Escoamento Livre Parte 2

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CAMPUS – SÃO JOSÉ DOS CAMPOS – DUTRA
ENGENHARIA CIVIL 
HIDRÁULICA E HIDROLOGIA APLICADA
ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES 
Parte 2
2.8 - Escoamento Permanente e Uniforme
2.8.1 Energia especifica
Em qualquer secção transversal de um canal a carga media é a soma das três cargas
Figura 2.12 – Linhas de energia em canais abertos
define a linha piezométrica, quando coincide com a superfície livre denomina-se gradiente hidráulico:
i = m/m
A perda de carga entre duas secções (1) e (2) é dada por H ou hf.
Energia especifica é a quantidade de energia por unidade de peso do liquido, medida a
partir do canal. É representada por:
2.9. Fator cinético e numero de Froude
Se multiplicarmos e dividirmos a carga cinética por ym, vem:
A expressão é o fator cinético do escoamento e a sua raiz quadrada é o Número de Froude.
sendo:
Fr = número de Froude (adimensional);
v = velocidade média (m/s);
g = aceleração da gravidade (m/s2);
ym = profundidade média (m).
A energia especifica vem sob a forma:
O número de Froude (Fr) é muito importante no estudo de canais, pois permite definir regimes de escoamento dinamicamente semelhantes.
2.10. Regimes de escoamento
Na seção A de um canal a velocidade média em regime permanente é:
Se o caudal for constante, ou seja, a vazão (Q) for constante e A = f(y) a energia especifica depende somente de y:
Assim, fixando-se uma determinada vazão, a energia específica é a distância vertical entre o fundo do conduto livre e a linha de energia, correspondendo a soma de duas parcelas, ambas, funções da profundidade y e da lâmina líquida. Portanto:
A partir da simples análise da figura 2.12 pode-se observar que a Energia Específica não é uma função monótona crescente com y. De fato, existe um valor mínimo de energia (Energia Crítica, Ec) que corresponde a certa profundidade denominada crítica yc.
Portanto, para uma dada vazão Q podemos ter 3 situações em termos de regime de escoamento:
Escoamento Crítico
Escoamento Supercrítico
Escoamento Subcrítico
Como a vazão é a mesma, o que irá determinar o regime do escoamento será a declividade do fundo do canal. Assim, para uma vazão constante escoando em um canal prismático com profundidade superior à crítica, teremos um escoamento subcrítico.
Ao aumentarmos a declividade do fundo do canal observa-se um aumento da velocidade do escoamento. De acordo com a equação da continuidade, a esse aumento da velocidade corresponderá uma redução na profundidade do escoamento, podendo chegar a um ponto em que a profundidade atinge o seu ponto crítico.
Para um caudal constante pode-se estudar a variação da energia específica em função da profundidade y.
Figura 2.13 – Energia Específica variando com a profundidade y
Abcissas: valores da energia específica.
Ordenadas: valores da profundidade.
1 - a variação da energia específica E com a profundidade y é linear e representa-se pela reta E1, (reta da energia potencial) que é a bissetriz dos eixos coordenados.
2 - curva da energia cinética assintótica aos eixos coordenados. Se a profundidade tender para zero, também tenderá a seção A, e a velocidade tenderá para infinito.
Mantendo constante o caudal e fazendo variar a profundidade y obtemos a curva E2 que mostra como varia a energia cinética com a profundidade do canal. Quando y aumenta, A também aumenta e U e E tendem para zero.
3 - se, para cada valor da profundidade, somarmos os respectivos valores da energia potencial e da energia cinética obtém-se a curva da energia específica (E1 + E2). Por esta curva deduz-se que:
- há um valor mínimo Ec da energia específica correspondente ao valor da energia crítica Ec.
- para cada valor da energia específica existem dois valores recíprocos Es e Ec referentes a duas profundidades ys e yi ou seja existem dois regimes de escoamento (regimes recíprocos).
O escoamento com a maior profundidade ys denomina-se superior, tranquilo, fluvial ou subcrítico. O escoamento a que corresponde a menor profundidade yi denomina-se inferior, torrencial, rápido ou supercrítico. O escoamento a que corresponde uma única profundidade yc é chamado de crítico.
Figura 2.14 – Energia crítica e a profundidade crítica
Num canal com A e Q constantes e i invariável (i = inclinação ou declividade), aumentando i diminui y e vice-versa, portanto o aparecimento de um dos regimes depende da declividade i do canal.
Para
i = ic declividade critica, o regime é crítico
i < ic regime subcrítico
i > ic regime supercrítico
2.11. Escoamento crítico
O escoamento critico corresponde a energia específica mínima. Sendo assim, no escoamento crítico temos:
No regime crítico o fator cinético e o número de Froude são iguais à unidade.
O escoamento no regime crítico não é estável porque a menor mudança de energia específica provoca alteração na profundidade da água no canal e, com ela, uma mudança no regime de escoamento.
Tendo em vista que no regime crítico:
Podemos escrever:
e concluir que no regime crítico a carga cinética é igual a metade da profundidade média.
Se o canal for retangular B = b e considerando um caudal por unidade de largura:
e sendo a área da secção:
teremos:
Uma expressão aproximada para a profundidade crítica em canais retangulares é:
NOTA: No escoamento crítico com Fr = 1 a Energia Específica Crítica será:
2.12. Existência do regime crítico
Considerando as expressões:
quando o regime é critico e então:
Sendo a carga cinética e a energia potencial.
No regime crítico o escoamento é normal e temos:
No regime supercrítico o escoamento é rápido e temos:
No regime subcrítico o escoamento é lento e temos:
 
Num canal podemos verificar mudanças de regimes de subcrítico para supercrítico e viceversa, quando há aumentos ou diminuições das declividades, mudança da seção e da rugosidade do leito.
Figura 2.14 – Mudança de declividade, neste caso de regime subcrítico para supercrítico.
Figura 2.15 – Entrada em canal subcrítico para supercrítico
As seções onde se verificam mudanças de regime denominam-se seções de controle, porque definem a profundidade do escoamento a montante.
Quando se conhecem as dimensões da seção de controle pode-se medir o caudal através da equação:
As vezes a mudança de supercrítico para subcrítico não se dá de forma gradual. Há ocasiões em que a mudança ocorre bruscamente e com grande turbulência formando o ressalto hidráulico.
Figura 2.16 – Ressalto Hidráulico
Na figura acima, onde a declividade diminui bruscamente, há uma elevação brusca da lâmina líquida sendo difícil a posição da profundidade crítica.
Quando um canal de pequena declividade recebe água de uma comporta de fundo há a formação de ressalto hidráulico, sendo a velocidade de saída maior do que a velocidade crítica.
Figura 2.17 – Ressalto hidráulico causado por comporta de fundo
Exercício Resolvido 15 
O regime de escoamento em um conduto livre depende, basicamente, da velocidade média das águas. A velocidade média, por sua vez, depende da declividade e do atrito entre a água e as paredes do conduto. Froude definiu um número adimensional que delimita os regimes de escoamento, fluvial, crítico ou torrencial. A vazão Q = 118m³/s forma uma lâmina d’água de 2,5 m de profundidade num canal retangular de 22 m de largura. Nestas condições, com relação ao regime de escoamento e ao Número de Froude, assinale a alternativa correta. 
regime torrencial, pois Fr = 0,556;
regime fluvial, pois Fr =  0,433
regime crítico, pois Fr = 0,732
regime fluvial, pois Fr = 0,688
regime torrencial, pois Fr = 0,895.
Resolução:
Exercício Resolvido 16
 
Um posto fluviométrico foi instalado na seção transversal de um curso d'água. Nesta seção a profundidade máxima do rio é hmáx = 4,50 m e a sua largura é L = 32,00 m.Em determinado instante as medições registradas indicaram os seguintes valores: velocidade média das águas é v = 1,23 m/s e a profundidade média hméd = 2,85 m 
Pode-se afirmar que, naquele instante, o valor da vazão era:
Q = 336,676 m³/s
Q = 133,67 m³/s
Q = 148,76 m³/s
Q = 112,18 m³/s
Q = 96,1 m³/s
Exercício Resolvido 17
No ensaio para um dado canal de dissipação retangular, de 15 m de largura, foi obtida a profundidade crítica Yc = 0,58 m. Qual será o tipo de regime e o valor da velocidade do escoamento nesta condição, considerando como valor da aceleração da gravidade g = 9,81 m/s²?
Solução:
	Se for utilizada a profundidade crítica (yc) nos cálculos, é porque estamos trabalhando no Regime Crítico. Portanto a forma de regime é o Regime Crítico.
	No regime crítico temos:
 
Exercício Resolvido 18
Um canal triangular com Z = 1,0 transporta 1.800 L/s com uma profundidade de 1,50 m.
Determine o regime do escoamento
Solução:
					H		V
					1		1		X = 1,5 m
					X		1,5
Determinação da área molhada:
Determinação da velocidade média:
Determinação do escoamento utilizando o número de Froude:
Exercício Resolvido 19
Um canal retangular com largura de 8 m transporta uma vazão de 35.000 L/s.
Determinar a profundidade e a velocidade crítica.
Solução:
Determinação da vazão unitária (q):
Determinação da profundidade crítica (yc):
Determinação da velocidade crítica (vc):
Exercício Resolvido 20
Traçar a curva de Energia Específica para um canal, de seção retangular com 10 m de largura, transportando 35 m3/s.
Solução:
Determinação da vazão unitária (q):
Determinação da profundidade crítica (yc):
Equação da Energia Específica Crítica
Equação da Energia Específica
Utilizando a equação acima, atribui-se valores superiores e inferiores à profundidade crítica (yc) e substitui-se no lugar de y. Por exemplo: atribuindo y = 0,6 m temos:
Arbitrando para y = 0,8 m; y = 0,9 m; y = 1,1 m; y = 1,6 m; y = 1,8 m e y = 2,0 m tem-se a tabela a seguir:
	y (m)
	E (m)
	0,6
	2,33
	0,8
	1,78
	0,9
	1,67
	1,1
	1,62
	1,6
	1,84
	1,8
	1,99
	2,0
	2,16
Plotando-se os valores têm-se o gráfico de energia:
É possível observar os dois regimes de escoamento no gráfico plotado. Tem-se o regime de escoamento subcrítico (em verde) para valores maiores que 1,08 m de lâmina de água, ou seja, maior que a altura crítica e, escoamento supercrítico (em azul) para alturas de lâmina de água menores que a altura crítica.
Exercício Resolvido 21
Calcular a vazão e a velocidade crítica para um canal trapezoidal com largura da base igual a 5,0 m e talude 3:1, supondo que a profundidade crítica é de 1,8 m.
					H		V
					3		1	 m = 3 x 1,8 = 5,4 m
					m		1,8
Determinação da velocidade crítica (vc):
Determinação da vazão crítica (Q)
Exercício Resolvido 22
	Determinar a profundidade crítica de um canal triangular, com talude 2:1, transportando uma vazão de 20 m3/s.
					H		V
					2		1	 m = 2.yc 
					m		yc
	2.13. Transições Verticais
	Podem existir duas situações distintas:
Elevação do fundo do canal, ou seja, para dz/dx > 0, vem:
	Assim, se Fr < 1, vem que dy/dx < 0 para satisfazer a condição que dy/dx positivo. Logo a profundidade de escoamento diminui. Por outro lado, se Fr > 1, temos dy/dx > 0, ou seja, a profundidade de escoamento aumenta. 
Rebaixamento do fundo do canal, ou seja, para dz/dx < 0, vem:
	Assim, se Fr < 1, vem que dy/dx > 0, ou seja, a profundidade de escoamento aumenta. Por outro lado, se Fr > 1, temos dy/dx < 0, ou seja, a profundidade de escoamento diminui. 
Figura 2.18 – Transições Verticais
Conforme pode ser visto através da Figura 2.18, a análise das transições verticais é bastante facilitada pelas curvas de Energia Específica. Com efeito, todas as alterações de cota de fundo do canal refletem-se em mudanças nos valores da Energia específica. Na hipótese de perda de carga nula, estas alterações ficam restritas à curva traçada, que corresponde ao escoamento nas condições estabelecidas.
A Figura 2.19 ilustra a situação de implantação de uma soleira, de altura Z em um canal de condições subcríticas. Nestas condições, E2 = E1 - Z. A profundidade de escoamento se reduz de y1 para y2. Pela curva de Energia específica percebe-se que a altura da soleira estaria limitada ao valor Z = E1 – EC para que o escoamento permaneça ocorrendo nas mesmas condições. Caso a altura da soleira supere este valor, as condições de escoamento alteram-se, tornando necessário um ganho de energia para a superação do obstáculo. Isto é conseguido através da elevação do N.A. a montante da soleira e a ocorrência do regime crítico sobre esta, que passa então, a funcionar como uma seção de controle. Diz-se, nesta situação, que ocorreu um estrangulamento de fluxo.
Figura 2.19 – Soleira em um canal subcrítico
Exercício Resolvido 23
	Um canal retangular com largura de 60 m transporta uma vazão de 250 m3/s com uma profundidade de escoamento inicial de 2,2 m. A pós uma mudança de declividade, a profundidade passa a ser de 0,80 m. Supondo a ausência de perda de carga, pede-se:
Construir a curva de energia específica;
Determinar a energia crítica;
Determinar a energia específica no segundo trecho;
Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,30 m implantada no primeiro trecho do canal;
Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,20 m implantada no segundo trecho do canal;
Determinar a altura máxima de uma soleira implantada no primeiro trecho do canal para que não ocorra mudança de regime de escoamento.
Resolução:
Vazão Unitária
Equação da energia específica (E)
Atribuindo-se valores para y encontram-se os valores para E. Portanto, a planilha será:
O gráfico referente à curva de energia específica será:
Determinar a profundidade crítica (yc)
Equação da energia específica crítica (Ec)
Determinar a energia específica no segundo trecho;
Como y < yc o regime de escoamento passou a ser supercrítico ou turbulento
Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,30 m implantada no primeiro trecho do canal;
	Substituindo o valor de E2 na equação da energia tem-se:
As raízes da equação de 3º grau são y1 = -0,58 m; y2 = 1,80 m e y3 = 0,85 m.
Portanto, a profundidade do escoamento será y = 1,80 m e como y < yc o regime de escoamento continua sendo subcrítico. Repare que o (y) já havia sido calculado no item (a). Portanto fica implícito que é mais prático utilizar a tabela do item (a) que calcular a equação de terceiro grau.
Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,20 m implantada no segundo trecho do canal
	Substituindo o valor de E2 na equação da energia tem-se:
As raízes da equação de 3º grau são y1 = -0,58 m; y2 = 1,68 m e y3 = 0,91 m.
Portanto, a profundidade do escoamento será y = 0,91 m.
Determinar a altura máxima de uma soleira implantada no primeiro trecho do canal para que não ocorra mudança de regime de escoamento.
No primeiro trecho a energia crítica é igual a:
Para que não ocorra mudança de regime de escoamento no primeiro trecho, a condição a seguir deverá ser satisfeita.
Portanto, a altura máxima de uma soleira implantada no primeiro trecho do canal implica em um Z < 0,55 m para que não ocorra mudança de regime de escoamento.
2.14. Transições Horizontais
No caso das transições horizontais a cota de fundo do canal mantém-se constante sendo que sua largura é variável. Assim, como a vazão Q é constante e B variável, a vazão por unidade de largura, q, é também variável.
No caso de alargamento de seção, ou seja, dB/dx > 0, nos escoamentos subcríticostem-se que Fr < 1, acarretando dy/dx > 0, ou seja, a profundidade de escoamento cresce. No caso de escoamentos supercríticos, Fr > 1, e consequentemente dy/dx < 0, ou seja, a profundidade de escoamento decresce. Estas situações podem ser visualizadas na figura abaixo.
Figura 2.20 – Transições Horizontais
Para situação de estreitamento de seção, ou seja, dB/dx < 0, nos escoamentos subcríticos tem-se que Fr < 1, acarretando dy/dx < 0, ou seja, a profundidade do escoamento decresce.
Por outro lado, nos escoamentos supercríticos, Fr > 1, e consequentemente dy/dx > 0, ou seja, a profundidade de escoamento cresce. Estas situações também podem ser visualizadas na figura acima.
De forma similar às soleiras nas transições verticais, o estreitamento das seções pode levar a uma situação em que a energia específica a montante é menor do que a energia correspondente à energia crítica na nova seção. Pode ocorrer então o “estrangulamento” e a eventual mudança de regime de escoamento.
Exercício Resolvido 24
	Um canal retangular de largura 12 m transporta uma vazão de 106 m3/s com uma profundidade de escoamento de 4,2 m. Por razões estruturais, este canal sofre uma redução de largura para 9 m em uma extensão de 5 m. Considerando uma transição com ausência de perda de carga, esboçar o perfil da linha d’água. 
Resolução:
	Vazão Unitária (q) para o trecho (1):
	
	Vazão Unitária (q) para o trecho (2):
Determinar a profundidade crítica (yc) para o trecho (1)
Determinar a energia específica para o trecho (1)
Como E1 = E2, tem-se:
As raízes são y2’ = -1,13 m, y2’’ = 3,97 m e y2’’’ = 1,58 m. Sendo assim, y2 = 3,97 m
Determinar a profundidade crítica (yc) no trecho (2)
Portanto, o regime de escoamento permanece inalterado em relação ao trecho (1) e, sendo assim, não há mudança de regime na transição. O perfil longitudinal do N.A é mostrado a seguir.
Exercício Resolvido 25
	A água escoa em um canal retangular com velocidade média de 1 m/s e a uma altura de lâmina de água igual a 0,80 m. Em uma determinada seção existe um estreitamento gradual na largura do canal de 1,80 a 1,50 m. Pede-se qual a altura de lâmina de água na seção contraída?
Resolução:
Cálculo da área molhada:
Cálculo da vazão:
Cálculo da vazão unitária (q1) no trecho (1):
Cálculo da vazão unitária (q2) no trecho (2):
Calculo da energia específica para o trecho (1)
Calculo da profundidade (y2) no trecho (2)
Como E1 = E2, tem-se:
Um cálculo prático seria atribuir valor para y2 até convergir para energia E2 = 0,85. Atribui-se valores menores que 0,80, pois como no estrangulamento a velocidade aumenta a área diminui e, portanto, a profundidade irá diminuir. Sendo assim:
Exercício Resolvido 26
	Num canal retangular de 2 metros de largura, água escoa com velocidade média de 1,0 m/s e profundidade de 1,0 metro. Determine as novas profundidades produzidas por:
Uma contração suave para 1,7 metros de largura.
Uma expansão suave para 2,3 metros de largura.
Resolução:
Cálculo da área molhada:
Cálculo da vazão:
Cálculo da vazão unitária (q1) no trecho (1):
Uma contração suave para 1,7 metros de largura.
Cálculo da vazão unitária (q2) no trecho (2):
Calculo da energia específica para o trecho (1)
Calculo da profundidade (y2) no trecho (2)
Como E1 = E2, tem-se:
Um cálculo prático seria atribuir valor para y2 até convergir para energia E2 = 1,05. Atribui-se valores menores que 1,0, pois como no estrangulamento a velocidade aumenta, a área diminui e, portanto, a profundidade irá diminuir. Sendo assim:
Uma expansão suave para 2,3 metros de largura.
Cálculo da vazão unitária (q2) no trecho (2):
Calculo da energia específica para o trecho (1)
Calculo da profundidade (y2) no trecho (2)
Como E1 = E2, tem-se:
Um cálculo prático seria atribuir valor para y2 até convergir para energia E2 = 1,05. Atribui-se valores maiores que 1,0, pois como na expansão a velocidade diminui, a área aumenta e, portanto, a profundidade irá aumentar. Sendo assim:
Exercício Resolvido 27
	Em um canal retangular de 4,5 m de largura, com altura de lâmina d’água igual a 3,0 m a vazão é de 21,2 m3/s. Um degrau de 0,84 m de altura foi construído no fundo do canal e nesta mesma seção a largura foi reduzida para 3,6 m. Desprezando as perdas de cargas, determine a altura d’água sobre o degrau. Existe a possibilidade de se aumentar a altura do degrau sem que isto interfira nas condições de escoamento a montante do canal? Se existir, até que altura pode ser o degrau construído? Justifique o raciocínio usando o gráfico y x E.
Resolução
Como y1 > yc o regime de escoamento é subcrítico, sendo assim, para que o regime continue subcrítico o y2 > yc. Como o y2 está muito próximo da profundidade crítica, o degrau não pode ser aumentado, pois haveria mudança no regime de escoamento.
Exercício Resolvido 28
	Um canal retangular com 50 m de largura transporta uma vazão de 250 m3/s de água com profundidade de 5,0 m. Com vistas a forçar a ocorrência do regime crítico no canal através de uma singularidade, determinar a altura de uma soleira implantada no fundo do canal, sendo que a largura deve permanecer constante.