aula 1 equações diferenciais

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Equações Diferenciais
Professor: Alexandre Marinho
O estudo das equações diferenciais ordinárias começa com os próprios criadores do cálculo, Newton e Leibniz, no final do século XVII, motivados por problemas físicos. Desde aquela época, a preocupação dominante até meados do século XIX era a obtenção de soluções das equações em forma explícita. 
O problema básico do cálculo Integral é a determinação do valor da integral definida 
 (1.1)
de uma função . Por certo, o conceito de integral está ligado à ideia de área do seguinte modo: se for uma função contínua não negativa, então a expressão (1.1) é a área da região R do plano compreendida entre o eixo-x, o gráfico da função e as retas e . Veja a figura 1.1.
A determinação dessa área, e consequentemente o valor da integral definida em (1.1), pode ser feita através de um processo de aproximação da mesma por regiões poligonais obtidas tomando-se linhas poligonais com vértices no gráfico de . Esse processo já era usado na antiguidade por Arquimedes (287-212 A.C.). Esse processo também é usado hoje, quando se introduz com rigor e elegância a chamada integral de Riemann.
Nas observações acima, não apareceu a ideia de derivada. De fato, o conceito de derivada de uma função é algo bem diverso: Uma função é derivável num ponto se o limite 
Existir, e nesse caso tal limite é chamado a derivada de no ponto , e é designado por 
A força, a beleza e a utilidade do cálculo estão relacionados a esses dois conceitos, o de integral e o de derivada, aparentemente tão diversos, acham-se intimamente ligados. Este fato é o conteúdo do Teorema Fundamental do Cálculo, que passaremos a expor.
Parte I. Seja uma função contínua A função definida pela expressão
 (1.2)
é derivável e para todo 
Observe que a função F definida em (1.2) é uma solução da equação diferencial .
As soluções dessa equação diferencial são chamadas as primitivas de . Alguns textos usam também as terminologias anti-derivada e integral indefinida e designam as primitivas pelo símbolo
Parte II. Dadas uma função contínua e uma de suas primitivas G, então
 (1.3)
Observe que, como consequência disso, o cálculo da integral definida de se reduz à determinação de uma primitiva de . Observe também que, em virtude da expressão geral das primitivas ser da forma , independe da particular primitiva usada. Assim, o problema do cálculo de uma área se reduz ao problema de calcular a solução de uma equação diferencial. Toda aquela parte do cálculo de primitivas é nada mais na da menos que a determinação de soluções da equação diferencial (1.3) para diferentes funções .
Definição 1. Equação diferencial
Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial (ED).
Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.
Classificação pelo tipo 
Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma única variável dependente, ela é chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Por exemplo, 
 
são equações diferenciais ordinárias. Uma equação que envolve as equações parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP). Por exemplo,
 
são equações diferenciais parciais.
Classificação pela ordem
A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação. Por exemplo,
É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem (ou de ordem dois). Como a equação diferencial pode ser escrita na forma
dividindo-se pela diferencial , trata-se então de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. A equação
é uma equação diferencial parcial de terceira ordem.
Para compreender bem as equações diferenciais parciais é necessário um bom conhecimento da teoria de equações diferenciais ordinárias. Devido a este fato, limitaremos, na discussão que se segue, nosso estudo às equações diferenciais ordinárias.
Uma equação diferencial ordinária geral de -ésima ordem é frequentemente representada pelo simbolismo 
Classificação como linear ou não-linear
Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma
Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:
(i) A variável dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo é 1.
(ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
Uma equação que não é linear é chamada de não- linear. As equações , , são equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e terceira ordens respectivamente. Por outro lado,
 são equações diferenciais ordinárias não lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Soluções de equações diferenciais ordinárias (EDO)
Definição 2. Qualquer função definida em algum intervalo , do tipo: (a, b), [a, b], (0, ), etc, que quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para equação no intervalo.
Em outras palavras, uma solução para equação diferencial ordinária é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação; isto é, para todo x no intervalo .
Exemplo 1. Verifique que é uma solução para equação não linear no intervalo .
Exemplo 2. A função é uma solução para equação linear no intervalo Verifique !
Note que, nos exemplos 1 e 2, a função constante y=0 também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real. Uma solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo é em geral referida como solução trivial. Nem toda equação diferencial que escrevemos possui necessariamente uma solução.