MEMORIAL DE CÁLCULO - CONCRETO ARMADO 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
GABRIEL FERNANDO SPULDARO 
LEONARDO DE PAULA CORDEIRO 
LUIZ GUILHERME STIMER 
 
 
 
DETALHAMENTO DA ARMADURA DE VIGAS E LAJES 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARAPUAVA 
2017 
GABRIEL FERNANDO SPULDARO 
LEONARDO DE PAULA CORDEIRO 
LUIZ GUILHERME STIMER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DETALHAMENTO DA ARMADURA DE VIGAS E LAJES 
 
 
 
 
 Memorial de Cálculo a ser 
entregue ao Programa de Graduação 
em Engenharia Civil da Universidade 
Tecnológica Federal do Paraná como 
requisito parcial da disciplina de 
Concreto Armado I. 
 
Orientador: Prof.º Edson Florentino 
 
 
 
 
 
GUARAPUAVA 
2017 
SUMÁRIO 
 
1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO E REAÇÕES NAS VIGAS ........................ 1 
2 DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS VIGAS .................... 3 
2.1 BARRAS E DISPOSIÇÃO .............................................................. 3 
2.2 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL................................ 3 
2.2.1 Critérios de armadura .............................................................. 5 
2.2.2 Espaçamentos Mínimos .......................................................... 5 
2.3 CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL ................................ 6 
2.4 ARMADURAS ADOTADAS ............................................................ 8 
2.5 COMPRIMENTO DAS BARRAS .................................................. 16 
2.5.1 Comprimento Armaduras Positivas ....................................... 16 
2.5.2 Comprimento Armaduras Negativas ...................................... 17 
2.6 DETALHAMENTO FINAL DA VIGA ............................................. 19 
3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO E REAÇÕES NAS LAJES ................... 21 
3.1 TIPO DE LAJE ............................................................................. 21 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS NA LAJE .................................... 23 
3.3 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES .................................. 23 
3.4 COMPATIBILIZAÇAÕ DE MOMENTOS FLETORES .................. 23 
4 DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS LAJES .................. 26 
4.1 BARRAS E DISPOSIÇÃO ............................................................ 26 
4.2 CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO .................................... 26 
4.2.1 Espaçamento Máximo ........................................................... 27 
4.2.2 Armaduras Mínimas ............................................................... 27 
4.2.3 Armadura de Canto ............................................................... 27 
4.3 ARMADURAS ADOTADAS .......................................................... 27 
4.4 COMPRIMENTO DAS BARRAS .................................................. 27 
4.4.1 Comprimento Armaduras Positivas ....................................... 27 
4.4.2 Comprimento Armaduras Negativas ...................................... 31 
ANEXO A – DIAGRAMAS ..................................................................... 32 
ANEXO B – MOMENTOS FLETORES .................................................. 39 
REFERÊNCIAS ......................................................................................42 
 
 
 
1 
 
1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO E REAÇÕES NAS VIGAS 
Anteriormente ao lançamento das cargas atuantes nas vigas, foi realizado 
um pré-lançamento, seguindo as condições básicas do projeto, classe de 
agressividade ambiental mais branda (CAAII com redução pra CAAI) adotando 
um cobrimento de 2,5 cm. Através dos cálculos já realizados anteriormente, 
foram obtidas as cargas atuantes em cada viga do projeto e para demonstrar o 
cálculo das armaduras, vamos utilizar a viga V11 como exemplo, a qual é 
representada na página seguinte, juntamente com seus diagramas de cortante 
e momento fletor. 
Analisando a viga em estudo, temos os seguintes dados: 
- Largura da viga = 12 cm 
- Altura da viga = 45 cm 
- Tamanho do balanço = 132,5 cm 
- Carregamento do balanço = 7,40 kN/m 
- Vão efetivo do tramo 1 = 240 cm 
- Carregamento do tramo 1 = 9,98 kN/m 
- Vão efetivo do tramo 2 = 355,7 cm 
- Carregamento do tramo 2 = 11,79 kN/m 
- Vão efetivo do tramo 3 = 250 cm 
- Carregamento do tramo 3 = 10,25 kN/m 
2 
 
 
Diagrama de Cortante e Momentos da Viga 11
3 
 
2 DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS VIGAS 
2.1 BARRAS E DISPOSIÇÃO 
Na armaduras das vigas, temos as armaduras positivas, referente aos 
momentos positivos nos vãos, exceto em balanços, pois não apresentam 
momentos positivos. Essas barras são dispostas na parte inferior da viga, 
estendendo-se até os apoios. 
Já na parte superior da viga são colocadas a armadura negativa, que 
provem dos esforços do momento negativo existentes, geralmente em balanços 
e apoios. 
Para o elemento suportar o cortante, são dispostas armaduras 
transversais em todo vão da viga, sendo os espaçamentos conforme os esforços 
atuantes. 
2.2 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
Armadura positiva provem do momento positivo do tramo em estudo, 
nesse caso temos três vãos diferentes, portanto, teremos três cálculos para 
armaduras longitudinais positivas. Da mesma forma, conseguimos determinar a 
área de aço para a armadura longitudinal negativa, apenas utilizando o momento 
negativo no tramo que desejar, na viga V11, temos seis seções com momento 
negativo, sendo ela balanços e pilares. Para determinar essa área de aço 
seguimos o seguinte modelo de cálculo. 
Inicialmente adotamos uma altura útil estimada, sendo ela: 
 
𝑑𝑒𝑠𝑡 = 0,9 𝑥 𝑑 
Onde: 
 d = Altura da viga; 
Em favor de segurança, utilizamos um momento de cálculo, majorando as 
cargas atuantes, utilizando um coeficiente de γ = 1,4. 
 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑓 𝑥 𝑀𝑘 
Onde: 
4 
 
 Md = Momento de Cálculo; 
 Mk = Momento característico; 
 
Para conferir com uma armadura mínima para tração, devemos calcular 
um momento mínimo, qual encontramos pela seguinte equação: 
𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,8 𝑥 𝑊0 𝑥 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑚𝑒𝑑 = 0,3 𝑥 √𝑓𝑐𝑘
23
 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 𝑥 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑚𝑒𝑑 
Wo é o módulo da resistência da seção transversal, dada por: 
𝑊0 =
𝐼
𝑑𝑡
 
Onde: 
 I = Inércia da seção; 
dt = Distância até a borda tracionada 
Se o nosso momento de cálculo for menor que o momento mínimo, 
devemos adotar esse para seguir os cálculos, caso contrário seguimos com o 
nosso momento inicial. Em seguida, devemos conferir se nossa viga necessita 
de uma armadura dupla ou simples, que será definida comprando com o 
momento limite que encontramos através da seguinte forma: 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 
𝑏 𝑥 𝑑2
𝐾𝑐𝑙𝑖𝑚
 
Onde: 
 b = Base da seção; 
 d = Altura útil estimada; 
 Kc lim= coeficiente correspondente aos βx limite, no caso do 
concreto C30 , temos Kc,lim = 1,86 
 
Caso nosso momento de cálculo for maior que esse valor de momento 
limite, devemos adotar armadura dupla. No exemplo que estamos utilizando, 
5 
 
todos os tramos admitiram armadura simples, portanto, segue-se usando o 
momento de cálculo. 
Com os dados obtidos até aqui, seguimos o seguinte método para 
determinar a armadura que deve ser utilizada: 
 
𝐾𝐶 = 
𝑏 𝑥 𝑑2
𝑀𝑑
 
 
Com esse valor de Kc, é possível determinar um valor para Ks, que é 
necessário para cálculo da área de armadura, como se segue: 
 
𝐴𝑠 = 
𝐾𝑆 𝑥 𝑀𝑑
𝑑
 
 
A partir dessa área de aço obtida, é possível se determinar a quantidade 
de barras através da escolha a bitola a ser utilizadas. 
2.2.1 Critérios dearmadura 
Para garantir a segurança do elemento estrutural devemos conferir se 
nossa área de aço obedece a área mínima e máxima de aço estabelecida pela 
norma. 
Area mínima de aço: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,15 𝑥 𝐴𝑐 
Area máxima de aço 
(𝐴𝑠 + 𝐴
′
𝑠) ≤ 4% 𝐴𝑐 
 Onde: 
 Ac = Área de concreto; 
2.2.2 Espaçamentos Mínimos 
Para garantir melhor eficiência na hora da concretagem, devemos 
obedecer os limites de espaçamento mínimo, garantido a passagem dos 
agregados ou do vibrador, por exemplo. Os critérios são: 
Espaçamento horizontal 
6 
 
𝑎ℎ ≥ {
2 𝑐𝑚
𝛷𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
1,2 𝑑𝑚𝑎𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
𝑑𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 ∗
 
 
 *utilizado somente na armadura superior; 
Espaçamento vertical 
 
 
2.3 CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL 
A armadura transversal resiste aos esforços provenientes do cortantes no 
elemento, então, nesse caso utilizaremos o maior valor de cortante para o tramo 
a ser calculado. Seguindo o seguinte modelo para o cálculo. 
 Por questão de segurança, usamos um valor de cálculo majorado: 
 
𝑉𝑆𝑑 = 𝛾𝑓 𝑥 𝑉𝑆𝑘 
 Onde: 
 Vsd = Cortante de cálculo; 
 γ = Coeficiente; 
 Vsk = Cortante característico; 
 
O esforço solicitante deve ser verificado em relação a biela comprimida 
do concreto, para esse memorial, utilizamos o Modelo de Cálculo II adotando as 
bielas com ângulo de 30º, portanto a verificação se faz através da equação a 
seguir: 
 
𝑉𝑅𝐷2 = 1,018 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 𝑑 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 Onde: 
 bw = Base da seção; 
 d = menor Altura útil real; 
7 
 
 θ = Ângulo das bielas; 
 
Caso o valor solicitante de cálculo der maior que o VRD2 , podemos reduzir 
o cortante e conferir novamente, se for menor após a redução, as bielas 
suportam o carregamento, caso contrário deve ser analisada a estrutura para 
modificações. 
Seguindo o cálculo, uma parte do esforço aplicado é absorvido por alguns 
mecanismos do concreto, entre eles, banzo superior do concreto, ação dos 
agregados, ação de pino da armadura longitudinal, entre outros. A máxima parte 
absorvida pelo concreto é dada por: 
 
𝑉𝑐0 = 0,077 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 𝑑 
 
E por relação de triângulos, conseguimos determinar qual é a parte 
absorvida em relação a maior cortante no tramo (Vc1). 
Com esses valores obtidos, podemos determinar a área de aço 
necessária para a armadura transversal, que conseguimos através da seguinte 
forma: 
 
𝐴𝑠𝑤 = 2,556 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 𝑥 
𝑉𝑆𝐷 − 𝑉𝑐1
𝑑
 
 
Para garantir a segurança, devemos conferir nossa área com a área 
mínima de aço para armadura transversal. Para isso devemos conhecer o VSD 
mínimo referente a área mínima, dada por: 
 
𝑉𝑆𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,045 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 𝑑 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 + 𝑉𝑐1 
 
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 𝑥 𝑏𝑤 
 
A área mínima de aço, deve ser admitida caso o esforço solicitante for 
menor que o esforço mínimo. 
 
8 
 
2.4 ARMADURAS ADOTADAS 
Os resultado dos cálculos para a armadura positiva da viga V11 estão 
apresentados nas Tabelas V1 
Para armadura negativa da viga V11, foram utilizados os valores 
apresentados nas Tabelas V2. 
Para armadura transversal da viga 11, foi adotado o maior cortante da 
viga. (Vsk=29,94 kN) 
 
VSd = 29,94 kN; 
VRd2 = 218,83 kN; 
Vc0 = 43,19 kN; 
Vc1 = 43,19 kN; 
ϴ = 30º 
 
 VSD,min = 81,88 Kn; 
 Asw,min = 1,390 cm²/m; 
 
 Como se percebe, o Vsd,min é maior que o esforço solicitante na 
seção, e como esse esforço é o maior de toda a viga, adotamos a armadura 
mínima em todos os tramos. Nesse caso adotamos armadura de 6,3mm com 
espaçamento de 24,5cm, referente a área de aço de 1,39cm²/m. 
 
9 
 
 
 
 
Tabela V1 - Momento Positivo Tramo 1 (1) 
 
10 
 
 
 
 
Tabela V1 - Momento Positivo Tramo 2 (2) 
 
11 
 
 
Tabela V1 - Momento Positivo Tramo 3 (3) 
 
12 
 
 
 
 
 
Tabela V2 -Momento Negativo Balanço (1) 
 
 
13 
 
 
 
 
 
Tabela V2 - Momento Negativo P19 (2) 
 
 
14 
 
 
 
 
Tabela V2 - Momento Negativo P20 (3) 
 
 
 
15 
 
 
 
 
Tabela V2 - Momento Negativo P21 (4)
16 
 
2.5 COMPRIMENTO DAS BARRAS 
2.5.1 Comprimento Armaduras Positivas 
Para armaduras positivas, pelo menos duas barras devem chegar até os 
apoios extremos. No caso da viga em estudo, como temos apenas duas barras, 
não haverá cortes na armadura longitudinal positiva. 
A ancoragem nas barras deve ser calculada para garantir a aderência com 
o apoio, e se faz da seguinte forma: 
Primeiramente, e relação a posição da armadura (boa ou má aderência), 
determinamos um comprimento de ancoragem básico (Lb). Com esse valor 
determinamos a área de aço a ser ancorada e o comprimento de ancoragem 
necessário, dado por: 
 
𝐴𝑠,𝑎𝑛𝑐 ≥ 
{
 
 
 
 
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
𝐴𝑠,𝑎𝑛𝑐 = 
1
𝑓𝑦𝑑
[(
𝑎𝑙
𝑑
)𝑉𝑆𝑑]𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
𝐴𝑠,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 ≥
1
4
𝐴𝑠,𝑣ã𝑜(𝑀 = 0 𝑜𝑢 𝑀 = −)𝑜𝑢 𝐴𝑠,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 ≥
1
3
𝐴𝑠,𝑣ã𝑜(𝑀 = −)
 
 
𝐿𝑏,𝑛𝑒𝑐 = ⍺ 𝑥 𝐿𝑏 𝑥 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑓
 
 
Qual deve ser maior que o Lb,min, que segue esses três parâmetros. 
 
𝐿𝑏,𝑚𝑖𝑛 ≥ {
0,3 𝑥 𝐿𝑏
10 𝛷𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
100 𝑚𝑚
 
 
Após esses parâmetros, deve-se determinar o Lb,anc (comprimento a ser 
ancorado) nos apoios extremos. 
 
𝐿𝑏,𝑎𝑛𝑐 ≥ {
𝐿𝑏,𝑛𝑒𝑐
𝑟 + 5,5𝛷
60 𝑚𝑚
 
 
17 
 
Caso o Lb,anc seja maior que o Lb,ef (comprimento real para ancoragem), 
esse comprimento de ancoragem deve ser corrigido da seguinte forma: 
 
𝐿𝑏,𝑐𝑜𝑟𝑟 = 𝐿𝑏 𝑥 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑓
 
 
Se, após a correção, ainda esse comprimento corrigido for maior que o 
comprimento real para ancoragem, deve ser aumentado o número de barras que 
chegam até o apoio, pois nesse caso não pode ser utilizado ganchos, por ser 
uma barra comprimida, e grampos também ficam comprometido seu uso. 
Nas vigas do projeto, foram analisadas os comprimentos de ancoragem e 
os comprimentos efetivos, se a ancoragem fosse válida, e para facilidade do 
método construtivo as barras foram estendidas até o cobrimento, sem utilização 
de ganhos. 
2.5.2 Comprimento Armaduras Negativas 
Como não tem momento negativo em todo vão, podemos calcular a 
decalagem da armadura negativa, para que sejam cortadas as barras onde o 
momento negativo não atua mais. Para isso usamos: 
 
𝑎𝑙 = 0,5 𝑥 𝑑 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 
 
Esse valor de aL será usado para a decalagem do digrama de momento 
fletor, que é feita da seguinte forma: 
 
18 
 
 
Decalagem do Diagrama de Momentos 
 
Atráves do diagrama decalado, podemos realizar o corte das barras que 
desejamos. Primeiramente, o momento negativo é dividido pelo número de 
barras da armadura longitudinal negativa, de forma ponderada conforme a bitola 
de cada barra usada. Para realizar o corte necessitamos do Lb,nec que é obtido 
da mesma forma que na armadura positiva: 
 
𝐿𝑏,𝑛𝑒𝑐 = ⍺ 𝑥 𝐿𝑏 𝑥 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑓
 
 
𝐿𝑏,𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝐿𝑏,𝑚𝑖𝑛 ≥ {
0,3 𝑥 𝐿𝑏
10 𝛷𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
100 𝑚𝑚
 
 
E o corte das barras negativas é feita da seguinte forma: 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir do momento decalado, estende-se o Lb,nec e os 10Φ, qual dos dois 
se estender mais é o ponto que a barra deve ser cortada. 
E a ancoragem de barras negativas, devem se estender até o cobrimento 
do apoio externo, e descer 35Φbarra, em forma de gancho com ângulo reto. 
2.6 DETALHAMENTO FINAL DA VIGA20 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhamento Viga 11
21 
 
3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO E REAÇÕES NAS LAJES 
Primeiramente, antes de realizar o lançamento das cargas que serão 
aplicadas nas lajes, foi necessário um pré-lançamento, afim de, baseado na 
classe de agressividade ambiental mais branda (CAAII com redução pra CAAI) 
adotando um cobrimento de 2,0cm para as lajes, adotar uma altura da laje de 
projeto. 
3.1 TIPO DE LAJE 
Também é necessária a classificação do tipo de laje, que é determinado 
através das extremidades engastadas da mesma, conforme mostra a imagem a 
seguir e a Tabela L1. 
 
Representação de bordos apoiados das lajes 
 
22 
 
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
LAJES COM BORDAS APOIADAS OU ENGASTADAS 
LAJE 
lx ly 
l 
l* 
n 
dest hest hadot 
Armação Tipo 
cm cm cm cm cm cm 
L1 333,0 460,0 1,38 322,00 1 7,7 10,2 12,0 2 direções 2B 
L2 133,0 246,0 1,85 133,00 1 3,2 5,7 12,0 2 direções 2B 
L3 133,0 246,0 1,85 133,00 1 3,2 5,7 12,0 2 direções 2B 
L4 333,0 460,0 1,38 322,00 1 7,7 10,2 12,0 2 direções 2B 
L5 290,0 460,0 1,59 290,00 3 6,4 8,9 12,0 2 direções 5B 
L6 290,0 381,0 1,31 266,70 3 5,9 8,4 12,0 2 direções 5B 
L7 290,0 381,0 1,31 266,70 3 5,9 8,4 12,0 2 direções 5B 
L8 290,0 460,0 1,59 290,00 3 6,4 8,9 12,0 2 direções 5B 
L9 145,0 293,0 2,02 145,00 2 3,3 5,8 12,0 1 direção 3 
L10 265,0 293,0 1,11 205,10 3 4,5 7,0 12,0 2 direções 5B 
L11 293,0 381,0 1,30 266,70 2 6,1 8,6 12,0 2 direções 3 
L12 129,0 275,0 2,13 129,00 2 3,0 5,5 12,0 1 direção 4A 
L13 293,0 381,0 1,30 266,70 2 6,1 8,6 12,0 2 direções 3 
L14 265,0 293,0 1,11 205,10 3 4,5 7,0 12,0 2 direções 5B 
L15 145,0 293,0 2,02 145,00 2 3,3 5,8 12,0 1 direção 3 
 c (cm) = 2,0 
 f (mm) = 10,0 
 
Tabela L1 -Classificação do tipo de laje
23 
 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS NA LAJE 
Após a classificação do tipo da laje, se faz necessário o cálculo da 
distribuição de cargas em cada laje, afim de encontrar os momentos atuantes 
tanto no vão das lajes como nas extremidades. Os cálculos realizados são 
apresentados na Tabela L2. 
3.3 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES 
 O cálculo dos momentos fletores atuantes nas lajes foi realizado com o 
auxílio dos coeficientes de Bares, através da seguinte equação. 
𝑀 = 𝜇 ∙ 𝑝 ∙
𝑙𝑥2
100
 
 Na Tabela L3 são apresentados os cálculos realizados para a obtenção 
dos momentos fletores atuantes em todas as direções das lajes. Sendo que em 
lajes com bases apoiadas o momento fletor é nulo. 
Logo após o cálculo dos momentos fletores, foi possível a distribuição 
destes momentos nas bordas das lajes, como mostra a Prancha 1 do Anexo B. 
3.4 COMPATIBILIZAÇAÕ DE MOMENTOS FLETORES 
De acordo com a NBR 6118:2014 (item 14.7.6.2), quando houver 
predominância de cargas permanentes, as cargas vizinhas podem ser 
consideradas isoladas, para isso deve-se realizar a compatibilização de 
momentos fletores. Essa compatibilização é dada pela aproximação dos 
momentos fletores atuantes nas lajes. 
Então, é realizada uma verificação mediante alteração das razões entre 
os momentos atuantes nas bordas até a obtenção de valores equilibrados. 
Prancha 2 do Anexo B são apresentados os momentos compatibilizados, que 
serão utilizados no dimensionamento da armadura das lajes. 
24 
 
AÇÕES VERTICAIS NAS LAJES DO PAVIMENTO TIPO 
AÇÕES 
PERMANENTES 
VARIÁVEIS 
P. PRÓP. CONTRAPISO PISO REVEST. TETO PAREDES TOTAL 
LAJE 
hadot gpp contrap econtrap gcontrapp piso episo gpiso teto eteto gteto gparede glaje qlaje 
cm kN/m² kN/m³ cm kN/m² kN/m³ cm kN/m² kN/m³ cm kN/m² kN/m² kN/m² kN/m² 
L1 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L2 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 2,0 
L3 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 2,0 
L4 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L5 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 1,37 5,6 1,5 
L6 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 1,66 5,9 2,0 
L7 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 1,66 5,9 2,0 
L8 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 1,37 5,6 1,5 
L9 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L10 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L11 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L12 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L13 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L14 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
L15 12,0 3,0 21,0 3,0 0,63 18,0 1,0 0,2 19,0 2,0 0,38 4,2 1,5 
concreto 
(kN/m³) = 
25,0 
 
Tabela L2 - Distribuição das cargas na laje 
25 
 
MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Características das Lajes Coeficientes de Bares Momentos Fletores 
LAJE Armação Tipo 
lx 
l 
glaje qlaje mx m'x my m'y Mx,g M'x,g My,g M'y,g 
cm kN/m² kN/m² --- --- --- --- kNm kNm kNm kNm 
L1 2 direções 2B 333 1,38 4,2 1,5 5,00 10,75 2,25 0,00 3,15 6,78 1,42 0,00 
L2 2 direções 2B 133 1,85 4,2 2,0 5,81 11,94 1,67 0,00 0,64 1,31 0,18 0,00 
L3 2 direções 2B 133 1,85 4,2 2,0 5,81 11,94 1,67 0,00 0,64 1,31 0,18 0,00 
L4 2 direções 2B 333 1,38 4,2 1,5 5,00 10,75 2,25 0,00 3,15 6,78 1,42 0,00 
L5 2 direções 5B 290 1,59 5,6 1,5 3,86 8,14 1,23 5,66 2,29 4,83 0,73 3,36 
L6 2 direções 5B 290 1,31 5,9 2,0 3,50 7,70 1,55 5,75 2,31 5,08 1,02 3,80 
L7 2 direções 5B 290 1,31 5,9 2,0 3,50 7,70 1,55 5,75 2,31 5,08 1,02 3,80 
L8 2 direções 5B 290 1,59 5,6 1,5 3,86 8,14 1,23 5,66 2,29 4,83 0,73 3,36 
L9 1 direção 3 145 2,02 4,2 1,5 7,03 12,50 1,60 8,20 0,84 1,50 0,00 0,00 
L10 2 direções 5B 265 1,11 4,2 1,5 3,02 6,99 1,84 5,70 1,21 2,79 0,74 2,28 
L11 2 direções 3 293 1,30 4,2 1,5 4,24 9,65 2,45 7,88 2,07 4,71 1,20 3,85 
L12 1 direção 4A 129 2,13 4,2 1,5 12,50 0,00 3,52 11,88 1,18 0,00 0,00 0,00 
L13 2 direções 3 293 1,30 4,2 1,5 4,24 9,65 2,45 7,88 2,07 4,71 1,20 3,85 
L14 2 direções 5B 265 1,11 4,2 1,5 3,02 6,99 1,84 5,70 1,21 2,79 0,74 2,28 
L15 1 direção 3 145 2,02 4,2 1,5 7,03 12,50 1,60 8,20 0,84 1,50 0,00 0,00 
 
Tabela L3 – Momentos Fletores nas Lajes 
 
26 
 
4 DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS LAJES 
 Para a realização do dimensionamento das lajes, deve-se atender às 
disposições de 14.6.4.3, onde se faz necessária a verificação dos limites da 
posição da linha neutra (x/d). Para proporcionar um comportamento adequado, 
quando se faz a redução de um momento fletor, através da compatibilização, 
esse limite para concretos com Fck<50Mpa é dado por: 
𝑥
𝑑
≤
𝛿−0,44
1,25
 para fck ≤ 50 MPa 
 Ainda, esse coeficiente de redução não deve ser inferior a 0,75. 
4.1 BARRAS E DISPOSIÇÃO 
A disposição das barras das armaduras principais posivitas se dá através 
da dimensão do momento no qual a mesma está responsável, sendo as barras 
inferiores responsáveis pelas direções de maior momento fletor e as sobrepostas 
às inferiores responsáveis pelas direções de menor momento fletor. 
Já para as barras negativas, a armadura superior são relativas à direção 
perpendicular ao bordo das lajes. 
4.2 CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO 
Para a realização do cálculo da armadura de flexão das lajes, assim como 
para o dimensionamento das vigas, são utilizadas as seguintes equações, 
adotando uma largura de laje bw=100cm: 
𝛽𝑥 =
𝑥
𝑑
= 1,25 ∙ [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑
] 
𝐾𝑐 = 𝑏𝑤 ∙
𝑑2
𝑀𝑑
 
𝐾𝑐 =
1
𝑓𝑦𝑑 ∙ (1 − 0,4 ∙ 𝛽𝑥)
 
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠 ∙
𝑀𝑑
𝑑
 
27 
 
4.2.1 Espaçamento Máximo 
Conforme o item 20.1, os espaçamentos máximos para armaduras 
principais devem ser no máximo de 2h ou 20cm, no caso destas lajes em projeto, 
com h=12cm, o espaçamento máximo deve ser de 20cm.Para as armaduras 
secundárias, o espaçamento máximo é de 33cm. 
4.2.2 Armaduras Mínimas 
O cálculo das armaduras mínimas de projeto foram baseados na tabela 
19.1 da NBR 6118. 
4.2.3 Armadura de Canto 
Nos canto das lajes que não possuem continuidades com planos de lajes 
adjacentes, é necessário a disposição de armaduras de canto, que são 
responsáveis pela momentos volventes presentes nos mesmos. 
4.3 ARMADURAS ADOTADAS 
As Tabelas L4 e L5 apresentam os resultados dos cálculo realizados das 
armaduras Positivas e Negativas, respectivamente, assim como seus limites e 
espaçamento de distribuição. 
4.4 COMPRIMENTO DAS BARRAS 
Para a determinação do comprimento das barras, foram adotadas as 
prescrições dispostas no item 20.1 da NBR 6118. 
4.4.1 Comprimento Armaduras Positivas 
As armaduras positivas apresentarão em suas extremidades barras com 
gancho de 90º e 6cm de comprimento prolongadas até a face externa, 
respeitando o cobrimento. 
Nas bordas apoiadas, as barras serão levadas até o cobrimento do apoio 
(viga). 
28 
 
ARMADURA DE FLEXÃO NAS LAJES - ARMADURA POSITIVA (PRINCIPAL E DE DISTRIBUIÇÃO) | C20 | c=2,0 cm | CA 50 
LAJE Armação 
Mk Md h φ d βx=x/d Ks As As,mín As,ef 
Disposição 
kN.cm/m kN.cm/m cm mm cm --- cm²/kN cm²/m cm²/m cm²/m 
L1 
Mx 303 424 10,0 6,3 7,69 0,08 0,024 1,31 1,00 1,31 φ 6,3 c/ 20,0 
My 108 151 10,0 6,3 7,06 0,03 0,023 0,50 1,00 1,00 φ 6,3 c/ 20,0 
L2 
Mx 64 90 12,0 6,3 9,69 0,01 0,023 0,21 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 18 25 12,0 6,3 9,06 0,00 0,023 0,06 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L3 
Mx 64 90 12,0 6,3 9,69 0,01 0,023 0,21 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 18 25 12,0 6,3 9,06 0,00 0,023 0,06 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L4 
Mx 303 424 12,0 6,3 9,69 0,05 0,023 1,03 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 108 151 12,0 6,3 9,06 0,02 0,023 0,39 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L5 
Mx 278 389 12,0 6,3 9,69 0,04 0,023 0,94 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 73 102 12,0 6,3 9,06 0,01 0,023 0,26 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L6 
Mx 282 395 12,0 6,3 9,69 0,04 0,023 0,95 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 113 158 12,0 6,3 9,06 0,02 0,023 0,41 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L7 
Mx 282 395 12,0 6,3 9,69 0,04 0,023 0,95 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 113 158 12,0 6,3 9,06 0,02 0,023 0,41 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L8 
Mx 278 389 12,0 6,3 9,69 0,04 0,023 0,94 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 73 102 12,0 6,3 9,06 0,01 0,023 0,26 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
 
Tabela L4 – Armadura Positiva de Flexão nas Lajes (1) 
29 
 
ARMADURA DE FLEXÃO NAS LAJES - ARMADURA POSITIVA (PRINCIPAL E DE DISTRIBUIÇÃO) | C30 | c=2,0 cm | CA 50 
LAJE Armação 
Mk Md h φ d βx=x/d Ks As As,mín As,ef 
Disposição 
kN.cm/m kN.cm/m cm mm cm --- cm²/kN cm²/m cm²/m cm²/m 
L9 
Mx 84 118 12,0 6,3 9,69 0,01 0,023 0,28 1,80 1,80 φ 6,3 c/ 17,0 
My 0 0 12,0 6,3 9,06 0,00 0,023 0,00 0,90 0,90 φ 6,3 c/ 33,0 (Dist.) 
L10 
Mx 149 209 12,0 6,3 9,69 0,02 0,023 0,50 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 74 104 12,0 6,3 9,06 0,01 0,023 0,26 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L11 
Mx 207 290 12,0 6,3 9,69 0,03 0,023 0,70 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 159 223 12,0 6,3 9,06 0,03 0,023 0,57 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L12 
Mx 118 165 12,0 6,3 9,69 0,02 0,023 0,40 1,80 1,80 φ 6,3 c/ 17,0 
My 0 0 12,0 6,3 9,06 0,00 0,023 0,00 0,90 0,90 φ 6,3 c/ 33,0 (Dist.) 
L13 
Mx 207 290 12,0 6,3 9,69 0,03 0,023 0,70 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 159 223 12,0 6,3 9,06 0,03 0,023 0,57 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L14 
Mx 149 209 12,0 6,3 9,69 0,02 0,023 0,50 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
My 74 104 12,0 6,3 9,06 0,01 0,023 0,26 1,20 1,20 φ 6,3 c/ 20,0 
L15 
Mx 84 118 12,0 6,3 9,69 0,01 0,023 0,28 1,80 1,80 φ 6,3 c/ 17,0 
My 0 0 12,0 6,3 9,06 0,00 0,023 0,00 0,90 0,90 φ 6,3 c/ 33,0 (Dist.) 
 
Tabela L4 – Armadura Positiva de Flexão nas Lajes (2) 
 
30 
 
ARMADURA DE FLEXÃO NAS LAJES - ARMADURA NEGATIVA (PRINCIPAL E DE DISTRIBUIÇÃO) | C30 | c=2,0 cm | CA 50 
LAJES 
VINCULADAS 
Armação 
Mk 
δ 
Md h φ d βx=x/d Ks As As,mín As,ef 
Disposição 
kN.cm/m kN.cm/m cm mm cm --- cm²/kN cm²/m cm²/m cm²/m 
L1 - L5 
Principal 581 0,86 813 10,0 8,0 7,60 0,10 0,024 2,62 1,50 2,62 φ 8,0 c/ 19,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
L2 - L6 
Principal 406 0,80 568 12,0 8,0 9,60 0,04 0,024 1,40 1,80 1,80 φ 8,0 c/ 20,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
L5 - L6 
Principal 358 0,94 501 12,0 8,0 9,60 0,06 0,024 1,23 1,80 1,80 φ 8,0 c/ 20,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
L5 - L10 
Principal 386 0,80 540 12,0 8,0 9,60 0,06 0,024 1,33 1,80 1,80 φ 8,0 c/ 20,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
L6 - L11 
Principal 490 0,96 686 12,0 8,0 9,60 0,08 0,024 1,70 1,80 1,80 φ 8,0 c/ 20,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
L9 - L10 
Principal 223 0,80 312 12,0 8,0 9,60 0,04 0,023 0,76 1,80 1,80 φ 8,0 c/ 20,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
L10 - L11 
Principal 332 0,86 465 12,0 8,0 9,60 0,05 0,023 1,14 1,80 1,80 φ 8,0 c/ 20,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
L11 - L12 
Principal 308 0,80 431 12,0 8,0 9,60 0,05 0,023 1,05 1,80 1,80 φ 8,0 c/ 20,0 
Distribuição 0,90 φ 6,3 c/ 33,0(Dist.) 
 
Tabela L5 – Armadura Negativa de Flexão nas Lajes 
 
 
31 
 
4.4.2 Comprimento Armaduras Negativas 
As barras negativas principais serão dispostas intercaladamente, variando 
o seu ponto de início, serão dispostas de acordo com a imagem a seguir. 
 
Disposição da Armadura Negativa Principal 
O comprimento longitudinal a das barras pode ser calculado através da 
seguinte equação. Os resultados dos cálculos são apresentados na Tabela L6. 
𝑎 =
3
8
𝑙 + 20∅ + 0,75𝑑 
Serão utilizados ganchos de 90º com 8cm, até o cobrimento da laje. 
ARMADURA DE FLEXÃO NAS LAJES - COMPRIMENTO ARMADURA NEGATIVA 
| C30 | c=2,0 cm | CA 50 
LAJES 
VINCULADAS 
lx h fi d a a/3 2/3a C Disposição 
L1 - L5 332,5 12,0 8,0 9,6 147,9 50,0 50,0 100,0 φ 8,0 c/ 19,0 
L2 - L6 290,0 12,0 8,0 9,6 132,0 44,0 45,0 90,0 φ 8,0 c/ 20,0 
L5 - L6 290,0 12,0 8,0 9,6 132,0 44,0 45,0 90,0 φ 8,0 c/ 20,0 
L5 - L10 292,5 12,0 8,0 9,6 132,9 45,0 45,0 90,0 φ 8,0 c/ 20,0 
L6 - L11 292,5 12,0 8,0 9,6 132,9 45,0 45,0 90,0 φ 8,0 c/ 20,0 
L9 - L10 265,0 12,0 8,0 9,6 122,6 41,0 45,0 90,0 φ 8,0 c/ 20,0 
L10 - L11 265,0 12,0 8,0 9,6 122,6 41,0 45,0 90,0 φ 8,0 c/ 20,0 
L11 - L22 292,5 12,0 8,0 9,6 132,9 45,0 45,0 90,0 φ 8,0 c/ 20,0 
 
Tabela L6 – Armadura de Flexão nas Lajes 
 
32 
 
ANEXO A – DIAGRAMAS 
33 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
36 
 
37 
 
 
 
38 
 
 
 
39 
 
ANEXO B – MOMENTOS FLETORES 
42 
 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: 
Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro – 2014. 
238p. 
 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: 
Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro – 2000. 
5p.