lista a2 calculo1- Prof: Rômulo Silva

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios Aplicados Cálculo I - Integrais Prof: Romulo Brito
Miscelânea de Integrais
1) Nos problemas a seguir, usando as propriedades de ln, determine a subs-
tituição w e as constantes k, n tais que a integral possua a forma,∫
kwn ln(w)dw.
a)
∫
(2x+ 1)3 ln(2x+ 1)dx.
b)
∫
(2x+ 1)3 ln(
1√
2x+ 1
)dx.
2) Com o tempo t em anos desde 2000, a população, P , do mundo em bilhões
pode ser modelada por P = 6.1e0.0012t
a) O que esse modelo prevê para a população mundial em 2010? E em 2020?
b) Use o Teorema do Valor Médio para prever a media da população mundial
entre 2000 e 2010.
T.V.M para Integrais: Se e f é contínua em [a, b], então existe c ∈ [a, b] tal que
f(c) = 1(b−a)
∫ b
a
f(x)dx, onde .
3) Uma corrente elétrica, I(t), fluindo para fora de um capacitor, decai de
acordo com I(t) = I0e−t, onde t é o tempo. Determine a carga Q(t), remanes-
cente no capacitor no tempo t. A carga inicial é Q0 e Q(t) é relacionado com
I(t) por
Q′(t) = −I(t).
4) Durante o surgimento de uma demanda por eletricidade, a taxa r, com a
qual a energia é usada pode ser aproximada por
r = te−at,
onde t é o tempo em horas e a é uma constante positiva.
1
a) Determine a energia total E, usada nas primeiras T horas. Forneça sua
reposta em função de a.
b) O que ocorre quando T →∞?
5) Determine a área da região limitada por y = 4x + 3, y = 6 − x − 2x2,
x = −4 e x = 2.
6) Determine o comprimento de arco da função f(x) = ln(x) com x ∈
[
√
3,
√
8] , onde a fórmula do comprimento de arco é dada por: s =
∫ b
a
√
1 + (f ′(x))2
7)Quando uma força de magnitude F (x) desloca um corpo de massa m ao
longo de x de x1 até x2, a velocidade v do corpo pode ser escrita como dxdt . Use
a segunda Lei de Newton F = mdvdt e a regra da cadeia
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
= v
dv
dx
para mostrar que o trabalho resultante realizado pela força para movimentar o
corpo de x1 até x2 é:
W =
∫ x2
x1
F (x)dx =
mv22
2
− mv
2
1
2
8) A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura
T (t) de um corpo em resfriamento e proporcional à diferença entre a temperatura
atual do corpo T (t) e a temperatura constante do meio ambiente Tm, ou seja,
a temperatura do corpo, T (t) é a solução do problema de valor inicial,{
dT
dt
= k(Tm − T )
T (0) = T0
Suponha que um café esteja a 90oC logo depois de coado e, um minuto depois,
passa para 85o C, em uma cozinha a 25o C. Determine a temperatura do café
em função do tempo e o tempo que levará para o café chegar a 60o C.
9) Muitas reações químicas são o resultado da interação de duas moléculas
que sofrem uma modificação para formar um novo produto. A velocidade de
reação depende em geral da concentração dos dois tipos de moléculas. Se a é
a quantidade da substância A e b é a quantidade da substância B no tempo
t = 0, sendo x a quantidade do produto no momento t, então a velocidade de
formação de x pode ser dada pela equação diferencial
dx
dt
= k(a− x)(b− x)
ou
1
(a− x)(b− x)
dx
dt
= k
2
onde k é uma constante de reação. Integre os dois lados dessa equação para
obter uma relação entre x e t se:
a )(1pt) a = b
b )(1pt) a 6= b
Considere em ambos os casos que x = 0 quando t = 0.
10) Um boato é espalhado em uma escola. Para 0 < a < 1 e b > 0, o tempo
t com a qual uma fração p da população da escola ouviu o boato é dado por,
t(p) =
∫ p
a
b
x(1− x)dx.
a) Avalie a integral para achar uma fórmula explícita para t(p). Escreva sua
resposta de modo que ela possua apenas um termo ln.
b) No tempo t = 0 um porcento da população da escola (p = 0.01) ouviu o
boato. Quem é a?
c) No tempo t = 1 metade da população da escola (p = 0.5) ouviu o boato.
Quem é b?
d) Em que tempo 90% da população da escola ouviu o boato?
11) A função geradora de momento, m(t), que nos fornece uma informação
útil sobre a estatística da distribuição normal, é definida por
m(t) =
∫ ∞
−∞
etx
e−x
2/2
√
2pi
dx.
Determine uma fórmula para m(t). [Dica: Complete quadrados e use o fato que∫∞
−∞ e
−x2/2dx =
√
2pi.]
12) Se assumirmos que a resistência do ar é proporcional a velocidade, en-
tão a velocidade direcionada para baixo, v, de um corpo de massa m caindo
verticalmente é dado por
v =
mg
k
(1− e−kt/m),
onde g é a aceleração devido a gravidade e k é uma constante. Determine a
altura, h, acima da superfície da terra como uma função do tempo. Assuma que
o corpo começa a queda a uma altura h0.
13) A concentração, C, em ng/ml, de uma droga no sangue como função
do tempo, t, em horas desdo momento em que ela foi administrada é dada por
3
C = 15te−0.2t. A área abaixo da curva de concentração mede o efeito total da
droga no corpo, chamada de biodisponibilidade. Determine a biodisponibilidade
da droga entre t = 0 e t = 3.
14) Determine a solução do problema de valor inicial:
a) y′ = 2(25− y), y(0) = 40;
b) y′ = tan(x) + 1, y(0) = 1;
c) y′ = 1/(1 + t2);
d) suponha que y′ = ky, y(0) = 2, e y′(0) = 3. Determine y.
15) Determine a área:
a) da elipse 4x2 + y2 = 9.
b) do círculo x2 + y2 = r2.
16) A Lei de ação das massas nos diz que o tempo T , que uma reação
química leva para produzir uma quantidade x0 de um produto (em moléculas)
é dado por
T =
∫ x0
0
kdx
(a− x)(b− x)
onde a e b são as quantidades iniciais de dois ingredientes usados para a produ-
ção, e k é uma constante positiva. Suponha que 0 < a < b.
a) (1pt) Determine o tempo que leva para produzir uma quantidade x0 = a2
de um produto.
b) (1pt) O que acontece com T quando x0 → a?.
17) Suponha que um objeto está sob a influência de uma força constante F .
Determine v(t) e s(t). Dica: Use a segunda Lei de Newton F = ma e o fato∫ t
t0
v(u)du = s(t)− s(t0).
4