Coodernadas polares

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Cálculo II – Profa. Adriana Cherri 
Coordenadas Polares 
 
Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um 
plano. O sistema de coordenadas polares é um deles. 
No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e 
ordenada, que são medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema polar, as 
coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto 
fixo e a uma semirreta fixa. 
 
 
 
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, ), em que |r| representa 
a distância entre a origem e o ponto P e  representa a medida, em radianos, do ângulo 
orientado AÔP. Quando AÔP for descrito no sentido anti-horário,  > 0, caso contrário,  < 
0. 
 
Exemplos: 
 Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos: 
 
a) 
2,
4
P
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2,
4
P
 
  
 
 
 
 
 
c) 
4,
3
P
 
 
 
 
 
 
 
d) 
4,
3
P
 
 
 
 
 
 
O ponto P pode ter um número ilimitado de pares de coordenadas polares, pois podemos 
representar esse ponto da forma: 
(P, +2k), kZ 
 
Relação entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de 
coordenadas polares 
 
Para nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a 
origem do primeiro sistema coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o 
eixo positivo dos x e o raio para o qual  = /2 com o eixo positivo dos y. 
 
 
 
 
 
 
x A 
y 
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Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas 
polares (r, ), distinguimos dois casos: 
 
 r > 0 r < 0 
 
 
 
Portanto: 
 r > 0:
 
cos
x
r
 
 e 
y
sen
r
 
 
 r < 0:
 
cos
x
r




 e 
y
sen
r




 
 
Desta forma, temos: 
 
 
 
 
 
Utilizando estas equações, podemos deduzir uma relação muito usada: 
x
2
 = r
2
cos
2 
y
2
 = r
2
cos
2 
 x2 + y2 = r2(cos2 + sen2)  r2 = x2 + y2  
2 2r x y  
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são 
7
4,
6
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Encontrar (r, ) supondo r < 0 e 0    2 para o ponto P, cujas coordenadas 
cartesianas são 
 3, 1
 
 
 
 
 
x = r cos  
y = r sen  
 
 
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Representação gráfica 
 
O gráfico de F(r,) = 0 é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares 
satisfazem a equação. Geralmente, a equação em sua forma explícita é dada por r = f (). 
 Os seguintes procedimentos podem auxiliar no esboço do gráfico: 
 Calcular os pontos de máximo ou de mínimo; 
 Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo; 
 Verificar simetrias: 
 Se a equação não se altera quando substituímos r por –r, existe simetria em 
relação à origem; 
 Se equação não se altera quando substituímos  por –, existe simetria em 
relação ao eixo polar (ou eixo dos x); 
 Se equação não se altera quando substituímos  por ( – ), existe simetria 
em relação ao eixo  = /2 (eixo dos y). 
 
Exemplo: 
 A curva r = 2(1 – cos ) é dada por: 
 
 
 
 
Equações de reta 
 
a)  = 0 ou  = 0 + n, n  Z: reta que passa pelo polo e faz um ângulo de 0 ou 0 + n 
radianos com o eixo polar. 
 
 
 
b) r sen = a e r cos = b, a, bR: retas paralelas aos eixos polar e /2, respectivamente. 
 
 
 
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Circunferências 
 
a) r = c, c  : circunferência centrada no polo e raio |c| 
 
 
 
b) r = 2a cos: circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo  = /2: 
 
 se a > 0, o gráfico está a direita do polo; 
 se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo. 
 
 
 
 [r = 2a cos  a>0] [r = 2a cos  a<0] 
 
 
c) r = 2b sen: circunferência de centro no eixo /2 e que tangencia o eixo polar. 
 
 se b > 0, o gráfico está acima do polo; 
 se b < 0, o gráfico está abaixo do polo. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Esboce a curva com equação polar r = 2 cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Limaçons: São equações do tipo: r = a  b cos ou r = a  b sen , a, b   
 
 Se b > a , o gráfico tem um laço. 
 
 
 
 
 Se a = b, então o gráfico é conhecido como cardeoide. 
 
 
 
 
 
 Se b < a, o gráfico não tem um laço 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Esboce a curva r = 1+2 cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lemniscata: São equações do tipo: r
2
 = ± a
2
 cos 2 ou r2 = ± a2 sen 2, a   
 
Rosáceas: São equações do tipo: r = a cos n ou r = a sen n, a e nN 
 
 Se n é par, temos uma rosácea de 2n pétalas 
 
 
 
 Se n é ímpar, temos uma rosácea de n pétalas 
 
 
 
Exemplo: 
 Esboce a curva r = cos2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo II – Profa. Adriana Cherri 
Espirais 
 Espirais hiperbólicas (a > 0) 
 
 r = a (>0) r = a (<0) 
 
 
 Espirais parabólicas 
 
 
 
 Espiral de Arquimedes (a > 0) 
 
 
 
 Espiral de logarítmica 
 
 
 
 
 
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Cálculo II – Profa. Adriana Cherri 
Comprimento de arco de uma curva dada em coordenadas polares 
 
Seja C uma curva dada pela equação polar r = f (). Utilizando as equações 
 
x = r cos  
y = r sen  
temos que 
 
x = f() cos  
y = f() sen  
 
que podem ser consideradas equações paramétricas da curva C, para [0,1]. Derivando 
essas equações, temos: 
 
`( )cos ( )sen
dx
f f
d
     
 
`( )sen ( )cos
dy
f f
d
     
 
 
Elevando ambos os lados das equações ao quadrado e somando, temos: 
 
2 2
2 2( `( )cos ( )sen ) ( `( )sen ( )cos )
dx dy
f f f f
d d
                     
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2
`( ) cos 2 `( ) ( ) cos sen ( ) sen `( ) sen
2 `( ) ( )sen cos ( ) cos
f f f f f
f f f
         
     
    
 
 
 2 2 2 2 2 2`( ) cos sen ( ) cos senf f               
 2 2`( ) ( )f f  
 
 
 
Substituindo este resultado na fórmula do comprimento de arco de uma curva dado 
por suas equações paramétricas, temos que o comprimento de arco de uma curva dado em 
coordenadas polares é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒔 = 𝒇′(𝜽)𝟐 + 𝒇(𝜽)𝟐 𝒅𝜽
𝜽𝟏
𝜽𝟎_____________________________________________________________________________________ 
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Exemplos 
a) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + cos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o comprimento da espiral r = e,   [0, 2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + sen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo II – Profa. Adriana Cherri 
Área de figuras planas em coordenadas polares 
 
Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [α,β]. Seja R a região 
limitada pela curva cuja equação é r = f () e pelas retas  = α e  = β 
 
 
 
Considere uma partição P de [α,β] definida por: 
 
α = 0 < 1 < 2 < ... < i-1 < i < ... < n = β 
 
 
 
Para cada [i-1, i], i = 1, ..., n, consideramos um setor circular de raio f(ρi), e um 
ângulo central i, em que i-1 < ρi < i e i = i - i-1 
 
 
 
 Desta forma, a área do i-ésimo setor circular é dada por: 
 
21
( )
2
i if  
 
Como há um desses setores circulares para cada um dos n subintervalos, temos uma 
área aproximada igual a An, sendo: 
 
   
2 2
1 1
1 1
( ) ( )
2 2
n n
n i i i i
i i
A f f   
 
     
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Cálculo II – Profa. Adriana Cherri 
A medida em que n cresce, cada i, i = 1, ..., n, torna-se pequeno e An aproxima-se 
da área da região delimitada por  = α,  = β e r = f (). 
Portanto 
 
 
2
1
1
lim ( )
2
n
i i
n
i
A f  


 
 
 
Pela definição de integral temos que: 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) Encontre a área da região delimitada pela cardioide r = 2+2 cos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Encontre a área da região R interior à cardioide r = 2+2 cos() e exterior ao círculo r = 
3.