Física 3 / Porf. Mozart PUC minas

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PUC Minas BH – Notas 1 para: Ensino de Física – Elétrica, Mecânica e Metalúrgica.
Fazer todas as questões e apresentar as soluções ao professor. Atualizado em13/02/2016
1) Escreva a equação que define campo elétrico em um ponto e dê as unidades das grandezas da equação. Explique o significado completo de cada termo da equação. 
2) Use a lei de Coulomb e a definição de campo elétrico para calcular o valor do campo elétrico criado por uma carga puntiforme 
 como função do meio e da distância à carga. Antes de começar represente ou defina quais grandezas surgirão nas equações. Veja qual modo lhe é mais conveniente: usando-se uma descrição ou uma figura. Tais definições têm de ser feitas, pois as equações não se aplicam se nada existir na região do espaço onde estão sendo aplicadas.
3) Considere um quadrado de lado 
 com dois vértices (diagonais) vazios e dois outros contendo uma carga 
 cada um. Mostre que o campo total criado pelas duas cargas em qualquer dos dois vértices vazios vale 
 e tem a direção da diagonal do quadrado. Utilize-se de um desenho como auxílio.
4) É possível distribuir três cargas elétricas sobre os quatro vértices de um quadrado de modo que o campo elétrico total, criado pelas três cargas, sobre o vértice vazio, seja nulo? Se verdadeiro que relações devem existir entre estas três cargas? Resp. duas cargas q tem mesmo módulo e sinal. A terceira vale 
e de sinal oposto. 
 
5) Considere um campo elétrico uniforme 
 volts/metro e um dipolo elétrico, de momento de dipolo 
 coulomb.metro, mergulhado neste campo. Calcule o torque, a energia potencial elétrica do dipolo e o ângulo entre 
 e 
 que satisfaz as condições dadas. Use calculadora só no ângulo.
6) Seja 
 volts/metro e um dipolo elétrico, de momento de dipolo 
 coulomb.metro, mergulhado neste campo. Sabe-se que a energia potencial elétrica do dipolo vale 
 e que o módulo do torque é 
. Sem usar calculadora, calcule o valor da componente 
, a tangente e o seno do menor ângulo entre 
 e 
 que satisfaz as condições dadas. Resp. 
 V/m ; 
; 3/5. 
7) De um modo geral qualquer grandeza física pode variar tanto temporalmente quanto espacialmente. Suponha um campo elétrico dado por 
. (a) A componente 
 deste campo depende da coordenada espacial z ? E do tempo t ? (b) A componente 
 deste campo depende da coordenada y ? Ela é dependente de que ? (c) Escreva o vetor campo elétrico 
 para o ponto (1;0;0) metros no instante 
segundo. 
 Resp. (a) não; também não. (b) não; da coordenada x e do tempo t. (c) 
8) Defina quantitativamente fluxo elétrico (equação, unidades e significado das grandezas). Como o fluxo elétrico está relacionado à lei de Gauss? Escreva a expressão matemática para a lei de Gauss e explique o significado de cada uma dos dois membros da equação correspondente. 
9) O que significa a carga elétrica 
 na lei de Gauss?
 Resposta: é a carga elétrica total que se encontra dentro da superfície gaussiana, levando em conta seu sinal. (decorar isto).
10) O fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica que se encontra dentro desta superfície. É o que diz a lei de Gauss. Se não existe carga dentro da superfície gaussiana então significa que não há fluxo nem entrando e nem saindo da superfície? Explique. 
11) A equação seguinte é a expressão matemática da lei de Gauss para a eletrostática: 
. 
Ao realizar a integral sobre a superfície gaussiana 
 temos de levar em conta o vetor campo elétrico em cada ponto desta superfície. O vetor campo elétrico que aparece nesta equação é o campo total sobre cada ponto da superfície ou é apenas o campo criado pela carga interna 
indicada na mesma equação? 
 Resp. É o campo total tomado em cada ponto; campo este criado por todas as cargas tanto internas quanto externas à superfície fechada.
12) Os campos criados pelas cargas externas à superfície gaussiana são levados em conta no cálculo do fluxo total que atravessa a superfície gaussiana. No entanto, a parcela de fluxo total criado pelas cargas externas (apenas por estas), quando integrado sobre toda a superfície fechada dá sempre o valor zero. Por que então levar em conta o campo criado pelas cargas externas à superfície gaussiana ao se calcular o fluxo total através dela? Explique em detalhes.
 Resp. Cada carga elétrica interage com todas as demais cargas elétricas. Não importa se parte das cargas esteja fora ou dentro da superfície gaussiana desenhada pelo calculista. Em cada ponto do espaço existe um único campo total criado por todas as cargas (quer estas estejam dentro ou fora da superfície gaussiana escolhida). Não existem dois ou mais campos elétricos em um só ponto do espaço. Ele pode ser composto naquele ponto pela superposição de vários campos, mas seu valor naquele ponto é único. 
Sugestão: Desenhe o campo de uma única carga contida no centro de uma superfície gaussiana esférica. Agora desenhe o campo de um dipolo elétrico mantendo a primeira carga e a superfície gaussiana original. Veja que o campo total mudou seu valor e sua direção em cada ponto da superfície gaussiana original.
13) (a) Represente, usando linhas de força, a configuração do campo elétrico para: uma carga puntiforme, um dipolo elétrico, um capacitor plano carregado, um capacitor cilíndrico carregado, um plano de cargas. (b) Os efeitos de borda, quando presentes, podem ser desprezados nos cálculos. Discuta esta afirmação. 
 Rep. (b) Dependerá da precisão desejada e de serem relativamente grandes ou pequenos.
14) Use a lei de Gauss para resolver alguns problemas de sua escolha. Os obrigatórios são: calcular o valor do campo elétrico (a) entre as placas de um capacitor plano, (b) depois cilíndrico e (c) depois esférico. Ainda como obrigatório, (d) achar o valor do campo elétrico bem próximo da superfície externa de um condutor carregado e (e) mostrar que qualquer excesso de carga em um condutor localiza-se na superfície do condutor. Para todos os seis casos, definir os parâmetros dos capacitores e de outros dispositivos (áreas, volumes, comprimentos etc.). Ainda para todos os casos, fazer figuras contendo todos os elementos utilizados no cálculo (superfície gaussiana, vetor 
 em cada região da superfície, etc).
 Resp. (a)
 (b)
 (c)
 (d) 
Importante: Como escolher a superfície gaussiana adequada. A superfície gaussiana S adequada é aquela que simplifica os cálculos. Em cada sub-região 
 da superfície S tanto o valor do campo elétrico
quanto o ângulo entre 
e o vetor elemento de superfície
devem ser constantes (para que possam sair da integral). As sub-regiões 
 da superfície 
 que não puderem ser perpendiculares ao campo elétrico 
, em cada ponto, devem ser paralelas a ele. Dentro da superfície gaussiana 
 tem de ter carga elétrica. A superfície gaussiana deve passar necessariamente por pontos onde se deseja calcular o campo elétrico
. Explore a configuração do campo e a simetria do problema ao posicionar a superfície 
.
15) Defina, quantitativamente, diferença de potencial elétrico explicando o significado de cada termo que aparece na equação de definição, bem como suas respectivas unidades SI. 
 
16) (a) Escreva a equação que relaciona o valor do campo elétrico e o potencial elétrico no caso unidi-mensional. (b) Faça o mesmo para o caso tridimensional. Resp. (a)
 (b) 
.
 
17) O potencial 
criado por uma carga puntiforme 
 é dado por 
. Nesta equação 
é a distância entre a carga e o ponto onde se avalia o potencial. Usando a relação do problema anterior, calcule o valor do campo elétrico
 criado por esta carga Q. Resp. 
 (Veja também problemas 34, 3 25 e 26)
18) O campo criado por uma carga puntiforme, a uma distância 
da carga, tem o valor 
.
Usando novamente a relação do problema 16, encontre o potencial 
. Suponha 
 (Veja também problemas 34; 32; 25; 25 e 33, nesta ordem) Resp. 
19) Seja 
 a separação entre as cargas de um dipolo. Coloque a origem do eixo 
 no centro do dipolo e passando por uma das cargas. Partindo da relação 
 (a) calcule o potencial 
 para 
 (isto é fora da cargas) e, depois, para 
. (b) Em seguida encontre o campo elétrico 
 através da equação encontrada para 
. (c) Agora supondo 
 encontre 
 aproximado e, deste 
aproximado, encontre 
aproximado. (d) Comparando estes campos, aqui obtidos indiretamente através do potencial, com os obtidos diretamente em uma aula bem anterior, o que se conclui? 
 Resp. (d) Que caminhos ou ferramentas diferentes para se encontrar o campo levam ao mesmo resultado.
20) Três cargas idênticas, duas positivas e uma negativa encontram-se sobre um eixo 
 Uma positiva está na origem do eixo e as duas outras em 
 e 
. Calcule o valor do campo 
 para 
, indiretamente, ou seja, ache 
, aproxime-o e depois derive (encontre) o campo partindo deste 
 aproximado. 
 
21) Considere um anel, de raio
, com uma carga 
 uniformemente distribuída sobre o anel. Oriente um eixo 
 perpendicular ao plano do anel e com origem no centro do anel. (a) Calcule, sem aproximações, o potencial 
 criado pelo anel de carga. (b) Partindo de 
 exato, ache 
 aproximado, supondo 
. (c) Agora encontre o campo aproximado usando o valor de 
 aproximado. Você também poderia achar o campo exato, usando 
 exato e depois aproximar o campo exato achado. Os resultados obtidos para o campo aproximado, usando os dois caminhos diferentes, seriam os mesmos? Verifique. 
 Resp. (a) 
 (b) 
Pista: Neste caso temos uma infinidade de elementos de carga 
 sobre o anel. Portando o somatório de potenciais dos problemas 19 e 20 torna-se, aqui, uma integral, isto é: 
. Nos problemas 19 e 20 
 era variável; aqui 
 tem a vantagem de ser constante. A variável aqui é a carga Q. Temos de somar infinitos elementos 
, todos eles possuindo o mesmo 
 ( felizmente). 
22) (a) Defina, quantitativamente, capacitância de um capacitor. (b) Use a relação 
 para calcular a ddp entre as armaduras (placas) de um capacitor plano, depois cilíndrico e depois esférico. O campo elétrico de cada capacitor já foi calculado no problema 14. Basta usá-los. (c) Finalmente, calcule a capacitância de cada um dos capacitores citados. 
 Resp. (b) 
; 
; 
 (c); 
 ; 
; 
23) Um capacitor plano está, inicialmente, ligado diretamente aos terminais de uma bateria. Explique o que acontece com cada uma das seguintes grandezas: 
 (aumenta tantas vezes, ou diminui tantas vezes, ou permanece constante) quando preenchemos com Silicone 
 o espaço entre as placas, antes contendo ar, para os seguintes casos: 
O preenchimento é feito com o capacitor mantido ligado à bateria. 
O capacitor é desligado da bateria e, só após isto, fazemos o preenchimento. 
24) (a) O que são cargas de polarização? (b) Usando a relação 
 calcule a carga de polarização que surge no vácuo sabendo-se que sua constante dielétrica vale
. (c) Deduza a relação 
. Mostre que ela é geral: para tanto comece com um capacitor plano, depois cilíndrico e depois esférico. Para o vácuo, os valores do campo elétrico
 já estão calculados no problema 13. Para os dielétricos, veja que ao invés de 
 aparecerá sempre 
 na expressão do campo 
. (Sugestão de Daniel S.Braga.-Eng. Mecânica -1º/2011).
25) Considere o potencial 
. Calcule o campo elétrico 
. Encontre a carga elétrica contida numa região cúbica de aresta 
. O cubo tem origem em 
 e término em 
 Resp. 
; 
Pista: volte e refaça os problemas de 9 a 14.
26) Considere o campo elétrico 
. As componentes 
e 
 são nulas. Imagine um paralelepípedo com duas de suas faces perpendiculares a este campo. Seja 
 a área de qualquer uma destas duas faces. O paralelepípedo vai de 
 até 
. Calcule o potencial 
e a carga elétrica que se encontra dentro deste paralelepípedo. Resp. 
; 
Problemas um pouco mais avançados
27) A densidade de energia 
 entre as placas de um capacitor carregado é dada por 
. Nestas equações 
 é o valor do campo elétrico, 
 a constante dielétrica do material isolante que preenche o capacitor, 
a constante de permissividade elétrica do vácuo, 
a energia total do capacitor e 
 o volume onde a energia se encontra. A energia total 
pode ser integrada da segunda equação, sobre o volume 
, ou calculada diretamente através de uma das três modalidades oferecidas pela equação seguinte: 
. (a) Usando então as duas primeiras equações para 
, deduza a equação da energia total 
armazenada no capacitor, como função da carga 
armazenada no capacitor e da tensão 
aplicada a ele, ou seja, mostre que 
.
28) Um capacitor de placas paralelas, de área 
 e separação 
 é carregado, por meio de uma bateria, até a diferença de potencial 
. A bateria é, então, retirada e um bloco dielétrico de espessura 
 é introduzido no capacitor. (a) Calcule o valor da energia armazenada, antes e depois da introdução do dielétrico, e explique a razão da diferença. (b) Mostre que quando se inicia o processo de substituição do dielétrico do capacitor (antes contendo ar entre as placas) o bloco dielétrico (
), é puxado com força, para dentro do capacitor e que; no processo inverso, temos que puxar o bloco dielétrico, com força para fora, para podermos retirá-lo do capacitor. Pista: use a lei de conservação da energia para explicar a o item (b). (Adaptado de Halliday-Resnick, volume 3, 4ª edição, p.101). Resp. (a) 
 e 
.
29) Preencha um capacitor plano com dois blocos dielétricos idênticos em volume, porem de materiais diferentes. Há duas maneiras diferentes de se fazer isto. Numa delas o capacitor pode ser tratado como associação série e na outra como associação paralelo. (a) Calcule a nova capacitância do capacitor, assim preenchido, como função da área 
 do capacitor, da distância 
 que separa as placas e das constantes dielétricas 
 e 
dos dielétricos. Resp. 
 e 
.
30) Uma esfera condutora, isolada, de raio 
, colocada no vácuo, possui uma carga 
. (a) Calcule o valor da energia elétrica total acumulada no espaço que circunda a esfera. (b) Qual o raio 
de uma superfície esférica tal que metade da energia 
do item (a) está acumulada no seu interior? ( Retirado de Halliday - Resnick, volume 3, 4ª edição, p.98).
 31) Pesquise em um livro e faça uma tabela de 12 materiais que possuem constante dielétrica variando de 1 a 100. Qual o material dielétrico, conhecido hoje, que possui maior constante dielétrica. Qual o valor de sua constante dielétrica? O que é rigidez dielétrica e em que unidade ela é medida? Como se relacionam a constante dielétrica e a rigidez dielétrica dos isolantes? (Veja o próprio volume do Halliday – Resnick, p.99, citado anteriormente).
32) Considere o potencial bidimensional 
. (a) Encontre as componentes do campo elé-trico
 (b) Ache o campo elétrico 
 e 
. (c) Calcule o valor
. Resp. (c) 5
 
33) Em coordenadas esféricas, e para pontos distantes de um dipolo elétrico, o potencial criado pelo dipolo é dado por 
. Encontre o campo elétrico, nestas coordenadas, para pontos distantes do dipolo. 
Pista: use 
 onde 
 Resp. 
34) O campo elétricoentre as placas (armaduras) de um capacitor plano vale 
 As placas estão separadas pela distância de 
. Coloque um eixo ox com origem na armadura positiva. (a) Calcule o potencial 
quando associamos à placa positiva o potencial de 
 Neste caso qual o potencial 
 da placa negativa? (b) Agora aterre a placa negativa, ache o novo 
e o potencial da placa positiva.
 Resp. (a) 
com x em metros; 
 (b)
; 20 V
35) Encontre a relação 
 entre as tensões num capacitor, em um circuito RC série, quando no transitório a energia 
 no capacitor atingir a metade de sua energia máxima 
. Resp. 
36) Encontre o valor do campo elétrico sobre um eixo oy perpendicular ao eixo de um dipolo elétrico.
Cap. 27 - CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB
 Vamos iniciar nosso estudo observando a tabela do Apêndice F, de nosso livro texto (Halliday-Resnick). Dela, pode-se verificar que, das partículas que contém carga elétrica, apenas o próton e o elétron são estáveis. Todas as partículas conhecidas podem ser criadas ou aniquiladas através de processos de colisão, podendo desaparecer partícula e haver o nascimento de sua correspondente anti-partícula (partícula virtual), contribuindo dessa forma para a interação entre outras partículas. Aparentemente, isso resultaria num grande número de diferentes interações de partículas, mas felizmente, embora não saibamos o porquê, todas essas interações parecem recair em quatro categorias de forças de interação nitidamente diferentes:
 as interações fortes
 as interações eletromagnéticas
 as interações fracas
 as interações gravitacionais.
 A interação gravitacional age entre todas as partículas, mas é tão fraca que não pode ser detectada experimentalmente. Contudo, no mundo macroscópico, o grande número de partículas que constituem os corpos maciços combina suas interações gravitacionais de modo a produzir a força de gravidade que é a força que domina no Universo como um todo. As interações eletromagnéticas ocorrem entre todas as partículas carregadas (e não só entre próton e elétron), sendo responsáveis pelos processos químicos e pela formação de todas as estruturas atômicas e moleculares. Em nosso curso estamos interessados apenas nos resultados macroscópicos que envolvem as interações eletromagnéticas entre as partículas estáveis - próton e elétron - . 
 Entre qualquer par destas partículas conhecidas existe uma interação ou fraca ou forte. Estes dois tipos de interações têm um alcance muito curto. Entre prótons e neutrons está presente a interação forte. Tais interações fortes constituem a força nuclear. A energia de ligação entre um elétron e o núcleo se deve à interação eletromagnética e é da ordem de dez elétrons-volts apenas. Já a energia de ligação entre prótons e neutrons se deve à força nuclear - que para a pequena distância entre as partículas do núcleo corresponde a uma enorme quantidade relativa de energia - que é da ordem de dez milhões de elétrons-volts. Sem sombra de dúvida, a força nuclear é a mais poderosa força existente na natureza.
 De todas as partículas atualmente conhecidas, somente cinco ( e suas anti-partículas) não participam das interações fortes. Trata-se do fóton e dos quatro léptons.
 Vale a pena fazer uma leitura da tabela do Apêndice F. Todas as partículas até então conhecidas, e suas propriedades físicas, estão nela registradas. São essas partículas as constituintes dos átomos, das moléculas e de toda e qualquer substância existente no Universo.
 
Quantização e conservação da carga elétrica
 Na época de Benjamin Franklin, a carga elétrica era considerada como um fluido contínuo, uma idéia que foi útil para muitas aplicações. A teoria atômica da matéria, entretanto, mostrou que mesmo os fluidos, como a água e o ar, não são contínuos, mas sim formados de átomos. A experiência mostra que o “fluido elétrico” também não é contínuo, mas constituído de um múltiplo inteiro de uma certa quantidade mínima de carga elétrica. Esta carga fundamental, para a qual damos o símbolo e, vale 
. Qualquer quantidade de carga q, existente na natureza, não importando qual seja sua origem, pode ser escrita como ne, onde n é um número inteiro, positivo ou negativo. Portanto a carga elétrica é quantizada. Não se pode obter qualquer quantidade de carga que se deseja e sim múltiplos inteiros da carga elementar e. Em nosso curso lidamos com carga elétrica associada apenas ao próton e ao elétron (únicas partículas estáveis carregadas). O valor da carga elétrica do elétron é idêntico ao valor da carga do próton, porém suas naturezas são diferentes. Na equação 
 dizemos que n é o número de elétrons (em excesso ou em falta) no corpo eletricamente carregado. É importante salientar que a estrutura rígida de um corpo maciço se deve às interações eletromagnéticas entre suas partículas constituintes - ou melhor - entre átomos e moléculas, embora n não tenha que ser diferente de zero em cada molécula ou em cada átomo. Aliás, de maneira geral n é nulo, isto é, a carga líquida, quer no corpo, na molécula ou no átomo é zero. Mas, mesmo assim, há uma dinâmica de interação eletromagnética entre as infinidades de cargas (embora 
) permitindo uma sustentação.
 Um outro aspecto tão relevante quanto o da quantização da carga elétrica é o de sua conservação. Há um grande número de partículas que apresentam a propriedade da carga elétrica, isto é se interagem eletricamente. Partículas com essa propriedade podem ser criadas e destruídas durante colisões entre as mesmas, mas o balanço de carga elétrica, antes e após o processo sempre indica uma conservação de carga. É claro que em se lidando apenas com prótons e elétrons os problemas tornam-se mais simples, pois tanto o próton quanto o elétron tem vida longa; são estáveis. Quando atritamos um bastão de vidro com um tecido de seda, retiramos milhares de elétrons do vidro os quais vão para a seda. O vidro fica positivamente carregado com uma carga 
 (por convenção positiva) e a seda com carga 
. Estamos supondo o vidro e a seda inicialmente descarregados eletricamente. Veja que a carga total final é 
, como inicialmente. Estude o item 23-6 (livro texto) e veja que mesmo na desintegração atômica a carga se conserva. É um princípio até então sagrado para a Física.
 Por último deve-se ter em mente que a medida quantitativa da força de interação elétrica entre cargas pontuais ou entre partículas atômicas carregadas é dada pela lei de Coulomb 
onde 
 e 
 são os módulos das cargas pontuais e 
 é a constante eletrostática do meio. O valor 
 é exato para o vácuo e aproximadamente o mesmo par o ar (
). A distância de separação entre as cargas é 
. A força 
 entre as cargas tem o módulo 
 e atua em cada uma das cargas (
). Estas duas forças de ação e reação estão sobre a mesma reta de ação obedecendo, portanto, a 3a lei de Newton. 
Resumo
 Das partículas fundamentais da natureza, constituintes dos átomos, das moléculas e de todos os corpos, as de maior interesse para o nosso curso são o próton e o elétron. O próton e o elétron possuem carga elétrica e são partículas estáveis, ou seja, possuem vida longa. Existem outras partículas atômicas que também apresentam carga elétrica. É o caso do múon do píon do ômega e de outras. Como estas possuem tempo de vida muito curto, e são geradas em situações especiais, não serão de grande interesse em nosso estudo.
 A carga elétrica do próton tem o mesmo valor da carga elétrica do elétron, porém suas naturezas são diferentes. Por convenção a do próton é positiva e a do elétron negativa. Os átomos e as moléculas são nor-malmente neutros, isto é seu número de elétrons e de prótonssão iguais. Havendo um desequilíbrio de cargas no átomo ou na molécula estes ficam carregados eletricamente. Tornam-se ionizados como costumamos dizer.
 Um corpo é constituído de átomos. Os átomos normalmente se agrupam formando moléculas e estas se juntam formando agregados de moléculas. A fórmula para a água é 
somente no estado de vapor. A forma dímera 
 ou trímera 
compõem o gelo ou a água líquida. 
 Naturalmente, como dissemos, os corpos são eletricamente neutros. O número de prótons no corpo é igual ao número de elétrons. Através do atrito entre dois corpos, ou usando-se de outros métodos, podemos carregá-los eletricamente. Elétrons poderão passar de um corpo, mesmo inicialmente neutro, para outro corpo. Ambos os corpos poderão ficar carregados. Um positivamente, com falta de elétrons e o outro negativamente, com excesso de elétrons. Quando uma pequena fração dos elétrons totais de um corpo passa para outro corpo já é suficiente para que fenômenos elétricos se manifestem pronunciadamente. Veja o caso de um raio de uma nuvem para outra, ou entre uma nuvem e a Terra. Uma nuvem, por mais carregada de eletricidade que esteja, têm apenas uma pequena fração de desequilíbrio entre suas cargas elétricas totais. 
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 Prof. Mozart 
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