SE 2019 - Aula 10 - Função Modular

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 1 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
 
Profº Carlos Henrique(Bochecha) - Aula 10 – Função Modular 
 
1. (Pucpr 2018) Considere os seguintes dados. 
 
Pode-se dizer que quando duas variáveis x e y são tais que a cada valor 
de x corresponde um único valor de y, segundo uma lei matemática, diz-se 
que y é função de x. Considere uma função f : +→ que é 
representada pelo gráfico a seguir. 
 
 
 
Analisando o gráfico, julgue as proposições a seguir. 
 
I. f é ímpar. 
II. f é injetora. 
III. A lei matemática de f é f(x) | x | 1.= − 
IV. f é crescente se, e só se, x 1. 
V. (f f )( 1) (f f )(1).− = 
a) Somente II é correta. 
b) Somente I é correta. 
c) Somente III e V são corretas. 
d) Todas as proposições são corretas. 
e) Todas as proposições são falsas. 
 
2. (Uece 2017) Se as raízes da equação 
2x 5 | x | 6 0− − = são também 
raízes de 
2x ax b 0,− − = então, os valores dos números reais a e b 
são respectivamente 
a) 1− e 6. b) 5 e 6. c) 0 e 36. d) 5 e 36. 
 
3. (Uefs 2017) Considerando-se a equação 
2x 5x 6 | x 3 |,− + = − tem-
se que a soma de suas raízes é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
4. (Pucrj 2017) Três números positivos proporcionais a 5, 8 e 9 são tais 
que a diferença do maior para o menor supera o módulo da diferença entre os 
dois menores em 5 unidades. 
Assinale o maior deles. 
a) 45 b) 54 c) 63 d) 72 e) 81 
 
5. (Pucrj 2016) Seja 
2x
f(x) 2 .
2
= − 
 
a) Para quais valores reais de x temos f(x) 1?= 
b) Para quais valores reais de x temos f(x) 1? 
 
6. (Pucrj 2016) Qual dos gráficos abaixo representa a função real 
f(x) | 3x 1| ?= − 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
7. (Mackenzie 2016) Os gráficos de 
2f(x) 2 | x 4 |= − e 2g(x) (x 2)= − 
se interceptam em 
a) apenas um ponto. 
b) dois pontos. 
c) três pontos. 
d) quatro pontos. 
e) nenhum ponto. 
 
8. (Ueg 2016) Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, 
de R em R 
 
 
A função f é dada por 
 
a) 
| 2x 2 |, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
+ 
= 
− 
 
 
b) 
| x | 2, se 1 x 2
f(x)
| 2x 3 |, se x 1 e x 2
− + −  
= 
−  − 
 
 
c) 
| x 1|, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
− 
= 
+ 
 
 
d) 
| x 2 |, se 1 x 2
f(x)
| 2x | 1, se x 1 e x 2
− + −  
= 
+  − 
 
 
9. (G1 - cftmg 2015) O domínio da função real f(x) 1 | x |= − é o 
intervalo 
a) {x | x 1  − ou x 1} 
b) {x | x 1  − ou x 1} 
c) {x | 1 x 1} −   
d) {x | 1 x 1} −   
 
 
 
 2 
 
 
10. (Upe 2015) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-se os 
gráficos das funções reais f e g. 
 
 
Qual das igualdades representa uma relação entre as duas funções? 
a) g(x) f(x 3)= + b) g(x 3) f(x)− = c) g(x) f( x 3)= − − − 
d) g( x) f( x 3)− = − + e) g(3 x) f(x)− = − 
 
11. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) x 1 x 1.= + + − O gráfico 
que representa a função é: 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
12. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) | x 1|.= − + O gráfico que 
representa a função é: 
 
a) b) 
 
 
c) d) 
e) 
 
13. (Udesc 2014) A soma das raízes distintas da equação 
2x 5x 6 x 3− + = − é: 
a) 10 b) 7 c) 0 d) 3 e) 4 
 
14. (Ufrgs 2013) Se 
 
 
 
é o gráfico da função f definida por ( )y f x ,= então, das alternativas 
abaixo, a que pode representar o gráfico da função z, definida por 
( )z f x ,= é 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
15. (Ufsj 2013) Movendo o gráfico da função y x 5= − quatro unidades 
de comprimento (u.c.) para a esquerda e duas u.c. para cima, obtém-se uma 
nova função. 
 
Assinale a alternativa que contém a função obtida. 
a) y x 11= − b) y x 7= − c) y x 4 2= + − d) y x 1 2= − + 
 
16. (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x). 
 
 
 
O número de elementos do conjunto solução da equação f(x) 1= , 
resolvida em é igual a 
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 
 
 
 
 3 
 
 
17. (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satisfazem a 
equação + =x y 2 determinam um polígono cujo perímetro é: 
a) 2 2 b) +4 2 2 c) 4 2 d) +8 4 2 e) 8 2 
 
18. (Uepb 2012) A soma das raízes que a equação modular 
x 2 7 6− − = é 
a) 15 b) 30 c) 4 d) 2 e) 8 
 
19. (Fuvest 2012) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a 
desigualdade 
2x 10x 21 3x 15− +  − . 
 
20. (Unesp 2012) No conjunto dos números reais, o conjunto solução S 
da inequação modular | x | | x 5 | 6 −  é 
a) S {x / 1 x 6}.=  −   
b) S {x / x 1 ou 2 x 3}.=   −   
c) S {x / x 1 ou 2 x 3 ou x 6}.=   −    
d) S {x / x 2 ou x 3}.=    
e) S .= 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Para fazer um estudo sobre certo polinômio ( )P x , um estudante recorreu 
ao gráfico da função polinomial ( )y P x= , gerado por um software 
matemático. 
Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida para valores de x , de 
5− até 2,7 . 
 
 
21. (Uesc 2011) O número de raízes da equação ( )P x 1= , no intervalo 
 5,2,7− , é igual a 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
22. (Ufmg 2010) Considere a função f(x) x |1 x | .= − 
 
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está CORRETO. 
a) b) 
c) d) 
 
23. (Udesc) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = 
| x 1|+ + 2 é: 
a) b) 
 
c) d) 
 
 
e) 
 
24. (Ufrj) Considere a função f: IR→ IR definida por f(2x) = │1 - x │. 
Determine os valores de x para os quais f(x) = 2. 
 
25. (Uft) Sejam f e g funções reais de uma variável real definidas por: 
 
 f(x) = │ x - 1 │ e g(x) = 5 
 
A área da região limitada pelos gráficos dessas funções é: 
a) 10 unidades de área. b) 30 unidades de área. 
c) 50 unidades de área. d) 25 unidades de área. 
 
26. (Ufrj) Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0. 
Determine a, b e c sabendo que as raízes da equação │ f (x) │ = 12 são -2, 1, 
2 e 5. Justifique. 
 
27. (Fuvest) O módulo | x | de um número real x é definido por | x | = x, se 
x ≥ 0, e | x | = - x, se x < 0. Das alternativas a seguir, a que melhor 
representa o gráfico da função f(x) = x . x - 2x + 2 é: 
 
 
28. (Pucrj) Assinale a afirmativa correta. 
A inequação - │ x │ < x 
a) nunca é satisfeita. 
b) é satisfeita em x = 0. 
c) é satisfeita para x negativo. 
d) é satisfeita para x positivo. 
e) é sempre satisfeita. 
 
 
 
 4 
 
 
29. (Uerj) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com 
a seguinte equação: 
V = 10 - │4 - 2t│ - │2t - 6│, t ∈ IR+ 
Nela, V é o volume medido em m3 após t horas, contadas a partir de 8h de 
uma manhã. 
Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume 
permanece constante. 
 
30. (Ufes) O gráfico da função real dada pela expressão f(x) = 
( )
( )
2x 2x 1
x 1
 
− +  
−
 pode ser representado por 
 
 
31. (Ufrn) Um posto de gasolina encontra-se localizado no km 100 de uma 
estrada retilínea. Um automóvel parte do km 0, no sentido indicado na figura a 
seguir, dirigindo-se a uma cidade a 250km do ponto de partida. Num dado 
instante, x denota a distância (em quilômetros) do automóvel ao km 0. Nesse 
instante, a distância (em quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é: 
 
a) |100 x |+ b) x - 100 c) 100 - x d) | x 100 |− 
 
32. (Ufpi) A soma das raízes da equação │x│2 + 2 │x│ - 15 = 0 é: 
a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 233. (Pucrj) O conjunto dos números reais x tais que │x - 2│ < │x - 5│ é: 
a) vazio. 
b) finito. 
c) o conjunto de todos os números reais menores que 7/2. 
d) o conjunto de todos os números reais entre 2 e 5. 
e) o conjunto de todos os números reais. 
 
34. (Uff) Considere o sistema 
y x
y 2
 


 
A região do plano que melhor representa a solução do sistema é: 
 
 
35. (Unirio) Sejam as funções f : IR→ IR; x→ y= I x I e 
g : IR→ IR; x→ y = x2 - 2x - 8 
 
Faça um esboço gráfico da função fog. 
 
36. (Fei) O conjunto imagem da função f:IR→ IR, definida por f(x)=1-│x-2│ 
é: 
a) { y ∈ IR │ y ≤ 1 } b) { y ∈ IR │ y ≥ 1 } c) { y ∈ IR │ y > 0 } 
d) { y ∈ IR │ y ≤ 2 } e) { y ∈ IR │ y ≥ 2 } 
 
37. (Cesgranrio) O conjunto Imagem da função f(x) = │x2 - 4x + 8│ + 1 é o 
intervalo: 
a) [ 5, + ∞ [ b) [ 4, + ∞ [ c) [ 3, + ∞ [ d) [ 1, + ∞ [ e) [ 0, + ∞ [ 
 
38. (Ufrj) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado 
pela função 
L(x) = 50 ( │ x - 100 │ + │ x - 200 │ ) 
onde x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais. 
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de R$10.000,00. 
 
39. (Cesgranrio) No gráfico a seguir está representada a função do 10. grau 
f(x). O gráfico que melhor representa g(x) = ( )f x -1 é: 
 
 
40. (Unirio) Determine os pontos de intersecção dos gráficos das funções 
reais definidas por f(x)=│x│ e g(x)=-x2+x+8 pelo método algébrico. 
 
41. (Pucmg) O valor de │2 - 5 │ + │3 - 5 │ é: 
a) 5 - 2 5 b) 5 + 2 5 c) 5 d) 1 + 2 5 e) 1 
 
42. (Pucmg) Considere os conjuntos 
A = {x ∈ Z / │x + 1│ <5} e B = {x ∈ Z / │x│ >3}. 
O número de elementos do conjunto A ⋂ B é: 
a) 2 b) 4 c) 8 d) 9 e) 11 
 
43. (Unesp) Resolver a equação x2 - 3│ x │ + 2 = 0, tomando como universo 
o conjunto R dos números reais. 
 
 
Gabarito: 
 
1: [C] 2: [C] 3: [E] 4: [A] 
 
5: a) b) 6 x 2−   − ou 2 x 6.  
 
6: [D] 7: [C] 8: [A] 9: [D] 10: [E] 11: [A] 12: [A] 13: [E] 14: [D] 15: [D] 16: [B] 
 
17: [E] 18: [E] 19:  s x /1 x 4 ou 6 x 9=      20: [C] 21: [D] 
 
22: [B] 23: [A] 24: x = - 2 ou x = 6 25: [D] 26:R.: a = 2, b = - 6, c = - 8 27: [E] 
 
28: [D] 29: Entre 10h e 11h. 30: [E] 31: [D] 32: [A] 33: [C] 34: [B] 
 
35: fog: IR → IR 
x→ | x2 - 2x - 8 | 
 
 
36: [A] 37: [A] 38: x = 50 e x = 250 39: [E] 40: (2 2 , 2 2 ) e (-2, 2) 
 
41: [E] 42: [A] 43: V = {-2; -1; 1; 2} 
 
 
 
 5 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
[I] Falsa. A função é par, pois o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. 
[II] Falsa, pois f(1) f( 1) 0.= − = 
[III] Verdadeira. 
[IV] Falsa. f(x) também é crescente para valores de x entre -1 e 0. 
[V] Verdadeira. f(f( 1)) f(0) 1− = = e f(f(1)) f(0) 1.= = 
 
Resposta da questão 2: [C] 
 
Sabendo que 
2 2| x | x ,= para todo x real, temos 
2 2x 5 | x | 6 0 | x | 5 | x | 6 0
(| x | 6)(| x | 1) 0
x 6.
− − =  − − =
 − + =
 = 
 
 
Em consequência, das Relações de Girard, vem a 0= e b 36.= 
 
Resposta da questão 3: [E] 
 
Se x 3, temos a seguinte equação: 
2
2
x 5x 6 x 3
x 6x 9 0
6 0
x
2
x 3 (dupla)
− + = −
− + =

=
=
 
 
 
Se x 3, temos a seguinte equação: 
2
2
x 5x 6 x 3
x 4x 3 0
4 2
x
2
x 3 (não convém)
x 1
− + = − +
− + =

=
=
=
 
 
Portanto, a soma de suas raízes será 1 3 4.+ = 
 
Resposta da questão 4: [A] 
 
Do enunciado, sejam os números 5x, 8x e 9x, x 0. 
9x 5x 5 8x 5x
4x 5 3x
− − = −
− =
 
 
Como x 0, 
4x 5 3x
x 5
− =
=
 
 
Assim, os números são: 25, 40 e 45. 
Logo, o maior dos números é o 45. 
 
Resposta da questão 5: 
 a) Calculando: 
2
2
2
x
2 1
2
x
2 1 x 6
2
x
2 1 x 2
2
− =
− = → = 
− = − → = 
 
 
 
b) Esboçando o gráfico: 
 
 
 
Assim: 6 x 2−   − ou 2 x 6.  
 
Resposta da questão 6: [D] 
 
Basta tomar o gráfico da função g(x) 3x 1= − e refletir, em relação ao eixo 
das abscissas, a parte em que g(x) 0. Logo, o gráfico de f é o da 
alternativa [D]. 
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
Para determinarmos os pontos de intersecção dos gráficos das funções 
devemos resolver um sistema com as suas equações. 
2
2 2
2
f(x) 2 x 4
2 x 4 (x 2)
g(x) (x 2)
 = −
 − = −
 == −
 
 
Logo, 
2 2 2 2 22(x 4) (x 2) 2x 8 x 4x 4 x 4x 12 0 x 2 ou x 6− = −  − = − +  + − =  = = − 
ou 
2 2 2 2 22(x 4) (x 2) 2x 8 x 4x 4 3x 4x 4 0 x 2 ou x 2 3− = − −  − = − + −  − − =  = = −
 
 
Como temos 3 valores distintos para x, os gráficos se interceptam em três 
pontos distintos. 
 
Resposta da questão 8: [A] 
 
Observando o gráfico percebe-se que a função pode ser descrita como: 
| 2x 2 |, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
+ 
= 
− 
 
 
Substituindo os valores que cruzam os eixos, percebe-se que eles conferem 
com o gráfico: 
Quando x 1:= − 
2 1 2 0 − + = 
 
Quando x 0 := 
0 2 2− = 
 
Quando x 2 := 
2 2 0− = 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
1 | x | 0 | x | 1 1 x 1−     −   
 
Portanto, o domínio da função será dado por: {x | 1 x 1}. −   
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
Temos f(x) | x 3 |= − e g(x) | x | .= − Portanto, segue que 
 
g(3 x) | 3 x | | x 3 | f(x).− = − − = − − = − 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
Lembrando que 
n, se n 0
| n | ,
n, se n 0

= 
− 
 vem 
 
 
 
 6 
 
 
x 1, se x 1
| x 1|
x 1, se x 1
+  −
+ = 
− −  −
 
e 
x 1, se x 1
| x 1| .
x 1, se x 1
− 
− = 
− + 
 
 
Logo, tem-se 
 
2x, se x 1
f(x) 2, se 1 x 1
2x, se x 1
−  −

= −  
 
 
 
e, portanto, o gráfico de f é o da alternativa [A]. 
 
Resposta da questão 12: [A] 
 
Tem-se que 
x 1, se x 1
f(x) .
x 1, se x 1
− + 
= 
− 
 Portanto, o gráfico da alternativa 
[A] é o que representa f. 
 
Resposta da questão 13: [E] 
 
Fatorando, obtemos 
 
2x 5x 6 | x 3 | (x 2) (x 3) | x 3 | .− + = −  −  − = − 
 
Se x 3, então | x 3 | x 3.− = − Assim, 
 
2(x 2) (x 3) x 3 (x 3) 0 x 3.−  − = −  − =  = 
 
Se x 3, então | x 3 | (x 3).− = − − Daí, 
 
(x 2) (x 3) (x 3) (x 3) (x 1) x 1 ou x 3.−  − = − −  −  −  = = 
 
Mas x 3= não convém, pois x 3. 
 
Por conseguinte, a soma das raízes distintas da equação é 1 3 4.+ = 
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
Refletindo-se a porção do gráfico de f que está abaixo do eixo das 
abscissas, em relação a esse mesmo eixo, obtemos o gráfico da função z. 
 
Resposta da questão 15: [D] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 16: [B] 
 
 
 
De acordo com o gráfico, temos 5 pontos de Intersecção entre as funções 
f(x) e y = 1. 
Portanto, a equação dada possui 5 raízes. 
 
Resposta da questão 17: [E] 
 
 
 
Se x  0 e y  0 x y 2. + = 
 
Se x  0 e y < 0 x y 2. − = 
 
Se x < 0 e y < 0 x y 2. − − = 
 
Se x < 0 e y  0 x y 2. − + = 
 
Calculando o lado d do quadrado, temos: d2 = 22 + 22 d 2 2. =  
 
Logo, o perímetro P será dado por P = 4  d = 8 2. 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
Temos 
 
x 2 7 6 x 2 7 6.− − =  − − =  
 
Logo, 
 
| x 2 | 13 x 2 13
x 15 ou x 11
− =  − = 
 = = −
 
ou 
 
| x 2 | 1 x 2 1
x 3 ou x 1.
− =  − = 
 = =
 
 
Portanto, o resultado é 15 ( 11) 3 1 8.+ − + + = 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
Resposta da questão 19: 
 
 
 
 s x /1 x 4 ou 6 x 9=      
 
Resposta da questão 20: [C] 
 
Resolvendo a inequação, temos: 
 
 
 
S {x / x 1 ou 2 x 3 ou x 6}.=   −    
 
Resposta da questão 21: [D] 
 
Definamos a função y | P(x) |= e consideremos o seu gráfico: 
 
 
 
É fácil ver que a equação | P(x) | 1= possui 5 raízes, indicadas pelos 
pontos de interseção do gráfico de y | P(x) |= com a reta y 1.= 
 
Resposta da questão 22: [B] 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 23: [A] 
x 3, se x³ -1
f(x) | x 1| 2
-x 1, se x -1
+
= + + = 
+ 
 
 
 
Resposta da questão 24: x = - 2 ou x = 6 
 
Resposta da questão 25: [D] 
 
Resposta da questão 26: 
 9. Temos duas equações: (i) ax2 + bx +c = 12 e (ii) ax2 + bx + c = - 12. Em 
ambos os casos, a soma das raízes é - b/a. Na equação ( i ), o produto das 
raízes é (c - 12)/a; na ( ii ), o produto é (c + 12)/a > (c - 12)/a. Logo, a equação 
( i ) tem raízes - 2 e 5 e a ( ii ) tem raízes 1 e 2. Portanto: -b/a = 3, (c - 12)/a = -
10, (c + 12)/a = 2. 
R.: a = 2, b = - 6, c = - 8 
 
Resposta da questão 27: [E] 
 
Resposta da questão 28: [D] 
 
Resposta da questão 29: Entre 10h e 11h. 
 
 
Resposta da questão 30: [E] 
 
Resposta da questão 31: [D] 
 
Resposta da questão 32: [A] 
 
Resposta da questão 33: [C] 
 
Resposta da questão 34: [B] 
 
Resposta da questão 35: 
 fog: IR → IR 
x→ | x2 - 2x - 8 | 
 
Observe a figura a seguir 
 
 
Resposta da questão 36: [A] 
 
Resposta da questão 37: [A] 
 
Resposta da questão 38: x = 50 e x = 250 
 
Resposta da questão 39: [E] 
 
Resposta da questão 40: (2 2 , 2 2 ) e (-2, 2) 
 
Resposta da questão 41: [E] 
 
Resposta da questão 42: [A] 
 
Resposta da questão 43: V = {-2; -1; 1; 2}