2 Distúrbios Corrente

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Chagas – DEE/UFCG 
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Universidade Federal de Campina Grande 
Centro de Engenharia Elétrica e Informática 
Departamento de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distúrbios de Corrente em Redes Elétricas 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Francisco das Chagas Fernandes Guerra 
 
 
 
 
 
 
Campina Grande - PB 
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Capítulo I 
Introdução 
Os principais distúrbios relacionados à corrente elétrica nos sistemas de geração, 
transmissão, distribuição e consumo de energia são originados das seguintes ocorrências: 
▪ desequilíbrios; 
▪ sobrecargas; 
▪ curtos-circuitos; 
▪ surtos de energização (inrush). 
Os desequilíbrios e as sobrecargas são tratados neste capítulo. Os curtos-circuitos e os surtos 
de energização constituem tema de estudo de capítulos subsequentes. 
1. Desequilíbrios 
Os desequilíbrios de corrente podem ser causados por desbalanceamento de tensão e/ou 
carga. Nos sistemas de distribuição, a instalação de ramais monofásicos e bifásicos produz 
desequilíbrio nos alimentadores trifásicos, o que pode ocasionar os problemas a seguir. 
▪ Sobrecargas em equipamentos e condutores, inclusive no neutro, em face do aumento da 
corrente de neutro, In = 3I0. 
▪ Atuação indevida de dispositivos de proteção, principalmente os relés de sobrecorrente de 
terra (51N), como é indicado na Fig. 1.1. Assim, há necessidade de alterações dos ajustes 
desses dispositivos em face do aumento da corrente de neutro, In = 3I0. 
 
Fig. 1.1. Ligação de TCs em estrela alimentando relés de sobrecorrente. 
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▪ Aumento das perdas técnicas de energia. Isto fica evidente ao se considerar um alimentador 
trifásico de 10 km de extensão, com cabos de alumínio #4/0 CAA, os quais apresentam uma 
resistência ôhmica igual a 0,3679 Ω/km. Por exemplo, caso sejam conduzidas as correntes Ia 
= 100 A, Ib = 150 A e Ic = 50 A, as perdas por efeito Joule aproximadas são: 
    .13050150100679,3 222222 kW xIIIRP cba (1.1) 
Se as correntes fossem equilibradas, assumindo o valor de 100 A, as perdas seriam de 
aproximadamente 110 kW. O mesmo efeito é ainda mais evidente na redução das perdas de 
potência reativa, porque na maior parte dos condutores têm-se X > R. 
Os transformadores trifásicos apresentam um desequilíbrio intrínseco de corrente uma vez 
que a coluna central do núcleo tem comprimento inferior aos caminhos magnéticos laterais, 
como é mostrado na Fig. 1.2 (lb < la = lc). Essa assimetria faz com que as correntes de 
magnetização sejam diferentes. Entretanto, esse efeito é desprezível, pois a corrente de 
magnetização representa algo em torno de 2% da corrente nominal do transformador. 
 
Fig. 1.2. Núcleo de transformador trifásico com trajetória magnética central mais curta que as laterais. 
Os desequilíbrios de corrente nas fases dos motores de indução têm origem no desequilíbrio 
das tensões de alimentação, sendo a abertura de fases uma ocorrência comum. Os efeitos 
indesejáveis mais importantes são citados a seguir. 
▪ Aumento de perdas internas, implicando em redução do rendimento. 
▪ Produção de torque eletromagnético que age no sentido de frear o motor, implicando 
também em redução do rendimento. 
▪ Elevação de temperatura de operação, o que constitui principal fator de redução de vida útil 
do motor. Uma elevação de temperatura de 10oC na temperatura de isolação de um motor 
reduz a sua vida útil pela metade. 
▪ Redução do fator de potência. 
▪ Alteração no tempo de partida no motor. 
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Quando um gerador ou motor síncrono funciona com uma velocidade angular ω e fica 
submetido a um desequilíbrio de corrente nas fases, as componentes simétricas de sequência 
negativa produzem um campo magnético que gira com velocidade 2ω em sentido contrário ao 
do rotor. Assim, são induzidas correntes de 120 Hz nos enrolamentos do rotor e no ferro, 
ocasionando sobreaquecimento e vibração que podem acarretar em danos à máquina. Nesta 
condição, o tempo que o rotor pode suportar é dado por: 
KtI 22 (1.2) 
Nesta expressão, I2 é a componente se sequência negativa da corrente, t é o tempo máximo 
de duração do defeito e K é a constante que depende do tipo de máquina. 
Na proteção contra correntes desequilibradas em motores são usados relés de falta de fase. 
Em geradores, são usados relés de sobrecorrente com característica inversa, alimentados 
através de um filtro de sequência negativa, como é mostrado na Fig. 1.3. 
 
Fig. 1.3. Proteção contra correntes desequilibradas nos enrolamentos de armadura de um gerador. 
2. Sobrecargas 
2.1. Considerações Gerais 
As sobrecargas ocorrem quando o condutor ou equipamento é solicitado por correntes 
superiores à máxima corrente que ele é capaz de suportar em regime contínuo de 
funcionamento. As consequências são perdas por efeito Joule e acréscimos de temperatura nas 
partes ativas afetadas, o que podem causar redução da vida útil dos isolamentos ou danos 
imediatos, dependendo da intensidade e da duração da sobrecarga. 
As sobrecargas podem ocorrer sem riscos durante períodos limitados, dependendo das 
características térmicas dos materiais isolantes, da temperatura inicial e do tipo de refrigeração 
utilizado no equipamento. 
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2.2. Cabos de Energia 
Nos cabos de energia nus (CAA ou ACSR) usados em linhas aéreas, as sobrecargas de elevada 
intensidade atuam de modo a alterar a condutibilidade do material, contribuindo para agravar 
os problemas de perdas dinâmicas, além de produzirem aumento da flecha no vão de linha 
devido à dilatação térmica decorrente do aumento de temperatura. 
Nos cabos isolados, os efeitos mais deletérios ocorrem no isolamento. Em nível de 
transmissão, o tipo de cabo tradicionalmente utilizado é o que apresenta o isolamento de papel 
impregnado em óleo. Em média e baixa tensão são usados os cabos com isolamento sólido de 
material extrudado (aplicado ao condutor por processo de extrusão). Os isolantes sólidos se 
dividem em duas famílias: termoplásticos (amolecem com o aumento da temperatura – PVC, 
PET) e termofixos (materiais vulcanizados que não amolecem com o aumento da temperatura – 
XLPE, EPR). Recentemente, observa-se crescente emprego dos isolamentos sólidos em linhas de 
transmissão. A Tabela 1.1 apresenta os limites de temperatura para esses materiais. 
Tabela 1.1. Limites de temperatura para isolamentos sólidos. 
ISOLANTE REGIME 
CONTÍNUO 
SOBRECARGA CURTO-CIRCUITO 
PVC 70°C 100°C 160°C 
PET 70°C 90°C 130°C 
XLPE e TR XLPE 90°C 130°C 250°C 
EPR e HEPR 90°C 130°C 250°C 
EPR 105 105°C 140°C 250°C 
2.3. Transformadores 
No caso dos transformadores, o tempo de vida depende essencialmente do sistema de 
isolamento, constituído por óleo e papel, face à relativa facilidade de se fazer a substituição do 
óleo, que pode ocorrer várias vezes ao longo da vida útil de um transformador (o mesmo não 
se passa com o isolamento sólido). A operação em temperaturas mais baixas proporciona 
durabilidade e reduz os custos com manutenção. Mesmo transformadores que operam sem 
ultrapassar suas características nominais, apresentam maior vida útil quando são menos 
exigidos, estando a expectativa de vida útil diretamente condicionada aos fatores térmicos, 
como pode ser visto no gráfico da Fig. 1.4. 
Os transformadores de potência em geral, com capacidade superior a 2,5 MVA, são dotados 
de radiadores e ventiladoresacoplados ao seu tanque com a finalidade de refrigeração forçada 
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do equipamento. Os ventiladores, normalmente ligados em estágios operam à medida que o 
transformador adquire uma temperatura pré-determinada nos seus enrolamentos. Os 
ventiladores são fixados ao lado externos dos radiadores, de forma a retirar a maior quantidade 
de calor contida no óleo circulante. A refrigeração é feita através da circulação do óleo no 
interior tanque do transformador, e da transferência de calor para o ar, ocorrida nos 
radiadores. Quando a circulação do óleo se estabelece naturalmente, por convecção, é dita 
natural. Quando bombas são utilizadas para induzir o movimento do óleo, dizemos que a 
circulação é forçada. A mesma nomenclatura se aplica ao ar externo, que pode movimentar-se 
de forma natural, ou ser forçado por ventiladores. Essas condições são indicadas por siglas, tais 
como ONAN (óleo natural, ar natural) ou ONAF (óleo natural, ar forçado). 
Os transformadores de grande porte possuem três estágios de ventilação, descritos a seguir. 
▪ Ventilação natural. 
▪ Ventilação forçada – Primeiro estágio, quando ocorre uma sobrecarga de 25%. 
▪ Ventilação forçada – Segundo estágio, quando ocorre uma sobrecarga de 66,7%. 
 
Fig. 1.4. Expectativa de vida útil de um transformador em função 
da temperatura no ponto mais quente do enrolamento. 
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Os sistemas de circulação de óleo e ventilação forçada são acionados por comando de um 
termômetro do óleo, termômetro do enrolamento com imagem térmica ou controladores 
microprocessados de temperatura. 
2.4. Proteção contra Sobrecargas 
Os fusíveis e disjuntores termomagnéticos são usados na proteção contra sobrecargas em 
sistemas de baixa tensão. Nas redes de média e alta tensão, são empregados disjuntores 
comandados por relés de sobrecorrente. 
 
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Capítulo II 
Curtos-Circuitos 
Os curtos-circuitos constituem os distúrbios mais importantes que ocorrem nas redes 
elétricas, em nível de geração, transmissão, distribuição e consumo. O estudo detalhado acerca 
do tema é matéria do curso de Análise de Sistemas Elétricos. Este capítulo se limita a fazer uma 
revisão sucinta do assunto, como é apresentado a seguir. 
1. Considerações Gerais 
Os curtos-circuitos têm como causa fundamental o contato através de baixa impedância de 
duas ou mais fases entre si ou de uma ou mais fases para a terra. Os principais tipos de curtos-
circuitos são os seguintes: fase-terra, fase-fase; fase-fase-terra e trifásico. 
As causas dos curtos-circuitos são as seguintes: 
▪ Problemas mecânicos como a ação do vento, da neve, galhos de árvores, entre outros. 
▪ Problemas elétricos, como descargas atmosféricas, surtos de chaveamento em manobras e 
sobretensões no sistema. 
▪ Problemas na isolação, como mau dimensionamento e má qualidade do material isolante 
empregado nos equipamentos, nas estruturas ou nos isoladores, bem como envelhecimento 
do mesmo. 
▪ Contaminação dos isoladores por umidade e poluentes, como partículas metálicas e de sal. 
▪ Outros fatores, como vandalismo, queimadas, inundações, desmoronamentos e acidentes. 
Quanto à duração, os curtos-circuitos podem ser classificados em temporários e 
permanentes. Os curtos permanentes são irreversíveis, necessitando de conserto na rede para 
restabelecer o sistema. Os curtos-circuitos temporários são aqueles que após a atuação do 
sistema de proteção, a normalidade usualmente pode ser restabelecida sem problemas através 
do emprego de religamento automático. 
As correntes de curto-circuito apresentam formas de onda típicas semelhantes à mostrada 
na Fig. 2.1. Nela, observa-se uma componente alternada de 60 Hz superposta a uma 
componente contínua com decaimento exponencial. 
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Fig. 2.1. Forma de onda típica de uma corrente de curto-circuito. 
A assimetria dessa onda aumenta com a relação X/R do sistema (reatância/resistência série). 
As consequências dos curtos-circuitos são citadas a seguir. 
▪ Elevadas correntes e perdas ôhmicas nos condutores, com intensas solicitações térmicas e 
consequente risco de dano nas linhas e equipamentos, tanto por efeito Joule como por 
formação de arcos elétricos de alto poder destrutivo. 
▪ Elevados esforços eletromecânicos nos equipamentos e linhas (lei de Laplace do eletromag-
netismo), com intensidade máxima durante o primeiro pico de corrente assimétrica. 
▪ Possibilidade de perda de estabilidade do sistema, se o defeito não for rapidamente 
eliminado, em face de oscilações eletromecânicas nas máquinas síncronas. 
▪ Pronunciado atraso da corrente em relação à tensão fase-neutro correspondente, pois a 
corrente passa a ser limitada apenas pelas impedâncias dos elementos do sistema, as quais 
apresentam componentes fortemente indutivas. Em situação condições normais de 
funcionamento, com as cargas inseridas no sistema, o ângulo de defasagem entre as 
referidas grandezas é pequeno (as cargas têm fator de potência mínimo de 0,92). Assim, há 
uma predominância de potência circulando na linha. Em caso de curto-circuito, predomina o 
fluxo de potência reativa. Isso se torna mais acentuado em sistemas de geração e em linhas 
de transmissão de extra alta tensão, onde as relações X/R são mais elevadas. 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Tempo ( s )
-40.00
-20.00
0.00
20.00
40.00
60.00
C
o
rr
e
n
te
 (
 k
A
 )
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Uma observação importante é que nem todas as correntes de falta apresentam todas essas 
características. No sistema elétrico brasileiro, há subestações que apresentam correntes de 
curto-circuito superiores a 30 vezes a corrente de serviço. Porém, em alguns sistemas de 
distribuição, pode haver defeitos com correntes de valores pequenos, até abaixo da corrente 
de carga (faltas de alta impedância). As causas principais desses defeitos são: contatos entre 
fases e galhos de árvores ou outros objetos; isoladores com problemas; condutores de fases 
partidos, criando-se um caminho para a terra através de superfície de alta resistividade, como 
pavimentação de constituída de rochas e outros materiais graníticos. O valor baixo da corrente 
pode não sensibilizar a proteção, não havendo desligamento da linha. Tal ocorrência 
proporciona elevadíssimo risco para pessoas e animais. 
Uma estatística relacionada à distribuição de curtos-circuitos por equipamento é mostrada a 
seguir: 
▪ Linhas aéreas: 50% 
▪ Cabos subterrâneos: 9% 
▪ Transformadores e reatores: 10% 
▪ Geradores: 7% 
▪ Disjuntores: 12% 
▪ Equipamentos de controle, TPs e TCs: 12% 
Nas linhas aéreas, têm-se os seguintes percentuais: 
▪ Faltas monofásicas: 85% 
▪ Faltas bifásicas: 8% 
▪ Faltas bifásicas para a terra: 5% 
▪ Faltas trifásicas: 2% 
2. Curtos-Circuitos Trifásicos 
2.1 Considerações Gerais 
Neste tópico são estudados os curtos-circuitos trifásicos nos quais são assumidas condições 
de equilíbrio entre fases (curtos-circuitos simétricos). Isso permite a utilização de circuitos 
monofásicos equivalentes, como o mostrado na Fig. 2.2. Este circuito representa um trecho de 
linha trifásica com uma fonte de tensão alternada no terminal receptor e uma carga no 
extremo receptor, no qual se supõe o fechamento da chave no instante t = 0, quando o valor 
instantâneo da corrente é i(0) = I0. 
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Fig. 2.2. Circuito monofásico equivalente de alimentador com defeito trifásico simétrico junto à carga. 
Se v(t) = Vm sen(t + ), tem-se: 
)ω()(
)(
 tsenVtiR
dt
tid
L m(2.1) 
Esta equação diferencial tem a seguinte solução: 
tLRmm esen
LR
V
Itsen
LR
V
ti )/(
222
0
222
)θ()θ()( 









 
(2.2) 
 RLtan /ωα 1 (2.3) 
Vê-se que a corrente resultante apresenta duas componentes: uma componente transitória, 
com decaimento exponencial, e uma componente senoidal de estado estacionário, como é 
mostrado na Fig. 2.3. 
 
Fig. 2.3. Forma de onda típica de corrente de curto-circuito em uma rede elétrica. 
No caso de um curto-circuito nos terminais de um gerador trifásico, o fenômeno físico é 
mais complexo, mas há semelhança no que diz respeito à presença da componente contínua. 
Na Fig. 2.4 é mostrado um oscilograma da corrente de curto-circuito trifásico nos terminais do 
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enrolamento de armadura, no qual foi eliminada a componente contínua. É possível observar 
três regimes: o subtransitório, o transitório e o estacionário. 
 
Fig. 2.4. Forma de onda de corrente de curto-circuito trifásico em um gerador – Componente CC retirada. 
O circuito monofásico equivalente de um gerador é mostrado na Fig. 2.5, no qual a 
resistência dos enrolamentos é desprezada e o valor de pico da tensão interna é Em. Para os 
valores de corrente da Fig. 2.5, podem ser obtidos três valores de reatância de eixo direto: 
"/ mm
"
d IEX  (2.4) 
'/ mm
'
d IEX  (2.5) 
mmd IEX / (2.6) 
Esses valores de reatância dependem do estado de saturação magnética da máquina, sendo 
fornecidos pelos fabricantes. 
 
Fig. 2.5. Circuito monofásico equivalente de um gerador trifásico. 
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O valores utilizado para Xg podem ser Xd”, Xd’ ou Xd, dependendo de quanto tempo após a 
ocorrência do defeito se quer calcular a corrente. 
Para cálculo de curtos-circuitos destinados à avaliação de esforços eletromecânicos bem 
como estudos de proteção e ajuste de relés, a reatância subtransitória deve ser considerada 
nos geradores e motores. Em estudos de estabilidade de máquinas síncronas, são usados os 
valores de reatância transitória (NAGRATH & KOTHARI, 1980). 
2.2. Potência de Curto-Circuito 
O teorema de Thévenin estabelece que um sistema elétrico de potência pode ser reduzido a 
uma associação equivalente composta por uma fonte de tensão em série com uma impedância. 
Assim, se o sistema for visto de um par de terminais a-b, a tensão da fonte é igual à tensão de 
circuito aberto UTH medida entre a e b; a impedância é a impedância equivalente ZTH medida 
entre a e b com as fontes de tensão em curto-circuito. A impedância equivalente será dada pela 
relação entre UTH e a corrente que circula entre os pontos quando existe um curto-circuito 
entre eles, ou seja: 
CC
TH
TH
I
U
Z  (2.7) 
A fim de promover a redução de um grande sistema elétrico a um equivalente de Thévenin, 
as companhias de eletricidade fornecem os valores das correntes de curto-circuito que podem 
ocorrer nos pontos de interligação dos sistemas. Mais usualmente, são fornecidas tabelas com 
as potências de curto-circuito trifásico, dadas por: 
CCNCC IUS 3 (2.8) 
A tensão UN é a tensão nominal da rede elétrica (fase-fase). Também pode ser escrito: 
CC
N
TH
S
U
Z
2
 (2.9) 
Para os valores base das grandezas, tem-se: 
B
B
B
S
U
Z
2
 (2.10) 
Supondo que a tensão base é igual à tensão nominal e dividindo membro a membro (2.9) 
por (2.10), tem-se em valores por unidade: 
CC
B
PU TH.
S
S
Z  (2.11) 
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CC
B
PU TH.
I
I
Z  (2.12) 
2.3. Especificações de Disjuntores 
Na especificação de disjuntores são considerados dois valores nominais de corrente: a 
corrente instantânea do disjuntor e a corrente de interrupção nominal. 
A corrente instantânea nominal é a corrente que o disjuntor deve ser capaz de suportar 
imediatamente após a ocorrência da falta. Essa corrente é calculada considerando as reatâncias 
subtransitórias dos geradores, motores síncronos e de indução. A fim de levar a componente 
contínua da onda de corrente, deve-se multiplicar a corrente simétrica obtida pelo fator 1,6 
(NAGRATH & KOTHARI, 1980). 
A corrente de interrupção nominal, IIN, é a corrente que o disjuntor deve ser capaz de 
interromper no instante em que seus contatos se abrem. Na determinação da mesma, as 
reatâncias subtransitórias devem ser consideradas nos geradores. Nos motores síncronos e nos 
motores de indução são usadas as reatâncias transitórias. A componente contínua da onda de 
corrente é considerada multiplicando-se a corrente simétrica por um fator que varia de acordo 
com a velocidade de abertura do disjuntor, conforme o indicado na Tabela 2.1 (STEVENSON, 
1974). 
Tabela 2.1. Fatores de multiplicação para dimensionamento de disjuntores 
VELOCIDADE DO 
DISJUNTOR 
(CICLOS) 
 
8 
 
5 
 
3 
 
2 
FATOR DE 
MULTIPLICAÇÃO 
 
1,0 
 
1,1 
 
1,2 
 
1,4 
Se a potência de curto-circuito no local do disjuntor, SCC, for maior ou igual a 500 MVA, os 
fatores de multiplicação acima devem ser acrescidos de 0,1 cada. 
O fator de multiplicação de disjuntores a ar usados em baixa tensão é 1,25. 
Entretanto, é mais usual e realístico expressar a capacidade de interrupção nominal dos 
disjuntores em termos de potência. Isto porque o processo de extinção do arco nas câmaras de 
interrupção é função não apenas da corrente, mas também da tensão pré-falta. Assim, tem-se a 
seguinte expressão: 
INNIN IUS 3 (2.13) 
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Obviamente, a capacidade nominal de interrupção nominal de um disjuntor deve ser 
superior à potência de curto-circuito no ponto de instalação do mesmo. 
2.4. Cálculo de Correntes de Falta 
Para ilustrar o processo de cálculo de correntes de falta, será considerado o sistema da Fig. 
2.6, o qual consiste em um gerador que alimenta um motor através de uma linha, nos quais 
Xg”= j 0,2 , XM”= j 0,2  e XL= j 0,1 , respectivamente. É suposto que ocorre um curto 
circuito trifásico no ponto P, quando a tensão terminal é de 0,98 0o pu e a corrente de carga é 
0,8840o pu. 
 
Fig. 2.6. Gerador alimentando um motor através de uma linha. 
As tensões internas dos geradores são: 
ooo 14835,04088,0)1,02,0(098,0)(  xjXXj LL
"
GG IUET
" pu 
ooo 04,7101,14088,02,0098,0  xjXj L
"
MM IUE T
" pu 
As contribuições individuais de corrente para a falta são: 
o
o
76783,2
)1,02,0(
14835,0
)(






jXXj L
"
G
G
G
"
" EI pu 
o
o
04,97505,5
2,0
04,7101,1



jXj "M
M
M
"
" EI pu 
A corrente na falta é: 
16,8jMG 
""
F III pu 
O problema será agora resolvido pelo teorema de Thévenin, tomando-se o circuito 
equivalente visto do ponto P. A tensão e a impedância consideradas são: 
o098,0 THU pu 
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16 
 
12,0
2,03,0
2,03,0
j
jj
jxj


THZ pu 
A corrente na falta é: 
17,8
12,0
098,0 o
j
j



TH
TH
F
Z
U
I pu 
A discrepância entre os resultados obtidos deve-se a erros de arredondamento. Para calcular 
as correntes nas máquinas, procede-se da seguinte maneira: 
Gerador: 27,3
3,02,0
2,0
17,8, j
jj
j
xjTHG 

I pu 
Motor: 90,4
3,02,0
3,0
17,8, j
jj
j
xjTHM 

I pu 
Apesar da soma dessas duas parcelas totalizar a corrente de falta, esses não são os valores 
das contribuições das máquinas. Essas contribuições são calculadas somando-se esses dois 
últimos valores com a corrente de carga, IL. Assim, tem-se: 
oo 6,75694,261,267,04088,027,3  jjLTHG,G III
" pu 
oo 9,96600,556,567,04088,090,4  jjLTHM,M III
" pu 
Vale observar que, no caso do motor, a corrente de carga é somada com sinal negativo. 
O motivo de se somar a corrente de carga é explicado pela análise da Fig. 2.7. Em (a) tem-se 
o circuito que representa a situação em que a falta é aplicada. Pelo teorema da superposição, o 
mesmo é decomposto nos circuitos (b) e (c). O circuito (b) corresponde à situação pré-falta. O 
circuito (c) corresponde àquele utilizado para o cálculo das correntes IG,TH .e IM,TH. 
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17 
 
 
Fig. 2.7. Aplicação do teorema da superposição. 
3. Teoria das Componentes Simétricas 
Em 1918 o Dr. C. L. Fortescue estabeleceu que um conjunto de n fasores desequilibrados 
pode ser substituído pela composição de fasores descrita a seguir. 
▪ Componentes de sequência positiva: são três fasores iguais em módulo, defasados de 120o 
com a mesma sequência de fase dos originais. 
▪ Componentes de sequência negativa: são três fasores iguais em módulo, defasados de 120o 
com a sequência de fase oposta aos originais. 
▪ Componentes de sequência zero: três fasores iguais (de mesmo módulo e fase). 
A Fig. 2.8 ilustra a proposição do teorema de Fortescue. 
 
Fig. 2.8. Proposição do teorema de Fortescue. 
Diante do exposto, têm-se as seguintes relações: 
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18 
 
021 aaaa IIII  (2.14) 
021 bbbb IIII  (2.15) 
021 cccc IIII  (2.16) 
Considerando o operador a = 1 120o, pode-se escrever: 
021 aaaa IIII  (2.17) 
021 aaab IIaIaI 
2 (2.18) 
021 aaac IIaIaI
2  (2.19) 
Em termos matriciais, pode-se escrever: 































2
1
0
2
2
1
1
111
a
a
a
c
b
a
I
I
I
aa
aa
I
I
I
 (2.20) 
Reciprocamente, tem-se: 































c
b
a
a
a
a
I
I
I
aa
aa
I
I
I
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
 (2.21) 
De forma compacta, pode-se escrever (2.20) e (2.21) como: 
    012ITI abc (2.22) 
     abcITI
1
012

 (2.23) 
 











2
2
1
1
111
aa
aaT (2.24) 
 












aa
aaT
2
21
1
1
111
3
1
 (2.25) 
Nos circuitos trifásicos, a soma das correntes de linha é igual à corrente no caminho de 
retorno pelo neutro, In; assim: 
ncba IIII  (2.26) 
De (2.21), tem-se: 
 cbaa IIII 
3
1
0 (2.27) 
Assim, resulta: 
Chagas – DEE/UFCG 
19 
 
03 an II  (2.28) 
Num sistema trifásico em que não há retorno pelo neutro, In é nula e as correntes de linha 
não possuem componentes de sequência zero. Uma carga ligada em delta não tem retorno 
pelo neutro; assim, as correntes que alimentam essa carga também não possuem componentes 
de sequência zero. 
4. Impedâncias de Sequência e Circuitos de Sequência 
4.1. Considerações Gerais 
Em qualquer parte de um circuito elétrico, a queda de tensão causada por uma corrente de 
certa sequência depende da impedância daquela parte do circuito para a corrente de tal 
sequência. A impedância de um circuito, quando circula apenas a corrente de sequência 
positiva, é denominada impedância de sequência positiva. Essa correspondência também é 
válida para as sequências negativa e zero, resultando na impedância de sequência negativa e na 
impedância de sequência zero. 
No cálculo de faltas desequilibradas, serão considerados circuitos compostos por 
impedâncias de sequência dos diversos elementos do circuito, os quais são denominados 
circuitos de sequência. Os valores das impedâncias de sequência dependem da natureza dos 
elementos individuais. A forma de ligação dos circuitos de sequência depende do tipo de curto-
circuito (trifásico, fase-terra, etc). 
A seguir, são descritas as formas de obtenção das impedâncias de sequência dos elementos 
de circuito individuais. 
4.2. Máquinas Síncronas 
É mostrado na Fig. 2.9 um gerador síncrono em vazio, aterrado mediante uma impedância 
Zn. Quando ocorre uma falta (não indicada na figura) nos terminais do gerador, circulam nas 
linhas as correntes Ia, Ib e Ic. Se o defeito envolve a terra, circula uma corrente In no neutro. 
Chagas – DEE/UFCG 
20 
 
 
Fig. 2.9. Gerador síncrono em vazio, aterrado mediante uma impedância Zn. 
São mostrados na Fig. 2.10 os caminhos para a corrente de cada sequênciae os circuitos de 
sequência do gerador. Como ele funciona fornecendo tensões equilibradas, as forças 
eletromotrizes Ea, Eb e Ec só estão presentes no circuito de sequência positiva. Os circuitos de 
sequência negativa e zero não contêm forças eletromotrizes, mas incluem as componentes de 
sequência negativa e zero, respectivamente. 
É suposto que a resistência dos enrolamentos da máquina é desprezível. Para a impedância 
de sequência positiva, dependendo do regime considerado (subtransitório, transitório, 
permanente), tem-se, respectivamente: 
"
1 djXZ (2.29) 
'
1 djXZ (2.30) 
djX1Z (2.31) 
Os parâmetros Xd”, Xd’, e Xd são, respectivamente, as reatâncias de eixo direto nos regimes 
subtransitório, transitório e permanente. 
Chagas – DEE/UFCG 
21 
 
 
Fig. 2.10. Caminhos para a corrente de cada sequência e os circuitos de sequência do gerador. 
Considerando a reatância subtransitória do eixo em quadratura, Xq”, a impedância de 
sequência negativa é usualmente definida como: 
2
""
2
qd XX
j

Z (2.32) 
A impedância total de sequência zero é dada por: 
ng ZZZ 300  (2.33) 
Chagas – DEE/UFCG 
22 
 
Considerando ainda os circuitos de sequência da Fig. 2.10, têm-se: 
111 ZIEU aaa - (2.34) 
222 ZIU aa - (2.35) 
000 ZIU aa - (2.36) 
4.3. Transformadores 
Nas redes elétricas pode-se ter três transformadores monofásicos ligados de modo a 
constituir um banco trifásico ou uma unidade trifásica do tipo núcleo envolvente ou núcleo 
envolvido. O segundo tipo é mais comum nas redes elétricas por apresentar menor custo, peso 
e volume, além de maior rendimento. As impedâncias em série de sequência positiva e 
negativa zero são iguais entre si, diferindo levemente das impedâncias de sequência zero. 
Porém, é comum se considerar todas as impedâncias de sequência iguais. 
As impedâncias de sequência zero de transformadores com diferentes tipos de ligação 
acham-se mostradas na Fig. 2.11. 
Ligação Y-Y, um neutro aterrado 
Neste caso não circula corrente de sequência zero em nenhum dos enrolamentos. Assim, 
obtém-se o circuito aberto no circuito de sequência. 
Ligação Y-Y, ambos os neutros aterrados: Existe um caminho de corrente de sequência zero 
em ambos os enrolamentos. Ambos os lados são ligados pela impedância de sequência zero. 
Ligação Y-, Y aterrado: As correntes de sequência zero têm um caminho para a terra pelo Y, 
pois correntes induzidas correspondentes podem circular no . A corrente de sequência zero 
circula dentro do  mas não pode circular nas linhas ligadas ao . Logo, o circuito oferece um 
caminho a partir do lado em Y até a barra de referência, através da impedância em série do 
transformador. No lado em  existe um circuito aberto entre a linha e a barra de referência. 
Chagas – DEE/UFCG 
23 
 
 
Fig. 2.11. Circuitos de sequência de transformadores. 
Ligação Y-, Y não aterrado: Neste caso, como não há ligação para a terra, as correntes de 
sequência zero não poderão circular nos enrolamentos do transformador. Assim, obtém-se o 
circuito aberto no circuito de sequência. 
Chagas – DEE/UFCG 
24 
 
Ligação -: Como a ligação em  não oferece caminho de retorno para a corrente de 
sequência zero, só poderá haver circulação dessa corrente no interior do . 
Uma observação importante é que, nos casos em que há neutro aterrado através de 
impedância Zn, deve-se somar 3Zn à impedância Z0. 
4.4. Linhas de Transmissão 
As três fases de uma linha de transmissão transposta apresentam o mesmo valor para as 
impedâncias em série. As impedâncias de sequência positiva e negativa da linha apresentam 
esse mesmo valor de impedância. 
No caso da impedância de sequência zero, deve-se observar que as correntes em cada fase 
são iguais em módulo e fase. Parte dessas correntes retorna pela terra, enquanto que a outra 
parte retorna pelos cabos para-raios. Assim, a impedância de sequência zero para linhas aéreas 
varia entre 2 e 3,5 vezes a impedância de sequência positiva. Se a linha é de circuito duplo ou 
se não possui cabo para-raios, essa impedância tende para o limite superior de 3,5. 
5. Cálculo de Curto-Circuito por Componentes Simétricas 
5.1. Circuitos Equivalentes de Sequência 
O cálculo dos curtos-circuitos é feito através dos circuitos equivalentes de Thévenin vistos do 
ponto de defeito, para as sequências positiva, negativa e zero, como é mostrado na Fig. 2.12. 
 
Fig. 2.12. Circuitos equivalentes de Thévenin para as sequências positiva, negativa e zero. 
E - Tensão de Thévenin de sequência positiva. 
Z1 - Impedância de Thévenin de sequência positiva. 
Z 2 - Impedância de Thévenin de sequência negativa. 
Z 0 - Impedância de Thévenin de sequência zero. 
Para estes circuitos, tem-se a seguinte equação matricial: 
Chagas – DEE/UFCG 
25 
 










































2
1
0
2
1
0
2
1
0
00
00
00
0
0
a
a
a
a
a
a
I
I
I
Z
Z
Z
E
U
U
U
 (2.37) 
Para o cálculo da corrente, esses circuitos são utilizados de diferentes formas, dependendo 
do tipo de defeito. Isto é descrito a seguir. 
5.2. Defeito Trifásico 
A Fig. 2.13 ilustra um curto-circuito trifásico simétrico em uma linha de transmissão, sendo 
as resistências no ponto de defeito consideradas nulas. 
As condições de curto-circuito são: 
0 cba UUU (2.38) 
 
Fig. 2.13. Curto-circuito trifásico simétrico em uma linha de transmissão. 
De maneira análoga a (2.21), tem-se: 































c
b
a
a
a
a
U
U
U
aa
aa
U
U
U
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
 (2.39) 
Assim, Ua0 = Ua1 = Ua2, ou seja, os circuitos de Thévenin de sequência estão em curto-
circuito, como é indicado na Fig. 2.14. Portanto, faz-se necessário representar apenas o modelo 
de sequência positiva, pois os outros dois modelos são passivos, ou seja, neles não estão 
incluídas forças eletromotrizes. 
 
Fig. 2.14. Circuitos de sequência equivalentes de Thévenin – Defeito trifásico. 
Chagas – DEE/UFCG 
26 
 
Assim, a corrente de curto-circuito trifásico é: 
1Z
E
I F3(2.40) 
Em termos de módulo: 
1Z
E
IIII cbaF 3 (2.41) 
5.3. Defeito Monofásico 
É suposto que a fase a da rede é posta em contato com a terra através de uma impedância 
desprezível, como é indicado na Fig. 2.15. Neste caso, tem-se: 
0aU (2.42) 
0 cb II (2.43) 
 
Fig. 2.15. Curto-circuito fase a – terra. 
De (2.21), tem-se: 































0
0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
0 a
a
a
a I
aa
aa
I
I
I
 (2.44) 
0021
3
1
IIIII  aaaa (2.45) 
Substituindo Ia2 e Ia0 por I0, tem-se de (2.37): 










































0
0
0
2
1
0
2
1
0
00
00
00
0
0
I
I
I
Z
Z
Z
E
U
U
U
a
a
a
 (2.46) 
























02
01
00
2
1
0
IZ
IZE
IZ
U
U
U
a
a
a
 (2.47) 
Multiplicando ambos os membros de (2.47) pelo vetor [ 1 1 1], obtém-se: 
Chagas – DEE/UFCG 
27 
 
020100210 IZIZEIZUUU  aaa (2.48) 
De (2.42), tem-se ainda: 
0021  aaaa UUUU (2.49) 
Substituindo (2.49) em (2.48), tem-se: 
021
0
ZZZ
E
 I

 (2.50) 
De (2.45) e (2.50), resulta: 
021
0
3
3
ZZZ
E
I I

a (2.51) 
As expressões (2.45) e (2.50) indicam que, no caso do defeito fase-terra, os circuitos de 
sequência devem ser ligados em série, como é mostrado na Fig. 2.16. 
 
Fig. 2.16. Circuitos de sequência equivalentes de Thévenin – Defeito fase-terra. 
Considera-se que o defeito ocorre distante de geradores, onde preponderam os 
componentes estáticos, nos quais Z1 = Z2; assim, pode-se escrever: 
10
1
01021
1
/2
3
2
33
ZZ
Z/E
ZZ
E
ZZZ
E
II





 aF (2.52) 
Considerando (2.40), tem-se: 
FF 3
10
1
/2
3
I
ZZ
I

 (2.53) 
Assim, são feitas as seguintes considerações: 
▪ Se Z0 = Z1, então I1F = I3F, ou seja, as correntes de defeito monofásico e trifásico são iguais. 
▪ Se Z0 < Z1, tem-se I1F > I3F. Isto ocorre para um defeito próximo ao lado em estrela de 
transformadores com ligação delta-estrela com neutro solidamente aterrado. 
▪ Se Z0 > Z1, então I1F < I3F. Isto ocorre para defeitos em pontos da linha mais distantes do 
transformador acima citado. A explicação é a seguinte: a impedância de sequência zero da 
Chagas – DEE/UFCG 
28 
 
linha é maior que a de sequência positiva (em linhas de 69 kV, Z0  3 Z1). Assim, à medida 
que aumenta a distância entre o defeito e o transformador, a impedância de sequência zero 
aumenta mais que a impedância de sequência positiva. Isto faz com que, em certo ponto da 
linha, a corrente de defeito fase-terra se iguale à corrente de defeito trifásico, passando a 
ser maior além desse ponto. 
5.4. Defeito Bifásico 
É suposto que as fases b e c da rede entrem em contato através de uma impedância 
desprezível, como é indicado na Fig. 2.17. Neste caso, tem-se: 
cb UU  (2.54) 
0aI (2.55) 
cb II  (2.56) 
 
Fig. 2.17. Curto-circuito fase b - fase c. 
De (2.21), tem-se: 































b
b
a
a
a
I
I
aa
aa
I
I
I 0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
0
 (2.57) 
0a0I (2.58) 
21 aa II  (2.59) 
Para as tensões: 































b
b
a
a
a
U
U
U
aa
aa
U
U
U a
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
 (2.60) 
21 aa UU  (2.61) 
Chagas – DEE/UFCG 
29 
 
A corrente de sequência zero é nula porque o curto-circuito não envolve a terra. Pelas 
expressões (2.59) e (2.61) conclui-se que o circuito de sequência positiva e o circuito de 
sequência negativa estão em paralelo, como é mostrado na Fig. 2.18. 
 
Fig. 2.18. Circuitos de sequência equivalentes de Thévenin – Defeito fase b - fase c. 
Assim, tem-se para o curto-circuito bifásico: 
  1212 aaabF IaaIaIaII  22 (2.62) 
F
jj
a
j
F eee 3
2/
1
2/
1
2/
2
2
3
2
33 I
Z
E
II    (2.63) 
Para o módulo da corrente: 
FFF III 332 866,0
2
3
 (2.64) 
Assim, a corrente de defeito bifásico é menor que a corrente de defeito trifásico (I2F < I3F). 
5.5. Defeito Bifásico Envolvendo a Terra 
A Fig. 2.19 ilustra um defeito entre as fases b e c, o qual envolve a terra. Para o mesmo, 
pode-se escrever: 
 
Fig. 2.19. Curto-circuito fase b - fase c envolvendo a terra. 
Neste caso, tem-se: 
Chagas – DEE/UFCG 
30 
 
0 cb UU(2.65) 
0aI (2.66) 































0
0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
0 aU
aa
aa
U
U
U
a
a
a
 (2.67) 
U
U
UUU 
3
210
a
aaa (2.68) 
Substituindo Ua1, Ua2 e Ua0 por Ea - Ia1 Z1 em (2.24) e multiplicando ambos os membros por 
Z-1, sendo 
 























2
1
0
2
1
0
1
/100
0/10
00/1
00
00
00
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z (2.69) 
obtém-se: 























































2
1
0
2
1
0
11
11
11
2
1
0
0
0
/100
0/10
00/1
/100
0/10
00/1
a
a
a
a
aa
aa
aa
I
I
I
E
Z
Z
Z
ZIE
ZIE
ZIE
Z
Z
Z
 (2.70) 
Multiplicando ambos os membros de (2.70) pelo vetor [1 1 1] e observando que Ia1 + Ia2 + 
Ia0 = Ia =0, pode-se escrever: 
10
1
1
2
1
10
1
1
0 Z
E
Z
Z
I-
Z
E
I
Z
E
Z
Z
I
Z
E a
a
a
a
a
a
a  (2.71) 
Finalmente, resulta; 
02
02
1
1
ZZ
ZZ
Z
E
I


 aa (2.72) 
As expressões (2.68) e (2.72) indicam que os circuitos de sequência são interligados de 
acordo com o mostrado na Fig. 2.20. 
 
Fig. 2.20. Circuitos de sequência equivalentes de Thévenin – Defeito fase b - fase c - terra. 
Chagas – DEE/UFCG 
31 
 
Tem-se ainda: 
01
01
1
02
02
1
1
ZZ
ZZ
Z
E
ZZ
ZZ
Z
E
I





a (2.73) 
Fazendo 
01
0
ZZ
Z
K

 (2.74) 
tem-se: 
K
I
K
Z/E
I




11
31
1
F
a (2.75) 
Da Fig. 2.14, pode-se escrever: 
01
01
1
02
02
1
ZZ
ZZ
I
ZZ
ZZ
IU



 aa (2.76) 
1
3
11
1
Z
K
I
KKZIU

 Fa (2.77) 
K
I
K
Z
U
Z
U
I


1
3
12
2
F
a (2.78) 
0
13
0
0
1 Z
Z
K
I
K
Z
U
I

 Fa (2.79) 
Tem-se ainda: 
021 aaab IIaIaI 
2 (2.80) 
Substituindo (2.75), (2.78) e (2.79) em (2.80): 


















01
123
0
123
2
11 ZZ
Z
Kaa
K
I
Z
Z
KKaa
K
I
II FFbFT (2.81) 
Assim, tem-se: 
▪ Se Z0 = Z1, então K = 1 / 2 , e então: 
    FFFT 32232 5,05,03/2 IaaaII  (2.82) 
Para o módulo da corrente, tem-se: 
FFT II 32  (2.83) 
▪ Se Z0 tende para 0, então K também tende para 0, e então: 
  FjFbFT e 36/5232 31 IaIII  (2.84) 
Chagas – DEE/UFCG 
32 
 
Assim, resulta: 
FFT II 32 3 (2.85) 
Conclusão: Em sistemas solidamente aterrados, o defeito fase-fase-terra pode ser o mais 
severo de todos. 
6. Proteção contra Curtos-Circuitos 
Os fusíveis e disjuntores termomagnéticos são usados na proteção contra curtos-circuitos 
em sistemas de baixa tensão. Nas redes de média tensão são empregados disjuntores 
comandados por relés de sobrecorrente, religadores e seccionadores. Nas redes de alta e extra 
alta tensão utilizam-se disjuntores comandados por relés de diferentes tipos (sobrecorrente, 
distância, diferencial, etc). Esta matéria será posteriormente abordada com detalhes. 
 
Chagas – DEE/UFCG 
33 
 
Capítulo III 
Surtos de Energização 
Ao serem energizados, alguns componentes de redes elétricas ocasionam surtos de corrente 
cujos valores de pico iniciais podem alcançar valores elevados, de modo a comprometer o bom 
funcionamento, a vida útil e a integridade do sistema. Esse fenômeno tem como principais 
causas os eventos abaixo relacionados: 
▪ energização de transformadores e de reatores; 
▪ energização de bancos de capacitores; 
▪ partida de motores; 
▪ energização de carga fria. 
Cada uma dessas ocorrências é descrita a seguir. 
1. Energização de Transformadores e de Reatores 
1.1. Considerações Gerais 
Em regime permanente, as correntes de excitação nos transformadores de potência variam 
de 0,5% a 2% da corrente nominal. Porém, durante a energização, ocorrem surtos de corrente 
com as seguintes características: 
▪ Valor de pico inicial que pode alcançar mais de 20 vezes o valor de pico da corrente nominal, 
nas condições mais desfavoráveis, (é comumente estimado um fator de 6 a 10). 
▪ Duração de vários ciclos. 
▪ Amplo espectro de harmônicos, predominando a de segunda ordem. 
Este fenômeno é conhecido como inrush. Seus principais efeitos são: 
▪ Atuação indevida de fusíveis e relés de proteção de atuação rápida. 
▪ Afundamentos temporários de tensão (queda da qualidade de energia). 
▪ Solicitações de natureza eletromecânica e térmica no transformador e demais componentes 
do sistema, o que incorre em redução de vida útil. 
▪ Sobretensões causadas por fenômenos de ressonância harmônica em sistemas que contêm 
filtros elétricos passivos, como no caso de linhas de corrente contínua e alta tensão (CCAT). 
Chagas – DEE/UFCG 
34 
 
A intensidade e a duração do inrush dependem dos seguintes fatores: 
▪ Valor instantâneo da tensão aplicada no instante da energização. Ao ser energizado com o 
secundário em aberto, o transformador representa para a rede um componente de elevada 
predominância indutiva. Assim, o fluxo magnético está atrasado de 90° da tensão. Isso 
significa que, quando a tensão está passando por zero, o fluxo imposto pela fonte está 
assumindo valor máximo. Em síntese: chavear o transformador com a tensão próxima de 
zero é a condiçãomais adversa em termos de valor da corrente inrush. A condição mais 
favorável é quando a tensão acha-se próxima do valor de pico. 
▪ Magnitude e sinal do fluxo residual (ou remanescente) no núcleo magnético. Devido à 
propriedade de remanência, o transformador permanece com um fluxo residual no núcleo. 
Durante a reenergização, se a taxa de crescimento do fluxo imposto pela fonte tiver mesmo 
sinal do fluxo residual, e se este último for elevado, o fluxo resultante, , pode atingir valores 
muito altos, levando o núcleo a um intenso estado de saturação. Assim, têm-se durante o 
inrush um valor máximo de dado por  = 2 m + R, em que m é o fluxo de enlace de pico em 
condições normais e R é o fluxo de enlace residual. 
▪ Tamanho do transformador. Quanto menor o transformador, maior o valor de pico do surto, 
em múltiplos do valor de pico da corrente nominal. Quanto maior o transformador, maior a 
duração da corrente inrush. 
▪ Impedância do sistema atrás do transformador. Quanto maior for a potência de curto-
circuito (ou menor a impedância de Thévenin) do sistema ligado ao primário do 
transformador maior poderá ser a corrente inrush. A duração poderá aumentar se a 
potência de curto-circuito for baixa. 
▪ Propriedades magnéticas do material do núcleo. Quanto pior a qualidade da chapa Fe-Si 
utilizada para a confecção do núcleo, maior é a tendência para se projetar um transformador 
com indução de pico um pouco acima do ponto de joelho da curva de saturação  - i (fluxo 
de enlace – corrente de magnetização). Isto é feito com o intuito de reduzir o tamanho do 
transformador. Assim, transformadores com chapa de pior qualidade podem apresentar 
correntes de inrush mais elevadas. 
▪ Forma como o transformador é energizado: o valor da corrente inrush é inversamente 
proporcional à área compreendida entre o núcleo e o enrolamento que está sendo 
energizado, de forma que valores maiores são obtidos quando o enrolamento interno (de 
menor diâmetro) é energizado primeiro. Por questões de isolação, os enrolamentos de 
Chagas – DEE/UFCG 
35 
 
menor tensão são normalmente projetados para serem internos e os de maior tensão para 
serem externos. Com esta filosofia, se os transformadores são abaixadores, a ordem de 
grandeza das correntes de inrush situa-se entre 5 a 10 vezes a corrente nominal. Se os 
transformadores são elevadores, a ordem de grandeza das correntes de magnetização varia 
entre 10 e 25 vezes a corrente nominal (MARDEGAN, 2010). 
▪ Impedância da carga ligada ao secundário. O inrush mais intenso ocorre quando o 
transformar apresenta o secundário em vazio, pois nesse caso não há o efeito 
desmagnetizante exercido pela corrente no enrolamento secundário, como determina a lei 
de Lenz. 
▪ Valor da resistência de pré-inserção do disjuntor. Quanto maior ela for, menores serão os 
valores de pico da corrente e menor será a duração do inrush. 
▪ Velocidade de fechamento dos contatos do disjuntor. 
1.2. Análise Simplificada das Correntes de Inrush 
O circuito da Fig. 3.1 representa um transformador monofásico com o secundário em aberto. 
 
Fig. 3.1. Transformador monofásico e curva de saturação linearizada por partes. 
O indutor não linear possui característica de magnetização i = f (), expressa em termos de 
valores de pico de fluxo de enlace e corrente de magnetização. São desprezadas as perdas no 
núcleo magnético. Após o fechamento da chave, tem-se a seguinte equação: 
tsenUiR
dt
d
mm 

 (3.1) 
A relação i = f () é não linear. Logo, a equação (3.1) só pode ser resolvida numericamente. 
Porém, se for assumido que o núcleo não satura, pode-se supor que a função f se comporta 
como uma função linear até o ponto de joelho da curva  - i. Isto permite fazer i = f() =  / Lm, 
onde Lm é a indutância de magnetização do transformador, que corresponde à inclinação da 
reta que passa pela origem e pelo ponto de joelho da curva  - i. Assim, pode-se escrever: 
Chagas – DEE/UFCG 
36 
 
tsenU
L
R
dt
d
m
m


 (3.2) 
Assume-se a simplificação de que  (0) = 0; assim, a solução é: 











  tcostsen
L
R
e
LR
UL
t
m
LR
m
mm m )/(
22
2
)(
 (3.3) 
Considerando R <<  Lm e fazendo m = Um / , resulta: 
 tcoset mLRm   )/( (3.4) 
Esta equação é composta por um termo com decaimento exponencial, relacionado ao 
comportamento transitório de  logo após a aplicação da tensão, e por um termo senoidal 
relacionado ao regime permanente. 
No circuito da Fig. 3.2 é mostrada a variação de  durante o inrush. Observa-se que nos 
instantes iniciais é estabelecido um sobrefluxo no núcleo magnético. 
 
Fig. 3.2. Onda de fluxo de enlace no transformador monofásico durante energização. 
Outro fator que determina o grau de assimetria de  é o valor da tensão da fonte no 
momento da energização do transformador. Na análise anterior, considerou-se u (t) = Um sen 
t, de modo que u(0) = 0. Porém, o caso mais comum ocorre quando u(0) ≠ 0. Para avaliar a 
influência de um valor não nulo de u(t), considera-se agora u (t) = Um sen (t + ). Assim, em 
u(0) = Um sen , onde  (ângulo de chaveamento) determina o valor inicial da tensão. 
A fim de avaliar a influência do valor instantâneo da tensão u no instante de chaveamento e 
do valor do fluxo residual o, os amortecimentos serão ignorados. Fazendo R = 0, obtém-se: 
)( 

tsenU
dt
d
m (3.5) 
Considerando  (0) = o e m = Um / , a solução é: 
 )(  tcoscosmo (3.6) 
Chagas – DEE/UFCG 
37 
 
A onda de fluxo imposta ao núcleo apresenta valor máximo quando t = k ( k = 1, 3,.5,...) e 
 = 0. Neste caso, a tensão da fonte é nula para t = 0. Assim, o máximo valor de  é: 
momax  2 (3.7) 
Por outro lado, não ocorre assimetria na forma de onda de  para o = 0 e  = /2. A tensão 
assume o valor de pico Um em t = 0. Esta é a condição mais favorável, pois são evitados 
sobrefluxos no transformador, sendo o núcleo levado à saturação. 
Durante os primeiros instantes da energização de um transformador, os elevados valores de 
fluxo de enlace fazem o núcleo saturar. Para pequenas variações de , podem ocorrer grandes 
variações de i. Isto pode ser entendido por análise da Fig. 3.3. Normalmente, a característica  - 
i do transformador é representada pela curva de saturação (curva biunívoca que passa pela 
origem), o que não permite considerar fluxo residual ou remanescente. A fim de avaliar a 
influência do fluxo residual o, considera-se o núcleo com histerese. 
 
Fig. 3.3. Ondas de fluxo de enlace e de corrente de magnetização durante energização do transformador. 
Como é mostrado na Fig. 3.3, a trajetória descrita no plano  - i apresenta laços menores 
assimétricos. O valor max não é atingido, pois  acha-se limitado pelo nível de saturação, S. 
Se a taxa de crescimento do fluxo imposto pela fonte apresentar mesmo sinal do fluxo 
residual no núcleo, a saturação pode ser atingida com maior intensidade,resultando em maior 
Chagas – DEE/UFCG 
38 
 
assimetria de λ e em valores mais altos de pico de corrente. Se os sinais são opostos, a corrente 
de inrush será atenuada. Assim, a representação da histerese é importante no caso de sistemas 
com religamento automático. No instante do religamento, pode haver elevado valor de fluxo 
residual que seja somado ao fluxo imposto pela fonte, implicando em maior corrente de inrush. 
1.3. Cálculo das Correntes de Inrush em Transformadores Monofásicos 
No circuito mostrado na Fig. 3.4 considera-se apenas a saturação no núcleo magnético do 
transformador. A histerese e as perdas magnéticas são desprezadas. 
 
Fig. 3.4. Circuito elétrico considerado no cálculo da corrente de inrush em transformador monofásico. 
A curva de saturação pode ser aproximada por função ou linearizada por partes, segundo as 
formas indicadas na Fig. 3.5 e na Fig. 3.6. 
 
 Fig. 3.5. Curva de saturação sem remanência. Fig. 3.6. Curva de saturação com remanência. 
Na curva da Fig. 3.5, o fluxo residual não é considrado, o que é o caso das simulações de 
regime permanente. Em regime transitório, pode-se representar o fluxo residual de acordo com 
a curva da Fig. 3.6, onde, o é o fluxo de enlace residual e r é o fluxo de enlace correspondente 
ao ponto de remanência. Assim, é escrita a seguinte equação para o circuito da Fig. 3.4: 
)()( tutiR
dt
tdi
L
dt
td




 (3.8) 
Chagas – DEE/UFCG 
39 
 
Fazendo i = f (), Lm = d/di (indutância diferencial de magnetização do transformador), e 
aplicando-se a regra da cadeia, tem-se: 
mLL
fRtu
dt
td
/1
)()()(




 (3.9) 
Essa equação diferencial não linear pode ser resolvida pelos métodos de Euler ou Runge-
Kutta, com um passo de tempo de 1 µs. 
As perdas histeréticas e parasíticas no núcleo podem ser consideradas da seguinte maneira: 
dt
td
R
tt
p
)(1
)( )('

 (3.10) 
A constante Rp é a resistência de perdas dinâmicas no núcleo, determinada por ensaios. 
Exemplo 1 - Um transformador pelo circuito da Fig. 3.4 possui os seguintes dados: 400 kVA, 
(230/3) /(1153) V, R = 5  e L = 2,65 mH. Os pontos da curva de saturação (referida ao lado 
de 70 V) são fornecidos na Tabela 3.1. A resistência de perdas é Rp = 1997,3 . 
Tabela 3.1. Curva de saturação do transformador da Fig. 3.4. 
i ( A ) 0 0,537 1,012 1,930 5,345 9,600 20,00 
 ( V.s ) 0,460 0,570 0,626 0,682 0,831 0,975 1,270 
 
Fig. 3.7. Corrente de inrush num transformador monofásico. 
Na Fig. 3.7 é mostrado o oscilograma da corrente, com (0) = 0,47 V.s, Um = 188 V e θ = 0o. 
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Tempo ( s )
-4.00
0.00
4.00
8.00
12.00
16.00
C
o
rr
e
n
te
 (
 A
 )
Chagas – DEE/UFCG 
40 
 
Na Fig. 3.8 é mostrado o afundamento de tensão (voltage sag) ocorrido no primeiro ciclo do 
inrush, quando a corrente alcança o valor máximo de pico. 
 
Fig. 3.8. Afundamento de tensão nos terminais do transformador (voltage sag) durante o inrush. 
1.4. Simpathetic Inrush 
Na Fig. 3.9 é mostrada uma situação em que pode haver interação de surtos de corrente 
quando um transformador (T2) é ligado em paralelo com outro já energizado (T1). Este 
fenômeno é denominado simpathetic inrush. Na Fig. 3.10 são mostradas as formas de onda das 
correntes indicadas. 
 
Fig. 3.9. Situação em que ocorre o simpathetic inrush. 
Supõe-se que T2 é energizado com uma corrente de inrush i2 elevada. A componente 
contínua decrescente de i2 causa uma pronunciada queda de tensão sobre a resistência 
equivalente do sistema primário (a reatância não contribui de maneira significativa, pois a 
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
Tempo ( s )
-200.00
-100.00
0.00
100.00
200.00
T
e
n
s
ã
o
 (
 V
 )
Chagas – DEE/UFCG 
41 
 
derivada da componente contínua em relação ao tempo é baixa). Isto faz com que a tensão no 
primário caia bruscamente e, em consequência, o grau de saturação e a corrente de inrush em 
T2 decresçam. Porém, esta variação abrupta de tensão produz uma variação de fluxo 
magnético em T1 e uma corrente de inrush em sentido oposto. Assim, a corrente total i 
apresenta a forma de onda indicada na Fig. 3.10. 
O simpathetic inrush é mais prolongado que o inrush convencional. 
 
Fig. 3.10. Situação em que ocorre o recovery inrush. 
1.5. Recovery Inrush 
No sistema da Fig. 3.11, se ocorrer um defeito em um dos alimentadores, com atuação do 
disjuntor C, a tensão do sistema sofre uma queda momentânea, retornando ao valor normal. 
Isto causa um surto de corrente conhecido como recovery inrush. 
 
Fig. 3.11. Situação em que ocorre o simpathetic inrush. 
O recovery inrush é menos severo que o inrush convencional, pois a variação de tensão nos 
terminais do primário é menor que a causada pela energização a partir do valor zero. 
Chagas – DEE/UFCG 
42 
 
1.6. Considerações Adicionais 
As correntes de inrush podem fazer com que relés de proteção rápidos atuem indevida-
mente durante a energização do transformador. Para evitar isto, os relés diferenciais utilizam 
um critério capaz de distinguir as correntes de inrush das correntes de curto-circuito. O critério 
tradicionalmente utilizado se baseia na avaliação do conteúdo de harmônicos mediante filtros 
analógicos ou digitais. Uma corrente de inrush convencional apresenta um espectro onde 
predomina a harmônica de segunda ordem, como é mostrado na Tabela 3.2. 
Tabela 3.2. Composição de harmônicos de uma corrente de inrush típica. 
HARMÔNICA % EM RELAÇÃO À 
FUNDAMENTAL 
2ª 63,0 
3ª 26,8 
4ª 5,1 
5ª 4,1 
6ª 3,7 
7ª 2,4 
Quando o transformador é energizado em condições normais, essas harmônicas são 
filtradas, exercendo uma ação de bloqueio que evita a operação do relé. Por outro lado, as 
correntes de curto-circuito típicas são compostas por uma componente fundamental acrescida 
de uma componente contínua com decremento exponencial, sendo o conteúdo de harmônicos 
insignificante em comparação com os observados nas correntes de inrush. Assim, não se 
verifica a ação de bloqueio que impede a atuação do relé. 
As formas de atenuação das correntes de inrush são baseadas nas seguintes técnicas: 
▪ Utilização de resistores de pré-inserção nos disjuntores. 
▪ Chaveamento controlado ou síncrono (point-on-wave switching), em que o transformador é 
energizado quando a onda de tensão atinge seu valor de pico. 
2. Energização de Bancos de Capacitores 
2.1. Energização de Banco Isolado 
Quando um banco de capacitores é energizado, ocorre um surto de corrente de alta 
frequência, também denominado inrush. Na análise a seguir, considera-se que: 
▪ as perdas no circuito são desprezadas; 
▪ antes da energização, o banco está carregado com uma tensão U0; 
Chagas – DEE/UFCG 
43 
 
▪ o banco é energizado no instante em que a tensão da fonte é máxima; 
▪ como a frequência do surto é da ordem de kHz (>> 60 Hz), pode-se supor que, no intervalo 
de tempo considerado, u  Um. 
No circuito da Fig. 3.12 é suposto que u = Um cos t. Para o mesmo, pode-se escrever: 
mC Utu
dt
tdi
L  )(
)(
 (3.11) 

t
C dtti
C
Utu
0
0 )(
1
)((3.12) 
Substituindo (3.12) em (3.11), obtém-se: 
m
t
Udtti
C
U
dt
tdi
L  00 )(
1)(
 (3.13) 
 
Fig. 3.12. Circuito considerado no cálculo de inrush em banco de capacitores. 
Considerando 0)0( i e aplicando transformada de Laplace, obtém-se: 
s
UU
sI
sC
sL m 0)(
1 






 (3.14) 
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0 )(
)/(1
)/()(
1
)(
)(











sL
UU
LCs
LCCUU
LCs
CUU
sI mmm (3.15) 
2
0
2
0
)/(1
)(
)(


 
sLCL
UU
sI m (3.16) 
tsen
Z
UU
ti m 0
0
0)( 

 (3.17) 
LC
1
0  (3.18) 
C
L
Z 0 (3.19) 
0 - Frequência natural de oscilação do circuito. 
Z0 - Impedância característica do circuito. 
O valor de pico da corrente de inrush é dado por: 
Chagas – DEE/UFCG 
44 
 
 
L
C
UUi mmax 0 (3.20) 
A pior condição surge quando o desligamento ocorre em um pico da onda de tensão e o 
religamento no pico oposto; assim, o valor de pico máximo da corrente de inrush é dado por: 
L
C
Ui mmax 2 (3.21) 
O valor de pico máximo da corrente de pode chegar a 15 vezes a corrente nominal do banco. 
As resistências do circuito introduzem amortecimentos, o que reduz a duração do inrush. O 
tempo necessário para o regime permanente ser atingido pode corresponder a uma fração de 
ciclo ou até vários ciclos. 
2.2. Energização Back-to-Back 
A Fig. 3.13 ilustra a situação em que um capacitor é chaveado, estando outro já energizado 
na mesma barra (chaveamento back-to-back). Neste caso, as correntes de inrush podem ser 
ainda maiores, pois são limitadas pela indutância equivalente entre os bancos, L2, que é muito 
menor que a indutância equivalente da rede, L1. 
 
Fig. 3.13. Circuito considerado no cálculo de inrush back-to-back de um banco de capacitores. 
Como L1 >> L2, a circulação de corrente é muito maior entre os dois bancos de capacitores, 
sendo a contribuição do sistema desprezível. Assim, o circuito equivalente é simplificado para a 
forma indicada na Fig. 3.14. 
 
Fig. 3.14. Circuito simplificado para cálculo de inrush back-to-back de um banco de capacitores. 
Como condições iniciais, considera-se uC1(0) = Um e uC2(0) = U0. assim, pode-se escrever: 
Chagas – DEE/UFCG 
45 
 
0)()(
)(
21  tutu
dt
tdi
L CC (3.22) 

t
mC dtti
C
Utu
0
1
1 )(
1
)( (3.23) 

t
C dtti
C
Utu
0
2
02 )(
1
)( (3.24) 
Combinando estas equações, aplicando transformada de Laplace e efetuando um 
desenvolvimento semelhante ao do item anterior, obtém-se: 
tsen
Z
UU
ti m 0
0
0)( 

 (3.25) 
CL2
0
1
 (3.26) 
C
L
Ζ 20  (3.27) 
21
21
CC
CC
C

 (3.28) 
O maior valor atingido pela corrente é dado por: 
 
2
0
L
C
UUi mmax  (3.29) 
Como a indutância L2 é muito baixa, a corrente inrush poderá exceder o valor da corrente de 
curto-circuito no local dos capacitores, alcançando 20 a 250 vezes a corrente nominal do banco. 
Normalmente a corrente inrush máxima suportada por um banco de capacitores em regime 
transitório é de 100 vezes sua corrente nominal. 
Ao se energizar apenas um capacitor a frequência de oscilação da tensão é da ordem de 300 
a 1000 Hz. Tratando-se da corrente, esta oscilação varia entre 200 e 600 Hz. Quando é 
chaveado um banco em configuração back-to-back, a frequência transitória da tensão pode ser 
de 2 a 10 kHz, enquanto para corrente esta pode ficar entre 5 e 20 kHz (CHAVES, 2007). 
Exemplo 1: Chaveamento de um banco trifásico de capacitores de 40 MVAr, 138 kV, 60 Hz, 
ligado em estrela, instalado em uma subestação com potência de curto-circuito de 4 GVA. 
Corrente de curto-circuito trifásico: 
A8,16734
10138 3
104
3 3
9

xx
x
U
S
I
N
CC
CC 
Reatância e indutância de Thévenin do sistema alimentador: 
 
I
U
X
CC
N 4,76
 8,16734
3138000/3/
 
Chagas – DEE/UFCG 
46 
 
mH6,12
 377
4,76
ω

X
L 
A capacitância do banco é: 
F 5,6
138000 377
1040
ω 2
6
2

x
x
U
Q
C
N
 
A frequência natural de oscilação do sistema é:
 
Hz599
106,50126,02
1
2
1
60





xxLC
f 
Supondo o banco inicialmente descarregado, o valor de pico da corrente de inrush é: 
A4,2375
0126,0
106,5
3
2138000 6

x
x
x
L
C
Ui mmax 
Na pior situação, na qual o desligamento tenha ocorrido em um pico da onda de tensão e o 
religamento no pico oposto, a corrente pode teoricamente alcançar o dobro desse valor, ou 
seja, 4750,8 A. Normalmente, isso não ocorre pelo fato de que os bancos de capacitores são 
providos de resistores destinados a promover a sua descarga após o desligamento. 
Em regime normal de operação, o valor de pico da corrente no banco de capacitores é: 
A7,236
10138 3
1040
 2
3
6

xx
x
xIm 
Assim, durante a energização, o valor de pico alcançado pela corrente de inrush é cerca de 
10 vezes o valor de pico da corrente nominal do banco. 
A seguir, são mostrados na Fig. 3.15 e na Fig. 3.16 resultados de simulações utilizando o ATP 
nas quais foi estimada uma relação X/R = 4 para o sistema alimentador, considerando o banco 
de capacitores inicialmente descarregado. Assim, tem-se  19,1 R para a resistência de 
Thévenin. 
O valor máximo atingido pela corrente é 2313,3 A. O desvio percentual em relação ao valor 
calculado analiticamente por (3.20), é: 
%6,2
2375,4
4,23753,2313
 100 % 

 x 
Vale lembrar que se o capacitor for energizado com uma tensão diferente de zero e com 
polaridade oposta à tensão aplicada, a corrente de pico seria maior. Assim, se uC(0) = -138000 x 
2/3, a corrente de pico seria o dobro do valor encontrado. O máximo valor