MICRO I 2017 2 (Aula 14 Incerteza)

Prévia do material em texto

1 
 
UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 14 
 
 
INCERTEZA 
 
Introdução 
 Até aqui, tratou-se do comportamento do consumidor em cenários onde não havia qualquer 
risco/incerteza1 na escolha de consumo. 
 Neste modelo2, a escolha do consumidor envolve risco, ou seja, o objeto de consumo é uma 
variável aleatória cuja distribuição de probabilidade dos resultados possíveis é conhecida. 
 Na literatura, os objetos de consumo que envolvem risco são chamados de loterias. São 
exemplos de loterias: 
o investimentos de qualquer natureza; 
o aplicações em bolsas de valores (ações), em ativos financeiros (títulos, moedas, etc.) 
ou em bolsas de mercadorias (commodities, matérias-primas); 
o seguros (veículos, residência, vida, etc.); 
o bilhetes de loterias propriamente ditos; 
o apostas de qualquer natureza (bingos, roletas, cartas, jogos de futebol, corridas, etc.). 
 
 
 
 
1 Na literatura há uma diferença entre risco e incerteza. Somente a título de informação, o Risco refere-se a uma 
situação onde o objeto de escolha do consumidor é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidades é conhecida 
enquanto Incerteza, por sua vez, é uma situação onde o objeto de escolha é uma variável aleatória e a distribuição de 
probabilidades é desconhecida. Aqui, trataremos ambos os termos sem distinção. 
2 Na linha teórica da escolha envolvendo risco, destacam-se os seguintes autores: 
o Pascal-Fermat (Sec. XVII) diziam que a atratividade de um jogo que oferece os resultados incertos com 
probabilidades é dado pelo seu valor esperado, 𝐸(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 , onde 𝑝𝑖 é a probabilidade do ocorrência do 
resultado 𝑥𝑖 , com 𝑝𝑖 ≥ 0 e ∑ 𝑝𝑖 = 1
𝑛
𝑖=1 . Este princípio do valor esperado poderia ser aplicado a vários tipos de 
problemas e se constituiu no primeiro desenvolvimento intelectual capaz de lidar com decisões em condições de 
incerteza. 
o Nicholas Bernoulli (1731) propôs um exemplo, conhecido com o “Paradoxo de São Petersburgo”, através do qual 
contestava a veracidade da hipótese de Pascal-Fermat de que os indivíduos consideram apenas o valor esperado. 
o Gabriel Cramer e Daniel Bernoulli (sobrinho de Nicholas) resolveram o paradoxo usando o princípio da utilidade 
marginal decrescente. Bernoulli afirmou que o valor de um objeto depende da utilidade gerada e que o ganho de 
utilidade cai à medida que a riqueza do indivíduo aumenta. Para tanto, ele utilizou uma função utilidade logarítmica 
(côncava) para denotar esta afirmação. 
o John von Neumann e Oskar Morgenstern (1947): em Theory of Games and Economic Behavior, provaram que se as 
preferencias de um agente em relação a loterias satisfazem aos axiomas de completeza, transitividade, continuidade 
e independência, então, existe uma função utilidade de valor real (do tipo Bernoulli) definida sobre os possíveis 
resultados, de tal forma que, todas as preferências do agente são caracterizadas pela maximização 
do valor esperado de U.” 
 
 2 
Preferências do Consumidor sob Incerteza 
 
Neste modelo são mantidas as relações de preferência do modelo de escolhas sem risco, mas, 
com uma diferença: aqui o consumidor ao invés de ordenar cestas de consumo, ordena loterias 
definidas como objetos cujos resultados são incertos e, aos quais, estão associadas 
probabilidades. 
 
Sejam: 
 𝑨 = {𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … , 𝒘𝒏}, o conjunto de resultados (prêmios) possíveis de ocorrer. Estes 
resultados são variáveis aleatórias que ocorrem em distintos estados da natureza e cujas 
probabilidades são conhecidas. 
Exemplo: no lançamento de uma moeda não viciada, para um jogador que apostou cara, onde 
ele “ganha 1 dólar” se der cara (estado da natureza) e “perde 1 dólar” se der coroa (outro 
estado da natureza). O conjunto de resultados é A= {1, -1} e as probabilidades de cada estado 
da natureza são conhecidas e iguais a ½. 
 𝒈 = {(𝒘𝟏, 𝒑𝟏), (𝒘𝟐, 𝒑𝟐), … , (𝒘𝒏, 𝒑𝒏)}, ∀𝑝𝑖 ≥ 0 e ∑ 𝑝𝑖 = 1
𝑛
𝑖=1 é uma loteria (ou plano de 
consumo contingente) e 𝑝𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 são as probabibilidades de ocorrência dos resultados 
𝑤𝑖. 
No lançamento da moeda descrito acima, a loteria seria 𝑔 = {(1,
1
2
) , (−1,
1
2
)}. 
Observação: uma loteria g é chamada degenerada se existir alguma 𝑝𝑖 = 1 (resultado certo) 
e, não-degenerada, se não existir nenhum resultado certo. 
 𝑮 = (𝒈𝟏, 𝒈𝟐, … 𝒈𝒏) é o espaço de loterias (conjunto de consumo de loterias), sobre o qual o 
consumidor expressa suas preferências por loterias. 
 
Axiomas de Escolha envolvendo Risco 
 
 Completeza: Considere as loterias 𝑔, ℎ ∈ 𝐺. Então o consumidor pode definir que, 
𝑔 ≽ ℎ 𝑜𝑢 ℎ ≽ 𝑔 𝑜𝑢 𝑔~ℎ 
Significa que o indivíduo é capaz de ordenar completamente suas preferências no espaço de 
loterias 𝐺. 
 
 Transitividade: ⋎ 𝑔, ℎ, 𝑘 ∈ 𝐺, 𝑠𝑒 𝑔 ≽ ℎ 𝑒 ℎ ≽ 𝑘 ⇒ 𝑔 ≽ 𝑘 
 3 
Significa que o ordenamento das preferências sobre loterias em 𝐺 do consumidor é 
consistente. 
 Continuidade: 
Neste modelo, o axioma da continuidade significa que, no espaço de loterias 𝐺, pequenas 
mudanças nas probabilidades de ocorrência dos resultados não mudam a natureza do 
ordenamento das preferências do consumidor sobre loterias. 
 
 Independência: 
Os resultados são independentes, ou seja, uma ocorrência de um estado da natureza independe 
da outra que se teria no outro estado da natureza. 
Este axioma diz que apenas um resultado ocorrerá realmente. Com isso, pode-se 
especificar uma função utilidade de uma loteria do tipo aditiva para diferentes resultados. 
 
Funções Utilidade 
 
 Satisfeitos os axiomas de completeza, transitividade, continuidade e independência, as 
preferências dos agentes econômicos sobre alternativas arriscadas devem ser expressas em 
termos da utilidade que estes agentes associam aos possíveis resultados e suas probabilidades 
de ocorrência em cada estado da natureza. 
 
 Utilidade do Valor Esperado, 𝑼(𝑬(𝒈)) 
Definição: A utilidade do valor esperado de uma loteria 𝑔 = {(𝑤1, 𝑝1), (𝑤2, 𝑝2), … , (𝑤𝑛, 𝑝𝑛)}, 
definida no espaço de loterias G é dada por: 
𝑼(𝑬(𝒈)) = 𝑼(𝒑𝟏𝒘𝟏 + 𝒑𝟐𝒘𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏𝒘𝒏) 
Representa a utilidade do valor médio dos resultados (prêmios). É também informalmente 
conhecida como a “utilidade do certo”. 
 
 Utilidade Esperada, 𝑼𝑬(𝒈) 
Definição: A função utilidade 𝑈𝐸: 𝐺 → 𝑅 possui a propriedade de utilidade esperada se, para 
todo 𝑔 ∈ 𝐺, 
𝑼𝑬(𝒈) = ∑ 𝒑𝒊𝒖(𝒘𝒊) =
𝒏
𝒊=𝟏
𝒑𝟏𝑼(𝒘𝟏) + ⋯ + 𝒑𝒏𝑼(𝒘𝒏) 
 4 
 
Esta forma particular da função utilidade diz que a utilidade pode ser descrita como uma soma 
ponderada pelas probabilidades das utilidades de cada resultado possível em cada estado da 
natureza e representa a utilidade média do padrão de consumo. 
 
Esta função é conhecida na literatura com função utilidade von Neumann-Morgenstern (ou, 
simplesmente, utilidade vN-M). Mais informalmente, é também chamada de “utilidade do 
incerto” 
 
Existência da 𝑼𝑬(𝒈): 
Se as preferências, definidas sobre o espaço de loterias G, satisfazem aos axiomas de completeza, 
transitividade, continuidade e independência, então existe uma 𝑈𝐸(𝑔): 𝐺 → 𝑅 que representa 
estas preferências e que satisfaz à propriedade da utilidade esperada. 
 
Unicidade da 𝑼𝑬(𝒈) 
Supondo-se que 𝑈𝐸(𝑔) representa as preferências do consumidor em relação à loteria g, então a 
utilidade esperada 𝑉𝐸(𝑔) representará as mesmas preferências se, e somente se, existirem ∝, 𝛽 ∈
𝑅, 𝛽 > 0 , tais que, 
𝑉𝐸(𝑔) = 𝛼 + 𝛽𝑈𝐸(𝑔) , para toda loteria 𝑔 ∈ 𝐺 
 
Para que as propriedades da utilidade esperada sejam mantidas, consideram-se apenas as 
transformações lineares(afins) crescentes da 𝑈𝐸(𝑔). Diz-se, então, que a função utilidade 
esperada é “única sob uma transformação linear crescente”. 
Exemplo: 
Suponha uma loteria 𝑔 = {(𝑤1, 𝑝1), (𝑤2, 𝑝2)}, com 𝑝1 + 𝑝2 = 1. A função utilidade vN-M 
desta loteria é dada por 𝑈𝐸(𝑔) = 𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑝2𝑈(𝑤2). Seja uma função utilidade 𝑉𝐸(𝑔) =
𝑎𝑈𝐸(𝑔) + 𝑏, a>0, uma transformação linear crescente de 𝑢(𝑔), então, 
𝑉𝐸(𝑔) = 𝑎[𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑝2𝑈(𝑤2)] + 𝑏 
 = 𝑎𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑎𝑝2𝑈(𝑤2) + 𝑏 
 = 𝑎𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑎𝑝2𝑈(𝑤2) + 𝑝1𝑏 + 𝑝2𝑏, mas, 𝑝2 = 1 − 𝑝1 
 =𝑝1[𝑎𝑈(𝑤1) + 𝑏] + 𝑝2[𝑎𝑈(𝑤2) + 𝑏] 
 =𝑝1𝑣(𝑤1) + 𝑝2𝑣(𝑤2) 
 
 5 
De fato, constata-se que a função 𝑉𝐸(𝑔), transformação linear crescente de 𝑈𝐸(𝑔), preserva as 
propriedades da utilidade esperada e é, portanto, uma função utilidade tão boa quanto a função 
𝑈𝐸(𝑔) para representar as preferências do consumidor no espaço de loterias. 
 
Comportamento do Consumidor em relação ao Risco 
 
Aversão ao Risco 
 
 Diz-se que o indivíduo é avesso ao risco se, para toda 𝑔 ∈ 𝐺, ele considera, 
𝑼(𝑬(𝒈)) > 𝑼𝑬(𝒈) 
Isto significa que tal indivíduo sempre prefere um evento certo ao evento incerto de mesmo 
valor esperado. 
 A função utilidade da riqueza, 𝑈(𝑤), é uma função logarítmica (estritamente côncava) e 
significa que a utilidade marginal da riqueza é decrescente, ou seja, o aumento da utilidade 
da riqueza decresce com o aumento desta. 
 
 
 
Propensão ao Risco 
 
 Diz-se que o indivíduo é amante ou propenso ao risco se, para toda 𝑔 ∈ 𝐺, ele considera 
que, 
𝑼(𝑬(𝒈)) < 𝑼𝑬(𝒈) 
 
 6 
Neste caso, o indivíduo prefere o evento incerto ao evento certo de mesmo valor esperado. 
A função utilidade da riqueza, 𝑈(𝑤), é uma função exponencial (estritamente convexa) e 
significa que a utilidade marginal da riqueza é crescente, ou seja, o aumento da utilidade da 
riqueza cresce com o aumento desta. 
 
 
 
Neutralidade ao Risco 
 
 Diz-se que o indivíduo é neutro ao risco se para toda 𝑔 ∈ 𝐺, 
𝑼(𝑬(𝒈)) = 𝑼𝑬(𝒈) 
O indivíduo considera que a utilidade do valor esperado da riqueza é igual à utilidade 
esperada da riqueza. A função utilidade da riqueza, 𝑈(𝑤), é linear e significa que a utilidade 
marginal da riqueza é constante. 
 
 7 
 
 
Equivalente Certo (EC(g)) e Prêmio de Risco P(g) 
 
O Equivalente Certo de uma loteria g G, EC(g), é o montante de renda ou riqueza que, se 
fosse dado com certeza ao indivíduo, o tornaria indiferente à loteria, ou seja, é o montante que 
torna, 
𝑈(𝐸(𝑔)) = 𝑈𝐸(𝑔). 
É uma loteria com renda certa que gera a mesma utilidade da loteria de renda incerta. Ou ainda, 
é a quantidade de dinheiro que, se fosse dada com certeza ao indivíduo avesso ao risco, ele 
arriscaria e, ao indivíduo amante do risco, ele não arriscaria. 
 
O Prêmio de Risco de uma loteria gG, P(g), é o montante de riqueza que, deduzido do valor 
esperado da loteria, torna o indivíduo indiferente à loteria. Assim, tem-se, 
𝑷(𝒈) = 𝑬(𝒈) − 𝑬𝑪(𝒈). 
 
Para toda loteria g não degenerada, se o indivíduo for: 
 Avesso ao risco  𝐸𝐶(𝑔) < 𝐸(𝑔)  𝑃(𝑔) = 𝐸(𝑔) − 𝐸𝐶(𝑔) > 0 
 Amante do risco  𝐸𝐶(𝑔) ≥ 𝐸(𝑔)  𝑃(𝑔) = 𝐸(𝑔) − 𝐸𝐶(𝑔) ≤ 0 
 Neutro ao risco  𝐸𝐶(𝑔) = 𝐸(𝑔)  𝑃(𝑔) = 𝐸(𝑔) − 𝐸𝐶(𝑔) = 0 
 
 
 8 
 
 
Coeficiente de Aversão ao Risco de Arrow-Pratt 
 
Se a utilidade e a riqueza podem ser expressas por meio de uma função, então, o coeficiente de 
aversão ao risco mede a utilidade obtida (ou perdida) à medida que aumenta (diminui) a riqueza 
do indivíduo, ou seja, mede o grau de aversão ao risco de um indivíduo. 
 
Admita que a função utilidade da riqueza seja duas vezes diferenciável. Então, define-se o 
coeficiente de aversão ao risco absoluto de Arrow-Pratt como, 
𝑹𝒂(𝒘) = −
𝑼′′(𝒘)
𝑼′(𝒘)
 
Para o indivíduo: 
 neutro ao risco, tem-se 𝑈′(𝑤) = 𝑘, 𝑈′′(𝑤) = 0, o que implica em 𝑅𝑎(𝑤) = 0 
 avesso ao risco, tem-se 𝑈′(𝑤) > 0, 𝑈′′(𝑤) < 0, o que implica em 𝑅𝑎(𝑤) > 0 
 propenso ao risco, tem-se 𝑈′(𝑤) > 0, 𝑈′′(𝑤) > 0, o que implica em 𝑅𝑎(𝑤) < 0 
 
Por sua vez, o coeficiente de aversão ao risco relativo de Arrow-Pratt é definido como, 
𝑹𝒓(𝒘) = −
𝑼′′(𝒘)
𝑼′(𝒘)
. 𝒘 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2011) Cap. 12 
JEHLE & RENY (2001) 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 14) 
LISBOA, Pedro C. Coimbra (Notas de Aula) 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. Considere que um indivíduo possui uma função utilidade de sua riqueza, 𝑈(𝑤) = 𝑙𝑛𝑤, que 
é estimada em $100000 e na qual está incluso um carro no valor de $20000. Ele está decidindo 
se instala ou não no seu carro, um reconhecido sistema antifurto que existe no mercado ao 
preço de $2000. O conjunto de resultados possíveis de ocorrer é dado por 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2} =
{𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑜𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜, 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 é 𝑟𝑜𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜}. A probabilidade de seu carro ser roubado é 
 9 
de 20% se ele não instalar o sistema antifurto e, de 5% se ele instalar o sistema. Qual deverá 
ser sua decisão: instalar ou não instalar o sistema antifurto? 
Solução: 
 Chame de 𝑔1, a loteria caso o indivíduo decida instalar o sistema: 
𝑔1 = {0,95°(100000 − 2000); 0,05°(100000 − 20000 − 2000)} 
A utilidade esperada da loteria 𝑔1 será: 
𝑈𝐸(𝑔1) = 𝑝1𝑈(𝑎1) + 𝑝2𝑈(𝑎2) = 0,95𝑙𝑛98000 + 0,05𝑙𝑛78000 = 11,48131 
 Chame de 𝑔2, a loteria caso o indivíduo decida não instalar o sistema: 
𝑔2 = {0,80°(100000); 0,20°(100000 − 20000)} 
A utilidade esperada da loteria 𝑔2 será: 
𝑈𝐸(𝑔2) = 𝑝1𝑈(𝑎1) + 𝑝2𝑈(𝑎2) = 0,80𝑙𝑛100000 + 0,20𝑙𝑛80000 = 11,46829 
 
Conclusão: A utilidade esperada da loteria 𝑔1 (instalar) é maior que a utilidade esperada da loteria 
𝑔2 (não instalar), ou seja, 𝑈𝐸(𝑔1) > 𝑈𝐸(𝑔2). Portanto, o indivíduo decidirá por instalar o 
sistema antifurto. 
 
02. Um indivíduo que possui uma riqueza de $10 e uma função utilidade desta riqueza dada por 
𝑈(𝑤) = 𝑙𝑛𝑤, está decidindo de faz uma aposta numa loteria não degenerada, na qual, a 
probabilidade de perder $5 é ½ e de ganhar $5 também é ½. Em relação ao risco, como você 
classificaria este indivíduo? 
𝐴 = {𝑤1, 𝑤2} = {5,15} 
𝑔 = (𝑝1°𝑤1, 𝑝2°𝑤2) = (
1
2
°5;
1
2
°15) 
𝑈(𝐸(𝑔)) = 𝑈(𝑝1𝑤 + 𝑝2𝑤2) = 𝑈 [
1
2
(5) +
1
2
(15)] = 𝑈(10) = 𝑙𝑛10 = 2,30258 
𝑈𝐸(𝑔) = 𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑝2𝑈(𝑤2) = 0,5 ∙ 𝑙𝑛(5) + 0,5 ∙ 𝑙𝑛(15) = 2,15 
Como 𝑈(𝐸(𝑔)) > 𝑈𝐸(𝑔), o indivíduo pode ser caracterizado como Avesso ao Risco. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Um consumidor considera 4 alternativas de consumo (A, B, C, D), sendo que a utilidade de 
cada uma delas é dada por 100=U(A)>U(B)>U(C) >U(D) =0. Ele deve considerar na sua 
escolha duas situações: 
 Situação (1): todas as alternativas ocorreriam com probabilidades iguais a 25%; 
 Situação (2): a probabilidade de ocorrência das alternativas seriam 15%, 50%, 15% e 
20%, respectivamente. 
 10 
Sabe-se também que a alternativa C é equivalente à loteria em que A e D ocorrem com 
probabilidades 40% e 60%, respectivamente, e que a alternativa B é equivalente à loteria em 
que A e D ocorrem com probabilidade 80% e 20%. Calcule a utilidade esperada de cada 
situação e compare-as. 
 
2. Admita que a função utilidade de um investidor seja especificada por U(M) =√𝑀, em que 
M=$150 é a renda. Suponha que ele queira aplicar 100% de sua renda na compra de ações de 
duas empresas A e B. Os preços de mercado dessas ações são hoje iguais pA=pB=$15, mas 
podem variar dependendo do estado da natureza, de acordo com a seguinte distribuição de 
probabilidades: 
Determine a utilidade esperada do investidor admitindo-seque este invista metade de sua 
renda em ações da empresa A e a outra metade em B. 
 
3. A respeito da Teoria da Utilidade Esperada, identifique as afirmativas corretas: 
(a) O prêmio de risco de um indivíduo propenso ao risco é estritamente positivo; 
(b) A utilidade de um indivíduo é u(w) =lnw e a riqueza inicial é w0=12. Propõe-se ao 
indivíduo o seguinte jogo: se sair cara no arremesso de uma moeda equilibrada, ele paga 
5; se sair coroa ele recebe 5. O prêmio de risco desse jogo é 1; 
(c) As funções u(w)=√𝑧 e u(w)=(1/2)lnw são utilidades esperadas que representam as 
preferências de um mesmo indivíduo.