etc) são ligados de modo a 
representar os vários componentes do sistema considerado. Os fatores que determinam a 
Chagas – DEE/UFCG 
25 
 
aplicabilidade do TNA na simulação de transitórios eletromagnéticos dependem 
essencialmente do número de componentes envolvidos bem como da habilidade do operador. 
Assim, o uso do TNA sofre limitações quanto ao tamanho do sistema a ser simulado, sendo 
aplicável aos casos onde não se conhece com exatidão o mecanismo do fenômeno a ser 
estudado. Deste modo, o TNA é usado para identificar o fenômeno. 
O computador digital é a ferramenta mais aplicada no cálculo de transitórios em sistemas de 
potência. O comportamento desses transitórios é descrito através de modelos matemáticos 
que são resolvidos através de métodos de integração numérica em passos de integração da 
ordem de microssegundos. Com o desenvolvimento de computadores e de técnicas 
computacionais cada vez mais eficientes, grandes quantidades de dados passaram a ser 
processados em tempos cada vez menores. No momento, existem diversos programas 
destinados ao cálculo de transitórios. Os mais conhecidos são: ATP (uso aberto) bem como 
MICROTRAN, EMTP-RV, PSCAD/EMTDC e NETOMAC (comerciais). 
Neste estudo é feita uma análise simplificada das sobretensões de manobra com objetivo de 
proporcionar entendimento dos fundamentos do fenômeno, sem maior preocupação com a 
precisão dos resultados obtidos. Na maioria dos casos são considerados circuitos monofásicos 
equivalentes, sendo as equações diferenciais a eles associadas resolvidas pelo método 
convencional ou por transformada de Laplace. 
2. Sobretensões Causadas por Interrupção de Correntes de Defeito 
2.1. Defeito nos Terminais do Disjuntor 
Na Fig. 3.1 é mostrado um gerador alimentando um sistema elétrico. Em relação à Fig. 3.2, 
são considerados os seguintes eventos: 
a. Em t = 0 ocorre um defeito fase-terra no ponto P próximo ao disjuntor e a corrente i assume 
elevado valor. A tensão u entre os terminais do disjuntor permanece nula até t = t1. 
b. Em t = t1 o disjuntor atua. Há a formação de um arco de temperatura da ordem de alguns 
milhares de graus Celsius, assegurando a continuidade de corrente até t = t2. Entre t1 e t2, u 
é igual à queda de tensão no arco, o qual possui característica puramente resistiva; assim, u 
e a corrente i se acham em fase. 
c. Em t = t2, quando a corrente passa por zero, o arco se extingue. A partir desse instante surge 
uma tensão transitória amortecida de alta frequência entre os contatos do disjuntor, a qual 
impõe severa solicitação ao meio extintor. Essa tensão é denominada tensão de 
Chagas – DEE/UFCG 
26 
 
restabelecimento transitória (TRT). Caso o meio extintor não se recomponha rapidamente e 
a TRT apresente uma taxa de crescimento elevada, poderá haver reignição do arco (não 
considerada neste caso). 
d. Em t = t3, devido às perdas resistivas, cessa a oscilação de alta frequência e o processo de 
interrupção da corrente é bem sucedido. 
 
Fig. 3.1. Defeito fase-terra próximo aos terminais do disjuntor. 
 
Fig. 3.2. Interrupção de uma corrente no caso de falta em ponto próximo aos terminais de um disjuntor. 
Assim, verificam-se duas etapas nesse processo: a etapa térmica e a etapa dielétrica, 
descritas a seguir. 
Etapa Térmica 
Entre t1 e t2 oscontatos do disjuntor se afastam, o arco se alonga e a tensão u aumenta. 
Contudo, u é sempre desprezível em relação ao valor nominal da tensão nominal da rede, 
exceto nos sistemas de baixa tensão. Nesse intervalo, os mecanismos de extinção do arco 
procuram retirar o calor gerado pelo arco através de vários meios, dependendo do tipo de 
Chagas – DEE/UFCG 
27 
 
disjuntor (alongamento e/ou divisão do arco, sopro magnético, sopro de ar, etc). Assim, a 
condutividade do arco é reduzida e o mesmo é extinto no primeiro instante de passagem da 
corrente por zero. Entretanto, devido à condutividade residual associada à inércia térmica do 
meio extintor, a corrente não é completamente extinta, persistindo uma pequena corrente 
residual entre os contatos do disjuntor, como é mostrado na Fig. 3.3. 
Se o mecanismo de extinção do disjuntor conseguir retirar calor a uma taxa maior que o 
processo de geração de calor acima descrito, a condutância do meio irá totalmente a zero e a 
corrente será definitivamente interrompida. Caso contrário, ocorre reignição do arco causada 
por efeito térmico, configurando um processo malsucedido de interrupção de corrente. 
 
Fig. 3.3. Corrente de defeito e corrente subsequente entre os contatos de um disjuntor. 
Este fenômeno é representado com razoável precisão pelo modelo de Mayr (SINDER, 2007), 
cuja formulação é: 








 1
.
0P
iug
dt
dg
 (3.1) 
g - Condutância instantânea ou dinâmica do arco. 
 - Constante de tempo térmica do arco. 
u.i - representa a potência dissipada através do arco. 
P0 é a potência retirada do arco pelo meio extintor. 
Etapa Dielétrica 
Esta etapa é a mais difícil de todo o processo, pois o meio extintor do arco ainda não está 
totalmente recomposto e surgem severas solicitações dielétricas impostas pela TRT, como é 
mostrado na Fig. 3.1. Assim, a taxa de crescimento da tensão de restabelecimento transitória 
(TCTRT), dada por du/dt, passa a determinar o sucesso ou o fracasso do processo de interrupção 
da corrente de defeito. Se du/dt for menor que a recomposição da rigidez dielétrica entre os 
Chagas – DEE/UFCG 
28 
 
contatos do disjuntor, a corrente estará definitivamente interrompida. Caso contrário, ocorre 
reignição do arco causada por efeito dielétrico, com restabelecimento da corrente de curto-
circuito. O mecanismo de formação da TRT é descrito a partir do circuito da Fig. 3.4, em que R e 
L e são, respectivamente, a resistência e a indutância em série equivalente entre fonte e 
disjuntor e C é a capacitância para a terra (buchas, TCs, transformador e capacitores de 
equalização do disjuntor). 
 
Fig. 3.4. Curto-circuito nos terminais de um disjuntor. 
Em condições normais de funcionamento (60 Hz) a corrente em C é desprezível. Porém, com 
o início da abertura do disjuntor, a energia armazenada no campo magnético de L irá ser 
transferida para o campo elétrico do capacitor, ocorrendo uma oscilação de energia em 
frequência elevada. As equações desse circuito são: 
tcosUutiR
dt
tdi
L mC  )(
)(
 (3.2) 
dt
tdu
Cti C
)(
)(  (3.3) 
Substituindo (3.3) em (3.2) e fazendo 0 = LC: 
tcosUtu
dt
tdu
L
R
dt
tud
mC
CC  20
2
02
2
)(
)()(
 (3.4) 
Para facilitar a análise, a resistência R é desprezada; aplicando transformada de Laplace: 






22
0
2
2
02
0
2
'
2
0
2 )((
)0()0(
1
)(
ss
s
Uu
s
s
u
s
su mCCC (3.5) 
No domínio do tempo: 
 tcostcosUtcosutsenutu mCCC 02
0
2
0
00
0
'
)0(
)0(
)( 






 (3.6) 
Para o estabelecimento das condições iniciais, deve-se considerar que a corrente é limitada 
apenas pela impedância da fonte. Como a resistência foi desprezada, a passagem da corrente 
por zero (instante inicial da extinção do arco) ocorre quando a tensão da fonte alcança 
Chagas – DEE/UFCG 
29 
 
praticamente o valor de pico, Um. A tensão inicial no capacitor é igual à tensão no arco formado 
entre os contatos do disjuntor, que é desprezível no caso de disjuntores de tensão nominal 
elevada. Assim, as condições iniciais são as seguintes: uC(0)  0 e uC’(0)  iC(0)/C = 0. 
 tcostcosUtu mC 02
0
2
0)( 




 (3.7) 
A frequência de oscilação 0 depende dos parâmetros L e C do circuito, possuindo valores 
muito superiores à frequência  da fonte. Assim, como 0 >> , tem-se: 
 tcostcosUtu mC 0)(  (3.8) 
Como a oscilação de alta frequência é amortecida pela resistência R (inicialmente despre-
zada), sua duração ocorre quando a tensão da fonte acha-se assumindo o valor máximo, Um. 
Assim, pode-se assumir em (3.8) que o termo cos t  1, resultando: 
 tcosUtu mC 01)(  (3.9) 
A Fig. 3.5 mostra as variações de tensão e de corrente nos terminais do disjuntor. 
 
Fig. 3.5. Curto-circuito nos terminais de um disjuntor. 
Valor máximo da TRT é: 
  mmaxCC Uuu 2,0  (3.10) 
Se 0 é alta, a tensão nos contatos aumenta rapidamente, podendo exceder a rigidez 
dielétrica do meio extintor, havendo reignição do arco. 
2.2. Defeito a Curta Distância do Disjuntor 
Este tipo de defeito, também denominado defeito quilométrico, impõe solicitações térmicas 
e eletromecânicas menos intensas que um defeito próximo, uma vez que a corrente é menor. 
Entretanto, o mesmo não ocorre em relação às solicitações dielétricas provenientes da TRT que 
surge entre os contatos do disjuntor, após a interrupção da corrente de defeito. Através de 
Chagas – DEE/UFCG 
30 
 
medições feitas em testes de campo, foi constatado que um defeito ocorrido a alguns quilô-
metros de um disjuntor pode causar maiores solicitações no seu meio extintor que um defeito 
mais próximo aos seus terminais. Isto pode ser entendido a partir do circuito da Fig. 3.6. 
 
Fig. 3.6. Curto-circuito a curta distância de um disjuntor (defeito quilométrico). 
De (3.6), para 01 = (L1C1), tem-se para a parte 1 do circuito: 
 tcostcosUtcosutsenutu mCCC 012
01
2
01
01101
01
'
1
1 )0(
)0(
)( 






 (3.11) 
Para a parte 2 do circuito, a expressão é a mesma, com a simplificação de que o termo 
relacionado à excitação é nulo; assim, para 02 = (L2C2) (D’AJUZ et al., 1987): 
tcosutsen
u
tu C
C
C 02202
02
'
2
2 )0(
)0(
)( 

 (3.12) 
Como as correntes em C1 e C2 são desprezíveis em t = 0, tem-se: 
mCC U
LL
L
uu
21
2
21 )0()0(

 (3.13) 
Também pode-se escrever: 
0)0()0(
2
'
1
'  CC uu(3.14) 
 tcosUtcosU
LL
L
tu mmC 0101
21
2
1 1)( 

 (3.15) 
tcosU
LL
L
tu mC 02
21
2
2 )( 

 (3.16) 
A tensão entre os contatos do disjuntor é dada por: 
 







 tcostcos
LL
L
tcosUtututu mCC 0201
21
2
0121 1)()()( (3.17) 
Considerando 01 < 02, são mostradas na Fig. 3.7 as variações de uC1, uC2 e u, sendo 
considerados os amortecimentos causados pelos elementos resistivos. 
Chagas – DEE/UFCG 
31 
 
 
Fig. 3.7. Variações de uC1, uC2 e u para um defeito quilométrico. 
A severidade dessas sobretensões devem-se às maiores taxas de crescimento da tensão de 
restabelecimento transitória (TCTRT) nos instantes iniciais, dada por du/dt. 
Na Fig. 3.8 acha-se indicada a curva que indica a recomposição da rigidez dielétrica do meio 
extintor, bem como diferentes formas de variação da TRT no caso de defeitos quilométricos, as 
quais determinam o sucesso ou o fracasso da interrupção de corrente. Observa-se que no 
tempo t0 poderá haver reacendimento do arco, mesmo para valores mais baixos da TRT. 
 
Fig. 3.8. Variações da TRT e da rigidez dielétrica um defeito quilométrico. 
Chagas – DEE/UFCG 
32 
 
2.3. Efeito de Abertura Não Simultânea das Fases em um Circuito Trifásico 
Até agora, somente foram considerados circuitos monofásicos equivalentes. Nos circuitos 
trifásicos, em regime normal, as correntes se acham defasadas de 120o. Considerando a Fig. 
3.9, a interrupção da corrente Ia ocorre na sua passagem por zero. Nesse instante, as correntes 
Ib e Ic apresentam valores não nulos, as quais se mantêm através de arcos durante algum 
tempo, o que provoca desequilíbrio momentâneo no circuito. Isto faz com que a TRT no 
disjuntor da fase a e a tensão de 60 Hz pós-falta apresentem valores superiores às tensões fase-
neutro nas fases b e c. 
 
Fig. 3.9. Circuito equivalente relativo à interrupção de corrente em circuito trifásico. 
Inicialmente, não será considerado o transitório de alta frequência. A tensão pós-falta de 60 
Hz entre os contatos do disjuntor da fase a vale: 
IZUUU  ba (3.18) 
Além disso: 
Z
UU
I
2
cb  (3.19) 
Substituindo (3.19) em (3.18), resulta: 
2
cb
a
UU
UU

 (3.20) 
Ainda mais: 
0 cba UUU (3.21) 
22
acb UUU 

 (3.22) 
Substituindo (3.22) em (3.20), resulta: 
aUU 1,5 (3.23) 
Chagas – DEE/UFCG 
33 
 
Assim, tanto a componente de tensão de 60 Hz como a componente de alta frequência da 
tensão entre os contatos do disjuntor da fase a sofrerão acréscimos de 50% em relação às 
tensões das outras fases, até que a corrente seja interrompida nas mesmas. 
2.4. Caracterização de TRTs 
Dependendo do tipo de circuito, a tensão de restabelecimento transitória apresenta grande 
variedade de formas de onda. Para aquelas que apresentam forma semelhante à mostrada na 
Fig. 3.10, são considerados como de maior relevância o primeiro pico e o pico máximo. 
 
Fig. 3.10. Forma de onda típica da TRT e diferentes taxas de crescimento da tensão (TCTR). 
Em relação à TCTRT, são adotadas quatro definições, de acordo com as retas tracejadas da 
Fig. 3.10, como é explicado a seguir. 
a. Taxa média de crescimento de zero ao pico máximo da TRT. 
b. Taxa média de crescimento de zero ao primeiro pico da TRT. 
c. Máxima taxa média de crescimento, correspondente à tangente à curva da TRT que passa 
pela origem. 
d. Máximo valor da TCTRT. 
Para disjuntores a óleo, as definições a e b são as mais apropriadas. 
Para disjuntores a ar comprimido e a SF6, recomenda-se usar as definições c e d (ALVES, 
2006). 
Chagas – DEE/UFCG 
34 
 
3. Sobretensões Causadas por Interrupção de Pequenas Correntes Indutivas 
Essas sobretensões são causadas por interrupção de corrente em transformadores em vazio 
ou reatores em derivação. Se o disjuntor possui mecanismo de extinção de arco muito 
eficiente, as pequenas correntes indutivas são interrompidas antes de sua passagem natural 
por zero, de modo a contrariar a propriedade fundamental dos indutores, que consiste em se 
opor a variações abruptas de corrente. Isto é ilustrado através do circuito da Fig. 3.11, onde Lm 
é a indutância de magnetização do transformador ou reator e C é a capacitância em derivação 
equivalente do sistema (cabos, buchas, enrolamentos, etc). 
 
Fig. 3.11. Circuito associado à interrupção de pequena corrente indutiva (chopping current). 
Com a interrupção, a energia armazenada no campo magnético do indutor é transferida para 
o campo elétrico do capacitor e vice-versa, com frequência de oscilação 0 = (LmC). Porém, 
surge um problema: como a corrente é pequena, o disjuntor poderá interrompê-la prematura-
mente, logo que os contatos começam a se separar. Com uma pequena separação, o dielétrico 
não suporta a solicitação. Assim, o corte forçado da corrente pode causar múltiplas reignições 
do arco. Isso ocasiona o surgimento de uma tensão com formato aproximado de dente de serra 
nos terminais do disjuntor, como é mostrado na Fig. 3.12. Essa sequência corte-condução 
sugere a denominação de chopping (fatiamento, picotamento). 
Desprezando os efeitos dissipativos das resistências, do arco e da histerese do núcleo 
magnético, a energia armazenada total no instante do chopping é dada por: 
2
0
2
0 ILUCW mT





 (3.24) 
O máximo valor de uC ocorre quando toda a energia é armazenada no campo elétrico de C, a 
qual, neste instante, é dada por: 
2
0
2
0
2 ILUCUCW mCmCm








  20
2
0 I
C
L
UU mCm  (3.25) 
Chagas – DEE/UFCG 
35 
 
 
Fig. 3.12. Formas de ondas relacionadas à interrupção de pequena corrente indutiva. 
As sobretensões são menores que no caso de não haver reignição, pois estas permitem 
retorno de parte da energia para o resto do circuito, amortecendo as oscilações. 
Exemplo: Para um transformador de 1 MVA, 13,8 kV, a corrente de magnetização típica é 
3,5%; assim, tem-se: 
)(A5,1
8,133
1000
100
5,3
RMS
x
xIm  
H
xI
U
Lm 14
5,1377
3/138000
ω
 
Assumindo um fator de forma de 1,7 para a corrente, tem-se o seguinte valor de pico: 
A5,25,17,10  xI 
Transformadores desse porte apresentam capacitância shunt equivalente com valores 
típicos de 1 a 7 nF; assumindo C = 5 nF, resulta: 
Se o chopping ocorre no pico da corrente de magnetização: 
6,1322875,2
105
14
0 2
9
22
0
2
0   xx
I
C
L
UU mCm 
Na prática, esse valor não é alcançado, devido às perdas ôhmicas. Além disso, apenas uma 
fração da energia armazenada no núcleo magnéticoé liberada, devido às perdas causadas pelo 
efeito de histerese. 
Chagas – DEE/UFCG 
36 
 
4. Sobretensões Causadas por Interrupção de Correntes Capacitivas 
Essas sobretensões são causadas por desligamento de bancos de capacitores ou linhas de 
transmissão aéreas longas em vazio ou linhas a cabo. No circuito da Fig. 3.13 considera-se que o 
disjuntor interrompe uma corrente fornecida a um elemento de capacitância equivalente C. O 
sistema alimentador é representado por uma fonte de tensão em série com uma indutância L. 
 
Fig. 3.13. Circuito associado à interrupção de corrente capacitiva. 
É mostrado na Fig. 3.14 que, antes da abertura do disjuntor, i acha-se adiantada de 900 em 
relação a u, pois predomina o efeito capacitivo. Como a interrupção ocorre no instante em que 
i = 0, a tensão nos terminais de C se mantém constante e igual ao valor de pico de da tensão da 
fonte, Um. Assim, a tensão nos contatos do disjuntor, uD = u – uC, pode alcançar 2 Um. 
 
Fig. 3.14. Formas de ondas relacionadas à interrupção de corrente capacitiva. 
Chagas – DEE/UFCG 
37 
 
Após a extinção do arco, se a velocidade de afastamento dos contatos não for suficiente-
mente elevada, poderá haver reignição para uD = 2 Um, ocorrendo um transitório de alta 
frequência quando a tensão da fonte acha-se no valor de pico, como é mostrado na Fig. 3.15. 
 
Fig. 3.15. Formas de ondas relacionadas à interrupção de correntes capacitivas, com reignição do arco. 
Isto pode ser explicado pelo seguinte equacionamento do circuito da Fig. 3.12: 
tcosUu
dt
di
L mC  (3.26) 
dt
du
Ci C (3.27) 
Combinando (3.26) e (3.27), obtém-se: 
tcosUu
dt
ud
mC
C  

2
2
 (3.28) 
A fonte oscila em 60 Hz e a oscilação relacionada ao processo transitório é da ordem de kHz, 
com forte amortecimento; assim, é permitido fazer a seguinte aproximação: 
mC
C Uu
dt
ud 


 2
2
 (3.29) 
As condições iniciais são: mC Uu )0( , 0/)0()0(
'  CiuC . 
Aplicando transformada de Laplace, obtém-se a seguinte solução: 
 tcosUtu mC  21)( (3.30) 
O processo de reignição pode se repetir a cada pico de tensão da fonte, ocasionando 
tensões elevadas nos terminais do capacitor e do disjuntor. 
Chagas – DEE/UFCG 
38 
 
5. Atenuação das Sobretensões de Manobra 
Para esta finalidade, são utilizados descarregadores de surtos (para-raios de ZnO), estudados 
no capítulo anterior. Porém, outras técnicas são empregadas, as quais fazem uso dos seguintes 
procedimentos ou dispositivos: seccionamento da linha, chaveamento controlado, resistores de 
pré-inserção, circuitos ressonantes e outras. 
Seccionamento da linha 
Consiste na instalação de disjuntores intermediários. Assim, a sobretensão produzida no 
trecho de linha de menor comprimento é reduzida. 
Chaveamento controlado 
A técnica de chaveamento controlado consiste em promover o comando para fechamento 
do disjuntor em um instante tal que a tensão entre seus contatos seja nula (CARDOSO, 2009). 
Essa sincronização é feita por meio de um controlador que toma como sinal de referência a 
referida tensão. Na energização de uma linha de transmissão inicialmente descarregada, o 
instante ótimo para fechamento dos disjuntores é a passagem pelo zero do sinal de tensão da 
fonte. Como a tensão da linha é zero, considera-se que a tensão entre os contatos do disjuntor 
é a própria tensão da fonte, a qual é o sinal de referência para o dispositivo de controle. Os 
possíveis instantes ótimos estão em destaque na Fig. 3.16. 
 
Fig. 3.16. Instantes ótimos para energização de linhas de transmissão (CARDOSO, 2009). 
Chagas – DEE/UFCG 
39 
 
Resistores de pré-inserção 
O resistor de pré-inserção é instalado na câmara do disjuntor para reduzir a sobretensão 
durante o fechamento, como é mostrado na Fig. 3.17. 
Durante o deslocamento do contato móvel, ele é inserido durante 6 a 10 ms, sendo 
posteriormente posto em curto-circuito quando os contatos se fecham. Em geral, esses 
resistores possuem resistências da ordem do valor da impedância característica da linha (250 a 
450 ). 
 
Fig. 3.17. Resistor de pré-inserção usado no amortecimento de sobretensões de manobra. 
Circuitos Ressonantes 
Este método consiste na utilização de circuitos como o mostrado na Fig. 3.18, no qual a 
frequência de ressonância da associação LC é sintonizada em 60 Hz, de modo que o resistor R 
não seja percorrido por corrente em condições normais de funcionamento. Entretanto, durante 
a ocorrência de uma falta, as oscilações transitórias decorrentes são amortecidas pelo resistor. 
Este método tem como desvantagem o fato de requerer emprego de indutores e capacitores 
de grande porte. 
 
Fig. 3.18. Circuito ressonante usado no amortecimento de sobretensões de manobra. 
Chagas – DEE/UFCG 
40 
 
6. Sobretensões de Manobra em Subestações a SF6 
As sobretensões de manobra em subestações aéreas são de alguns kHz. Em subestações 
abrigadas e isoladas a SF6, a frequência situa-se na faixa de 0,2 a 2 MHz (solicitações mais 
severas). Isso se deve ao fato de que os parâmetros L e C da subestação a SF6 são bastante 
diferentes, pois eles dependem da geometria dos elementos e do meio isolante. À pressão 
atmosférica normal, o SF6 tem rigidez dielétrica 2,5 vezes maior que a do ar. De 3 a 5 vezes a 
pressão atmosférica (condição usual), a rigidez dielétrica é 10 vezes a do ar. Isto permite a 
construção de componentes muito mais compactos (barramentos, disjuntores, TCs, TPs, chaves 
seccionadoras, etc). 
Apesar de serem mais caras, as GIS (Gas Insulated Substations) constituem uma solução para 
os grandes centros urbanos, onde há falta de espaço físico e necessidade de preservação do 
aspecto paisagístico. 
As subestações isoladas a SF6 possuem um aspecto típico mostrado na Fig. 3.19. 
 
Fig. 3.19. Aspecto típico de uma subestação isolada a SF6. 
 
Chagas – DEE/UFCG 
41 
 
Capítulo IV 
Sobretensões Sustentadas 
1. Introdução 
As sobretensões sustentadas ou temporárias apresentam fraco amortecimento, duração de 
vários ciclos, vários segundos ou mais e valores de pico máximos de 1,5 pu. Ocorrem à 
frequência industrial e harmônica; em alguns casos raros, podem estar presentes componentes 
sub-harmônicas. Os para-raios não devem operar, pois a capacidade térmica será excedida em 
períodos longos de condução. 
As causas mais frequentes dessas sobretensões são: 
▪ curtos-circuitos fase-terra em sistemas trifásicos; 
▪ perda súbita de carga em geradores; 
▪ efeito Ferranti; 
▪ ressonância linear; 
▪ ferroressonância. 
Cada um desses fatores é descrito a seguir. 
2. Curtos-circuitos Fase-Terra em Sistemas Trifásicos 
Para entender o problema das sobretensões sustentadas, três casos são inicialmente 
analisados em um sistema elétrico: neutro isolado da terra, neutro solidamente aterrado e 
neutro aterrado através de impedância. 
Neutro Isolado da Terra 
Para o sistema da Fig. 4.1 é mostrado o diagrama fasorial correspondente ao regime normal 
de funcionamento: As correntes de defeito fase-terra apresentam valores desprezíveis e são 
limitadas pelas capacitâncias fase-terra.O neutro se acha no mesmo potencial da terra. 
Na Fig. 4.2 é ilustrado um caso de defeito fase-terra. Observa-se o deslocamento dos 
potenciais das fases sãs em relação à terra, sendo estes aumentados pelo fator √3. Nesses 
sistemas é difícil a detecção e localização do defeito, não sendo aplicáveis os relés de terra. 
Para esses sistemas, os para-raios são especificados com 105% da tensão nominal da linha. 
Chagas – DEE/UFCG 
42 
 
 
Fig. 4.1. Sistema com neutro isolado e diagrama fasorial de tensões e correntes fase-neutro. 
 
Fig. 4.2. Deslocamento dos potenciais do neutro e das fases sãs em um sistema com neutro isolado 
durante a ocorrência de um defeito fase-terra. 
Nos sistemas com neutro isolado há um fenômeno denominado falta intermitente (em 
inglês, arcing fault ou arcing ground), qual pode ser explicado de modo simplificado através dos 
diagramas fasoriais da Fig. 4.3, relacionados à sequência de eventos a seguir. 
a. O sistema opera em condições normais. Em seguida, há um defeito fase a – terra, causado 
por contato momentâneo com um galho de árvore, descarga através de isolador poluído ou 
disrupção de atmosfera com vapor metálico. 
b. O neutro é deslocado de um valor igual a Uan em relação à terra. Assim, o arco é extinto 
quando a corrente If = 0. A carga armazenada na capacitância faz com que o triângulo fique 
deslocado, na mesma posição. 
Chagas – DEE/UFCG 
43 
 
c. Após meio ciclo de tensão, as tensões se apresentam defasadas de 180°. O potencial da fase 
a aumenta de 0 até cerca de 2 Uan, fazendo com que o arco restabeleça a conexão fase a – 
terra. O potencial desta fase tende a cair subitamente para o potencial da terra. Devido à 
indutância em série do circuito, há uma oscilação entre + 2 Uan e -2 Uan, com frequência de 
20 a 100 vezes 60 Hz. Ocorre uma série de oscilações transitórias devido às múltiplas 
reignições do arco, com tensões de elevados valores de pico e possíveis danos ao sistema. 
 
Fig. 4.3. Ocorrência de terra intermitente em sistema com neutro isolado. 
Neutro Solidamente Aterrado 
Nesse tipo de sistema o neutro é aterrado mediante condutor de impedância desprezível. 
Caso haja um defeito envolvendo uma fase e a terra, as tensões fase-terra das outras fases não 
crescem além da tensão nominal fase-terra. Um sistema com neutro solidamente aterrado e os 
respectivos diagramas fasoriais são mostrados na Fig. 4.4. Nesses sistemas as correntes de 
defeito fase-terra são altas e os defeitos são facilmente detectados, sendo a proteção de terra 
sensível seletiva e facilmente ajustável. Praticamente não há deslocamento dos potenciais das 
fases sãs e o deslocamento do neutro é pequeno. Porém, os esforços eletromecânicos são 
elevados e arcos são intensos. 
Chagas – DEE/UFCG 
44 
 
Também não ocorrem as faltas intermitentes. Assim, os sistemas sejam projetados com 
isolamentos mais econômicos. Ao contrário dos sistemas com neutro isolado, não ocorrem 
sobretensões sustentadas em caso de defeito fase-terra. Para esses sistemas, os para-raios são 
especificados com tensão nominal de 84% da tensão nominal da linha. 
 
Fig. 4.4. Defeito fase-terra em um sistema com neutro solidamente aterrado. 
Neutro Aterrado por Impedância 
Será considerado um defeito fase-terra em um sistema cujos circuitos de Thévenin de 
sequência positiva, negativa e zero são mostrados na Fig. 4.5. Uma observação importante é 
que as impedâncias indicadas incorporam não apenas as resistências e indutâncias em série 
do sistema como também as capacitâncias em derivação. 
 
Fig. 4.5. Circuitos de Thévenin de sequência positiva, negativa e zero de um sistema com neutro aterrado 
 através de impedância. 
Assim, pode-se escrever: 
021 ZZZZ  (4.1) 


Z
U
I 0a (4.2) 
U
Z
ZZ
U


 021a (4.3) 
Chagas – DEE/UFCG 
45 
 
U
Z
Z
IZU

 2022 aa (4.4) 
U
Z
Z
IZU

 2000 aa (4.5) 
Considerando o operador de Fortescue, a = 1 e j 120° = 1 120°, tem-se pela teoria das 
componentes simétricas (STEVENSON, 1974): 
021 aaab UUaUaU 
2 (4.6) 
021 aaac UUaUaU
2  (4.7) 
Considerando Z1  Z2 e combinando as equações acima, obtém-se: 
10
10
/2
/1
ZZ
ZZ
a
U
U


 2b (4.8) 
10
10
/2
/1
ZZ
ZZ
a
U
U


c (4.9) 
Ademais, são feitas as seguintes simplificações: R0 = R1 = R2 = 0; assim: 
221100 XjXjXj  Z,Z,Z (4.10) 
Os módulos de Ub e Uc, em pu de U, são, respectivamente: 
10
10
/2
/1
XX
XX
U pub,


 2a (4.11) 
10
10
/2
/1
XX
XX
U puc,


 a (4.12) 
Analisando (4.11) e (4.12), constata-se que se X0 / X1 = 1, então Ub,pu = Uc,pu = 1. Isto implica 
que não há sobretensões nas fases sãs. 
Entretanto, se o neutro for isolado ou aterrado por alta impedância, tem-se X0 / X1 >> 2 e, 
então, Ub,pu = Uc,pu  √3. Isso corresponde ao máximo valor de sobretensão sustentada 
decorrente de um defeito fase-terra. 
É mostrado na Fig. 4.6 o modo de variação das tensões nas fases sãs, Ub,pu e Uc,pu, em função 
de X0 / X1, para R1 = R2 = 0. 
Coeficiente de Aterramento 
Define-se coeficiente de aterramento como a relação, em percentagem, entre a maior 
tensão fase-terra em uma fase sã e a tensão fase-fase nominal do sistema, durante uma falta 
para a terra em uma ou mais fases. Assim, esse coeficiente acha-se situado entre 0 e 100%. 
Chagas – DEE/UFCG 
46 
 
Curvas de Coeficientes de Aterramento 
Com base em (4.11) e (4.12), há curvas que fornecem os coeficientes de aterramento para 
sistemas com neutro aterrado por impedância, como as mostradas na Fig. 4.7, em que é 
suposto R1 = R2 = 0. Há gráficos semelhantes para R1 = R2 = 0,1 X1, R1 = R2 = 0,2 X1,, etc. Essas 
curvas são usadas na seleção de para-raios. 
 
Fig. 4.6. Modo de variação das tensões Ub e Uc em função de X0/X1 para R1 = R2 = 0. 
 
Fig. 4.7. Curvas de coeficientes de aterramento para R1 = R2 = 0. 
Sistema Efetivamente Aterrado 
Num sistema efetivamente aterrado o neutro é ligado à terra por uma impedância de valor 
tal que o coeficiente de aterramento não exceda 80%; assim: 
Chagas – DEE/UFCG 
47 
 
0,8


NOMINALFASEFASETENSÃO
SÃSFASESNASTERRAFASETENSÃO
 
Tomando como base a tensão fase-neutro nominal do sistema: 
pux 4,138,0  SÃSFASESNASTERRAFASETENSÃO 
As sobretensões nas fases sãs nãoultrapassa 40%. Nesses sistemas, tem-se 
aproximadamente: R0/X1 ≤ 1 e X0/X1 ≤ 3; assim, são feitas as observações a seguir. 
▪ Nessa categoria também podem estar incluídos sistemas onde há resistências ou reatâncias 
ligadas entre neutro e terra. 
▪ Os para-raios podem ser especificados para 84% da tensão fase-fase. 
▪ As correntes de defeito fase-terra têm valores apreciáveis, sensibilizando a proteção de 
sobrecorrente (fusíveis ou relés). 
▪ As correntes de defeito fase-terra próximos aos pontos de aterramento podem atingir 
valores superiores às correntes de defeito trifásico. 
Sistema Não Efetivamente Aterrado 
Esses sistemas apresentam R0/X1 > 1 e X0/X1 > 3, de modo que o coeficiente de aterramento 
é maior que 80%; neles, pode-se afirmar que: 
▪ As correntes de defeito fase-terra são menores que as de defeito trifásico. 
▪ À medida que R0/X1 e X0/X1 aumentam, crescem os problemas de detecção de defeitos fase-
terra. Assim, é cada vez mais difícil o ajuste dos dispositivos de proteção contra 
sobrecorrente e a obtenção de boa seletividade. 
▪ Os coeficientes de aterramento se aproximam do valor 100%. 
▪ Os para-raios são especificados para 105% da tensão fase-fase nominal do sistema, pois não 
devem conduzir em caso de sobretensão sustentada. 
Formas de Operação do Neutro de Equipamentos 
Os geradores nunca operam com neutro solidamente aterrado. O neutro é aterrado por 
resistor, reator, transformador de distribuição com resistor no secundário ou bobina de 
Petersen. 
Nos sistemas de transmissão e de distribuição aéreos, os transformadores operam com o 
neutro solidamente aterrado. Em subestações industriais, o neutro é solidamente aterrado 
quando a tensão nominal do secundário é baixa. Em sistemas com tensão nominal entre 2,4 a 
15 kV, o neutro é aterrado através de resistor. 
Chagas – DEE/UFCG 
48 
 
3. Perda Súbita de Carga em Geradores 
Considera-se na Fig. 4.8 um caso de perda súbita de carga num gerador (rejeição de carga). 
Para o sistema, pode-se escrever: 
IIEU jXR-  (4.13) 
 
Fig. 4.8. Caso de perda súbita de carga num gerador (rejeição de carga). 
Os diagramas fasoriais correspondentes a antes e a depois da rejeição de carga são 
mostrados na Fig. 4.9. 
 
Fig. 4.9. Diagramas fasoriais correspondentes a antes e a depois da rejeição de carga (E’ > E, I’ < I). 
Com rejeição de carga, haverá sobretensão temporária no sistema. Isso se explica da 
seguinte forma: 
▪ Antes da rejeição, o gerador recebe potência mecânica da turbina e fornece potência 
elétrica à rede. O torque mecânico é igual ao torque de reação de armadura, que se anula 
após a rejeição. Assim, há aceleração e aumento da tensão gerada E, pois ela é proporcional 
à velocidade do rotor. Em turbogeradores, a sobrevelocidade chega até 10%, em menos de 
1s. Em hidrogeradores, a sobrevelocidade pode chegar a 40%, em 3 a 4 s. Isto permanece 
Chagas – DEE/UFCG 
49 
 
até que os reguladores de velocidade e de tensão atuem. Assim, de acordo com (4.13) e com 
a Fig. 4.9, como a tensão E aumenta, haverá aumento de U. 
▪ Com a saída da carga, a corrente diminui. Assim, a queda de tensão através das impedâncias 
se reduzirá, contribuindo também para o aumento de U, como pode ser visto na Fig. 4.9. 
4. Efeito Ferranti 
Este efeito deve-se à capacitância em derivação distribuída das linhas de transmissão. A 
operação da linha em vazio (ausência de carga) causa elevação de tensão, principalmente no 
extremo receptor, com solicitações excessivas nos isolamentos. Isto se agrava quando o 
comprimento da linha aumenta. Nas linhas com cabo isolado (subterrâneas, submarinas) este 
efeito é mais intenso que nas linhas aéreas, considerando um mesmo comprimento e tensão 
nominal, devido à maior capacitância shunt. 
Análise por Diagramas Fasoriais 
A seguir, é mostrada na Fig. 4.10 e nos diagramas fasoriais da Fig. 4.11, Fig. 4.12 e Fig. 4.13 a 
influência da capacitância em derivação e do carregamento da linha na queda de tensão 
através da mesma. Considera-se a tensão no receptor (UR) fixa. 
 
Fig. 4.10. Linha de transmissão e carga no extremo receptor. 
 
Fig. 4.11. Diagrama fasorial com S fechada – Linha muito carregada - UR << US. 
Chagas – DEE/UFCG 
50 
 
 
Fig. 4.12. Diagrama fasorial com S fechada – Linha pouco carregada - UR > US. 
 
Fig. 4.13. Diagrama fasorial com S aberta – Receptor em vazio - UR >> US. 
Observando os diagramas fasoriais, verifica-se que quanto menos carregada estiver a linha, 
maior será o aumento de tensão no sentido fonte-carga. 
Análise por Equações de Onda 
Outra análise do efeito Ferranti é feita a partir das equações de onda, considerando a linha 
de transmissão mostrada na Fig. 4.14, cujos parâmetros por unidade de comprimento são: 
▪ r - Resistência em série, em /km; 
▪ l - Indutância em série, em H/km; 
▪ g - Condutância em derivação, em S/km; 
▪ c - Capacitância em derivação, em F/km. 
 
Fig. 4.14. Linha de transmissão com parâmetros distribuídos. 
Assim, tem-se: 
ljr  z (4.14) 
cjg  y (4.15) 
As equações que descrevem a propagação das ondas de tensão e de corrente na linha são as 
seguintes (STEVENSON, 1974): 
Chagas – DEE/UFCG 
51 
 
Uzy
U

2
2
dx
d
 (4.16) 
Izy
I

2
2
dx
d
 (4.17) 
As soluções dessas equações correspondem às expressões a seguir: 
xsenhxcosh Rc  IZUU R  (4.18) 
xsenhxcosh
c
R 
Z
U
II R  (4.19) 
cjg
ljr
c





y
z
Z (4.20) 
 j yz  (4.21) 
As constantes complexas Zc e  chamam-se impedância característica e constante de 
propagação, respectivamente. O parâmetro  é a constante de atenuação, expresso em 
nepers/m;  é a constante de fase, em rad/m. 
Na linha sem perdas, r = g =  = 0; assim, fica: 
xsenIZxcosUU Rc   R (4.22) 
xsen
Z
U
xcosII
c
R   R (4.23) 
clc Z (4.24) 
cljj    (4.25) 
Com o terminal receptor em aberto, tem-se: 
xcosUU R  (4.26) 
Neste caso, parax = a (tensão no extremo emissor): 
acosUUS R  (4.27) 
Combinando (4.26) e (4.27): 
SU
acos
xcos
U


  (4.28) 
Medindo as distâncias a partir do terminal emissor, tem-se: 
SU
acos
yacos
U

 )(
 

 (4.29) 
A constante  produz uma defasagem  na tensão ao longo da linha ( =  x). Um ciclo de 
tensão corresponde a 2 radianos de defasagem, ou seja,   = 2 ; assim: 
Chagas – DEE/UFCG 
52 
 
f/c





22
 (4.30) 
A constante c é a velocidade de propagação da onda (c  300000 km /s). Para f = 60 Hz: 
kmrad
/x
/00126,0
60103
2
5


 
Em linhas de 230 kV a 1100 kV,  varia pouco (0,00127 a 0,00130 rad/km); assim: 
 
 acos
yacos
U
U
0,00126
)(0,00126
 


S
 
O perfil de tensões ao longo de uma linha de 600 km com receptor em aberto é mostrado na 
Fig. 4.15, no qual a tensão alcança 1,37 pu (valor muito alto). Linhas com esse comprimento só 
podem operar com compensação (reatores shunt e/ou capacitores série). 
 
Fig. 4.15. Perfil de tensão ao longo de uma linha sem perdas de 600 km de comprimento. 
O comprimento de onda em 60 Hz é: 
km500060/300000/  fc 
Uma linha de comprimento a = /4 = 1250 km com o receptor aberto apresentaria 
sobretensões tendendo a infinito. Exemplo: para a = 1246 km: 
 
 
)!(7,1195
12460,00126
)12461246(0,00126
 pu
xcos
cos
U
U



S
R 
Chagas – DEE/UFCG 
53 
 
5. Ferroressonância 
5.1. Definição de Ferroressonância 
O termo ferroressonância nomeia um fenômeno de caráter oscilatório que resulta da 
transferência de energia entre capacitores, indutores com núcleos magnéticos saturáveis e 
fontes de alimentação. O exemplo mais simples consiste em uma associação em série de um 
transformador com secundário em aberto, um capacitor e uma fonte de tensão senoidal. 
Durante a ocorrência da ferroressonância, ao ser atingido o regime de saturação, há uma 
variação rápida e descontínua nas amplitudes e fases da corrente e das tensões, surgindo ondas 
com formas acentuadamente não senoidais, as quais apresentam altos valores de pico, de 
modo a haver risco à integridade dos equipamentos. Nas redes elétricas, os valores máximos de 
tensão alcançados situam-se na faixa de 2 a 3 pu. As ondas podem conter componentes de 
frequências múltiplas ou submúltiplas da frequência de excitação (harmônicas e sub-
harmônicas). Também ocorre sobrefluxo no núcleo do transformador, fato este que causa 
aquecimento em decorrência do aumento das perdas magnéticas. 
Inicialmente, é assumido que as correntes e tensões não-senoidais podem ser substituídas 
por equivalentes senoidais de mesmo valor RMS (RUDENBERG, 1950; BESSONOV, 1973). É 
importante ressaltar que esse método, denominado método RMS, serve apenas para facilitar o 
entendimento do fenômeno, uma vez que a aproximação das grandezas por equivalentes 
fasoriais acarreta em um erro cada vez maior à medida que aumenta o grau de saturação do 
indutor não linear. 
O circuito considerado e o diagrama fasorial correspondente são mostrados na Fig. 4.16 e na 
Fig. 4.17, respectivamente. Neste caso, pode-se escrever para os módulos das tensões: 
I
C
UUUU CL


1
 (4.31) 
 
Fig. 4.16. Circuito com indutor saturável Fig. 4.17. Diagrama fasorial do circuito da Fig. 4.17. 
Chagas – DEE/UFCG 
54 
 
Com base nesta equação, pode-se construir o gráfico da Fig. 4.18, onde é mostrado o ponto 
de operação inicial, P1. Este ponto corresponde à intersecção da reta descrita por (4.31),com a 
curva de magnetização do indutor, para uma tensão da fonte U = U 1. 
Neste ponto de operação estável, o circuito assume um comportamento indutivo (UL > UC). 
Se houver aumento de U ou redução da frequência  ou da capacitância C, o ponto de 
trabalho tende a se deslocar para cima. Porém, como P1 acha-se próximo ao joelho da 
característica do indutor, pode ocorrer que as duas curvas não se interceptem no primeiro 
quadrante. De acordo com a Fig. 4.19 e com a Fig. 4.20, o novo ponto de operação passa a ser 
P3, situado no terceiro quadrante. Pode-se observar que ocorre grande aumento nos valores 
das tensões, corrente e fluxo. Como o ponto P3 se situa numa região de intenso grau de 
saturação, as grandezas apresentam caráter acentuadamente não senoidal. 
 
Fig. 4.18. Condição de operação estável de um circuito RLC em série não linear. 
 
Fig. 4.19. Comportamento de um circuito LC série não linear com aumento de U. 
Chagas – DEE/UFCG 
55 
 
 
Fig. 4.20. Comportamento de um circuito LC não linear com redução de C ou de . 
É considerado agora o circuito da Fig. 4.21. As características tensão-corrente do resistor, 
capacitor e indutor são dadas, respectivamente, por UR = R I, UC = (1/C) I e UL = f ( I ). As 
curvas correspondentes a essas expressões são mostradas na Fig. 4.22, com traço pontilhado. 
Para cada valor de I, a tensão resultante da associação capacitor–indutor é dada pela diferença 
entre UL e UC. A curva correspondente à característica resultante da associação, U = f (I ) é 
mostrada com traço cheio. 
 
Fig. 4.21. Circuito RLC não linear. Fig. 4.22. Curvas tensão-corrente do circuito da Fig. 4.22. 
A curva U= f (I ) da Fig. 4.22 é mostrada separadamente na Fig. 4.23. Se a tensão U for 
aumentada gradualmente a partir de zero, o trecho 0-1-2 da curva é percorrido até o ponto 2. 
Nesse ponto, qualquer acréscimo em U resultará em um salto para o ponto 4, percorrendo-se o 
trecho 4-5. Se U sofrer uma redução, ao se atingir o ponto 3, qualquer redução adicional 
causará um salto para o ponto 1, e daí para 0. Assim, a ferroressonância se estabelece de modo 
que uma pequena variação da tensão de entrada ocasiona uma mudança súbita denominada 
salto ressonante entre dois diferentes estados de operação estável do sistema. 
Chagas – DEE/UFCG 
56 
 
 
Fig. 4.23. Curva tensão-corrente resultante para o circuito da Fig. 4.21. 
Nos sistemas elétricos, a ocorrência da ferroressonância é determinada não apenas pela 
variação no valor de uma grandeza associada à fonte de alimentação (tensão ou frequência), 
mas principalmente pela mudança de um parâmetro ou configuração do sistema. 
5.2. Modos de Ferroressonância 
Em condição de estado estacionário, a ferroressonância pode ser classificada em três 
diferentes categorias, descritas a seguir (FERRACCI, 1998). 
▪ Modo fundamental. As tensões e correntes apresentam forma de onda acentuadamente não 
senoidal e com período igual ao da fonte de excitação. O espectro de linhas dos sinais é 
discreto e contém a frequência de operação do sistema, f0, além de harmônicas de 
frequências k f0, k = 1, 3, 5, .... Isto é mostrado na Fig. 4.24. 
 
Fig. 4.24. Ferroressonância de modo fundamental. 
▪ Modo sub-harmônico. As tensões e correntes apresentam forma de onda acentuadamente 
não senoidal e com período igual a nT, onde n é um múltiplo inteiro e T é o período da fonte 
de excitação. O espectro de linhas dos sinais é discreto e contém uma componente 
Chagas – DEE/UFCG