Livro de Estruturas de Concreto Armado I

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ESTRUTURAS DE 
CONCRETO ARMADO I
PROF. GUILHERME PEROSSO ALVES
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emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO I
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
07
12
18
26
31
38
44
49
54
59
64
68
73
82
89
PRINCÍPIOS E FUNCIONAMENTO DO CONCRETO 
ARMADO
AÇÕES E COMBINAÇÃO DE AÇÕES EM ESTRUTURAS 
DE CONCRETO ARMADO
A CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
LAJES MACIÇAS
DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS
ESFORÇOS DE FLEXÃO
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM VIGAS COM 
SEÇÃO RETANGULAR
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO PARA LAJES DE 
SEÇÃO RETANGULAR
DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO SIMPLES
PRÁTICA DE DIMENSIONAMENTO
ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGAS DE SEÇÃO 
RETANGULAR (ARMADURA DUPLA)
DETALHAMENTO DE ARMADURA E VIGAS T
LAJES TRELIÇADAS
COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
SUBMETIDAS A TENSÃO DE CISALHAMENTO
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AULA 16
AULA 17
93
101
DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À 
FORÇA CORTANTE
DIMENSIONAMENTO DE PILARES
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INTRODUÇÃO
O concreto é um compósito, isto é, um material constituído por mais de uma fase, 
geralmente por cimento, água, agregado miúdo (areia) e agregado graúdo (pedra ou brita), 
sendo também comumente chamado de concreto simples.
O concreto simples pode ainda considerar a incorporação de outros materiais como adições 
minerais (fillers, pozolanas e materiais carbonáticos) e aditivos químicos cuja finalidade é 
melhorar ou alterar as propriedades da pasta de cimento, tornando-a mais plástica, menos 
porosa ou ainda modificando o seu tempo de endurecimento (tempo de pega do concreto). 
A obtenção de um concreto simples com propriedades interessantes, tanto em estado fresco 
quanto em estado endurecido resulta do cuidado no proporcionamento dos seus constituintes, 
assim como do seu processo executivo. 
Tais propriedades mecânicas do concreto simples são geralmente expressas em termos de 
resistência mecânica e nesse sentido, o concreto apresenta valores adequados de resistência 
aos esforços de compressão, porém quanto à resistência aos esforços de tração, o concreto 
é um material deficiente. Costuma-se adotar que um concreto simples possua 10% da 
resistência à compressão na tração. Para contornar este problema, o aço estrutural, que 
apresenta boa resistência nos dois tipos de esforços, é incorporado à massa de concreto 
fresco e o material resultante leva o nome de concreto armado.
A união do aço com o concreto simples tem como finalidade explorar o melhor de ambos 
os materiais, dotando o elemento constituído por essa junção de maior resistência tanto 
na tração quanto na compressão, além de ampliar a ductilidade do sistema, isto é, a sua 
capacidade de deformar-se sem romper.
O trabalho de um engenheiro civil ao projetar e executar um elemento de concreto armado 
é de calcular a quantidade de barras de aço necessárias, bem como programar a sua posição 
prévia dentro do molde a fim de que esta peça mantenha-se sólida e dentro de valores 
admitidos por norma de comportamento, garantindo assim a segurança e o conforto do 
usuário.
Neste material nós trataremos das etapas necessárias para alcançar este objetivo, desde 
a manipulação dos constituintes de um concreto simples até o cálculo das armaduras para 
resistir aos diferentes esforços que incidem nas peças. O objetivo é entender a dinâmica do 
dimensionamento estrutural em peças de concreto armado, com base na estimação dos 
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esforços e do pré-dimensionamento a fim de antever o seu comportamento mecânico. Para 
que isso seja possível procure seguir o roteiro recomendado neste material.
Boa aula.
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AULA 1
PRINCÍPIOS E FUNCIONAMENTO 
DO CONCRETO ARMADO
1.1 Porquê estudar os princípios e funcionamento do concreto 
armado?
O concreto simples tem historicamente se consagrado como um material de destaque 
na indústria da construção civil devido a sua habilidade de adaptar-se aos mais diversos 
formatos e dimensões, capacidade de vencimento de vãos consideráveis quando combinado 
com outros materiais e de elevada resistência. Tais habilidades resultam da sua versatilidade 
em incorporar diferentes materiais aglomerantes, agregados de tamanhos e composições 
químicas diversas, aditivos químicos, adições minerais e até mesmos resíduos de outros 
processos industriais.
Essa variedade de possibilidades de engenharia introduz também uma preocupação 
cada vez mais crescente no meio técnico: como qualificar e quantificar o desempenho 
e a durabilidade das estruturas. Dependendo das condições à que o concreto é exposto, 
diversos agentes deteriorantes podem produzir respostas adversas no seu comportamento e, 
consequentemente, levar a uma redução da sua vida útil. Nesse sentido, o dimensionamento 
e detalhamento dos elementos estruturais devem englobar todos os conhecimentos do 
material que se inicia pela caracterização dos seus constituintes.
1.2 Constituição do concreto simples
O concreto simples pode ser entendido como um material compósito essencialmente 
formado por um ou mais aglomerantes e agregados. O aglomerante, em geral o cimento 
Portland, é a fase do material com a capacidade de envolver e aglutinar as partículas dispersas 
de agregados (areia e brita). A mistura desses constituintes em proporção controlada é 
conhecida como traço, que quando endurecido adquire coesão e resistência (MEHTA; 
MONTEIRO, 2014).
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O cimento Portland é um aglomerante hidráulico, ou seja, um material constituído por um 
pó fino que endurece quando em contato com a água e que depois de endurecido não se 
decompõe. O principal componente formador do cimento Portland é o clínquer, um material 
obtido da mistura de calcário e argila, com eventuais corretivos. Essa mistura é submetida 
à temperatura de 1.450 ºC em um forno rotativo, resfriada e posteriormente misturada com 
cerca de 3% a 5 % de sulfato de cálcio para controlar o seu enrijecimento (tempo de pega).
Quando outros minerais (adições) são adicionados ao clínquer puro algumas das suas 
propriedades são alteradas, dando origem aos chamados cimentos portland compostos 
(CINCOTTO, 2011; BATTAGIN, 2011). As principais adições são filler calcário, a escória de 
alto-forno, pozolanas e materiais carbonáticos. 
Os cimentos portland comerciais brasileiros diferem em composição e são chamados de 
cimento comum, os compostos, o de alto-forno, o pozolânico e de alta resistência inicial. As 
constituições desses cimentos podem ser visualizadas na Tabela 1.
 
Designação 
normatizada
Sigla Classe de 
resistência
Sufixo Clínquer 
+ sulfatos 
de cálcio
Escório de 
alto-forno
Pozolana Material 
carbonático
Cimento Portland 
comum
CPI 25, 32 OU 
40 MPa
RS ou 
BC
95-100 0-5
Cimento Portland 
composto comescório de alto-forno
CPII-E 51-94 6-34 0 0-15
Cimento Portland 
composto com 
material pozolânico
CPII-Z 71-94 0 6-14 0-15
Cimento Portland 
composto com 
material carbonático
CPII-F 75-89 0 0 11-25
Cimento Portland de 
alto-forno
CPIII 25-65 35-75 0 0-10
Cimento Portland 
pozolânico
CPII-Z 45-850 0 15-50 0-10
Cimento Portland 
de alta Resistência 
inicial
CPV ARI 90-100 0 0 0-10
Tabela 1 – Composição dos cimentos portland comerciais do Brasil. Fonte: Adaptado de NBR 16697 (2018, p. 20)
 
Os cimentos portland compostos são os mais empregados na construção civil, sendo que 
o tipo de adição varia de região para região do Brasil. Para estruturas de concreto armado, 
o CPV-ARI acaba sendo mais utilizado em razão da maior velocidade de endurecimento e 
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ganho de resistência, encurtando o tempo entre operações executivas de forma e desforma 
dos elementos estruturais.
Quanto aos agregados, estes ocupam cerca de 70% do volume do concreto e são os 
materiais de menor custo da mistura. Dependendo das suas dimensões características (φ), 
os agregados podem ser categorizados em miúdos e graúdos, conforme a NBR 7211 (2005):
• agregados miúdos: 0,075mm < φ < 4,75mm.
• agregados graúdos: φ ≥ 4,75mm.
Comercialmente é comum encontrar as britas com a seguinte numeração e dimensão 
máxima:
• brita 0 – 9,5 mm (pedrisco);
• brita 1 – 19 mm;
• brita 2 – 38 mm.
 
Isto acontece na prática
Ao escolher um determinado agregado para compor um concreto, parte-se sempre 
do entendimento de que este deve ser potencialmente inerte. Assim, o fornecedor do 
agregado deve se certificar de que as partículas de agregado não reajam quimicamente 
com as fases do clínquer por meio de ensaios padronizados de laboratório, Quando 
esse controle não é feito, corre-se o risco de haver reação entre as fases do concreto, 
o que pode provocar o surgimento de graves processos deteriorantes com expansões 
anormais no interior dos concretos e posterior fissuração do material, essa reação 
indesejada é conhecida como reação álcali-agregado (RAA).
A RAA é uma reação espontânea em que os produtos formados são mais estáveis 
que os reagentes, o que significa que, uma vez que esse processo for iniciado, não há 
como solucioná-lo, a não ser pela substituição total da peça. Além disso, a incidência 
da RAA é mais frequente em obras de barragens, obras portuárias, blocos de fundação, 
pontes e túneis (VALDUGA, 2002).
 
Saiba mais acessando o material a seguir:
http://repositorio.unicamp.br/handle/REPOSIP/258500
Fonte: Valduga (2002)
Os agregados também podem ser diferenciados entre si de acordo com a sua origem em 
naturais e artificiais. Alguns exemplos destes agregados podem ser visualizados na Figura 1.
http://repositorio.unicamp.br/handle/REPOSIP/258500
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(a) agregado natural de rio (cascalho, seixo e areia) (b) agregado artificial proveniente de britagem
Figura 1 – Exemplos de agregados naturais e artificiais. Fonte: (a) https://www.istockphoto.com/br/foto/cascalho-seixo-areia-gm973008822-264804336 e (b) https://www.
istockphoto.com/br/foto/pur%C3%AA-de-pedras-gm611300438-105167781?utm_campaign=srp_photos_noresults&utm_content=https%3A%2F%2Fwww.pexels.com%2Fpt-
br%2Fprocurar%2Fbrita%2F&utm_medium=affiliate&utm_source=pexels&utm_term=brita
Os agregados naturais são as areias lavadas de rios e pedregulho e os artificiais são 
aqueles que resultam de algum processo de britagem e trituração, como as britas. 
 
1.3 Vantagens e desvantagens do concreto armado
O concreto simples apresenta elevada resistência à compressão, contudo, devido à 
fragilidade características dos materiais cerâmicos e sua baixa resistência à tração é usual 
combiná-lo ao aço estrutural que responde bem tanto à compressão quanto à tração. 
O concreto armado (concreto simples + aço) combina as qualidades dos dois materiais, 
permitindo a construção de elementos com as mais variadas formas e volumes, com relativa 
rapidez e facilidade, para os mais variados tipos de construção.
Anote isso
Apesar de possuir baixa resistência aos esforços de tração (fct) é possível caracterizar 
essa propriedade do concreto simples. Geralmente obtém-se uma resistência média 
do concreto à tração (fctm) por média aritmética dos resultados individuais e admite-se 
como resistência de projeto, também chamada de resistência característica à tração 
(fctk ou ftk) com confiança estatística de 95%, isto é, com a probabilidade de apenas 5% 
dos valores não serem alcançados pelos resultados de um mesmo lote de concreto 
ensaiado. No Brasil três normalizados são utilizados para a aferição desta propriedade: 
tração direta, compressão diametral e tração na flexão.
Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003, p. 13).
Disponível em: http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_
Libanio.pdf
https://www.istockphoto.com/br/foto/cascalho-seixo-areia-gm973008822-264804336
https://www.istockphoto.com/br/foto/pur%C3%AA-de-pedras-gm611300438-105167781?utm_campaign=srp_photos_noresults&utm_content=https%3A%2F%2Fwww.pexels.com%2Fpt-br%2Fprocurar%2Fbrita%2F&utm_medium=affiliate&utm_source=pexels&utm_term=brita
https://www.istockphoto.com/br/foto/pur%C3%AA-de-pedras-gm611300438-105167781?utm_campaign=srp_photos_noresults&utm_content=https%3A%2F%2Fwww.pexels.com%2Fpt-br%2Fprocurar%2Fbrita%2F&utm_medium=affiliate&utm_source=pexels&utm_term=brita
https://www.istockphoto.com/br/foto/pur%C3%AA-de-pedras-gm611300438-105167781?utm_campaign=srp_photos_noresults&utm_content=https%3A%2F%2Fwww.pexels.com%2Fpt-br%2Fprocurar%2Fbrita%2F&utm_medium=affiliate&utm_source=pexels&utm_term=brita
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
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As vantagens do concreto armado foram discutidas por Pinheiro, Muzardo e Santos (2003), 
das quais podem ser elencadas:
• moldabilidade;
• boa resistência mecânica a diversos tipos de solicitação, quando corretamente 
dimensionada;
• monolitismo;
• não necessita de mão de obra muito especializada;
• etapas executivas amplamente conhecidas;
• proteção química e mecânica das barras de aço, prevenindo a oxidação.
O mesmo autor elenca algumas restrições do concreto armado, conforme a seguir:
• baixa resistência à tração;
• possibilidade de ruptura frágil;
• inabilidade de restringir fissuras;
• peso próprio elevado;
• custo de fôrmas para os processos de moldagem;
• possibilidade de corrosão das armaduras em caso de exposição das barras ou baixo 
cobrimento de concreto.
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AULA 2
AÇÕES E COMBINAÇÃO DE 
AÇÕES EM ESTRUTURAS DE 
CONCRETO ARMADO
2.1 Porquê estudar as ações que incidem sobre as estruturas de 
concreto armado?
O sistema estrutural de um edifício, isto é, sua infraestrutura e supraestrutura devem ser 
projetados de tal forma que todas as ações verticais e horizontais significativas que possam 
incidir sobre estes elementos sejam resistidas. Por estas ações pode-se entender aquelas 
decorrentes do peso próprio de lajes, vigas e pilares; o peso dos revestimentos e das paredes; 
ações decorrentes da utilização (variáveis), além da força vento e do empuxo em subsolos. 
O caminho das ações verticais e horizontais é iniciado nas lajes, que suportam, além de 
seus pesos próprios e outras ações permanentes e variáveis de uso, posteriormente essas 
ações são direcionadas para as vigas de apoio e posteriormente, transmitidas para outras 
vigas e pilares. Os pilares são os elementos responsáveis por transferir as ações de toda a 
edificação para os elementos de fundação e para o próprio solo. 
Diante do entendimento da dinâmica de direcionamento de esforçosem uma edificação 
nota-se que entender quais ações devem ser resistidas pela estrutura e a sua magnitude, 
torna-se uma etapa essencial para o alcance de uma boa concepção estrutural em termos de 
dimensionamento e detalhamento de lajes, vigas e pilares. Todo o procedimento de cálculo 
que seguirá é diretamente afetado por estas ações, de modo um erro de concepção poderá 
refletir-se em encarecimento de projeto ou mesmo em projetos subdimensionados.
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Isto acontece na prática
Em canteiros de obra, a resistência característica à compressão é especificada para os 
28 dias (fck), sendo esse valor o parâmetro básico no dimensionamento dos elementos 
como vigas, lajes, pilares etc. O fck deve ser especificado pelo projetista, quando da etapa 
de planejamento (HELENE; ANDRADE, 2007). No Brasil, a resistência à compressão é 
aferida por ensaios de compressão realizados por prensa hidráulica (Figura 1.3) em 
corpos de prova cilíndricos de dimensões 10x20 cm ou 15x30 cm, segundo as NBR 
5738 (ABNT, 2015) e NBR 5739 (ABNT, 2018).
2.2 Tipos de ações
Conforme a NBR 8681 (2004, p.01), as ações são “causas que provocam o aparecimento 
de esforços ou deformações nas estruturas’’. Do ponto de vista prático, as forças e as 
deformações impostas pelas ações são consideradas como se fossem as próprias ações”. 
Essas ações podem ser classificadas como permanentes, variáveis, excepcionais e acidentais:
• As ações permanentes “ocorrem com valores constantes ou de pequena variação em 
torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção. A variabilidade 
das ações permanentes é medida num conjunto de construções análogas”.
• As ações variáveis “apresentam variações significativas em torno de sua média, durante 
a vida da construção”.
• As ações excepcionais “têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade 
de ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas nos 
projetos de determinadas estruturas”.
• As cargas acidentais “são as ações variáveis que atuam nas construções em função 
de seu uso (pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos etc)”. 
Além da própria NBR 8681:2004 a norma NBR 6120:2019 também deve ser consultada. 
Alguns valores mínimos adotados para as cargas acidentais verticais são elencados na 
Tabela 1.
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Local Carga 
(Kgf/m²)
Edifícios 
residenciais
Dormitórios, salas, copa, cozinha e banheiro 1,5
Despensa, área de serviço e lavanderia 2,0
Cozinha 
não 
residencial
A ser determinada em cada caso, porém no mínimo 3,0
Escadas Com acesso ao público 3,0
Sem acesso ao público 2,5
Escritório Salas de uso geral e banheiro 2,0
Forros Sem acesso a pessoas 0,5
Galeria de 
arte
A ser determinada em cada caso, porém no mínimo 3,0
Galeria de 
lojas
A ser determinada em cada caso, porém no mínimo 3,0
Tabela 1 – Valores mínimos das cargas verticais em diferentes edificações. Fonte: Adaptado de NBR 6120 (2019, p. 03).
 
2.2.1 Valores representativos das ações
Pela NBR 6118 (2014, p. 64), as ações são quantificadas por seus valores representativos, 
que podem ser:
a) Os valores característicos conforme definido em 11.6.1;
b) valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as 
ações excepcionais;
c) valores reduzidos, em função da combinação de ações, como:
Verificações de estados-limites últimos, quando a ação considerada combina 
com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir dos valores 
característicos pela expressão ψ0Fk, que considera muito baixa a probabilidade 
de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações 
variáveis de naturezas diferentes (ver 11.7); — verificações de estados-limites 
de serviço. Estes valores reduzidos são determinados a partir dos valores 
característicos pelas expressões ψ1Fk e ψ2Fk, que estimam valores frequentes 
e quase permanentes, respectivamente, de uma ação que acompanha a ação 
principal.
 
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2.2.2 Combinação de ações
As ações combinadas incidentes em uma edificação podem ser classificadas em: 
combinações últimas e de serviço, como verificado na Tabela 2.
Um carregamento é definido pela combinação das ações que tem probabilidades 
não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um 
período preestabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que 
possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura; a 
verificação da segurança em relação aos estados-limites últimos e aos estados-
limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e de 
combinações de serviço, respectivamente (NBR 6118, 2014, p. 66).
 
Tipo Subtipo Descrição
Combinações 
últimas
Normais Devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável 
principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, 
consideradas secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, 
conforme ABNT NBR 8681.
Especiais Devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, 
quando existir, com seus valores característicos e as demais ações 
variáveis com probabilidade não desprezível, de ocorrência simultânea, 
com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681.
Excepcionais Ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus 
valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade 
não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos 
de combinação, conforme ABNT NBR 8681.
Combinações 
de serviço
Quase 
permanentes
Podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e 
sua consideração pode ser necessária na verificação do estado-limite 
de deformações excessivas.
Frequentes Repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua 
consideração pode ser necessária na verificação dos estados-limites de 
formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. 
Podem também ser consideradas para verificações de estados-limites 
de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que 
podem comprometer as vedações.
Raras Ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua 
consideração pode ser necessária na verificação do estado-limite de 
formação de fissuras.
Tabela 2 – Tipos de combinações de ações. Fonte: Adaptado de NBR 6118 (2014, p. 03)
O cálculo das combinações das ações, últimas e de serviço, devem considerar as equações 
presentes nos itens 11.8.2.4 (Combinações últimas usuais) e 11.8.3.2 (Combinações de 
serviço usuais) da NBR 6118:2014, conforme as Tabelas 3 e 4.
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Tabela 3 – Combinações últimas. Fonte: Adaptado de NBR 6118 (2014, p. 67).
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Tabela 4 – Combinações de serviço. Fonte: Adaptado de NBR 6118 (2014, p. 69).
“Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, 
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf. As ações devem ser 
majoradas pelo coeficiente γf, cujos valores encontram-se mostrados nas Tabelas 11.1 e 
11.2”. NBR 6118 (2014, p. 64).
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AULA 3
A CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
3.1 Porquê estudar a concepção estrutural?
A finalidade da concepção estrutural é de formar um sistema estrutural capaz de absorver os 
esforços resultantes das ações incidentes e direcioná-las ao solo, por meio dos elementos de 
fundação. A ideia é que se tenha uma composição capaz de atender os requisitos especificados 
nas normas técnicas. Para isso, a concepção de um projetoestrutural deve se basear na 
escolha de quais elementos estruturais (lajes, vigas e pilares) serão empregados na edificação 
a ser projetada, bem como na definição das suas posições e no arbitramento de seções 
transversais prováveis. 
Isso está na rede
A evolução da informática nas últimas décadas trouxe para nós, engenheiros, ferramentas 
que revolucionaram a maneira como projetamos estruturas, no entanto, devemos estar 
cientes que os computadores não nos substituem. Acerca desse assunto, reflita sobre 
o texto do Prof. Emkin.
Qual competente engenheiro estrutural ainda não experimentou a dor e 
a frustração de discutir um problema de engenharia com alguém cuja 
única experiência em resolver problemas de engenharia fosse pelos meios 
computacionais? Essas pessoas (não as confunda com engenheiros 
“verdadeiros”) não sabem mais, ou talvez nunca souberam, engenharia sem 
computadores. Eles não têm ideia dos assuntos relacionados à modelagem, 
análise e projeto que não podem ser resolvidos por computadores. Eles 
acreditam que além da grande velocidade dos computadores, os seus 
softwares são fontes de conhecimento. Essas pessoas não aparentam 
reconhecer que conhecimento vai além das fronteiras do que os softwares 
podem fazer.
 EMKIN, L. Z. Misuse of computers by structural engineers – a clear and presente 
danger, Structural Engineersa World Congress, California (EUA), 1998. Tradução do 
artigo no link: 
Disponível em: http://tqs.com.br/suporte-e-servicos/biblioteca-digital-tqs/89-artigos/390-
Mau-Uso-de-Computadores-por-Engenheiros-Estruturais?fbclid=IwAR2veUoW5Y1px9S
Zv1TxNp4I1dtg7TnkEJGVBYx0w1NuYs-eO1saPyXkchI
http://tqs.com.br/suporte-e-servicos/biblioteca-digital-tqs/89-artigos/390-Mau-Uso-de-Computadores-por-Engenheiros-Estruturais?fbclid=IwAR2veUoW5Y1px9SZv1TxNp4I1dtg7TnkEJGVBYx0w1NuYs-eO1saPyXkchI
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3.2 Locação dos pilares
A locação dos pilares geralmente é iniciada pelos cantos externos da edificação, sendo 
acompanhada do posicionamento dos demais pilares em áreas comuns a todos os pavimentos, 
como escadas, elevadores e demais espaços internos. Sempre que possível o projetista deve 
buscar alocar os pilares no interior das paredes de alvenaria, evitando a sua localização nos 
espaços internos dos ambientes.
A composição mais desejada dos pilares é aquela que resulta em um maior alinhamento 
destes, formando pórticos com as vigas de respaldo que os unem. Essa composição contribui 
de maneira representativa na garantia de estabilidade global do edifício. 
Geralmente, recomenda-se que os pilares estejam localizados de modo que resultem em 
distâncias entre eixos de 4 m a 6 m. Para distâncias com maiores valores há a necessidade 
de pilares e vigas com seções transversais mais robustas, gerando incompatibilidade 
dimensional com os demais sistemas (paredes e instalações prediais) que aumentam custos 
da construção. Ainda sob essa ótica, pilares que estão muito próximos podem interferir na 
fundação prejudicando toda a concepção estrutural.
Como regra é costume adotar 19cm como a medida da menor dimensão da seção 
transversal de pilar retangular de concreto armado e escolher a direção da maior dimensão 
de modo a garantir maior travamento da estrutura (menores vãos). Deve-se também verificar 
a interferência dos pilares posicionados nos demais pavimentos que compõem a edificação 
como no caso de garagens, áreas sociais, recepção, sala salão de festas etc.
3.3 Locação das vigas
Finalizado o posicionamento inicial dos pilares, segue-se para o planejamento da disposição 
das vigas. Além daquelas que ligam os pilares existem vigas adicionais que podem ser 
necessárias tanto para delimitar os painéis de laje quanto para suportar o peso de uma 
parede (LIBÂNIO, 2003).
É bastante usual que a largura das vigas seja compatibilizada com a largura das paredes 
de alvenarias, a fim de evitar o surgimento de ressaltos. Quanto às alturas, as vigas são 
restringidas pelos espaços disponíveis nas paredes devido à abertura das portas e janelas. 
Como as vigas podem ser empregadas para delimitar as lajes, as suas disposições devem 
considerar os menores vãos para lajes, ou seja, entre 3,5 m e 5,0 m. O posicionamento e as 
dimensões das lajes ficam, portanto, definidos pela concepção inicial das vigas.
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“A identificação dos elementos se dá por meio de numeração, sendo realizada da esquerda 
para a direita e de cima para baixo. Assim, a numeração das lajes (L1, L2, L3, etc), das vigas 
(V1, V2, V3, etc) e dos pilares (P1, P2, P3 etc)” é executada (PINHEIRO; MUZARDO; SANTOS, 
2003, p. 28). 
3.4 Pré-dimensionamento de lajes, vigas e pilares
O pré-dimensionamento dos elementos estruturais é uma etapa necessária para que uma 
das suas características mais importantes seja estimada, o peso próprio. O peso próprio 
de todo elemento estrutural contribui diretamente no seu dimensionamento, visto que é a 
primeira das cargas permanentes que deve ser considerada no cálculo das ações.
3.4.1 Lajes
A espessura das lajes (Figura 2) pode ser obtida com a expressão:
h = d + (φ/c) + c
onde:
d = altura útil da laje
φ = diâmetro das barras
c = cobrimento nominal da armadura
 
Figura 2 – Exemplo de composição das alturas em uma laje. Fonte: Libânio (2003, p. 36).
Cobrimento nominal da armadura (c) é o cobrimento mínimo (cmin) acrescido de uma 
tolerância de execução (Δc):
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c = cmin + Δc
Nas obras correntes, Δc ≥ 10mm, além disso, o valor do cobrimento mínimo deve considerar 
também a classe de agressividade do ambiente em que a estrutura está inserida, conforme 
a NBR 6118:2014, ver Tabela 5.
Tabela 5 – Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal para ∆c = 10 mm. Fonte: Adaptado de NBR 6118 (2014, p. 20).
Para lajes com bordas apoiadas ou engastadas, a altura útil pode ser estimada por meio 
da expressão:
dest = (2,5 – 0,1.n) . l*/100
onde: 
 
n = número de bordas engastadas
lx = menor vão
ly = maior vão
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A NBR 6118:2014 recomenda que as seguintes espessuras mínimas sejam respeitadas 
em lajes maciças:
• 7 cm para cobertura não em balanço;
• 8 cm para lajes de piso não em balanço;
• 10 cm para lajes em balanço;
• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
• 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes 
de piso biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas;
• 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel
3.4.2 Vigas
A estimativa para a altura das vigas pode ser dada pelas expressões:
• tramos internos: hest = (lo/12)
• tramos externos ou vigas biapoiadas: hest = (lo/10)
• balanço: hest = (lo/5)
Recomenda-se a padronização das alturas das vigas (Figura 3) do projeto (máximo de 
duas alturas diferentes) a fim de otimizar os trabalhos de armação e escoramento.
Para armadura longitudinal em uma única camada, a relação entre a altura total e a altura 
útil é dada pela expressão:
 
onde:
• c = cobrimento
• φt = diâmetro dos estribos
• φl = diâmetro das barras longitudinais
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Figura 3 – Seção transversal deuma viga. Fonte: Pinheiro; Muzardo; Santos (2003, p. 37).
3.4.3 Pilares
O pré-dimensionamento dos pilares é iniciado estimando a sua carga, isto é realizado 
por meio da determinação das áreas de influência em que as cargas serão, devido ao 
posicionamento das peças, absorvidas por cada pilar em particular. 
Basicamente, divide-se a área total do pavimento em diversas áreas de influência, relativas 
a cada pilar. A área de influência por pilar pode ser obtida dividindo-se as distâncias entre 
os seus eixos entre intervalos que variam de 0,45l a 0,55l, dependendo da sua posição, 
conforme a seguir (Figura 4):
 
Figura 4 – Determinação das áreas de influência dos pilares. Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003, p. 37).
Conforme Pinheiro, Muzardo e Santos (2003):
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• 0,45l: pilar de extremidade e de canto, na direção da sua menor dimensão;
• 0,55l: complementos dos vãos do caso anterior;
• 0,50l: pilar de extremidade e de canto, na direção da sua maior dimensão.
As áreas do balanço são consideradas acrescidas das respectivas áreas das lajes adjacentes, 
tomando-se, na direção do balanço, largura igual a 0,50l, sendo l o vão adjacente ao balanço. 
Segundo o mesmo autor, depois que a força nos pilares foi estimada pelo processo das 
áreas de influência, o coeficiente de majoração da força normal (α) deve ser determinado:
• α = 1,3 para pilares internos ou de extremidade, na direção da maior dimensão;
• α = 1,5 para pilares de extremidade, na direção da menor dimensão;
• α = 1,8 para pilares de canto.
Sendo possível determinar a área de seção transversal do pilar por meio da expressão:
 
onde:
Ac = área da seção de concreto (cm2).
α = coeficiente que leva em conta as excentricidades da carga.
A = área de influência do pilar (m2).
n = número de pavimentos-tipo.
(n+0,7) = número que considera a cobertura, com carga estimada em 70% da relativa ao 
pavimento-tipo.
fck = resistência característica do concreto (kN/cm2).
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Anote isso
Os conceitos relativos à resistência do concreto à tração direta (fct) são análogos aos de 
resistência à compressão (fck). Assim, a resistência média do concreto à tração (fctm) 
é obtida da média aritmética dos resultados e a resistência característica à tração (fctk 
ou ftk) corresponde à probabilidade de 5% dos valores não serem alcançados pelos 
resultados de um mesmo lote de concreto ensaiado. “Três normalizados são utilizados 
no Brasil para a aferição dessa propriedade: tração direta, compressão diametral e 
tração na flexão” (PINHEIRO; MUZARDO; SANTOS, 2003, p. 3). 
Fonte: PINHEIRO, L. M.; MUZARDO, C. D.; SANTOS, S. P. Fundamentos do concreto e 
projeto de edifícios: Pré-dimensionamento. Notas de Aula do departamento de engenharia 
de estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos na Universidade de São Paulo. 
São Carlos, 2003. 
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AULA 4
LAJES MACIÇAS
4.1 Porquê estudar lajes maciças?
As lajes são elementos estruturais bidimensionais que possuem a função de receber a 
maior parte das ações aplicadas numa construção: pessoas, móveis, pisos, paredes etc. 
As ações são comumente perpendiculares à superfície da laje, podendo ser divididas em 
distribuídas na área, linearmente distribuídas e pontuais. As ações das lajes geralmente são 
transmitidas para as vigas de apoio, mas eventualmente também podem ser transmitidas 
diretamente aos pilares. Portanto, conhecer as suas características dimensionais deve estar 
prevista para que se possa especificar os demais elementos que constituirão um projeto 
estrutural.
A laje maciça pode ser entendida como uma peça composta unicamente por concreto 
e contendo armaduras longitudinais e transversais, geralmente com espessuras de 7 cm a 
15 cm, sendo projetadas para os mais variados tipos de construção.
“As lajes podem ser classificadas com relação ao seu formato geométrico, aos tipos 
de vínculos nos apoios, quanto à direção, etc. Uma classificação bastante usual em lajes 
maciças é aquela referendada na direção (ou direções) da sua armadura principal” (PINHEIRO; 
MUZARDO; SANTOS, 2003, p.41). Para esta classificação existem dois casos: laje armada 
em uma direção ou laje armada em duas direções.
4.1.1 Laje armada em uma direção
De acordo com Pinheiro, Muzardo e Santos (2003) as lajes armadas em uma direção têm 
relação entre o lado maior e o lado menor superior a dois, ou seja:
 
onde:
lx = vão menor (Figura 5).
ly = vão maior.
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Figura 5 – Relação dos comprimentos x e y. Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003, p. 42)
Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem na direção do menor vão, chamada 
direção principal. Na outra direção os esforços solicitantes são bem menores, sendo 
desprezados nos cálculos. Os esforços solicitantes e as flechas são calculados supondo-
se a laje como uma viga com largura de 1 m, seguindo a direção principal da laje, como se 
verá adiante.
4.1.2 Laje armada duas direções
Para as lajes armadas em duas direções, os esforços solicitantes são importantes segundo 
as duas direções da laje. A relação entre os lados é menor que dois tais que:
 
4.2 Conceito de vão efetivo
Os vãos efetivos das lajes nas suas principais direções devem seguir as recomendações 
do item 14.6.2.4 da NBR 6118 (2014), sendo calculados pela expressão:
lef = lo+a1+a2
sendo: a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 
0,3h), conforme Figura 6.
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Figura 6 – Tipos de apoios. Fonte: NBR 6118 (2014, p. 90).
4.3 Lajes e a vinculação em bordas
As lajes são apoiadas em três tipos de apoio: paredes divisórias, vigas ou pilares, sendo 
mais comum a vinculação em vigas. Diante disso, verifica-se a necessidade de estabelecer 
as condições de vinculação da laje nos apoios no cálculo dos esforços solicitantes e das 
deformações.
Em função da complexidade deste problema, algumas simplificações são aceitas: 
Os três tipos comuns de vínculo das lajes são o apoio simples, o engaste perfeito 
e o engaste elástico. Como as tabelas usuais para cálculo das lajes só admitem 
apoios simples, engaste perfeito e apoios pontuais, a vinculação nas bordas 
deve se resumir apenas a esses três tipos (PINHEIRO; MUZARDO; SANTOS, 
2003, p. 47).
De acordo com a sua vinculação de bordas, as lajes podem ser:
• simplesmente apoiadas: o apoio simples surge nas bordas onde não existe ou não se 
admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas, podendo ser uma parede de 
alvenaria ou uma viga de concreto.
• perfeitamente engastadas: no caso de lajes em balanço ou nas bordas onde há 
continuidade entre duas lajes vizinhas. Além disso, quando duas lajes contínuas têm 
espessuras muito diferentes pode ser mais adequado considerar a laje de menor 
espessura engastada na de maior espessura e a laje mais espessa é considerada 
simplesmente apoiada na borda comum às duas lajes.
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• elasticamente engastadas: no caso de apoios intermediários em lajes contínuas 
surgem momentos fletores negativos. A ponderação feita entre os diferentes valores 
dos momentos nesses apoios conduz ao engastamento elástico.
Em função dessa variedade de combinações possíveis de vínculos e considerando que 
as lajes possuem quatro bordas a serem vinculadas, cada caso de vinculação recebe um 
número de identificação conforme visualizado na Figura 7.
 
Figura 7 – Classificação das lajes em função da vinculação nas bordas. Fonte: Adaptado de Pinheiro, Muzardo e Santos (2003, p. 44)
As tabelas que são empregadas no dimensionamentoconsideram as lajes com o mesmo 
tipo de vínculo ao longo de toda a extensão na borda. Na prática da construção civil, outras 
situações podem ocorrer, para esses casos deve-se lançar mão de um critério para cada 
caso específico, por exemplo: pode ser que a laje tenha uma das suas bordas parcialmente 
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engastada e parcialmente apoiada (Figura 8). A relação entre os comprimentos de cada tipo 
de apoio em uma mesma borda é um critério desses critérios e está indicado na Tabela 6.
 
Figura 8 – Caso específico de vinculação. Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003, p. 45).
 
Tabela 6 – Critério para simplificação de bordas parcialmente engastadas e apoiadas. Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003, p. 45).
Anote isso
Nome do livro: Desconstruindo o projeto estrutural.
Editora: Oficina de Textos.
Autor: José Sérgio dos Santos.
ISBN: 978-85-7975-261-2
Comentário: Este livro traz uma abordagem muito interessante acerca dos projetos 
estruturais, apresentando exemplos de projeto em uma sequência que de fato é 
executada na obra e trazendo ainda exemplos e explicações sobre os desenhos técnicos, 
permitindo que o leitor consiga compreender com clareza as informações exibidas em 
plantas, cortes e detalhes estruturais.
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AULA 5
DIMENSIONAMENTO DE 
LAJES MACIÇAS
5.1 Porquê estudar o dimensionamento de lajes maciças?
As lajes, assim como as vigas são elementos que constituem o subsistema horizontal 
da supraestrutura e são elas que recebem as ações externas causadas pela utilização do 
edifício Elementos horizontais de concreto armado geralmente sofrem maior ação dos 
esforços provenientes da flexão simples e o conhecimento acerca de seu comportamento 
é fundamental para que o projetista estrutural tenha condições elaborar um bom projeto.
Nesta aula serão abordados conceitos importantes para o dimensionamento de elementos 
estruturais de concreto armado passando pela determinação dos esforços atuantes nas lajes, 
pelos conceitos iniciais que formam o alicerce para aplicação da Teoria da Flexão Simples 
e finalizando com o cálculo das armaduras longitudinais nas lajes e vigas.
Isso está na rede
Nome: MuBE 03 – Concepção Estrutural
Comentário: No episódio 3 deste documentário de 1990 o engenheiro civil Mário Franco 
faz descreve como se deu a concepção da obra do Museu Brasileiro de Escultura e 
Ecologia, explicando em particular, como foi possível obter um vão livre de 60 m com 
uma laje de concreto armado.
Assista ao filme em: https://vimeo.com/41003616 
5.2 Determinação dos momentos atuantes em lajes maciças
Conforme comentado na aula 04, as lajes maciças podem ser classificadas em de acordo 
com as suas direções em: armadas em uma direção e armadas em duas direções, sendo 
essa classificação resultante da relação entre os seus lados.
https://vimeo.com/41003616 
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5.2.1 Lajes armadas em uma direção
Neste ponto já é de seu conhecimento que nas lajes os esforços solicitantes são de 
maior intensidade na direção com menor vão. Por este motivo, nas lajes armadas em uma 
direção, quando a relação entre os vãos ultrapassa 2, considera-se que a flexão na direção 
do menor vão é preponderante a da outra direção. Assim, em lajes armadas em uma direção 
supõe-se a laje como uma viga com largura constante de 100 cm (1 m) segundo à direção 
principal, conforme a Figura 9.
 
Figura 9 – Consideração de laje como viga com largura constante de 1 metro. Fonte: Bastos (2015, p. 13)
Sendo assim, em lajes armadas em uma direção o cálculo dos momentos fletores deve 
ser realizado como se esta fosse uma viga. Na Figura 9 verifica-se uma viga com vinculação 
apoio-engaste, onde o momento máximo negativo ocorre no engaste e é dado por M- = 
(p.l²)/8 e o momento máximo positivo é dado por M+= ( p.l²)/14,22.
5.2.1 Lajes armadas em duas direções
O comportamento das lajes armadas em duas direções diferentes notadamente do 
comportamento das lajes armadas em uma direção, por esse motivo o seu cálculo se torna 
mais complexo. 
Uma das características das lajes maciças é que elas distribuem reações em todas as 
vigas em seu contorno e que a rigidez das vigas de apoio e os pilares que apoiam essas 
vigas influenciam na distribuição de esforços nas lajes.
Os esforços nas lajes maciças armadas em duas direções podem ser realizados por 
vários métodos, entre eles:
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• Teoria das placas, utilizando a Teoria da Elasticidade.
• Analogia da Grelha Equivalente.
• Método das Linhas de Rupturas ou das Charneiras Plásticas.
• Métodos numéricos, tais como: Diferenças finitas; Método dos Elementos Finitos etc.
Os momentos fletores atuantes na laje, sejam eles positivos ou negativos, são determinados 
pela expressão:
onde:
M: Momento fletor [kNm/m];
μ: Coeficiente tabelado, em função do tipo de laje (apoios e carregamentos) e da relação 
λ=ly⁄lx ;
μx e μy: Coeficientes para o cálculo dos momentos positivos atuantes em direções paralelas 
a lx e ly respectivamente;
μ’x e μ’y: Coeficientes para o cálculo dos momentos negativos atuantes em direções paralelas 
a lx e ly respectivamente;
p: Carga uniformemente distribuídas, ou triangular [kN/m²];
lx: Menor vão da laje [m];
ly: Maior vão da laje [m].
Anote isso
Considerando a complexidade no cálculo dos esforços nas lajes uma variedade de tabelas 
foram desenvolvidas a fim de simplificar o processo dimensional que foram elaboradas 
por Barés (1972) e adaptadas por Pinheiro; Muzardo; Santos (2003) considerando 
coeficiente de Poisson igual a 0,20. Neste material didático serão utilizadas as tabelas 
(começando pela Tabela 2.3a) presentes a partir da página 367 do material do Prof. 
Dr. Libânio M. Pinheiro (2003).
Link: http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
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5.3 Determinação das reações cortantes
Assim como na determinação dos momentos fletores atuantes nas lajes, as reações 
cortantes máximas são calculadas a partir da classificação da laje.
5.3.1 Lajes armadas em uma direção
Para as lajes armadas em uma direção o cálculo das reações nas vigas perpendiculares 
à direção principal é realizado tal como uma viga de largura constante de 1 m. Para as vigas 
paralelas, quando existirem, pode-se considerar a favor da segurança que uma parcela das 
cargas formada por um triângulo adjacente à viga resulte reações na mesma, tal como o 
exemplo da Figura 10.
Assim, a carga que atua linearmente na viga paralela à direção principal pode ser determinada 
de maneira simplificada através da Equação abaixo:
V(vig,p) = 0,15.p.lx
onde:
V(vig,p): Carga da laje na viga paralela [kN/m];
p: Carga atuante na laje [kN/m²]
lx: menor vão da laje (m).
 
Figura 10 – Cargas nas vigas paralelas à direção principal da laje. Fonte: Bastos (2015, p. 19)
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5.3.2 Lajes armadas em duas direções
Nas lajes armadas em duas direções o procedimento para determinação das cargas que 
geram reações nas vigas de borda é baseado no método das charneiras plásticas, sendo 
necessário realizar uma análise plástica para determinação precisa da parcela de carga que 
caminha na direção de cada uma das vigas de borda. No entanto, para fins de simplificação 
a NBR 6118 (2014) no Item 14.7.6.1 recomenda:
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser 
aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes ângulos:
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
- 60° a partir do apoioconsiderado engastado, se o outro for considerado 
simplesmente apoiado;
- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre (NBR 6118, 2014, p. 96).
Assim, as reações nas vigas que apoiam as lajes podem ser calculadas por meio dos 
ângulos acima citados.
 
Figura 11 – Área de influência para determinação das cargas nas lajes maciças armadas em duas direções segundo a NBR 6118 (2014). Fonte: Bastos (2015, p. 20)
As Tabelas do material do Prof. Dr. Libânio M. Pinheiro apresentam coeficientes que auxiliam 
no cálculo das reações que as lajes transmitem as vigas nas duas direções considerando 
carregamento uniformemente distribuído, através da Equação abaixo.
V = ν.((p.lx)/10)
onde:
V: Reação de apoio [kN/m];
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ν: Coeficiente tabelado, em função do tipo de laje (apoios e carregamentos) e da relação 
λ=ly⁄lx ;
νx: Reação de apoio simples perpendiculares à direção do vão lx;
νy: Reação de apoio simples perpendiculares à direção do vão ly;
ν’x: Reação de apoio engastado perpendiculares à direção do vão lx;
ν’y: Reação de apoio engastado perpendiculares à direção do vão ly;
Você poderá encontrar as Tabelas de reação de apoio (iniciando pela Tabela 2.2a), no 
material do Prof. Dr. Libânio M. Pinheiro, por meio do seguinte link:
Link de acesso
Link: http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
5.4 Compatibilização dos momentos atuantes
Como os cálculos dos momentos fletores são realizados isoladamente para cada laje, 
a compatibilização dos momentos negativos entre lajes é uma atividade necessária. Essa 
compatibilização é realizada por um método tradicional, onde o momento fletor negativo 
(X) entre duas lajes vizinhas será dado por:
 
Uma vez que a compatibilização dos momentos negativos for realizada faz-se necessário 
corrigir os momentos positivos. Quando há redução dos momentos negativos de uma laje, faz-
se o aumento dos positivos, conforme observado na Figura 12. Quando ocorre a diminuição 
do momento positivo, este não é considerado.
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
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Figura 12 – Exemplo de compatibilização de momentos. Fonte: Bastos (2015, p. 18)
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AULA 6
ESFORÇOS DE FLEXÃO
6.1 Porquê devemos estudar os esforços da flexão nas estruturas de 
concreto armado?
Como já é de seu conhecimento, o concreto simples é incapaz de resistir aos esforços de 
tração e flexão, sendo a parte dos compósitos responsável por suportar aqueles esforços 
provenientes da compressão. Os esforços de tração e flexão, por sua vez, são resistidos pela 
armadura no interior do concreto. Portanto, conhecer os parâmetros normativos e a prática 
do dimensionamento da quantidade mínima de aço destinado a suportar esses esforços 
é fundamental na garantia de que as peças estruturais serão capazes de desempenhar as 
suas funções ao longo da sua vida útil.
No cálculo das armaduras de flexão de elementos de concreto armado, sejam eles lajes 
ou vigas é essencial que se conheça alguns conceitos, tais como, o modo de colapso destes 
quando sujeitos a flexão, estádios, domínios de deformação e algumas hipóteses básicas 
que permitem o cálculo através do modelo de cálculo à flexão em elementos de concreto 
armado.
6.2 Tipos de flexão
Os elementos estruturais horizontais, como lajes e vigas estão sempre submetidos a 
esforços de flexão. Essa flexão pode ser simples normal, flexão simples oblíqua e flexão 
composta normal ou oblíqua. O tipo de flexão interfere diretamente na sua concepção e 
dimensionamento.
A flexão simples ocorre quando só há esforços de flexão atuando no elemento estrutural. 
Quando além da flexão tem-se também esforços normais, ocorre a flexão composta. Vale 
ressaltar que a flexão, assim como a força normal produz na seção transversal tensões 
normais (perpendiculares), de tração ou de compressão. Observe na Figura 13 a ocorrência 
de flexão simples e composta na seção transversal de uma viga genérica.
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Figura 13 – Flexão simples e composta. Fonte: elaborado pelo autor (2019)
Quando o eixo em que ocorre a flexão coincide com um dos eixos principais de inércia 
da seção transversal do elemento esta é chamada de flexão normal, por outro lado, quando 
o eixo de solicitação não coincide com um dos eixos principais de inércia é chamada de 
flexão oblíqua. A flexão reta ou oblíqua pode ocorrer tanto no caso de flexão simples como 
no caso de flexão composta.
Há ainda a flexão pura que corresponde à situação particular de flexão simples ou composta, 
sem a ocorrência de esforços cortantes, necessariamente, nas regiões do elemento estrutural 
onde a flexão pura ocorre, o momento fletor é constante. Entretanto, situações ocorrem 
muito raramente em situações reais de cálculo estrutural. 
6.3 Colapso em elementos fletidos submetidos a tensões normais
Para compreender o processo de colapso de vigas e/ou lajes de concreto armado sob o 
efeito de tensões normais, vamos analisar o desenvolvimento do ensaio de uma viga por quatro 
pontos, onde tem-se uma viga bi apoiada com duas cargas concentradas (P) crescentes e 
aplicadas entre os apoios, neste tipo de situação ocorre flexão pura região central da viga. 
Observe na Figura 14 o esquema de um ensaio de quatro pontos.
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Figura 14 – Ensaio de viga por quatro pontos e diagramas de momento fletor e esforço cortante. Fonte: Bastos (2019, p. 2) apud Leonhadt & Monning (1982)
A elevação dos valores das cargas concentradas resulta no surgimento de três níveis 
de deformação da seção transversal, os quais são denominados estádios e que definem o 
comportamento do elemento até o colapso do mesmo.
Inicialmente com cargas baixas a viga se enquadra no Estádio I que significa uma situação 
em que as tensões de tração ainda não ultrapassaram a resistência à tração do concreto (fct), 
logo, o elemento não apresenta fissuras. A distribuição de tensões em uma viga no Estádio 
I pode ser verificada na Figura 15 (a). Posteriormente, com o aumento do carregamento, as 
tensões de tração atingem a resistência à tração do concreto, induzindo o surgimento de 
fissuras, o que caracteriza o Estádio II.
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Figura 15 – Comportamento do elemento sob flexão passando pelos Estádios I e II. Fonte: Bastos (2019, p. 2) apud Leonhadt & Monning (1982)
Isso está na rede
O ensaio de flexão a 4 pontos é um ensaio amplamente difundido para caracterizar 
a fissuração e ruptura de vigas de concreto armado, sendo realizada em diversos 
laboratórios. No link a seguir você poderá acompanhar este ensaio e verificar como 
surgem as primeiras fissuras em uma viga composta com 2 concretos diferentes na 
seção transversal.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=ErMSybOjOZ0
https://www.youtube.com/watch?v=ErMSybOjOZ0
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A distribuição de tensões e deformações na seção transversal no Estádio I ainda obedece 
à Lei de Hooke, conforme verificado na Figura 15 (c) pela Seção a-a. No Estádio II, com o 
surgimento das fissuras, considera-se que somente o aço resiste às tensões de tração, 
desprezando-se a contribuição do concreto. Além disso, o concreto resiste às tensões de 
compressão, como verificado na Seção b-b 15 (c). O Estádio II é utilizado para verificações em 
situações de serviço. Com o aumento do momento fletor toda a viga passa para o Estádio III.
O Estádio III equivale à situação de iminência de ruptura da estrutura,isto é, o momento fletor 
atuante se aproxima do momento último (Mu). Neste Estádio, conforme a NBR 6118:2014, 
a distribuição tensão-deformação assume o diagrama idealizado e respeitando os limites 
de deformação de encurtamento no concreto.
Nesta situação, a seção transversal encontra-se intensamente fissurada, reduzindo a 
profundidade da linha neutra e, consequentemente, reduzindo a altura da região comprimida. 
Análise a situação de deformações e de tensões no elemento quando este está na iminência 
de ruptura (Estádio III) na Figura 16.
 
Figura 16 – Estádio III. Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003)
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Isso está na rede
Hoje em dia estão sendo desenvolvidos concretos de ultra desempenho, com resistências 
que ultrapassam os 100 MPa, e este material já vem sendo utilizado no Brasil.
“O UHPC (Ultra High Performance Concrete) é um tipo de concreto de alta performance 
tão resistente e durável quanto as rochas. Esse concreto oferece resistência à 
compressão maior que 20.000 psi, o que significa 138 MPa. No Brasil, a utilização 
ajuda na recuperação das obras de infraestrutura, além da possibilidade de construções 
robustas que evitem reparos futuros.”
Link: https://www.tecnosilbr.com.br/uhpc-o-que-e-e-por-que-esse-concreto-deveria-ser-
mais-utilizado-no-brasil/
https://www.tecnosilbr.com.br/uhpc-o-que-e-e-por-que-esse-concreto-deveria-ser-mais-utilizado-no-brasil/
https://www.tecnosilbr.com.br/uhpc-o-que-e-e-por-que-esse-concreto-deveria-ser-mais-utilizado-no-brasil/
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AULA 7
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
7.1 Hipóteses básicas para cálculo da flexão simples
A NBR 6118 (2014, p. 120) apresenta em seu item 17.2.2 as Hipóteses básicas a serem 
consideradas no cálculo de elementos de concreto armado sujeitos a tensões normais 
em Estado-Limite Último (ELU). A consideração dessas hipóteses é imprescindível para o 
dimensionamento dos elementos.
• As seções transversais se mantêm planas após a deformação.
• Solidariedade entre o aço e o concreto, ou seja, considera-se que haja perfeita aderência 
entre os materiais, portanto a deformação de uma barra de armadura tracionada ou 
comprimida é igual a deformação do concreto adjacente.
• As tensões de tração no concreto são desprezadas.
• A distribuição de tensões de deformação no aço respeita o diagrama exibido na NBR 
6118 (2014, p. 29) em seu item 8.3.6, sendo adotado como o alongamento máximo 
permitido pela armadura tracionada de 10 ‰, a fim de prevenir deformações plásticas 
excessivas.
• A distribuição de tensões no concreto respeita o diagrama tensão-deformação idealizado 
apresentado na NBR 6118 (2014, p. 26), em seu item 8.2.10.1. 
O diagrama tensão-deformação pode ser substituído por um retangular simplificado como 
pode ser visto na Figura 17 a seguir, considerando os concretos do Grupo I, com profundidade 
dada por y = λ.x , onde :
λ = 0,8 → para concretos do Grupo I (fck ≤ 50 MPa)
λ = [0,8 - (fck - 50)/400] → para concretos do Grupo II (fck > 50 MPa)
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Figura 17 – Diagrama retangular simplificado para concretos do Grupo I. Fonte: Bastos (2019, p. 12)
7.1.1 Hipóteses básicas para lajes
As lajes de concreto armado são elementos bidimensionais que podem ser tratados como 
elementos de placa. A NBR 6118 (2014) no Item 14.7.1 estabelece hipóteses básicas para 
a análise desse tipo de elemento.
1. Manutenção da seção plana após a deformação, em faixas sufi cientemente estreitas;
2. Representação dos elementos por seu plano médio.
A norma traz ainda uma consideração importante acerca da maneira de considerar os 
efeitos de carregamentos nas lajes:
Na determinação dos esforços solicitantes nas lajes, deverá ser avaliada a 
necessidade da consideração da aplicação da alternância das sobrecargas. 
Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kN/m2 e 
que seja no máximo igual a 50 % da carga total, a análise estrutural pode ser 
realizada sem a consideração de alternância de cargas (NBR 6118, 2014, p 95).
7.2 Domínios de deformações
A NBR 6118 (2014) em seu Item 17.2.2 estabelece que estado-limite último é caracterizado 
pela distribuição de deformações na seção conforme os domínios definidos na Figura 18. 
Nesta Figura é possível notar uma elevação lateral de um elemento de concreto armado (viga, 
laje etc.), onde verifica-se as armaduras comprimidas (As1) e tracionadas (As2) considerando 
uma situação de momento atuante positivo. Os domínios de deformação (reta a, domínio 
1, 2, 3, 4, 4a, 5 e reta b) definem as possibilidades de deformação da seção transversal 
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que caracterizam um ELU a cada par de deformações específicas de cálculo (εc) e (εs), 
considerando as hipóteses básicas. Reserve alguns minutos para analisar a Figura 18.
Figura 18 – Domínios de deformação segundo a NBR 6118 (2014). Fonte: Bastos (2015, p. 28)
Tendo compreendido o que são os domínios de deformação podemos agora avaliar quais 
são as rupturas convencionais representadas por cada um deles:
• Reta a. Tração uniforme com ruptura por alongamento excessivo da armadura tracionada 
(εs = 10‰);.
• Domínio 1. Tração não uniforme, sem compressão na seção transversal com ruptura 
por alongamento excessivo da armadura tracionada (εs = 10‰).
• Domínio 2. Flexão simples ou composta sem ruptura do concreto à compressão (εc 
< εcu) e ruptura caracterizada por alongamento excessivo da armadura tracionada. 
A relação x/d que estabelece o limite para o fim do domínio 2 e início do domínio 3 
(x2,lim) é dada por x2,lim = 0,259d.
• Domínio 3. Flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura do concreto (εc 
= εcu) e com escoamento do aço da armadura tracionada (εs ≥ εyd) causando grandes 
deformações. A relação x/d que estabelece o limite para o fim do domínio 3 e início 
do domínio 4 (x3,lim) considerando a utilização de aços CA 50 é dada por x3,lim = 0,628d.
• Domínio 4. Flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura do concreto 
(εc = εcu) e armadura tracionada não plastificada (εs < εyd).
• Domínio 4a. Flexão composta com armaduras comprimidas e ruptura do concreto 
(εc = εcu).
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• Domínio 5. Compressão não uniforme, sem tração na seção transversal com ruptura 
do concreto (εc = εcu).
• Reta b. Compressão uniforme com ruptura do concreto.
7.2.1 Domínios de dimensionamento no ELU
Um dos grandes objetivos do dimensionamento de elementos em concreto armado é que 
esses apresentem ductilidade, ou seja, é de interesse que os elementos apresentem grandes 
deformações antes de chegar à ruptura, de maneira simples, o que se quer dizer é que no 
caso de ocorrência de ruptura do elemento, é um objetivo que ele apresente um “aviso prévio”.
Neste sentido, considerando as diferenças reológicas entre o concreto e o aço, visto que 
o concreto apresenta ruptura frágil e que o aço exibe grande ductilidade é interessante que 
a ruptura ocorra devido a deformações excessivas do aço tracionado, pois com a armadura 
plastificada as deformações continuarão para além dos limites dos materiais e a fissuração 
no elemento será intensa, servindo de alerta para os usuários que o elemento em questão 
apresenta problemas e que medidas precisam ser tomadas.
Considerando a Figura 18 e a descrição dos domínios de deformação apresentados, 
verificamos que a ruptura por alongamento excessivo das armaduras na flexão simples 
ocorre nos domínios 2 e 3. Portanto, para dimensionamento com segurança em ELU, 
apresentando ductilidade, a linha neutra não pode ultrapassar o limite entre os domínios 3 
e 4, que considerando a utilização do aço CA 50 édado por x3,lim = 0,628d.
Entretanto, a NBR 6118 (2014) no Item 14.6.4.3, esclarece que a capacidade de rotação 
dos elementos estruturais está totalmente relacionada à posição da linha neutra no ELU e que 
quanto menor for a relação x/d, tanto maior será a capacidade de rotação dos elementos. Além 
disso, este mesmo item deixa bem claro que “para proporcionar o adequado comportamento 
dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes 
limites” (NBR 6118, 2014, p. 91)
• x/d ≤ 0,45 → para concretos do Grupo I (fck ≤ 50 MPa)
• x/d ≤ 0,35 → para concretos do Grupo II (50 MPa ≤ fck ≤ 90 MPa)
Observa-se, portanto, que o dimensionamento de elementos em concreto armado não 
pode ser feito em todo o domínio 3, mas somente em parte dele.
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Anote isso
Dica de leitura: “Escolha da altura de lajes com nervuras pré-moldadas para pavimentos 
de edificações considerando as verificações do estado limite último e de deformação 
excessiva”.
Evento: XXIX JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL
Autor: Roberto Chust Carvalho, Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho, Sydney Furlan 
Junior, Vitor Vanderlei Mesquita.
Comentário: Neste artigo os autores procuraram determinar um procedimento de 
cálculo em lajes pré-moldadas, considerando a segurança no ELU e a funcionalidade 
da estrutura sob cargas de serviço. Para isso, tabelas que permitem obter a altura 
da laje com nervuras pré-moldadas, valor de vão e o carregamento atuante foram 
elaboradas. Saiba mais acessando o link a seguir:
https://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/LajeNerv-S8T177.pdf
https://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/LajeNerv-S8T177.pdf
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AULA 8 
CÁLCULO DA ARMADURA DE 
FLEXÃO EM VIGAS COM SEÇÃO 
RETANGULAR
8.1 Porquê devemos calcular a armadura de flexão em elementos 
com seção retangular?
Os elementos de concreto armado podem ter diversas formas geométricas, entretanto, 
a seção retangular é a utilizada na maioria dos casos. As vigas com armadura simples são 
aquelas onde só existe armadura para resistir aos esforços de tração. Quando se utiliza 
armaduras para resistir tanto aos esforços de tração como de compressão, diz-se que a 
seção tem armadura dupla, no entanto, este assunto não será abordado neste material. 
Vale dizer que mesmo nas seções com armaduras simples são colocadas barras 
longitudinais na região comprimida por questões construtivas, principalmente para amarração 
dos estribos, contudo, essas armaduras não são consideradas no cálculo do elemento à 
flexão.
Isto está na rede
Dica de leitura: “Reforço à flexão em vigas de concreto armado com manta de fibra de 
carbono: mecanismos de incremento de ancoragem”
Autor: Vladimir José Ferrari, Ivo José Padaratz e Daniel Domingues Loriggi.
Revista: Acta Scientiarum. Technology
Comentário: em alguns casos, seja por um dimensionamento negligenciado ou por 
alterações de carregamentos não previstos em projetos, as estruturas de concreto 
armado podem vir a sofrer com problemas decorrentes de insuficiência de armaduras 
de flexão, resultando em deformações excessivas, fissuração das peças estruturais e 
até mesmo o colapso das edificações. Para estes casos, uma possível solução é a 
realização de um reforço estrutural que consiste na elevação da capacidade resistente 
do elemento em questão. Neste artigo, os autores avaliaram o comportamento de 
nove vigas de concreto armado que foram reforçadas aos esforços de flexão com 
a utilização de uma manta de fibra de carbono, avaliando-se inclusive, a incorporação 
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de mecanismos de incremento de ancoragem para evitar o desprendimento 
prematuro da manta.
Saiba mais acessando o link a seguir:
<https://periodicos.uem.br/ojs/index.php/ActaSciTechnol/article/view/2556>
8.2 Distribuição das tensões na seção transversal
A determinação da quantidade de armadura necessária em uma seção transversal de um 
elemento sujeito a flexão normal é realizada através do equilíbrio de esforços na seção, ou 
seja, todos os esforços atuantes na seção transversal que podem ser observados na Figura 
19 devem atender ao equilíbrio de forças normais (∑N = 0) e de momentos (∑M = 0).
Observe na Figura 19 (a) em elevação lateral os esforços atuantes, bem como a distribuição 
de deformações e de tensões considerando o diagrama retangular simplificado para concretos 
do Grupo I. Já a Figura 19 (b) exibe uma visão tridimensional da distribuição de tensões 
pelo diagrama parábola-retângulo e pelo diagrama retangular simplificado, também para 
concretos do Grupo I.
Figura 19 - Distribuição de tensões e deformações em viga retangular com armadura simples para concretos do Grupo I. Fonte: Adaptado de Bastos (2019, p. 13)
 
https://periodicos.uem.br/ojs/index.php/ActaSciTechnol/article/view/2556
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Aplicando as Equações do equilíbrio e desenvolvendo-as chega-se a duas Equações que 
permitem o cálculo da armadura longitudinal necessária para resistir aos esforços de tração 
causados pela flexão normal. A Equação abaixo permite calcular a posição (x) da linha neutra 
na seção:
Md = 0,68fcd. x.bw.(d-0,4x)
Isolando a posição da linha neutra (x), tem-se:
 
E a Equação abaixo permite determinar a quantidade de armadura longitudinal para resistir 
aos esforços de tração:
As = Md / (fyd.(d-0,4x) )
Com as Equações acima demonstradas pode-se dimensionar as seções retangulares com 
armadura simples, entretanto, observe que temos um total de sete variáveis, sendo elas: a 
resistência de cálculo do concreto (fcd) e do aço (fyd); a largura da seção transversal (bw); a 
altura útil da seção transversal (d) a posição da linha neutra (x); o momento fletor atuante 
(Md) e por fim a área de aço de armadura longitudinal (As), e temos disponíveis apenas duas 
equações para resolver o problema.
Na maioria das vezes são conhecidas as resistências fcd e fyd, as dimensões da seção 
transversal bw e d e calcula-se apenas a posição da linha neutra e a área de aço As. No 
cálculo da posição da linha neutra, verifica-se o domínio de deformação em que se encontra, 
e deve-se atentar para que atenda os limites estabelecidos pelo Item 14.6.4.3 da NBR 6118 
(2014). Caso não seja atendido os limites, deve-se proceder alguma alteração para que 
atenda, que pode ser:
• Redução do momento fletor solicitante (Md).
• Aumentar a largura (bw) ou a altura útil (d).
• Aumentar a resistência do concreto (fcd).
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Na maioria dos casos, a opção mais viável é aumentar a seção da viga, desde que não 
existam limitações arquitetônicas que impeçam.
8.3 Cálculo com a utilização dos coeficientes K
Uma maneira facilitada de determinar a armadura longitudinal de seções retangulares 
de concreto armado é através de tabelas com os coeficientes K. Essas tabelas apresentam 
coeficientes Kc e Ks em função da relação entre a posição da linha neutra (x) e a altura útil 
(d): βx=x/d. Os coeficientes Kc e Ks são relativos à resistência do concreto e a tensão na 
armadura tracionada respectivamente e as Equações que permitem o cálculo através deles 
são:
Kc = (bw.d²) / Md
 
As = Ks.(Md / d²)
A tabela 1.1 do material criado pelo Professor Dr. Libânio M. Pinheiro pode ser acessada 
por meio do seguinte link:
Link de acesso
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
Os valores da Tabela 1.1 que você acessa pelo link supracitado são encontrados na 
página 343 do material do Professor Dr. Libânio M. Pinheiro e são válidas para concretos 
do Grupo I (fck≤50 MPa). O procedimento de cálculo através dos coeficientesK consiste 
basicamente em:
• Calcular o coeficiente Kc através da primeira equação.
• Ir a Tabela 1.1 e obter o coeficiente Ks.
• Calcular a área de aço de armadura longitudinal (As) através da segunda.
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
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O cálculo por meio dos coeficientes K configura-se em um método de dimensionamento 
bastante difundido na engenharia. É importante observar que os coeficientes consideram 
as unidades de kN e cm.
Anote isso
A evolução da informática nas últimas décadas trouxe para nós engenheiros, ferramentas 
que revolucionaram a maneira como projetamos estruturas, no entanto, devemos estar 
cientes que os computadores não nos substituem. Acerca desse assunto, reflita sobre 
o texto do Prof. Emkin.
Qual competente engenheiro estrutural ainda não experimentou a dor e 
a frustração de discutir um problema de engenharia com alguém cuja 
única experiência em resolver problemas de engenharia fosse pelos meios 
computacionais? Essas pessoas (não as confunda com engenheiros 
“verdadeiros”) não sabem mais, ou talvez nunca souberam, engenharia sem 
computadores. Eles não têm ideia dos assuntos relacionados à modelagem, 
análise e projeto que não podem ser resolvidos por computadores. Eles 
acreditam que além da grande velocidade dos computadores, os seus 
softwares são fontes de conhecimento. Essas pessoas não aparentam 
reconhecer que conhecimento vai além das fronteiras do que os softwares 
podem fazer.
EMKIN, L. Z. Misuse of computers by structural engineers – a clear and presente 
danger, Structural Engineersa World Congress, California (EUA), 1998. Tradução do 
artigo no link: http://tqs.com.br/suporte-e-servicos/biblioteca-digital-tqs/89-artigos/390-
Mau-Uso-de-Computadores-por-Engenheiros-Estruturais?fbclid=IwAR2veUoW5Y1px9S
Zv1TxNp4I1dtg7TnkEJGVBYx0w1NuYs-eO1saPyXkchI
http://tqs.com.br/suporte-e-servicos/biblioteca-digital-tqs/89-artigos/390-Mau-Uso-de-Computadores-por-Engenheiros-Estruturais?fbclid=IwAR2veUoW5Y1px9SZv1TxNp4I1dtg7TnkEJGVBYx0w1NuYs-eO1saPyXkchI
http://tqs.com.br/suporte-e-servicos/biblioteca-digital-tqs/89-artigos/390-Mau-Uso-de-Computadores-por-Engenheiros-Estruturais?fbclid=IwAR2veUoW5Y1px9SZv1TxNp4I1dtg7TnkEJGVBYx0w1NuYs-eO1saPyXkchI
http://tqs.com.br/suporte-e-servicos/biblioteca-digital-tqs/89-artigos/390-Mau-Uso-de-Computadores-por-Engenheiros-Estruturais?fbclid=IwAR2veUoW5Y1px9SZv1TxNp4I1dtg7TnkEJGVBYx0w1NuYs-eO1saPyXkchI
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AULA 9
CÁLCULO DA ARMADURA DE 
FLEXÃO PARA LAJES DE SEÇÃO 
RETANGULAR
9.1 Lajes de seção retangular
As lajes maciças são placas de concreto, ou seja, elementos bidimensionais onde a 
espessura é consideravelmente menor que as dimensões do plano (comprimento e largura), 
os carregamentos nas placas atuam perpendicularmente ao plano. É importante ressaltar 
que nas estruturas de múltiplos pavimentos as lajes, além de funcionarem como placas, 
atuam ainda como chapas, absorvendo os carregamentos horizontais.
A NBR 6118:2014 em seu Item 13.2.4.1 estabelece as espessuras mínimas para as lajes 
maciças:
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para 
a espessura:
a) 7 cm para cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de 42 
para lajes de piso biapoiadas e 50 para lajes de piso contínuas;
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel (NBR 
6118, 2014, p. 74).
Esses limites mínimos de espessura são estabelecidos para assegurar adequado cobrimento 
da armadura, permitir passagem de instalações, além da segurança estrutural. Segundo 
Bastos (2015) as espessuras de lajes maciças de concreto armado variam entre 7 e 15 cm, 
espessuras maiores que 15 cm levam a lajes muito pesadas.
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9.2 Estimando a espessura de uma laje
O dimensionamento de uma laje maciça de concreto armado passa pela definição da 
espessura da mesma, para isso podemos utilizar a Equação a seguir:
d ≅ (2,5 - 0,1.n).l*/100
Onde:
 
d : Altura útil da laje (cm);
n: Número de bordas engastadas da laje;
l*: Comprimento da laje, determinado por:
l* ≤ { lx ou 0,7.ly
Determinada a altura útil da laje (d), pode-se determinar a espessura da laje (h) por meio 
da Equação abaixo:
h = d + (∅l/2) + c
Onde:
 
h : Espessura da laje (cm);
∅l: Diâmetro da armadura longitudinal (cm);
c: Cobrimento nominal da laje
9.3 Cálculo da armadura longitudinal
O procedimento para o cálculo das armaduras longitudinais de lajes é análogo ao apresentado 
no tópico 3, apenas deve-se considerar as lajes como vigas com largura constante de 1 m 
(100 cm), o que faz com que as equações se tornem:
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9.4 Cálculo com a utilização dos coeficientes K
Para o caso do cálculo mediante os coeficientes K o procedimento também é o mesmo, 
sendo necessária somente a consideração da largura como 100 cm, fazendo com que as 
equações se tornem:
 
9.5 Armadura longitudinal máxima
A NBR 6118:2014 estabelece limites máximos e mínimos para a quantidade de armaduras 
longitudinais nas lajes maciças, em seu Item 19.3.3.1 a norma diz que “Como as lajes armadas 
nas duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das 
armaduras positivas são reduzidos em relação aos definidos para elementos estruturais 
lineares” (NBR 6118:2014, p. 157).
9.5.1 Armadura máxima
Segundo a NBR 6118:2014, a soma das áreas de armaduras de compressão e de tração 
nas lajes maciças não deve ultrapassar o limite de calculado nas regiões de emenda de 
armadura, ou seja:
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As + A’s ≤ 4%.Ac
Onde:
 
As: Armadura longitudinal de tração;
A’s: Armadura longitudinal de compressão;
Ac: Área de concreto.
9.5.2 Armadura mínima
A fim de melhorar o desempenho das vigas à flexão, aumentando também a ductilidade 
das vigas a NBR 6118:2014 estabelece valores mínimos para a armadura de flexão, estes 
podem ser determinados. Os valores são dados em função da taxa de armadura e podem 
ser determinados com auxílio da Tabela 7.
Classe do 
concreto
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
0,15 0,15 0,15 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,259
Os valores de apresentados na Tabela consideram o uso do aço CA50, =1,4, =1,15 e relação d/h=0,8.
Tabela 7 - Taxas mínimas de armadura de flexão em lajes. Fonte: Adaptado de Bastos (2015, p. 32)
 
A taxa de armadura nas lajes (ρs) não deve ser inferior à taxa de mínima (ρmín), ou seja:
ρs = (As/(bw.h)) ≥ ρmín
Essa regra é válida apenas para as armaduras longitudinais negativas e positivas (principal).
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Sugestão para leitura - livro “Desconstruindo o projeto estrutural”.
Editora: Oficina de Textos.
Autor: José Sérgio dos Santos.
ISBN: 978-85-7975-261-2
Comentário: Este livro traz uma abordagem muito interessante acerca dos projetos 
estruturais, apresentando exemplos de projeto em uma sequência que de fato é 
executada na obra e trazendo ainda exemplos e explicações sobre os desenhos técnicos, 
permitindo que o leitor consiga compreender com clareza as informações exibidas em 
plantas, cortes e detalhes estruturais.
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AULA 10
DIMENSIONAMENTO NA 
FLEXÃO SIMPLES
10.1