Exercícios Sequências

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS - CETEC
Ca´lculo Diferencial e Integral III - 2017.1
Aluno(a):
Professor: Jarbas Alves Fernandes
Lista de Exercı´cios 01 - Sequeˆncias Nume´ricas
Atualizada em 29/05/2017
(1) Em cada caso abaixo, encontre os quatro primeiros termos da sequeˆncia:
(a) (an)∞n=1, sendo an =
1
2n−1
(b) (bn)∞n=1, sendo bn =
√
n+ 1−√n
(c) ((−1)nn)n∈N
(d)
(
3(−1)n
n!
)
n∈N
(2) Expresse pelo termo geral cada sequeˆncia abaixo:
(a) 1, 12 ,
1
3 ,
1
4 , ...
(b) 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , ...
(c) 0, 2, 0, 2, 0, ...
(d) 1,− 23 , 49 ,− 827 , ...
(e) 1,−1, 1,−1, ...
(3) Classifique as sequeˆncias a seguir quanto a limitac¸a˜o e monotonia:
(a) 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , ...
(b) 1,−1, 1,−1, ...
(c)
(
n
n2+1
)
n∈N
(d)
(
n
∑
k=0
(
1
3
)k)
n∈N
(e) (2n)n∈N
(4) Use a definic¸a˜o de limite de uma sequeˆncia para mostrar os seguintes limites:
(a) lim
n→∞
n
n+ 1
= 1 (b) lim
n→∞
2n2
n2 − 4 = 2, n ≥ 3.
(5) (a) Prove que, se (an)n∈N e´ convergente, enta˜o limn→∞ an+1 = limn→∞ an
(b) Seja a sequeˆncia (an)n∈N, com an > 0 para todo natural n. Sabe-se que limn→∞ an = k, k real, e
que an+1 = 11+an para todo n. Calculo k.
(6) (a) Mostre que se lim
n→∞ an = 0 e {bn} e´ limitada, enta˜o limn→∞(an · bn) = 0.
(b) Seja a sequeˆncia (xn)n∈N, com xn =
sen(npi+3)
n +
5
2n , verifique se a sequeˆncia e´ convergente.
(7) Determine se a sequeˆncia converge ou diverge:
1
2
(a)
(
n2+2
2n3+n−1
)
n∈N
(b)
(
2n+1
3n+2
)
n∈N
(c) (an)∞n=1, sendo an =
1
2n−1
(d)
(√
n2 + 1−√n
)∞
n=1
(e)
(
1√
n2+1−√n
)∞
n=1
(f)
(
1
2n+3
)
n∈N
(g)
(
2−3n2
5n3+4n
)
n∈N
(h)
(
2n+3
n2+n sen(npi)
)
n∈N
(i)
(
(1 + 5n )
n)
n∈N
(j)
(
(1 + 15n )
n
)
n∈N
(k)
(
(1 + 1n )
2n
)
n∈N
(l)
(√
n+ 1−√n)n∈N
(m)
(
n5
en
)
n∈N
(n)
(
1
n sen(n)
)
n∈N
(o) (ln(en + 2)− n)n∈N
(p)
(
n!
nn
)
n∈N
(q)
(
2n
n2
)
n∈N
(r) (sn)n∈N, sendo sn =
n
∑
k=0
1
2k
(s) (sn)n∈N, sendo sn =
n
∑
k=1
1
k
3
Respostas
(1) (a) 1, 13 ,
1
5 ,
1
7 , ...
(b)
√
2− 1,√3−√2,√4−√3,√5−√4, ...
(c) −1, 2,−3, 4, ...
(d) −3, 32! ,− 33! , 34! , ...
(2) (a)
(
1
n
)
n∈N
(b)
(
1
2n
)
n∈N
(c)
(
1 + (−1)n+1)n∈N
(d)
(e)
(
(−1)n−1 ( 23)n−1)n∈N
(f) ((−1)n)n∈N
(3) (a) limitada e mono´tona decrescente.
(b) limitada e na˜o mono´tona
(c) limitada e mono´tona decrescente.
(d) limitada (convergente) e mono´tona cres-
cente.
(e) Limitada inferiormente, ilimitada superi-
ormente e mono´tona crescente.
(4) Use a definic¸a˜o de limite.
(5) (a) A sequeˆncia (an+1)n∈N e´ uma subsequeˆncia da sequeˆncia (an)n∈N , enta˜o limn→∞ an+1 =
lim
n→∞ an
(b) k =
√
5−1
2 .
(6) (a)
(b) lim
n→∞
sen(npi + 3)
n
+
5
2n
= 0, logo a sequeˆncia e´ convergente.
(7) (a) 0
(b) 0
(c) 0
(d) 1
(e) 0
(f) 0
(g) 0
(h) 0
(i) e5
(j) e
1
5
(k) e2
(l) 0
(m) 0
(n) 0
(o) 0, use n = ln en
(p) 0, determine
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
=
( n
n+1
)n e use
lim
n→∞
(
n
n+ 1
)n
=
1
e
< 1
(q) +∞
(r) 2
(s) +∞
Bom Estudo!