SL ESP CE2 SINAL SENOIDAL 2017 2

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Curso:
Engenharia Elétrica
Disciplina: 
Circuitos Elétricos 2
Professor:
Eng.º Messias Cantanhede
PRÉ-AULA 01
ENCONTRO - 01: CARACTERIZAÇÃO DE SINAIS ALTERNADOS.
1.1 Introdução.
1.2 Tensão alternada senoidal. 
1.3 A senoide.
1.4 Expressão geral para tensões ou correntes senoidais.
1.5 Relações de fase.
1.6 Valor médio.
1.7 Valor RMS.
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.1 Introdução
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.1 Introdução
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.2 Tensão Alternada Senoidal
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
A senoide é representação gráfica, também chamada de forma de onda, de uma
função senoidal, que corresponde a uma função matemática periódica no tempo
obedecendo uma função seno:
).(.)(   tsenEte m
Onde:
inicial fase 
angular velocidade 
pico de ou máximo valor 
t"" instante no grandeza da valor






mE
te )(
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
A senoide é a única forma de onda que não se altera ao ser aplicada em um circuito 
contendo resistores, indutores e capacitores. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Definição de Radianos. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Conversão de Grau para Radianos. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Frequência Angular ou Velocidade Angular : 
 
T


2

 21T
T
f
1

 sradf /2  
t

 
segundos) (em tempo
radianos)ou graus (em percorrido ângulo
angular velocidade 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
O efeito da Velocidade Angular sobre a Frequência e o período: 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Exemplo 01:
Calcule o período de função periódica, cuja frequência é de:
a) f = 60 Hz
b) f = 1000 Hz
Em quanto tempo uma senoide de 60 Hz completa um ciclo?
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Exemplo 02:
Determine a frequência da forma de onda abaixo:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
Para obtermos uma senoide, precisamos utilizar a projeção de um vetor girando em
movimento circular uniforme, em torno de um eixo fixo. A medida que este vetor gira
no sentido anti-horário a partir de uma referência (ângulo = 0 grau), o módulo
(amplitude) do vetor é projetado no eixo vertical, em função da rotação do ângulo.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
Seguindo a sequência das projeções abaixo, teremos a senoide de um rotação
completa (360 graus):
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.3 A Senoide
Construindo um sinal senoidal. 
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.4 Expressão geral para tensões ou correntes senoidais
Expressão para a Tensão Senoidal:
Expressão para a Corrente Senoidal:
1.5 Relações de fase
As expressões para a tensão e corrente senoidais podem estar com suas formas de
onda defasadas uma da outra. Isso significa que uma pode estar oscilando em avanço
ou atraso em relação a outra.
Dependendo do deslocamento, se para a esquerda ou para a direita da referência 0
(zero), o ângulo de fase Ө pode se tornar negativo ou positivo:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Interceptação do eixo horizontal à 
esquerda da origem, com 
inclinação positiva:
1.5 Relações de fase
Interceptação do eixo horizontal à 
direita da origem, com inclinação 
positiva:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Se a forma de onda corta o eixo horizontal, com inclinação positiva e adiantada de 90°
(π / 2), o gráfico coincide com a função co-seno:
1.5 Relações de fase
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
 90αcos
 90αsen
cosα  90αsen
senα  90αcos
senα-  180αsen
cosα-  270αsen   90αsen 
1.5 Relações de fase
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Se encontrarmos uma expressão da forma:
Precisamos lembrar que o sinal negativo está associado à função trigonométrica, e não à amplitude.
Assim, a expressão deve ser reescrita:
Como:
Podemos também reescrever:
  180sen ωtEe m
Ou seja:
  180sen ωtEm   180sen ωtEm
1.5 Relações de fase
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Exemplo 01:
Qual a relação de fase entre as formas de onda senoidais em cada um dos seguintes
pares?
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Exemplo 01:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Exemplo 01:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Exemplo 01:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Exemplo 01:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Exemplo 01:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.6 Valor médio.
 
curva da ocompriment
área da algébrica soma
MédioValor G
ms2
0

V0
ms
VV
2
614 

V4
O valor médio ou valor CC de uma forma de onda
alternada, é definido por:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Podemos ter uma aproximação da área real,
substituindo a forma de onda real por dois
triângulos:






 bhA
2
1
2 





 mA
22
1
2

mA
2

mA58,1
Obtemos uma melhor aproximação da área real,
substituindo a forma de onda real por dois
triângulos e um retângulo:












 bhAA m
2
1
2
3














33

mm AA mm AA 09,2
3
2
 
1.6 Valor médio.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Para formas de onda irregulares
como um ciclo de uma senoide
utilizamos a integração:
αd senαAÁrea
π
0
m αd senαA
π
0
m 
    0m cosA
  0coscosAÁrea m    11Am    2Am
mA2Área 
1.6 Valor médio.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Conhecida a área agora podemos
obter o valor médio:

mA2G
mA637,0
Para um ciclo completo de uma senoide:
0
2
A2A2 mm 



G
1.6 Valor médio.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Podemos utilizar o mesmo conceito para grandezas elétricas, na obtenção da tensão ou corrente
médias de uma função senoidal.
Como exemplo, vamos considerar a função periódica indicada no gráfico abaixo, também
denominada como pulsante em onda completa, já que apresenta todos os semi ciclos na porção
positivado gráfico:
O valor médio de uma grandeza periódica
qualquer é expresso por:
Logo, o valor médio para um sinal senoidal 
pulsante em onda completa será:
1.6 Valor médio.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Outro exemplo de função periódica senoidal pulsante é a de meia onda, indicada no gráfico
abaixo:
Logo, o valor médio para
um sinal senoidal pulsante
em meia onda será:
1.6 Valor médio.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Como a corrente elétrica obedece a mesma forma de onda da tensão elétrica, as suas expressões 
são análogas:
TIPO DE SINAL TENSÃO MÉDIA CORRENTE MÉDIA
senoidal pulsante em 
onda completa
senoidal pulsante em 
meia-onda
sinal puramente 
senoidal

máx.V2mV 
máx.I2mI

máx.VmV 
máx.ImI
0mV 0mI
1.6 Valor médio.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
1.7 Valor Eficaz ou RMS.
Para entendermos o conceito relacionado aos valores eficazes da tensão e corrente em sistemas alternados, faz-
se necessário uma comparação inicial com o mesmo efeito que esses sistemas causariam a uma mesma carga
resistiva, caso esta fosse alimentada por um sistema com tensão e corrente contínuas.
Além dos valores médios, podemos ainda expressar as tensões e correntes na sua forma eficaz, também
conhecidas pela sigla em inglês RMS: Root Mean Square, que significa Raiz Média Quadrática.
Utilizaremos para isso a experiência indicada abaixo:
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
No gráfico abaixo temos a forma de 
onda de corrente para a senoide pura:
Esta corrente Iac alternada circulou por uma
resistência R, durante um intervalo de tempo ∆t,
dissipando uma potência P.
Pela mesma resistência R faz-se circular uma corrente
Icc contínua, durante o mesmo intervalo de tempo
∆t, dissipando a mesma potência P como na corrente
anterior.
1.7 Valor Eficaz ou RMS.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Dessa forma pode-se afirmar que o valor efetivo da corrente alternada “IAC” deve ser igual ao valor da corrente
contínua “Icc”, para que a potência dissipada no resistor “R” seja a mesma.
Ao valor efetivo da corrente alternada “iAC” damos o nome de
Root Mean Square (RMS), ou Corrente Eficaz.
Sua expressão pode ser deduzida a partir do cálculo da potência
dissipada no resistor R por cada uma das correntes:
Para a corrente alternada iAC:
Para a corrente contínua I:
Como a potência dissipada P é a mesma:
CCAC PP 

2
CC .P ccIR
dtiR
T
t
t
AC
1
0
2
AC .
1
P dti
tt
R t
t
AC

1
0
2
)01(
21
0
2
.
)01(
cc
t
t
AC IRdti
tt
R

 
1.7 Valor Eficaz ou RMS.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Como a potência dissipada P é a mesma:
Podemos afirmar então que a corrente contínua Icc equivale, ou tem a mesma eficácia no
resultado produzido, que a corrente alternada IAC.
Eliminando as resistências:
Trabalhando a expressão:
A mesma expressão pode ser aplicada a tensão:
CCAC PP 

21
0
2
.
)01(
cc
t
t
AC IRdti
tt
R

 
21
0
2
.
)01(
RMS
t
t
AC IRdti
tt
R

 
21
0
2
)01(
1
RMS
t
t
AC Idti
tt

 
dti
tt
I
t
t
ACRMS 

1
0
2
)01(
1
dtv
tt
V
t
t
ACRMS 

1
0
2
)01(
1
Dessa forma chamaremos Icc de Corrente Eficaz IRMS:
1.7 Valor Eficaz ou RMS.
PRÉ-AULA 01
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A mesma expressão pode ser aplicada a tensão:
dtv
tt
V
t
t
ACRMS 

1
0
2
)01(
1
Se substituirmos o termos “vac” da expressão anterior, pela expressão da sua função senoidal com a velocidade
angular variando com o tempo (ωt) variando de 0 a 2π:
  tsenVtv ACmáxAC  .

tdtsenVV ACmáxRMS 


2
0
22
.
2
1
tdtsen
V
V ACmáxRMS 


2
0
2
2
.
2

2
0
2
.
4
2
2
1
2 





tsen
t
V
V ACmáxRMS
   





 0.22.2
4
1
02
2
1
2
2
. sensen
V
V ACmáxRMS    2
2
.ACmáx
RMS
V
V

2
2
.ACmáx
RMS
V
V 
2
.ACmáx
RMS
V
V 

Logo, se conhecemos a
tensão máxima ou de pico,
podemos obter a eficaz: RMSACmáx VV  2.
1.7 Valor Eficaz ou RMS.
PRÉ-AULA 01
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
O mesmo pode ser aplicado para a corrente:
2
.ACmáx
RMS
I
I  RMSACmáx
II  2.
1.7 Valor Eficaz ou RMS.
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
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Leitura Complementar:
MEDIDORES E INSTRUMENTOS DE CORRENTE ALTERNADA:
• Bibliografia Básica:
1) BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. 
São Paulo: Pearson, 2012. ISBN: 978-85-6475-20-5 
 CAPÍTULO: 13
 ITEM: 13.9
 PÁGINAS: 479 à 484
PRÉ-AULA 01
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
(SALA ESPECIAL)
Leitura Complementar 
• INTERNET:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-no-triangulo-retangulo.htm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
O TRIÂNGULO RETÂNGULO:
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria
https://www.youtube.com/watch?v=3qmrJpJjdh4
DECOMPOSIÇÃO VETORIAL:
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CIRCUITOS ELÉTRICOS 2
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