Matemática: Funções e Inequações

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1Matemáti caFunções 
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SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência Pedagódica: Luiz Fernando Duarte
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência Operacional: Danilo Maurin
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Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B. 
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo 
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Clayton Furukawa
Editoria: José F. Rufato, Marina A. 
Barreto e Paulo S. Adami
Coordenação editorial: Luzia H. Fávero F. López
Assistente Editorial: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de 
arte: Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro 
e Paula de Oliveira Quirino.
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida e 
Maria Cecília R. D. B. Ribeiro
Capa: LABCOM comunicação total
Fechamento: Matheus C. Sisdeli
Su
m
ár
io
CAPÍTULO 01 FUNÇÕES 7
1. Introdução: noção de função 7
2.	 Definição	 7
3. Função real 13
4. Raiz (ou zero) da função 14
5. Função crescente, decrescente e constante 14
CAPÍTULO 02 FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUADRÁTICA 16
1. Introdução 16
2.	 Função	afim	ou	função	polinomial	do	1º	grau	 16
3. Função constante 18
4.	 Função	quadrática	ou	função	polinomial	do	2º	grau	 20
5.	 Função	do	2º	grau	–	pontos	extremos	 24
6.	 Função	do	2º	grau	–	Aplicações	 27
CAPÍTULO 03 INEQUAÇÕES DO 1º E DO 2º GRAU 31
1. Introdução 31
2. Propriedades 31
3.	 Inequações	do	1º	grau	 31
4.	 Inequação	do	2º	grau	 32
5.	 Inequações	produto	e	quociente		 35
6. Inequação produto 35
7. Inequação quociente 35
8.	 Potências	com	expoentes	inteiros	 36
9.	 Um	método	prático	 36
CAPÍTULO 04 TIPOS DE FUNÇÕES 40
1.	 Função	composta	 40
2.	 Classificação	 41
3. Função inversa 44
4. Função modular 48
5. Função modular 48
6.	 Equações	modulares	e	inequações	modulares	 51
7.	 Equações	modulares	 51
8. Inequação modular 51
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 55
Capítulo	01	 56
Capítulo	02	 64
Capítulo	03	 80
Capítulo	04	 85
GABARITO 103
Teoria
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Funções
7
Matemática
respondência um único elemento y ∈ B, que 
é	denominado	imagem	de	x.
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
As	seguintes	denominações	são	importantes:
01. o conjunto A é chamado de domínio 
da função;
02. o conjunto B é chamado de contrado-
mínio da função;
03. o subconjunto do contradomínio for-
mado por todas as imagens dos ele-
mentos do domínio é denominado 
conjunto imagem. 
Observação: o conjunto imagem (Im) é sub-
conjunto do contradomínio (CD).
A função pode ser representada de várias for-
mas, cujas mais importantes são:
01. tabela: em geral, representa-se uma 
tabela com duas colunas; na primei-
ra, coloca-se o domínio e, na segunda, 
colocam-se as respectivas imagens.
02. pares ordenados: a correspondência 
se	dá	na	forma	(x,y)	em	que	o	primeiro	
elemento indica o domínio e o segun-
do, a sua imagem.
03. diagramas de flechas. São usados dois 
diagramas: o primeiro é o domínio e o 
segundo é o contradomínio, no mes-
mo esquema da tabela, sendo que a 
correspondência será indicada por se-
tas,	como	se	vê	no	exemplo	anterior.
04. gráficos. Representa-se a função em 
um plano cartesiano, indicando o do-
mínio	no	eixo	horizontal,	eixo	das	abs-
cissas,	e	o	contradomínio	no	eixo	verti-
cal,	eixo	das	ordenadas.
05. lei de correspondência: é uma senten-
ça matemática que permite que, após 
escolhermos os elementos, tenhamos 
como determinar a imagem desses 
elementos por meio de uma fórmula 
matemática.
1. Introdução: noção de função
Vamos imaginar uma correspondência espe-
cial entre dois conjuntos, A e B, nesta ordem, 
que possui as seguintes características:
a. todo elemento do conjunto A possui 
um elemento correspondente no con-
junto B;
b. qualquer que seja o elemento de A em 
estudo,	 verifica-se	 que	 só	 existe	 um	
único correspondente em B.
Uma correspondência que satisfaz a e b é deno-
minada função entre A e B. Vamos imaginar que 
um pesquisador está estudando uma cultura de 
bactérias e que, a cada minuto, a partir de um 
momento que podemos denominar de tempo 
0,	anote	a	quantidade	de	bactérias	em	estudo.	
Podemos dizer que há uma correspondência 
entre o conjunto A, no caso o tempo, e o con-
junto B, no caso quantidade de bactérias, e que, 
a cada minuto observado, há uma e somente 
uma única quantidade específica de bactérias; 
tal correspondência pode ser denominada fun-
ção entre o tempo, em minutos, e a quantidade 
de bactérias. Vamos imaginar agora que, a par-
tir do nascimento de uma criança, todo mês, o 
pediatra anote, numa tabela, a idade e a altura 
dessa criança. O médico estará promovendo 
o relacionamento entre os elementos de dois 
conjuntos: o conjunto das idades e o conjunto 
das alturas. Temos também aí uma função, ou 
seja, a altura em função da idade. Como esses, 
muitos	outros	exemplos	de	função	podem	ser	
selecionados	 no	 nosso	 cotidiano;	 porém,	 es-
tudaremos função apenas com enfoque ma-
temático,	com	a	certeza	de	que	os	alunos	que	
compreenderem a ideia de função no aspecto 
matemático	estarão	preparados	para	utilizá-la	
de	maneira	correta	em	qualquer	 ramo	de	ati-
vidade. 
2. Definição
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, de-
nomina-se função uma correspondência espe-
cial, formalmente chamada de relação binária, 
entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de tal 
maneira	que	todo	elemento	x	∈ A tem em cor-
CAPÍTULO 01 FUNÇÕES
Funções
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Matemática
A. 	Entendendo	o	símbolo	f(x)
É	 comum	 no	 estudo	 das	 funções	 aparecerem	
símbolos do tipo f(x), g(x), h(x) etc. Será muito 
útil entendermos o significado destas simbolo-
gias. Para facilitar, vamos considerar que no sím-
bolo f(x) a letra f representa o nome da função. 
Deste modo, quando aparecer, em física, o sím-
bolo S(t), o aluno pode automaticamente consi-
derar o nome da função e que, é apenas a pri-
meira letra da palavra espaço na língua inglesa. 
No símbolo f(x), devemos interpretar o seguinte:
01. leitura:	“f	de	x”
02. nome da função: f
03. x:	 um	 elemento	 qualquer	 do	 domínio	
da função (letra que aparece entre pa-
rênteses)
04. f(x):	simboliza	a	imagem	de	x.
Observação
a	letra	x	representa	uma	variável.
Quando aparecer em nossos estudos, por 
exemplo,	 a	notação	 f: A → B,	 com	 f(x)	 =	 2x,	
devemos entender que A é o domínio da fun-
ção, B o contradomínio, f o nome da função e 
que a fórmula que aparece após a igualdade 
de	f(x),	no	nosso	exemplo	2x,	é	a	fórmula,	lei	
ou sentença matemática que será usada para 
calcular as imagens.
Exemplo 
Considere uma função de domínio e contrado-
mínio	real,	definida	por	f(x)	=	x	+	1.	Determine	
f(2013).
Neste	exemplo,	o	domínio	é	o	conjunto	dos	re-
ais; o contradomínio também é o conjunto dos 
reais; o nome da função é f; a letra x represen-
ta um elemento qualquer do domínio; f(x) é o 
símbolo da imagem de x; “x + 1”	é	a	fórmula,	
lei ou sentença matemática da imagem, e é 
com esta fórmula que iremos calcular a ima-
gem de um elemento particular do domínio. 
A	notação	f(2013)	indica	que	devemos	encontrar	
a imagem de um elemento particular do domínio, 
nesse	caso	2013.	Precisamos,	então,	substituir,	na	
fórmula fornecida, o elemento genérico do domí-
nio, a letra x,	pelo	elemento	particular	2013.
f(2013)	=	2013	+	1
f(2013)	=	2014
Resposta
f(2013)	=	2014	
B. Representando um pontodo	gráfico	da	função
Vamos supor que em uma determinada fun-
ção f	tenhamos	f(8)	=	10.	Podemos	represen-
tar	essas	informações	por	um	par	ordenado	(8;	
10)	e,	em	seguida,	colocá-lo	em	um	ponto	do	
plano cartesiano. 
Convenção: 
01. o primeiro elemento do par ordenado, 
que é um elemento do domínio da fun-
ção,	é	representado	no	eixo	horizontal	
(eixo	das	abscissas);	
02. o segundo elemento do par, que é a 
respectiva imagem, é representado no 
eixo	vertical	(eixo	das	ordenadas).		
O	par	ordenado	(8;	10)	fica	assim	representado:
x
y
0
10 (8; 10)
8
O ponto acima representa um ponto do gráfico 
da função f.
C. Gráfico	de	uma	função
É a união de todos os pontos, no plano cartesia-
no,	(x;	y),	em	que	x	é	um	elemento	do	domínio	
da função e y, a respectiva imagem. O número 
de pontos do gráfico depende da quantidade 
de elementos do domínio da função.
Exemplo 
Na	figura	abaixo,	temos	o	gráfico	de	uma	fun-
ção de domínio D x a x b= ∈ < <{ | }.
x
y
0 ba
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Funções
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Matemática
D. Domínio e conjunto imagem: 
conhecendo	o	gráfico	da	função
É comum determinarmos o domínio ou o con-
junto imagem partindo-se do gráfico da função. 
Para encontrar o domínio e o conjunto imagem 
através do gráfico, devemos primeiro entender 
o significado de “projeção ortogonal de um 
ponto	do	gráfico”	respectivamente	no	eixo	ho-
rizontal	e	no	eixo	vertical.
No	exemplo:	
x
y
0
10 (8; 10)
8
01. o	ponto	do	eixo	x,	onde	está	represen-
tado o número 8, é a projeção ortogo-
nal	do	ponto	P(8;	10)	no	eixo	x;	
02. o	ponto	do	eixo	y,	onde	está	represen-
tado	o	número	10,	é	a	projeção	ortogo-
nal	do	ponto	P(8;	10)	no	eixo	x.
x
y
0
10 P (8; 10)
8
Projeção de P em x
Projeção de P em y
Observe que o número representado na proje-
ção	ortogonal	de	P	no	eixo	x é o elemento do 
domínio igual a 8 e que o número represen-
tado	na	projeção	ortogonal	de	P	no	eixo	y é a 
respectiva imagem.
Assim, teremos o domínio da função quando 
considerarmos	 todos	 os	 elementos	 do	 eixo	 x 
correspondentes	à	projeção	do	gráfico	no	eixo	
horizontal, e o conjunto imagem será constituí-
do de todos os elementos oriundos da projeção 
no	gráfico	no	eixo	vertical.
Exemplo
Consideremos	a	função	f(x)	definida	por	A	=	]a;	b]	
em .
y
d
0 x
f (x)
c
a b
Domínio: projeção ortogonal do gráfico da 
função	no	eixo	x.	Assim,	D	=	]a;	b]	=	A.	
0
f(x)
y
d
a b x
c
D = ]a, b]
Conjunto imagem: projeção ortogonal do grá-
fico	da	função	no	eixo	y.	Assim,	Im	=	[c,	d].
0
d
b x
c
f(x)
y
a
Im = [c, d]
Observação
O contradomínio () é representado por todo 
o	eixo	y.
Funções
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Matemática
E. Reconhecimento de uma função 
por	meio	do	diagrama	de	flechas	
As	 condições	 que	 uma	 relação	 representada	
por meio do seu diagrama de flechas deve sa-
tisfazer para ser uma função são: 
1. todo elemento de A deve servir como 
ponto de partida de uma flecha;
2. essa flecha deve ser única.
Exemplos
a. 
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
Não é função, pois não parte nenhuma flecha 
do elemento d ∈ A.
b. 
A B
1
2
3
4
a
b
c
Não é função, pois partem duas flechas do ele-
mento c ∈ A.
c. 
A B
1
2
3
4
a
b
c
É	uma	função,	pois	satisfaz	as	condições	enun-
ciadas com:
domínio:	A	=	{a,	b,	c};
contradomínio:	B	=	{1,	2,	3,	4}	e	imagem	=	{1,	2}
F. Reconhecimento de uma função 
por	meio	do	seu	gráfico	cartesiano
Vamos	observar	os	gráficos	das	relações	biná-
rias de A em B, que se apresentam a seguir.
y
B
A
R1
0 x
y
B
A
R2
0 x
y
B
A
R3
0 x
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Funções
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Matemática
Devemos observar que, para localizarmos a imagem de um determinado elemento do domínio, 
representado	no	eixo	horizontal,	basta,	por	meio	de	uma	reta	vertical,	atingirmos	o	gráfico	da	re-
lação e, com o uso de outra reta, agora horizontal, projetarmos este ponto de intersecção da reta 
com	o	gráfico	no	eixo	vertical,	que	representa	o	contradomínio.	Estaremos,	assim,	determinando	
a imagem do elemento considerado.
0 A x0
y0
x
R1
y
Com base neste procedimento, lembrando que, para ser uma função, todo elemento do domínio 
deve ter uma única imagem no contradomínio, podemos estabelecer a seguinte regra: para o re-
conhecimento de uma função por meio de seu gráfico cartesiano, é preciso que toda e qualquer 
reta vertical que passe pelo domínio da relação "corte" uma única vez o gráfico da relação.
0 A x
R1
y
 R1 não é função.
x
R2
y
A0
 R2 não é função.
R3
y
A x0
 R3 é função.
Funções
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Matemática
01. 
Qual dos gráficos não representa uma função de  em ?
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. y
x0
b. y
x0
c. y
x0
d. y
x0
e. 
Resolução
Gráfico	E	–	Não	é	função.	Toda	reta	vertical	que	
passar à direita da origem interceptará o gráfi-
co mais de uma vez, caracterizando elementos 
do domínio com mais de uma imagem.
Resposta
E
02. 
Considere	abaixo	o	gráfico	da	função	f:	A	→ B. 
f(x)
2 3 x0 1
2
Obter o domínio e o conjunto imagem da função.
Resolução
f(x)
2 3 x0 1
2
Observe que a projeção de todos os pontos do 
gráfico	sobre	o	eixo	x	é	o	 intervalo	 [1;	3],	e	a	
projeção	 no	 eixo	 y	 é	 o	 intervalo	 [0;	 2].	 Deste	
modo,	o	domínio	da	função	é	D	=	[1;	3],	e	o	con-
junto	imagem	é	Im	=	[0;	2].
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Funções
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Matemática
03. Fuvest-SP
Se f(x) = 1
x +12
, quanto vale f( 7)4 ?
Resolução
f
f
( )
( )
( )
7
1
7 1
1
7 1
7 1
7 1
7 1
6
7
7 1
6
4
4 2
4
=
+
=
+
⋅
−
−
=
−
=
−
04. FEI-SP
Se f x
x
x
( ) =
+2 1
, então f 2( ) vale:
05. UFBA
Sobre os preços dos ingressos para certo es-
petáculo, foi estabelecido que, na compra de:
•	 até	um	máximo	de	20	ingressos,	o	pre-
ço	unitário	de	venda	seria	R$	18,00;
•	 mais	 de	 20	 unidades,	 cada	 ingresso	
que	excedesse	os	20	seria	vendido	por	
R$	15,00.
Nessas	 condições,	 a	 expressão	 que	 permite	
calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que 
comprar	x	ingressos,	x	>	20,	é:
a. 	15x
b. 	15x	+	60
c. 	15x	+	90
d. 	18x	–	60
e. 	18x	–	90
Resolução
O	gasto	para	comprar	mais	de	20	ingressos	é:
20	⋅	18	+	15	(x	–	20)	=	360	+	15	(x	–	20)
360	+	15x	–	300	=	60	+	15x
Resposta
B
a. 	0
b. 2
3
c. 2 2
3
d. 2
2
e. 3 2
2
Resolução
f x
x
x
f
f f
( ) =
+
⇒ =
+
=
+
⇒ =
2 21
2
2
2 1
2
2
2 1
2
2
3
( )
( )
( ) ( )
Resposta
B
3. Função real 
É a função onde o domínio e o contradomínio são subconjuntos não-vazios dos números reais.
A. Função real e o seu domínio
Se o domínio não aparece na apresentação da função, entende-se que o domínio será o mais 
amplo	subconjunto	real	para	o	qual	são	possíveis	todas	as	operações	indicadas	na	sentença.	
Para encontrarmos o domínio de uma função real, devemos estar atentos às possibilidades das ope-
rações	matemáticas.	Por	enquanto,	ficaremos	atentos	aos	seguintes	problemas	que	podem	surgir:
1. Se houver variável no denominador de uma fração, devemos recordar que o denominador 
não poderá ser zero.
2. Se houver variável no radicando de uma raiz de índice par, devemos recordar que o radi-
cando não poderá ser negativo.
Exemplo
a. O domínio da função real definida por f x
x
é D x x( ) { | },= = ∈ ≠
1
0 pois, na operação 
de divisão, não podemos efetuar a divisão por zero. 
b. O domínio da função real definida por f x x é D x x( ) { | },= = ∈ ≥ 0 pois, na operação de 
radiciação, não podemos efetuar a raiz quadrada de número negativo. 
Funções
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Matemática
4. Raiz(ou zero) da função
Quando	um	elemento	x	do	domínio	tem	ima-
gem igual a zero, dizemos que este elemento é 
raiz ou zero da função.
Exemplo
O número real 2 é raiz, ou zero, da função real 
definida por f x x( ) ,= −2 pois f( ) .2 2 2 0= − =
5. Função crescente, 
decrescente e constante
I. Função crescente:	 a	 função	 f(x),	 num	
determinado intervalo, é crescente se, 
para quaisquer	 x1	 e	 x2 pertencentes a 
este	 intervalo,	 com	 x1	 <	 x2, tivermos 
f(x1)	<	f(x2).
f(x)
f(x1)
f(x2)
y
0 xx1 x2
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
II. Função decrescente:	 função	 f(x),	 num	
determinado intervalo, é decrescente 
se, para quaisquer	x1	e	x2 pertencentes 
a	este	 intervalo,	 com	x1	<	x2, tivermos 
f(x1)	>	f(x2).
f(x)f(x1)
f(x2)
y
0 x
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
x1 x2
III. Função constante:	 função	 f(x),	 num	
determinado intervalo, é constante se, 
para quaisquer	 x1	 e	 x2 pertencentes a 
este	intervalo,	tivermos	f(x1)	=	f(x2).
0
y
f(x1)
x1 x2
f(x2) f(x)
01. 
Encontre o domínio da função real definida 
por f x
x
( ) .=
−
1
1
Resolução 
Há divisão ⇒ o denominador não pode ser 
igual a zero. 
O	denominador	da	fração	é	x	–	1	⇒		x	–	1	≠	0
	 	 	 	 	 x	≠ 1
Resposta
D x x= ∈ ≠{ | } 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
02. 
Encontre as raízes da função real definida por 
f(x)	=	x2	–	10x.
Resolução
x2	–	10x	=	0
x	⋅	(x	–	10)	=	0
x	=	0	ou	x	–	10	=	0
x	=	0	ou	x	=	10
Resposta
As	raízes	são	0	e	10.
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Funções
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Matemática
03. 
O	gráfico	representa	uma	função	f.
x
y
–1
2
–2
1
2
3
–3
–2
–1
0
1
Pede-se:
a. o domínio da função;
b. a imagem da função;
c. as raízes da função;
d. o	ponto	de	máximo	de	f;
e. o valor mínimo de f;
f. o intervalo onde a função é decrescente.
Resolução
a. Domínio	é	o	conjunto	dos	x,	para	os	quais	
existe	imagem;	logo,	D	=	[–2,	2].
b. Imagem é o conjunto dos y, que são ima-
gem	de	algum	x;	logo,	Im	=	[–3,	3].
c. x	=	–2;	x	=	0	e	x	=	2
d. x	=	–1	e	y	=	3	⇒	P	(–1,	3)
e. x	=	1	e		y	=	–3
f. –1	<	x	<	1
04. UFV-MG
Dos	conjuntos	abaixo,	aquele	que	está	contido	
no domínio f x
x
x
( ) = +
−
1
1 23
 é:
a. 	{x	∈ 	|	–	1	≤	x	≤	1}
b. 	{x	∈ 	|	x	>	1	ou	x	<	–	1}
c. 	{x	∈ 	|	x	≠	–	1	e	x	≠	1}
d. 	{x	∈ 	|	x	>	1}
e. 	{x	∈ 	|	x	>	–	1}
Resolução
x
x
x
x
+ ≥
− ≠
 ⇒
≥ −
≠ ±

1 0
1 0
1
12
∴	Dom.	=	{x	∈ 	|	x	>	–	1	e	x	≠	1}
Assim, o conjunto que está contido no domínio 
é o do item d.
Resposta
D
05. UFCE modificado
O domínio da função real g x
x
x
( ) =
−
−
2
7
é:
a. 	{x	∈ 	|	x	>	7}
b. 	{x	∈ 	|	x	≤	2}
c. 	{x	∈ 	|	2	≤	x	<	7}
d. 	{x	∈ 	|	2	≤	x	ou	x	≥	7}
e. 	{x	∈ 	|	x	≥	7}
Resolução
I. x	–	7	>	0;	x	>	7
II. x	–	2	≥	0;	x	≥	2
(I)
(II)
(I) ∩ (III)
2
7
7
S:	x	>	7
Resposta
A
Funções
PV
-1
3-
11
16
Matemática
1. Introdução
Há	dois	 grupos	 de	 funções	 que	 tem	 incidên-
cia diferenciada na matemática: função afim e 
função quadrática.
2. Função afim ou função 
polinomial do 1º grau
Chama-se função afim ou função polinomial 
do	1º	grau	à	função	real	que	pode	ser	escrita	
na forma:
f(x)	=	ax	+	b,	com	a	≠	0.
D(f)	=	,	CD(f)	=		e	Im	(f)	=	
A. Gráfico
O	gráfico	da	função	afim	é	uma	reta	com	“incli-
nação	para	a	direita”	quando	a é positivo e “in-
clinação	para	a	esquerda”	quando	a é negativo.
Para esboçar o gráfico, é importante destacarmos 
dois pontos distintos. Devemos dar preferencia 
aos		pontos	que	interceptam	o	eixo	x	e	o	eixo	y.
Exemplo
Esboçar	o	gráfico	da	função	real	definida	por	
f(x)	=	2x	–	6.
Exemplo	para	a	>	0.
Consideremos	f(x)	=	2x	–	1
CAPÍTULO 02 FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUADRÁTICA 
x y
0 –	6
3 0 x
y
3
– 6
A	função	será	crescente	se	a	>	0	e	decrescente	
se	a	<	0.
x
Raiz
crescente
a > 0
x
Raiz
decrescente
a < 0
x f(x)
–1 –3
0 –1
1 1
2 3
y
x
3
2
1
–1
–2
–3
–1
1 2 30
Exemplo	para	a	<	0		
Consideremos	f(x)	=	–x	+	1
x f(x)
–1 2
0 1
1 0
2 –1
y
–1
–1 1
2
x
2
1
0
B. Raiz
f(x)	=	0	⇒	ax	+	b	=	0	⇒ x
b
a
= − que é a única 
raiz da função.
C. Coeficientes	
Na	lei	matemática	f(x)	=	ax	+	b,	a é denomina-
do coeficiente angular e b é chamado de coe-
ficiente linear.
D. Intersecção com oy
A	intersecção	com	o	eixo	vertical	ocorre	quan-
do	x	=	0;	deste	modo,	teremos:	
x	=	0	⇒	f(0)	=	a	⋅	0	+	b	⇒	f(0)	=	b
Isso	quer	dizer	que	o	gráfico	intercepta	o	eixo	y	
no	ponto	(0,	b).
PV
-1
3-
11
Funções
17
Matemática
E. Resumo
f(x)	=	ax	+	b;	a	≠	0
a	>	0 a	<	0
y
x
b
Crescente
0
–b
a
y
x0
b –b
a
Decrescente
D	=	 Im	=	
D =
=


Im
F. Estudo	do	sinal	da	função	afim
Para o estudo da variação de sinal da função 
afim, seguiremos a convenção adotada para o 
eixo	 das	 ordenadas,	 em	que	 estão	 represen-
tadas as imagens dos elementos posicionados 
no	eixo	x.	Assim,	toda	região	gráfica	acima	do	
eixo	 representará	 uma	 imagem	 positiva,	 ao	
contrário das imagens negativas, que sempre 
estarão	posicionadas	abaixo	do	eixo	x.	A	partir	
deste entendimento, o estudo da variação de 
sinal de uma função afim depende apenas do 
coeficiente angular da reta, que pode ser po-
sitivo (função crescente) ou negativo (função 
decrescente), e da raiz da função.
Consideremos	a	função	f(x)	=	ax	+	b	com	a	≠	0,	
em	que	x0	é	raiz	de	f(x).	Temos	duas	situações	
a analisar:
a	>	0 a	<	0
xx0
+
–
xx0
+
–
x	>	x0 ⇒	f(x)	>	0 x	>	x0 ⇒	f(x)	<	0
x	=	x0 ⇒	f(x)	=	0 x	=	x0 ⇒	f(x)	=	0
x	<	x0 ⇒	f(x)	<	0 x	<	x0 ⇒	f(x)	>	0
Exemplo
Considere	 o	 gráfico	 abaixo	 da	 função	 afim	
f(x)	=	2x	–	1.
x y
0 –1
1
2 0
x
y
–1
1
2
Temos:
f(x)	é	negativo	quando	x	é	menor	que	
1
2
;
f(x)	é	igual	a	zero	quando	x	é	igual	a	
1
2
(raiz da 
função);
f(x)	é	positivo	quando	x	é	maior	que	 1
2
.
Exemplo
Considere	 o	 gráfico	 abaixo	 da	 função	 afim	
f(x)	=	2	–	x.
x y
0 2
2 0 x
y
2
2
Temos:
f(x)	é	positivo	quando	x	é	menor	que	2;
f(x)	é	igual	a	zero	quando	x	é	igual	a	2	(raiz	da	
função);
f(x)	é	negativo	quando	x	é	maior	que	2.
G. Função linear
É um caso particular da função afim e ocorre 
quando	b	=	0,	isto	é,	a	função	real	definida	por	
f(x)	=	ax	é	chamada	de	função	linear.	
Quando uma função é linear os valores do do-
mínio e as respectivas imagens são diretamen-
te proporcionais.
No caso geral da função afim isso não ocorre, 
mas	manter	as	variações	de	x	e	de	y	são	direta-
mente proporcionais e a constante de propor-
cionalidade é a. 
Considere uma função afim definida por 
f(x)	=	ax	+	b.
Funções
PV
-1
3-
11
18
Matemática
D	=	
Im	=	
x
f(x) = x
45o
0
yTemos:
f(x1)	=	ax1	+	b
f(x2)	=	ax2	+	b
f(x2)	–	f(x1)	=	ax2	+	b	–	(ax1	+	b)
f(x2)	–	f(x1)	=	ax2	+	b	–	ax1	–	b
f(x2)	–	f(x1)	=	ax2	–	ax1
f(x2)	–	f(x1)	=	a(x2	–	x1)
f x f x
x x
a
( ) ( )
( )
2 1
2 1
−
−
=
H. Função	identidade
Há um caso particular de função linear deno-
minada função identidade.
–	 Sentença:	 f(x)	 =	 x,	 em	 que	 cada	 elemento	
tem como imagem ele mesmo.
D	=	,	CD	=		e	Im	=	
–	Gráfico
Conclusão: o gráfico de uma função identida-
de é uma reta bissetriz dos quadrantes ímpa-
res do plano cartesiano, passando pela origem 
do sistema. 
3. Função constante
É	a	função	real	definida	por	f(x)	=	k,	em	que	k	
é uma constante. Observe que a função tem 
imagem	k	para	qualquer	valor	de	x.
O	gráfico	será	uma	reta	paralela	ao	eixo	x,	pas-
sando na ordenada k.
Exemplo
Estudar	a	função	f(x)	=	3.
Gráfico
D	=	
CD	=	
Im	=	{3}
x
3
yx f(x)	=	x
–1 –1
0 0
1 1
2 2
x
0
y
PV
-1
3-
11
Funções
19
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Domínio:D	=	
Contradomínio:	CD	=	
Conjunto	imagem:	Im	=	
Crescimento: decrescente
b. 
x
y
0
4
Domínio:	D	=	
Contradomínio:	CD	=	
Conjunto	imagem:	Im	=	{	4	}
Crescimento: constante
03. UERGS-RS
Observe	o	gráfico	abaixo.
3
2 x
y
A função representada nesse gráfico é:
a. y x= − +
3
2
3
b. y x= +
3
2
2
c. y x= − +
2
3
3
d. y x= +
2
3
3
e. y x= +
2
3
2
01. UFMG
Sendo	a	<	0	e	b	>	0,	a	única	representação	grá-
fica	correta	para	a	função	f(x)	=	ax	+	b	é:
x x
x
x
x
y
yy
y ya) b)
c) d)
e)
Resolução
Como	a	<	0,	a	função	deve	ser	decrescente.
Como	b	>	0,	a	reta	intercepta	o	eixo	y	na	parte	
positiva	(acima	do	eixo	x).
Resposta
A
02. 
Esboçar	o	gráfico,	determinar	o	domínio,	o	con-
tradomínio,	 o	 conjunto	 imagem	 e	 classificar	
quanto	ao	crescimento	as	seguintes	funções:
a. y	=	5	–	x
b. y	=	4
Resolução
a. 
x
y
0
5
5
Funções
PV
-1
3-
11
20
Matemática
Resolução
f(x)	=	ax	+	b
( , )
( , )
2 0
0 3
2 0
3
⇒
+ =
=

a b
b
2a	+	3	=	0
a = −
3
2
 
y x= − +
3
2
3
Resposta
A
04. UFPI
A função real de variável real, definida por 
f(x)	=	(3	–	2a)x	+	2,	é	crescente	quando:
05. Fefisa-SP
O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por 
uma empresa de cosméticos na produção de 
perfume varia com a quantidade de perfume 
produzida	(x).	Assim,	podemos	afirmar	que:	
190
105
20
105
x (litros)0
a. quando a empresa não produz, não gasta.
b. para produzir três litros de perfume, a 
empresa	gasta	R$	76,00.
c. para produzir dois litros de perfume, a 
empresa	gasta	R$	54,00.
d. 	se	 a	 empresa	 gastar	R$	170,00,	 então	
ela produzirá cinco litros de perfume.
e. para fabricar o terceiro litro de perfu-
me, a empresa gasta menos do que 
para fabricar o quinto litro.
Resolução
f(x)	=	ax	+	b
b	=	20,	pois	é	o	ponto	que	corta	Oy.
f(5)	=	105	⇒	105	=	5a	+	20	⇒	5a	=	85	⇒	a	=	17
f(x)	=	17x	+	20
A única alternativa correta é a C, pois 
f(2)	=	17	·	2	+	20	⇒	f(2)	=	54
Resposta
C
a. a	>	0
b. a<
3
2
c. a =
3
2
d. a>
3
2
Resolução
Para	f(x)	ser	crescente,	devemos	ter	3	–	2a	>	0.
Logo:	–2a	>	–3	⋅	(–1)
2 3
3
2
a a< ⇒ <
Resposta
B
4. Função quadrática ou função 
polinomial do 2º grau
Definimos função quadrática ou função polino-
mial	do	2º	grau	uma	função	real	que	pode	ser	
expressa	por	f(x)	=	a	⋅	x2	+	b	⋅ x	+	c,	com	a ≠	0.
A. Concavidade	do	gráfico
O gráfico de uma função quadrática é denomi-
nado de parábola. Sua concavidade pode estar 
voltada	para	cima	(a	>	0)	ou	para	baixo	(a	<	0).
x
a > 0: concavidade
para cima
x
a < 0: concavidade
para baixo
PV
-1
3-
11
Funções
21
Matemática
B. Raízes
Para encontramos as raízes ou zeros da função 
quadrática, fazemos a ⋅ x2	+	b	⋅ x	+	c	=	0,	o	que	
nos	leva	a	uma	equação	do	2º	grau.
A	resolução	de	uma	equação	do	2º	grau	é	feita	
com	o	auxílio	da	chamada	“fórmula	resolutiva	
de	Bhaskara”.
x
b
a
em que b a c=
− ± ∆ ∆ = − ⋅ ⋅
2
42
Conforme o valor do discriminante ∆	=	b2	–	4	⋅ a ⋅ c, 
a	 intersecção	 do	 gráfico	 com	 o	 eixo	 x	 pode	
ocorrer em apenas um ponto, em dois pontos 
ou não ocorrer.
∆	>	0	⇔	a	parábola	encontra	o	eixo	x	em	dois	
pontos distintos;
∆	=	0	⇔	a	parábola	encontra	o	eixo	x	em	ape-
nas um ponto;
∆	<	0	⇔	a	parábola	não	encontra	o	eixo	x.
C. Significado	geométrico	das	raízes
Interpretando geometricamente, dizemos que 
as raízes da função quadrática são as abscissas 
dos	pontos	onde	a	parábola	corta	o	eixo	dos	x.
Então:
∆	>	0 ∆	=	0 ∆	<	0
a	>	0 xx1 x2
x
x1 = x2
x
a	<	0 x
x1 x2
x1 = x2 x
Observação
Se, para determinarmos as raízes da função, 
ou	seja,	os	pontos	onde	o	gráfico	intercepta	
o	eixo	x,	fazemos	a	imagem	y	=	0,	para	deter-
minarmos	o	ponto	de	intersecção	do	gráfico	
da	função	com	o	eixo	vertical,	fazemos	x	=	0.	 
Assim, no caso da função quadrática, temos: 
x	=	0	⇒	f(0)	=	a	⋅	02	+	b	⋅	0	+		c	⇒	f(0)	=	c.
Portanto o ponto de intersecção da parábola 
com	o	eixo	vertical	é	o	ponto	dado	pelas	co-
ordenadas	(0;	c),	que	possui	como	ordenada	o	
termo	independente	de	x	na	sentença.
D. A forma fatorada de 
f(x)	=	a	⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c
Como foi visto anteriormente, o trinômio 
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	pode	ser	fatorado	quando	são	co-
nhecidas as raízes da equação a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	=	0.	
Na ocasião, vimos que:
ax2	+	bx	+	c	=	a	⋅	(x	–	x1)	(x	–	x2),	em	que	x1	e	x2 
são as raízes.
Em	 muitos	 exercícios,	 será	 útil	 utilizarmos	 
f(x)	=	a	⋅	(x	–	x1) ⋅	(x	–	x2) em vez de: 
f(x)	=	ax2	+	bx	+	c.
Exemplo
Escreva a lei de formação de uma função do 
2º	grau	cujo	coeficiente	de	x2 é igual a 1 e que 
possui	raízes	1	e	–3.
Resolução
f(x)	=	a	⋅	(x	–	x1) ⋅	(x	–	x2)
f(x)	=	1	⋅	(x	–	1)	⋅	(x	–	(–3))
f(x)	=	1	⋅	(x	–	1)	⋅	(x	+	3)
f(x)	=	1	⋅	(x2	+	2x	–	3)
f(x)	=	x2	+	2x	–	3
E. Vértice	da	parábola
Chamamos de vértice da parábola o ponto do 
gráfico,	 sobre	o	eixo	de	 simetria,	onde	a	pará-
bola inverte o seu sentido de crescimento, isto 
é, de decrescente para crescente ou vice-versa. 
O vértice corresponde a um ponto especial do 
gráfico, pois, dependendo da concavidade da 
parábola, o vértice pode indicar o ponto mais 
“alto”	do	gráfico	(concavidade	para	baixo)	ou	o	
ponto	mais	“baixo”	(concavidade	para	cima).	No	
primeiro caso, dizemos que a função possui um 
valor	máximo	e	no	segundo	um	valor	mínimo.	
V
Eixo de
simetria 
V
Eixo de
simetria
Para	determinarmos	a	abscissa	do	vértice	(xv), 
usamos o fato de que, sendo o gráfico simétri-
co em relação a esta reta vertical, os valores 
(xv	+	k)	e	(xv	–	k)	apresentam	a	mesma	imagem,	
ou	seja,	f(xv	+	k)	=	f(xv	–	k).	Sendo:
Funções
PV
-1
3-
11
22
Matemática
f(x)	=	ax2	+	bx	+	c,	temos:
f(xv	+	k)	=	a(xv	+	k)2	+	b(xv	+	k)	+	c	=	y1
f(xv	–	k)	=	a(xv	–	k)2	+	b(xv	–	k)	+	c	=	y2
Considerando que y1	=	y2, temos:
x
b
av
= −
2
, que é o valor da abscissa do vérti-
ce	(xv).
Observação
O	 xv é a média aritmética das abscis-
sas de quaisquer dois pontos simétri-
cos na parábola. Sendo assim, pode-
mos escrever também que x
x x
v =
+1 2
2
, 
em	que	x1	e	x2 são as raízes da função.
Para determinarmos a ordenada do vértice 
(yv), usamos o fato de que o vértice é um pon-
to pertencente à parábola e que, portanto, a 
imagem	de	xv é yv, ou seja, yv	=	f(xv).
Assim, temos:
y a x b x c y
av v v v
= + + ⇒ = −
∆
( ) ( )2
4
que é o valor da ordenando do vértice (yv)
y
av
= −
∆
4
É importante também ficar atento ao detalhe 
de que yv é uma imagem da função e utilizar 
yv	 =	 f(xv) pode nos poupar tempo em alguns 
casos; além disso, não será necessário lembrar 
as fórmulas.
Representando	o	vértice	por	V	(xv; yv) e saben-
do que yv	=	f(xv), temos que:
x
b
a
e y
av v
= − = −
∆
2 4
e, portanto, conhecendo yv , obteremos o con-
junto imagem.
Resumo gráfico
f(x) = ax2 + bx + c
∆	>	0 ∆	=	0 ∆	<	0
a > 0
y
x
c
0 x1
yv
xv
x2
y
x
c
= 0 x1 = x2 = xVyv
y
x
c
0 xV
yV
Im	=	{y	∈ R | y ≥ yv};		D	=	R
a < 0
x
y
c
0 x1 x2
x
y
V
c
0
x1 = x2 = xV
xy
c
V
0
xv
yV
Im	=	{y	∈  | y ≤ yv};		D	=	
Conjunto Imagem 
O conjunto imagem de uma função 
polinomial	do	2º	grau	está	associado	
ao	seu	ponto	extremo,	ou	seja,	à	or-
denada do vértice (yv).
y
Im
yv
a > 0 ⇒ Im = {y∈IR | y ≥ yv}
 
a > 0 ⇒ Im = {y∈IR | y ≤ yv}
yv
y
x
Im
PV
-1
3-
11
Funções
23
Matemática
01. 
Esboce	o	gráfico	e	determine	o	conjunto	imagem	
da	função	real	definida	por	f(x)	=	x2	–	2x	+	3.
Resolução
Concavidade	para	cima:	a	=	1,	(a	>	0)	
Raízes:		 x2	–	2x	+	3	=	0
 ∆	=	(–2)2	–	4	⋅ 1 ⋅ 3
 ∆ =	–8
A função não tem raízes reais, portanto não 
interceptao	eixo	x.
Vértice: 
x
b
a
y f x f
Vv
v v
= − = −
−
⋅
=
= = = − ⋅ + =



2
2
2 1
1
1 1 2 1 3 2
1 2
2
( )
( ) ( )
( ; )
Gráfico:
x
y
2
2
3
10
Observe que o ponto (2; 3) foi encontrado por 
simetria.
É importante mencionar mais um ponto além 
do	vértice	e	da	intersecção	com	o	eixo	y	quan-
do a função não tem raízes.
Conjunto imagem: projetando a parábola so-
bre	o	eixo	y,	obtemos	o	intervalo	[2,	+	∞[.
Im	=	{	y	∈  | y ≥	2}
02. 
Determine, em função de p, o vértice da pará-
bola	definida	por	y	=	x2	–	2px.
Resolução
x
b
a
p
p
y f x f p p p p p
v
v v
= − = −
−
⋅
=
= = = − ⋅ ⋅ = −
2
2
2 1
22 2
( )
( ) ( )
Resposta
V(p;	–p2)
03. PUCCamp-SP
Seja a função f, de  em , definida por 
f(x)	=	x2	–	3x	+	4.	Num	sistema	de	coordenadas	
ortogonais, o vértice da parábola que repre-
senta f localiza-se:
a. no primeiro quadrante.
b. no segundo quadrante.
c. no terceiro quadrante.
d. 	sobre	o	eixo	das	ordenadas.
e. 	sobre	o	eixo	das	abscissas.
Resolução
x
b
a
y
a
V
V
V
=
−
=
− −
⋅
=
=
−∆
=
− −
⋅
=





⇒




2
3
2 1
3
2
4
7
4 1
7
4
3
2
7
4
( )
( )
; ⇒⇒ ∈V Q1º
Resposta
A
04. UFMG
O	trinômio	y	=	ax2	+	bx	+	c	está	representado	
na figura.
y 
x0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Funções
PV
-1
3-
11
24
Matemática
A afirmativa correta é:
a. 	a	>	0,	b	>	0	e	c	<	0
b. 	a	<	0,	b	<	0	e	c	<	0
c. 	a	<	0,	b	>	0	e	c	<	0
d. 	a	<	0,	b	>	0	e	c	>	0
e. 	a	<	0,	b	>	0	e	c	>	0
Resolução
• a	<	0,	pois	concavidade	encontra-se	volta-
da	para	baixo;
• c	<	0;	pois	é	a	ordenada	do	ponto	onde	o	
gráfico	corta	o	eixo	y	(termo	independente);
• as duas raízes são negativas e, portanto, a 
soma delas é negativa.
− < ⇒ >
b
a
b
a
0 0
Assim,	 como	 a	 <	 0,	 para	 que	 o	 quociente	 
b
a
	>	0,	o	sinal	de	b	deve	ser	negativo.
∴	a	<	0,	b	<	0	e	c	<	0
Resposta
B
05. Fameca-SP
Uma pista de skate tem o formato mostrado 
na figura.
y 
x
4
1
A curva descrita é uma parábola e seu ponto 
mais	baixo	é	(5,0).	A	soma	dos	coeficientes	a,	
b e c da função representada por essa curva é:
a. 16
b. 4
c. 	2,025
d. 1,6
e. 	0
Resolução
Seja	y	=	ax2	+	bx	+	c	a	função	que	representa	
a curva:
Observando o gráfico, temos:
•	 f(1)	=	4	⇒	a	+	b	+	c	=	4
•	 f(5)	=	0	⇒	25a	+	5b	+	c	=	0
•	 f(9)	=	4	⇒	81a	+	9b	+	c	=	4
Resolvendo o sistema:
a b c
a b c
a b c
a b c
b c
c
+ + =
+ + =
+ + =



=
+ + =
+ =
=
4
25 5 0
81 9 4
4
20 24 100
128 8000



a	=	0,25,	b	=	–2,5	e	c	=	6,25
∴ = + + = − + =soma a b c 0 25 2 5 6 25 4, , ,
Resposta
B
5. Função do 2º grau – pontos extremos
A	função	do	2º	grau	possui	um	ponto	 importante	denominado	vértice.	Seu	estudo	nos	 leva	à	
análise	de	situações	de	extrema	importância	no	nosso	dia	a	dia.	Se	por	acaso	um	problema	que	
analisa	o	lucro	de	uma	empresa	puder	ser	expresso	por	uma	função	do	2º	grau,	a	<	0,	o	vértice	
nos	dirá	em	que	situação	o	lucro	será	máximo.
A. Vértice	da	parábola
Como vimos anteriormente, a representação gráfica da função quadrática é a parábola, que pos-
sui	um	eixo	imaginário	denominado	eixo	de	simetria,	uma	reta	vertical	que	intercepta	o	gráfico	
em um ponto especial denominado vértice.
PV
-1
3-
11
Funções
25
Matemáti ca
As coordenadas do vértice são:
x
b
a
ou x
x x
v v= − =
+
2 2
1 2 , em	que	x1	 e	 x2 são 
as raízes da função.
y f x
av v
= = −
∆
( )
4
B. Valores	extremos
O	valor	máximo	(mínimo)	de	uma	função	qual-
quer é o maior (menor) valor de imagem que a 
função possui. No caso da função quadrática, 
o	valor	máximo	(mínimo)	é	o	yv , pois o vértice 
é	um	extremo	da	função	quando	o	domínio	é		
o	conjunto	dos	reais.	Quando	a	função	do	2º	
grau tem concavidade para cima, ocorre um 
valor mínimo e, quando a concavidade ocorre 
para	baixo,	temos	um	valor	máximo.
a	>	0 a < 0
Ponto de mínimo
valor da função
V
y
yv
Ponto de
máximo
valor da
função
V
y
yv
Resumo
x
b
a
e y
av v
e yv ve y= − = −
∆
2 4a2 4av v2 4v v
e yv ve y2 4
e yv ve y
ou
y fv vy fv vy fy f=y f( )x( )xv v( )v vxv vx( )xv vx
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UEPB 
 Um foguete pirotécnico é lançado para cima 
verticalmente e descreve uma curva dada pela 
equação		h	=	–	40t2	+	200t	,	em	que	h	é	a	altura,	
em metros, atingida pelo foguete em t segun-
dos,	após	o	lançamento.	A	altura	máxima	atin-
gida e o tempo que esse foguete permanece 
no ar são, respectivamente:
a. 						250	m	e	2,5	s		
b. 					300	m	e	6	s		
c. 					250	m	e	0	s		
d. 					150	m	e	2	s		
e. 					100	m	e	3	s				
 Resolução 
 
 
h t t
t s
h m
h
máx
máx
m
= − +
=
−
−
= =
=
−
−
=
40 200
200
80
20
8
2 5
40 000
160
250
2
.
.
,
.
ááx m
t s
.
,
=
=
250
2 5
Resposta
A
Funções
PV
-1
3-
11
26
Matemática
02. Unifesp 
As	figuras	A	e	B	representam	dois	retângulos	
de	perímetros	iguais	a	100	cm,	porém	de	áreas	
diferentes,	iguais	a	400	cm2	e	600	cm2, respec-
tivamente.
Figura A
400 cm2
 Figura B
600 cm2
A	 figura	C	 exibe	um	 retângulo	de	dimensões	
(50	–	x)	cm	e	x	cm,	de	mesmo	perímetro	que	
os	retângulos	das	figuras	A	e	B.
Figura C
50 – x
x
a. 	Determine	 a	 lei,	 f(x),	 que	 expressa	 a	
área	 do	 retângulo	 da	 figura	 C	 e	 exiba	
os	valores	de	x	que	fornecem	a	área	do	
retângulo	da	figura	A.
b. Determine a maior área possível para 
um	retângulo	nas	condições	da	figura	C.
a. A	área	de	um	retângulo	de	base	50	–	x	e	altu-
ra	x,	com	0	<	x	<	50,	é	dada	por:	f(x)	=	(50	–	x)	·	x.
	 Essa	área	é	igual	a	400	cm2 se, e somente se:
	 f(x)	=	400
	 (50	–	x)	·	x	=	400
	 x2	–	50x	+	400	=	0
	 x	=	10	ou	x	=	40
	 f(x)	=	(50	–	x)	·	x	e
	 f(x)	=	400	⇔	(x	=	10	ou	x	=	40)
b. 
	 f(x)	=	(50	–	x)	·	x	é	máximo	se,	e	somente	
se,	x	=	25.
	 f(25)	=	(50	–	25)	·	25
	 f(25)	=	625
 625 cm2
03. FGV-SP
A função f, de  em ,	dada	por	f(x)	=	ax2	–	4x	+	a	
tem	um	valor	máximo	e	admite	duas	raízes	reais	
e	iguais.	Nessas	condições,	f(–2)	é	igual	a:
a. 4
b. 2
c. 	0
d. −
1
2
e. –2
Resolução
Se a função admite duas raízes reais e iguais, 
então:
∆	=	(–4)2	–	4	·	a	·	a	=	0	⇒	16	–	4a2	=	0	
a2	=	4	⇒	a	=	±	2
Como	a	função	tem	um	valor	máximo,	temos	
a	<	0.
Assim,	f(x)	=	–	2x2	–	4x	–	2	e
f(–	2)	=	–	2(–	2)2	–	4(–	2)	–	2	=	–	8	+	8	–	2	=	–	2
Resposta
E
04. UFPE
Uma pesquisa sobre a relação entre o pre-
ço e a demanda de certo produto revelou 
que,	 a	 cada	desconto	de	R$	50,00	no	preço	
do produto, o número de unidades vendidas 
aumentava	de	10.	Se,	quando	o	preço	do	pro-
duto	era	R$	1.800,00	o	número	de	unidades	
vendidas	era	de	240,	calcule	o	valor	máximo,	
em reais, que pode ser obtido com a venda 
das unidades do produto e indique a soma 
dos seus dígitos.
Resolução
Sendo	x	o	número	de	descontos	de	50	reais	no	
preço do produto, então a função que repre-
senta o total obtido com a venda será:
f(x)	=	(1.800	–	50x)	⋅	(240	+	10x)
f(x)	=	50(36	–	x)	·	10(24	+	x)
f(x)	=	500(	–x2	+	12x	+	864)	
f(x)	=	–500x2	+	6.000x	+	432.000
PV
-1
3-
11
Funções
27
Matemática
x
b
av
= − =
− ⋅
⋅ − ⋅
=
2
12 500
2 1 500
6
( )
O	 valor	 máximo	 obtido	 com	 a	 venda	 ocorre	
quando	x	=	6.
∴	f(6)	=	(1.800	–	50	·	6)	(240	+	10	·	6)	=	450.000	
reais
Sendo	S	a	soma	dos	dígitos	do	valor	máximo	
obtido com a venda, então:
s	=	4	+	5	+	0	+	0	+	0	+	0	=	9
05. PUC-SP
Ao levantar dados para a realização de um 
evento, a comissão organizadora observou 
que,	se	cada	pessoa	pagasse	R$	6,00	por	sua	
inscrição,	poderia	contarcom	460	participan-
tes,	 arrecadando	 um	 total	 de	 R$	 2.760,00.	
Entretanto, também estimou que, a cada au-
mento	de	R$	1,50	no	preço	de	inscrição,	rece-
beria	10	participantes	a	menos.	Considerando	
tais estimativas, para que a arrecadação seja 
a maior possível, o preço unitário da inscrição 
em tal evento deve ser:
a. 	R$	15,00
b. 	R$	24,50
c. R$ 32,75
d. 	R$	37,50
e. 	R$	42,50
Resolução
Seja	x	o	número	de	aumentos	de	R$	1,50.
Arrecadação:
A	=	(6	+	x	·	1,5)	⋅	(460	–	10x)
A arrecadação será a maior possível para
 x xv= =
− +
=
4 46
2
21 .
Logo, o preço unitário, em reais, deve ser: 
P	=	6	+	21	(1,5)	=	37,50
Resposta
D
6. Função do 2º grau – Aplicações
Diversos	fenômenos	da	natureza	são	descritos	matematicamente	por	meio	da	função	do	2º	grau.
Problemas de física, química, biologia, matemática financeira etc. são resolvidos estudando-se os 
pontos	de	máximo	ou	de	mínimo,	as	raízes,	o	sinal	e	a	taxa	de	variação	dessa	função.	
A	seguir,	por	meio	das	situações-problema,	são	apresentados	exemplos	destas	aplicações.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UFV-MG
A temperatura de uma estufa, em graus Cel-
sius, é regulada em função do tempo t, de 
acordo com a lei f definida pela sentença 
f t
t
t( ) = − + +
2
2
4 10, sendo t ≥	0.	
É correto afirmar que:
a. a estufa nunca atinge zero grau.
b. a temperatura é sempre positiva.
c. a temperatura mais alta é atingida para 
t	=	2.
d. 	o	 valor	 da	 temperatura	 máxima	 é	 18	
graus.
e. a temperatura é positiva só para 1 < t < 5.
Funções
PV
-1
3-
11
28
Matemática
Resolução
a	<	0	⇒	concavidade	voltada	para	baixo
Raízes
t
t
t e t
t
b
a
y f
v
v
:
( )
− + + =
= − =
=
−
=
−
⋅
−
=
= =

2
1 2
2
4 10 0
2 10
2
4
2 1
2
4
4 18




⇒ V( ; )4 18
Intersecção	com	o	eixo	y:	(0;	10)
Logo,	a	temperatura	máxima	é	de	18	graus.
Resposta
D
02. Uespi
O lucro mensal de uma fábrica é dado por 
L(x)	=	–x2	+	60x	–	10,	em	que	x	é	a	quantidade	
mensal de unidades fabricadas e vendidas de 
um certo bem produzido por esta empresa e L 
é	expresso	em	reais	(obs.:	real	é	unidade	mo-
netária).
O maior lucro mensal possível que a empresa 
poderá ter é dado por:
03. 
Dispõe-se	de	uma	folha	de	papel	retangular	me-
dindo	20	 cm	de	 largura	por	24	 cm	de	 compri-
mento. Deseja-se recortar em cada quina da fo-
lha quatro quadrados iguais (veja figura). Quanto 
deve medir o lado de cada quadrado para que a 
área	da	região	sombreada	seja	máxima?
x x
x x
x
x
x
x
a. 4,5 cm
b. 5 cm
c. 5,5 cm
d. 6 cm
e. 6,5 cm
Resolução
Área	do	retângulo	horizontal:
(24	–	2x)	·	x
Área	do	retângulo	vertical:
(20	–	2x)	·	x
Indicando	por	S(x)	a	área	da	região	sombrea-
da, temos:
S(x)	=	2	·	x	(24	–	2x)	+	2	·	x	(20	–	2x)
S(x)	=	48x	–	4x2	+	40	x	–	4x2
S(x)	=	–	8x2	+	88x
x
b
a
cmv =
−
=
−
−
=
2
88
16
5 5,
Resposta
C
04. ITA-SP
Os	 dados	 experimentais	 da	 tabela	 a	 seguir	
correspondem	às	concentrações	de	uma	subs-
tância	química	medidas	em	intervalos	de	1	se-
gundo. Assumindo que a linha que passa pelos 
três	 pontos	 experimentais	 é	 uma	 parábola,	
tem-se que a concentração (em mols) após 2,5 
segundos é:
a. 	R$	890,00
b. 	R$	910,00
c. 	R$	980,00
d. 	R$	1.080,00
e. 	R$	1.180,00
Resolução
L(x)	=	–x2	+	60x	–	10
∴ Lmáx.	= y a
y
V
V
=
−
= −
− −( ) −( )( )
−( )
=
− −( )
−
=
∆
4
60 4 1 10
4 1
3 600 40
4
3 560
4
2
. .
∴ Lmáx.	=	R$	890,00
Resposta
A
PV
-1
3-
11
Funções
29
Matemática
Tempo (s) Concentração (mols)
1 3,00
2 5,00
3 1,00
a. 	3,60
b. 3,65
c. 	3,70
d. 3,75
e. 	3,80
Resolução
f x ax bx c
c b a
c b a
c b a
c b a
b a
( )= + +
+ + =
+ + = ⇒
+ + =



+ + =
+ =
2
3
2 4 5
3 9 1
3
3 2
2bb a
c b a
b a
a
a b b
c
+ = −



⇒
+ + =
+ =
= −



= − − = ⇒ =
+ −
8 2
3
3 2
2 6
3 9 2 11
11 3
;
== ⇒ = −
= − + −
( )= − ( ) + −
( )= −
3 5
3 11 5
2 5 3 2 5 11 2 5 5
2 5 18
2
2
c
f x x x
f
f
( )
, · , · ,
, ,, ,
, ,
75 27 5 5
2 5 3 75
+ −
( )=f
Resposta
D
TEXTO COMPLEMENTAR
Álgebra do voo à Lua
Muita gente manifesta o temor de 
que seja extremamente difícil acertar exa-
tamente num alvo sideral tão diminuto, já 
que o diâmetro da Lua é percebido por nós 
sob um ângulo de apenas meio grau. No 
entanto, examinando-se o problema com 
mais vagar, verifica-se que o objetivo pro-
posto será sem dúvida alcançado, se se 
conseguir que o foguete ultrapasse o pon-
to em que a força de atração da Terra e da 
Lua são equivalentes. Uma vez consegui-
do isso, a nave cósmica avançará inexora-
velmente na direção da Lua, impulsionada 
pela força de atração desta. Busquemos 
esse ponto de atração equivalente.
De acordo com a lei de Newton, a 
força de atração recíproca de dois corpos 
é diretamente proporcional ao produto das 
massas que se atraem e inversamente pro-
porcional ao quadrado da distância que as 
separa F GM m
d
=
⋅


2 . Se denotarmos por 
M a massa da Terra, m’ a massa da espa-
çonave e por x a distância entre ela e o 
foguete, a força com que a Terra atrai cada 
grama de massa da espaçonave se expri-
mirá por
F
F
m
G
M
x
F
M G
xr r
= = =
⋅
' 2 2
A força com que a Lua atrai cada 
grama do foguete nesse mesmo ponto será 
mG/(d – x)2, onde m é a massa da Lua e d 
a distância que a separa da Terra, na pres-
suposição de achar-se o foguete sobre a 
reta que une os centros da Lua e da Terra. 
O problema exige que
MG
x
mG
d x2 2
=
−( )
,
isto é,
M
m
x
d dx x
=
− +
2
2 22
A relação M/m, segundo a Astrono-
mia, equivale, aproximadamente, a 81,5. 
Aplicando-a, teremos
x
d dx x
2
2 22
81 5
− +
= ,
Daí,
80,5 x2 – 163,0 dx + 81,5 d2 = 0
Equação essa que, resolvida, fornece 
as raízes
x1	=	0,9	d;	x2	=	1,12	d
Assim, chega-se à conclusão de que, 
sobre a reta que une os centros da Lua e 
da Terra, existem dois pontos onde a atra-
ção de ambos os planetas atua sobre o fo-
guete com intensidade idêntica: um a 0,9 
de distância que separa os dois planetas, 
partindo-se do centro da Terra; o outro, a 
1,12 dessa mesma distância. Ora, a distân-
cia d entre os centros da Terra e da Lua 
é aproximadamente igual a 384.000 km; 
portanto, um dos pontos procurados se en-
contra a 346.000 km da Terra, e o outro, a 
430.000 km.
Funções
PV
-1
3-
11
30
Matemática
É possível demonstrar que o lugar 
geométrico dos pontos que satisfazem às 
exigências do problema é uma circunfe-
rência que passa pelos dois pontos acha-
dos, tomados estes como extremidades 
de um diâmetro daquela. Se fizermos gi-
rar essa circunferência em torno do eixo 
constituído pela reta que une os centros 
da Terra e da Lua, a circunferência gera-
rá uma esfera cujos pontos satisfazem às 
exigências do problema.
O diâmetro dessa esfera será igual a
1,12 d – 0,9 d = 0,22 · d ≈ 84.000 km
No momento em que o foguete se 
achar dentro dessa esfera, ele deverá for-
çosamente cair sobre a superfície lunar, 
porque, nessa zona, a força de atração da 
Lua supera a da Terra.
384.000 km
84.000 km
Terra
13.000 km
Aq
ui a
 atração da Lua
é m
aior que a da
 Te
rr
a.
Lua3.500 km
Figura 1
O objetivo visado pelo foguete é mui-
to maior do que se suspeitava. Tal objetivo 
não ocupa meio grau no espaço, mas, sim, 
12 graus, conforme demonstra um simples 
cálculo geométrico. Isto facilita grande-
mente a tarefa dos cosmonautas.
Por acaso pensaram os leitores, ao 
procurarem resolver a equação, que a for-
ça de gravitação da Terraera maior que a 
da Lua, não só na sua frente, mas inclu-
sive por detrás dela? A análise algébrica, 
inesperadamente, revelou-nos tal fato, 
permitindo-nos delimitar, com exatidão, a 
esfera de influência de ambos esses cor-
pos celestes.
Adaptado do livro Aprenda álgebra 
brincando I. Perelman. Editora Hemus.
PV
-1
3-
11
Funções
31
Matemática
1. Introdução
As	propriedades	a	seguir	poderão	nos	auxiliar	
nas	resoluções	de	problemas	envolvendo	de-
sigualdades.
2. Propriedades
Vamos enunciar as propriedades tomando 
como referência um dos sentidos da desigual-
dade (<), porém as propriedades são verdadei-
ras	para	o	outro	sentido	(>).	
1. transitiva: a < b e b < c ⇒ a < c
2. a < b ⇒	a	+	x	<	b	+	x
 a < b ⇒	a	–	x	<	b	–	x	
Observe uma consequência desta propriedade: 
a	+	c	<	b	⇔	a	+	c		–	c	<	b	–	c	⇔	a	<	b	–	c
a	+	c	<	b	⇔	a	<	b	–	c
3. a	<	b	e	c	>	0	⇔ a ⋅ c < b ⋅ c
 a < b e c >	0	⇔ a
c
b
c
<
4. a	<	b	e	c	<	0	⇔	a	·	c	>	b	·	c				(Atenção	
redobrada nesta quarta propriedade)
 a < b e c < 0	⇔ a
c
b
c
>
Ao multiplicarmos ou dividirmos uma desi-
gualdade por uma constante não nula, o sen-
tido será conservado caso a constante seja um 
número positivo, porém deverá ser invertido 
se a constante for um número negativo.
3. Inequações do 1º grau
Denominamos	inequação	do	1º	grau	toda	de-
sigualdade que pode ser escrita em uma das 
formas	abaixo,	em	que	x	é	variável	e	a	e	b	são	
constantes reais.
a ⋅	x	+	b	≤	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	≥	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	<	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	>	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	≠	0,	a	≠	0
Aplicando as propriedades enunciadas acima, 
podemos	 isolar	 o	 x	 em	 qualquer	 uma	 delas,	
como,	por	exemplo,	tomando	a	primeira:
a x b
a x b b b
x
b
a
se a
x
b
a
se aa x b
⋅ + ≤
⋅ + − ≤ − ⇔
≤
−
>
≥
−
<




⋅ ≤ −
0
0
0
0
Solução
S x x
b
a
se a
S x x
b
a
se a
:
{ | }
{ | }
= ∈ ≤
−
>
= ∈ ≥
−
<







0
0
CAPÍTULO 03 	INEQUAÇÕES	DO	1º	E	DO	2º	GRAU
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Fuvest-SP
Um	 estacionamento	 cobra	 R$	 6,00	 pela	 pri-
meira	hora	de	uso,	R$	3,00	por	hora	adicional	
e	tem	uma	despesa	diária	de	R$	320,00.	Con-
sidere-se um dia em que sejam cobradas, no 
total,	80	horas	de	estacionamento.	
O número mínimo de usuários necessário para 
que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é:
Resolução
Número	de	usuários:	x	
Todos os usuários pagarão a 1ª hora de uso; 
desta	maneira,	das	80	horas	de	estacionamen-
to,	x	horas	serão	consideradas	como	as	horas	
gastas na 1ª hora de uso, ficando, dessa forma, 
(80	–	x)	horas	para	as	horas	adicionais.
Receita:	 R(x)	=	x	⋅	6	+	(80	–	x)	⋅ 3 
	 	 R(x)	=	6	⋅	x	+	240	–	3	⋅	x	
	 	 R(x)	=	3	⋅	x	+	240
Lucro	=	receita	–	despesa
a. 25 
b. 26 
c. 27
d. 28
e. 29
Funções
PV
-1
3-
11
32
Matemática
Lucro:	 L(x)	=	3x	+	240	–	320
											 L(x)	=	3	⋅	x	–	80
Para	haver	 lucro,	L(x)	 tem	que	ser	maior	que	
zero.
3 ⋅	x	–	80	>	0	⇒ 3 ⋅	x	>	80
x >	
80
3
x	>	26,666...
Como a quantidade de usuários é inteira, de-
vemos ter pelo menos 27 usuários.
Resposta
C
02. UFPE
Indique o comprimento do intervalo das solu-
ções	da	desigualdade	0	≤ 2 ⋅	x	–	7	≤	70.
Resolução 
0	≤ 2 ⋅	x	–	7	≤	70
0	+	7	≤ 2 ⋅	x	–	7	+	7	≤ 70	+	7
7 ≤ 2 ⋅	x	≤ 77 
Dividindo todos os termos por 2, temos:
3,5 ≤ x	≤ 38,5 ⇒	38,5	–	3,5	=	35
Resposta
O comprimento do intervalo é 35.
4. Inequação do 2º grau
Denominamos	inequação	do	2º	grau	toda	de-
sigualdade que pode ser escrita em uma das 
formas	abaixo,	em	que	x	é	variável	e	a, b e c 
são constantes reais.
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	≤	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	≥	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	<	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	>	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	≠	0,	a	≠	0
Para	resolver	uma	inequação	do	2º	grau	pode-
mos recorrer ao estudo do sinal de uma fun-
ção	quadrática,	f(x)	=	a ⋅	x2	+	b ⋅	x	+	c.
Para o estudo da variação de sinal da função 
do	2º	grau,	adotaremos	algumas	simplificações	
para a construção do gráfico: não é necessário 
que	tenhamos	a	posição	exata	do	vértice,	bas-
ta	que	ele	esteja	do	lado	certo	do	eixo	x;	não	é	
preciso estabelecer o ponto de intersecção do 
gráfico	da	função	com	o	eixo	y;	e,	considerando	
que	as	imagens	acima	do	eixo	x	são	positivas	e	
as	abaixo	do	eixo	x	são	negativas,	podemos	dis-
pensar	a	colocação	do	eixo	y.	Em	resumo,	para	
estabelecermos a variação de sinal de uma fun-
ção	do	2º	grau,	basta	conhecermos	a	posição	da	
concavidade da parábola, voltada para cima ou 
para	baixo,	e	a	existência	e	quantidade	de	raízes	
que ela apresenta.
Consideremos	a	função	f(x)	=	ax2	+	bx	+	c,	com	
a ≠	0.
a > 0 a < 0
∆	>	0
xx1 x2
x	<	x1	ou	x	>	x2 ⇒	f(x)	>	0
x	=	x1	ou	x	=	x2 ⇒	f(x)	=	0
x1	<	x	<	x2 ⇒	f(x)	<	0
x
x2x1
x	<	x1	ou	x	>	x2 ⇒	f(x)	<	0
x	=	x1	ou	x	=	x2 ⇒	f(x)	=	0
x1	<	x	<	x2 ⇒	f(x)	>	0
∆ =	0 xx1 = x2
x	=	x1 ⇒	f(x)	=	0
x	≠	x1 ⇒	f(x)	>	0
x
x1 = x2
x	=	x1 ⇒	f(x)	=	0
x	≠	x1 ⇒	f(x)	<	0
∆ <	0
x
f(x)	>	0	para	∀	x	∈ 
x
f(x)	<	0	para	∀	x	∈ 
PV
-1
3-
11
Funções
33
Matemática
Finalmente, tomamos como solução para a 
inequação	as	regiões	do	eixo	x	que	atenderam	
às	exigências	da	desigualdade.
Exemplo 
Estudar	o	sinal	da	função	f(x)	=	x2	–	3	⋅ x	–	10.
Raízes:			 	x2	–	3	⋅ x	–	10	=	0
S
P
x
ou
x
=
= −



= −
=
3
10
2
5
1
2
–2 5–
+ +
Estudo do sinal:
x ou x f x
x ou x f x
x f x
< − > ⇔ >
= − = ⇔ =
− < < ⇔ <



2 5 0
2 5 0
2 5 0
( )
( )
( )
Para	resolver	a	inequação	x2	–	3	⋅	x	–	10	>	0,	uti-
lizamos o estudo do sinal da função que leva a 
imagem	de	f(x)	=	x2	–	3	⋅	x	–	10	a	valores	maio-
res	que	zero,	isto	é,	no	exemplo	acima	os	va-
lores	de	x	são	tais	que	x	<	–	2	ou	x	>	5.	Se,	por	
outro lado, queremos resolver a inequação 
x2	–	3	 ⋅	x	–	10	≤	0,	 teremos	como	solução	os	
valores	de	x	tais	que	–2	≤	x	≤ 5.
Observação
A	simbologia	de	(+)	ou	(–	)	utilizada	no	esboço	
do gráfico acima representa o sinal da imagem 
da função na região adotada e deve ser uma 
convenção usada por nós para a resolução dos 
demais	exercícios.	Não	confundir	esses	sinais	
com o sinal de domínio. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. PUC-RS 
A solução, em ,	da	inequação	x2 < 8 é:
a. { , }−2 2 2 2
b. [ ; ]−2 2 2 2
c. ( ; )−2 2 2 2
d. ( ; )−∞ 2 2
e. ( ; )−∞ 2 2
Resolução
x2 < 8 ⇒	x2	–	8	<	0
Função	auxiliar:	f(x)	=	x2	–	8	
Raízes:		 x2	–	8	=	0	⇒	x2	=	8
 x x= ± ⇒ = ± ⋅8 2 2
–2 2
–
+ +
2 2
S x x= ∈ − ⋅ < < ⋅ = − ⋅ ⋅{ | } ( ; ) 2 2 2 2 2 2 2 2
Observação
A notação de parêntese também é usada para 
indicar	intervalo	aberto	em	sua	extremidade.
Resposta
C
02. UEPB
A desigualdade 3 ⋅	(2x	+	2)	>	(x	+	1)	⋅	(5	–	x)	é	
verdadeira para:
a. x	=	–1.
b. todo	x	real.
c. todo	x	∈ 	–	{1}.
d. todo	x	∈ 	–	{–1}.
e. todo	x	≤	–1.
Resolução
3 ⋅	(2x	+	2)	>	(x	+	1)	⋅	(5	–	x)
6 ⋅	x	+	6	>	5	⋅	x	–	x2	+	5	–	x	
x2	+	6	⋅	x	+	6	–	5	⋅	x	+	x	–	5	>	0
x2	+	2	⋅	x	+	1	>	0
Função	auxiliar:	f(x)	=	x2	+	2	⋅	x	+	1
Raízes:	x2	+	2	⋅	x	+	1	=	0	
S
P
x
ou
x
= −
=



= −
= −
2
1
1
1
–1
+ +
As	 imagens	 de	 f(x)	 são	 positivas	 para	 todo	 x	
real,	exceto	para	x	=	–	1,	em	que	f(x)	=	0	;	desta	
forma,	x2	+	2	⋅	x	+	1	>	0	é	verdadeira	para	todo	
x	real	diferente	de	–	1.
Resposta
D
Funções
PV
-1
3-
11
34
Matemática
03. UEL-PR modificado
Seja S o conjunto solução do sistema:
3 2 7 2
48 3 10
11 2 3 1 3 5
x x
x
x x
+ < −
< +
− − > − −


 ( ) ( )
Dessa forma, S é o conjunto de todos os núme-
ros	reais	x,	tais	que:
a. 	–1	<	x	<	0
b. 	–1	<	x	<	1
c. − < <1 x
2
9
d. − < <1 x
1
3
e. − < <1 x
9
4
Resolução
3 2 7 2 5 5 1
48 3 10 45 10
2
9
11 2 3 1 3 5
x x x x
x x x x
x x+ < − ⇒ < ⇒ <
< + ⇒ < ⇒ <
− − > − − ⇒( ) ( ) xx
S x x
> −
= ∈ − < <


1
1
2
9
|
Resposta
C
04. FGV-SP
Quantos números inteiros satisfazem a inequa-
ção	x2		–	10x	<	–	16?
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
Resolução
x2	–	10x	<	–	16
x2	–	10x	+	16	<	0
x2	–	10x	+	16	=	0
S
P
x
x
=
=
 ⇒
=
=

10
16
2
8
1
2
+ +
2 8
x
–
2	<	x	<	8
∴ 5 números inteiros
Resposta
C
05. FCC-SP
Quantos números inteiros satisfazem o siste-
ma	de	inequações	abaixo?
2 1 3 2
6 8 02
x x
x x
+ > −
− + ≤

a. 	0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Resolução
2x	+	1	>	3x	–	2	⇒	–	x	>	–	3	⇒	x	<	3
x2	–	6x	+	8	≤	0
2 4 x
+ +
–
2	≤	x	≤	4
S	=	{x	∈ 	|	2	≤	x	<	3}	⇒ uma única solução 
inteira
x	=	2
Resposta
B
PV
-1
3-
11
Funções
35
Matemática
5. Inequações produto e quociente 
Em	 algumas	 situações,	 podemos	 encontrar	
inequações	 que	 apresentam	 expressões	 que	
fogem	da	forma	de	1º	e	2º	graus.	Nessas	situa-
ções,	se	pudermos	reescrever	a	expressão	em	
fatores	e/ou	quocientes	de	expressões	de	grau	
menor, poderemos ter nossa tarefa facilitada. 
Algumas	dessas	situações	são	conhecidas	com	
inequações	produto	e	inequações	quociente.
6. Inequação produto
Podemos definir uma inequação produto 
como sendo uma desigualdade que pode ser 
encontrada	 em	 uma	 das	 formas	 abaixo,	 em	
que	x	é	variável	e	f(x)	e	g(x)	são	sentenças	ma-
temáticas	de	funções	reais.
f(x)	⋅	g(x)	≤	0
f(x)	⋅	g(x)	≥	0	
f(x)	⋅	g(x)	<	0	
f(x)	⋅	g(x)	>	0	
f(x)	⋅	g(x)	≠	0
Observação
A quantidade de fatores que se apresentam do 
lado esquerdo das desigualdades pode variar 
dependendo	do	problema.	Nas	situações	aci-
ma,	indicamos	apenas	dois	fatores:	f(x)	e	g(x).
Um modo de resolver uma inequação produto 
consiste em estudar os sinais de cada um dos 
fatores e em seguida analisar o produto dos 
sinais.
Por	exemplo,	resolver	a	inequação:
(x	–	1)	⋅	(2	–	x)	≥	0
Denominaremos	x	–	1	de	f(x)	e	2	–	x	de	g(x).
Assim, o problema se resume em analisar 
f(x)	⋅	g(x)	≥	0.
Vamos	estudar	o	sinal	de	f(x)	e	g(x).
f(x)	=	x	–	1	⇒	raiz:	x	=	1	⇒ gráfico:
x1
+
– 
g(x)	=	2	–	x	⇒	raiz:	x	=	2	⇒ gráfico:
x2
+
–
Agora	que	temos	os	sinais	de	f(x)	e	de	g(x),	vamos	
estudar	o	sinal	do	produto	f(x)	·	g(x).	Para	isso,	será	
útil utilizar uma tabela do tipo que se segue.
f(x) –
–
+
+
+
+
+
–
–g(x)
f(x) · g(x)
2
1
1 2
Observe que pela tabela temos:
I. f(x)	é	negativa	para	x	<	1,	é	nula	para	x	=	1	
e	é	positiva	para	x	>	1;
II. g(x)	é	positiva	para	x	<	2,	é	nula	para	x	=	2	
e	é	negativa	para	x	>	2;
III. f(x)	·	g(x)	é	negativa	para	x	<	1	ou	x	>	2,	
é	nula	para	x	=	1	ou	x	=	2	e	é	positiva	
para	1	<	x	<	2.
Como	queremos	f(x)	⋅	g(x)	≥	0	,	o	intervalo	que	
nos interessa é: 1 ≤	x	≤ 2.
Portanto:	S	=	{x	∈  | 1 ≤	x	≤	2}
7. Inequação quociente
Podemos definir uma inequação quociente 
como sendo uma desigualdade que pode ser 
encontrada	 em	 uma	 das	 formas	 abaixo,	 em	
que	x	é	variável	e	f(x)	e	g(x)	são	sentenças	ma-
temáticas	de	funções	reais.
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
≤ ≥ < > ≠0 0 0 0 0
Observação
A quantidade de fatores e/ou quocientes que 
se apresentam do lado esquerdo das desigual-
dades pode variar dependendo do problema. 
Nas	 situações	 acima	 indicamos,	 apenas	 um 
quociente: 
f x
g x
( )
( )
.
A resolução de uma inequação quociente é 
parecida com a resolução de inequação pro-
duto, pois a regra do sinal da divisão de dois 
termos é a mesma para o produto de dois fa-
tores. Mas há uma observação importante a 
se fazer no caso da inequação quociente: nun-
ca poderá(ão) ser usada(s) a(s) raiz(raízes) 
proveniente(s) do denominador. O motivo é 
simples, embora esquecível, pois não está de-
finida no conjunto dos reais a divisão por zero.
Para	exemplificar,	vamos	“transformar”	a	ine-
quação produto anterior em uma inequação 
quociente.
Exemplo
Resolver em  a inequação 
x
x
−
−
≥
1
2
0.
Funções
PV
-1
3-
11
36
Matemática
Resolução
x
x
−
−
≥
1
2
0
Denominaremos	x	–	1	de	f(x)	e	2	–	x	de	g(x).
Agora, o problema se resume em analisar 
f x
g x
( )
( )
.≥ 0
Os	sinais	de	f(x)	e	g(x)	foram	estudados	ante-
riormente.
f(x)	=	x	–	1;	
sinais	de	f(x)																		
0
1
+–
g(x)	=	2	–	x;	
sinais	de	g(x)
0
2
–+
Com	os	sinais	de	f(x)	e	de	g(x),	vamos	analisar	
o sinal do quociente 
f x
g x
( )
( )
. Novamente, será 
útil utilizar uma tabela de sinais. 
f(x) –
–
+
+
+
1 2
+
+
–
–g(x)
F(x)/g(x)
E
1 2
0
Observe que pela tabela temos:
I. f(x)	é	negativa	para	x	<	1,	é	nula	para	x	=	1	
e	é	positiva	para	x	>	1;
II. g(x)	é	positiva	para	x	<	2,	é	nula	para	x	=	2	
e	é	negativa	para	x	>	2;
III. f x
g x
( )
( )
é	negativa	para	 x	<	1	ou	 x	>	2,	 é	
nula	para	x	=	1,	é	positiva	para	1	<	x	<	2	
e	não	está	definida	para	x	=	2.
Quando 1 ≤	x	<	2,	temos	
f x
g x
( )
( )
.≥ 0
Portanto:	S	=	{	x	∈  | 1 ≤	x	<	2}
Observe	que	a	raiz	de	g(x),	que	está	no	deno-
minador, não foi utilizada.
8. Potências com expoentes inteiros
Na inequação produto e na inequação quo-
ciente, é comum encontrarmos termos como 
(x	–	3)5,	(4	–	5x)6,	(x2	–	5x	+	6)9 etc.
Para	resolver	essas	inequações,	basta	lembrar	
duas propriedades das potências de base real 
e	expoente	inteiro:
01. Toda	potência	de	base	real	e	expoente	
ímpar conserva o sinal da base.
 a	>	0	⇒ a2n+1	>	0
 a	=	0	⇒ a2n+1	=	0
 a	<	0	⇒ a2n+1	<	0
02. 	Toda	potência	de	base	real	e	expoente	
par é um número não negativo.
 a ∈  ⇒ a2n ≥	0	(n	∈ N)
Exemplo
Resolver a inequação:
(2x	–	6)7 ⋅	(x	+	2)8 ≥	0
Fazemos y1	=	(2x	–	6)7 e y2	=	(x	+	2)8
Devemos	lembrar	que	a	potência	de	expoente	
ímpar e base real tem o sinal da base, então o 
sinal	de	(2x	–	6)7	é	igual	ao	sinal	de	2x	–	6.
y1 3
+
–
A	potência	de	base	real	e	expoente	par	é	um	
número	não	negativo.	Então,	(x	+	2)8 é nulo se 
x	=	–2	e	positivo	se	x	≠	–2.
y1 0
–2 ++
Fazendo o quadro de sinais:
y1 –
–
+
–
–
+
–2 3
–2 3
+
+
+y2
P
S x x ou x= ∈ = − ≥{ }| 2 3
9. Um método prático
Há um método prático, baseado em propriedades 
dos	sinais	das	funções	nas	proximidades	das	raí-
zes, que pode economizar tempo na resolução de 
exercícios	de	inequações	produto	ou	quociente.
O método consiste em representar as raízes 
em uma reta real. Entre duas raízes consecu-
tivas, devemos escolher um valor arbitrário e 
avaliar se o sinal da imagem da sentença mate-
mática que está, em geral, à esquerda da desi-
gualdade e o zero; sobre a reta real, colocamos 
o sinal do valor encontrado na região entre as 
PV
-1
3-
11
Funções
37
Matemáti ca
raízes estudadas. Procedemos de modo seme-
lhante	nas	demais	raízes,	sendo	que	nas	extre-
midades	haverá	estudo	entre	raiz	e	“+	∞”	 	e	
entre	raiz	e	“–	∞”	.	Destacamos	da	reta	real	a	
região que indica a solução procurada.
Observação
Quando uma raiz tem multiplicidade par, isto é, 
quando uma raiz aparece uma quantidade par de 
vezes, o sinal da sentença matemática não muda 
na vizinhança da raiz, ou seja, do lado esquerdo 
e do lado direito da raiz o sinal é o mesmo. Lem-
brando que essa propriedade é válida para a re-
gião	“bem”	próxima	da	raiz.	E	no	caso	de	raiz	de	
multiplicidade ímpar, a raiz aparece uma quanti-
dade ímpar de vezes e o sinal deve ser trocado.
Exemplo
Resolver em  a inequação:
(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2 ≤	0.
Resolução
Raízes da sentença matemática: 
(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2	=	0
(x	–	1)	=	0	ou	(x	–	3)2	=	0	
(x	–	1)	=	0	ou	(x	–	3	)	⋅	(x	–	3)	=	0
x	–	1	=	0	ou	x	–	3	=	0	ou	x	–	3	=	0
x	=	1	ou	x	=	3		ou	x	=	3	
A raiz 1 aparece uma vez: 1 é raiz de multipli-cidade ímpar.
A raiz 3 aparece duas vezes: 3 é raiz de multi-
plicidade par.
Representando as raízes na reta real:
1 3 x
Vamos	escolher	x	=	0;	x	=	2	e	x	=	4	para	analisar	
o sinal da sentença matemática em cada uma 
das	regiões	“separadas”	por	raízes.
Denominaremos	 a	 sentença	 (x	 –	 1)	 ⋅	 (x	 –	 3)2 
por	f(x).
f(x)	=		(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2
f(0)	=		(0	–	1)	⋅	(0	–	3)2 ⇒	f(0)	<	0
f(2)	=		(2	–	1)	⋅	(2	–	3)2 ⇒	f(2)	>	0
f(4)	=		(4	–	1)	⋅	(4	–	3)2 ⇒	f(4)	>	0
Agora, em cada região acima da reta real, va-
mos indicar os sinais das imagens encontradas.
1 2 40
– + +
3 x
Observamos que, na vizinhança da raiz 1, o si-
nal foi trocado, pois a raiz tem multiplicidade 
ímpar, mas, na vizinhança da raiz 3, o sinal não 
mudou, pois a raiz tem multiplicidade par.
Resolver	a	inequação	(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2 ≤	0	é	o	
mesmo	que	resolver	f(x)	≤	0.
Assim,	a	 inequação	está	 resolvida	para	 x	≤ 1 
ou	x	=	3.
S	=	{x	∈ 	|	x	≤	1	ou	x	=	3}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Resolver, em ,	as	inequações	abaixo:
 
a. (x	+	1)	⋅	(x2	–	3x	+	2)	≥	0
b. 
x
x x
+
− +
<
1
3 2
0
2
 
c. 
2 3
1
4
+
−
≥
x
x
 
 Resolução 
 a. 		(x	+	1)	⋅	(x2	–	3x	+	2)	≥	0
 x	+	1	=	0
 x2	–	3x	+	2	=	0	
1
1
2
2
1 2–1
+
+ + +
++
++
+
+
+
–
– –
–
– ––1
–1
S	=	{x	∈ 	|	–1	≤	x	≤	1	ou	x	≥	2}
Funções
PV
-1
3-
11
38
Matemáti ca
 b. 
x
x x
+
− +
<
1
3 2
0
2 
Aproveitando o quadro de sinais do item (a), 
temos:
1 2–1
+
+
+
+
+
+
+
–
– EE
1 2–1
–
+
–
		S	=	{x	∈ 	|	x	<	–	1	ou	1	<	x	<	2}		
 c. 2 3
1
4
2 3
1
4
1
0
2 3 4 4
1
0
7 2
1
0
+
−
≥ ⇔
+
−
− ≥ ⇔
⇔
+ − +
−
≥ ⇔
−
−
≥
x
x
x
x
x x
x
x
x
 
1
1
1
I
II
I/II
2
1
+
+
+
+
–
–
+
–
–
E
2
7 2
7
S	=	{	x	∈  | 
2
7
	≤	x	<	1}					
02. FM Jundiaí-SP
O número a pertece ao conjunto solução da 
inequação apresentada a seguir se, e somente 
se: − +
− +
≤
x
x x
3
4 3
0
2
.
a. a	>	1
b. a	>	1	e	a	≠ 3
c. 1 < a < 3
d. a ≤	1	ou	a	>	3
e. a ≤	–1	ou	a	≥ 3
Resolução
− +
− +
≤
= − + ⇒ =
x
x x
h x x raiz x
3
4 3
0
3 3
2
( ) :
3
+
–
g(x)	=	x2	–	4x	+	3	⇒	raízes:	x	=	1	ou	x	=	3	
31
+ +
–
Análise dos sinais 
–
+
–
+
–
– E
31
31
+
+
+
h
g
Eh
g
S	=	{	x	∈  |	x	>	1	e	x	≠	3}
Se a	pertence	a	S,	então	a	>	1	e	a ≠ 3
Observe	 que	 neste	 exercício	 houve	 uma	 raiz	
de multiplicidade par, raiz 3, e o sinal na vizi-
nhança da raiz não mudou.
Resposta
B
03. UFRGS-RS 
 O domínio da função real de variável real de-
finida por P x x x( ) = −( ) +( )1 3 é o intervalo:
a. 						(–	∞,	–	3]		
b. 					[–	3,	–	1)		
c. 					(–	3,	0)		
d. 					[–	3,	1]		
e. 					[1,	+	∞)				
Resolução
 P x x x( ) = −( ) +( )1 3
1	–	x	=	0
x	=	1	
1
+
– 
	3	+	x	=	0
x	=	–	3	
 –3
+
–
 
–3 1
I
II
I-II
–
––
– ++
++
+ 
–	3	≤	x	≤	1		
Resposta
D
PV
-1
3-
11
Funções
39
Matemática
04. UEPB
O	conjunto	de	todos	os	valores	reais	de	x	que	
satisfazem a desigualdade −
−
≥
5
4
0
2x
 é:
a. {x	∈  |	x	>	2}
b. {x	∈  |	x	<	–	2	ou	x	>	2
c. 	{x	∈  |	x	≠	2}
d. 	{x	∈  |	–	2	<	x	<	2}
e. vazio.
Resolução
Para que a desigualdade seja verdadeira, o de-
nominador deve ser menor que zero. 
Logo: 
x2		–	4	<	0	
x
2–2 –
+ +
{x	∈ 	|	–	2	<	x	<	2}
Resposta
D
05. UFC-CE
O	domínio	da	função	real	g(x)	=	
x
x
−
−
2
7 é:
a. 	{x	∈ 	|	x	>	7}
b. 	{x	∈ 	|	x	≤	2}
c. 	{x	∈ 	|	2	≤	x	<	7}
d. 	{x	∈ 	|	x	≤	2	ou	x	>	7}
e. 	{x	∈ 	|	x	<	2	ou	x	≥	7}
Resolução
Condição: y :
y :
1
2
( )
( )
x
x
−
−
≥
2
7
0
Resposta
D
Funções
PV
-1
3-
11
40
Matemáti ca
1. Função composta
Consideremos	duas	funções	reais:
(D	 =	R	 e	 CD	=	R), definidas pelas sentenças 
f(x)	=	2x	+7	e	g(x)	=	x2	–1.	
Vamos	determinar,	pelo	uso	da	sentença	f(x),	a	
imagem	do	elemento	–2,	ou	seja:	
f(–2)	=	2	·	(–2)	+	7	=	3.
Agora,	pelo	uso	da	sentença	g(x),	vamos	deter-
minar	g(3)	=	32	–	1	=	8.
Assim:	g(3)	=	g	[	f(–2)	]	=	8
Função composta de f e g é uma sentença h 
capaz	de	diretamente	conduzir	o	elemento	–2	
até a imagem 8.
h
gf
–2 f(–2) = 3 g(3) = 8
Só	é	possível	compormos	as	funções	g com f 
se o conjunto da imagem f for o domínio da 
função g,
A. Notação 
A notação usual para indicar a composição da 
função	g(x)	com	a	função	f(x)		é	gof	(x)	–	lê-se	“g	
bola	f	na	variável	x”	ou	“g	círculo	f	na	variável	x”	
–,	mas	podemos	encontrar	a	indicação	apenas	
como	gof	ou	um	pouco	mais	sofisticada	(gof)(x).	
O importante é sabermos que:
gof	(x)	=	g	[	f(x)	]
B. Determinação da composta
Para	 exemplificar	 a	 determinação	 da	 função	
composta,	 vamos	 utilizar	 as	 funções	 já	 apre-
sentadas:
f(x)	=	2x	+	7	e	g(x)	=	x2	–	1
Assim:
gof	(x)	=	g[f(x)]	=	f(x)2	–	1	=	(2x	+	7)2	–	1	=
=	4x2	+	28x	+	49	–	1	⇒	gof	(x)	=	4x2	+	28x	+	48
Aproveitando	as	mesmas	duas	funções	e	ain-
da	 servindo	 como	exemplo	 de	 determinação	
da sentença que representa a composição de 
funções,	vamos	determinar	a	sentença	fog(x).
Assim:
fog(x)	=	f	[g(x)]	=		2g(x)	+	7	=	2(x2	–	1)	+	7	=
	 	 =	2x2	–	2	+	7	=
 ⇒	fog(x)	=	2x2	+	5
É	bom	compararmos	esses	dois	exemplos	de	
composição	de	funções	para	notarmos	que	a	
composição não admite a propriedade comu-
tativa, ou seja, em geral fog ≠ gof.
CAPÍTULO 04 TIPOS DE FUNÇÕES
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. AMAN-RJ modificado
Se	f(x)	=	3x	+	1	e	g(x)	=	2x2,	então	f[g(–1)]	–	g[f(–1)]	
é igual a:
a. –1
b. 1
c. 15
d. 0
e. –15
Resolução
Cálculos	auxiliares:
g(–1)	=	2	⋅	(–1)2	=	2
f(–1)	=	3	⋅	(–1)	+	1	=	–2
f[g(–1)]	=	f(2)	=	3	⋅	2	+	1	=	7
g[f(–1)]	=	g[–2]	=	2	⋅	(–2)2	=	8
Logo:
f[g(–1)]	–	g[f(–1)]	=	7	–	8	=	–1
Resposta
A
PV
-1
3-
11
Funções
41
Matemática
02. EESC-SP
Se	f(x)	=	x2	e	g(x)	=	x3,	então	f[g(2)]	é:
04. 
Considerando	que	f(x)	=	x	+	2	e	f[g(x)]	=	2x	–	3,	
então	g(x)	é	igual	a:
a. 5	–	x
b. 4x	–	2
c. 2x	–	5
d. x2
e. 2	–	4x
Resolução
f[g(x)]	=	g(x)	+	2
2x	–	3	=	g(x)	+	2	⇒	g(x)	=	2x	–	5
Resposta
C
05. 
Sendo	g(x)	=	x	–	7	e	f[g(x)]	=	3x	–	1,	determinar	
a	função	f(x).
Resolução
g(x)	=	x	–	7	⇒	x	=	g(x)	+	7
f[g(x)]	=	3x	–	1	⇒	f[g(x)]	=	3[g(x)	+	7]	–	1
f[g(x)]	=	3g(x)	+	20	⇒ f(x)	=	3x	+	20
a. 16
b. 128
c. 12
d. 64
e. 32
Resolução
f[g(2)]	=	f(23)	=	f(8)	=	82	=	64
Resposta
D
03. FGV-SP
Considere	as	funções	f(x)	=	2x	+	1	e	g(x)	=	x2	–	1.
Então,	as	raízes	das	equação	f[g(x)]	=	0	são:
a. inteiras.
b. negativas.
c. racionais não inteiras.
d. inversas uma da outra.
e. opostas.
Resolução
f g x f x
x x
x x x
[ ( )] [ ]
( )
= ⇒ − =
⋅ − + = ⇒ − + =
= ⇒ = ⇒ = ±
0 1 0
2 1 1 0 2 2 1 0
2 1
1
2
1
2
2
2 2
2 2 ⇒⇒ = ±x
2
2
Logo, as raízes são opostas.
Resposta
E
2. Classificação
A. Injetora
Uma função é chamada injetora quando ele-
mentos distintos do domínio apresentarem 
imagens também distintas no contradomínio.
x1 ≠	x2 ⇒	f(x1) ≠	f(x2)
a
b
c
d
1
2
3
Reconhecemos, graficamente, uma função in-
jetora quando uma reta horizontal, qualquer 
que seja, interceptar o gráfico da função, uma 
única vez.
x0
y
f(x)
f(x) é injetora.
Funções
PV
-1
3-
11
42
Matemática
0
y
g(x)
x
g(x) não é injetora.
Interceptou o gráfico mais de uma vez.
B. Sobrejetora
Uma função é chamada sobrejetora quando 
todos os elementos do contradomínio forem 
imagens de pelo menos um elemento do do-
mínio.
a
b
c
1
2
3
4
Reconhecemos, graficamente, uma função 
sobrejetora quando, qualquer que seja a reta 
horizontal	que	interceptar	o	eixo	no	contrado-
mínio,interceptar, também, pelo menos uma 
vez o gráfico da função.
y
x0
f(x)
f(x) é sobrejetora.
Interceptou o gráfico.
x
y
0
g(x)
g(x) não é sobrejetora.
Não interceptou o gráfico.
C. Bijetora
Uma função é chamada bijetora quando apre-
sentar as características de função injetora e 
ao, mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, 
elementos distintos têm sempre imagens dis-
tintas e todos os elementos do contradomínio 
são imagens de pelo menos um elemento do 
domínio.
1
2
3
1
2
3
Observação
Uma função bijetora apresenta o que chama-
mos de relação biunívoca: para cada elemen-
to, há uma única imagem e vice-versa.
D. Complemento
Devemos	 lembrar	 que	 existem	 funções	 que	
não são injetoras nem tampouco sobrejetora. 
Elas não recebem uma classificação especial; 
são ditas, apenas, nem injetora ou nem sobre-
jetora.
1
2
3
4
a
b
c
d
PV
-1
3-
11
Funções
43
Matemática
01. 
Os	gráficos	abaixo	representam	funções	de	 
em .
a) y
x
x
yc)
b) y
x
3
4–1
–1
4
Verifique se elas são ou não sobrejetoras, inje-
toras ou bijetoras. Justifique.
Resolução
a. D(f)	=	
 Im(f)	=	{3}
 Não é sobrejetora, pois Im(f) ≠	CD(f)	=	.
 Não é injetora, pois todos os elementos 
do domínio têm como imagem o elemento 3.
 Como não é injetora e sobrejetora, não é 
bijetora.
b. D(f)	=	
 Im(f)	=	
 CD(f)	=	
 É	sobrejetora,	pois	Im(f)	=	CD(f).
 É injetora, pois todos os elementos distin-
tos	x	do	domínio	 têm	 imagens	g	distintas	do	
contradomínio.
 Logo, é bijetora.
c. D(f)	=	
 Im(f)	=	 y y∈ ≥ −

|
1
4
 CD(f)	=	
 Não é sobrejetora, pois Im(f) ≠ CD(f).
 Não	é	injetora,	pois	existem	elementos	de	
Im(f) que são imagens de dois valores distintos 
de	x.
 Logo, não é bijetora.
02. 
Determinar o conjunto B de modo que a sen-
tença	f(x)	=	x2 defina uma função sobrejetora 
de	A	=	{x	∈ 		|	–3	≤	x	≤	4}	em	B.
Dizer	se,	nessas	condições,	ela	é	bijetora.
y
x
16
9
–3 40
Resolução
B	=	CD	=	Im	=	{y	∈ 	|	0	≤	y	≤	16}
Não é bijetora, pois não é injetora.
x
y
–3 40
9
16
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Funções
PV
-1
3-
11
44
Matemática
3. Função inversa
A. Conceito
Vamos considerar uma função f com domínio 
A e contradomínio B, para a qual cada elemen-
to	x	pertencente	ao	conjunto	A	apresenta	uma	
imagem	 y	 =	 f(x)	 pertencente	 ao	 conjunto	 B.	
Podemos	pensar	na	existência	de	uma	função	
que, a partir da imagem y, determine o ele-
mento	x,	ou	seja,	uma	função	g	tal	que	g(y)	=	x.	 
Essa função g, que faz o caminho inverso da 
função f, é chamada função inversa de f e re-
cebe a notação f –1.
f–1 (x) = g(x)
A B
f(x)
x y
B. Condição	de	existência
Devemos	 notar	 que,	 para	 existir	 a	 inversa,	 é	
necessário que todos os elementos do contra-
domínio da função f sejam imagens de algum 
elemento do domínio, e mais, de um único 
elemento. Desta forma, concluímos que só 
pode	existir	 inversa	da	função	f	se	a	função	f	
for bijetora.
Dessa forma, notamos que o domínio da fun-
ção f é o contradomínio de f –1 e que o contra-
domínio de f é o domínio de f –1.
Assim:
D(f)	=	CD(f	–1)	=	Im(f	–1)
CD(f)	=	D(f	–1)	=	Im(f)
f–1
f
x y
C. Determinação da inversa
Para a determinação da sentença que repre-
senta a inversa da função f, usaremos o con-
ceito de função inversa. Enquanto a função f 
toma	o	elemento	x	e,	por	meio	da	sentença	f,	
apresenta-nos o valor de sua imagem y, a fun-
ção inversa f–1 tem como tarefa tomar a ima-
gem y e, por meio da sentença f–1, apresentar 
o	elemento	x.	Vejamos	essa	ideia	utilizada	no	
exemplo	a	seguir.
Determinar a função inversa da função:
f(x)	=	2x	–	4.	
1º Vamos substituir a notação de imagem 
de	f(x)	por	y.	Assim:	y	=	2x	–	4.	
2º Para determinar a inversa, devemos 
“isolar”	o	x.
 Logo, 2 4
4
2
x y x
y
= + ⇒ =
+
3º Podemos dizer que já encontramos a 
sentença que representa a inversa de 
f, pois, para cada imagem y dada, po-
demos	obter	o	elemento	x	para	o	qual	
y serve de imagem. Porém, para efeito 
de notação, é comum permutarmos as 
letras x e y.
Então: y
x
=
+ 4
2
4º. Retornando à notação inicialmente 
usada para a função, vamos substituir 
y por f –1(x).
Finalmente, teremos f x
x
−
=
+
1
4
2
( ) .
D. Propriedades
P1. Evidentemente, se o par (a, b) perten-
cer à função f, o par (b, a) pertencerá à 
função f–1 e isso representado no plano 
cartesiano nos proporcionará uma si-
metria dos pontos representados pelos 
pares (a, b) e (b, a) em relação à reta 
y	 =	 x	 (bissetriz	 dos	 quadrantes	 ímpa-
res). Isso feito para todos os pares or-
denados	de	cada	uma	das	funções	nos		
garante que o gráfico de uma função e 
da sua inversa são simétricos em rela-
ção	à	reta	y	=	x	(função	identidade).
PV
-1
3-
11
Funções
45
Matemática
0
y f
x
y = x
f–1
P2. Considerando que a função leva o ele-
mento à imagem e a inversa traz a ima-
gem ao elemento, se compusermos a 
função com a inversa, retornaremos, 
sempre, ao elemento de onde parti-
mos.
Assim: fof –1(x)	=	f	–1of(x)	=	x
Pode-se provar ainda que:
P3. (f –1(x))–1	=	f(x)
P4. (fog)–1	=	g	–1of –1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Determine	a	inversa	das	funções:
a. f(x)	=	4x	–	1
b. y
x
x
com x=
+
−
≠
2 3
5
5
Resolução
a. f(x)	=	4x	–	1
 y	=	4x	–	1	⇒	4x	=	y	+	1
 
x
y
y
x
f x
x
=
+
∴ =
+
=
+
−
1
4
1
4
1
4
1( )
b. y
x
x
yx y x
yx x y
x y y
x
y
y
y
x
x
=
+
−
− = +
− = +
⋅ − = +
=
+
−
∴ =
+
2 3
5
5 2 3
2 5 3
2 5 3
5 3
2
5 3
( )
−−
=
+
−
≠−
2
5 3
2
21f x
x
x
com x( ) ,
Resposta
a. f x
x
−
=
+
1
1
4
( )
b. f x
x
x
com x− =
+
−
≠1
5 3
2
2( ) ,
02. Cesesp
Seja f:  →  a função dada pelo gráfico se-
guinte.
0
y
x
Assinale a alternativa que corresponde ao grá-
fico da função inversa de f.
a. 
0
y
x
b. 
0
y
x
Funções
PV
-1
3-
11
46
Matemática
c. 
x
y
0
d. 
x
y
0
e. 
x
y
0
Resolução
O gráfico de uma função e o da sua inversa são 
simétricos	em	relação	à	reta	y	=	x.
y
x
f (x)
y = x
f–1 (x)
0
Resposta
C
03. FM Jundiaí-SP
Sejam	as	 funções	 f	e	g	de	 em , definidas 
por	f(x)	=	2x	–	1	e	g(x)	=	kx	+	t.	A	função	g	será	
inversa de f se, e somente se:
a. k t: =
1
4
b. k	–	t	=	1
c. k	=	2t
d. k	+	t	=	0
e. k t= =
1
2
Resolução
f x x
x y
x
y
y
x
Logo f x g x
x
x
Ma
( )
: ( ) ( )
= −
= +
=
+
∴ =
+
= =
+
= +−
2 1
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ss g x kx t
Logo k e t
( )
,
= +
= =
1
2
1
2
Resposta
E
04. UPF-RS
Seja f:  → 	bijetora,	definida	por	f(x)	=	x3	+	1.
Seja g:  →  bijetora, definida por g x
x
( ) .=
+4 1
3
Então, f g f− + 






1 9
1
2
( ) vale:
a. 23
6
b. 11
6
c. 33
2
d. 9
8
e. 22
3
Resolução
Cálculos	auxiliares
 –	Cálculo	da	inversa:
 
f x x
y x x y y x
y x
( ) = +
= + ⇒ = + ⇒ = −
= −
3
3 3 3
3
1
1 1 1
1
PV
-1
3-
11
Funções
47
Matemática
Logo:
f x x
f
f
g f
−
−
= −
= − = =



 =



 + = + =
1 3
1 3 3
3
1
9 9 1 8 2
1
2
1
2
1
1
8
1
9
8
( )
( )
11
2
9
8
4 9
8
1
3
9
2
1
3
11
2
3
11
6







 =



 =
⋅ +
=
+
= =g
Por to ftan , −− + 





 = + =
1 9
1
2
2
11
6
23
6
( ) g f
Resposta
A
05. 
A função f, definida em 	–	{2}	por	 f x
x
x
( ) =
+
−