Lista de Exercícios 2ªUnidade Resistencia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
 CENTRO DE TECNOLOGIA 
 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 DISCIPLINA CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
 
Lista de Exercícios 4 – Capítulo Segundo 
 
 
1. Uma barra de aço com seção reta quadrada de 50mm x 50mm está tracionada por uma força axial P. 
Determinar o maior valor permissível parra essa carga sabendo que 215 cm/kNadm =σ e 210 cmkNadm =τ 
 R: 375kN 
 
2. Uma barra de metal se encaixa entre dois suportes rígidos (engastes), à temperatura ambiente de 21ºC, 
como se vê na figura. Calcular as componentes de tensão normal e de cisalhamento na seção indicada, quando a 
temperatura aumentar para 95ºC. Admitir 161063 −−=α Cºx, e 231021 cmkNE ⋅= . 
R: σ = −4,20 2cmkN τ = − 2,42 2cmkN . 
6 0 °
x
y
 
3. Uma barra prismática com seção transversal reta de área A=12,50 cm² suporta uma carga de tração 
P=160kN, conforme figura. Determinar as tensões nos lados do elemento sobre ela destacado, para o qual se têm 
º30=θ . 
R:σ= 9,60 2cmkN τ= −5,54 2cmkN 
x
y
 
 
 
4. Um elemento girado para o qual º45=ϕ é sujeito às tensões 251 cmkN,
'y'x =σ=σ e 
2
''
0,3 cmkNyx −=τ , conforme ilustração. Achar as tensões xσ e yσ que agem nos planos principais. 
R:σx = 4,5 2cmkN σy= −1,5 2cmkN
 
 
 
 
 
5. Seja o elemento em estado plano de tensões indicado, determinar analiticamente: 
a) As tensões principais e suas direções, ilustrando os resultados no desenho de outro elemento. R: 
MPa,40611 =σ e MPa,4061392 −=σ 
 
b) As tensões de cisalhamento máxima e mínima, e as direções dos planos onde elas ocorrem, ilustrando os 
resultados no desenho de um elemento de tensão. R: MPa,máx 40670=τ , 0745 <τ→°=θ , e 
02684 >τ→−=θ , . 
55MPa
69MPa
69MPa
83MPa
y
x
83MPa
69MPa
55MPa
69MPa
 
 
 
 
6. Determinar as tensões principais e os planos principais para o estado plano de tensões resultante da 
superposição dos dois estados planos indicados abaixo. R: σ1=100 MPa ;σ2= 0 
x
y
 
 
 
 
7. Determinar para o estado plano de tensões indicado, a faixa de valores do ângulo ϕ para os quais a 
tensão normal 
'xσ é menor ou igual a 70 MPa. 
R: -8º<ϕ <135º 
 
x
y
 
 
 
8. As tensões principais e a direção da máxima componente de tensão de cisalhamento encontram-se 
indicadas na figura a seguir. Determinar as componentes normal e cisalhante na seção de máxima componente 
cisalhante e as componentes xσ , yσ e xyτ . 
R: MPax 200−=σ , MPay 100−=σ , MPaxy 120−=τ , MPaMPamáx 150130 −=σ→=τ 
280MPa
20MPa
33,7°
45°
y
x
 
9. Para o estado tensional representado a seguir, desconhecemos o módulo da componente xyτ . 
Sabemos que o módulo da máxima componente de tensão cisalhante é 100MPa. Pede-se determinar o 
módulo da componente xyτ , as tensões principal e as direções principais referentes a cada uma destas 
componentes principais. 
R: MPaxy 60−=τ (convenção de sinais algébrica); MPa401 =σ ; °= 565,1611θ ; MPa1602 −=σ e 
°= 565,712θ . 
20MPa
140MPa
y
x
140MPa
20MPa
τxy
τxy
τxy
τxy
 
 
 
 
 
10. Para o estado tensional representado a seguir, desconhecemos o módulo da componente xyτ . 
Sabemos que, para um plano cuja normal tem inclinação ϕ em relação ao eixo x, MPa35,64=θσ e 
MPa849,57−=θτ (convenção de sinais algébrica). Pede-se então: 
a) determinar o módulo da componente xyτ e a direção da tensão cisalhante máxima 
b) as tensões principais e suas respectivas direções 
R: MPaxy 80−=τ (convenção de sinais algébrica); MPa815,2081 =σ ; °= 325,1261θ ; 
MPa185,412 =σ e °= 325,362θ . 
100MPa
150MPa
y
x
150MPa
100MPa
τxy
τxy
τxy
τxy
 
 
11. Uma linha de inclinação 4:10 é desenhada sobre a placa de latão (E=105GPa e 35,0=ν ) de 6,35mm de 
espessura esquematizada a seguir. Determinar a inclinação da linha quando a placa é submetida a uma carga 
axial centrada de 200kN. Resp: 3989,0
02,10
9972,3
= . 
10
4 150 mm
200 mm
200 kN200 kN
 
 
 
 
12. Um quadrado de 20 mm de lado é desenhado na parede de um vaso de pressão de aço 
( )3,0 e 200 == νGPaE de grandes dimensões. Depois de pressurizado, o estado biaxial de uma parcela da 
parede, onde se encontra desenhado o quadrado é mostrado a seguir. Determine a variação de comprimento: 
Resp: cmlAB 31036,1 −⋅=∆ , cm,lBC 41023 −⋅=∆ e cmlAC 310188,1 −⋅=∆ . 
σx = 160 MPa
σy = 80 MPa
A B
D C
 
a) do lado AB do quadrado; 
b) do lado BC do quadrado; 
c) da diagonal AC do quadrado. 
13. Considere o sólido esquematizado a seguir. Admitindo uma distribuição uniforme de tensões, determinar 
o valor da força Q para que exista um acréscimo de 0,5 mm na dimensão paralela à P. Interprete o sinal 
encontrado. Resp: - 8080 kN. 
R
R
4 cm
10 cm
8 cm
Q
PP
Q
 
Dados: 
kNR
kNP
cmkNE
200
50
25,0
/10000 2
=
=
=
=
ν
 
14. Determinar o valor da força P (considerando uma distribuição uniforme de tensões) para que a variação 
de comprimento total na direção z seja de 0,02cm. Interprete o sinal encontrado. Resp: -6800kN. 
σx
P
P
x
y
 
P
P
y
x
z
3 cm
4 cm
5 cm
 
Dados: 
221000 cm/kNE = 
210 cm/kNx =σ 
30,=ν 
 
15. As barras rígidas nas extremidades da chapa de aço ( )3,0 e 200 == νGPaE com dimensões 
mma 150= , mmb 120= e mmt 8= permitem que a força de tração kNP 280= se distribua uniformemente 
na seção transversal da chapa. Pede-se determinar: Resp: 2/17,29 cmkNx =σ , 0== zy σσ ; 
310458,1 −⋅=xε , 
410375,4 −⋅−== zy εε ; 3084,0 cmV =∆ ; cmd 306,10=′ . 
a) as componentes de tensão xσ , yσ e zσ ; 
b) as componentes de deformação específica xε , yε e zε ; 
c) a variação volumétrica da chapa; 
d) a distância d ′ entre os pontos A e B após a deformação da chapa, considerando a posição 
inicial desses pontos a indicada na figura. 
x
y
z
P
P
d
20
40
10
60
a
b
t
 
dimensões em mm 
16. A placa da figura a seguir está submetida a tensões de compressão na direção x de módulo 250 cm/kN, . 
Sabe-se que a deformação é impedida na direção y devido à presença dos elementos A e B (A e B não oferecem 
resistência à deformação nas direções x e z). Pede-se calcular as componentes de deformação xε e zε . Res:
5102862 −⋅−=ε ,x , 6107145 −⋅=ε ,z . 
y
x
A
B
σxσx
 
y
z
A
B
 
 
20
1012
50
24
2
,
cm/kN,E
cm/kN,x
=ν
⋅=
=σ