Prova 3 2017/2 - Fundamentos de Mecânica UFMG Luiz Paulo

Prévia do material em texto

GABARITO da 3a PROVA DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA - TURMA A4 - 29/11/2017
Abaixo esta˜o os Momentos de Ine´rcia de alguns corpos uniformes por eixos que passam pelo centro de massa:
- disco ou cilindro de massa M , raio R, pelo seu eixo: ICM,cil =
1
2
MR2
- esfera macic¸a de massa M , raio R, por um eixo que passa pelo seu centro de massa: ICM,esf,1 =
2
5
MR2
- esfera oˆca de massa M , raio R, por um eixo que passa pelo seu centro de massa: ICM,esf,2 =
2
3
MR2
- barra reta e uniforme de massa M , comprimento L, por um eixo que passa pelo seu centro de massa,
perpendicular a` barra: ICM,bar =
1
12
ML2
1– Um disco uniforme, de massa M e raio R, gira com uma velocidade angular ω0 em torno de seu eixo,
quando um torque me´dio no mesmo sentido de sua velocidade inicial, τm, atua nele por um intervalo de
tempo de ∆t segundos. Determine, nesse per´ıodo, em termos de M , R, τm, ω0 e ∆t:
1.1– a variac¸a˜o de momento angular sofrida pelo disco;
1.2– a variac¸a˜o de velocidade angular sofrida pelo disco;
1.3– o trabalho total realizado sobre o disco;
1.4– a poteˆncia me´dia fornecida ao disco.
Soluc¸a˜o
O momento de ine´rcia do disco, de acordo com os valores fornecidos no in´ıcio da prova, em torno de seu eixo,
e´ I = 1
2
MR2.
1.1– A definic¸a˜o de torque, τ , em termos de momento angular, e´
τ =
dL
dt
portanto, ∆L = τme´dio∆t. (1)
1.2– O disco e´ um corpo sime´trico e a sua quantidade de movimento angular se relaciona com seu momento
de ine´rcia e sua velocidade angular por L = Iω. Portanto, a variac¸a˜o de momento angular sera´ ∆L = I∆ω,
ou seja, o momento de ine´rcia multiplicado pela variac¸a˜o de velocidade angular. Portanto,
∆ω =
∆L
I
=
τme´dio∆t
MR2
2
,
e a variac¸a˜o da velocidade angular e´
∆ω =
2τme´dio∆t
MR2
. (2)
1.3– Pela definic¸a˜o de trabalho, temos que o trabalho total realizado sobre o corpo e´ a variac¸a˜o de energia
cine´tica do mesmo. Enta˜o,
Wtotal = ∆Ecine´tica = Ecin,final − Ecin,inicial =
1
2
Iω2final −
1
2
Iω2inicial =
1
2
I
(
ω2final − ω20
)
. (3)
Temos a velocidade angular inicial e precisamos a velocidade angular final. Na Eq.(2) encontramos a variac¸a˜o
da velocidade angular, ∆ω=ωfinal − ωinicial, portanto, ωfinal = ωinicial + ∆ω = ω0 + ∆ω = ω0 + 2τme´dio∆tMR2 .
Substituindo na Eq(3),
Wtotal =
1
2
(
1
2
MR2
)(
(ω0 +∆ω)
2 − ω20
)
=
MR2
4
∆ω (2ω0 +∆ω) =
τme´dio∆t
2
(
2ω0 +
2τme´dio∆t
MR2
)
ou
Wtotal = τme´dio∆t
(
ω0 +
τme´dio∆t
MR2
)
. (4)
1.4– Poteˆncia e´ trabalho fornecido por unidade de tempo. Portanto,
Pme´dia =
Wtotal
∆t
= τme´dio
(
ω0 +
τme´dio∆t
MR2
)
. (5)
2- Um pequeno corpo de massa m esta´
parado no eixo de um anel fino de raio
R e massa M , tambe´m parado, a uma
distaˆncia r do centro do anel, como
mostra a figura, isolados do resto do
Universo. O eixo e´ perpendicular ao
plano do anel.
2.1– Encontre o mo´dulo da forc¸a gra-
vitacional que atua no corpo de
massa m, em termos de G, m, M ,
r e R. Mostre na figura o sentido
dessa forc¸a.
2.2– Encontre a energia potencial gra-
vitacional desse sistema, na con-
figurac¸a˜o acima, em termos de G,
m, M , r e R.
m
M
R
dM
dθ
(R +r )2 1/2
φ
r
dF
dF cos φ
2
2.3– Se ambos forem soltos do repouso (energia cine´tica inicial nula) e separados inicialmente como na
figura, a que distaˆncia da posic¸a˜o inicial do anel o corpo de massa m vai passar pelo centro do anel
(em termos de G, m, M , r e R)?. Qual a energia potencial do sistema nesse instante. quando o
corpo esta´ passando pelo centro do anel?
2.4– Qual e´ a energia cine´tica total do sistema no instante que a massa m passa pelo centro do anel?
Soluc¸a˜o
2.1– Vamos dividir o anel em uma infinidade de massas infinitesimais dM . A distaˆncia entre essas massas
infinitesimais e a massa m e´ d =
√
R2 + r2 e o mo´dulo da forc¸a que a massa m sofre desse infinite´simo de
massa e´
dF =
G(m)(dM)
d2
=
Gm
R2 + r2
dM. (6)
A componente dessa forc¸a na direc¸a˜o que aponta para o centro do anel e´ dF cosφ=dF r√
R2+r2
. Para encon-
trarmos a forc¸a total entre o anel e a massa m temos que integrar
F =
∫
dF cosφ =
∫
dF
(
r√
R2 + r2
)
=
∫
GmdM
R2 + r2
(
r√
R2 + r2
)
=
Gmr
(R2 + r2)
3
2
∫
dM, (7)
onde coloquei para fora do sinal da integral os termos constantes. Obviamente a integral que sobrou e´ a
massa total do anel e a forc¸a que a massa m sofre do anel aponta para o centro do anel e tem o mo´dulo
F =
GmMr
(R2 + r2)
3
2
. (8)
2.2– Ainda utilizando o artif´ıcio anterior de dividir o anel em partes infinitesimais, a pequena contribuic¸a˜o
de energia potencial entre a massa dM e m e´
dE = −G(m)(dM)
d
= −G(m)(dM)√
R2 + r2
e, integrando por todo o anel, nota-se que
E =
∫
dE =
∫
−G(m)(dM)√
R2 + r2
= − Gm√
R2 + r2
∫
dM = − GmM√
R2 + r2
. (9)
2.3– Pela 3a Lei de Newton, o anel sofre uma forc¸a de mesmo mo´dulo da massa m, mas de sentido oposto.
Se o sistema esta´ isolado de outros corpos, essas sa˜o as u´nicas forc¸as que atuam no mesmo. Como sa˜o forc¸as
internas, na˜o conseguem acelerar o centro de massa do sistema. Inicialmente tanto o anel como a massa m
esta˜o parados e o centro de massa do sistema se situa a` distaˆncia
Rcm =
0+mr
M +m
= r
(
m
M +m
)
. (10)
Como na˜o ha´ forc¸as externas atuando, o centro de massa tera´ acelerac¸a˜o nula. E, como estava inicialmente
parado, continua parado, e quando a massa m passar pelo centro do anel, ambos estara˜o a` distaˆncia dada
pela Eq.(10) da posic¸a˜o inicial do anel.
2.4– A forc¸a gravitacional e´ uma forc¸a conservativa e, na auseˆncia de outras forc¸as, a energia mecaˆnica
do sistema se conserva. Inicialmente tanto o anel como a massa m esta˜o parados. A energia potencial
gravitacional entre eles foi calculada na parte 2.2– por integrac¸a˜o. Quando a massa m estiver passando pelo
centro do anel, a distaˆncia entre ela e o centro sera´ nula e a energia potencial gravitacional nesse instante
sera´, seguindo o mesmo racioc´ınio da Eq.(9), quando r = 0
Epot,fin = −
GmM
R
. (11)
Nesse instante o sistema tera´ uma certa energia cine´tica de tal forma que as energias meca˜nicas inicial e final
sa˜o iguais
Emec,ini = Ecin,ini + Epot,ini = 0 +
(
− GmM√
R2 + r2
)
= Emec,fin = Ecin,fin +
(
−GmM
R
)
, (12)
de onde calculamos
Ecin,fin = GmM
(
1
R
− 1√
R2 + r2
)
. (13)
3– Uma esfera macic¸a, de raio R e massa
M , translada inicialmente com a velo-
cidade linear V0, como na figura, mas
sem qualquer velocidade de rotac¸a˜o em
torno de seu eixo. A esfera e´ posta em
contacto com uma superf´ıcie horizon-
tal com a qual possui um coeficiente de
atrito cine´tico µ, e lanc¸ada conforme
mostrado na figura.
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
µ
ω = 0
v
R
M 0
0
3.1- Localize e represente esquematicamente na figura (ou fac¸a outras figuras) quais as forc¸as (coloque
direc¸a˜o e sentido) que atuam na esfera, enquanto existir derrapagem entre ela e o solo. Identifique
claramente as forc¸as e seus pontos de atuac¸a˜o.
3.2- Descreva com suas palavras como sera´ o movimento dessa esfera ao longo do tempo. Escreva as
equac¸o˜es para o movimento de translac¸a˜o (forc¸as) e de rotac¸a˜o (torques) da esfera e encontre suas
acelerac¸o˜es linear e angular, a e α, em termos de M , R, µ, V0 e g.
3.3- Escreva as equac¸o˜es para as velocidades de translac¸a˜o e de rotac¸a˜o da esfera em func¸a˜o do tempo,
v(t) e ω(t), em termos de t (varia´vel independente), M , R, µ, V0 e g, enquantoa esfera estiver
derrapando sobre a superf´ıcie horizontal.
3.4- Calcule o tempo que leva para a esfera passar a rolar sem derrapar sobre a superf´ıcie (em termos
de M , R, µ, V0 e g).
3.5- Calcule a velocidade final de translac¸a˜o da esfera, apo´s ela comec¸ar a rolar sem derrapar sobre a
superf´ıcie (em termos de M , R, µ, V0 e g).
Soluc¸a˜o
3.1– As forc¸as que atuam na esfera, enquanto ele derrapa sobre a su-
perf´ıcie horizontal sa˜o seu peso, Mg, causado pela atrac¸a˜o da Terra,
que sofre a reac¸a˜o. Pelas propriedades da definic¸a˜o do centro de massa,
podemos considerar a forc¸a peso atuando no centro de massa da es-
fera. Como a esfera e´ uniforme, seu centro de massa esta´ em seu centro
geome´trico. Atuam ainda, a normal, N , e o atrito cine´tico, Fat,cin, cau-
sados pelo solo, que tambe´m sofre a reac¸a˜o de ambas as forc¸as. Estas
duas u´ltimas forc¸as atuam no ponto de contacto entre a esfera e o solo.
Todas as forc¸as esta˜o representadas no desenho ao lado.
P=mg
F
N
at,cin
3.2– A esfera, ao se mover conforme a figura, vai querer empurrar, pelo atrito no ponto de contato, o solo
para a direita. Este reage e empurra o cilindro para a esquerda. Como esta forc¸a de atrito e´ a u´nica forc¸a
que atua na horizontal, ela causa na esfera uma acelerac¸a˜o para a esquerda, que gradualmente diminuira´ a
velocidade de translac¸a˜o da esfera, inicialmente sem rotac¸a˜o, mas transladando. O peso e a normal atuam
na vertical e na˜o afetam o movimento da esfera na horizontal.
Em relac¸a˜o ao centro geome´trico da esfera, que coincide com seu centro de massa, nem o peso nem a
normal conseguem realizar torques. Entretanto, o atrito exerce um torque cuja direc¸a˜o e´ para dentro da
figura. Esse torque, devido a` forc¸a de atrito, portanto, causa uma acelerac¸a˜o que vai aumentar gradualmente
a velocidade de rotac¸a˜o da esfera, que inicialmente na˜o gira.
Quando as velocidades de rotac¸a˜o e de translac¸a˜o da esfera forem tais que ele consiga rolar sem deslizar,
na˜o ha´ tendeˆncia para deslizamento e a esfera passa a rolar sem derrapar sobre o solo. As equac¸o˜es de
movimento da esfera sa˜o:
3.2.1– translac¸a˜o, vertical – a esfera na˜o de movimenta na vertical, portanto sua acelerac¸a˜o e´ nula nessa
direc¸a˜o:
P −N = 0 −→ N =Mg (14)
3.2.2– translac¸a˜o, horizontal – a esfera esta´ acelerado pela forc¸a de atrito, que e´ a u´nica na horizontal na
esfera. Como se trata de atrito cine´tico, podemos relaciona´-lo diretamente com a normal:
Fat,cin = µN = µMg =Ma −→ a = µ g (15)
Note que essa acelerac¸a˜o e´ oposta a` velocidade inicial da esfera.
3.2.3– rotac¸a˜o em torno do eixo horizontal, que passa pelo seu centro. O torque total sera´ igual a` variac¸a˜o
de quantidade de movimento angular. Como a esfera e´ um corpo r´ıgido e o eixo na˜o muda sua
direc¸a˜o no espac¸o, o torque total e´ igual ao momento de ine´rcia (calculado em torno do mesmo eixo
que se usou para calcular o torque) vezes a acelerac¸a˜o angular:
τtotal = τpeso + τnormal + τatrito = Icil,CM α
Como notamos anteriormente, nem o peso nem a normal exercem torque e, portanto, a equac¸a˜o
acima fica:
τatrito = RµMg = Icil α =
2
5
MR2 α, (16)
onde ja´ substituimos o valor correto do momento de ine´rcia da esfera. Simplificando, podemos
encontrar a acelerac¸a˜o angular:
α =
5µg
2R
(17)
3.3– Com as acelerac¸o˜es linear e angular calculadas acima, Eqs. (15) e (17), podemos ver que sa˜o constantes.
Enta˜o, as velocidades linear e angular podem ser encontradas em func¸a˜o do tempo:
v = v0 − at = V0 − µgt, (18)
ω = ω0 + αt =
5µg
2R
t. (19)
A velocidade linear aumenta, enquanto a velocidade angular diminui com o passar do tempo t. Quando
tivermos v = ωR, condic¸a˜o para o rolamento sem deslizar, o atrito cine´tico desaparece:
(V0 − µgt) =
(
5µg
2R
t
)
R.
3.4– A equac¸a˜o acima so´ possui soluc¸a˜o para o tempo
t =
2V0
7µg
. (20)
3.5– Levando o tempo encontrado na Eq. (20) na Eq. (18), encontramos
v =
5
7
V0, (21)
que e´ a resposta pedida.