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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Autor Prof. João Bosco da Costa, M.Sc. MATERIAIS I-1 ___________________________________________________________________ ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. CAPÍTULO I - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS MATERIAIS 1.1 – Aços (Item 8.3.6): O módulo de elasticidade dos aços Es é admitido constante e igual a 210 Gpa. O diagrama tensão-deformação do aço, resistência ao escoamento e à tração, os valores característicos da resistência ao escoamento ykf , da resistência à tração stkf e da deformação na ruptura ukε devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR 6152. O valor de ykf para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 o/oo. Para cálculo nos estados-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama simplificado mostrado na figura 1.1, para os aços com ou sem patamar de escoamento. Figura 1.1 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e pode ser aplicado para tração e compressão. 1.2 – Concreto: a)- Módulo de Elasticidade (Item 8.2.8): O módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial, deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão : ckci fE ⋅= 5600 onde Eci e fck são dados em megapascal (MPa). MATERIAIS I-2 ___________________________________________________________________ ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. O módulo de elasticidade numa idade 7≥j dias pode também ser avaliado através dessa expressão, substituindo-se ckf por ckjf . Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão : cics EE ⋅= 85,0 Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante ( csE ). Na avaliação do comportamento global da estrutura, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial ( ciE ). b)- Resistência de Cálculo do Concreto (Item 12.3.3): No caso específico da resistência de cálculo do concreto ( cdf ), alguns detalhes adicionais são necessários, conforme a seguir descrito: b1)- quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a expressão: c ck cd f f γ= Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito aos 28 dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto; b2)- quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão: c ck c ckj cd fff γβγ ⋅≅= 1 sendo β1 a relação ckckj ff dada por: ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅= t s 281exp1β onde: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI. t é a idade efetiva na análise dos esforços resistentes do concreto, em dias. Essa verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28 dias. MATERIAIS I-3 ___________________________________________________________________ ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em duas datas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de ckjf e ckf adotados no projeto. c)- Diagrama Tensão-Deformação (Item 8.2.9): Para tensões de compressão menores que cf⋅5,0 , pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão constante do item anterior. Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão- deformação idealizado mostrado na figura 1.2. Como o concreto é um material cuja resistência depende de inúmeros fatores que variam como o tempo, Hubert Rüsch, após ensaios realizados com os corpos de prova carregados com diferentes velocidades de carregamento, concluiu que o concreto pode, para fins de dimensionamento, ser admitido com uma resistência de pico igual a )2(*85,0 fc , sondo 85,0 o produto de três fatores: 3mod2mod1mod ** kkk . 1modk - correspondendo ao efeito de ganho de resistência após 28 dias, conhecido como amadurecimento do concreto ( )23,11mod =k . 2modk - que corresponde a perda de resistência do concreto no ensaio de carga mantida ( )72,02mod =k . 3modk - coeficiente que procura corrigir o erro associado ao ensaio de corpos de prova cilíndricos e a real resistência da estrutura 96,03modk . Portanto, como se sabe, este coeficiente, chamado de coeficiente Rüsch, é utilizado multiplicado à tensão de pico do concreto, ou seja, cdf*85,0 . Desta forma, está considerado nos modelos de cálculo o crescimento por amadurecimento e a perda por carga mantida que ocorrerão após o marco dos 28 dias, então, a resistência do concreto para fins de verificação de segurança, deve ser tomada na idade de referência de 28 dias, não cabendo a consideração de ganhos de resistência após esta data, senão aqueles que superem as próprias expectativas da teoria que admite 23% de ganho em aproximadamente dois anos e meio. Figura 1.2 – Diagrama tensão – deformação idealizado do concreto MATERIAIS I-4 ___________________________________________________________________ ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 1.3 – Bibliografia: [ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2004. HIPÓTESES BÁSICAS II-1 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. CAPÍTULO II - HIPÓTESES BÁSICAS (Item 17.2.2): 2.1 - Domínios: Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas: a) as seções transversais se mantêm planas após deformação; b) a deformação das barras aderentes em tração ou compressão, deve ser a mesma do concreto em seu entorno; c) as tensões de tração noconcreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas; d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola retângulo definido no item 1.2.c com tensão de pico igual a 0,85 cdf , com cdf definido conforme item 1.2.b. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura x⋅8,0 (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: - 0,85 cdf no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida; - 0,80 cdf no caso contrário; Figura 2.1 – Distribuição das Tensões no Concreto. As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. e) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão- deformação, com valores de cálculo, definidos nos item1.1. HIPÓTESES BÁSICAS II-2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 2.2. Figura 2.2 – Domínios de Estado Limite Último de uma seção transversal • Deformação plástica excessiva: ¾ Reta a: Tração uniforme; ¾ Domínio 1: Tração não uniforme, sem compressão; ¾ Domínio 2: Flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto ( 00 05,3=cε ) e com máximo alongamento ( 00010 ) permitido na armadura. • Ruptura: ¾ Domínio 3: Flexão simples (seção normalmente armada) ou composta, com simultaneidade de escoamento do aço tracionado e com tensão de ruptura no concreto da região comprimida; ¾ Domínio 4: Flexão simples (seção super-armada) ou composta, sendo que o concreto atinge a tensão de ruptura antes que aço entre em escoamento ( ydsd εε = ); ¾ Domínio 4a: Flexão composta com armaduras comprimidas; ¾ Domínio 5: Compressão não uniforme, sem tensões de tração; ¾ Reta b: Compressão uniforme. HIPÓTESES BÁSICAS II-3 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 2.2 – Bibliografia: [ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2004. [ 2 ] – Santos, Lauro Modesto. Cálculo de Concreto Armado, Vol 1. Editora LMS Ltda. São Paulo, 1983. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 1 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 3- PRESCRIÇÕES DA NBR-6118:2007 PARA DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE PILARES: 3.1 – Dimensões Mínimas de Pilares e Pilares-Parede (Item 13.2.3): A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multiplique as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela 3.1. Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn Menor dimensão da seção do pilar (b) a ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento. 3.2 – Ancoragem ou Comprimento de Transpasse (Item 9.4): a)- Resistência à Tração: A resistência à tração direta pode ser avaliada por meio das seguintes equações: fctm = 0,3 3 2ckf fctk,inf = 0,7 fctm fctk,sup = 1,3 fctm onde: fctm e fck são expressos em megapascais. Sendo fckj ≥ 7MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias. b)- Verificação da Aderência (posições da barra durante a concretagem) : Considera-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes: DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. - Com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; - As barras horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima ou para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em má situação quanto à aderência. c)- Valores das Resistências de Aderência: A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: fbd = η1 η2 η3 fctd sendo: fctd = fctk,inf / γc ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = )50(25,2 )60(4,1 )6025(0,1 1 CAnervuradasbarraspara dentadoCAdentadasbarraspara CAouCAlisasbarraspara η ⎩⎨ ⎧= aderênciamádesituaçõespara aderênciaboadesituaçõespara 7,0 0,1 2η ⎩⎨ ⎧ >)/100 <= mmpara mmpara 32, - (132 320,1 3 φφ φη d)- Comprimento de Ancoragem Longitudinal: Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite Asfyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. O comprimento de ancoragem básico é dado por: bd yd b f f l * 4 φ= DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 3 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: min, , , 1, ** b efs calcs bnecb lA A ll ≥= α sendo: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ = .3gancho do ao normal plano no cobrimento com gancho, com as tracionadbarras para 0,7 gancho, sem barras para 1,0 1 φ α ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ cm l l b b 10 10 3,0 min, φ Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário. Na tabela D.1 do apêndice D, apresenta-se os valores do comprimento de ancoragem básico ( lb ), variando-se a resistência do concreto ( fck ). e)- Ancoragem de estribos: Os ganchos dos estribos podem ser : - semi circulares ou em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5φt, porém não inferior a 5 cm; - em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φt, porém não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos). O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao índice dado na tabela 3.2. Tabela 3.2 - Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos Bitola mm Tipo de aço CA-25 CA-50 CA-60 ≤ 10 3 φt 3 φt 3 φt 10<φ< 20 4 φt 5 φt 6 φt ≥ 20 5 φt 8 φt - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 4 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc.3.3 – Armaduras Longitudinais (Item 18.4.2): a) – Armadura Mínima: A taxa de armadura deve ter o valor mínimo, expresso a seguir: %4.0**15.0min ≥== νρ yd cd c s f f A A sendo: cdc d fA N * =ν ,onde ν é o valor da força normal em termos adimensionais. b) – Armadura Máxima: A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando- se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda, ou seja: %0.8max ≤= c s A Aρ c) – Diâmetro Mínimo e Máximo: 10.0 mm ≤ φl ≤ menor dimensão / 8 d) – Número Mínimo de Barras: - Seções poligonais = 1 barra em cada vértice; - Seções circulares = 6 barras distribuídas ao longo do perímetro. e) – Espaçamentos Entre Barras: O espaçamento livre entre armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos valores: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ )(*2.1 *2 2 min emendasnasinclusive cm e agregado l φ φ O espaçamento máximo entre eixos das barras deve ser: ⎩⎨ ⎧ ∗≤ cm DimensãoMenor e 40 2 max DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 5 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 3.4 – Armaduras Transversais – Estribos (Item 18.4.3): A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. a) – Bitola Mínima: ⎩⎨ ⎧≥ 4/ 0.5 l t mm φφ b) – Espaçamento entre Estribos: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − −≤ )50(*12 )25(*24 ; ;20 CAPara CAPara SeçãodaDimensãoMenor cm S l l φ φ Pode ser adotado o valor φt < φl /4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação: ykl t f s 19000 2 max ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= φ φ onde fyk é dado em MPa Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e torção, esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados para vigas. c) – Proteção Contra Flambagem das Barras: Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20 Фt do canto, se nesse trecho de comprimento 20 Фt não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras, o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 6 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Figura 3.1 – Proteção contra a flambagem das Barras 3.5 – Cobrimento (Item 7.4.7) a)- Agressividade do Ambiente: Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser classificada de acordo com o apresentado na tabela 3.3. Tabela 3.3 - Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental (CAA) Agressividade Risco de deterioração da estrutura I Fraca insignificante II Moderada pequeno III forte grande IV muito forte elevado A agressividade do meio ambiente às estruturas de concreto armado e protendido pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes, conforme estabelece a tabela 3.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 7 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Tabela 3.4- Classes de agressividade ambiental em função das condições de exposição Micro-clima Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral Seco1) UR≤65% Úmido ou ciclos2) de molhagem e secagem Seco3) UR ≤ 65% Úmido ou ciclos4) de molhagem e secagem Rural I I I II Urbana I II I II Marinha II III ----- III Industrial II III II III Especial 5) II III ou IV III III ou IV Respingos de maré ----- ----- ----- IV Submersa ≥ 3m ----- ----- ----- I Solo ----- ----- agressivo I Úmido e agressivo II, III ou IV 1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura. 2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens. 3) Obras em regiões de clima seco, e partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos. 4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 5) Macro clima especial significa ambiente com agressividade bem conhecida, que permite definir a classe de agressividade III ou IV nos ambientes úmidos. Se o ambiente for seco, deve ser considerada classe de agressividade II nos ambientes internos e classe de agressividade III nos externos. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 8 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. b)- Qualidade do concreto e cobrimento: A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na tabela 3.5. Tabela 3.5 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto Concreto Tipo Classe de agressividade (tab 3.3) I II III IV Relação água/aglomerante em massa CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Classe de concreto (NBR 8953) CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 NOTAS : CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado Para garantir um cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (Δc). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais. Nos casos de haver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode-se adotar o valor Δc=5 mm. Em caso contrário, nas obras correntes, seu valor mínimo é de Δc=10 mm. Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimentonominal de uma determinada barra deve sempre ser: cnom ≥ φ �barra cnom ≥ φ �feixe = φn = φ n A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: dmax ≤ 1.2 cnom DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 9 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Tabela 3.6- Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para Δc=10mm 3.6 – Bibliografia: [ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2004. Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental (tab 3.3) I II III IV Cobrimento nominal (mm) Concreto armado Pilares 25 30 40 50 DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 1 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. CAPÍTULO IV – DIMENSIONAMENTO DE PILARES: 4.1- Definição (Item 14.4.1.2) Os pilares são elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão geralmente são preponderantes. 4.2- Efeitos de 2a Ordem: Os efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada. Os efeitos de 2a Ordem podem ser desprezados sempre que não representarem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. Na figura 4.1, o efeito de 2a ordem (Nd * e2) poderá ser desconsiderado se M2d ≤ 0,10 M1d 4.3- Momento Mínimo de 1a Ordem (Item 11.3.3.4.c) O momento total M1d,min de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por: M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente. Md = M1d Md = M1d + M2d Md = Hd * L Md = (Hd * L) + (Nd * e2) Figura 4.1 – Efeitos de 1a e 2a Ordem DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.4- Comprimento de Flambagem (Item 15.6): Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser realizada de acordo com o estabelecido a seguir. O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), deve ser o menor dos valores da figura 4.2: Figura 4.2 – Comprimento de Flambagem onde: l0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h é a altura da seção transversal do pilar, medida na direção considerada; L distância de eixo a eixo do pilar; No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de le = 2L. 4.5 - Raio de Giração: Da resistência dos materiais, o cálculo do raio de giração é dado por: S Ii = a)- Para seções retangulares: Figura 4.3 – Raio de giração para seções retangulares Onde : I = Inércia da seção transversal; S = Área da seção transversal. 1212 3 x x xy x h i hh I =∴= 1212 3 y y yx y h i hh I =∴= ⎩⎨ ⎧ +≤ L hl le 0 DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 3 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. b)- Para seções circulares: Figura 4.4 – Raio de giração para seções circulares 4.6 – Índice de Esbeltez λ e Classificação (Item 15.8.2): O índice de esbeltez é calculado pela expressão que relaciona o comprimento de flambagem com o raio de giração da peça, ou seja : Os pilares se classificam em função do índice de esbeltez: a)- pilares curtos (λ ≤ λ1): Desprezam-se os efeitos de 2a Ordem b)- pilares médios (λ ≤ 90): Os efeitos de 2a Ordem podem ser avaliados por métodos aproximados. c)- pilares esbeltos (λ > 90): Deve-se considerar obrigatoriamente a fluência que deve ser acrescentada aos efeitos de 1a Ordem. Segunda a NBR-6118, “a deformação por fluência do concreto compõe-se de duas partes, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A deformação lenta é por sua vez composta por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversível e a deformação lenta reversível”. 4.7 – Coeficiente αb (Item 15.8.2): O momento máximo em um pilar depende dos valores dos momentos de topo e de base, além da carga axial e da flambagem, Assim, o momento máximo pode não ocorrer nas extremidades. Nestes casos, corrige-se o valor do momento máximo através do coeficiente de uniformidade αb que é calculado para um dos 4 casos abaixo: a)- Para pilares biapoiados sem cargas transversais: Os momentos Mtopo e Mbase são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA (momentos em sentido contrário), e negativo no outro caso (momentos em mesmo sentido). 464 4 DiDI =∴= π i el=λ DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 4 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Momentos Curvatura Curvatura Extremos Simples (MB positivo) Dupla (MB negativo) Figura 4.5 – Momentos e Curvaturas b)- Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura: Figura 4.6 – αb para pilares com cargas transversais c)- Para pilares em balanço: O momento MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço. Figura 4.7 – αb para pilares em balanço d)- Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo estabelecido no item 4.3: MA ≤ M1d,min ⇒ αb = 1,0 40,040,060,0 ≥+= A B b M Mα 85,020,080,0 ≥+= A C b M Mα αb = 1,0 DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 5 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.8 – Dispensada Análise dos Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.2): Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 estabelecido neste item. O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: - a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; - a vinculação dos extremos da coluna isolada; - a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. λ1 pode ser calculado pela expressão: /5,1225 1 1 b he αλ += sendo: 9035 1 b ≤λ≤α 4.9 – Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.3.3.1): O cálculo do momento de 2a ordem pode ser feito por métodos aproximados e ser empregado apenas para pilares com λ ≤ 90, seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: A1d,2dA1d,b tot, M e N M ≥+= αdM e e2 avaliada pela expressão aproximada: sendo: - ν = Nd / (Acfcd) - M1d,A ≥ M1d,min - h é a altura da seção na direção considerada; 4.10 – Dimensionamento à Compressão Centrada: No dimensionamento à compressão centrada admite-se que o encurtamento da ruptura do concreto e do aço seja εc = εs = 2o/oo. hh e ee 005,0* 10)5,0( 005,0* 10 22 2 ll ≤+= ν - αb calculado conforme item anterior; - e1 / h é a excentricidade relativa de 1a ordem; - e1 = MA / Nd ; - h = altura da seção transversal na direção considerada. DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 6 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. a)- Equações de Equilíbrio: Figura 4.8 - Seção Comprimida b)- Pré-Dimensionamento: Uma outra equação pode ser escrita em função da taxa de armadura ρ e da área de concreto da seção, podendo ser utilizada para pré-dimensionar a seção de concreto Ac , ou seja: Nd = (ρ * σsd-0,002 + 0.85 fcd) * AC c)- Valores de σsd-0,002: Os valores das tensões nos aços são determinadas segundo os diagramas tensão-deformação apresentados no capítulo I, para uma deformação εs = 2o/oo e γf = 1,15. Para o aço CA-25, σsd-0,002 = 217,4 Mpa = 2174 Kgf/cm2. Para o aço CA-50, σsd-0,002 = 420 Mpa = 4200 Kgf/cm2. ΣFv = 0 Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc e Rs1 = As1 * σsd-0,002 Rs2 = As2 * σsd-0,002 Rcc = Ac * 0.85 fcd Logo ; Nd = As1*σsd-0,002 + As2*σsd-0,002 + Ac*0.85 fcd Nd = (As1 + As2) * σsd-0,002 + Ac * 0.85 fcd 002,0 , 85,0 − −= sd ccdd TOTALs AfNA σ 002,085,0 −+ = sd d c fcd N A σρ DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 7 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.11 – Processos aproximados para o dimensionamento à flexão composta (Item 17.2.5): 4.11.1- Flexão Normal Composta: O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com armadura simétrica, sujeitas à flexão normal composta, em que a força normal reduzida (ν) seja maior ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de compressão centrada equivalente, onde: sendo: Sendo αs a relação: Valores de α em função αs : •α = -1/αs se αs < 1 em seções retangulares; •α = αs se 1 ≤ αs ≤ 6 em seções retangulares; •α = 6 se αs > 6 em seções retangulares; •α = - 4 em seções circulares. O arranjo de armadura adotado para detalhamento, a armadura superior e inferior são perpendiculares à direção do momento Msd (ver figura 4.9), deve ser fiel aos valores de αS e d’/h pressupostos. Supondo todas as barras iguais, αs é dado por: NN deqd .* , γ= Md,eq = 0 h d ′−+ = 8,0)01,039,0( 1 α β cdc d fA N=ν hN M h e d d= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += h eβγ 1* DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 8 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Figura 4.9 - Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs. 4.11.1.1- Exemplo 1: Pré-Dimensionar a seção do pilar. Supor os momentos de 1a ordem em torno do eixo Y: Figura 4.10 – Seção e Esquema estático a)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem: Nd = γn * γf * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KN M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m MA = Maior valor absoluto = γn * γf * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m MB = Menor valor absoluto = γn * γf * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22 KN*m MA ≥ M1d,min ⇒ OK. b)-Normal Equivalente: Supondo-se α = 6 (maior valor α) e d´= 3,8 cm vem: e1 = MA / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm 56,3 18 8,3*8,0)6*01,039,0( 1 8,0)01,039,0( 1 = −+ =′−+ = h dα β ( ) ( )1 1 − −= v h s n nα Dados: fck = 20 Mpa, Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm Nk = 600 KN = 60 tf hx = 18 cm le = 300 cm Mtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*m Mbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 9 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. A Força normal equivalente para pré-dimensionamento, supondo apenas a excentricidade de 1a ordem, será: 659,1 18 33,356,311 1* =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += h eβγ KNNN deqd 2,1463882*659,1** , === γ c)-Seção Necessária: Adotando-se ρ = 2% - valor intermediário. 2 002 , 712 42* 100 2 4,1 2*85,0 2,1463 **85,0 cm fcd N A sd eqd c = + =+= −σρ hx * hy = 712 cm2 = (18x40) ou (18x45) ⇒ esta seção é apenas indicativa, podendo não ser suficiente no dimensionamento. 4.11.1.2- Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar. Supor os momentos de 1a ordem em torno do eixo Y: Figura 4.11 – Seção e Esquema estático a)- Índices de Esbeltez : 73,57 18 1230012 === x e x h lλ e 09,23 45 1230012 === y e y h lλ b)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem: Nd = γn * γf * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KN M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m MA = Maior valor absoluto = γn * γf * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m MB = Menor valor (positivo, curvatura simples) = γn * γf * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22KN*m MA ≥ M1d,min ⇒ OK. Dados: fck = 20 Mpa, Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm Nk = 600 KN = 60 tf hx = 18 cm hy = 45 cm le = 300 cm Mtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*m Mbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 10 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. c)-Parâmetro αb : 40,040,060,0 ≥+= A B b M Mα αb = 0,90 ≥ 0.4 ⇒ OK. c)-Cálculo de λ1: e1 = MA / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm 35,30 90,0 185,0*5,1225 /5,1225 1 1 =+=+= b he αλ 9035 1 b ≤λ≤α ⇒ λ1 = 38,9 λx = 57,73 > λ1 ⇒ Pilar médio. Considerar efeito de 2a Ordem. d)-Efeito de 2a Ordem: ν = Nd / (Acfcd) = 882 / (18*45*2/1,4) = 0,762 ≥ 0,7 ⇒ OK. e2 = 1,98 cm ≤ 2,5 cm ⇒ OK. A1d,2dA1d,b tot, M e N M ≥+= αdM Md,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m ≥ 29,4 KN*m ⇒ OK. e)-Esforços Equivalentes:Adotando-se a distribuição de armaduras da figura 4.12, vem: Figura 4.12 – Cálculo de αs ∴≤+= hhe ee 005,0* 10)5,0( 005,0* 10 22 2 ll ν 18 005,0* 10 300 )5,0762,0(18 005,0* 10 300 22 2 ≤+=e 10 φ d´ = 3,8 cm ( ) ( ) ( ) ( ) 4412 15 1 1 ==⇒=− −=− −= ααα s v h s n n d´ / hx = 3,8 / 18 = 0,211 DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 11 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 83,3 211,0*8,0)4*01,039,0( 1 8,0)01,039,0( 1 =−+=′−+ = h dα β 277,0 18*882 100*9,43 == hN M h e d d A Força normal equivalente para dimensionamento a compressão centrada será: ( ) 061,2277,0*83,311* =+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += h eβγ KNNN deqd 1818061,2*882** , === γ f)-Dimensionamento à compressão centrada: 42 45*18*4,1/2*85,0181885,0 002,0 −=−= −sd ccdd s AfNA σ As = 19,87 cm2 ⇒ 10 φ 16,0 mm = 20,0 cm2 ⇒ Coerente com a distribuição adotada. ρefetivo = As,efetivo / Ac = 20,0 / ( 18 * 45 ) = 2,47% g)-Disposições construtivas: -Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φl ≤ 18 / 8 * 10 10,0 mm ≤ φl ≤ 22,5 mm ⇒ OK. -Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== νρ yd cd c s f f A A %376,0762,0* 15,1/50 4,1/2*15,0min,min === c s A Aρ ρmin = 0,4% -Armadura Máxima: ρmax ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK. -Bitola do Estribo: ⎩⎨ ⎧ ==≥ mm mm l t 0,44/0,164/ 0,5 φφ ⇒ φt = 5,0 mm -Espaçamentos dos Estribos: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == =≤ cm cmDimensãoMenor cm s l 2,1910/0,16*12*12 18 20 φ ⇒ s = 18,0 cm -Espaçamento Mínimo entre Barras: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == ⇐==≥ cm cm cm e agregado l 8,15,1*2,12,1 2,36,1*22 0,2 min φ φ DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 12 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. -Espaçamento Máximo entre Barras: ⎩⎨ ⎧ ==≤ cm cmDimensãoMenor e 40 3618*2*2 max -Ancoragem: Da tabela D.1 : lb = 44φ = 70,4cm e α1 = 1,0 min, , , 1, ** b efs calcs bnecb lA A ll ≥=α ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥=== cm cml b necb 10 10 3,0 642,64 0,20 24,18*4,70*0,1, φ l -Grampos: 20φt = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar um grampo. h)-Detalhamento: Figura 4.13 – Detalhamento do Pilar. DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 13 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.12 – Dimensionamento à flexão normal composta com o uso dos ábacos de iteração: 4.12.1 – Equações de Equilíbrio: Seja a seção da figura 4.14 solicitada pela ação conjunta dos esforços Md e Nd, resistidos pela área comprimida de concreto e pelas áreas comprimida e tracionada de aço. O equilíbrio de forças será dado por: Figura 4.14 – Seção e Forças Em geral, no dimensionamento, a geometria da seção é previamente estabelecida, ficando como incógnitas as variáveis As1, As2 e y , havendo somente duas equações de equilíbrio. Assim, o problema tem infinitas soluções. Para se ter a solução do problema uma dessas variáveis deve ser necessariamente arbitrada. O assunto foi estudado por diversos autores, dos quais sugere-se Lauro Modesto dos Santos e ou Péricles Brasiliense Fusco. Para o curso em questão, serão adotados os ábacos de interação ou tabelas de dimensionamento, largamente utilizadas. 4.12.2 – Ábacos de Interação: Uma maneira simplificada de se dimensionar seções solicitadas à flexão normal composta e flexão composta oblíqua, é através dos “ábacos de interação força normal – momento fletor”. Os ábacos são as linhas que unem os pares N, M que levam uma peça a um Estado Limite Último para uma dada armadura e seção de concreto. Eles dependem da distribuição da armadura na seção e são traçados, geralmente, em função dos adimensionais: a)- ΣFv = 0 Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc onde: Rs1 = As1 * σsd1 Rs2 = As2 * σsd2 Rcc = bw * y * 0.85 fcd Nd = As1 * σsd1 + As2 * σsd2 + 0.85 fcd * bw * y b)- ΣMA = 0 Nd * h/2 – Md = Rs1 * d´ + Rs2 * d + Rcc * y/2 Nd * h/2 – Md = As1 * σsd1 * d´ + As2 * σsd2 * d + 0,85 * fcd * bw * y * y/2 cdc d fA N * =ν cdc d fhA eN ** *=μ cdc yds fA fA * *=ϖ DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 14 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Figura 4.15 – Ábacos de Interação ν x μ No apêndice B são apresentados ábacos para diversas distribuições de armaduras, como se verá. 4.12.3.1 – Exemplo1: Refazer o pilar do exemplo anterior, onde os valores dos esforços finais eram: Nd = 882 KN Md,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m 762,0 45*18*4,1/2 882 * === ccd d Af Nν 211,0 18*45*18*4,1/2 100*9,43 ** === hAf M ccd dμ 15,0211,0 18 8.3´ ≅== h d (adotado) Do ábaco B-2 (armaduras perpendiculares à direção do momento), obtêm-se: ω = 0,55 264,14 15,1/50 4,1/2*45*18*55,0 * * cm f fAA yd cdc s === ω ⇒ 8φ16.0mm = 16,0 cm2 Valor bem menor que o encontrado no exemplo anterior, quando comparado ao valor encontrado pelo processo simplificado da NBR-6118, onde se encontrou: As,ef = 10φ16.0mm = 20,0 cm² DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 15 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.12.3.2 – Exemplo2 : Dimensionar e detalhar o pilar. Figura 4.16 – Seção e Esquema estático b) – Índices de esbeltez: 64,34 25 12*25012*73,57 60 122*50012* 11 ====== y ye y x xe x h L e h L λλ c) – Parâmetro αb: !85,09,0 2 1*2,08,0;85,0*2,08,0 OK M M bx A C bx ⇒>=+=≥+= αα d) – Cálculo de λ1: médiopilar h e cmm N Me xx x b b x d A x ⇒> =⇒≤≤= = + = + = ==== 1 11 1 1 1 9,38909,3835 5,29 9.0 60 40,7*5,1225*5,1225 4,7074,0 1890 140 λλ λλα αλ Dados: fck = 25 Mpa Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm a)– Esforços: ( ) ( ) ( ) ( ) mKNM M hNM mKNM lHM KNN NN xd xd dxd xd ufxd d kufd .37,62 6,0*03,0015,0*1890 *03,0015,0* .1405*20*0,1*4,1 *** 18901350*0,1*4,1 ** min,,1 min,,1 min,,1 , , = += += == = == = γγ γγ DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 16 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. e) – Efeitos de 2ª ordem: ( ) ( ) ( ) ( ) OKmKNmKNM M MeNMM OKcmcme cme h l h le rsimplificapode Af N totd totd AddAdbtotd x x ee x ccd d ⇒≥= += ≥+= ⇒≤= ≤=+= ≤+= ⇒>=== .140.6,256 0691,0*1890140*9,0 ** !33,892,6 60 005,0* 10 500*292,6 60*5,0706,0 005,0* 10 500*2 005,0* 10*5,0 005,0* 10)(7,0706,0 60*25* 4,1 5,2 1890 * , , ,12,1, 2 22 2 22 2 α ν ν f) – Ábacos: 705,0=ϑ 16,0 60*60*25* 4,1 5,2 100*6,256 ** === hAf Md ccd totμ ( )!10,00633,0 60 8,3' Adotado h d ≅== Do ábaco tem-se: 32,0≅ω 22 24161271,19 15,1/50 4,1/5.2*60*25*32,0 * * cmcm f fAA yd cdc tots =⇒=== φω ρefetivo = As,efetivo / Ac = 24 / ( 25 * 60 ) = 1,6% g) – Para efeito comparativo, resolvendo o exemplo pelo processo simplificado do item anterior, vem: – Esforços Equivalentes: Figura 4.18 – Cálculo de αs 226,0 60*1890 100*60,256 * === hN M h e sd sd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 86,2354,0 1 0633,0*8,01*01,039,0 1 '*8,0*01,039,0 1 1 14 14 1 1 ==−+= −+ = =− −=− −= x x s x v h s h d n n β α β α Armadura simétrica nas quatro faces. Figura 4.17 – Interação no Ábaco DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 17 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. mm AfN A KN h eNN sd ccdeqsd s sdeqd 161289,19 42 60*25* 4,1 5,2*85,03112**85,0 3112)226,0*86,21(*1890*1* , , φσ β ≅= − =−= =+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += Valor muito próximo do obtido no item f) h) –Disposições construtivas: -Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φl ≤ 25 / 8 * 10 10,0 mm ≤ φl ≤ 31,25 mm ⇒ OK. -Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== νρ yd cd c s f f A A %120,0706,0* 15,1/50 4,1/5,2*min,min == c s A Aρ ∴ ρmin = 0,4% ⇒ OK. -Armadura Máxima: ρmax ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK. -Bitola do Estribo: ⎩⎨ ⎧ ==≥ mm mm l t 0,44/0,164/ 0,5 φφ ⇒ φt = 5,0 mm -Espaçamentos dos Estribos: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == =≤ cm cmDimensãoMenor cm s l 2,1910/16*12*12 25 20 φ ⇒ s = 19,20 cm -Espaçamento Mínimo entre Barras: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == ==≥ cm cm cm e agregado l 8,15,1*2,12,1 2,36,1*42 0,2 min φ φ -Espaçamento Máximo entre Barras: ⎩⎨ ⎧ ==≤ cm cmDimensãoMenor e 40 5025*2*2 max -Ancoragem: Da tabela D.1 do apêndice D: φ38=bl e α1 = 1,0 cmlb 8,606,1*38 == min, , , 1, ** b efs calcs bnecb lA A ll ≥=α ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥≅== cm cml b necb 10 10 3,0 5093,49 0,24 71,19*8,60*0,1, φ l -Grampos: 20φt = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar grampos. DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 18 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. i)-Detalhamento: Figura 4.19 – Detalhamento do Pilar Obs: Adotou-se o arranque (ancoragem) do pilar com mesma quantidade e mesma bitola que o pavimento dimensionado. 4.13 – Dimensionamento à flexão composta oblíqua: 4.13.1 – Equações de Equilíbrio: Na flexão composta oblíqüa tem-se momentos nos 2 eixos principais, além da força normal axial, conforme figura abaixo. Figura 4.20 – Seção e excentricidades d xd x N M e = d yd y N M e = DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 19 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Neste caso, a linha neutra não é paralela aos eixos principais x e y, mas inclinada, ou seja: Figura 4.21 – Flexão Composta Oblíqüa As condições de equilíbrio podem ser escritas: ∫∫ ∑+= Acc n sidsicdd AdXdYN 1 σσ ∫∫ ∑+== Acc n isidsicdxdxd XAdXdYXeFM 1 *** σσ ∫∫ ∑+== Acc n isidsicdydyd YAdXdYYeFM 1 *** σσ onde: σsid = tensão em cada barra i que deve ser menor que fyd ; Xi, Yi = coordenadas de cada barra em relação ao centro de gravidade ; Com essas equações pode-se construir ábacos de maneira semelhante aos ábacos de Flexão normal composta. Eles dependem da distribuição da armadura na seção e são traçados, geralmente, em função dos admensionais υ, μx, μy e ω. Para υ constante, traça-se várias curvas de ω. Figura 4.22 – Ábacos υ x μx x μy cdyc yd y fhA eN ** *=μ cdc yds fA fA * *=ϖ cdc d fA N * =ν cdxc xd x fhA eN ** *=μ DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 20 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.13.2.1 – Exemplo 1: Dimensionar o pilar abaixo: Figura 4.23 – Seção e Esforços a)- Excentricidades: cmm N M e d dx x 909,01000 90 ==== e cmm N M e d dy y 5,5055,01000 55 ==== b)- Parâmetros de entrada ábaco B.10 – Armadura igual nas 4 faces: Figura 4.24 – Seção e Esforços do ábaco No ábaco, se μa > μb ⇒ μ1 = μa = 0,15 μ2 = μb = 0,10 Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45 Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375 A área de aço será : 42 4,1/5,2*50*20*375,0 ** * 002 == −sd cd s fba A σω As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm c)-Para armadura perpendicular a altura a, ábaco B.12, vem: Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45 Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375 A área de aço será : 42 4,1/5,2*50*20*375,0 ** * 002 == −sd cd s fba A σω As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm (mesma quantidade do item b) fck = 25 Mpa, Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm, d´/h = 0,10 Nd = 800 KN = 80 tf hx = 50 cm hy = 20 cm Mdx = 90 KN*m = 9,0 tf*m Mdy = 55 KN*m = 5,5 tf*m 45,0 4,1/5,2*50*20 800 ** 10,0 4,1/5,2*20*50 100*90 ** 15,0 4,1/5,2*50*20 100*55 ** 22 22 === === === cd d cd b b cd a a fba N fab M fba M ν μ μ DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 21 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.13.2.2 – Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar P1 para uma carga normal cor respondente a 20 andares mais 7% por conta do peso próprio do pilar. Figura 4.25 – Seção e diagrama de Momento Fletor KN 76 pavimento 1 de normal Carga = 76*0,0776*20Nk += KN 1626,4Nk = a)- Índices de esbeltez: Direção “x” Direção “y” 8,38 25 12*28012 === x e x h lλ 4,19 50 12*28012 === y e y h lλ b)-Esforços: 4,1626*4,1*0,1N*γ*γN kfnd == KN 2277Nd = Direção “x” Direção “y” KNm 13,589,7*1,4M xA,1d, == KNm 11,488,2*1,4M yA,1d, == KNm 13,589,7*1,4M xB,1d, == KNm 11,488,2*1,4M yB,1d, == )h*0,03(0,015*M xxmin,1d, += dN )h*0,03(0,015*M yymin,1d, += dN )25,003,0*015,0(*2277M xmin,1d, += )5,003,0*015,0(*2277M ymin,1d, += KNm 51,23M xmin,1d, = KNm 68,31M ymin,1d, = Dados: fck =30 Mpa, Aço CA-50; Mkx = 9,7 KNm; Mky = 8,2 KNm; Cob. = 2,5 cm; Lex = Ley = 2,8 m. a) - Seção b) – Diagrama de Momento Fletor DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 22 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Logo: KN 2277Nd = xmin,1d,xA,1d,xmin,1d,xA,1d, MMMM Se =⇔< ymin,1d,yA,1d,ymin,1d,yA,1d, MMMM Se =⇔< KNm 51,23MM xmin,1d,xA,1d, == KNm 68,31MM ymin,1d,yA,1d, == c)-Cálculo de bα : Para pilares bi-apoiados com momentos menores que o mínimo: 1,0αadotar MM bxxmin,1d,xA,1d, =⇒≤ 1,0αadotar MM byymin,1d,yA,1d, =⇒≤ 1,0α bx = 1,0α by = d)-Cálculo de 1λ : Direção “x” Direção “y” 2277 100*23,51 N M e d xA,1d, 1x == 2277 100*31,68 N M e d yA,1d, 1y == cm 2,25e1x = cm 3,0e1y = cm 25,0h x = cm 50,0h y = 1,0 25 25,2*12,525 α *12,525 λ bx 1 1x + = + = x x h e 1 50 0,3*12,525 α *12,525 λ by 1 1y + = + = y y h e 26,12λ1x = 75,25λ1y = 9012,26 1 3590λ α 35 1x bx ≤≤⇔≤≤ 9075,25 1 3590λ α 35 1y by ≤≤⇔≤≤ 35λ1x = 35λ1y = ordem! 2 de Efeitos λ 1x °⇒> xλ ordem! 2 de efeitosDesprezar λ 1y °⇒≥ yλ e)-Efeitos de 2º ordem (apenas na direção “x”): 85,0 50*25*4,1/0,3 2277 A*f N ccd d ===ϑ cm 1,16 0,5)(0,85*25 0,005* 10 280 0,5)(*h 0,005* 10 Lexe 2 x 2 2x =+=+= ϑ A1d,2dxA,1d,b,totald, Me*NM*αM ≥+= xx 23,510116,0*227723,51*0,1M ,totald, >+= x 51,2377,64M ,totald, >= x ∴ KNm 77,64M ,totald, = x DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 23 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. f)-Parâmetros para entrada de dados no ábaco: 4,1/0,3*25*)50*25( 100*64,77 **x == cdxc dx fhA Mμ ( ) 4,1/0,3*50*50*25 100*31,68 **y == cdyc dy fhA Mμ 116,0ax == μμ 05,0by == μμ 1ª Solução – Armaduras iguais nas 4 faces (Ábaco B.10, Apêndice B): 2ª Solução – Armaduras nas 2 faces maiores (Ábaco B.12, Apêndice B): 0,16 25 4 b d' δa === e 0,0850 4 a d' δb === 85,0 50*25*4,1/0,3 2277 A*f N ccd d ===ϑ 35,0 5,0 85,000,1 3,05,0 8,00,1 5,00,1 3,08,0 21 =⇒− −=− −⇒⎭⎬ ⎫ =⇒= =⇒= ==⇒> ωωωϑ ωϑ μμμμμμ baba e 40,0 55,0 85,000,1 35,055,0 8,00,1 55,00,1 35,08,0 21 =⇒− −=− −⇒⎭⎬ ⎫ =⇒= =⇒= ==⇒> ωωωϑ ωϑ μμμμμμ baba e Figura 4.26 - Geometria Figura 4.27 - Detalhamento Figura 4.28 - Geometria Figura 4.29 - Detalhamento ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = ←== == 2 2 2 , 002,0 , 2,250.208 240.1612 3,22 42 4,13*50*25*35,0 * cm cm cmA fAA tots sd cdc tots φ φ σω ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = == == 2 2 2 , 002,0 , 2,250.208 280.1614 5,25 42 4,13*50*25*40,0 * cm cm cmA fAA tots sd cdc tots φ φ σω DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 24 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 3ª Solução – Armaduras 3 vezes maior nas faces maiores (Ábaco B.14, Apêndice B): Obs: O detalhamento adotado foi o referente ao ábaco B.10, com 0.1612φ . g)-Disposições construtivas: -Bitola Longitudinal: 8 dimensãoMenor mm 10,0 l ≤≤ φ OK. 8 250mm 10,0 l ⇒≤≤ φ -Armadura Mínima: 0,4%* f f *0,15ρ yd cd min ≥= ϑ OK⇒≥== 0,4%%63,085,0* 15,1/50 4,1/0,3*0,15ρmin -Armadura Máxima: OK. )! trespasseno (Inclusive %8ρmax ⇒≤ -Armadura efetiva: ( )25*50 00,24 ρ ,ef == c efs A A OK. %84,392,1*2ρ :arranque No %92,1ρ efef ⇒==→= -Bitola do Estribo: ⎩⎨ ⎧ == ⇐≥ mm4,04/16,04/ mm5,0 l t φφ -Espaçamento dos estribos: cm 19,0s cm19,21,6*12*12 cm25DimensãoMenor cm20 s l =⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == =≤ φ -Espaçamento mínimo entre barras: ⇐ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == ==≥ cm1,81,5*1,2*1,2 cm3,21,6*2*2 cm2,0 e agregado lmin φ φ -Espaçamento Máximo entre barras: ⎩⎨ ⎧ ⇐ ==≤ cm 40 cm 5025*2DimensãoMenor*2 emax -Grampos: cm 100,5*2020 t ==φ Figura 4.30 - Geometria Figura 4.31 - Detalhamento 40,0 55,0 85,000,1 35,055,0 8,00,1 55,00,1 35,08,0 21 =⇒− −=− −⇒⎭⎬ ⎫ =⇒= =⇒= ==⇒> ωωωϑ ωϑ μμμμμμ baba e { 22, 002,0 , 54,245.112205,25 42 4,13*50*25*40,0* cmcmA fAA tots sd cdc tots == == φ σω DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 25 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. -Ancoragem: Da tabela D.1 : lb = 34 φ = 54,4 cm e α1 = 1,0 minb, efs, calcs, b1necb, lA A *l*αl ≥= cm5059,05 24,00 22,32*54,4*1,0l necb, === ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == ≥ cm10 cm 16,01,6*10*10 cm 16,3254,4*0,3l*0,3 b φ h)-Detalhamento final: Figura 4.32 – Detalhamento do Pilar. DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 26 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 4.14 – Bibliografia: [ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2007. [ 2 ] – Guimarães, Gilson Natal. Apostila de Estruturas de Concreto Armado. Universidade Federal de Goiás, 2003. [ 3 ] – SANTOS, Lauro Modesto dos. Cálculo de Concreto Armado. Vol. 2, Editora LMS Ltda. São Paulo,1981. [ 4 ] – FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto; solicitações normais; estados limites últimos. Editora Guanabara Dois. Rio de Janeiro, 1986. [ 5 ] – Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado. USP. São Paulo, 2001. 1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm² 1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m 1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m² 1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³ 1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm² TORÇÃO _ ______ V - 1 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 5 - TORÇÃO 5.1 – Torção Pura (Item 17.5.1): As condições fixadas pela NBR-6118-2004 pressupõemum modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°. 5.1.1 – Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade (Item 17.5.1.1): Figura 5.1 – Torção de Equilíbrio Já para a grelha duplamente simétrica da figura 5.2, apresentam-se os diagramas solicitantes (fletor e torçor) traçados para duas situações de inércia (elevada e tão pequena que se admite nula) à torção das barras biengastadas, e uma rigidez a flexão constante. Figura 5.2 – Torção de Compatibilidade 5.1.2 – Armadura Mínima (Item 17.5.1.1): Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, Para a grelha da figura 5.1, isostática, seja quais forem as inércias à flexão e torção de suas barras, atuará o momento torçor Td = Pd * a, sendo obrigatória a sua consideração no dimensionamento. Trata- se, portanto, de torção de equilíbrio. TORÇÃO _ ______ V - 2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. calculada de acordo com as prescrições desta seção e com taxa geométrica mínima dada pela expressão: Quando a torção não for necessária ao equilíbrio, caso da torção de compatibilidade é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica deve-se respeitar a armadura mínima de torção e a força cortante limitada, tal que: Vd ≤ 0,7 VRd2. 5.1.3 – Seção Vazada Equivalente (Item 17.5.1.3.1): No caso de torção, trabalha-se com seções como se fossem vazadas, desprezando-se a função resistente de seu núcleo. Isto se deve ao fato teórico de o maior percentual da torção ser combatido e absorvido na periferia da seção e além disto, a armação de combate à torção ser disposta na periferia da seção. A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por: he ≤ A/μ he ≥ 2 c1 onde: A é a área da seção cheia; μ é o perímetro da seção cheia; c1 é a distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. A figura 5.3 ilustra a seção vazada de área Ae e de perímetro u. Figura 5.3 – Seção Ideal Equivalente ywk ctm w sw sws f f sb A 2,0≥== ρρ l TORÇÃO _ ______ V - 3 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 5.1.4 – Verificação da Compressão Diagonal do Concreto (Item 17.5.1.4): A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por: Td ≤ TRd2 TRd2 = 0,50 av fcd Ae he sen 2 θ sendo: av = 1 - fck / 250, com fck em megapascal. onde: θ é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°; Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada; he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. 5.1.5 – Dimensionamento das armaduras (Item 17.5.1.5): Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, quando: a)- a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural atende à expressão: θgfA Td s A ywde s cot***2 90, = onde: fywd é a resistência de cálculo do aço, limitada a 435 MPa. b)- a resistência decorrente das armaduras longitudinais atende à expressão: θtgfA Td u A ywde sl ***2 = onde: Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais; u é o perímetro de Ae. A armadura longitudinal de torção de área total Asl pode ter arranjo distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação ∆Asl /∆u, onde ∆u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆Asl. Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal. 5.1.6 – Disposições Construtivas das Armaduras de Torção (Item 18.3.4): Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. TORÇÃO _ ______ V - 4 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 5.1.6.1 – Estribos: Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º. a)- Bitolas dos Estribos: φt ≥ 5,0 mm φt ≥ 4,2 mm ( para tela soldada ) φt ≤ bw / 10 φt ≤ 12 mm ( barra lisa ) b)- Espaçamento Mínimo entre Estribos: smin ≥ passagem do vibrador c)- Espaçamento Máximo entre Estribos: Se 267,0 Rdd VV ≤ , então cmdsmáx 306,0 ≤= ; Se 267,0 Rdd VV > , então cmdsmáx 203,0 ≤= . entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos: Se 220,0 Rdd VV ≤ , então cmds máxt 80, ≤= ; Se 220,0 Rdd VV > , então cmds máxt 356,0, ≤= . 5.1.6.1 – Armadura Longitudinal: a)- Bitola Mínima: φl ≥ φt. b)- Número Mínimo de Barras: As seções poligonais devem conter, em cada vértice dos estribos de torção, pelo menos uma barra. c)- Espaçamentos entre Barras Longitudinais: As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35cm. d)- Armadura de Pele: A mínima armadura lateral deve ser almacA ,%10,0 em cada face da alma da viga e composta por barras de alta aderência ( )25,21 ≥η com espaçamento não maior que d/3 e 20 cm. Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm pode ser dispensada a utilização da armadura de pele. TORÇÃO _ ______ V - 5 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 5.1.7 – Exemplo: Dimensionar e detalhar a armação de combate ao momento torçor cujo valor de cálculo é de Td = 170 KN * m, para uma seção retangular de bw = 60 cm e h = 80 cm, com concreto fck = 25 MPa, Aço CA 50 e CA 60 e cobrimento lateral de 2,5 cm. a)- Seção Ideal Equivalente: A área e o perímetro da seção cheia será: A = bw * h = 60 * 80 = 4800 cm2 μ = 2 * ( bw + h ) = 2 * ( 60 + 80 ) = 280 cm Adotando-se, inicialmente, Φl = 10,0 mm e Φt = 8,0 mm, vem: c1 = cobrimento + Φl / 2 + Φt = 2,5 + 0,8 + 0,5 = 3,8 cm A espessura fictícia da parede é adotada igual a: he = A / μ ≤ 4800 / 280= 17,14 cm he ≥ 2 * c1 ⇒ OK. A área e o perímetro da seção equivalente: bs = bw – he = 60 – 17,14 = 42,86 cm hs = h – he = 80 – 17,14 = 62,86 cm Ae = bs * hs = 42,86 * 62,86 = 2694,18 cm2 u = 2 * ( bs + hs ) = 2 * ( 42,86 + 62,86 ) = 211,44 cm b)- Verificação do Concreto: Adotando-se θ = 45˚, vem: αv = 1 - fck / 250 = 1 – 25 / 250 = 0,9 TRd2 = 0,50 av fcd Ae he sen 2 θ = 0,50 * 0,9 * 2,5 / 1,4 * 2694,18 * 17,14 * sen 90˚ TRd2 = 371 KN * m TRd2 ≥ Td ⇒ OK. c)- Dimensionamento dos Estribos: o45cot15,1/50*18,2694*2 100*170 cot***2 90, ggfA Td s A ywde s == θ === mcmcmcm s As /25,7/0725,0 2290, φ 10,0 c/11 = 7,27 cm2/m d)- Dimensionamento da Armadura Longitudinal: o45*15,1/50*18,2694*2 100*170 ***2 tgtgfA Td u A ywde sl == θ TORÇÃO _ ______ V - 6 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. cmcm u Asl /0725,0 2= Asl = 0,0725 * 211,44 = 15,34 cm2 ⇒ 14 φ 12,5 = 17,5 cm2 e)- Disposições Construtivas: φt ≥ 5,0 mm φt ≤ bw / 10 = 60 /10 = 60,0 mm φl ≥ φt. Número Mínimo de Barras: 4 barras. Espaçamentos entre Barras Longitudinais ≤ 35 cm. Armadura de Pele: As,Face = 0,10% Ac,Alma para face > 60 cm. As,Face = 0,10 / 100 * 60 * 80 = 4,8 cm2 ⎩⎨ ⎧ ==≤ cm cmd elong 20 3,253/763/ f)- Detalhamento da Seção: Figura 5.4 – Detalhamento da Seção TORÇÃO _ ______ V - 7 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 5.2 – Torção Combinada com Flexão (Item 17.7): 5.2.1- Dimensionamento: Nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, somando-se os resultados. 5.2.2- Verificação do Concreto: Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto θ �coincidentes para os dois esforços. A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à expressão: 1 22 ≤+ Rd d Rd d T T V V onde : Vd e Td são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção; TRd2 é calculado conforme item 5.1.4; VRd2 = 0,27 αv fcd bw d ( para θ = 45° ) sendo: αv = 1 - fck/250 e fck em megapascal. 5.2.3- Exemplo: Refazer o exemplo anterior, supondo-se que, além da atuação de Td = 170 KN * m, ocorra um esforço cortante Vd = 580 KN (valor máximo) e do momento fletor Md = 660 KN * m, comprimindo as fibras superiores. Adotando-se d = 80 – 4 = 76 cm, vem: a)- Verificação do Concreto: αv = 1 - fck/250 = 1 – 25/250 = 0,9 VRd2 = 0,27 αv fcd bw d = 0,27 * 0,9 * 2,5/1,4 * 60 * 76 = 1978,7 KN 1 22 ≤+ Rd d Rd d T T V V ⇒ 175,0 371 170 7,1978 580 ≤=+ ⇒ OK b)- Dimensionamento da armadura de flexão: 25,5 66000 76*60* 22 === d w c M dbK ⇒ tabela A.3 ⇒ Ks= 0,025 27,21 76 66000*025,0* cm d M KA dss === A armadura mínima longitudinal para vigas retangulares é dada por: Da tabela A.4, tem-se ρmin = 0,15% e, TORÇÃO _ ______ V - 8 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. AS,Min = ρmin * Ac = 0,0015 * 60 * 80 = 7,2 cm2 ⇒ OK. Para vigas com h ≥ 60 cm a armadura de pele deve ser no mínimo igual a 0,10% Ac,Alma em cada face, ou seja : As,Alma = 0,0010*60*80 = 4,8cm2, satisfeita para menor face com 4φ12,5 = 5,0 cm2. c)- Dimensionamento dos estribos de flexão: MPafckfctm 56,225*3,0*3,0 3 23 2 === fctk,inf = 0,7 * fctm = 1,79 Mpa fctd = fctk,inf / γc = 1,79 / 1,4 = 1,28 Mpa Adotando-se °= 90α (estribo vertical) Vc = Vc0 = 0,6 * fctd * bw * d = 0,6 * 0,128 * 60 * 76 = 350,21 KN cmcm senfd VV s A ywd cdsw /0773,0 15,1/50*76*9,0 )21,350580( )cos(***9,0 )( 2=−=+ −= αα com MPaf ywd 435≤ mcm s Asw /73,7 2= A armadura mínima devida a força cortante é dada por: ywk wctmsw f bf s A **2,0min, ≥ mcmcmcm s Asw /14,6/0614,0 500 60*56,2*2,0 22min, === ⇒ OK TORÇÃO _ ______ V - 9 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. d)- Armaduras Longitudinais Finais: Somam-se as armaduras correspondentes, ou seja: Torção = 4 φ 12,5 = 5,0 cm2 (na região da tração da flexão) Flexão = 21,7 cm2 Total = 26,5 cm2 ⇒ Tabela A.1 ⇒ 9 φ 20,0 mm = 28,35 cm2 Figura 5.5 – Armação para combate de Torção + Flexão e)- Armaduras Transversais Finais (estribos): Armadura devida à Torção que deve ser resistida por cada perna de estribo. mcmcmcm s As /25,7/0725,0 2290, == Armadura devido ao cortante que deve ser dividida pelo número de pernas dos estribos: mcm s Asw /73,7 2= Adotando-se um estribo interno de combate ao cortante - φ 8,0 c/15, obtém-se para as duas pernas, área de 2 x 3,33 cm2/m = 6,66 cm2/m. Resta ainda uma área de (7,73 – 6,66 ) / 2 = 0,535 cm2/m a ser acrescido a um estribo externo. Assim, a área do estribo externo será 7,25 cm2/m (devido a torção) + 0,535 cm2/m (restante do cortante), ou seja, 7,8 cm2/m que resulta no estribo - φ 10,0 c/ 10 = 8 cm2/m. O espaçamento máximo admitido para Vd > 0,67 VRd2 é de 0,3 * d = 0,3 * 76 = 22,8 cm e menor que 20cm, plenamente satisfeito. TORÇÃO _ ______ V - 10 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Figura 5.6 – Armação para combate de Torção + Cortante f)- Detalhamento Final: Figura 5.7 – Detalhamento Final TORÇÃO _ ______ V - 11 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 5.3 – Bibliografia: [ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2007. [ 2 ] – Süssekind, José Carlos. Curso de Concreto, Vol. II. Editora Globo. Rio de Janeiro, 1984. 1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm² 1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m 1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m² 1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³ 1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm² ESCADAS _ VI - 1 ___________________________________________________________________ ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. Versão 2016_1 6. ESCADAS 6.1 – Limitações Geométricas: A figura 6.1 indica o corte e a planta genéricos de uma escada composta de dois patamares e um lance de escada. São feitas
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