Conceitos Fundamentais de Fluidos

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o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Conceitos fundamentais
Paulo R. de Souza Mendes
Grupo de Reologia
Departamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
1 de agosto de 2011
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Sumário
o fluido como um meio contínuo
a hipótese de meio contínuo
campo
o campo de velocidade
escoamentos permanente, transiente, 1-D, 2-D, 3-D
linhas notáveis
tensão e gradiente de velocidade
a hipótese de Cauchy
tensão
taxa de deformação e vorticidade
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
a hipótese de meio contínuo
meio contínuo: a massa é
distribuída continuamente no
espaço.
massa específica:
ρ = lim
∆∀→0
∆m
∆∀
para efeito da hipótese de
meio contínuo, considera-se
∆∀ = 0 quando ∆∀ = ∆∀′
ρ
0
domínio
de validade
da hipótese
de meio
contínuo
∆V' ∆V
∆m/∆V
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
o conceito de campo
seja x o vetor posição e t o instante de
tempo. Campo é qualquer função f de x e t :
f (x , t)
A posição x pode ser escrita em diferentes
sistemas de coordenadas:
x = x ıˆ+ y ˆ+ zkˆ
x = r eˆr (θ) + zeˆz
x = r eˆr (θ, φ)
logo,
f (x , t) = f (x , y , z, t) = f (r , θ, z, t) = f (r , θ, φ, t)
x
y
zr
r
z
θ
φ
θ
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
exemplos de campos
campos escalares
• massa específica ρ(x , t)
• temperatura T (x , t)
• pressão p(x , t)
campos vetoriais
• velocidade V (x , t)
• aceleração a(x , t)
• força F (x , t)
campos tensoriais
• tensão T (x , t)
• gradiente de velocidade ∇v(x , t)
• taxa de deformação γ˙(x , t)
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
o campo de velocidade: casos particulares
• Escoamento permanente: V = V (x). No caso contrário
(i.e. no caso genérico V = V (x , t)), o escoamento é
transiente.
• Escoamento
unidimensional (1-D): V
só depende de uma
coordenada espacial.
z
r
V = V(r) = vz(r)ez
vz(r)
• Escoamento
bidimensional (2-D): V
só depende de duas
coordenadas espaciais.
V = V(y) = u(y)i
x
y
V = V(x,y) 
= u(x,y)i +v(x,y)j
u(x,y)u(y)
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 1-D permanente: escoamento em tubo
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 1-D transiente: placa em movimento
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 1-D transiente: placa em movimento
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 2-D permanente: escoamento sobre placa
plana
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 2-D transiente: escoamento em torno de
cilindro
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
trajetória, linha de tinta, linha de corrente
partícula
trajetória da partícula V
trajetória é a linha
formada pelos
pontos no espaço
visitados por uma
dada partícula ao
longo do tempo.
linha de tinta é a
linha ocupada pelas
partículas que
visitaram um dado
ponto no espaço ao
longo do tempo.
partículas que visitaram P
linha de tintaponto fixo P
V
partículas
linha de corrente
tempo fixo t
linha de corrente em
um dado instante de
tempo, é a linha
formada por pontos
no espaço ocupados
por partículas cujas
velocidades lhe são
tangentes.
em regime permanente, as três linhas coincidem
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de sup. curva
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de aerofólio
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. sobre placa plana
trajetórias erradas! (as partículas se afastam da placa)
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
O vetor tensão
o vetor tensão t é a força de contato por
unidade de área que o material externo
a ∀(t) faz sobre o material dentro de ∀(t)
Hipótese de Cauchy: t = t(nˆ)
Balanço de força no tetraedro:
t(nˆ)dA + t(−ıˆ)(nˆ · ıˆ)dA+
t(−ˆ)(nˆ · ˆ)dA + t(−kˆ)(nˆ · kˆ)dA = 0
da 3a. lei de Newton (ação e reação),
t(−nˆ) = −t(nˆ), t(−ıˆ) = −t(ıˆ), etc.
V(t)
M = const
n
t
V
dA
î
jˆ
kˆ
nˆ t(n)
dA
ˆ
h
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
O tensor tensão
t(nˆ) = (nˆ · ıˆ)t(ıˆ) + (nˆ · ˆ)t(ˆ) + (nˆ · kˆ)t(kˆ)
ou
t(nˆ) = nˆ ·
[
ıˆt(ıˆ) + ˆt(ˆ) + kˆ t(kˆ)
]
≡ nˆ · T
onde T é o tensor tensão.
Nota-se que
t(ıˆ) = ıˆ[ˆı · t(ıˆ)] + ˆ[ˆ · t(ıˆ)] + kˆ [kˆ · t(ıˆ)]
t(ˆ) = ıˆ[ˆı · t(ˆ)] + ˆ[ˆ · t(ˆ)] + kˆ [kˆ · t(ˆ)]
t(kˆ) = ıˆ[ˆı · t(kˆ)] + ˆ[ˆ · t(kˆ)] + kˆ [kˆ · t(kˆ)]
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
T =
[
ıˆt(ıˆ) + ˆt(ˆ) + kˆ t(kˆ)
]
= ıˆıˆ[ˆı · t(ıˆ)] + ıˆˆ[ˆ · t(ıˆ)] + ıˆkˆ [kˆ · t(ıˆ)]
+ˆıˆ[ˆı · t(ˆ)] + ˆˆ[ˆ · t(ˆ)] + ˆkˆ [kˆ · t(ˆ)]
+kˆ ıˆ[ˆı · t(kˆ)] + kˆ ˆ[ˆ · t(kˆ)] + kˆ kˆ [kˆ · t(kˆ)]
logo, a matriz de T é:
[T ] =
 ıˆ · t(ıˆ) ˆ · t(ıˆ) kˆ · t(ıˆ)ıˆ · t(ˆ) ˆ · t(ˆ) kˆ · t(ˆ)
ıˆ · t(kˆ) ˆ · t(kˆ) kˆ · t(kˆ)

î
jˆ
kˆ
t(i )ˆ
t(j )ˆ
t(k)ˆ
t(-i ) =
 - t(i )
ˆ
ˆ
t(-j ) =
 - t(j )
ˆ
ˆ
t(-k) =
 - t(k)
ˆ
ˆ
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Notação usual:
T = ıˆıˆσxx + ıˆˆτxy + ıˆkˆτxz
+ˆıˆτyx + ˆˆσyy + ˆkˆτyz
+kˆ ıˆτzx + kˆ ˆτzy + kˆ kˆσzz
a matriz de T fica:
[T ] =
 σxx τxy τxzτyx σyy τyz
τzx τzy σzz

î
jˆ
kˆ
τzx
σxx
σyy
σzz
τxyτyx
τxz
τyz
τzy
σyy
σzz
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Logo,
[T ] =
 σxx τxy τxzτyx σyy τyz
τzx τzy σzz

=
 ıˆ · t(ıˆ) ˆ · t(ıˆ) kˆ · t(ıˆ)ıˆ · t(ˆ) ˆ · t(ˆ) kˆ · t(ˆ)
ıˆ · t(kˆ) ˆ · t(kˆ) kˆ · t(kˆ)

î
jˆ
kˆ
τzx
σxx
σyy
σzz
τxyτyx
τxz
τyz
τzy
σyy
σzz
ou seja, na notação σxx , τxy , etc., o primeiro índice indica a
face do cubo em que a tensão atua, o segundo indica a direção
da tensão.
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: compressão isotrópica
T = − ıˆıˆp − ˆˆp − kˆ kˆp
= −p
(
ıˆıˆ+ ˆˆ+ kˆ kˆ
)
a matriz de T fica:
[T ] =
 −p 0 00 −p 0
0 0 −p

î
jˆ
kˆ
-p
-p
-p
-p
-p
-p
t(nˆ) = nˆ · T = −pnˆ ·
(
ıˆıˆ+ ˆˆ+ kˆ kˆ
)
= −p
(
(nˆ · ıˆ)ıˆ+ (nˆ · ˆ)ˆ+ (nˆ · kˆ)kˆ
)
︸ ︷︷ ︸
=nˆ
ou t(nˆ) = −pnˆ
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
o gradiente de velocidade
dV = dr · ∇V
em coord. cartesianas,
dr = ıˆdx+ˆdy+kˆdz; V = ıˆu+ˆv+kˆw
∇V = ıˆıˆ∂u
∂x
+ ıˆˆ
∂v
∂x
+ ıˆkˆ
∂w
∂x
+ˆıˆ
∂u
∂y
+ ˆˆ
∂v
∂y
+ ˆkˆ
∂w
∂y
+kˆ ıˆ
∂u
∂z
+ kˆ ˆ
∂v
∂z
+ kˆ kˆ
∂w
∂z
r
r+dr
dr
V
V +dV
t = const.
[∇V ] =

∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂y
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∂z

o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
exemplo
V = ıˆu(y)
∇V = ˆıˆ∂u
∂y
î
jˆ
dx
dy
u(y)
U
se dr = ıˆdx , dV = dx
∂u
∂y
ıˆ · ˆıˆ = 0
se dr = ˆdy , dV = dy
∂u
∂y
ˆ · ˆıˆ = dy ∂u
∂y
ıˆ
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
taxa de deformação
∇V = 1
2
{
∇V +∇V T
}
︸ ︷︷ ︸
taxa de deformação
+
1
2
{
∇V −∇V T
}
︸ ︷︷ ︸
vorticidade
taxa de deformação: D ≡ 1
2
{
∇V +∇V T
}
[D] =

∂u
∂x
1
2
{
∂v
∂x +
∂u
∂y
}
1
2
{
∂w
∂x +
∂u
∂z
}
1
2
{
∂u
∂y +
∂v
∂x
}
∂v
∂y
1
2
{
∂w
∂y +
∂v
∂z
}
1
2
{
∂u
∂z +
∂w
∂x
} 1
2
{
∂v
∂z +
∂w
∂y
}
∂w
∂z

o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
taxas de deformação angular e linear
∆γyx ≡ α + β = du∆t
∆y
+
dv∆t
∆x
=
∂u
∂y
∆t +
∂v
∂x
∆t
γ˙yx = lim
∆t→0
∆γyx
∆t
=
∂u
∂y
+
∂v
∂x
= 2Dyx
∆εxx ≡ du∆t
∆x
=
∂u
∂x
∆t
ε˙xx = lim
∆t→0
∆εxx
∆t
=
∂u
∂x
= Dxx
u(x)
= du.∆t 
= (∂u/∂x)∆x∆t
∆x
∆
y
v(y)
= dv.∆t 
= (∂v/∂y)∆y∆t
t
t+∆t
u(y)
= dv.∆t 
= (∂v/∂x)∆x∆t
= du.∆t 
= (∂u/∂y)∆y∆t
∆x
∆
y
v(x)y
x
α
β
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
vorticidade
∇V = 1
2
{
∇V +∇V T
}
︸ ︷︷ ︸
taxa de deformação
+
1
2
{
∇V −∇V T
}
︸ ︷︷ ︸
vorticidade
vorticidade: W ≡ 1
2
{
∇V −∇V T
}
[W ] =

0 12
{
∂v
∂x − ∂u∂y
}
1
2
{
∂w
∂x − ∂u∂z
}
1
2
{
∂u
∂y − ∂v∂x
}
0 12
{
∂w
∂y − ∂v∂z
}
1
2
{
∂u
∂z − ∂w∂x
} 1
2
{
∂v
∂z − ∂w∂y
}
0

o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
taxas de rotação
∆θyx ≡ 12(α+β) = (
du∆t
∆y
− dv∆t
∆x
)
=
1
2
(
∂u
∂y
− ∂v
∂x
)∆t
t
t+∆t
u(y)
= -dv.∆t 
= (-∂v/∂x)∆x∆t
= du.∆t 
= (∂u/∂y)∆y∆t
∆
y
v(x)y
x
α
∆x
β
θ˙yx = lim
∆t→0
∆θyx
∆t
=
1
2
(
∂u
∂y
− ∂v
∂x
) = Wyx ≡ −ωz
o fluido como um meio contínuo o campo de velocidade tensão e gradiente de velocidade
significado físico de D e W
• os componentes Dxy = Dyx , Dxz = Dzx e Dyz = Dzy são
taxas de deformação angular do elemento de fluido nos
planos xy , xz e yz, respectivamente.
• os componentes Dxx , Dyy e Dzz são taxas de deformação
linear do elemento de fluido nas direções x , y e z,
respectivamente.
• os componentes Wxy = −Wyx = ωz , Wxz = −Wzx = −ωy e
Wyz = −Wzy = ωx são taxas de rotação (velocidades
angulares) médias do elemento de fluido em torno das
direções z, y e x , respectivamente.
• ω = ωx ıˆ+ ωy ˆ+ ωz kˆ é o vetor vorticidade.
	o fluido como um meio contínuo
	a hipótese de meio contínuo
	campo
	o campo de velocidade
	escoamentos permanente, transiente, 1-D, 2-D, 3-D
	linhas notáveis
	tensão e gradiente de velocidade
	a hipótese de Cauchy
	tensão
	taxa de deformação e vorticidade