Exercícios Resolvidos de Sequências Númericas

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Cálculo II 
 
 
APLICAÇÃO DE TEOREMAS E PROPRIEDADES DE 
CONVERGÊNCIA COM RESOLUÇÃO DE 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. A Regra de L’Hôpital para Sequências Numéricas ................................................................. 2 
2. Limites que Comparecem Frequentemente ........................................................................... 7 
3. Outros Exemplos Resolvidos de Limites de Sequências ...................................................... 12 
 
Exercícios .................................................................................................................................... 15 
 
Gabarito ...................................................................................................................................... 15 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila sobre propriedades de convergência de sequências numéricas, 
trabalhamos essencialmente com a relação envolvendo as terminologias de 
sequências monótonas, crescentes ou decrescentes, ou ainda, não crescentes ou 
não decrescentes, com as sequências limitadas e sequências convergentes. 
Aqui, temos alguns resultados importantes para que possamos ter novos 
mecanismos para a descrição do cálculo de limites de sequências numéricas em 
situações específicas. 
 É importante salientarmos que tais denominações e resultados peculiares 
propiciam procedimentos base para a caracterização da convergência de sequências 
que envolvam essas nomenclaturas. 
Desta forma, nessa apostila será de nosso interesse trabalhar com a 
resolução de outros problemas, usando já as diversas técnicas que apresentadas 
anteriormente, bem como os resultados discutidos a posteriori. 
Além disso, estaremos interessados na apresentação de outra regra 
específica para a caracterização de limites de sequências numéricas, que é a regra de 
L’Hôpital. Tal aparato é importante para que possamos analisar a convergência de 
sequências numéricas em alguns casos bastante específicos. 
Objetivos 
• Estar plenamente familiarizado com a regra de L’Hôpital para a 
caracterização do limite de sequências numéricas. 
• Resolver mais alguns exemplos com base nas regras e resultados discutidos 
nas apostilas anteriores. 
1. A Regra de L’Hôpital para Sequências Numéricas 
Em um curso introdutório de cálculo diferencial e integral, quando é 
discutido a parte sobre as derivadas, são alicerçadas as conceituações, regras 
operatórias e algumas ferramentas particulares, como é o caso da Regra de 
L’Hôpital; essa regra que serve diretamente para contornarmos indeterminações no 
cálculo de limites de funções reais y = f(x). Como por exemplo, expressões do tipo 
0/0, 0.

 
/ 
 , etc. 
Não diferente para o caso das sequências numéricas e o estudo de 
convergência, em alguns casos podemos trabalhar com a utilização de uma espécie 
 
3 
 
de generalização da Regra de L’Hôpital, que é um facilitar para a caracterização de 
limites de sequências numéricas específicas. 
Neste sentido, apresentaremos o resultado fundamental para a Regra de 
L’Hôpital para o contexto das sequências numéricas (teorema), bem como 
ilustraremos a sua utilização em algumas situações. 
Em verdade, mais uma vez, estaremos mesclando o aparato envolvendo 
funções do tipo y = f(x) com as sequências numéricas. 
Vamos lá? 
Teorema 1 (Regra de L’Hôpital para Sequências Numéricas) (Adaptado de 
Thomas 2003) Suponhamos que f(x) seja uma função definida para 
0 x n
 e que 
 
( )nx
 seja uma sequência de números reais tais que xn = f(n) para todo n ≥ n0. 
Desta forma, temos que: 
( )lim
n
f x L
→
=
 então 
lim n
n
x L
→
=
 . 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicação de tal regra na 
caracterização de limites de sequências numéricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE! 
 
 
Exemplo 1: (Adaptado de Boulos 2003) Por intermédio da 
regra de L’Hôpital, vamos computar o limite da sequência (xn) 
cujo e-nésimo termo é ( )ln n
n
 
 
 
 . 
Solução: Inicialmente, devemos observar que a função 
definida por 
( )
ln
 
x
f x
x
=
 tem como conjunto domínio 
(condição de existência), o conjunto dos pontos reais x, tais 
que x ≥ 1. Além disso, notemos que a função em questão 
coincide com a sequência dada para os números inteiros 
positivos. Desta maneira, com base no teorema da regra de 
L’Hôpital, temos a equivalência entre os limites 
ln
lim 
x
x
x→
 e
ln(n)
lim 
x n→
 , obviamente se o último limite comentado 
existir. 
Então, utilizando da regra de L’Hôpital, vem que: 
0
1
ln 0
lim = lim = 0
1 1x x
x x
x→ →
=
 
Portanto, concluímos que 
( )
lim 0
n
lm n
n→
=
 
 
É interessante mencionarmos que quando utilizamos da 
regra de L’Hôpital para a descrição de limites de sequências 
numéricas, rotineiramente tratamos o parâmetro n como 
sendo uma variável real contínua e derivável em relação a 
n. 
 
 
5 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: (Adaptado de Anton 2000) A sequência 
( )nx
 
cujo e-nésimo termo é
2
5
n 
 
 
 é convergente ou divergente? 
Por quê? 
Solução: Vamos utilizar da regra de L’Hôpital para 
sequências numéricas, ou seja, vamos utilizar o teorema 
anterior. Assim sendo, podemos escrever que: 
lim
𝑥→∞
2𝑛
5𝑛
 = lim
𝑥→∞
2𝑛. 𝑙𝑛2
5
 = ∞
2 2 .ln 2
lim lim
5 5
n n
x xn→ →
= = 
 
Portanto, concluímos que a sequência 
( )
2
5
 
n
n
n
x
 
=  
 
 é 
divergente. 
 
 
6 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: (Adaptado de Guidorizzi 2003) A sequência (xn) cujo 
e-nésimo termo é 1
1
n
n
n
+ 
 
− 
 é convergente ou divergente? Caso, 
sua resposta seja sim, qual seria o valor de 1
lim
1
n
n
n
n→
+ 
 
− 
? 
Solução: Nesse caso específico, primeiramente observemos que 
a substitução de n por ∞ nos leva diretamente a uma forma 
indeterminada com a tipologia 1∞. Desta forma, mais uma vez 
através da regra de l’Hôpital se em um primeiro momento 
modificarmos a forma de indeterminação para ∞ . 0, 
alicerçando no logaritmo natural de xn. Logo, escrevemos: 
1 1
ln ln .ln
1 1
n
n
n n
x n
n n
+ +   
= =   
− −   
 
Daí, com base na propriedade do logaritmo, segue que: 
)
1
ln
1 1 1
limln( ) limln lim .ln lim
11 1
n
n
n n x
n
n n n
x n
n n
n
→ → → →
+ 
 + + −     = = =   
− −   
 
Ou seja, 
22
) 2
2
2
2.n1lim ln( ) lim ln lim 2
1 1
n
n
n n n
nx
n
n
→ → →
− 
 −= = = − − 

 
Assim sendo, como
( )limln 2n
n
x
→
=
 e se tomarmos 
( ) xf x e=
 que 
é uma função continua, vem pelo teorema da função continua 
que 
( ) ln nxnx e=
nverge para 
²e
 e, portanto, concluímos que
21lim
1
n
n
n
e
n→
+ 
= 
− 
 
 
7 
 
2. Limites que Comparecem Frequentemente 
É interessante notarmos que temos alguns limites de sequências numéricas 
que aparecem com maior frequência na caracterização de outros limites. 
No Quadro 1 a seguir enumeramos exatamente tais limites e depois 
apresentamos algumas ilustrações envolvendo os mesmos. 
Vamos averiguar quais são esses limites? Vamos lá? 
 
Limite Valor 
ln( )
lim
n
n
n→
 
0 
lim
n
n
→
 1 
1
lim( )n
n
x
→
 
1 (x > 0) 
lim n
n
x
→
 0 ( | x | < 1) 
lim 1
n
n
x
n→
 
+ 
 
 
x
e
 (para todo x) 
lim
!
n
n
x
n→
 
0 (para todo x) 
Elaborado pelo autor (2019). 
Utilizemos os mesmos agora para o cálcuo de outros limites de sequências 
numéricas como segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: (Adaptado de Leithold 2006) A sequência 
( )nx
 
cujo e-nésimo termo é 3ln( )n
n
 
 
 
é convergente ou divergente? 
Por quê? 
Solução: Para solucionarmos tal exemplo, vamos tomar 
como referência o limite descrito anteriormente por
ln( )
lim 0
n
n
n→
=
 . Desta maneira, escrevemos: 
3ln( ) 3ln( ) ln( )
lim lim 3lim 3.0 0
n n n
n n n
n n n→ → →
= = = =
 
Portanto, a sequência 
( )
3ln( )
n
n
x
n
=
 é convergente e, 
converge para L = 0. 
Exemplo 4: (Adaptado de Boulos 2006) A sequência 
( )nx
 cujo 
e-nésimo termo é 
2( )n n
 é convergente ou divergente? Por 
quê? 
Solução: Para solucionarmos tal exemplo, vamos tomar 
como referência o limite descrito anteriormente por 
lim 1n
n
n
→
=
. Desta maneira, escrevemos: 
2
2 1
2 2lim( ) lim lim 1 1n n n
x x x
n n n
→ → →
 
= = = = 
 
 
Portanto, a sequência 
( ) 2( )nnx n=
 é convergente e, converge 
para L = 1. 
 
9 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: (Adaptado de Guidorizzi 2003) Caracterizar 
caso exista o limite da sequência 
( )nx
 cujo e-nésimo 
termo é 
( 3 )n n
. 
Solução: Neste caso, para caracterizarmos a existência 
ou não de tal limite, vamos tomar como referência o 
limite descrito anteriormente por 
( )
1
lim 1n
n
x
→
=
, para x > 0. Assim sendo, podemos escrever 
que: 
1 1
lim 3 lim3 . 1.1 1n n n
n x
n n
→ →
= = =
 
Portanto, a sequência 
( ) ( 3 )nnx n=
 é convergente e, 
converge para L = 1. 
 
10 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: (Adaptado de Boulos 2006) Caracterizar caso 
exista o limite da sequência (xn) cujo e-nésimo termo é 
1
3
n − 
     
 . 
Solução: Neste caso, para caracterizarmos a existência ou 
não de tal limite, vamos tomar como referência o limite 
descrito anteriormente por 
lim 0n
n
x
→
=
 , para | x | < 1. Desta 
maneira, podemos escrever que: 
1
lim 0
3n→
− 
= 
 
 , 
considerando 1
3
n
x
− 
=  
 
 e observando que
1 1
1
3 3
−
=
 , em 
lim 0n
m
x
→
=
 , para 
1x 
 . 
Portanto, a sequência 
( )
1
3
n
nx
 − 
=      
 é convergente e, 
converge para L = 0. 
 
11 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: (Adaptado de Leithold 2006) A sequência (xn) cujo e-nésimo 
termo é 4 nn
n
 − 
     
 é convergente ou divergente? Por quê? 
Solução: Neste caso, para caracterizarmos a convergência ou não de 
tal sequência, vamos tomar como referência o limite descrito 
anteriormente por 
lim 1
n
x
n
x
e
n→
 
+ = 
 
 , para todo x. Assim sendo, podemos escrever que: 
44 4lim lim 1
n n
n n
n
e
n n
−
→ →
− −   
= + =   
   
 
considerando x = −4 e
lim 1
n
x
n
x
e
n→
 
+ = 
 
 . 
Portanto, a sequência (xn) = ((
𝑛−4
𝑛
)
𝑛
) é convergente e, converge para L = 
𝑒− 4. 
 
12 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Outros Exemplos Resolvidos de Limites de Sequências 
Vejamos mais alguns exemplos envolvendo a caracterização de limites de 
sequências numéricas como segue, com base nos resultados e propriedades 
difundidas anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: (Adaptado de Anton 2000) A sequência 
( )nx
 cujo e-
nésimo termo é 100
!
n
n
 
 
 
 é convergente ou divergente? Por quê? 
Solução: Neste caso, para caracterizarmos a convergência ou não 
de tal sequência, vamos tomar como referência o limite descrito 
anteriormente por 
lim 0
!
n
n
x
n→
=
 , para todo x. Logo, podemos 
escrever que: 
lim 0
!
n
n
x
n→
=
 
considerando x = 100 em 
lim 0
!
n
n
x
n→
=
 . 
Portanto, a sequência 
( )
100
!
n
nx
n
 
=  
 
 é convergente e, converge 
para L = 0. 
 
13 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: (Adaptado de Boulos 2006) A sequência 
( )
1
5nz
n
 
= + 
 
 é convergente ou divergente? 
Solução: Neste caso, podemos considerar a sequência 
( ) ( ) ( )n n nz x y= +
, onde 
( ) 25nx =
 e 
( )
1
ny
n
=
. Desta forma, 
pela regra da soma, podemos escrever que: 
( ) ( )
1
lim lim lim(5) lim 5 0 5n n n
n n n n
z x y
n→ → → →
 
= + = + = + = 
 
 
. 
Desta forma, concluímos que a sequência 
( )
1
5nz
n
 
= + 
 
 é 
convergente para o limite L = 5. 
Exemplo 10: (Adaptado de Anton 2000) A sequência 
( )
1
9nz
n
 
= − 
 
 é convergente ou divergente? 
Solução: Neste caso, podemos considerar a sequência,
( ) ( ) ( )n n nz x y= −
 onde 
( ) 9nx =
 e 
( )
1
ny
n
=
. Desta forma, pela 
regra da diferença, podemos escrever que: 
( ) ( )
1
lim lim lim(9) lim 9 9 0n n n
n n n n
z x y
n→ → → →
 
= − = − = − = 
 
 
. 
Desta forma, concluímos que a sequência 
( )
1
9nz
n
 
= − 
 
 é 
convergente e, converge para o limite L = 9. 
 
14 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: (Adaptado de Guidorizzi 2003) A sequência 
( ) 3
1
nz
n
 
=  
 
 é convergente ou divergente? 
Solução: Neste caso, podemos considerar a sequência
( ) 2
1 1
.nz
n n
   
=    
   
 , onde 
( )
1
nx
n
=
 e 
( ) 2
1
ny
n
=
 . Desta forma, 
pela regra do produto, podemos escrever que: 
( ) ( ) 2
1 1
lim lim . lim .lim 0.0 0n n n
n n n n
z x y
n n→ → → →
   
= = = =   
   
 
. 
Desta forma, concluímos que a sequência 
( ) 3
1
nz
n
 
=  
 
 é 
convergente e, converge para o limite L = 0. 
Exemplo 12: (Adaptado de Leithold2006) A sequência 
( ) 2
8
nz
n
 
=  
 
 é convergente ou divergente? 
Solução: Neste caso, podemos considerar a sequência 
( ) ( )2
8
8.n nz x
n
 
= = = 
 
 onde k = 8 e 
( ) 2
1
nx
n
=
 . Desta 
forma, pela regra da multiplicação por escalar, 
podemos escrever que: 
( ) ( ) 2 2
1 1
lim lim .z lim8. 38.lim. 8.0 0n n
n n n n
z k
n n→ → → →
   
= = = − =   
   
. 
Desta forma, concluímos que a sequência 
( )
2
8
nz
n
 
=  
 
 é 
convergente e, converge para o limite L = 0. 
 
15 
 
Exercícios 
1 – (Autor, 2019) Caracterizar caso exista o limite da sequência (xn) cujo e-
nésimo termo é dado por 
3
4
n
n
 
 
 
. 
2 – (Autor, 2019) A sequência 
( )nx
 cujo e-nésimo termo é 
50
!
n
n
 
 
 
 (é 
convergente ou divergente? Por quê? 
 
3 – (Autor, 2019) Caracterizar caso exista o limite da sequência 
( ) 3
3
nz
n
 
=  
 
. 
Gabarito 
1 – Para solucionarmos tal problema, vamos utilizar diretamente a regra de 
L’Hôpital para sequências numéricas. Assim sendo, podemos escrever que 
3 3 .ln3
lim lim
4 4
n n
x xn→ →
= =
 e, portanto, concluímos que a sequência 
( )
3
 
4
n
nx
n
 
=  
 
 é 
divergente, ou seja, não possui limite. 
 
2 – Para solucionarmos tal problema, a fim de descrevermos a convergência 
ou não de tal sequência, vamos tomar como referência o limite descrito 
anteriormente por 
lim 0
!
n
n
x
n→
=
 , para todo x. Logo, escrevemos 
50
lim 0
n!
n
n→
=
 , considerando x = 50 em 
lim 0
!
n
n
x
n→
=
 = 0.Portanto, a sequência 
( )
100
!
n
nx
n
 
− 
 
 é convergente e, converge para L 
= 0. 
 
3 – Neste caso, consideremos a sequência 
( ) ( )3
8
8.n nz x
n
 
= = = 
 
 , onde k = 8 e 
( ) 3
1
nx
n
=
 . Desta forma, pela regra da multiplicação por escalar, podemos escrever 
 
16 
 
que: 
( ) ( ) 3 3
1 1
lim lim . lim 3.lim 3.0 0n n
n n n n
z k x
n n→ → → →
   
= = = = =   
   
 . Desta forma, concluímos 
que a sequência 
( ) 3
2
nz
n
 
=  
 
 é convergente e, converge para o limite L = 0. 
Resumo 
Nesta apostila trabalhamos com a resolução de alguns exemplos adicionais, 
quando falamos com relação a dterminadas regras específicas ou propriedades 
operatórias envolvendo o cálculo do limite de sequências numéricas. 
Desta forma, apresentamos a regra de L’Hôpital que tambem é uma 
importante regra para a descrição do limite de sequências numéricas com base em 
algumas situações peculiares. 
Em um primeiro momento, podemos pensar na generalização da regra de 
L´Hôpital para a determinação do limite de funções reais, sendo que a ideia básica é 
o de fugirmos de algum tipo de indeterminação, como por exemplo, 
 
0 / 0. , /  
 e, assim por diante. 
Por outro lado, apresentamos mais alguns problemas que podem ser 
resolvidos com base em alguns tipos de limites de sequências que aparecem 
frequentemente em outros cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5ª Ed. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. Volume 2. São Paulo: Harbra, 2006. 
THOMAS, G. B. Cálculo. Volume 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003. 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. 6ª Ed. Volume 2. São Paulo: Bookman, 2000. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 2. SP: Makron Books, 2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19