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1 Universidade Federal do Paraná (UFPR) 2.1.1 Estudo de Funções e Sequências ............................................................................................... 1 2.1.2 Geometria e Medidas .............................................................................................................. 123 2.1.3 Álgebra, Números e Matrizes .................................................................................................. 237 2.1.4 Geometria Analítica ................................................................................................................. 363 2.1.5 Tratamento da Informação ...................................................................................................... 389 Candidatos ao Vestibular, O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom desempenho na prova. As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar em contato, informe: • Apostila (universidade); • Disciplina (matéria); • Número da página onde se encontra a dúvida; e • Qual a dúvida. Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. Bons estudos! Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 1 Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores @maxieduca.com.br EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita ou variável (x, y, z,...). Observe a figura: A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. Exemplos: 2x + 8 = 0 5x – 4 = 6x + 8 3a – b – c = 0 - Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x – 5 < 3 (Não é igualdade) 5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) Termo Geral da equação do 1º grau Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados obtemos: ax + b – b = 0 – b → ax = -b → x = -b / a Termos da equação do 1º grau Nesta equação cada membro possui dois termos: 1º membro composto por 5x e -1 2º membro composto pelo termo x e +7 2.1.1 Estudo de Funções e Sequências Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 2 Resolução da equação do 1º grau O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as operações. Vejamos Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números para o outro invertendo as operações. 2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 Outros exemplos: 1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). Registro: 3x – 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18 x = 3 18 x = 6 2) Resolução da equação: 1 – 3x + 5 2 = x + 2 1 , efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade(outro método de resolução). Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. Registro: 1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2 1. (10) − 3𝑥. (10) + 2. (2) 10 = 𝑥. (10) + 1. (5) 10 10 – 30x + 4 = 10 x + 5 -30x -10x = 5 – 10 – 4 -40x = -9 (-1) 40x = 9 x = 9/40 x = 0,225 Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual. - Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade. - Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito da igualdade. O processo prático pode ser formulado assim: - Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado. - Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 3 Questões 01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos em que foram marcados 2 gols é: (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7. 02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia dividida inicialmente? (A) R$900,00 (B) R$1.800,00 (C) R$2.700,00 (D) R$5.400,00 03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: (A) R$ 570,00 (B) R$ 980,50 (C) R$ 1.350,00 (D) R$ 1.480,00 (E) R$ 1.520,00 04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de Metrô, da primeira à última estação, é de (A) 23 km e 750 m. (B) 21 km e 250 m. (C) 25 km. (D) 22 km e 500 m. (E) 26 km e 250 m. 05. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 4 (A) 5/16. (B) 1/6. (C) 8/24. (D)1/ 4. (E) 2/5. 06. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia.Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? (A) 3 anos. (B) 7 anos. (C) 5 anos. (D) 10 anos. (E) 17 anos. 07. (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINSTRATIVO – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte forma: - 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. Qual é a idade de Rodrigo? (A) Rodrigo tem 25 anos. (B) Rodrigo tem 30 anos. (C) Rodrigo tem 35 anos. (D) Rodrigo tem 40 anos. 08. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O mais velho comeu 3 8 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 7 5 da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, a fração da pizza que restou foi (𝐴) 3 5 (𝐵) 7 8 (𝐶) 1 10 (𝐷) 3 10 (𝐸) 36 40 09. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço unitário do livro K. Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum o valor, em reais, igual a (A) 33. (B) 132. (C) 54. (D) 44. (E) 11. 10. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, que por Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 5 sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais velho será, em anos, igual a (A) 55. (B) 25. (C) 40. (D) 50. (E) 35. Respostas 01. Resposta: E. 0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 02. Resposta: D. Quantidade a ser recebida por cada um: x Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou R$300,00. 𝑥 3 = 𝑥 3 2 + 300 𝑥 3 = 𝑥 6 + 300 𝑥 3 − 𝑥 6 = 300 2𝑥 − 𝑥 6 = 300 𝑥 6 = 300 x = 1800 Recebida: 1800.3=5400 03. Resposta: E. Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 16 . x = Total Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) Combinando as duas equações, temos: 16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 04. Resposta: A. Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x Assim: 7.x = 8750 x = 8750 / 7 x = 1250 m Por fim, vamos calcular o comprimento total: 17 – 2 = 15 espaços 2.x + 2.x + 15.x = = 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = = 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 6 05. Resposta: B. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 2 semana: 1 3 ∙ 3 8 𝑥 = 1 8 𝑥 1ª e 2ª semana: 3 8 𝑥 + 1 8 𝑥 = 4 8 𝑥 = 1 2 𝑥 Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana como consta na fração acima (1/2x). 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 2𝑦 + 𝑦 = 1 2 𝑥 3𝑦 = 1 2 𝑥 𝑦 = 1 6 𝑥 06. Resposta: A. Luana: x Bia: x + 10 Felícia: x + 7 Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 07. Resposta: B. Idade de Rodrigo: x 2 5 𝑥 + 3 = 1 2 𝑥 2 5 𝑥 − 1 2 𝑥 = −3 Mmc(2,5)=10 4𝑥−5𝑥 10 = −3 4𝑥 − 5𝑥 = −30 𝑥 = 30 08. Resposta: C. 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜: 3 8 𝑥 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶ 7 5 ∙ 3 8 𝑥 = 21 40 𝑥 3 8 𝑥 + 21 40 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 − 3 8 𝑥 − 21 40 𝑥 𝑦 = 40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥 40 = 4𝑥 40 = 1 10 𝑥 Sobrou 1/10 da pizza. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 7 09. Resposta: E. Preço livro J: x Preço do livro K: x+15 á𝑙𝑏𝑢𝑚: 𝑥 + 15 3 Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 3𝑥 + 4(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15 3 = 197 9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15 3 = 197 9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 22𝑥 = 396 𝑥 = 18 á𝑙𝑏𝑢𝑚: 𝑥 + 15 3 = 18 + 15 3 = 11 O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 10. Resposta: C. Irmão mais novo: x Irmão do meio: 2x Irmão mais velho:4x Hoje: Irmão mais novo: x + 10 Irmão do meio: 2x + 10 Irmão mais velho:4x + 10 x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 Hoje: Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 Daqui a dez anos Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 Irmão do meio: 20 + 10 = 30 Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 O irmão mais velho terá 40 anos. RELAÇÃO Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguinte propriedades em relação ao par ordenado (x, y) ou (a, b). Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 8 Par Ordenado Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem destes elementos. Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto de formado por dois elementos, onde o primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. Exemplos: 1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. Gráfico cartesiano do par ordenado Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. Temos que: - P é o ponto de coordenadas a e b; - o número a é chamado de abscissa de P; - o número b é chamado ordenada de P; - a origem do sistema é o ponto O (0,0). Vejamos a representação dos pontos abaixo: Propriedade Dois pares ordenados (a, b) = (c, d) são iguais se e somente se, a = c e b = d Ou Dois pares ordenados (x, y) = (w, z) são iguais se e somente se, x = w e y = z Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 9 A (4,3) B (1,2) C (-2,4) D (-3,-4) E (3,-3) F (-4,0) G (0,-2) Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B). 𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. Exemplo: Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. a) Listagem dos elementos Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais.Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 b) Diagrama de flechas Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 10 c) Plano cartesiano Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). Noção de Relação Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. x 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 y 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 x + y 9 10 11 12 10 11 12 13 11 12 13 14 Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B Noção de Função Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A e y ϵ B. Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Analisemos através dos diagramas de Venn. Todos os elementos de A tem um único correspondente em B, mesmo que existam elementos de B que sofram mais de uma correspondência dos elementos de A. Logo é função. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 11 Analisemos agora através dos gráficos: Existe um elemento em A não tem correspondência em B, logo: Não é função. Todos os elementos de A tem um único correspondente em B. Logo é função. Existe elemento do conjunto A que se corresponde mais de uma vez com o de B, logo: Não é função. Todos os elementos de A se correspondem com um único em B; mesmo que sobrem elementos em B que não sofram correspondência. Logo é função. Se observamos o gráfico, cada elemento de x, tem um único correspondente em y. Logo é função. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 12 Elementos da função Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, conhecida também como função de A em B. Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. Pelo diagrama de Venn: Representado no gráfico: - Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. Logo, D(f) = A. - Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. - A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). (Lê-se: y é igual a f de x). Observe que existem elementos de x que tem mais de um correspondente em y. Logo não é função. Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 13 - Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. A notação para representar função é dada por: Exemplo: Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = x+3. Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem deste conjunto. F(-2) = -2 + 3 = 1 F(-1) = -1 + 3 = 2 F(0) = 0 + 3 = 3 F(1) = 1 + 3 = 4 F(2) = 2 + 3 = 5 Domínio de uma função real de variável real Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. Exemplos: 1) y = x2 + 3x Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 2) 𝑦 = 1 𝑥 Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 3) 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒙−𝟐 Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0 x ≠ 2. D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição: Toda função f: R → R, definida por: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 14 Com a ϵ R* e b ϵ R. O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o contradomínio, Im = R. Quando b = 0, chamamos de função linear. Gráfico de uma função Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. x y (x,y) 0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) -2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) -1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) Vamos construir o gráfico no plano cartesiano Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: Tipos de Função Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. Observe os gráficos abaixo da função constante Observe que a reta de uma função afim é sempre uma reta. E como a > 0 ela é função crescente, que veremos mais à frente Observe que a < 0, logo é uma função descrente. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 15 A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou sobre o eixo (igual ao eixo abscissas). Função Identidade Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta os quadrantes pares. A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares.Função Injetora: Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 16 Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfico da função, uma única vez. Função Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo x, notaremos que o mesmo cortará a reta formada pela função em um único ponto (o que representa uma imagem distinta), logo concluímos que se trata de uma função injetora. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 17 Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. Função Bijetora: uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Exemplo: A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. Função Ímpar e Função Par Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor compreensão observe o diagrama abaixo: Observe que todos os elementos do contradomínio tem um correspondente em x. Logo é sobrejetora. Im(f) = B Observe que nem todos os elementos do contradomínio tem um correspondente em x. Logo não é sobrejetora. Im(f) ≠ B Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 18 A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: Função crescente e decrescente A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma reta. Observe que medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) também aumentam. Observe que medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 19 Zero ou Raiz da Função Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y ou f(x) seja igual à zero. Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos uma equação do 1º grau, ax + b = 0. Exemplo: Determinar o zero da função: f(x) = x + 3 Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 Graficamente temos: No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 = −𝒃 𝒂 Podemos expressar a fórmula acima graficamente: Através do gráfico da função notamos que: -Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e - Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 20 Estudo do sinal da função Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: - A função se anule (y = 0); - A função seja positiva (y > 0); - A função seja negativa (y < 0). Vejamos abaixo o estudo do sinal: Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 1) Qual o valor de x que anula a função? y = 0 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2 4 x = 2 A função se anula para x = 2. 2) Quais valores de x tornam positiva a função? y > 0 2x – 4 > 0 2x > 4 x > 2 4 x > 2 A função é positiva para todo x real maior que 2. Se a > 0 (função crescente) 𝑥 < −𝑏 𝑎 → 𝑦 < 0 𝑥 > −𝑏 𝑎 → 𝑦 > 0 Se a < 0 (função decrescente) 𝑥 < −𝑏 𝑎 → 𝑦 > 0 𝑥 > −𝑏 𝑎 → 𝑦 < 0 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 21 3) Quais valores de x tornam negativa a função? y < 0 2x – 4 < 0 2x < 4 x < 2 4 x < 2 A função é negativa para todo x real menor que 2. Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: - Para x = 2 temos y = 0; - Para x > 2 temos y > 0; - Para x < 2 temos y < 0. Questões 01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP/2016) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: (A) 8 900. (B) 8 950. (C) 9 000. (D) 9 050. (E) 9 150. 02. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T: (A) T = 3t (B) T = 3t + 2,50 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 22 (C) T = 3t + 2.50t (D) T = 3t + 7,50 (E) T = 7,50t + 3 03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então (A) x = 5. (B) x = 6. (C) x = -6. (D) x = -5. 04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática de natação? (A) 50,0 (B) 52,5 (C) 55,0 (D) 57,5 (E) 60,0 05. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO) de domínio real, então, m − p é igual a (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64 (E) 7 06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é (A) 2. (B) 9. (C) 12. (D) 15. 07. (BRDE-RS) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 𝑥 2 + 10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 2 3 𝑥. Para que a firma não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 23 (A) R$ 10.000,00 (B) R$ 13.000,00 (C) R$ 15.000,00 (D) R$ 18.000,00 (E) R$ 20.000,00 08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? (A) Q(3, 3) e R(5, 5). (B) N(0, –2) e P(2, 0). (C) S(–1, 1) e T(1, –1). (D) L(–2, –3) e M(2, 3). 09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa funçãoé (A) –4. (B) –2. (C) 1. (D) 2. 10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O planeta Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo ainda está incandescente. Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina num ponto a 1200 metros da superfície? (A) 15º C (B) 38º C (C) 53º C (D) 30º C (E) 61º C Respostas 01. Resposta: E. Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida: 𝑅 = ∆𝐿 ∆𝑄 → 𝑅 = 7000 − (−1000) 80 − 0 → 𝑅 = 8000 80 → 𝑅 = 100 Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo menos 90.500,00 Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 𝑅 = ∆𝐿 ∆𝑄 → 100 = 91500 ∆𝑄 → 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 = 91500 100 → ∆𝑄 = 915 Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 02. Resposta: B. Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de tempo, e acrescentado 2,50 fixo. T = 3t + 2,50 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 24 03. Resposta: D. 35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 04. Resposta: E. A proporção de oxigênio/tempo: 10,5 2 = 21,0 4 = 𝑥 10 4x = 210 x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 52,5litros----70kg x-------------80kg x = 60 litros 05. Resposta: C. Aplicando segundo as condições mencionadas: x = 1 f(1) = 2.1 - p f(1) = m - 1 x = 6 f(6) = 6m - 1 𝑓(6) = 7.6+4 2 = 42+4 2 = 23 ; igualando as duas equações: 23 = 6m - 1 m = 4 Como queremos m – p , temos: 2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 06. Resposta: D. Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. * a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: ( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) ( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: y = a.x + b 0 = – 5.3 + b b = 15 Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: x = – 5.y + 15 5.y = – x +15 y = – x / 5 + 15/5 y = – x / 5 + 3 (função inversa) Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 07. Resposta: E. C(x) = 𝑥 2 + 10000 F(x) = 2 3 𝑥 f(x) = c(x) 2 3 𝑥 > 𝑥 2 + 10000 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 25 2 3 𝑥 − 𝑥 2 > 10000 4𝑥−3𝑥 6 = 10000 4𝑥−3𝑥 6 = 10000 x = 10000 1 6 x = 60000 Substituindo no faturamento temos: F(x) = 2 3 60000 = 40.000 Se tivermos um lucro de 60.000 – 40.000 de faturamento, logo o nosso faturamento mínimo é de 20.000. Portanto o resultado final é de R$ 20.000,00. 08. Resposta: C. Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma posição “mais alta” do que o 2º ponto. Vamos analisar as alternativas: ( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, e, assim, a função é crescente. ( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. ( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. ( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 09. Resposta: A. Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. * a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: ( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 ( V ) 3 = a.( – 1) + b a = 4 – 3 = 1 Portanto, a função fica: y = x + 4 Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 10. Resposta: C. Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes Assim: 15 . 2 = 30º C Assim: 23º C + 30º C = 53º C INEQUAÇÃO DO 1º GRAU Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. Propriedades - Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos seus dois membros. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 26 - Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número positivo. 2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número negativo. Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. Exemplo: Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. -2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 𝑥 ≥ − 15 2 Logo: U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} Vejamos mais um exemplo: Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R -5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por (- 1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da desigualdade) → x ≤ 2. S = {x є R | x ≤ 2} Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 27 y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) -5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( + ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. - Inequações do 1ºgrau com duas variáveis Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. As inequações podem ser escritas das seguintes formas: ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0. Onde a, b são números reais com a ≠ 0. - Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveisMétodo prático: 1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial. 3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar. 3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplo: Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. Verificamos: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 28 2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). Questões 01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √x < 7? (A) 13; (B) 26; (C) 38; (D) 39; (E) 40. 02. (ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: (A) 3 questões (B) 4 questões (C) 5 questões (D) 6 questões (E) 7 questões 03. (Tec. enfermagem/PM) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: (A) -2. (B) -3. (C) -1. (D) 4. (E) 5. 04. (AUX. TRT 6ª/FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? (A) 88. (B) 87. (C) 54. (D) 53. (E) 42. 05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: (A) 06. (B) 08. (C) 10. (D) 12. (E) 14. 06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: (A) maior que 8. (B) 6. (C) 2. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 29 (D) 1. (E) 0. 07. (SEE/AC – Professor de Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias – FUNCAB) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 3𝑥 2 + 2 ≤ 𝑥 2 − 3 (A) x > 2 (B) x ≤ - 5 (C) x > - 5 (D) x < 2 (E) x ≤ 2 08. (UEAP – Técnico em Planejamento, Orçamento e Finanças – Ciências Contábeis – CS- UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, R$ 100,00 para uma compra de batata e feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, respectivamente, na compra de batata e de feijão, a inequação que representa esta situação é: (A) X + Y > 100 (B) X + Y ≤ 100 (C) 𝑋 𝑌 > 100 (D) 𝑋 𝑌 ≤ 100 Respostas 01. Resposta: D. Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 02. Resposta: D. Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 03. Resposta: C. 4x + 2 – 2 > x -12 4x + 2x – x > -12 +2 5x > -10 x > -2 Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro é -1. 04. Resposta: A. Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) -6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 05. Resposta: B. Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 11x + 10 > 80 11x > 80 -10 x > 70/11 → x > 6,36 Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 30 06 . Resposta: E. 2x ≤ 3+3 2x ≤ 6 x ≤ 3 Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero será ele mesmo. 07. Resposta: B. 3𝑥 2 + 2 ≤ 𝑥 2 − 3 → 3𝑥 2 − 𝑥 2 ≤ −3 − 2 → 2𝑥 2 ≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 08. Resposta: B. Batata = X Feijão = Y O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), logo: X + Y ≤ 100 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação: Equação completa e incompleta: - Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). -3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). - Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. Exemplos: x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi- las a essa forma. Exemplo: Pelo princípio aditivo. 2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 3x2 – 7x + 3 = 0 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 31 Exemplo: Pelo princípio multiplicativo. 42 12 x x x 42 2 42 44.4 2 xx x xx xxx 4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2 4x – 16 – x2 + 4x = 2x2 – x2 + 8x – 16 = 2x2 – x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0 – 3x2 + 8x – 16 = 0 Raízes de uma equação do 2º grau Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso conjunto Universo. 1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. x2 – 9x = 0 colocamos x em evidência x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: x = 0 ou x – 9 = 0 x = 9 Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. x2 – 16 = 0 Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. (x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: x + 4 = 0 x – 4 = 0 x = – 4 x = 4 ou x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). Logo, S = {–4, 4}. Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjuntosolução de qualquer equação do 2º grau de maneira mais simples. Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três casos a estudar. 1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √y ou x=-√y Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 32 1º caso Δ > 0 (Positivo) Duas raízes reais distintas. a b x .2 ' a b x .2 '' 2º caso Δ = 0 (Nulo) Duas raízes reais iguais. x’ = x” = a b 2 3º caso Δ < 0 (Negativo) Não temos raízes reais. A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. Exemplos: 1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 𝑥 = −7 ± √−59 6 Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. Então: S = ᴓ 2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. Aplicando na fórmula de Bháskara: 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4 2.5 = 12 ± √144 − 80 10 = 12 ± √64 10 Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 𝑥 = 12 ± 8 10 → 𝑥′ = 12 + 8 10 = 20 10 = 2 𝑒 𝑥′′ = 12 − 8 10 = 4: 2 10: 2 = 2 5 S= {2/5, 2} Relação entre os coeficientes e as raízes As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝒃 𝒂 2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝒄 𝒂 Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: x2 – Sx + P=0 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 33 Exemplos: 1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. Resolução: Pela relação acima temos: S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14 → Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 Observe que S=7 e P=12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e multiplicados obtemos 12. S= 3+4 = 7 e P = 4.3=12, logo o conjunto solução é: S={3,4} Questões 01. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 0. (E) 9. 02. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 1 e 3/2? (A) x²-3x+4=0 (B) -3x²-5x+1=0 (C) 3x²+5x+2=0 (D) 2x²-5x+3=0 03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau dada por x²-6x=-8 é: (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 04. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que x = (1-x) / x, usando 5=2,24. (A) 0,62 (B) 0,38 (C) 1,62 (D) 0,5 (E) 1/ 𝜋 05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: (A) 48 anos. (B) 46 anos. (C) 38 anos. (D) 36 anos. (E) 32 anos. 06. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: (A) 15 (B) 7 (C) 10 (D) 8 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 34 (E) 5 07. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a (A) 196. (B) 225. (C) 256. (D) 289. 08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era (A) 12. (B) 14. (C) 16. (D) 18. (E) 20. 09. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 1 𝑥2 - 1 𝑥1 é: (A) 1 27 . (B) 1 13 . (C) 1. (D) 1 182 . (E) 1 14 . 10. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: (A) k = 1/2. (B) k = 3/2. (C) k = 1/3. (D) k = 2/3. (E) k = -2. Respostas 01. Resposta: C. Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 02. Resposta: D. Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 𝑆 = 1 + 3 2 = 5 2 = 𝑏 𝑃 = 1 ∙ 3 2 = 3 2 = 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑥2 − 5 2 𝑥 + 3 2 = 0 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 35 03. Resposta: B. x²-6x+8=0 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 𝑥 = −(−6)±√4 2.1 ⇒ 𝑥 = 6±2 2 𝑥1 = 6+2 2 = 4 𝑥2 = 6−2 2 = 2 Dobro da menor raiz: 22=4 04. Resposta: A. 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑥 x² = 1-x x² + x -1 =0 ∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 𝑥 = −1 ± √5 2 𝑥1 = (−1 + 2,24) 2 = 0,62 𝑥2 = −1 − 2,24 2 = −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 05. Resposta: B. Hoje: J = IR + 8 ( I ) J . IR = 153 ( II ) Substituir ( I ) em ( II ): (IR + 8). IR = 153 IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 𝛥 = 64 + 612 𝛥 = 676 𝑥 = −𝑏±√𝛥 2𝑎 𝑥 = −8±√676 2.1 = −8±26 2 𝑥1 = −8+26 2 = 18 2 = 9 𝑥2 = −8−26 2 = 34 2 = 17 Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 06. Resposta: B. Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das raízes é 6, a outra é 1. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 36 Então a soma é 6+1=7 S=m=7 07. Resposta: C. O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Antes, precisamos calcular a, b e c. * Soma das raízes = – b / a – b / a = 6 + (– 10) – b / a = – 4 . (– 1) b = 4 . a Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 5.a = 5 e a = 1 * b = 4 . 1 = 4 Falta calcular o valor de c: * Produto das raízes = c / a c / 1 = 6 . (– 10) c = – 60 Por fim, vamos calcular o discriminante: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 08. Resposta: B. Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: c = 2.p (I) p.c = 98 (II) Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: p.2p = 98 2.p² = 98 p² = 98 / 2 p = √49 p = 7 pilhas Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 09. Resposta: D. Primeiro temos que resolver a equação: a = 1, b = - 27 e c = 182 ∆ = b2 – 4.a.c ∆ = (-27)2 – 4.1.182 ∆ = 729 – 728 ∆ = 1 𝑥 = −𝑏±√∆ 2𝑎 = −(−27)±√1 2.1 = 27±1 2 → x1 = 14 ou x2 = 13 O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 1 𝑥2 − 1 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑥2. 𝑥1 = 14 − 13 14.13 = 1 182 10. Resposta: C. Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = −𝑏 𝑎 e P = 𝑐 𝑎 . (k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 S = P −𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑎 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 37 FUNÇÃO DO 2º GRAU Chama-se funçãodo 2º grau, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: Com a, b e c reais e a ≠ 0. Onde: a é o coeficiente de x2 b é o coeficiente de x c é o termo independente Exemplos: y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 Representação gráfica da Função O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo. Exemplo: Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: x y -3 6 -2 2 -1 0 -1/2 -1/4 0 0 1 2 2 6 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 38 Concavidade da Parábola No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a (positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função definida por um polinômio do 2º grau. Vértice da parábola Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). - Eixo de simetria É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: f (-3) = f (1) = 0 f (-2) = f (0) = -3 Conjunto Domínio e Imagem Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e o seu conjunto imagem é dado por: 𝑰𝒎 = {𝒚 ∈ 𝑹| 𝒚 ≥ −∆ 𝟒𝒂 } 𝒐𝒖 𝑰𝒎 = [ −∆ 𝟒𝒂 ; +∞[ Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 3) c é o valor onde a curva corta o eixo y neste caso, no 0 (zero) 4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e - 1/4 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 39 𝑰𝒎 = {𝒚 ∈ 𝑹| 𝒚 ≤ −∆ 𝟒𝒂 } 𝒐𝒖 𝑰𝒎 = ]−∞; −∆ 𝟒𝒂 ] Coordenadas do vértice da parábola Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o gráfico num ponto chamado de vértice. As coordenadas do vértice são dadas por: Onde: x1 e x2 são as raízes da função. Valor máximo e valor mínimo da função definida por um polinômio do 2º grau - Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; - Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. Exemplo: Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico festa função, determinando também o valor máximo ou mínimo da mesma. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 40 Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}. Raízes ou zeros da função definida por um polinômio do 2º grau As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação do 2º grau. ax2 + bx + c = 0 A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. a b x .2 , onde, = b2 – 4.a.c As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que expresse a função. Estudo da variação do sinal da função Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula. Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). Observe que: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 41 Exemplos 1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença matemática que a define. Resolução: Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatorada temos: f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . O vértice da parábola é (-2,4), temos: 4 = a.(-2 + 4).(-2) → a = -1 Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (-x – 4x).x → -x2 – 4x 2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo ponto (2;3). Resolução: Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5 → 3 = -4 + 2k + 8 – 5 → 2k + 8 – 9 = 3 → 2 k – 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 → k = 2. Questões 01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) = 100−𝑡2 𝑡+1 . Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a (A) 10 Km/h (B) 20 Km/h (C) 90 Km/h (D) 100 Km/h 02. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a (A) 4 lotes. (B) 5 lotes. (C) 6 lotes. (D) 7 lotes. (E) 8 lotes. Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes reais distintas. Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo dos x em um ponto e temos duas raízes iguais. Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo dos x em nenhum ponto e não temos raízes reais. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 42 03. (IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP) A figura ilustra um arco decorativo de parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco sobre a porta (A e B). Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode- se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a (A) 2,1. (B) 1,8. (C) 1,6. (D) 1,9. (E) 1,4. 04. (POLICIA MILITAR/MG – SOLDADO – POLICA MILITAR) A interseção entre os gráficos das funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x –6 se localiza: (A) no 1º e 2º quadrantes (B) no 1º quadrante (C) no 1º e 3º quadrantes (D) no 2º e 4º quadrantes 05. (PARANAEDUCAÇÃO – MOTORISTA – UEL/COPS) Considere o gráfico da função f a seguir. Com base no gráfico, assinale a alternativa correta. (A) f(-2) < 0 (B) f(0) = -3 (C) f(1/2) > 0 (D) f(1) = 1 (E) f(2) < 0 06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma bala, em metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t)=-3t²+15t. Portanto, é correto afirmar que, depois de 3s, a bala atingirá (A) 18 metros. (B) 20 metros. (C) 27 metros. (D) 32 metros. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 43 07. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO) Sejam f(x)=-2x²+4x+16 e g(x)=ax²+bx+c funções quadráticas de domínio real, cujos gráficos estão representados acima. A função f(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos P(xP,0) e M(xM,0) e g(x), nos pontos (1,0) e Q(xQ,0). Se g(x) assume valor máximo quando x=xM, conclui-se que xQ é igual a: (A) 3 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13 08. (TRANSPETRO – TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – CESGRANRIO) A raiz da função f(x) = 2x − 8 é também raiz da função quadrática g(x) = ax²+ bx + c. Se o vértice da parábola, gráfico da função g(x), é o ponto V(−1, −25), a soma a + b + c é igual a: (A) − 25 (B) − 24 (C) − 23 (D) − 22 (E) – 21 09. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP) Na figura, tem-se o gráfico de uma parábola. Os vértices do triângulo AVB estão sobre a parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo AVB, cujas medidas dos lados estão em centímetros, é, em centímetros quadrados, igual a (A) 8. (B) 9. (C) 12. (D) 14. (E) 16. 10. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDATEC) Supondo que o valor d (em milhares de reais) gasto com cimento por uma prefeitura, de janeiro a dezembro de 2011, pode ser aproximado pelo modelo d(t)= − t2 + 12t + 13, 1 ≤ t ≤ 12, em que t representa o mês, com t=1 correspondendo a janeiro, qual o mês em que a prefeitura teve o maior gasto com cimento? (A) Janeiro. (B) Maio. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 44 (C) Junho. (D) Setembro. (E) Dezembro. 11. (BRB – Escriturário – CESPEUnB) Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x2– 14x + 13). O custo de produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5). Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue o próximo item. Com a venda de qualquer quantia do produto, superior a 2.000 unidades, o lucro líquido da fábrica será sempre positivo. (certo) (errado) 12. (BRB – Escriturário – CESPEUnB) Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x2 – 14x + 13). O custo de produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5). Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue o próximo item. O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto. (certo) (errado) Respostas 01. Resposta: A. Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 𝑑(0) = 100−02 0+1 = 100𝑘𝑚 Agora, vamos substituir na função: 0 = 100−𝑡2 𝑡+1 100 – t² = 0 – t² = – 100 . (– 1) t² = 100 𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 02. Resposta: D. L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40 L(x)=-2x²+28x+40 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = − 𝑏 2𝑎 = − 28 −4 = 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 03. Resposta: B. C=0,81, pois é exatamente a distância de V F(x)=-x²+0,81 0=-x²+0,81 X²=0,81 X=0,9 A distância AB é 0,9+0,9=1,8 04. Resposta: A. -2x+3=x²+5x-6 X²+7x-9=0 =49+36=85 𝑥 = −7 ± √85 2 𝑥1 = −7 + 9,21 2 = 1,105 𝑥2 = −7 − 9,21 2 = −8,105 Para x=1,105 Y=-2.1,105+3=0,79 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 45 Para x=-8,105 Y=19,21 Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 05. Resposta: B. f(-2)>0 f(0)=-3 F(1/2)<0 F(1)<0 F(2)=0 06. Resposta: A. ℎ(3) = −3 ∙ 32 + 15 ∙ 3 = 18 07. Resposta: B. ∆= 16 + 128 = 144 𝑥 = −4 ± 12 −4 𝑥1 = −2 𝑥2 = 4 − 𝑏 2𝑎 = 4 −𝑏 = 8𝑎 A soma das raízes é –b/a − 𝑏 𝑎 = 8 Se já sabemos que uma raiz é 1: 1 + 𝑥𝑄 = 8 𝑥𝑄 = 7 08. Resposta: E. 2x-8=0 2x=8 X=4 𝑥𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2 2 −1 = 4 + 𝑥2 2 𝑥2 = −2 − 4 = −6 Lembrando que para encontrar a equação, temos: (x - 4)(x + 6) = x² + 6x - 4x - 24 = x² + 2x - 24 a=1 b=2 c=-24 a + b + c = 1 + 2 – 24 = -21 09. Resposta: A. As raízes são -1 e 3 Sendo função do 2º grau: -(x²-Sx+P)=0(concavidade pra baixo a<0) -x²+Sx-P=0 S=-1+3=2 P=-13=-3 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 46 -𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0 ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑉𝑦 = − ∆ 4𝑎 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4 + 12 = 16 ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 4 Base: -1até 0 e 0 até 3 Base: 1+3=4 𝐴𝑡𝑟𝑖Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏 ∙ ℎ 2 = 4 ∙ 4 2 = 8𝑐𝑚² 10. Resposta: C. Maior gasto corresponde ao maior valor de X. 𝑥𝑣 = − 𝑏 2𝑎 = − 12 −2 = 6 6 corresponde ao mês de junho. 11. Resposta: ERRADO. O lucro da fábrica é obtido pela diferença entre receita e custo: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = f(x) – g(x) L(x) = - 10.000(x2 – 14x + 13) – 20.000(x + 3,5) L(x) = - 10.000x2 + 140.000x – 130.000 – 20.000x – 70.000x L(x) = - 10.000x2 + 120.000x – 200.000 Resolvendo a equação: - 10.000x2 + 120.000x – 200.000 = 0 (cortando 4 zeros) - x2 + 12x – 20 = 0 , a = -1, b = 12 e c = -20 ∆ = b2 – 4ac ∆ = 122 – 4.(- 1).(- 20) ∆ = 144 – 80 ∆ = 64 𝑥 = −𝑏±√∆ 2𝑎 𝑥 = −12±√64 2.(−1) = −12±8 −2 → 𝑥 = −12+8 −2 = −4 −2 = 2 ou 𝑥 = −12−8 −2 = −20 −2 = 10 Como, pelo enunciado, x está em milhares: x = 2.000 ou x= 10.000, temos que fazer o gráfico da função. O a da função é negativo, a concavidade parábola é voltada para baixo. Como podemos ver pelo gráfico com a venda de x milhares entre 2000 e 10000 o lucro será positivo, acima de 10000 o lucro será negativo. 12. Resposta: CERTO. Mesma equação do exercício anterior, o lucro máximo será alcançado quando forem vendidas xv milhares de unidades. 𝑥𝑣 = −𝑏 2𝑎 = −120.000 2.(−10.000) = −120.000 −20.000 = 6, como x é em milhares, x = 6.000 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 47 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c , para que possamos determinar os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: a > 0 a < 0 Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 𝑥 = −10 ± √16 2.3 → 𝑥 = −10 ± 4 6 → { 𝑥′ = −10 + 4 6 = −6 6 = −1 𝑥′′ = −10 − 6 6 = − 14 6 = − 7 3 Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a mesma. Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a inequação, logo a solução para equação é: S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 48 𝑥 = −(−4) ± √16 2 → 𝑥 = 4 ± 4 2 { 𝑥′ = 4 + 4 2 = 4 𝑥′′ = 4 − 4 2 = 0 Graficamente temos: Observe que ao montarmos no gráfico conseguimos visualizar o intervalo que correspondea solução que procuramos. Logo: S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} Questões 01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: (A) ∅ (B) R (C) { 1 3 } (D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 1 3 } (E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠ 1 3 } 02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: (A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 180 (E) 360 03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) = 1 √9−𝑥2 , é o intervalo: (A) [0; 9] (B) ]0; 3[ (C) ]- 3; 3[ (D) ]- 9; 9[ (E) ]- 9; 0[ Respostas 01. Resposta: C. Resolvendo por Bháskara: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= (−6)2 − 4.9.1 ∆= 36 − 36 = 0 𝑥 = −𝑏±√∆ 2𝑎 𝑥 = −(−6)±√0 2.9 𝑥 = 6±0 18 = 6 18 = 1 3 (delta igual a zero, duas raízes iguais) Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 49 S = { 1 3 } 02. Resposta: E. (x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 7x – x2 – 14 + 2x > 0 - x2 + 9x – 14 > 0 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= 92 − 4. (−1). (−14) ∆= 81 − 56 = 25 𝑥 = −9±√25 2.(−1) 𝑥 = −9±5 −2 𝑥1 = −9+5 −2 = −4 −2 = 2 ou 𝑥2 = −9−5 −2 = −14 −2 = 7 Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 3.4.5.6 = 360 03. Resposta: C. Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. - x2 + 9 >0 As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ INEQUAÇÃO PRODUTO E QUOCIENTE Inequação Produto Chama-se inequação-produto toda inequação do tipo: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 50 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) < 𝟎, 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) ≤ 𝟎, 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) > 𝟎 𝒐𝒖 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) ≥ 𝟎 Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso devemos estudar o sinal de cada função e também do conjunto solução: Exemplos: 1) Resolver a inequação (x + 2). (-2x + 3) ≥0. Método para resolução: 1º) Vamos resolver cada função (encontrar o zero de cada função): f(x) = x + 2 x + 2 = 0 → x = -2 Como o valor de a > 0, logo a função é crescente. g(x) = -2x + 3 -2x + 3 = 0 → -2x = -3 → x = -3 / -2 → x = 3/2 Como o valor de a < 0, logo a função é decrescente. 2º) Colocamos em um chamado quadro de sinais, cada função e resolvemos através do sinal (aplicando a regra do sinais válida para multiplicação e divisão) do produto f(x). g(x), temos: Solução: 𝑺 = {𝒙 ∈ 𝑹| − 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 𝟐 } 2) (2 - x). (-x2 + 6x - 5) ≤ 0 Observar os intervalos, se são aberto (< ou >) / fechados (≤ ou ≥), para que a resolução satisfaça a solução. Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 51 S = {x ϵ R| 1 ≤ x ≤ 2 e x 5} Inequação Quociente Chama-se inequação-quociente toda inequação do tipo: 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) > 𝟎, 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) ≥ 𝟎, 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) < 𝟎 𝒐𝒖 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) ≤ 𝟎 , 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎. A regra de resolução e sinais da inequação produto é a mesma para quociente. Exemplos: 1) 𝟑𝒙 − 𝟒 𝒙−𝟐 > 𝟎 f(x) = 3x - 4 3x – 4 = 0 → 3x = 4 → x = 4/3 Como o valor de a > 0, logo a função é crescente. g(x) = x - 2 x – 2 = 0 → x = 2 Como o valor de a > 0, logo a função é crescente. No quadro de sinais: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 52 2) 𝑥+5 𝑥−2 ≥ 0 f(x) = x + 5 = 0 → x = -5 g(x) = x – 2 = 0 → x = 2 Observe que no 2 a “bolinha fica aberta”, pois se incluirmos o mesmo na resolução teremos g(x) = 0, e como por lei de formação, nosso denominador não pode ser zero. Solução: S= {x ϵ R | x ≤ -5 e x > 2} Questões 01. (PUC – PR) Determine a solução da inequação (x – 2). (– x² + 3x + 10) > 0, em relação ao conjunto dos números reais. 02. (FGV–SP) Determine os valores reais de x para os quais (x² – 8x +12). (x² – 5x) < 0. 03. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) O maior número inteiro que pertence ao conjunto Solução da inequação é: (A) 0 (B) -1 (C) - 3 (D) - 6 (E) - 7 Respostas 01. Resposta: S = {x ϵ R / x < -2 ou 2< x < 5} f(x) = x – 2 f(x) = 0 x – 2 = 0 → x = 2 g(x) = -x2 + 3x + 10 Δ = 49 x' = -2 ou x’’ = 5 Montando o produto teremos: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 53 02. Resposta: S = {x ϵ R /0 < x < 2 ou 5 < x < 6} f(x) = x2 – 8x + 12 Δ = 16 x' = 2 e x’’ = 6 g(x) = x2 – 5x x.(x – 5) = 0 → x’ = 0 e x’’ = 5 Montando o produto temos: 03. Resposta: E. Resolvendo: f(x) = x2 + 9x + 18 → 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 → 𝑥 = −9 ± √92 − 4.1.18 2.1 → −9 ± √81 − 72 2 → −9 ± √9 2 → −9 ± 3 2 𝑥′ = −9 + 3 2 = −6 2 = −3 𝑜𝑢 𝑥′′ = −9− 3 2 = −12 2 = −6 g(x) = -x – 3 → -x – 3 = 0 → -x = 3 .(-1) → x = - 3 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 54 No quadro de sinais: Solução: S = {x ϵ R | x < -6}, então o inteiro maior da resolução é -7, pois -6 não faz parte do intervalo. FUNÇÃO INVERSA A inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela função f. Vejamos a figura abaixo: Observe que: 1 - a função f "leva" o valor - 2 até o valor - 16, enquanto que a inversa f-1, "traz de volta" o valor - 16 até o valor - 2, desfazendo assim o efeito de f sobre - 2. 2 - outra maneira de entender essa ideia é: a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a inversa, f-1, associa o valor -2 ao valor -16. 3 - dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1, invertendo as colunas x e y. 4 - se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f-1 a um número qualquer, obtemos esse número de volta. Definição: Seja uma função bijetora com domínio A e imagem B. A função inversa f-1 é a função , com domínio B e imagem A tal que: f-1(f(a)) = a para a ∈ A e f(f-1(b)) = b para b∈ B Assim, podemos definir a função inversa f-1 por: , para y em B. Exemplo: A ideia de trocar x por y para escrever a função inversa, nos fornece um método para obter o gráfico de f-1 a partir do gráfico de f. Vejamos então como isso é possível...Levando em conta que: Podemos concluir que: Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 55 Propriedade: Os gráficos cartesianos de f e f -1 são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano. Regra prática para determinar a inversa de uma função: - primeiramente temos que toda função ( f(x), g(x), h(x), ....) representa o “y”. Para determinar a inversa temos dois passos: 1° Passo: isolamos o x. 2° passo: trocamos x por y e y por x. Exemplo: Determinar a inversa da função f(x) = 3x + 1, sabendo que é bijetora. Então, temos que: y = 3x + 1 1° passo: y – 1 = 3x → x = y−1 3 (isolamos o x) 2º passo: y = x−1 3 (trocamos x por y e y por x), temos a inversa de f(x) → 𝑓−1(𝑥) = 𝑥−1 3 . Questão 01. (PUC-SP) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretaria de Saúde de um município verificaram que o custo de vacinação de x por cento da população era de, aproximadamente, 𝑦 = 300𝑥 400−𝑥 milhares de reais. Nessa expressão, escrevendo-se x em função de y, obtém-se x igual a: (A) 4 3 (B) 300𝑦 400−𝑦 (C) 300𝑦 400+𝑦 (D) 400𝑦 300−𝑦 (E) 400𝑦 300+𝑦 Apostila gerada especialmente para: Walter Mello Mazzini 054.594.089-38 56 Resposta
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