Prova Calculo2 2017 1 Polares Conicas SolRevolucao Gabarito

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Universidade do Estado de Santa Catarina
Curso de Engenharia do Petróleo
Disciplina de Cálculo II
Acadêmico:
	
	CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: A prova dever ser limpa e organizada. Usar caneta azul ou preta. Proibido o uso de corretivo. Não é permitido o empréstimo de material durante a prova. A prova é individual e sem consulta. Escrever o nome em todas as folhas de prova logo no início da mesma, caso contrário será considerado cola. Não deixar cadernos, livros, papéis que não sejam a prova, nem a pasta aberta embaixo da carteira, caso contrário também será considerado cola. Todas as calculadoras programáveis são passíveis de conferência pelo Professor; caso o aluno se recuse a deixar o Professor conferir será considerado cola e a prova será zerada. A interpretação das questões faz parte da prova. Cada questão tem o mesmo peso, caso os pesos não estiverem indicados nas questões. Questões com respostas corretas sem desenvolvimento coerente não terão valor algum. Somente questões inteiramente corretas serão consideradas corretas. Não é permitido o uso de celular.
Encontre a área delimitada pelas funções e , integrando com relação a e a .
Em primeiro lugar encontram-se os pontos de intersecção, igualando-se as funções:
Para a integração em x, devido a termos também áreas negativas, sugere-se dividir em quatro áreas, tal como a figura:
Onde: ; ; ; 
Calculando as integrais tem-se: ; ;;; e, sendo assim: .
Para a integração em relação ao eixo y, sugere-se, em primeiro lugar “girar” a figura, para, posterirormente verificar se é necessário dividir as áreas.
Como visto, somente há área compreendida acima do eixo y, sendo assim a área entre as duas curvas pode ser encontrada por: .
21-7.4
Sejam as proposições verdadeiras:
	Proposição 1:
	
Seja um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo em e . Se, dado qualquer em , a área da seção tranvesal de perpendicular ao eixo for , então o volume do sólido será 
	Proposição 2:
	
Seja um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo em e . Se, dado qualquer em , a área da seção tranvesal de perpendicular ao eixo for , então o volume do sólido será 
A partir destas proposições é possível deduzir duas expressões gerais (métodos) para cálculo do volume de sólidos de revolução: volume por discos circulares ou por camadas cilíndricas:
	Discos circulares:
	
	
	Camadas cilíndricas:
	
	
Calcule pelos dois métodos (discos circulares e camadas cilíndricas) o volume do sólido gerado quando a região limitada por , e é girada em torno do eixo .
O método dos discos circulares quando aplicado como mostrado calcula o volume da curva quando esta é rotacionada em torno do eixo x. Para calcular em torno do eixo y, utilizamos a “Proposição 2” supracitada e modificamos a respectiva fórmula para e, sendo assim o volume de rotação em torno do eixo y será:
O método das camadas cilíndricas quando aplicado como mostrado retorna o volume quando a curva é rotacionada em torno do eixo y. Contudo, observe-se, que o volume calculado é devido a rotação da área compreendida entre a curva e o eixo x e o volume solicitado é o complementar a este (volume da área compreendida entre a curva e o eixo y).
O volume solicitado, por camadas cilíndricas é então:
Escreva, mas não calcule, uma integral para a área de cada região sombreada.
			
(a) 
(d) 
(e) 
(f) 
Em um desastroso voo inicial, um aviãozinho de papel segue a trajetória
,
atingindo uma parede em .
Em que instantes o aviãozinho voa numa trajetória puramente horizontal?
Em que instantes o aviãozinho voa numa trajetória puramente vertical?
Qual é o ângulo de incidência do aviãozinho quando ele atinge a parede?
O aviãozinho voa numa trajetória puramente horizontal quando . Como y e x são funções de t, temos que . Sendo assim temos um voo puramente horizontal quando e .
Calcula-se então e .
Para um voo puramente horizontal . O máximo tempo é . Lembre-se que o avião voa somente até 10 s, sendo assim o tempo . Contudo devemos atentar que estes valores de tempo devem ser tal que retornem um . Como nenhum ângulo para tornar coincide com os ângulos para tornar , temos que o aviãozinho voa numa trajetória puramente horizontal nos tempos s.
Obtém-se os tempos de um voo puramente vertical quando e . ocorre nos tempos , que por sorte não concidem com os tempos em que . Logo os tempos que que a trajetória do aviãozinho é puramente vertical são .
A inclinação (derivada tangente do ângulo de inclinação) do avião em qualquer ponto da curva é . Sendo assim .
Construa o gráfico descrito pela função .
Construa o gráfico descrito pela função .
Primeiramente verificamos que se trata de uma curva de seção cônica rotacionada, pois o termo não é nulo. Encontramos a inclinação da referida cônica pela aplicação do teorema:
A partir do teorema sabe-se que Então desenha-se a figura abaixo
Além disto são convenientes as identidades:
A partir da figura sabe-se que e, sendo assim e .
De posse das equações de rotação
Que é uma elipse rotacionada de graus, onde , comprimento do eixo maior , comprimento do eixo menor e comprimento do foco .