Estados de Tensões

Prévia do material em texto

1
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
2. – Estados de Tensões nos pontos de uma peça solicitada
2.1– Introdução
Até aqui, estudou-se:
� Tensão na seção reta
� Tensão na seção inclinada, fórmulas algébricas e círculo de MOHR
PP σσ
Algebricamente:
σσϕ
τϕ
σ
ϕ
H
V
S
σ
τ
V (σ, 0)H (0,0)
S (σϕ, τϕ)
θ = 2ϕ






=
=
)2(.
2
cos.σ 2
ϕστ
ϕσ
ϕ
ϕ
sen
2
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
x
σ
dz
dx
dy
σ
σσ
z
y
σσ
y
dz
dx
dy x
z
� Tomando-se a mesma peça em solicitação axial e destacando-se um elemento 
infinitesimal em torno de um ponto do seu interior:
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
x'
τ
τ
'
τ
'
τ
σ
'
σσ
'
σ
z' 
=
 
z
y'
σσ
y
dz
dx
dy x
z
� Girando-se o elemento de um ângulo ϕ em torno do eixo z, obtém-se:
� Observe-se que esta nova posição x’, y’, z’ do elemento infinitesimal de volume 
em torno do ponto considerado é como resultasse da posição x, y, z do elemento de 
volume anterior após uma rotação deste em torno do eixo z, segundo um ângulo ϕ
em sentido anti-horário.
3
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
x
σσ
z
y
z'
x'
y' τx'z'
τx'y
' σx'
τy'z
'
τy'x
'
τz'x
'
τz'y
'
σ z'
τx'y
'
τx'z
'
σx'
σy'
σy'
τy'x
'
τy'z
'
σ z'
τz'y
'
τz'x
'
z'
x'
y'
� Em consequência desta rotação, observa-se que:
• Todas as faces inclinadas em relação à direção de solicitação (direção x) ficam 
submetidas a tensões 
• As tensões em cada uma dessas faces inclinadas são paralelas às direções do 
novo sistema x’, y’, z’ de referência que figuram também inclinadas em relação à 
direção de solicitação.
� Girando-se ALEATORIAMENTE o elemento infinitesimal de volume, em torno do 
ponto destacado, para uma nova posição x’, y’, z’, sem nenhuma particularidade 
específica, tem-se:
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
Como todas as direções x’, y’, z’ da nova posição são inclinadas em relação à 
direção de P, surgirão em cada face do elemento de volume três componentes de 
tensões, sendo uma tensão normal e duas tensões cisalhantes.
� A partir dessas considerações podem se perceber os diferentes tipos de estados 
de tensões capazes de submeter um ponto destacado numa peça externamente 
solicitada.
� Em todas as faces inclinadas em relação à direção de P, ou seja, nas seis faces 
do novo elemento de volume, surgirão tensões atuantes
�As tensões que atuam em cada face devem ser paralelas às direções da nova 
posição x’, y’, z’ e inclinadas em relação à direção de P (neste caso, a direção x), ou 
seja:
4
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
2.2 Classificação e Características Gerais dos Estados de Tensões (em 
pontos destacados sobre peças externamente solicitadas) 
I) Estado Triplo, Tríplice ou Tri-axial de tensões 
�É o caso mais geral e ocorre quando em todos as infinitas posições 
aleatoriamente consideradas para o elemento infinitesimal de volume em torno do 
ponto destacado, se manifestam componentes de tensões em todas as suas faces 
(no máximo 18 e no mínimo 6 componentes de tensões sobre o ponto)
� Posição Geral do elemento característico do Estado Triplo de Tensões 
y
x
z
σy
σx
σz
τyx
τyz τxy
τxzτzy
τzx
18 componentes de tensão
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
� Posição Principal do Elemento Característico do Estado Triplo de Tensões
Dentre as infinitas posições do elemento de volume em torno de um ponto no 
estado triplo de tensões, existe uma, e somente uma, através da qual só 
atuam componentes de tensões normais, sendo nulas todas as componentes 
de tensões cisalhantes.
Essa posição do elemento característico em torno do ponto é chamada 
POSIÇÃO PRINCIPAL e as tensões normais que o submetem através dela 
são chamadas tensões principais.
2
1
σ 2
σ 1
σ 3
y
x
z
3
σ1
σ 2
σ 3
σ1, σ2, σ3 � Tensões Principais
1, 2, 3� Direções Principais
Onde, OBRIGATORIAMENTE:
σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0 �
σ3 ≠ 0
Esta característica, de serem 
diferentes de zero as 3 
tensões principais, é uma 
outra maneira de definição do 
Estado Triplo de Tensões
5
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
OBSERVAÇÕES
1 ) Na primeira das figuras anteriores, da posição Geral do Estado Triplo, 
somente 9 componentes de tensão foram representadas (uma de cada tipo) a 
fim de não sobrecarregar o desenho. 
Entretanto, facilmente percebe-se que o elemento não está em equilíbrio e, 
portanto, para se completar o desenho, deve-se acrescentar nas faces 
opostas às das componentes já representadas, as mesmas componentes 
porém com sentidos inversos. 
Para a componente σx, por exemplo, deve-se desenhar, na face oposta a ela, 
a mesma componente mas com sentido para a esquerda.
2) As tensões obedecem à seguinte notação:
σi � tensão normal que atua no ponto através da face cuja normal é a 
direção i
τij � tensão de cisalhamento que atua no ponto através da face (seção) cuja 
normal é a direção i, sendo ela (a própria tensão) paralela à direção j.
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
3 ) Tensor das tensões 
�É uma matriz constituída pelos valores das tensões que submetem o ponto 
a partir de uma posição qualquer do elemento característico.
Ex.1 - Tensor das tensões correspondente à POSIÇÃO GERAL do elemento 
característico do Estado Triplo de Tensões.










zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
σττ
τστ
ττσ
zyx
Ex. 2 - Tensor tensões associado à POSIÇÃO PRINCIPAL do Elemento 
Característico do Estado Triplo de Tensões










3
2
1
00
00
00
3
2
1
σ
σ
σ
321
6
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
II) Estado Plano, Duplo ou Bri-axial de tensões 
� É um caso particular do estado triplo de tensões e ocorre quando uma de suas 
tensões principais tem valor igual a zero (ou seja, σ3 =0)
Estado plano de tensões σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0 e σ3 = 0
� Posição Principal do Elemento Característico do Estado Plano de Tensões
2
1
σ 2
σ 1
y
x
z
3
σ1
σ 2
2
1
σ1σ1
σ2
σ2
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
y
x
z
σy
σx
τyx
τxy
τyx
σy
τxy
σx
� Posição Geral do Elemento Característico do Estado Plano de Tensões
Outra particularidade do Estado Plano de Tensões reside no fato de que 
girando-se o elemento característico em torno da direção correspondente à 
Tensão Principal Nula (ou seja, direção 3), não se manifestam em nenhuma 
de suas faces componentes de tensões paralelas a essa direção. Como 
consequência, tem-se a seguinte configuração adotada para a posição geral 
do elemento característico do Estado Plano de Tensões (E.P.T)
σy
τyx
xyτ
σx
σy
σx
τyx
xyτ
7
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
OBSERVAÇÃO:
Estado de Cisalhamento Puro
É um caso particular apenas do Estado Plano de Tensões e ocorre quando, 
dentre as infinitas posições gerais do elemento característico em torno do 
ponto, existe uma através da qual só atuam no referido ponto componentes 
de tensões cisalhantes (sendo nulas todas as tensões normais)
III) Estado Simples ou Uni-axial de Tensões 
� É uma particularidade do estado triplo de tensões e ocorre quando duas de suas 
tensões principais tem valor igual a zero (ou seja, σ2 =0 e σ3 = 0)
Estado plano de tensões σ1 ≠ 0, σ2 = 0 e σ3 = 0
Capítulo Segundo:Análise das Tensões e Deformações
� Posição Principal do Elemento Característico do Estado Plano de Tensões
2
1
σ1σ1
2
1
3
σ1σ1
OBSERVAÇÕES:
1) Outra particularidade do Estado Simples de Tensões consiste no fato de que 
girando-se o elemento característico em torno da direção de correspondente à tensão 
principal não nula (ou seja, direção 1), não se manifesta em nenhuma de suas faces 
qualquer outra componente de tensão além de σ1. 
8
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
2) A teoria desenvolvida no item 1 deste capítulo, sob o título “Generalização do 
Estudo da Peça Prismática em Solicitação Axial”, corresponde ao estudo do Estado 
Simples de Tensões, merecendo destaque os seguintes aspectos abordados:
• Definição
• Elemento Característico
• Equações Gerais do Estado Simples de Tensões
• Tensões Máximas e Mínimas
• Configuração do Círculo de MOHR correspondente