Estado Triaxial de Tensões (REVISADA)

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Faculdade Católica Salesiana – Engenharia Civil 
Ao Departamento de Engenharia Civil 
Área de Conhecimento - Engenharias
23 de Março de 2016 - Virória/ES
INTRODUÇÃO
Um estado triaxial de tensão (figura 1) existe em
um elemento se ele estiver submetido a tensões
normais em três direções mutuamente
perpendiculares ( 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧 ). No caso de não
existirem tensões de cisalhamento nas faces deste
elemento, as tensões normais são vistas como
tensões principais no material.
ESTADO TRIAXIAL DE TENSÃO
Professora: Edilaine Pacheco Vieira
Disciplina: Resistência dos Materiais II
Nesta nova orientação as tensões normais passam a
ser chamadas 𝜎′𝑥, 𝜎′𝑦 e 𝜎′𝑧 e a cisalhante, 𝜏′𝑥𝑦.
No caso ateriormente citado, há rotação do elemento
apenas em torno do eixo z. No entanto, podem existir
inclinações agulares em torno de todos os três eixos
( 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 e 𝜃𝑧 ) e, assim, o elemento rotacionado
generalizado pode ser representado como na figura 3.
Figura 1
Como no estado plano de tensões, o círculo de Mohr
pode ser usado para determinar as tensões 𝜎 e 𝜏 em
elementos orientados a vários ângulos em relação
aos eixos x, y e z.
TENSÕES TRIAXIAIS EM UM ELEMENTO INCLINADO
Considando o estado triaxial apresentado na figura 1,
se este mesmo elemento for submetido a uma
rotação angular θ qualquer ao redor somente do eixo
z, a nova representação pode ser feita como na figura
2, onde 𝑥′ e 𝑦′ são os novos eixos rotacionados e 𝑧′
coincide com o eixo 𝑧.
Figura 2
CÍRCULO DE MOHR PARA ESTADO TRIAXIAL DE TENSÃO
As tensões agindo num elemento de tensão triaxial
orientado a vários ângulos em relação aos eixos x, y e
z (figura 3) podem ser visualizadas através do artifício
gráfico da superposição de círculos de Mohr (figura 4).
Figura 4
Neste gráfico, o círculo de Mohr A corresponde ao
elemento rotacionado em torno do eixo z (caso parti-
Figura 3
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ESTADO TRIAXIAL DE TENSÃO
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Figura 5
cular da figura 2), o círculo B corresponde ao
elemento rotacionado em torno do eixo x e,
finalmente, o círculo C representa o elemento
rotacionado em torno do eixo y.
Usa-se, portanto, o círculo de Mohr A para a
determinação das tensões normais e de
cisalhamento que atuam nas faces do elemento
quando ele sofre uma rotação em torno do eixo z.
Analogamente, podem ser utilizados os círculos B e
C para se determinar as tensões no elemento
quando ele sofre uma rotação em torno dos eixos x
e y, respectivamente.
Neste sentido, qualquer estado de tensão pode ser
interpretado como um caso particular do estado
triplo de tensões, como no caso particular da figura
2.
TENSÕES DE CISALHAMENTO MÁXIMAS
Das aulas anteriores sobre estado plano de tensões,
sabe-se que as máximas tensões de cisalhamento
ocorrem em planos orientados a 45° aos planos
principais do elemento (ou seja, quando 2𝜃 = 90° no
círculo de Mohr) e que o valor dessas tensões
correspondem ao valor do raio do círculo de Mohr
que as representa (figura 5).
Por exemplo, considerando um elemento obtido por
uma rotação de 45° ao redor do eixo z, as tensões de
cisalhamento máximas positiva e negativa agindo
nesse elemento são dadas pela fórmula:
(𝜏𝑚á𝑥)𝑧 = ±
𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚í𝑛
2
Retomando o caso geral da figura 4, onde estão
representados os círculos de Mohr A, B e C, os raios
dos três círculos representam as tensões de
cisalhamento atuantes nas faces do elemento. Então,
o estado triaxial de tensões pode gerar três pares de
tensões máximas, cada um relativo a uma rotação em
torno de um eixo. São eles:
• para rotação de 45° em torno do eixo z:
(𝜏𝑚á𝑥)𝑧 = ±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
• Para rotação de 45° em torno do eixo x:
(𝜏𝑚á𝑥)𝑥 = ±
𝜎𝑦 − 𝜎𝑧
2
• Para rotação de 45° em torno do eixo y:
(𝜏𝑚á𝑥)𝑦 = ±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑧
2
A tensão de cisalhamento máxima absoluta será a
numericamente maior dentre as tensões determinadas
pelas três fórmulas acima.
𝜏𝑚á𝑥 (−)
𝜏𝑚á𝑥 (+)
𝜎𝑚á𝑥
𝜎𝑚í𝑛 𝑅
𝑅
EXEMPLO
Para o estado de tensão apresentado na figura 6,
determine:
Figura 6
25 MPa
40 MPa
20 MPa
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a) as tensões principais
b) a tensão de cisalhamento máxima positiva
Resolução:
a) O primeiro passo é construir o círculo de Mohr
para a transformação de tensão no plano xy,
que é o plano de atuação das tenções indicadas.
Marca-se o centro C do círculo localizado no ponto
em que a tensão é igual à tensão normal média:
𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
=
40 + 25
2
= 32,5 𝑀𝑃𝑎
Marca-se também os pontos A e B, cujas abscissas
são:
• Ponto A: 𝜎𝑥 = 40𝑀𝑃𝑎 e τ𝑥𝑦 = −20 𝑀𝑃𝑎 (essa
tensão cisalhante atuante na face x é negativa,
pois tende a girar o elemento no sentido horário).
• Ponto B: 𝜎𝑦 = 25 𝑀𝑃𝑎 e τ𝑥𝑦 = 20𝑀𝑃𝑎 (essa
tensão cisalhante atuante na face y é positiva,
pois tende a girar o elemento no sentido anti-
horário).
Com essas coordenadas é possível obter o círculo
de Mohr da figura 7.
𝑅 = 40 − 32,5 2 + 202 = 21,4 𝑀𝑃𝑎
As tensões principais, chamadas 𝜎1 e 𝜎2 atuantes no
plano xy ocorrem onde a tensão cisalhante é nula
neste plano, ou seja, são representadas pelos pontos
𝑃1 e 𝑃2 indicados na figura 8. Seus valores são:
𝜎1 = 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 + 𝑅 = 32,5 + 21,4 = 53,9 𝑀𝑃𝑎
𝜎2 = 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 − 𝑅 = 32,5 − 21,4 = 11,1 𝑀𝑃𝑎
Como as faces perpendiculares ao eixo z estão livres
de tensão, essas faces definem um dos planos
principais, e a tensão principal correspondente é
𝜎3 = 𝜎𝑧 = 0
Figura 7
40 MPa
-20 MPa
25 MPa
A
B
C
O raio do círculo pode ser encontrado por simples
geometria no triângulo hachurado na figura 8.
40 MPa
-20 MPa
25 MPa
A
B
C
Figura 8
R
𝑷𝟏𝑷𝟐
Figura 9
𝑷𝟐 𝑷𝟏
53,9 MPa
11,1 MPa
𝑺𝟏
𝑺𝟐
(𝜏𝑚á𝑥+)𝑦
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b) Para encontrar as tensões de cisalhamento
máximas, devem ser traçados os círculos de Mohr
correspondentes às rotações do elemento em
relação aos eixos x e y (figura 9).
Contruindo os três círculos, é possível observar que
os pontos 𝑆1 e 𝑆2 definem as máximas tensões
cisalhantes negativa e positiva, respectivamente.
Esses pontos estão localizados nas extremidades do
diâmetro vertical do maior círculo que corresponde a
uma rotação em torno do eixo y.
Procura-se, então, pelo valor da máxima tensão de
cisalhamento positiva, representada pelo ponto 𝑆2,
que pode ser calculada da seguinte forma:
(𝜏𝑚á𝑥+)𝑦 = 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑅𝑎𝑖𝑜 =
53,9 − 0
2
= 26,95 MPa