Cis. Puro e Estado de Cis. Simples; Estado Triplo

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Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
4 – Cisalhamento Puro e Estado de Cisalhamento Simples
4.1– Cisalhamento Puro
� Ocorre num ponto solicitado quando, através das faces que limitam o
elemento em torno dele, só se manifestam componentes de tensões
cisalhantes, sendo nulas todas as tensões normais.
� Só pode ocorrer em pontos submetidos a um Estado Plano de
Tensões onde σ1 e σ2 assumem valores de sentidos opostos (ou
seja, σ1 > 0 e σ2<0).
2
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
Círculo de Mohr
correspondente
C
α
S
R
σθ
τθ
( ; )σ 02 ( ; )σ 01
onde τS = - τS’
2
σ2
σ1σ1
S’
Os pontos S e S’ representam planos onde atuam apenas tensões de 
cisalhamento, definindo a ocorrência de cisalhamento puro.
� Ilustração:
Considere o elemento de tensões a seguir, submetido às tensões principais 
σ1 e σ2 (com σ3=0), tais que│σ1│ > │σ2│
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
Os pontos S e S’ não representam raios opostos no círculo, de modo que o 
elemento de tensão correspondente não apresenta faces perpendiculares.
α
ττ
τ τ
S
S’
2
σ2
σ1σ1
�
Onde: α ≠ 45º � 2α ≠ 90º 
1
2
3
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4.2 – Estado de Cisalhamento Simples
� Ocorre quando, no cisalhamento puro, as tensões de cisalhamento
são τmáx e τmín. Em outras palavras, a ocorrência de cisalhamento
puro nos planos de τmáx e τmín caracteriza o Estado de Cisalhamento
Simples.
� Só pode ocorrer em pontos submetidos a um Estado Plano de
Tensões onde │σ1│ = │σ2│
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
Círculo de Mohr
correspondente
C
α
S
R
σθ
τθ
( ; )σ 02 ( ; )σ 01
onde: τS = τMÁX e τS’ = τMíN
2
σ2
σ1σ1 σθ
τθ
S
R
α
( ; )σ 01( ; )σ 02
( ; - )τ0 máx
( ; )τ0 máx
S’
� Ilustração:
Considere o elemento de tensões a seguir, submetido às tensões principais 
σ1 e σ2 (com σ3=0), tais que│σ1│ = │σ2│
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Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
máxτmáxτ
Neste caso, S e S’ representam raios opostos no círculo, de modo que o 
elemento de tensão correspondente apresenta faces perpendiculares.
2
σ2
σ1σ1
� 1
2
τmáx
S
S’
τmáx
τmín
τmín
onde: α = 45º � 2α = 90º 
α
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As tensões normais nos planos de τmáx e τmín, que são nulas nesse caso, 
são calculadas por: 
0
2
σσ
σσ 21
'
===
+
SS
Daí, tem-se: 
2121 σσ0σσ −=⇒=+
Isto é, para que ocorra Estado de Cisalhamento Simples, as tensões 
normais principais devem ter o mesmo valor absoluto, sendo uma de 
compressão e outra de tração.
OBSERVAÇÃO
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5 – Estado Triplo de Tensões
5.1– Características do Estado Triplo de Tensões
- As três tensões principais σ1, σ2 e σ3 são diferentes de zero.
y
x
z
σy
σx
σz
τyx
τyz τxy
τxzτzy
τzx
Posição geral
2
1
σ 2
σ 1
σ 3
y
x
z
3
Posição principal
- Elemento de tensões característico: 
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5.2– Estudo do Estado Triplo de Tensões a partir da POSIÇÃO
PRINCIPAL do elemento característico
- Posição principal do Estado Triplo de Tensões
2
1
σ 2
σ 1
σ 3
y
x
z
3
Em correspondência a esse elemento, podem ser associados quatro grupos
distintos de seções ou planos:
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I) Planos paralelos à direção 3: só recebem contribuição de ,
podendo ser estudados no elemento plano definido pelas direções 1 e 2,
ou seja:
Equações correspondentes:
2
1
σ1σ1
σ2
σ2
θ
τθ σθ 1 2 1 2
1 2
cos 2
2 2
cos 2
2
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ
σ σ
τ θ
+ −   
= + ⋅   
   
− 
= ⋅ 
 
1 2eσ σ
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II) Planos paralelos à direção 2: só recebem contribuição de ,
podendo ser estudados no elemento plano definido pelas direções 1 e 3.
3
1
σ1σ1
σ3
σ3
θ
τθ σθ
1 3 1 3
1 3
cos 2
2 2
cos 2
2
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ
σ σ
τ θ
+ −   
= + ⋅   
   
− 
= ⋅ 
 
Equações correspondentes:
1 3eσ σ
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III) Planos paralelos à direção 1: só recebem contribuição de , e
podem ser estudados no elemento plano definido pelas direções 2 e 3.
IV) Planos inclinados em relação às três direções principais: recebem
contribuição de e devido à complexidade de seu estudo não
são abordados em Resistência dos Materiais.
2
3
σ3σ3
σ2
σ2
θ
τθ σθ 3 2 3 2
3 2
cos 2
2 2
cos 2
2
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ
σ σ
τ θ
+ −   
= + ⋅   
   
− 
= ⋅ 
 
Equações correspondentes:
2 3eσ σ
1 2 3, eσ σ σ
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5.3– Configuração do Círculo de Mohr para o Estado Triplo de
Tensões
Suponhamos que as tensões no elemento característico adotado para o
estado triplo apresentem-se na seguinte ordem de valores:
σ1 > σ2 > σ3 > 0
2
1
σ 2
σ 1
σ 3
y
x
z
3
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Os pares de pontos que se dispõem para o traçado dos círculos são os 
seguintes:
Para o traçado dos círculos, considere as seguintes afirmações:
- As tensões estão defasadas de 90º no elemento característico, 
logo, os pares correspondem a raios opostos de um 
círculo.
- Da mesma forma, os pares e 
correspondem a outros dois pares de raios opostos de outros dois círculos.
( ) ( ) ( )1 2 3; 0 , ;0 ;0eσ σ σ
1 2eσ σ( ) ( )1 2;0 ;0eσ σ
( ) ( )1 3;0 ;0eσ σ ( ) ( )2 3;0 ;0eσ σ
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Com base nisso, os círculos de Mohr para o estado triplo de tensões
apresentam a seguinte configuração:
Sendo:
O1 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ2 e σ3;
O2 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ1 e σ3;
O3 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ1 e σ2.
σ1 σσ3
τ
σ2 O3O2O1
τθ
σθ
lúnula de tensões
A região hachurada, chamada lúnula de tensões, representa a região de pares
ordenados possíveis para o estado tensional em questão.
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σ1 σσ2
τ
0 O2O3O1
5.4– Observações para interpretação dos círculos de Mohr
5.4.1 – Configuração generalizada dos círculos de Mohr para o Estado Plano de
Tensões
Características do Estado Plano: correspondem aos pontos
geométricos �
- Caso 1:
1 2 30 , 0 0eσ σ σ≠ ≠ =
( ) ( ) ( )1 2;0 ;0 0;0e eσ σ
1 2 30 , 0 0eσ σ σ> < =
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- Caso 2: 1 2 30 , 0 0eσ σ σ> > =
σ1 σ0
τ
σ2 O3O2O1
0 σσ2
τ
σ1 O3O2O1 O2O1O3
- Caso 3: σ σ com ,0σ e 0σ ,0σ
21321
<=<<
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OBSERVAÇÕES:
I) Nos três casos: .
II) A numeração indicada em cada círculo corresponde ao eixo cuja seção
inclinada é paralela. Por exemplo, o círculo 2 representa as seções
inclinadas e paralelas ao eixo principal 2.
1 2σ σ>
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σ
τ
( ; )σ 01( ; )σ 02
( ; )σ 03
=
_
Círculo 1
Círculo 2 = Círculo 3
5.4.2 – Configuração do Círculo de Mohr para o Estado Simples de
Tensões
Característica doEstado Simples:
- Caso 1:
1 2 30 , 0σ σ σ≠ = =
0σ σ e 0σ 321 ==>
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- Caso 2: 1 2 30 0eσ σ σ< = =
σ
τ
( ; )σ 01
Círculo 1
( ; )σ 02
( ; )σ 03
=
_
Círculo 2 = Círculo 3
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OBSERVAÇÃO
As componentes de tensão normal, máxima e mínima, que
ocorrem num ponto, associado a um estado de tensões qualquer, são
definidas a partir das três tensões principais que o
caracterizam.
Quanto às tensões de cisalhamento, todo ponto em qualquer estado de
tensões é caracterizado por três tensões cisalhantes máximas:
para o grupo de seções paralelas à direção 3;
para o grupo de seções paralelas à direção 2;
para o grupo de seções paralelas à direção 1;
A tensão de cisalhamento máxima (τmáx absoluta) do ponto corresponde,
porém, ao seguinte resultado:
max mineσ σ
1 2 3, eσ σ σ
maxτ
maxτ
maxτ
max min
max 2
no ponto no ponto
no ponto
σ σ
τ
−
=
Exemplo 10 (NO QUADRO)
� Raio do maior círculo dentre os
três da configuração geralizada