APOSTILA UNIDADE 3

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UNIDADE 3 – REGRA DA CADEIA 
Antes de vermos a Regra da Cadeia para o caso de funções de duas variáveis, vamos 
recordá-la para o caso de uma função de apenas uma variável. 
 
Definição: Sejam y = f (x) e x = g(t), funções diferenciáveis, então, a composta de f com g é a 
função na variável t, dada por y = f (g(t)), dessa forma y se torna, indiretamente, uma 
função diferenciável em t, dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.1: Seja y = f(x) = e
x
, onde x = t² + t, calcule a derivada de y em relação à t. 
 
3.1. Regra da Cadeia para funções de várias variáveis: 
3.1.1. CASO 1: Quando z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) 
são funções diferenciáveis de t. 
Nestes temos, z é uma função diferenciável de t, tal que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.2: Seja z = x² + xy, com x = 3t³ + 1 e y = 2t – t². Calcule a derivada de z em relação 
a t. 
 
Exemplo 3.3: Considere uma função f(x,y) dada por x²y+3xy
4
, onde x = sen 2t e y = cos t, 
determine dz/dt. 
 
Exemplo 3.4: Encontre a derivada de z em relação a x sabendo que 
z=(x²+1)(x-2) + (x-2)³(x²+1)². 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 3.1: Calcule 
 
 
, onde , com e . 
 
 
3.1.2. CASO 2: Quando z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y, onde x = g(s,t) e y = 
h(s,t) são funções diferenciáveis de s e t. 
Nestes temos, z é uma função diferenciável de s e t, tal que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.5: Seja z = e
x
 sen(y), onde x = st² e y = s²t, determine as derivadas parciais de z em 
relação a s e em relação a t. 
 
O caso 2 da Regra da Cadeia contém três tipos de variáveis: 
 s e t: variáveis independentes 
 x e y: variáveis intermediárias 
 z: variável dependente 
 
EXERCÍCIOS 3.2: Calcule 
 
 
 e 
 
 
, onde , com e . 
 
3.1.3. CASO GERAL: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis de x1, x2, ... 
, xn, onde cada xj é uma função diferenciável em m variáveis t1, t2, ... , tm. Então u é uma função 
de t1, t2, ... , tm e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada variável t1, t2, ... , tm. 
Exemplo 3.6: Escreva a Regra da Cadeia para o caso onde e , 
 , e . 
 
Exemplo 3.7: Seja a função definida por , onde , , 
 , determine o valor de 
 
 
 quando , e . 
 
Exemplo 3.8: Use a regra da cadeia para achar 
 
 
 se , com , 
 , e . 
 
EXERCÍCIOS 3.3: 
 
 
 
 
3.2. Derivação implícita 
Suponhamos que a equação da forma defina y implicitamente como uma 
função diferenciável de x, ou seja, , onde , para todo x no domínio de f. 
Se F é diferenciável, podemos aplicar o Caso 1 da Regra da Cadeia para diferenciar ambos os 
lados da equação com relação a x. como x e y são ambas funções de x, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No entanto, 
 
 
 ; então, se 
 
 
 , resolvemos para 
 
 
 e obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.9: Determine se . 
 
Suponha agora que z seja dado implicitamente como uma função por uma 
equação na forma . Isso é o mesmo que para todo (x,y) no 
domínio de f. Se F e f forem diferenciáveis, utilizamos a Regra da Cadeia para diferenciar a 
equação , como se segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contudo 
 
 
 e 
 
 
 
O que nos leva a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 
 
 
 , resolvemos para 
 
 
 e 
 
 
 obtemos as derivadas parciais de z em relação a x e a 
y, respectivamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.10: Determine 
 
 
 e 
 
 
 se 
 
EXERCÍCIOS PARA A UNIDADE 3: Livro Stwart, a partir da página 936 (377 do PDF)