apostila de porcentagem

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PORCENTAGEM
A expressão “por cento” significa por cada cem, e se representa com o sinal % . 
Podemos expressar uma porcentagem em forma de fração ou como decimal. 
 
	 
 X % = 
Exemplos: 
75% = ou = 0,75 ; 4% = ou = 0,04 
 
 
TRÊS SITUAÇÕES IMPORTANTES
1) Tomar X % de uma quantia A : 
2) Aumentar uma quantia A de X % : 
3) Diminuir uma quantia A de X % : 
Exemplificando:
Tomar 12% de uma quantia A : = 0,12A 
Aumentar uma quantia A de 12% : = 1,12A
Diminuir uma quantia A de 12% : = 0,88A
EXERCÍCIOS SOBRE PORCENTAGENS
1) Escreva as porcentagens abaixo na forma decimal: 
a) 4% b) 0,25% c) 157% d) 100% e) 200% 
Solução:
 
4% 0,04 Págt206-31-1
0,25% 0,0025
c) 157% 1,57 
100% 1
200% 2
Observe nos itens acima que para obtermos a forma decimal nós simplesmente deslocamos “a vírgula” duas casas à esquerda, que equivale a dividir por 100.
Note que é a forma fracionária de 4% e que 0,04 é a sua forma decimal.
2) Escreva as porcentagens abaixo na forma percentual: 
a) 0,36 b) 1,25 c) 1 d) 0,005 e) 0,045 
Solução: 
0,36 36% mat206-31-2
1,25 125% 
1 100% 
0,005 0,5%
0,045 4,5%
Observe nos itens acima que para obtermos a forma clássica em % , a partir da forma decimal, basta deslocamos “a vírgula” duas casas à direita, que equivale a multiplicar por 100.
Note que a forma fracionária de 36% é , e a sua forma decimal é 0,36.
3) Quanto é 2,5% de R$ 60,00 ? 
Solução: 
 Página mat206-51-1
2,5% de R$ 60,00 = 1,5 
 
4) 15 é 25% de que número? 
Solução: 
Seja X o número procurado, então Pág
25% de X é 15 
Que porcentagem 240 é de 30? 
Solução:
Seja X a porcentagem procurada, então X% de 30 deve ser 240. Página mat206-51-3 
 %
6) Um objeto foi revendido por R$ 10000, com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. O objeto foi comprado por qual valor? 
Solução: Seja PC o preço de compra, então: Página = 10000 o PC diminuindo de 20% fica igual a 10000
Resolvendo a equação acima obtemos PC = 12500 
 
7) Se X é 160% de Y, que porcentagem Y é de X? 
Solução: Se X é 160% de Y podemos escrever algebricamente da 
seguinte forma X = 1,60 Y
Isolando Y no primeiro membro da equação 
 ou Y = 0,625 X
 Note que 0,625 é a forma decimal de 62,5% . Então Y é 62,5% de X
8) O que é mais vantajoso, um desconto de 40% ou dois descontos sucessivos de 20% e 20%? 
Solução: Página mat206-21-2
Supondo que o desconto seja sobre um preço inicial P, temos: 
Com um desconto único de 40% ,
o preço P diminui de 40% 
Dois descontos sucessivos de 20% , o preço P diminui de 20% e diminui novamente de 20% 
Nota-se que 0,60P é um preço menor que 0,64P
Concluímos que é mais vantajoso um desconto único de 40%
9) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra.
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% 
Solução:
Seja PC = Preço de Custo
Preço de Tabela = 1,80 PC 
Note que 1,80 é o fator de aumento 
Preço com Lucro Zero = 1,44 PC ..... aumentamos PC de 44%.
O maior desconto que se pode conceder ao preço de tabela ( 1,80 PC ) deve diminuir este preço de tal forma que se iguale ao preço com lucro zero ( 1,44 PC ) .
Daí,
 
então X = 20% , onde X é o desconto máximo.
Resposta: 20% - alternativa C
(FUVEST) Em uma certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual é a porcentagem de homens na população?
Solução: Página mat206-21-4
Como o enunciado não especifica valores absolutos de números de Homens e Mulheres, vamos considerar o número total de pessoas igual a 100%, ou a sua forma decimal que é igual a 1.
Número de Homens = H Número de Mulheres = M
Número total de pessoas = H + M H + M = 1 ( I )
Número de Homens Gordos = 0,30H Número de Mulheres Gordas = 0,10M
Número de Pessoas Gordas = 0,18 ( H + M )
Então .......0,18( H + M ) = 0,30H + 0,10M ( II )
 Número de Pessoas Número de Homens Número de Mulheres
 Gordas Gordos Gordas 
Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II H = 0,40 ou 40%
Resposta: A porcentagem de homens na população é de 40%.
11) Calcular 
Solução: at206-21-5
Lembre-se que nos cálculos e equacionamento de problemas procuramos usar a forma decimal ou a forma fracionária de porcentagem, logo:
 forma decimal de 1% 
0,01 100 1%
12) (Fuvest) Uma mercadoria que custava R$ 2400 sofreu um aumento passando a custar R$ 2700. A taxa de aumento foi de quantos porcento? 
Solução: 
Entendemos que R$ 2400 aumentou de X% passando a valer R$ 2700, então,
 %
13) Um produto teve dois aumentos consecutivos de 20%. Qual foi o total de aumento? 
Solução:
Seja P o preço do produto. Página mat206-61-2
O preço P teve dois aumentos consecutivos de 20%, então:
 
Observe que P está sendo multiplicado pelo fator 1,44 (Fator de Aumento).
Note que 1,44 é igual a (1 + 0,44) , ou (1 + ) Fator de Aumento
O aumento então foi de 44%
14) Um produto no valor de R$ 2000 teve um desconto de 35%. Qual é o seu valor após o desconto? 
Solução: O valor R$ 2000 vai diminuir de 35%, então,
Resposta: R$ 1300
15) Uma determinada mercadoria teve três descontos consecutivos de 20% cada um. Qual foi o total de desconto? 
Solução: Pá
Seja P o preço da mercadoria.O preço P teve três descontos consecutivos de 20% cada um, isto é, diminuiu de valor em três vezes consecutivas, de 20% cada diminuição, então:
 
ou: 
Observe que P está sendo multiplicado pelo fator 0,512 (Fator de Diminuição).
Note que é o Fator de Diminuição, onde X é o valor em % do desconto total. Então: 
16) Um objeto foi revendido por R$ 10000, com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. O objeto foi comprado por qual valor? 
Solução: Seja PC o preço de compra, então: Página mat206-71-3
 = 10000 o PC diminuindo de 20% fica igual a 10000
 resolvendo a equação acima obtemos PC = 12500
17) A diferença entre 1/3 e seu valor aproximado 0,333 é igual a x% do valor exato. Então o valor de x é: 
0,0001
0,001
0,01 
0,1
0,3
Solução:
O valor exato é . Temos que x% de é igual a 
A diferença entre 1/3 e seu valor aproximado 0,333 é: 
Então = 
 Alternativa d
18) Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais,
aumenta 8%
aumenta 4,4%
aumenta 1,6% 
diminui 1,4%
diminui 7,6%
Solução:
Seja D a dívida da empresa, em reais, sendo que 30% dela é em dólares e 70% em euros.
Se o dólar se valoriza, em relação ao real, são necessários mais reais para se comprar uma mesma quantidade de dólares. Então, nesse caso, a dívida em reais aumenta.
Logo, 30% de D, escreve-se, na forma matemática 0,30·D (Lembre-se que se trata de tomar 30% de D)
Com uma valorização do dólar em 10% a dívida ficará igual a 1,10·0,30·D
Note que 1,10 é o fator de aumento relativo a 10%.
Agora, se o euro se desvaloriza, em relação ao real, são necessários menos reais para se comprar uma mesma quantidade de euros. Então, nesse caso, a dívida em reais diminui.
Logo, 70% de D, escreve-se, na forma matemática 0,70·D
Com uma desvalorização do euro em 2% a dívida ficará igual a 0,98·0,70·D
Note que 0,98 é o fator de diminuição relativo a 2%.
Então 1,10·0,30·D + 0,98·0,70·D = 0,33·D + 0,686·D = 1,016·D
Em 1,016·D note que 1,016 é um número maior que 1, então 1,016 é um fator de aumento relativo a 1,6%.
Caso você fique na dúvida que o aumento é 1,6%, faça o seguinte:
 é o fator de aumento relativo a x%.
Então 
Daí, a resposta é alternativa c
19) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto aos números positivos:
- em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10% e
- em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%.
Em todo o período considerado, a variação foi de
-1%
–0,1%
0% 
0,1%
1%
Solução:
Seja C o número de casos diagnosticados em Janeiro.
Então em Fevereiro tivemos 1,10·C casos diagnosticados (note que 1,10 é o fator de aumento relativo a 10%).
Em Março houve uma redução do número de casos de 10%. Então de 1,10·C passou a 0,90·1,10·C , onde 0,90 é o fator de diminuição relativo a 10%.
Então, 0,90·1,10·C = 0,99·C , onde 0,99 é o fator de diminuição relativo a 1%.
Ou ainda, observe que o número de casos passou de C (em Janeiro) para 0,99·C (em Março), ou 99% de C. Isto é, uma diminuição de 1% no número de casos diagnosticados no período considerado.
Alternativa a
 
20) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria:
40%
45%
50% 
55%
60%
Solução:
Seja PV o preço de venda sem o desconto, e PC o preço de compra. 
0,80·PV é o preço efetivo de venda, já com o desconto de 20% (ou o preço de venda diminuido de 20%, onde 0,80 é o fator de diminuição relativo a 20%)
Então 0,80·PV – PC = Lucro
Lucro = 20% do PC ou Lucro = 0,20·PC
Então 0,80·PV – PC = 0,20·PC 0,80·PV = 1,20·PC PV = ·PC 
 PV = 1,50·PC ou PV é igual ao PC aumentado de 50%
Alternativa c
21) Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca, o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras corresponderia a 25%, 10%, 15% e 50% do preço total, respectivamente. Em virtude de uma promoção, essa pessoa ganhou um desconto de 10% no preço das maçãs e de 20% no preço das peras. O desconto assim obtido no valor total de sua compra foi de:
7,5%
10%
12,5% 
15%
17,5%
Solução: 
Seja PT o preço total pago pelas frutas e PN o preço normal (sem desconto).
0,25·PN seria o valor gasto para adquirir as maçãs e 0,90·0,25·PN o preço com desconto.
0,10·PN seria o valor gasto para adquirir as bananas.
0,15·PN seria o valor gasto para adquirir as laranjas.
0,50·PN seria o valor gasto para adquirir as peras e 0,80·0,50·PN o preço com desconto.
Com a promoção o preço efetivo (PT) pago pelas frutas é:
PT = 0,90·0,25·PN + 0,10·PN + 0,15·PN + 0,80·0,50·PN
PT = 0,225·PN + 0,10·PN + 0,15·PN + 0,40·PN
PT = 0,875·PN ou PT é igual a 87,5% do PN.
Então PT é 12,5% menor do que PN. Concluimos então que o desconto total obtido foi de 12,5%.
Outra forma de se analisar é que 0,875 é o fator de diminuição do PN.
Então 
 que é o desconto aplicado sobre o PN. 
Alternativa c
22) O limite do consumo mensal de energia elétrica de uma residência, sem multa, foi fixado em 320 kWh. Pelas regras do racionamento, se esse limite for ultrapassado, o consumidor deverá pagar 50% a mais sobre o excesso. Além disso, em agosto, a tarifa sofreu um reajuste de 16%. Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 20% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto. Pode-se então, concluir que o consumo de energia elétrica , no mês de outubro foi de aproximadamente:
301 kWh
343 kWh
367 kWh 
385 kWh
413 kWh
Solução: 
Sejam C o consumo em outubro ( em kWh) e P o preço (tarifa)
Sem as regras de racionamento e sem aumento de tarifa o consumidor pagaria C·P
Com as regras de racionamento e o aumento, ele pagaria:
320·P·1,16 + (C – 320)·P·1,16·1,50 
Note que (C – 320)·P·1,16·1,50 é o valor que ele pagaria para a parte do consumo que ultrapassar 320kWh.
Devemos ter então:
320·P·1,16 + (C – 320)·P·1,16·1,50 = C·P·1,20
Note que C·P·1,20 vem da parte do enunciado “Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 20% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto”
Daí, dividindo-se ambos membros por P, temos
320·1,16 + (C – 320)·1,16·1,50 = C·1,20
371,2 + 1,74·C - 556,8 = 1,20·C
0,54·C = 185,6 C = 343,7037 
Alternativa b C = 343 kWh 
23) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de 
a) 24000
b) 30000
c) 136000 
d) 160000
e) 184000
Solução: 
Valor recebido: 80% de 200000= 0,80·200000 = 160000
Valor dos honorários: 15% de 160000 = 0,15·160000 = 24000
Valor recebido por Marcos: 160000 – 24000 = 136000
Alternativa c
EXERCÍCIOS DE PORCENTAGEM
1) Uma mercadoria que custava R$ 24,00 sofreu um aumento passando a custar R$ 28,80. Qual foi a taxa de aumento? 
2) Em junho de 1997, com a ameaça de desabamento de uma ponte, o desvio do tráfego provocou um aumento do fluxo de veículos em ruas vizinhas, de 60 veículos por hora em média, para 60 veículos por minuto em média. O fluxo de veículos nessas ruas no período considerado aumentou de quantos porcentos? 
3) O preço de certa mercadoria sofre anualmente um aumento de 100%. Supondo que o 
preço atual seja de R$ 100,00, daqui a três anos qual será o preço dessa mercadoria ? 
4) Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de 
venda. Qual é o seu lucro sobre o preço de custo ? 
5) Em uma sacola existem 200 caramelos, sendo 110 de frutas e o resto de leite. Quantos 
caramelos de fruta devemos acrescentar nesta sacola para que os caramelos de fruta 
sejam 70% do total ?
6) Um professor de tênis comprou várias bolas, que acabaram de sofrer um aumento de 5% 
no preço de cada uma. Se não houvesse este aumento o professor poderia ter comprado 
com a mesma quantidade de dinheiro, mais três bolas. Quantas bolas o professor 
comprou ? 
7) Uma jarra tem 600g de uma mistura de água e açúcar, na qual 20% é de açúcar. Quanto 
de água devemos acrescentar para que a mistura passe a ter 5% de açúcar ? 
8) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não 
estava satisfatória, volta aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços 
aumentados, qual foi o percentual de redução ? 
9) Numa certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% 
das mulheres são gordas. Qual a porcentagem de homens na população ?
10) A porcentagem de fumantes de uma cidade é de 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule:
          a) o número de fumantes da cidade.
   b) o número de habitantes da cidade. 
11) Alegando prejuízos com a inflação, um comerciante aumentou seus preços em 50%. 
Logo em seguida, notando grande queda nas vendas, anunciou um desconto geral de 
50%. A variação percentual sofrida entre preços final e inicial, em termos de valores 
originais é igual a: 
a) 0%     b) 75%     c) 25%      d) 30%      e) 50% 
12)  As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto sobre cada unidade vendida, de:
a) (50/3)%     b) 20%     c) 25%     d) 30%     e) (100/3)% 
13) Se os preços aumentam 10% ao mês , a porcentagem de aumento no trimestre será: 
a) 30%     b) 33%     c) 33,1%    d) 10%     e) 1,331% 
14) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu um aumento de 80% em maio 
e 80% em novembro. Seu salário atual é de :
a) 2,56x     b) 1,6x     c) 160x    d) 2,6x     e) 3,24x 
15) Suponha que, após 2 meses, uma ação tenha se valorizado 38%. Sabendo-se que a 
valorização no primeiro mês foi de 15%, podemos afirmar que sua valorização no 
segundo mês foi de: 
a) 23%   b) 21,5%     c) 20%     d) 19,5%      e) 18,5% 
16) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área
do retângulo é aumentada de:
a) 35%    b) 30%     c) 3,5%    d) 3,8%    e) 38%
17) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: 
a) 25%    b) 26%    c) 44%    d) 45%    e) 50%
18) Complete a tabela abaixo 
	Carros
	Quantidade
	%
	Vermelhos
	156
	
	Verdes
	132
	
	Pretos
	122
	
	Brancos
	90
	
	Total
	500
	100%
Respostas:
1) aumentou 20%
2) aumentou 5900%
3) $ 800,00
4) 100% 
5) 100 caramelos de fruta
6) comprou 60 bolas
7) 1800g 
8) redução de 60% 
9) 40% 
10)  a) 17600
       b) 55000 
11) C
12) E 
13) C
14) E
15) C
16) E
17) C
18) 
	Carros
	Quantidade
	%
	Vermelhos
	156
	31,2 %
	Verdes
	132
	26,4 %
	Pretos
	122
	24,4 %
	Brancos
	90
	18,0 %
	Total
	500
	 100 %
14