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Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular: aplicações em turbomáquinas Paulo R. de Souza Mendes Grupo de Reologia Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica - RJ 1 de agosto de 2011 Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Sumário Conservação de quantidade de movimento angular O balanço de QMA em um pedaço de fluido Aplicação em turbomaquinaria Turbinas Acionadores primários Exemplos Exemplo: ventilador de fluxo axial Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos O balanço de QMA em um pedaço de fluido O V(t) M = const n t = n.T V r dA gr V dV T = dH dt onde H = ∫ ∀(t) (r × V ) ρd∀ e T = T eixo + ∫ S(t) r × (n · T )dA + ∫ ∀(t) (r × g) ρd∀ Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Equação de conservação de QMA para um ∀C • usando o teorema do transporte, obtemos a equação para um volume de controle ∀C T eixo + ∫ SC r × (n · T )dA + ∫ ∀C (r × g) ρd∀ = d dt ∫ ∀C (r × V ) ρd∀+ ∫ SC (r × V ) ρV · ndA Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Aplicação em turbomaquinaria • Usa-se tipicamente apenas o componente da equação na direção do eixo de rotação da máquina (direção z, por exemplo) • Desprezam-se os torques devidos às forças de superfície e de corpo • supondo que as propriedades são uniformes ao longo das secções 1 (entrada) e 2 (saída), obtemos simplesmente Teixo,z = m˙(r2Vt2 − r1Vt1) e W˙eixo = ωTeixo,z onde Vt1 e Vt2 são os componentes tangenciais da velocidade absoluta do fluido na entrada e na saída, respectivamente, e ω é a velocidade angular do eixo. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbomáquinas: Turbinas e acionadores primários Turbinas extraem energia (ou QMA) do fluido de impulso o jato é acelerado externamente ao rotor a reação existem palhetas fixas (ou guias), presas à carcaça, e palhetas móveis (giratórias), presas ao eixo. Parte da aceleração ocorre nas palhetas fixas, e parte nas móveis. eficiência: η = energia que sai pelo eixo energia extraída do fluido Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbomáquinas:Turbinas e acionadores primários Acionadores primários entregam energia (ou QMA) ao fluido bombas para líquidos e pastas centrífugas líquidos de deslocamento positivo pastas ventiladores gases e vapores, altas vazões e pequenos ∆p’s compressores gases e vapores, baixas vazões e altos ∆p’s eficiência: η = energia entregue ao fluido energia que entra pelo eixo Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: roda d’água Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: roda Pelton Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: roda Pelton Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: Francis Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: Francis Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: Kaplan Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: Kaplan Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas a gás Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas a gás Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas a gás Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Outras turbinas Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Outras turbinas Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Outras turbinas Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Bombas centrífugas Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Bombas centrífugas Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Bombas parafuso Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Bombas parafuso Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Bombas a diafragma Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Bombas a diafragma Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Ventiladores Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Ventiladores Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Ventiladores Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Compressores Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Compressores Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Compressores Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Exemplo: ventilador de fluxo axial Rm ωe scoamento 1 2 Di Do Dados:D1,Do, ω, α1, β1, β2 Achar: • vazão, Q • torque no rotor, Teixo,z • potência transmitida ao fluido, W˙eixo. Utilizar o raio médio Rm = (Di + Do)/4 para avaliar a quantidade de movimento angular na entrada 1 e na saída 2. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos velocidades absolutas e relativas z 2 1 Vrb1 V1ROTOR CARCAÇA U = ω.Rm Vrb2V2 fluxo de ar U = ω.Rm U = ω.Rm β1 α1 β2α2 Solução: os dados do problema são mostrados na figura ao lado. Para usarmos a equação de conservação de quantidade de movimento angular, a saber, Teixo,z = m˙(r2Vt2 − r1Vt1) precisamos primeiro avaliar os componentes tangenciais da velocidade absoluta Vt1 e Vt2. Para isso, precisamos dos assim chamados polígonos de velocidade. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos polígono de velocidade na secção 1 1 U = ω.Rm V1 Vrb1 Vn1 Vt1 β1α1 Na entrada 1, conhecemos os ângulos α1 e β1, e a velocidade da palheta U = ωRm. Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta ~V1 = ~U + ~Vrb1. Da figura, podemos escrever: U = Vrb1 cosβ1 + Vt1; Vt1 Vn1 = tanα1; Vn1 = Vbr1 sinβ1 Logo, Vn1 = ωRm cotβ1 + tanα1 ; Vt1 = ωRm tanα1 cotβ1 + tanα1 Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Cálculo da vazão A vazão é obtida simplesmente multiplicando o componente normal da velocidade absoluta, Vn1, pela área de secção reta: Q = Vn1 pi 4 (D2o − D2i ) ou Q = piωRm(D2o − D2i ) 4(cotβ1 + tanα1) Além disso, do princípio de conservação de massa obtemos que Vn2 = Vn1 pois as áreas na entrada e saída são iguais. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos polígono de velocidade na secção 2 2 U = ω.Rm Vrb2 V2 Vn2 = Vn1Vt2 α2 β2 Na saída 2, conhecemos o ângulo β2, a velocidade da palheta U = ωRm. e o componente normal da velocidade absoluta, Vn2. Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta ~V2 = ~U + ~Vrb2. Da figura, podemos escrever: U = Vrb2 cosβ2 + Vt2; Vt2 Vn2 = tanα2; Vn2 = Vbr2 sinβ2 Logo, tanα2 = ωRm Vn1 − cotβ2; Vt2 = ωRm − Vn1 cotβ2 Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Cálculo do torque e da potência De posse das velocidades Vt1 e Vt2, determinam-se o torque e a potência utilizando as expressões já obtidas: Teixo,z = ρQRm(Vt2 − Vt1); e W˙eixo = ωTeixo,z Conservação de quantidade de movimento angular O balanço de QMA em um pedaço de fluido Aplicação em turbomaquinaria Turbinas Acionadores primários Exemplos Exemplo: ventilador de fluxo axial
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