funcao modular

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
1 
FUNÇÃO MODULAR 
 
1. DEFINIÇÃO 
A função modular (ou valor absoluto) é tal que 
 
x,se x 0
f x
x,se x 0

 
 
.A notação utilizada é 
 f x x
. 
 
OBSERVAÇÃO 
Veja que 
 f x 0
 para todo 
x
 real. 
2. PROPRIEDADES 
I) 
2x x
 
II) 
xy x y
 
III) 
22 2x x x 
 (Esta propriedade é muito importante!) 
IV) xx
y y

, se 
y 0
 
 
3. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES 
As equações e inequações modulares mais simples são resolvidas utilizando uma das propriedades a seguir. 
I) 
x y x y x y    
 
II) 
x k x k x k    
 (
k 0
) 
III) 
x k k x k   
(
k 0
) 
 
Quando não for possível utilizá-las, a ideia é retirar o módulo. Uma pergunta surge: como retirar o módulo? 
Basta dividir o problema em casos! 
 
EXEMPLOS: 
1) Resolva a equação 
3x 5 4x 7  
 
Nesse caso, basta termos 
3x 5 4x 7 x 12    
 ou
2
3x 5 4x 7 x
9
      
. 
2) Resolva a equação 
x 2 3 2x  
. 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
2 
Usaremos que 
x 2,se x 2
x 2
2 x,se x 2
 
  
 
. 
1º caso (
x 2
):
5
x 2 3 2x x
3
    
. Veja que esse número não satisfaz 
x 2
, por isso não é solução! 
 
2º caso (
x 2
):
2 x 3 2x x 1    
. Veja que esse número satisfaz 
x 2
, portanto é solução! 
Então, 
 S 1
. 
 
3) Resolva a inequação 
3x 7 10 
. 
Basta que 
17
10 3x 7 10 x 1
3
       
. 
Logo, 
17
S ,1
3
 
  
 
 
 
4) Resolva a inequação 
2x 7 x 1 0   
. 
Devemos dividir o problema em 2 casos: 
1º caso: 
x 1 
 
2x 7 x 1 0 x 2     
. 
Fazendo a interseção com a restrição, temos 
x 2
. 
 
2º caso: 
x 1 
: 
2x 7 x 1 0 x 8     
. 
Fazendo a interseção com a restrição, não encontramos soluções. 
Juntando os dois casos, temos que 
 S 2, 
. 
 
4. COMO O MÓDULO ALTERA O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
Há dois casos importantes a considerar, quando temos o gráfico de 
 f x
: 
I) Como será o gráfico da função 
 f x
? 
Neste caso, basta considerar os pedaços do gráfico de f que estão abaixo do eixo x e refleti-los com relação ao 
eixo x. 
EXEMPLO: Construir o gráfico de 
2x 3x
. 
Inicialmente, construímos o gráfico de 
2y x 3x 
: 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
3 
 
 
Em seguida, refletimos, em relação ao eixo x, a parte do gráfico que está abaixo do eixo x, obtendo: 
 
 
II) Como será o gráfico da função 
 f x
? 
Neste caso, ignoramos a parte do gráfico que está à esquerda do eixo y. Refletimos, com relação ao eixo y, a 
parte do gráfico que está à direita do eixo y e então obtemos o gráfico da nova função. 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
4 
EXEMPLO: Construir o gráfico de x
e
. 
Inicialmente, construímos o gráfico de 
xe
: 
 
Em seguida, apagamos a parte do gráfico que está à direita do eixo y e então refletimos o gráfico restante 
com relação ao eixo y, obtendo: 
 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
5 
EXERCÍCIOS DE COMBATE 
 
1. (ITA 80) Considere a equação 
x x 6 
. Com respeito à solução real desta equação podemos afirmar que: 
a) a solução pertence ao intervalo 
 1,2
 
b) a solução pertence ao intervalo 
 2, 1 
 
c) a solução pertence ao intervalo 
 1, 1 
 
d) a solução pertence ao complementar da união dos intervalos anteriores 
e) a equação não tem solução 
 
2. (ITA 88) Sabendo-se que as soluções da equação 
2
x x 6 0  
 são raízes da equação 
2x ax b 0  
, 
podemos afirmar que: 
a) 
a 1
 e 
b 6
 
b) 
a 0
 e 
b 6
 
c) 
a 1
 e 
b 6
 
d) 
a 0
 e 
b 9
 
e) não existem 
a
 e
b
 tais que 
2x ax b 0  
 contenha todas as raízes da equação dada 
 
3. (ITA 2002) Os valores de 
x
 reais para os quais a função real dada por 
 f x 5 2x 1 6   
está definida 
formam o conjunto 
a) 
 0,1
 
b) 
 5,6
 
c) 
   5,0 1,  
 
d) 
   ,0 1,6 
 
e) 
   5,0 1,6 
 
 
4. (EN 1990) A equação 2x + 3 = ax + 1: 
a) não possui solução para a< -2; 
b) possui duas soluções para a> 2; 
c) possui solução única para a<
2
3
; 
d) possui solução única para –2 <a<
2
3
; 
e) possui duas soluções para –2 <a<
2
3
. 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
6 
5. Dadas as funções f : IR 

IR e g : IR 

IR definidas por f (x) = │1 - x2│ e g (x) = │ x │, o número de pontos na 
interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
6. (AFA) O gráfico que melhor representa a função 
 
1
f(x) x x
2
 
 é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
7. (AFA) Considere a função f(x) = 1,se 0 x 2
2,se 2 x 0
 

   
. A função 
g(x) f(x) 1 
terá o seguinte gráfico: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
8. (EFOMM 2013) Os valores de 
x
 para os quais a função real dada por 
 f x 4 2x 1 6   
está 
definida formam o conjunto 
a) 
1 3
,
3 2
 
 
 
 
b) 
9 5 3 7
, ,
2 2 2 2
   
     
   
 
c) 
5 1 7 11
, ,
2 2 2 2
   
     
   
 
d) 
5 7
,0 0,
2 2
   
   
   
 
e) 
9 1 3 11
, ,
2 2 2 2
   
     
   
 
 
x 
y 
x 
y 
 
x 
y 
x 
y 
 
x 
y 
x 
y 
 
x 
y 
x 
y 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
7 
9. (EFOMM 2011) A área entre o gráfico de 
y 3x 2 3  
 e a reta 
y 3
, em unidades de área, vale: 
a) 6 
b) 3 
c) 1,5 
d) 2 
e) 0,5 
 
10. O produto das raízes reais da equação 
2x 3x 2 2x 3   
é igual a: 
a) –5 
b) –1 
c) 1 
d) 2 
e) 5 
 
11. Para 
x
, o conjunto solução de 
3x 2x 1 x x5 5 4 5 5 1    
 é 
a) 
 0,2 5,2 3 
 
b) 
  50,1,log 2 5
 
c) 
5 5 5
1 1 2
0, log 2, log 3,log
2 2 2
   
   
   
 
d) 
      5 5 50,log 2 5 ,log 2 3 ,log 2 3  
 
e) A única solução é x = 0 
 
12. Sobre a equação na variável real x, 
x 1 3 2 0   
, podemos afirmar que 
a) ela não admite solução real 
b) a soma de todas as suas soluções é 6 
c) ela admite apenas soluções positivas 
d) a soma de todas as soluções é 4 
e) ela admite apenas duas soluções reais 
 
 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
8 
13. (EN 2013) A soma das raízes reais distintas da equação 
x 2 2 2  
 é igual a 
a) 0 
b) 2c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
14. (EN 2012) Sejam A e B conjuntos de números reais tais que seus elementos constituem, respectivamente, 
o domínio da função 
   f x ln 2 x 3 x x 1    
 e a imagem da função 
 
 2 x x 2
g x 2
2
 
  
. Pode-se 
afirmar que 
a) A = B 
b) 
A B 
 
c) 
A B
 
d) 
A B  
 
e) 
A B  
 
 
15. (EN 2010) Considere a equação 
2x bx c 0  
, onde 
c
 representa a quantidade de valores inteiros que 
satisfazem a inequação 
3x 4 2 
. Escolhendo-se o número b, ao acaso, no conjunto 
 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5   
, qual é a probabilidade de a equação acima ter raízes reais? 
a) 0,50 
b) 0,70 
c) 0,75 
d) 0,80 
e) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA MÓDULO 9 
 
PROF. MATHEUS SECCO PROMILITARES – AFA/EFOMM/EN 
 
 
9 
GABARITO 
 
1. RESPOSTA: E 
 
2. RESPOSTA: D 
 
3. RESPOSTA: E 
 
4. RESPOSTA: D 
 
5. RESPOSTA: B 
 
6. RESPOSTA: B 
 
7. RESPOSTA: A 
 
8. RESPOSTA: E 
 
9. RESPOSTA: A 
 
10. RESPOSTA: A 
 
11. RESPOSTA: D 
 
12. RESPOSTA: D 
 
13. RESPOSTA: D 
 
14. RESPOSTA: C 
 
15. RESPOSTA: A