SE 2019 - Aula 06 e 07- Função

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Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
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 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) - Aulas 06 e 07 - Função 
 
1. (Fuvest 2019) Se a função f : {2}− → é definida por 
2x 1
f(x)
x 2
+
=
−
 e a função g : {2}− → é definida por 
g(x) f(f(x)),= então g(x) é igual a 
a) 
x
2
 
b) 
2x 
c) 2x 
d) 2x 3+ 
e) x 
 
2. (Fmp 2018) Uma função f : → é tal que: 
 
a) f(1) f(5);= 
b) f(3) 0;= 
c) f(x) 0, para todo valor de x. 
 
Um gráfico que poderia ser aquele associado à função é 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
 
3. (Espcex (Aman) 2018) Na figura estão representados os gráficos das 
funções reais f (quadrática) e g (modular) definidas em . Todas as 
raízes das funções f e g também estão representadas na figura. 
 
 
 
Sendo 
f(x)
h(x) ,
g(x)
= assinale a alternativa que apresenta os intervalos 
onde h assume valores negativos. 
a)    3, 1 6, 8− −  b)      , 3 1, 6 8,− −  −  + 
c)    , 2 4,−  + d)      , 3 1, 2 7,− −  −  + 
e)      3, 1 2, 4 6, 8− −   
 
4. (Upf 2018) Um estudo das condições ambientais de um município do Rio 
Grande do Sul indica que a taxa média de monóxido de carbono (CO) no ar 
será de C(P) 0,2P 1= − partes por milhão (ppm) quando a população for 
P milhares de habitantes. Sabe-se que em t anos, a população desse 
município será dada pela relação 
2P(t) 50 0,05t .= + O nível de 
monóxido de carbono, em função do tempo t, é dado por 
a) 
2C(t) 9 0,01t= + b) 2C(t) 0,2(49 0,05t )= + 
c) 
2C(t) 9 0,05t= + d) 2C(t) 0,1(1 0,05t ) 1= + − 
e) 
2C(t) 10 0,95t= + 
 
5. (Espm 2018) Nas alternativas abaixo há 2 pares de funções inversas 
entre si. Assinale aquela que não pertence a nenhum desses pares: 
a) y 2x 1= − b) 
1 x
y
2
−
= c) 
x 1
y
2
+
= 
d) 
x 1
y
2
−
= e) y 1 2x= − 
 
6. (Espm 2018) Se f(x) 2x 1= + e g(x) 3 x,= − a função h(x) 
representada no diagrama abaixo é: 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
a) 
2 x
h(x)
2
−
= b) 
2 x
h(x)
x
−
= c) 
x
h(x)
2 x
=
−
 
d) 
x
h(x)
x 2
=
−
 e) 
x 2
h(x)
2x
−
= 
 
 
7. (Espm 2017) A figura abaixo mostra o gráfico da função real y f(x).= 
Sobre as raízes da função y f(x 2),= − podemos afirmar que: 
 
 
a) A maior delas é 3. 
b) A menor delas é 4.− 
c) A soma delas é 9. 
d) O produto delas é 20. 
e) Uma delas é 2. 
 
 
8. (Ufpr 2017) A respeito da função representada no gráfico abaixo, considere 
as seguintes afirmativas: 
 
1. A função é crescente no intervalo aberto (4, 6). 
2. A função tem um ponto de máximo em x 1.= 
3. Esse gráfico representa uma função injetora. 
4. Esse gráfico representa uma função polinomial de terceiro grau. 
 
 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
 
 
9. (Upf 2017) O gráfico a seguir representa a função polinomial 
f(x) a(x b)(x c)(x d).= − − − 
O valor de a b c d+ + + é: 
 
 
a) 2− b) 
5
3
− c) 
1
3
 d) 
7
3
 e) 2 
 
 
10. (Upf 2017) Observe a figura: 
 
 
 
Ela representa o gráfico da função y f(x),= que está definida no intervalo 
[ 4, 8].− A respeito dessa função, é correto afirmar que 
a) f(3) f(1) 
b) f(f(2)) 2 
c) Im(f) [ 2, 6]= − 
d) f(x) 0,= para x 8= 
e) O conjunto { 4 x 8 | f(x) 1,2}−   = − tem exatamente 2 elementos 
 
11. (Ueg 2017) Sabendo-se que o gráfico da função y f(x)= é 
 
 
 
o gráfico que melhor representa a função y 3f(x 3)= − é 
 
 
 
 3 
 
 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
12. (Enem PPL 2017) No primeiro ano do ensino médio de uma escola, é 
hábito os alunos dançarem quadrilha na festa junina. Neste ano, há 12 
meninas e 13 meninos na turma, e para a quadrilha foram formados 12 
pares distintos, compostos por uma menina e um menino. Considere que as 
meninas sejam os elementos que compõem o conjunto A e os meninos, o 
conjunto B, de modo que os pares formados representem uma função f de 
A em B. 
 
Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está 
presente nessa relação é 
a) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está 
associado um menino diferente pertencente ao conjunto B. 
b) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao 
conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um 
menino sem formar par. 
c) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A 
formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B, para 
envolver a totalidade de alunos da turma. 
d) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B 
formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A. 
e) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par 
com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino 
ficará sem par. 
 
13. (Fgvrj 2017) Seja f uma função real tal que 
x 1
f x 1,
x
− 
= − 
 
 para 
todo x real não nulo. 
 
Sendo 0 ,
2
π
θ  o valor de 2f(sen )θ é: 
a) 
2sen θ b) 2cos θ c) 2tg θ d) 2sec θ e) 2cossec θ 
 
14. (Unigranrio - Medicina 2017) Sabe-se que 
2
f x 3 x 1.
3
 
− = + 
 
 Desta 
forma, pode-se afirmar que f( 1)− vale: 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 
 
15. (Uece 2017) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por 
xf(x) 2= e 
2g(x) x 2x 1.= − + O valor da função composta f g no 
elemento x 2= é igual a 
a) 1. b) 8. c) 2. d) 4. 
 16. (Fuvest 2017) Considere as funções 
2f(x) x 4= + e 
1
2
g(x) 1 log x,= + em que o domínio de f é o conjunto dos números 
reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. 
Seja h(x) 3f(g(x)) 2g(f(x)),= + em que x 0. Então, h(2) é igual a 
a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20 
 
17. (Uece 2017) A função real de variável real definida por 
2x 3
f(x) ,
4x 1
+
=
+
 
para 
1
x
4
 − é invertível. Sua inversa g pode ser expressa na forma 
ax b
g(x) ,
cx d
+
=
+
 onde a, b, c e d são números inteiros. 
 
Nessas condições, a soma a b c d+ + + é um número inteiro múltiplo de 
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. 
 
18. (Espm 2017) O conjunto imagem de uma função inversível é igual ao 
domínio de sua inversa. Sendo f : A B→ tal que 
2x 1
f(x)
x 1
−
=
+
 uma 
função real inversível, seu conjunto imagem é: 
a) {1}− 
b) { 1}− − 
c) { 2}− − 
d) {0}− 
e) {2}− 
 
19. (Mackenzie 2017) Se a função f : {2} − → é definida por 
5
f(x)
2 x
=
−
 e 
1f− a sua inversa, então 1f ( 2)− − é igual a 
a) 
1
2
− b) 
9
2
 c) 
9
2
− d) 
1
2
 e) 
5
4
 
 
20. (Unicamp 2017) Seja f(x) uma função tal que para todo número real x 
temos que (x 1) (x f x 3 3) .)f(x= − +− Então, f(1) é igual a 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. 
 
21. (Unicamp 2017) Considere as funções 
xf(x) 3= e 3g(x) x ,= 
definidas para todo número real x. O número de soluções da equação 
f(g(x)) g(f(x))= é igual a 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 
 
22. (Enem (Libras) 2017) A base de cálculo do imposto de renda é a parte 
dos rendimentos recebidos pelo contribuinte sobre a qual incide o imposto. Ela 
é obtida após serem descontadas, dos rendimentos, as deduções legais. 
No ano de 2008, se a base de cálculo de um contribuinteteve um valor de até 
R$ 16.473,72, o contribuinte foi isento do imposto de renda. Se a base de 
cálculo ficou entre R$ 16.473,72 e R$ 32.919,00, o imposto devido 
foi de 15% sobre o que excedeu R$ 16.473,72. Por fim, se a base de 
cálculo ultrapassou R$ 32.919,00, o imposto devido é dado pela soma 
de R$ 2.466,79 (correspondendo a 15% da diferença 
32.919,00 16.473,72)− mais 27,5% do que excedeu 
R$ 32.919,00. 
O gerente de um escritório de contabilidade pediu a um estagiário que 
identificasse o gráfico que descrevia o valor imposto devido, para o ano de 
2008, como função da base de cálculo, apresentando-lhe cinco gráficos, sem 
qualquer outra informação ou valores numéricos. 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
Admitindo que um desses gráficos corresponda ao pedido do gerente, qual é 
esse gráfico? 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
23. (Unicamp 2016) Considere a função afim f(x) ax b= + definida para 
todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que 
f(4) 2,= podemos afirmar que f(f(3) f(5))+ é igual a 
a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. 
 
24. (Acafe 2016) Dadas as funções f e g, com funções reais 
f(2x 1) 4x 12+ = + e g(x 2) 2x 1+ = − definidas para todo x , 
então, pode-se afirmar que f(g(x)) 2= é um número: 
a) divisor de 10. b) múltiplo de 4. c) fracionário. d) primo. 
 
25. (G1 - ifce 2016) Se é o conjunto dos números reais, a função 
f : → dada por 
3x 1
f(x)
2
+
= possui inversa 
a) 
1
3
3
f (x) .
2x 1
− =
+
 b) 
1
3
2
f (x) .
x 1
− =
+
 c) 
1 3f (x) 2x 1.− = + 
d) 
1 3f (x) 2x 1.− = − e) 1
3x 1
f (x) .
2
− += 
 
26. (Unicamp 2016) Considere o gráfico da função y f(x)= exibido na 
figura a seguir 
 
O gráfico da função inversa 
1y f (x)−= é dado por 
a) b) 
c) d) 
 
27. (Enem 2ª aplicação 2016) Uma empresa farmacêutica fez um estudo da 
eficácia (em porcentagem) de um medicamento durante 12 h de tratamento 
em um paciente. O medicamento foi administrado em duas doses, com 
espaçamento de 6 h entre elas. Assim que foi administrada a primeira dose, 
a eficácia do remédio cresceu linearmente durante 1h, até atingir a máxima 
eficácia (100%), e permaneceu em máxima eficácia durante 2 h. Após 
essas 2 h em que a eficácia foi máxima, ela passou a diminuir linearmente, 
atingindo 20% de eficácia ao completar as 6 h iniciais de análise. Nesse 
momento, foi administrada a segunda dose, que passou a aumentar 
linearmente, atingindo a máxima eficácia após 0,5 h e permanecendo em 
100% por 3,5 h. Nas horas restantes da análise, a eficácia decresceu 
linearmente, atingindo ao final do tratamento 50% de eficácia. 
 
Considerando as grandezas tempo (em hora), no eixo das abscissas; e 
eficácia do medicamento (em porcentagem), no eixo das ordenadas, qual é o 
gráfico que representa tal estudo? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
28. (Ueg 2015) O gráfico das funções y f(x)= e y g(x)= é mostrado 
na figura a seguir. 
 
De acordo com o gráfico, verifica-se que o valor de g(f(2)) f(g(0))+ é 
a) 2− b) 0 c) 1 d) 3 
 
29. (Ucs 2015) Na figura abaixo, está representada parte do gráfico de uma 
função polinomial, em que se visualizam todas as raízes (zeros) da função. 
 
 
 
Analise as proposições a seguir, quanto à sua veracidade (V) ou falsidade (F). 
 
( ) O produto dos zeros da função é 2.− 
( ) O valor mínimo da função é 20.− 
( ) O termo independente do polinômio que define a função é maior do que 
zero. 
 
Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente os parênteses, 
de cima para baixo. 
a) V – V – F b) V – F – V c) F – V – V d) V – F – F e) F – V – F 
 
30. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe o gráfico de uma função 
y f(x).= 
 
Então, o gráfico de y 2f(x 1)= − é dado por 
a) b) 
c) d) 
 
31. (Espm 2015) Considere as funções reais f(x) 2x 1= + e 
g(x) x k,= − com k . Podemos afirmar que f g(x) g f(x)= 
para qualquer x real se o valor de k for igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 2− e) 1− 
 
32. (Acafe 2015) Uma fábrica produz e vende peças para as grandes 
montadoras de veículos. O custo da produção mensal dessas peças é dado 
através da função C 6000 14x,= + onde x é o número de peças 
produzidas por mês. Cada peça é vendida por R$ 54,00. Hoje, o lucro 
mensal dessa fábrica é de R$ 6.000,00. 
 
Para triplicar esse lucro, a fábrica devera produzir e vender mensalmente: 
a) o triplo do que produz e vende. 
b) 200 unidades a mais do que produz e vende. 
c) 50% a mais do que produz e vende. 
d) o dobro do que produz e vende. 
 
33. (Enem PPL 2015) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando 
espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, 
quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, intermunicipal e 
excursões em geral. O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 
passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado 
R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da 
van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. 
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor 
arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a 
capital é 
a) V(x) 902x= b) V(x) 930x= c) V(x) 900 30x= + 
d) 
2V(x) 60 2x= + e) 2V(x) 900 30x 2x= − − 
 
34. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão 
representados na figura abaixo. 
 
 
 
O valor de f(g(1)) g(f(1))− é igual a 
a) 0. b) – 1. c) 2. d) 1. 
 
35. (Uepb 2014) Uma função inversível f, definida em  R 3− − por 
( )
x 5
f x ,
x 3
+
=
+
 tem contradomínio  0R y ,− onde R é o conjunto dos 
números reais. O valor de 0y é: 
a) 1− b) 3 c) 2 d) 1 e) zero 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
36. (Unesp 2014) Os gráficos de duas funções f(x) e g(x), definidas de em 
, estão representados no mesmo plano cartesiano. 
 
 
 
No intervalo [– 4, 5], o conjunto solução da inequação f(x) g(x) 0  é: 
a)  x / 1 x 3 . −   b)  x / 1 x 0 ou 3 x 5 −     
c)  x / 4 x 1ou 0 x 3 . −   −   d)  x / 4 x 0 . −   
e)  x / 4 x 1ou 3 x 5 . −   −   
 
37. (Ufsj 2013) Na figura a seguir, são dados os gráficos de ( )y f x= e de 
outras quatro funções. 
 
 
 
Com base no gráfico, é CORRETO afirmar que 
a) (IV) representa a função ( )f x .− 
b) (II) representa a função ( )f x 4.+ 
c) (III) representa a função ( )f x 3 .+ 
d) (I) representa a função ( )f x 4 .+ 
 
38. (Upf 2012) Na figura abaixo estão representadas no plano cartesiano 
duas funções, y f(x)= e y g(x),= ambas definidas no intervalo  0, 7 . 
 
 
 
Seja E o conjunto de números reais definido por 
E {x | f(x).g(x) 0}.=   Então, é correto afirmar que E é: 
a) {x | 0 x 1} {x | 5 x 7}       
b) {x | 0 x 2} {x | 4 x 6}       
c) {x | 0 x 2} {x | 5 x 7}       
d) {x |1 x 5}   
e) {x | 0 x 6}   
39. (Espm 2012) Sejam f e g funções reais tais que 
( ) ( )f 2x 1 2x 4 e g x 1 2x 1+ = + + = − para todo x R. Podemos 
afirmar que a função fog(x) é igual a: 
 
a) 2x – 1 b) x + 2 c) 3x + 1 d) 2x e) x – 3 
 
 
40. (Pucrj 2012) Sejam f(x) 2x 1= + e g(x) 3x 1.= + Então 
f(g(3)) g(f(3))− é igual a: 
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 
 
41. (G1 - ifal 2011) O domínio da função dada por ( )
x 2
f x
3 x
−
=
−
é 
a)  x R 2 x 3 . −   b)  x R 2 x 3 . −   
c)  x R 2 x 3 .   d)  x R 2 x 3 . −   
e)  x R x 3 .  
 
42. (Unifesp 2010) Uma função f : R → R diz-se par quando f(−x) = f(x), para 
todo x∈R, e ímpar quando f(−x) = − f(x), para todo xR. 
 
a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares ou 
funções ímpares? Justifique sua resposta.b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e outra 
ímpar, e exiba os seus gráficos. 
 
43. (Ufmg) Neste plano cartesiano, estão representados os gráficos das 
funções y = f(x) e y = g(x), ambas definidas no intervalo aberto ]0, 6[ : 
 
Seja S o subconjunto de números reais definido por 
 S = {x ∈ R; f (x) . g (x) < 0}. 
 
Então, é correto afirmar que S é 
a) {x ∈ R; 2 < × < 3} ⋃ {x ∈ R; 5 < × < 6} 
b) {x ∈ R; 1 < × < 2} ⋃ {x ∈ R; 4 < × < 5} 
c) {x ∈ R; 0 < × < 2} ⋃ {x ∈ R; 3 < × < 5} 
d) {x ∈ R; 0 < × < 1} ⋃ {x ∈ R; 3 < × < 6} 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
44. (Ufmg) Considere a função y f(x),= que tem como domínio o intervalo 
{x : 2 x 3} −   e que se anula somente em x 3 2= − e x 1,= 
como se vê nesta figura: 
 
 
Assim sendo, para quais valores reais de x se tem 0 f(x) 1?  
a) {x : 3 2 x 1} {x :1 2 x 1} {x :1 x 2} −  −         
b) {x : 2 x 3 2} {x : 1 x 1 2} {x : 2 x 3} −   −   −       
c) {x : 3 2 x 1} {x :1 2 x 2} −   −     
d) {x : 3 2 x 1} {x :1 2 x 2} −   −     
 
45. (Unesp) Uma função de variável real satisfaz a condição 
f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x. 
Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de 
a) f(1). 
b) f(5). 
 
46. (Ufrj) A figura adiante representa o gráfico de uma certa função polinomial 
f:R→ R, que é decrescente em [-2, 2] e crescente em ]-∞, -2] e em [2, +∞[. 
 
Determine todos os números reais c para os quais a equação f(x)=c admite 
uma única solução. Justifique. 
 
47. (Uerj) Considere a função f: 
 
a) Determine suas raízes. 
 
b) Calcule 
( ) ( )f 1 f 1
2
 + − 
. 
 
48. (Ufrj) Dada a função f: IR → IR definida por: 
3f(x) x 4x se x 1,
f(x) 2x 5 se x 1
 = − 


 = − 

 
determine os zeros de f. 
49. (Uerj) Uma panela, contendo um bloco de gelo a -40°C, é colocada sobre 
a chama de um fogão. 
A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo x, em 
minutos, é descrita pela seguinte função real: 
 
T(x) = 20x - 40 se 0 ≤ x < 2 
T(x) = 0 se 2 ≤ x ≤ 10 
T(x) = 10x - 100 se 10 < x ≤ 20 
T(x) = 100 se 20 < x ≤ 40 
 
O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50°C, em minutos, 
equivale a: 
a) 4,5 
b) 9,0 
c) 15,0 
d) 30,0 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Considere a função real f: A→ , onde denota o conjunto dos números 
reais, cujo gráfico é apresentado a seguir, sendo o eixo das ordenadas e a 
reta de equação y=3, assíntotas da curva que representa f.x→ y = f(x) 
 
 
50. (Unirio) 
 
Esboce o gráfico da função g: B → R x → y = f(x - 2) - 4 
 
51. (Uerj) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu 
respectivo gráfico. 
 
Se a e b são dois números positivos (a<b), a área do retângulo de vértices 
(a,0), (b,0) e (b,f(b)) é igual a 0,2. 
Calcule a área do retângulo de vértices (3a,0), (3b,0) e (3b,f(3b)). 
 
52. (Unesp) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a 
área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada 
por: 
 
onde p é a massa da pessoa em quilogramas. 
Considere uma criança de 8kg. Determine: 
 
a) a área da superfície corporal da criança; 
 
b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal 
duplicar. 
(Use a aproximação 2 = 1,4.) 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
53. (Uff) O gráfico da função f está representado na figura: 
 
Sobre a função f é FALSO afirmar que: 
a) f(1) + f(2) = f(3) b) f(2) = f(7) c) f(3) = 3f(1) 
d) f(4) - f(3) = f(1) e) f(2) + f(3) = f(5) 
 
54. (Ufrrj) Considere a função real f, para a qual f(x+1)-f(x)=2x, ∀x∈IR. 
Determine o valor de 
f(7)-f(3). 
 
55. (Ufrrj) No gráfico a seguir, a imagem do intervalo [-1,2) é 
 
a) ( 
1
, 1 2, 1 .
2
 
 −
 
 b)  )
1
, 1 2, 1 .
2
 
 − 
 
 c) ( )
1
, 1 1, 2 .
2
 
−  
 
 
d) ( )
1
1, 1, 2 .
2
 
−  
 
 e)  
1
1, 1, 2 .
2
 
−  
 
 
 
56. (Uff) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com 
imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir: 
 
Pode-se afirmar que: 
a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. 
b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. 
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. 
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. 
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva. 
 
57. (Ufsc) Considere as funções f, g: → tais que g(x) = 2x + 1 e 
g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7) 
 
58. (Ufpe) A função f : IR → IR é tal que f(x + y) = f(x) + f(y), para todo x e y. 
Calcule f(0) + 1. 
 
59. (Enem 2015) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de 
telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam até 500 ligações ao 
mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes 
que fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 
ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir 
da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será 
cobrado um valor fixo mensal de R$ 32,00. 
 
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a 
relação entre o valor mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas 
é: 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
60. (Enem 2014) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista 
projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma 
ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos 
de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa 
escultura. 
 
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, 
com vazão constante. 
 
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do 
tempo (t) decorrido é 
a) b) c) 
d) e) 
 
Gabarito: 1: [E] 2: [D] 3: [B] 4: [A] 5: [D] 6: [A] 7: [C] 8: [A] 9: [B] 10: [D] 
 
11: [C] 12: [A] 13: [C] 14: [A] 15: [C] 16: [B] 17: [C] 18: [E] 19: [B] 20: [B] 
 
21: [C] 22: [E] 23: [D] 24: [C] 25: [D] 26: [C] 27: [C] 28: [A] 29: [B] 30: [B] 
 
31: [A] 32: [D] 33: [E] 34: [D] 35: [D] 36: [C] 37: [D] 38: [B] 39: [D] 40: [A] 
 
41: [C] 42: a) As funções pares são I e III, pois f(-a) = f(a) para qualquer a real. 
As funções ímpares são IV e V, pois f(-a) = - f(a) para qualquer a. 
b) função y = x2 é par e a função y = x é ímpar. 
 
43: [A] 44: [A] 45: a) f(1) = 2 b) f(5) = 14 46: c>2 ou c<-6. 
47: 0 e 3 3 b) 8 48: - 2, 0 e 5/2 49: [C] 
50: O gráfico para g(x) = f(x-2) - 4 é: 
 
51: 0,2 52: a) 0,44m2 b) 22,4kg 53: [E] 54: f(7) - f(3) = 36 55: [D] 
 
56: [A] 57: 56 58: 1 59: [B] 60: [D] 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [E] 
 
Tem-se que 
g(x) f(f(x))
2x 1
f
x 2
2x 1
2 1
x 2
2x 1
2
x 2
5x
5
x.
=
+ 
=  
− 
+
 +
−=
+
−
−
=
=
 
 
Resposta da questão 2: [D] 
 
No gráfico da alternativa [D], tem-se f(1) f(5) 4= = − e f(x) 0, para 
todo x . Já no gráfico da alternativa [A], temos f(1) f(5); e nos 
gráficos das alternativas [B], [C] e [E] temos f(x) 0 para pelo menos um 
valor real de x. 
 
Resposta da questão 3: [B] 
 
Para que ( )h x assuma valores negativos, devemos ter: 
( )f x 0 e ( )g x 0 ou ( )f x 0 e ( )g x 0 
 
 
 
Repare que ( )h x 0 nos intervalos em destaque, logo, 
x 3 − ou 1 x 6−   ou x 8 
 
Então, 
     , 3 1,6 8,− −  −  + 
 
Resposta da questão 4: [A] 
 
Do enunciado, temos: 
( )C P 0,2P 1= − e ( ) 2P t 50 0,05t ,= + logo, 
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
C t 0,2 50 0,05t 1
C t 10 0,01t 1
C t 9 0,01t
=  + −
= + −
= +
 
 
Resposta da questão 5: [D] 
 
A inversa de y 2x 1= − é x 2y 1,= − ou seja, 
x 1
y
2
+
= 
 
A inversa de y 1 2x= − é x 1 2y,= − ou seja, 
1 x
y
2
−
= 
Assim, os dois pares de funções inversas são: 
[A] y 2x 1= − e [C]x 1
y
2
+
= 
[B] 
1 x
y
2
−
= e [E] y 1 2x= − 
 
Portanto, a função que não pertence a nenhum dos pares citados é a que 
aparece na alternativa [D]. 
 
Resposta da questão 6: [A] 
 
Calculando: 
1
g(f(x)) 3 (2x 1) 2 2x
2 x
g (f(x)) x 2 2x y
2
−
= − + = −
−
 = −  =
 
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
Seja a função g: ,→ dada por g f(x 2).= − O gráfico da função g 
corresponde ao gráfico da função f deslocado de duas unidades no sentido 
positivo do eixo das abscissas. Logo, as raízes de g são 0, 4 e 5. 
Portanto, com relação às raízes de g, podemos afirmar que a maior é 5, a 
menor é 0, sua soma é 9, seu produto é zero e nenhuma delas é 2. 
 
Resposta da questão 8: [A] 
 
[1] Verdadeira. Com efeito, pois para quaisquer 1 2x , x (4, 6), com 
1 2x x , tem-se 1 2f(x ) f(x ). 
 
[2] Verdadeira. Vamos supor que o domínio de f seja o conjunto dos 
números reais. Logo, desde que, para todo elemento x do domínio de 
f, se verifica f(x) f(1), podemos concluir que f tem um ponto de 
máximo em x 1.= 
 
[3] Falsa. Basta observar que f possui mais de uma raiz real. 
 
[4] Falsa. O gráfico de f corta o eixo das abscissas em quatro pontos. Logo, 
f possui no mínimo quatro raízes reais e, portanto, não pode ser uma função 
polinomial de terceiro grau. 
 
Resposta da questão 9: [B] 
 
Calculando: 
Das intersecções do gráfico, tem-se: 
f(x) a(x 2)(x 1)(x 3)= − + + 
se a 1:= 
f '(0) (0 2)(0 1)(0 3) 6= − + + = −  intersecção em ( )6, 0− 
mas a intersecção é ( ) 12, 0 a 3−  = 
1
f(x) (x 2)(x 1)(x 3)
3
1 5
a b c d 2 1 3
3 3
= − + +
+ + + = + − − = −
 
 
Resposta da questão 10: [D] 
[A] Falsa. Observando o gráfico notamos que f(3) f(1). 
[B] Falsa. Observando o gráfico notamos que 3 f(2) 4,  logo 
f(f(2)) 2. 
[C] Falsa. O limite máximo do conjunto imagem é maior que 6. 
[D] Verdadeira. 
[E] Falsa. O conjunto { 4 x 8 | f(x) 1,2}−   = − tem exatamente 3 
elementos. 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
Resposta da questão 11: [C] 
 
O gráfico da função g, dada por g(x) f ) (x 3 ,= − corresponde ao gráfico 
de y f(x)= deslocado de três unidades no sentido positivo do eixo das 
abscissas. Ademais, o gráfico da função h, dada por h(x) 3g(x),= 
corresponde ao gráfico de g dilatado verticalmente por um fator igual a 3. 
 
Portanto, o gráfico da alternativa [C] é o que melhor representa a função h. 
 
Resposta da questão 12: [A] 
 
Sabendo que cada menina do conjunto A está associada a um menino 
diferente do conjunto B, podemos afirmar que f é injetiva. 
Por outro lado, como existe um menino no conjunto B que não formará par 
com nenhuma menina do conjunto A, podemos concluir que f não é 
sobrejetiva e, portanto, também não é bijetiva. 
 
Resposta da questão 13: [C] 
 
Calculando: 
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2
2
22 2
2
2 2 2
2
x 1
f x 1
x
f g(x) x 1
x 1
g(x)
x
x 1
g(x) sen x 1 x sen x x sen 1 x 1 sen 1
x
1 1
x
1 sen cos
1 x 1
quando x f g(x) f f sen
xcos
1 1 cos sen sen
f sen 1
coscos cos cos
f sen
θ θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θθ θ θ
− 
= − 
 
= −
−
=
−
= =  − =   −  =   − =
= =
−
− 
=  = = 
 
−  
= − = = =  
 
( ) 2tgθ θ=
 
 
Resposta da questão 14: [A] 
 
Calculando: 
2
f x 3 x 1
3
2
x 3 1 x 3
3
2
f x 3 f(3) 3 1 f( 1) 4
3
 
− = + 
 
 
− = −  = 
 
 
− = = +  − = 
 
 
 
Resposta da questão 15: [C] 
 
Queremos calcular f(g(2)). Assim, como 2g(2) (2 1) 1,= − = segue que 
1f(g(2)) 2 2.= = 
 
Resposta da questão 16: [B] 
 
( )
1
2
2
1
2
f(g(2)) f 1 log 2 f(1 1) f(0) 4
g(f(2)) g 2 4 g(8) 1 log 8 1 3 2
h(2) 3 f(g(2)) 2 g(f(2)) 3 4 2 ( 2) h(2) 8
 
 = + = − = =
 
 
= + = = + = − = −
=  +  =  +  − → =
 
 
Resposta da questão 17: [C] 
 
Se 
2x 3
f(x) ,
4x 1
+
=
+
 então 
 
2x 3
y 4xy y 2x 3
4x 1
x(4y 2) y 3
y 3
x .
4y 2
+
=  + = +
+
 − = − +
−
 =
− +
 
 
Portanto, temos 
x 3
g(x)
4x 2
−
=
− +
 e, assim, desde que 
1 3 4 2 ( 1) (4),− − + = −  podemos afirmar que a soma a b c d+ + + é 
um número inteiro múltiplo de 4. 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
Lembrando que é possível definir tantas funções quanto queiramos por meio 
da lei 
2x 1
f(x) ,
x 1
−
=
+
 vamos supor que o domínio de f seja o conjunto dos 
números reais x, tal que x { 1}. − − Assim, temos 
2x 1
y yx y 2x 1
x 1
x(y 2) (y 1)
y 1
x .
2 y
−
=  + = −
+
 − = − +
+
 =
−
 
 
Portanto, sendo 
1 x 1f (x)
2 x
− +=
−
 a lei da inversa de f, podemos afirmar 
que a imagem de f é o conjunto dos números reais y tal que 
y {2}. − 
 
Resposta da questão 19: [B] 
 
Impondo f(x) 2,= − temos 
5 9
2 2x 4 5 x .
2 x 2
− =  − =  =
−
 
 
Portanto, segue que 
1 9f ( 2) .
2
− − = 
 
Resposta da questão 20: [B] 
 
Calculando: 
x 0
(0 1) (0 ) (0)
(1 1) (1 ) (1) (0) (1) (1
0 f 3 f 3 f(0) 1
x 1
1 f 3 f 3 f 2 f f ) 13
 = − + → =
=
 = − + → = − + →
=
− 
−   =
 
 
Resposta da questão 21: [C] 
 
Calculando: 
( )
( )
( ) ( ) ( )
3
3
x3
3
x x
3 xx 3 3 2
f(g(x)) f(x ) 3
g(f(x)) g(3 ) 3
x ' 0
3 3 x 3x x 3x 0 x x 3 0 x '' 3
x ''' 3
= =
= =
=
= → = → − = →  − = → =
= −
 
 
Resposta da questão 22: [E] 
 
Seja i a função i : ,+ +→ em que i é o valor do imposto devido 
relativo à base de cálculo b. Tem-se que 
 
 
 
 
 11 
 
 
 
0; se b 16473,72
i 0,15(x 16473,72); se 16473,72 b 32919
2466,79 0,275(x 32919); se b 32919
0; se b 16473,72
0,15x 2471,06; se 16473,72 b 32919
0,275x 6585,94; se b 32919


= −  
 + − 


 −  
 − 
 
 
Portanto, não havendo pontos de descontinuidade no gráfico de i e sendo 
0,275 0,15 podemos concluir que a resposta é o gráfico V. 
 
Resposta da questão 23: [D] 
 
Tem-se que f(4) 2 4a b 2.=  + = Além disso, como f(3) 3a b= + 
e f(5) 5a b,= + vem 
 
f(3) f(5) 3a b 5a b 2(4a b) 2 2 4.+ = + + + = + =  = 
 
Portanto, segue que f(f(3) f(5)) f(4) 2.+ = = 
 
Resposta da questão 24: [C] 
 
f(2x 1) 4x 12
w 1
2x 1 w x
2
w 1
f(w) 4 12 f(w) 2w 10 f(x) 2x 10
2
g(x 2) 2x 1
x 2 z x z 2
g(z) 2 (z 2) 1 g(z) 2z 5 g(x) 2x 5
f(g(x)) 2
1
f(2x 5) 2 2 (2x 5) 10 2 4x 2 x
2
+ = +
−
+ = → =
−
=  + → = + → = +
+ = −
+ = → = −
=  − − → = − → = −
=
− = →  − + = → = → =
 
 
Logo, x é um número fracionário. 
 
Resposta da questão 25: [D] 
 
Determinando a função inversa da função 
3x 1
f(x) ,
2
+
= temos: 
( )
3
1
3
1 1 3
f x 1
x f (x) 2x 1 f (x) 2x 1
2
−
− −
  +
   =  = −  = −
 
 
 
Resposta da questão 26: [C] 
 
Lembrando que o gráfico de uma função e o de sua inversa são simétricos em 
relação à reta y x,= segue-se que o gráfico de 
1y f (x)−= é o da 
alternativa [C]. 
 
Resposta da questão 27: [C] 
 
De acordo com as informações, tem-se que o gráfico do comportamento da 
eficácia do medicamento passa pelos pontos 
(0; 0), (1;100), (3;100), (6; 20), (6,5;100), (10;100) e 
(12; 20). Portanto, como o gráfico da variação da eficácia corresponde a 
uma curva contínua, só pode ser o da alternativa [C]. 
 
 
Resposta da questão 28: [A] 
 
Observando os gráficos das funções, temos: 
g(f(2)) f(g(0)) g(0) f( 2) 2 0 2.+ = + − = − + = − 
 
 
Resposta da questão 29: [B] 
 
Verdadeiro, pois os zeros da função são 12,
3
− e 3. A multiplicação dos 
zeros é igual a 2.− 
Falso, pois não é possível saber o valor mínimo da função. 
Verdadeiro, pois a função corta o eixo y num valor maior que zero. 
 
Resposta da questão 30: [B] 
 
Supondo f, g, h : ,→ tais que g(x) f(x 1)= − e h 2g(x),= 
segue-se que o gráfico de g é obtido a partir do gráfico de f, mediante uma 
translação horizontal de uma unidade no sentido positivo do eixo das 
abscissas. Além disso, o gráfico de h é obtido por meio de uma dilatação 
vertical do gráfico de g por um fator igual a 2. Portanto, o gráfico da função 
h é o da alternativa [B]. 
 
Resposta da questão 31: [A] 
 
Substituindo e desenvolvendoa expressão dada: 
f g(x) g f(x) f(g(x)) g(f(x))
f(g(x)) 2 (x k) 1 f(g(x)) 2x 2k 1
g(f(x)) 2x 1 k
2x 2k 1 2x 1 k
2k k
k 0
=  =
=  − +  = − +
= + −
− + = + −
− = −
=
 
 
Resposta da questão 32: [D] 
 
Considerando que não possui estoques, pode-se escrever: 
Lucro Vendas Custos L V C
C 6000 14x
V 54x
L 54x 6000 14x L 40x 6000
= − → = −
= +
=
= − − → = −
 
 
Se o lucro mensal dessa fábrica é de R$ 6.000,00, então ela produz 
atualmente: 
L 40x 6000
6000 40x 6000 12000 40x x 300 peças
= −
= − → = → =
 
 
Para triplicar o lucro atual, essa empresa terá que produzir: 
L 40x 6000
3 6000 40x 6000 24000 40x x 600 peças
= −
 = − → = → =
 
 
Portanto, para triplicar o lucro atual a fábrica deverá produzir e vender 
mensalmente o dobro do que produz e vende. 
 
Resposta da questão 33: [E] 
 
Sendo x o número de lugares vagos, pode-se deduzir que o número de 
lugares ocupados será 15 x.− Assim, a expressão que representa o valor 
arrecadado V(x) será: 
2
2
V(x) (15 x) 60 (15 x) 2 x
V(x) 900 60x 30x 2x
V(x) 900 30x 2x
= −  + −  
= − + −
= − −
 
 
Resposta da questão 34: [D] 
 
Do gráfico, sabemos que g(1) 0= e f(1) 1.= − Logo, como f(0) 1= e 
g( 1) 0,− = obtemos 
f(g(1)) g(f(1)) f(0) g( 1)
1 0
1.
− = − −
= −
=
 
 
 
 
 
 12 
 
 
 
Resposta da questão 35: [D] 
 
Determinando a função inversa de f, temos: 
 
( ) ( )
 
1
1 1 1 1 1
1
1
f (x) 5
x x f (x) 3 f (x) 5 x f (x) 3x f (x) 5 f (x) x 1 5 3x
f (x) 3
5 3x
f (x) com domínio x R/x 1
x 1
−
− − − − −
−
−
+
=   + = +   + = +   − = − 
+
−
=  
−
 
 
O contradomínio de uma função inversível é o domínio de sua inversa, 
portanto, 0y 1.= 
 
Resposta da questão 36: [C] 
 
 
 
Devemos observar no gráfico a região do plano em que as curvas estão em 
semiplanos opostos, determinados pelo eixo x. Isto garante que as funções 
possuem sinais contrários. 
Resposta:  x / 4 x 1ou 0 x 3 . −   −   
 
Resposta da questão 37: [D] 
 
Função (I): f(x + 4) 
Função (II): f(x – 4) 
Função (III): f(x) + 3 
Função (IV): – f(x) 
 
Portanto, a alternativa [D] é a correta. 
 
Resposta da questão 38: [B] 
 
Como f(x) 0 para todo  x 0, 4 e g(x) 0 para todo 
   x 0, 2 6, 7 ,  segue que f(x) g(x) 0  para todo  x 0, 2 . 
Além disso, como f(x) 0 para todo  x 4, 7 e g(x) 0 para todo 
 x 2, 6 , vem que f(x) g(x) 0  para todo  x 4, 6 . 
Portanto,    E x | 0 x 2 x | 4 x 6 .=        
 
Resposta da questão 39: [D] 
 
Fazendo t 2x 1,= + vem 
 
1 x 1x 2t 1 t (x) .
2
− −= +  = 
 
Logo, 
 
x 1 x 1
f 2 1 2 4 f(x) x 3.
2 2
− − 
 + =  +  = + 
 
 
 
Por outro lado, se u x 1,= + então 
 
1x u 1 u (x) x 1.−= +  = − 
 
Desse modo, 
 
g(x 1 1) 2 (x 1) 1 g(x) 2x 3.− + =  − −  = − 
 
Portanto, 
f g(x) f(g(x))
g(x) 3
2x 3 3
2x.
=
= +
= − +
=
 
 
Resposta da questão 40: [A] 
 
Como f(3) 2 3 1 7=  + = e g(3) 3 3 1 10,=  + = segue que 
 
f(g(3)) g(f(3)) f(10) g(7)
2 10 1 (3 7 1)
20 1 21 1
1.
− = −
=  + −  +
= + − −
= −
 
 
Resposta da questão 41: [C] 
 
O numerador é definido para todo x real tal que x 2 0 x 2.−    O 
denominador é definido para todo x real tal que 3 x 0 x 3.−    
Portanto, fD {x | 2 x 3}.=    
 
Resposta da questão 42: 
 a) As funções pares são I e III, pois f(-a) = f(a) para qualquer a real. As 
funções ímpares são IV e V, pois f(-a) = - f(a) para qualquer a. 
 
b) função y = x2 é par e a função y = x é ímpar. 
 
 
 
Resposta da questão 43: [A] 
 
Resposta da questão 44: [A] 
 
Resposta da questão 45: 
 a) f(1) = 2 
b) f(5) = 14 
 
Resposta da questão 46: 
 Para que a equação f(x)=c tenha uma única solução, a reta y=c deve 
interceptar o gráfico de f em um único ponto. Para que isso ocorra, esta reta 
deve passar acima do ponto (-2,2) ou abaixo do ponto(2, -6). Isto é, devemos 
ter c>2 ou c<-6. 
 
Resposta da questão 47: 
 a) Raízes = 0 e 3 3 
 
b) 8 
 
Resposta da questão 48: 
 Os zeros de f são: - 2, 0 e 
5
2
 
 
Resposta da questão 49: [C] 
 
Resposta da questão 50: 
 O gráfico para g(x) = f(x-2) - 4 é: 
 
Resposta da questão 51: 0,2 
 
Resposta da questão 52: 
 a) 0,44m2 
 
b) 22,4kg 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
Resposta da questão 53: [E] 
 
Resposta da questão 54: f(7) - f(3) = 36 
 
Resposta da questão 55: [D] 
 
Resposta da questão 56: [A] 
 
Resposta da questão 57: 56 
 
Resposta da questão 58: 1 
 
Resposta da questão 59: [B] 
 
Seja →f : a função que relaciona o valor mensal pago, f(x), com o 
número de ligações, x, efetuadas no mês. Tem-se que 
 
 

=  − +  
  
 

=  +  
  
12, se 0 x 100
f(x) 0,1 (x 100) 12, se 100 x 300
32, se 300 x 500
12, se 0 x 100
0,1 x 2, se 100 x 300.
32, se 300 x 500
 
 
Portanto, dentre os gráficos apresentados, só pode ser o da alternativa [B]. 
 
Resposta da questão 60: [D] 
 
A taxa de crescimento da altura no tronco de cone inferior aumenta com o 
tempo. Já no tronco de cone superior, a mesma taxa diminui com o tempo. 
Por outro lado, no cilindro, a taxa é constante. Assim, o gráfico que expressa a 
altura da água na escultura em função do tempo decorrido é o da alternativa 
[D].