APRESENTAÇÃO

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APRESENTAÇÃO
Fundamentos de Engenharia Econômica trata do estudo do transporte do dinheiro no tempo,  também conhecido como Matemática Financeira.
O princípio básico deste estudo é que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo ou, exemplificando, R$ 100 hoje valem mais que R$ 100 daqui um mês.
O objetivo principal desta disciplina é capacitar o aluno a utilizar os conceitos principais de matemática financeira para a análise econômica e financeira de projetos e investimentos. 
A disciplina é dividida em 8 módulos:
Módulo 1 - Capitalização Simples, onde são apresentados os conceitos básicos de engenharia econômica e o sistema de capitalização simples.
Módulo 2 - Capitalização Somposta, com a introdução e ocnceitos sobre o regime de capitalização composta. 
Módulo 3 - Taxa Nominal, Taxa Efetiva e Taxas Equivalentes de juros, apresentando os tipos usuais de taxas de juros. 
Módulo 4 - Inflação e Correção Monetária, apresentando os conceitos de inflação, correção monetária, taxa de juros real e taxa de juros total. 
Módulo 5 - Equivalência de Capitais, demonstrando a importância desta técnica para a resolução de qualquer problema de engenharia econômica. 
Módulo 6 - Anuidade ou Série Uniforme de Pagamentos, onde é explanadas as relações entre parcelas periódicas e uniformes de pagamento ou investimento com valor presente e valor futuro.
Módulo 7 - Financiamento e Sistema Price de Amortização, onde estão os conceitos básicos sobre sistemas de financiamento e sobre o sistema Price.
Módulo 8 - Sistema de Amortização Constante, onde é apresentada a definição deste sistema e como executar os cálculos. 
 
As provas serão compostas por questões relativas aos assuntos dos seguintes módulos: 
Prova NP1: módulos 1, 2, 3 e 4
Prova NP2: módulos 5, 6, 7 e 8 
Prova substitutiva e Exame: Todos os módulos.
 
PLANO DE ENSINO
I – EMENTA
Capitalização simples e capitalização composta, anuidade e sistemas de amortização, inflação e os seus efeitos na economia.
II - OBJETIVOS GERAIS
Capacitar o aluno a utilizar os conceitos principais de matemática financeira para a aplicação na análise econômica e financeira de projetos e investimentos.
III - OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Fornecer os conceitos básicos do transporte do dinheiro no tempo.
Capacitar o aluno a solucionar problemas de empréstimos, financiamentos e aplicações financeiras.
Fornecer os conceitos de inflação, correção monetária e ganho real.
Fornecer o conceito de equivalência de capitais, suas aplicações e importância para a resolução de problemas.
IV - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
-    Conceito de capitalização simples.
-    Capitalização composta: definições, cálculos do montante, capital, juros, taxa de juros e períodos.
-    Taxa de juros: nominal, efetiva e equivalente.
-    Inflação: conceitos, índices, correção monetária, taxa de juros nominal e taxa de juros real.
-    Equivalência de capitais: conceito e aplicações.
-    Séries uniformes de pagamento: cálculos da prestação, do valor atual e do valor futuro. Renda perpétua.
-    Financiamento e sistemas de amortização: Sistema Price e Sistema de Amortização Constante. Elaboração da planilha de amortização.
V – ESTRATÉGIA DE TRABALHO
Aulas expositivas acompanhadas de exemplos e exercícios com aplicações práticas.
VI – AVALIAÇÃO
Provas bimestrais, prova substitutiva e exame.
VII – BIBLIOGRAFIA
Básica
SOBRINHO, José Dutra Vieira; Matemática Financeira; 7ª Edição; Editora Atlas, 2002
PUCCINI, Abelardo de Lima; Matemática Financeira Objetiva e Aplicada; 7ª Edição; Saraiva; 2006.
Complementar
GOMES,J osé Maria; MATHIAS, Washington Franco; Matemática Financeira; 
4ª Edição; Editora Atlas; 2004
VERAS, Lilia Ladeira; Matemática Financeira, 5ª Edição; Editora Atlas; 2005
SILVA, André Luiz Carvalhal da; Matemática Financeira Aplicada; 1ª Edição; Editora Atlas; 2005
ASSAF NETO, Alexandre; Matemática Financeira e Suas Aplicações; São Paulo: Atlas, 2002.
SAMANEZ, Carlos Patrício, Matemática Financeira; São Paulo:
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Definições e nomenclatura
2. Conceito de capitalização simples
3. Fórmulas
4. Exercícios resolvidos
1. Definições e nomenclatura
A Matemática Financeira tem como ponto fundamental o cálculo de valores monetários em diversas datas transportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remuneração pelo capital emprestado ou aplicado.
Basicamente existem dois tipos de capitalização (capitalização é a soma dos juros ao principal, ampliando-se o mesmo e formando o montante):  Capitalização Simples e Capitalização Composta.
A Capitalização Simples (ou Juros Simples) consiste no cálculo de juros de maneira que seu crescimento, ao longo do tempo, ocorre linearmente.
Os juros são sempre calculados sobre o Capital Inicial.
Período de Capitalização é o período no qual os juros são capitalizados ou incorporados ao principal. Exemplo: se o período de capitalização é mensal significa que os juros calculados serão incorporados ao capital mensalmente. 
A taxa de juros é o índice que permite calcular os juros. Ela é geralmente expressa em percentual e deve, obrigatoriamente, referenciar o período de capitalização. Exemplos 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ano.
Nomeclatura:
A tabela a seguir mostra a nomenclatura utilizada nesta disciplina e a nomenclatura utilizada pelas calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas:
	Nomeclatura Básica
	Nomeclatura em Português
	Nomeclatura em Inglês
	Definição
	C
	VP
	PV
	Capital - Valor Presente - Present Value
	M
	VF
	FV
	Montante - Valor Futuro - Future Value
	J
	J
	INT
	Juro (ou Juros) – Interest
	i
	i
	i
	Taxa de Juros
	n
	n
	n
	Tempo, Período, Número de Prestações
	P
	PGTO
	PMT
	Prestação – Pagamento - Payment
	VPL
	VPL
	NPV
	Valor Presente Líquido - Net Present Value
	TIR
	TIR
	IRR
	Taxa Interna de Retorno - Internal Rate of Return
  
2. Conceito de Capitalização Simples
 No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear (ou conforme uma progressão aritmética).
Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado é C=1.000, a taxa de juros simples é i=1% por período (O período poderá estar em qualquer unidade de tempo: dia, semana, mês, semestre, ano, etc.).
 
 Em qualquer período (n=1 ou n=2 ou n=3 ou n=4) o juro é sempre calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, Jj=10.
3. Fórmulas
São utilizadas as seguintes fórmulas para capitalização simples:
No exemplo acima temos, para cada período:
	Período
	Juros
	Juros Acumulados
	Capital
	0
	 
	 
	1.000
	1
	10
	10
	1.010
	2
	10
	20
	1.020
	3
	10
	30
	1.030
	4
	10
	40
	1.040
Note que o capital cresce segundo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro.
 
Exemplo: Quais os juros e o montante correspondentes a uma aplicação de um capital de R$ 150.000 durante 55 dias a uma taxa de 15% ao ano?
Pela fórmula:
Observações: - foi considerado ano comercial (de 360 dias) e note que no uso da fórmula, ‘n’ e ‘i’ tem a mesma periodicidade (n em mês e i em % ao mês, se n fosse anual, então i seria % ao ano).
No caso de ano exato (de 365 dias):
 
*Observação: Caso esteja omisso, adota-se o ano comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias)..
Resumindo, temos as seguintes fórmulas para o regime de capitalização simples:
  
 
 
 
4. Exercícios resolvidos
 Exercício 1: Um capital de $720.000 foi aplicado durante 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Montante após este período.
 
 Exercício 2: Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de $28.000 para formar um montante de $38.500 se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ano?
  
 
Bibliografia
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRAVIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Conceito de capitalização composta
2. Fórmulas
3. Exercícios resolvidos
 
 
1. Conceito de capitalização composta
 
No regime de capitalização composta ou de juros compostos os juros calculados num período serão acrescidos ao capital principal para o cálculo dos juros no próximo período. Por esta razão diz-se, no caso de regime de capitalização composta, “juros sobre juros” ou “capitalização de juros”.
Este é o sistema utilizado no Brasil e na maioria dos países do mundo.
Observe o esquema abaixo, onde é aplicado um capital de $ 1.000 durante ‘n’ períodos à uma taxa de 1% por período.
 
No primeiro período (n=1) a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital C=1.000 gerando juros J1=10 e formando o montante M1=1.010.
No segundo período a taxa de juros foi aplicada sobre o montante do período anterior (n=1), M1=1.010, gerando juros de J2=10,10 e formando o montante M2=1.020,10.
E assim sucessivamente a cada período.
2. Fórmulas
O Montante pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
Da mesma maneira, para calcularmos o Valor Presente:
Os Juros são calculados pela fórmula: J=M-C
No exemplo acima temos, para cada período:
	Período
	Juro
	Capital
	0
	 
	1.000,00
	1
	10,00
	1.010,00
	2
	10,10
	1.020,10
	3
	10,20
	1.030,30
	4
	10,30
	1.040,60
Note que o capital cresce segundo uma progressão geométrica.
Para o cálculo da taxa temos: 
 
e para o cálculo do número de períodos:
  
 
3. Exercícios resolvidos
1. Qual o montante gerado por um capital de $35.000 aplicado durante 4 anos à uma taxa de 12% ao ano?
2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 10 meses, para produzir um montante de $5.800?
3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durante 3 anos?
M=C+J=6.000+1.813,56=7.813,56
Obs.: Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar n=3 anos para n=6 semestres.
4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente, para obter um montante de $1.240.959,51?
 
Ou n= 14 meses e 15 dias.
 
 
Bibliografia
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
 
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
 
 
 
 
 
 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
 
1. Definições
2. Fórmulas e conversões
3. Exercícios resolvidos
1. Definições
É comum na relação das instituições financeiras com seus clientes a utilização de taxas de juros com periodicidades distintas, principalmente as taxas com periodicidade anual e mensal.
Este módulo aborda os diferentes tipos de taxas e as conversões existentes entre elas, para o regime de capitalização composta.
As taxas utilizadas são:
Taxa de juros nominal (iN): é uma taxa utilizada como referência, não sendo aplicada diretamente nos cálculos. Na maioria dos casos tem periodicidade anual e a partir dela calcula-se a taxa efetiva de forma proporcional. 
Taxa de juros efetiva (ief): é a taxa que efetivamente é aplicada nos cálculos e é calculada proporcionalmente ao juro nominal.
Por exemplo, qual a taxa de juros efetiva para uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal?
 
Dividindo 12% ao ano por 12 meses, a taxa efetiva é de 1% ao mês.
Taxas de juros equivalentes (ieq), são duas ou mais taxas de juros com periodicidades diferentes que, quando aplicadas num mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante.
 
 
2. Fórmulas
2.1 Conversão de taxa de juros nominal para efetiva
 
 
 
Onde n é a relação de periodicidade entre a taxa nominal e a efetiva.
Por exemplo, uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral tem n=4 (4 trimestres num ano) e a taxa efetiva é de 6% ao bimestre. 
2.2 Cálculo de taxas equivalentes
 
  
 
Onde n1/n2 é a relação de periodicidade entre as taxas.
Por exemplo, para uma taxa efetiva de 15% ao semestre temos as seguintes taxas equivalentes:
 
 
 
Observações:
1. Diz-se que as taxas 15% a.s., 0,078% a.d., 2,36% a.m., 9,77% a.q. e 32,25% a.a. são equivalentes.
2. Pela definição de taxas equivalentes, se aplicarmos qualquer uma destas taxas num mesmo capital e durante o mesmo período, obtêm-se o mesmo montante.
Por exemplo: um capital de R$ 6.000 aplicado a 15% a.s., durante 2 anos gera um montante de R$ 10.494:
 
3. Exercícios resolvidos
 
 
1. Qual a taxa efetiva para um financiamento com taxa nominal de 24% ao ano e capitalização mensal? 
 
 
 
 
24%/12 = 2% a.m.
  
2. Quais as taxas equivalentes bimestral, trimestral, semestral e anual para uma taxa efetiva de 2% ao mês?
 
 
 
 
 
3. Um empréstimo de R$ 3.500 é feito a uma taxa nominal de 34% ao ano com capitalização diária. Qual o valor da dívida após 4 meses?
 
 
 
 
 
 
Bibliografia
Básica
 
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1. Introdução
2. Índices e cálculos
3. Taxa de juros nominal e taxa de juros real
4. Exercícios resolvidos
 
 
1. Introdução 
Inflação significa aumento de preços durante um período. Em maior ou menor grau ela está presente na economia de todos os países.
A inflação pode ter diversas causas como aumento da demanda dos produtos e desvalorização da moeda nacional por emissão exagerada de dinheiro.
Se num determinado período houver retração nos preços, a denominação dada é deflação.
A correção monetária visa corrigir a perda monetária (poder de compra) causada pela inflação.
No Brasil existem diversos índices para correção monetária, cada um com uma base de cálculo e uso específicos. 
 
2. Índices e cálculos 
Alguns dos índices de inflação brasileiros: ICV, IGP-DI, INCC-DI, INCC-M, INPC, IPA-DI, IPA-M, IPC, IPC-DI e IPC.
Para efeito de ilustração, vamos pegar o INPC (Índice Nacional de Preço ao Consumidor), que é um índice calculado pelo IBGE.
A variação dos preços, no caso do INPC, é apurada do 1º ao 30º dia de cada mês e tem, como unidade de coleta, estabelecimentos comerciais e de prestação de serviços, concessionária de serviços públicos e domicílios (aluguel e condomínio). A população-objetivo do INPC abrange as famílias com rendimentos mensais compreendidos entre 1 e 6  salários-mínimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação principal e residente nas áreas urbanas das regiões qualquer que seja a fonte de rendimentos, e residentes nas áreas urbanas das regiões. 
A tabela a seguir mostra todos os índices do INPC no ano de 2010. 
	 Mês de 2010
	INPC 
	INPC acumulado
	 
	
	 
	 
	 
	Janeiro
	0,88%
	0,8800%
	
	
	
	
	
	Fevereiro
	0,70%
	1,5861%
	
	
	
	
	
	Março
	0,71%
	2,3074%
	
	
	
	
	
	Abril
	0,73%
	3,0543%
	
	
	
	
	
	Maio
	0,43%
	3,4974%
	
	
	
	
	
	Junho
	-0,11%
	3,3836%
	
	
	
	
	
	Julho
	-0,07%
	3,3112%
	
	
	
	
	
	Agosto
	-0,07%3,2389%
	
	
	
	
	
	Setembro
	0,54%
	3,7963%
	
	
	
	
	
	Outubro
	0,92%
	4,7513%
	
	
	
	
	
	Novembro
	1,03%
	5,8302%
	
	
	
	
	
	Dezembro
	0,60%
	6,4652%
	
	
	
	
	
Observe que os índices negativos dos meses junho, julho e agosto, indicam uma deflação neste período e nos demais meses inflação.
Para entender estes números, se uma pessoa teve gastos de R$ 100 no dia 31 de dezembro de 2009, para adquirir os mesmo produtos em 31 de janeiro de 2010 ela teria que dispor de R$ 100 mais 0,88%, ou seja R$ 100 x 1,0088 = R$ 100,88 e teria que dispor de R$ 100,88 x 1,007 = R$ 101,58 em 28 de fevereiro de 2010. 
O objetivo principal deste módulo é o cálculo da correção monetária com ou sem juros agregados.  
Primeiramente trataremos do cálculo da inflação acumulada num determinado período. 
  
Onde  cac= inflação acumulada no período de 1 a n. 
Cj=inflação no período j (j=1,2,3....n)  
Como exemplo, qual o INPC acumulado no primeiro semestre de 2010?
 
A inflação média no período é calculada por:
cmédia=cac1/n-1, no exemplo:
cmédia=1,0338361/6-1=0,56% ao mês, foi a inflação média mensal (INPC) do 1º semestre de 2010
 
Para o cálculo da correção monetária num determinado período: 
Para fazer a correção monetária de um valor de R$ 500, de 31 de dezembro de 2009 para 30 de junho de 2010 utilizando o INPC:
 
3. Taxa de juros nominal e taxa de juros real 
No item anterior foi tratada apenas a correção monetária.
Em muitos cálculos na economia, além da correção monetária há a adição de juros, como por exemplo o cálculo da caderneta de poupança e do FGTS.
Os juros representam o rendimento real obtido, sendo denominados juros reais. Os juros reais mais a correção monetária são os juros nominais. 
Para o cálculo da taxa de juros nominal, num determinado período, tem-se: 
Onde     iN = taxa de juros nominal do período
              iac= taxa de juros real no período
 
Exemplo: se determinada aplicação rende juros reais de 0,5% ao mês mais correção monetária segundo o INPC, temos: 
 
- Taxa de juros nominal em setembro de 2010:
 
- Taxa de juros real acumulada no ano de 2010:
- Taxa de juros nominal acumulada no ano de 2010: 
- se fosse aplicado um valor de R$ 1.000 em 31/12/2009, o montante em 31/12/2010 seria de
 
4. Exercícios resolvidos 
1) Qual o INPC acumulado no 2º semestre de 2010?
 
2) Se um valor de R$ 3.400 foi aplicado em 30/06/2010, num fundo que rende juros reais de 0,25% ao mês mais correção monetária pelo INPC, calcular a taxa de juros real, a taxa de juros nominal e o valor do montante em 31/12/2010. 
Taxa de juros real nos 6 meses:
 
Taxa de juros nominal nos 6 meses:
Montante em 31/12/2010:
 
 
Bibliografia 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1. Conceito
2. Exemplos  
1.  Conceito 
Enquanto as taxas equivalentes são aquelas que com periodicidades diferentes produzem o mesmo montante, se aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, diz-se que dois ou mais capitais são equivalentes se, trabalhando com uma determinada taxa de juros, eles forem transportados para uma determinada data focal, seus valores serão iguais.
Obs.: Data focal é a data para qual serão transportados os valores com os quais se trabalha.
Em outras palavras, considerando uma taxa ‘i’ e dois capitais, um na data 3 e outro na data 10, estes capitais serão equivalentes se, transportados para uma data focal qualquer através da taxa ‘i’, eles apresentarem o mesmo valor. 
 
2.  Exemplos 
Exemplo 1: o três capitais abaixo são equivalentes para a taxa de juros compostos de 2% ao mês:
R$ 4.080 daqui a 1 mês, R$ 4.504,64 daqui a 6 meses e R$ 4.686,64 daqui a 8 meses. 
 Adotando a Data Focal 0 e levando todos estes valores para esta data focal, a 2% ao mês, obtêm-se o mesmo valor.
Como cada um dos valores será levado para uma data anterior, então cada um deles será M (FV) na sua data e C (PV) na data focal 0.
Usando a fórmula de montante para juros compostos:  
 
Conclui-se que os capitais $4.080 na data 1, $4.504,64 na data 6 e $4.686,64 na data 8 são equivalentes no regime de juros compostos à uma taxa de 2% ao mês.
Se estes capitais são equivalentes, então para qualquer data focal que eles forem levados, à uma taxa de 2% ao mês, será produzido o mesmo valor. Vejamos os exemplos abaixo:
- Data Focal 6:
 
- Data Focal 4:
 
Todos os capitais acima são equivalentes no regime de juros compostos, à uma taxa de 2% ao mês. 
 
Exemplo 2: Um equipamento é vendido a vista por R$ 10.000 ou a prazo em duas condições: R$ 5.030 de entrada mais R$ 5.030 em um mês ou R$ 3.000 de entrada, R$ 2.000 em um mês, R$ 3.000 em dois meses e R$ 2.200 em 3 meses.
Se você possui capital suficiente para comprar este equipamento em qualquer uma destas condições e se este capital estiver rendendo 1,2% ao mês, qual a melhor delas?
DATA FOCAL 0 
1ª condição a prazo: 
2ª condição a prazo
As melhores condições são a vista e a de 2 parcelas, pois apresentam o menor valor na data focal 0 (ou em qualquer outra data focal).
Exemplo 3: Uma pessoa deseja acumular um capital de R$ 18.600 nos próximos 6 meses e para isso fará 4 depósitos mensais e consecutivos (o primeiro deles será hoje) num fundo com rendimentos de 1,1% a.m. Cada depósito terá valor 20% maior que o anterior.
Calcule o valor de cada depósito.
Data focal = 6
  
1º depósito: R$ 3.306,44
2º depósito: R$ 3.967,73  (3.306,44 x 1,2)
3º depósito: R$ 4.761,28  (3.967,73 x 1,2)
4º depósito: R$ 5.713,53  (4.761,28 x 1,2)
 
 
Bibliografia 
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002. 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1. Introdução
2. Prestações e Valor presente
3. Prestações e Valor futuro
4. Renda perpétua
5. Exercícios resolvidos
1. Introdução
Quando se contrai uma dívida, esta pode ser paga de uma só vez após um determinado período ou pode ser parcelada em prestações iguais, sendo amortizada a cada período.
Da mesma maneira, quando se investe um dinheiro, ele pode ser resgatado de uma só vez, ou pode ser recebido em parcelas iguais e sucessivas, sendo capitalizado a cada período.
Os casos de pagamento de dívida e recebimento de investimento de uma só vez, após um determinado período, já foram vistos anteriormente nos itens sobre capitalização simples e composta.
Neste item veremos os casos de parcelamentos iguais das dívidas e investimentos, utilizando amortização e capitalização composta. Será usado o método Price onde as prestações possuem o mesmo valor.
Suponha que você contraiu uma dívida no valor ‘C’, à uma taxa de juros compostos de ‘i’ por período e deverá pagar esta dívida em ‘n´’ parcelas periódicas de valor ‘P’ cada. 
Ainda existem duas modalidades de pagamento:
1. As parcelas são pagas ao final de cada período. Neste caso denomina-se pagamento ‘postecipado’.
2. As parcelas são pagas no início de cada período. Neste caso denomina-se pagamento ‘antecipado’..
Se um problema for omisso quanto ao pagamento antecipado ou postecipado, adota-se sempre o segundo. 
 
2. Prestação e Valor Presente
Aplicam-se as fórmulas apresentadas a seguir, principalmente,em empréstimos e financiamentos com pagamento em prestações fixas. Considera-se o valor presente como o valor financiado. 
 
 
a) Parcelas postecipadas (pagamento no final do período)
  
 
 
 
 
Onde,    P=valor da prestação
              C=valor financiado
               n=número de prestações
               i=taxa de juros
 
 
b) Parcelas antecipadas (pagamento no início do período) 
  
 
   
São ‘n’ parcelas de valor P cada (a primeira na data 0 e a última em n-1).
Como a primeira parcela é paga na data 0 (dada como entrada), podemos considerar que o valor financiado é C-P e que o número de parcelas é de n-1.
Esta modalidade é mais aplicada para compras financiadas onde o primeiro pagamento é a entrada.
 
3. Prestação e Valor futuro
Aplicam-se as fórmulas apresentadas a seguir, principalmente em aplicações com depósitos periódicos e de valores iguais e deseja-se calcular o valor do montante após o último depósito.) Parcelas postecipadas (pagamento no final do período)
  
 
b) Parcelas antecipadas (pagamento no início do período)
 
 
 
 
4. Renda Perpétua
Se você aplicar um capital de R$ 100 mil a 1% ao mês e retirar apenas os rendimentos (juros) de R$ 1.000 todos os meses, você terá uma renda R$ 1.000 perpetuamente pois o capital de R$ 100 mil não se altera.
A renda perpétua, como o próprio nome diz, não tem prazo para acabar e portanto não há montante a ser calculado. O que ela garante, é uma renda periódica (baseada na taxa de juros e capital inicial) e o capital inicial (que não será capitalizado nem depreciado). 
 
 
 
Para o cálculo da renda periódica perpétua é utilizada a seguinte fórmula: 
  
 5. Exercícios resolvidos 
1. Um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês terá o seguinte valor da prestação:
2. Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno, 12 parcelas mensais de R$1.800, sendo a primeira um mês após a aplicação, e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês?
3. Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$100.000 daqui a 12 meses, no momento do depósito da última parcela, aplicando o dinheiro à uma taxa de 1,5% ao mês?
 
4. Quanto terá, ao final de 5 anos, uma pessoa que deposita no final de cada ano R$15.000 aplicados à uma taxa de 21% ao ano?
 5. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8 prestações mensais de R$160,00, sendo a primeira de entrada, sabendo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês?
6. Que capital aplicado deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perpétua de R$2.000, sabendo-se a taxa de juros paga é de 1% ao mês?
 
Bibliografia 
 
Básica
 ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002. 
 
 
Complementar 
 
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO   
1. Introdução
2. Sistema Price
3. Exercício resolvido  
 
 
1. Introdução
Quando se contrai um empréstimo, este pode ser pago de uma só vez após um determinado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro já foi visto nos Módulos 1 e 2 (Capitalizações Simples e Composta).
Amortização significa diminuição do capital principal que foi financiado.
Existem vários tipos de amortização e aqui serão estudados os dois tipos mais utilizados: o Sistema Price ou Sistema Francês de Amortização e o Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês.
Tanto em um sistema como no outro, o valor da prestação é a soma da parcela de amortização com os juros do período.
 
 
 
Definições e Nomenclatura: 
SDj = Saldo Devedor no período j = Valor da dívida num determinado instante
Jj = Juros no período j
Aj= Amortização no período j
Pj = Prestação no período j
 
 
Em qualquer sistema de amortização, são validas as seguintes fórmulas: 
  
 
 
2. Sistema Price ou Sistema Francês de Amortização (SFA)  
 
Consiste num sistema onde o valor da prestação é igual em qualquer período, sendo que a parcela correspondente à amortização cresce ao longo tempo e a parcela correspondente aos juros decresce ao longo tempo.
Neste sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e para o cálculo da prestação é utilizada a fórmula de parcelas postecipadas: 
 
 
Exemplo:
Seja um financiamento de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo Sistema Price e com taxa de juros de 15% ao ano:
Valor da prestação: $ 264.236,91  
 
Para demonstrar a evolução de um financiamento no decorrer do seu prazo, é elaborada uma planilha onde constam o período, o saldo devedor, os juros, a amortização e a prestação.  
 
Utilizando as fórmulas vistas no item 1, chegamos à seguinte “planilha do financiamento”: 
 
	Ano
	Saldo Devedor
	Juros
	Amortização
	Prestação
	0
	1.000.000,00
	 
	 
	 
	1
	885.763,09
	150.000,00
	114.236,91
	264.236,91
	2
	754.390,64
	132.864,46
	131.372,45
	264.236,91
	3
	603.312,33
	113.158,60
	151.078,31
	264.236,91
	4
	429.572,27
	90.496,85
	173.740,06
	264.236,91
	5
	229.771,20
	64.435,84
	199.801,07
	264.236,91
	6
	-
	34.465,68
	229.771,20
	264.236,91
 Observações:
-            Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo devedor do ano imediatamente anterior. Por exemplo, os juros de $113.158,60 do ano 3 é correspondente à 15% (taxa de juros) de $754.390,64 (Saldo devedor do ano anterior, ou seja ano2);
-            O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo devedor do ano imediatamente anterior pela amortização do ano vigente (Ano 2: $754.390,64=$885.763,09-$131.372,45)
-            No último ano o saldo devedor deverá ser igual à zero.
 
Caso com período de carência
Existem empréstimos onde há um período de carência, ou seja, o pagamento da primeira prestação ocorrerá alguns períodos após a tomada do empréstimo. Geralmente, neste tipo de empréstimo, os juros são capitalizados no período de carência.
Só é considerado período de carência se a primeira prestação ocorrer após 2 ou mais  períodos de capitalização da tomada do empréstimo.
Exemplo: Seja um empréstimo de $250.000, com 4 meses de carência, a ser pago em 7 prestações bimestrais, com taxa de juros de 4,5% ao bimestre, Sistema Price, e juros capitalizados e não pagos durante o período de carência..
No período de 0 a 2 bimestres (carência) serão capitalizados juros.
Para calcular a prestação devemos achar o saldo devedor no bimestre 1 e então colocar este valor na fórmula de parcelas postecipadas. 
O resultado $261.250 é o valor da dívida no bimestre 1. 
Então o valor da prestação fica: 
 
Planilha de amortização: 
	Bimestre
	Saldo Devedor
	Juros
	Amortização
	Prestação
	0
	250.000,00
	 
	 
	 
	1
	261.250,00
	11.250,00
	 
	 
	2
	228.671,74
	11.756,25
	32.578,26
	44.334,51
	3
	194.627,46
	10.290,23
	34.044,28
	44.334,51
	4
	159.051,19
	8.758,24
	35.576,27
	44.334,51
	5
	121.873,98
	7.157,30
	37.177,21
	44.334,51
	6
	83.023,80
	5.484,33
	38.850,18
	44.334,51
	7
	42.425,37
	3.736,07
	40.598,44
	44.334,51
	8
	-
	1.909,14
	42.425,37
	44.334,51
3. Exercício resolvido  
1. Montar a planilha de um financiamento de $205.000, pelo Sistema Price, que deve ser amortizado em 12 prestações mensais, sem carência, e com taxa de juros de 1,8% ao mês.
	Mês
	Saldo Devedor
	Juros
	Amortização
	Prestação
	0
	         205.000,00
	 
	 
	 
	1
	         189.542,59
	            3.690,00
	          15.457,41
	          19.147,41
	2
	         173.806,963.411,77
	          15.735,64
	          19.147,41
	3
	         157.788,08
	            3.128,53
	          16.018,88
	          19.147,41
	4
	         141.480,86
	            2.840,19
	          16.307,22
	          19.147,41
	5
	         124.880,11
	            2.546,66
	          16.600,75
	          19.147,41
	6
	         107.980,54
	            2.247,84
	          16.899,56
	          19.147,41
	7
	          90.776,79
	            1.943,65
	          17.203,76
	          19.147,41
	8
	          73.263,36
	            1.633,98
	          17.513,42
	          19.147,41
	9
	          55.434,70
	            1.318,74
	          17.828,66
	          19.147,41
	10
	          37.285,12
	               997,82
	          18.149,58
	          19.147,41
	11
	          18.808,85
	               671,13
	          18.476,27
	          19.147,41
	12
	                  0,00
	               338,56
	          18.808,85
	          19.147,41
 
 Bibliografia 
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002. 
Complementar 
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1. Definição
2. Exercício resolvido
1. Definição
Neste sistema os valores das amortizações são iguais e os valores da prestações e dos juros decrescem ao longo do tempo.
O Sistema de Amortização Constante (SAC) também é conhecido como Sistema Hamburguês. 
O valor de cada amortização é a divisão do valor financiado pelo número de prestações.
As demais fórmulas são as mesmas que do sistema Price:
Exemplo: empréstimo de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ano: 
Para calcular o valor da amortização em cada período:
A tabela de amortização fica: 
	Ano
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	1.000.000,00
	 
	 
	 
	1
	833.333,33
	316.666,67
	166.666,67
	150.000,00
	2
	666.666,67
	291.666,67
	166.666,67
	125.000,00
	3
	500.000,00
	266.666,67
	166.666,67
	100.000,00
	4
	333.333,33
	241.666,67
	166.666,67
	75.000,00
	5
	166.666,67
	216.666,67
	166.666,67
	50.000,00
	6
	0,00
	191.666,67
	166.666,67
	25.000,00
 Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. A valor de cada prestação é a soma da amortização com os juros respectivos.
2. Exercício resolvido 
 Montar a planilha de amortização para um financiamento de $62.500, a ser amortizado em 6 parcelas semestrais, com um ano de carência e uma taxa nominal de juros de 36% ao ano, pelo SAC.
Como há 2 semestres de carência (1 ano), a amortizaçãosemestral é calculada sobre o saldo devedor no final do primeiro semestre:
	Semestre
	Saldo Devedor
	Juros
	Amortização
	Prestação
	0
	65.000
	 
	 
	 
	1
	76.700
	11.700
	 
	 
	2
	63.917
	13.806
	12.783
	26.589
	3
	51.133
	11.505
	12.783
	24.288
	4
	38.350
	9.204
	12.783
	21.987
	5
	25.567
	6.903
	12.783
	19.686
	6
	12.783
	4.602
	12.783
	17.385
	7
	0
	2.301
	12.783
	15.084
Bibliografia 
 
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
 
 
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.