Lista de Exercícios Cálculo Tranformada de Laplace

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Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia de Computação 
Disciplina de Cálculo 
Prof. Rafael Sartori 
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Lista de exercícios 
1 – A figura abaixo representa um sistema de tração de uma locomotiva diesel-elétrica. A locomotiva possui um 
conjunto de motores elétricos localizados em cada eixo. A velocidade da locomotiva é igual as velocidades dos motores 
elétricos de tração. A alimentação dos motores de tração é fornecida por um gerador de corrente contínua (CC). A 
velocidade do motor de tração é ajustada pela variação da tensão do gerador CC. A tensão do gerador é ajustada 
através do controle da tensão aplicada no campo do gerador. O motor diesel é utilizado para fornecer potência 
mecânica ao gerador CC e em condições normais a velocidade do motor diesel é mantida constante. A velocidade de 
referência é ajustada por um potenciômetro. O erro entre a velocidade de referência e a velocidade medida no motor 
de tração, é amplificado e fornecido na alimentação do campo do gerador CC. Determine o diagrama de blocos 
completo e a função de transferência ωo(s)/ωref(s). 
Equações do sistema de tração de uma locomotiva diesel-elétrica 
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡) 
𝑣𝑣𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾(𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡) − 𝐾𝐾𝑝𝑝𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡)) 
𝐿𝐿𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝑟𝑟(𝑡𝑡) 
𝑣𝑣𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡) (𝐿𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑔𝑔)𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + �𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑔𝑔�𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝑔𝑔(𝑡𝑡) − 𝐾𝐾𝑏𝑏𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡) 
𝑇𝑇𝑟𝑟𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡) 
𝑇𝑇𝑟𝑟𝑒𝑒(𝑡𝑡) − 𝑇𝑇𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 𝐽𝐽 𝑑𝑑𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑓𝑓𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡) 
Constantes e variáveis do sistema Descrição 
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡) Velocidade de referência do motor diesel 
𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 Ganho introduzido pelo potenciômetro 
𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡) Fonte de tensão CC 
𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡) Velocidade do motor de tração 
𝐾𝐾 Ganho introduzido pelo amplificador 
𝐾𝐾𝑝𝑝 Constante da fcem (força contra eletromotriz) do gerador CC 
𝑣𝑣𝑟𝑟(𝑡𝑡) Tensão de campo do gerador CC 
𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡) Corrente de campo do gerador CC 
𝑅𝑅𝑟𝑟 Resistência de campo do gerador CC 
𝐿𝐿𝑟𝑟 Indutância de campo do gerador CC 
𝐾𝐾𝑔𝑔 Constante de torque do gerador CC 
𝑣𝑣𝑔𝑔(𝑡𝑡) Tensão de armadura do gerador CC 
𝐾𝐾𝑏𝑏 Constante de fcem do motor CC 
𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡) Corrente de armadura do motor CC 
𝑅𝑅𝑎𝑎 Resistência de armadura do motor CC 
𝑅𝑅𝑔𝑔 Resistência de armadura do gerador CC 
𝐿𝐿𝑎𝑎 Indutância de armadura do motor CC 
𝐿𝐿𝑔𝑔 Indutância de armadura do gerador CC 
𝑇𝑇𝑟𝑟𝑒𝑒(𝑡𝑡) Torque eletromagnético do motor CC 
 
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𝐾𝐾𝑒𝑒 Constante de torque do motor CC 
𝑇𝑇𝑑𝑑(𝑡𝑡) Torque de carga (perturbação) 
𝐽𝐽 Momento de inércia da carga e do motor CC 
𝑓𝑓 Constante de atrito da carga e do motor CC 
 
𝜔𝜔𝑝𝑝
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
= 𝐾𝐾.𝐾𝐾𝑔𝑔.𝐾𝐾𝑒𝑒
�𝐿𝐿𝑟𝑟𝑠𝑠 + 𝑅𝑅𝑟𝑟�. �𝐽𝐽. �𝐿𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑔𝑔�𝑠𝑠2 + �𝐽𝐽. �𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑔𝑔� + 𝑓𝑓. �𝐿𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑔𝑔�� 𝑠𝑠 + 𝑓𝑓. �𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑔𝑔� + 𝐾𝐾𝑏𝑏 .𝐾𝐾𝑒𝑒� + 𝐾𝐾.𝐾𝐾𝑔𝑔.𝐾𝐾𝑒𝑒.𝐾𝐾𝑝𝑝 
 
2 - A figura 3 mostra um esquema de um quadrotor, um veículo aéreo de quatro hélices. O controle de posição, 
orientação e velocidade deste veículo é realizado acionando os motores de forma independente, de forma tal que 
com a combinação das velocidades de giro de cada um deles se geram os diferentes movimentos. Por exemplo, para 
executar uma manobra de subida ou descida, gerando um deslocamento em Z, os quatro motores são acionados 
simultaneamente e com a mesma velocidade de forma a produzir um empuxo na direção desejada. Já para gerar um 
deslocamento no plano (X,Y) os motores são acionados aos pares, produzindo uma inclinação do quadrotor e o 
consequente movimento. 
 
Figura 1 – Quadrotor 
 
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No caso de estudo deste problema apenas se analisa o controle de Z para o qual todos os motores recebem a 
mesma referência de velocidade. Assim, é possível fazer uma análise simplificada e considerar o controle de um 
único motor de potência 4 vezes maior que a dos motores instalados. 
As perturbações que afetam o sistema de posicionamento de Z são basicamente duas, a variação de carga do 
veículo 𝑄𝑄1 e a variação da velocidade do vento 𝑄𝑄2. A carga é uma perturbação que pode ser medida ou estimada, o 
que não acontece com o vento. O modelo linearizado deste sistema pode ser escrito como: 
𝑍𝑍(𝑠𝑠) = 1
𝑠𝑠2
[5𝐸𝐸(𝑠𝑠) − 𝑄𝑄1(𝑠𝑠) + 2𝑄𝑄2(𝑠𝑠)] 
Sendo 𝐸𝐸(𝑠𝑠) o empuxo gerado pelo motor. Por outro lado, o modelo que representa o empuxo do motor vem dado 
por: 
𝐸𝐸(𝑠𝑠) = 2𝑊𝑊(𝑠𝑠) 
Sendo 𝑊𝑊(𝑠𝑠) a velocidade angular do motor, modelada por: 
𝑊𝑊(𝑠𝑠) = 10.005𝑠𝑠 + 1 [3𝑉𝑉(𝑠𝑠) − 𝑄𝑄3(𝑠𝑠)] 
Onde 𝑉𝑉(𝑠𝑠) é a tensão de alimentação do motor e 𝑄𝑄3 representa a perturbação causada pelo efeito solo (que 
representa o torque causado pela reflexão do fluxo de ar no solo sobre o motor quando ele se aproxima de um 
obstáculo. 
Desenhe o diagrama de blocos do sistema. 
4 - Considerando um sinal, definido pelas funções apresentadas nos itens a seguir,, determine as respostas temporais 
y(t) e usando o TVF e TVI determine o valor inicial e final para cada um dos casos: 
a) 𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 2
𝑠𝑠3+7𝑠𝑠2+14𝑠𝑠+8
 
 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −1𝑒𝑒−2𝑝𝑝 + 2
3
𝑒𝑒−𝑝𝑝 + 1
3
𝑒𝑒−4𝑝𝑝, ∀𝑡𝑡 ≥ 0 
 
b) 𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 3
𝑠𝑠(𝑠𝑠2+2𝑠𝑠+5) 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 35 − 35 𝑒𝑒−𝑝𝑝 �cos 2𝑡𝑡 + 12 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 2𝑡𝑡� , ∀𝑡𝑡 ≥ 0 
c) 𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠+1
𝑠𝑠(𝑠𝑠2+4𝑠𝑠+4) 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 14 − 14 𝑒𝑒−2𝑝𝑝 + 12 𝑡𝑡𝑒𝑒−2𝑝𝑝, ∀𝑡𝑡 ≥ 0 
d) 𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 1
𝑠𝑠(𝑠𝑠3+6𝑠𝑠2+11𝑠𝑠+6) 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 16 − 12 𝑒𝑒−𝑝𝑝 + 12 𝑒𝑒−2𝑝𝑝 − 16 𝑒𝑒−3𝑝𝑝, ∀𝑡𝑡 ≥ 0 
e) 𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠+1
𝑠𝑠(𝑠𝑠+2)3 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 18 − 18 𝑒𝑒−2𝑝𝑝 − 14 𝑡𝑡𝑒𝑒−2𝑝𝑝 − 12 𝑡𝑡2𝑒𝑒−2𝑝𝑝, ∀𝑡𝑡 ≥ 0 
f) 𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠3+2𝑠𝑠+4
𝑠𝑠4−16
 
 
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𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 14 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠ℎ(2𝑡𝑡) + 34 cosh (2𝑡𝑡) − 14 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(2𝑡𝑡) + 14 cos (2𝑡𝑡), ∀𝑡𝑡 ≥ 0 
5 – Encontre a solução 𝑦𝑦(𝑡𝑡) para a seguinte equação diferencial 
�̈�𝑦(𝑡𝑡) + 7�̇�𝑦(𝑡𝑡) + 12𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 3𝑟𝑟(𝑡𝑡) 
sendo 𝑦𝑦(0) = 0, �̇�𝑦(0) = 0 e 𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 1, 𝑡𝑡 ≥ 0. 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 14 − 𝑒𝑒−3𝑝𝑝 + 34 𝑒𝑒−4𝑝𝑝,∀𝑡𝑡 ≥ 0 
6 – Para a equação diferencial apresentada abaixo, determine a resposta temporal 𝑦𝑦(𝑡𝑡), sendo 𝑦𝑦(0) = 0, �̇�𝑦(0) = 0 e 
𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. 
�̈�𝑦(𝑡𝑡) + 4�̇�𝑦(𝑡𝑡) + 3𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 5𝑟𝑟(𝑡𝑡) 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −209 + 53 𝑡𝑡 + 52 𝑒𝑒−𝑝𝑝 − 518 𝑒𝑒−3𝑝𝑝,∀𝑡𝑡 ≥ 0 
 
7 – Aplique a Transformada de Laplace à seguinte equação diferencial 
�̈�𝑦(𝑡𝑡) + 3�̇�𝑦(𝑡𝑡) + 6𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 0 
sendo 𝑦𝑦(0) = 0, �̇�𝑦(0) = 3, para obter a solução 𝑦𝑦(𝑡𝑡) no domínio do tempo. 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 3
�3,75 𝑒𝑒−1,5𝑝𝑝𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 ��3,75𝑡𝑡� ,∀𝑡𝑡 ≥ 0 
8 – Determine a resposta temporal para a seguinte equação diferencial 
�̈�𝑦(𝑡𝑡) + 2�̇�𝑦(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒𝑝𝑝 
sendo as condições iniciais 𝑦𝑦(0) = 1 e �̇�𝑦(0) = 2. 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 32 + 13 𝑒𝑒𝑝𝑝 − 56 𝑒𝑒−2𝑝𝑝,∀𝑡𝑡 ≥ 0 
 
9 - Um parque de geração eólica está composto por um conjunto de pares turbina-gerador eólicos, a cada um deles 
usa a energia do vento para obtenção de energia 
elétrica. O vento chega na turbina é classificado em três 
faixas de acordo com a sua velocidade, na faixa devento 
com velocidade abaixo de 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 a turbina é desligada 
porque não há como gerar energia. Acima da velocidade 
máxima 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚 a turbina também é desligada e trava por 
segurança. Assim, para ventos de velocidade entre 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 
e 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚 o sistema de controle de cada par turbina-
gerador tenta extrair a maior quantidade de energia 
possível do vento, como se explica na continuação. 
 O vento incidente sobre as pás da turbina eólica cria 
um torque mecânico no eixo, que depende 
fundamentalmente da velocidade do vento, da 
densidade do ar e do tamanho e posicionamento da pá 
da turbina. Este torque é usado para movimentar o 
 
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rotor de um gerador acoplado a esse eixo, de forma que a energia mecânica é transformada em energia elétrica 
quando o gerador é magnetizado. Desta forma o gerador funciona como um freio para o sistema mecânico. Em 
equilíbrio dinâmico, ou seja, com velocidade de vento (𝑣𝑣) constante e velocidade do rotor da turbina (𝑤𝑤) constante, 
o gerador tem uma corrente no estator 𝐼𝐼 constante, e, por conseguinte uma tensão de saída 𝑢𝑢 constante. Para 
maximizar a captação da energia geralmente se usa uma estratégia que tenta manter a velocidade da turbina 
proporcional à velocidade do vento e, para isso, o sistema utiliza um estimador da velocidade do vento que fornece 
um valor de 𝑣𝑣� que pode ser usado no sistema de controle. Porém, para melhorar o comportamento dinâmico da 
turbina, pequenas flutuações do vento devem ser rejeitadas rapidamente, de forma que 𝑤𝑤 apenas siga o valor médio 
da velocidade do vento. A figura 1 mostra um esquema de uma turbina-gerador eólica. 
O modelo linearizado que descreve o comportamento das diferentes variáveis de uma turbina e seu gerador num 
ponto de equilíbrio é dado pelas seguintes equações diferenciais (tempo dado em segundos): 0,02𝑑𝑑𝑤𝑤(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑤𝑤(𝑡𝑡) = 𝑇𝑇𝑒𝑒(𝑡𝑡) − 𝑇𝑇𝑟𝑟(𝑡𝑡) 
𝑇𝑇𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 0,1𝑣𝑣(𝑡𝑡) 𝑇𝑇𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 0,2𝐼𝐼(𝑡𝑡) 0,01𝑑𝑑𝐼𝐼(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 0,02[31,25𝑤𝑤(𝑡𝑡) − 𝑢𝑢(𝑡𝑡)] 
Onde 𝑢𝑢(𝑡𝑡) é o sinal de entrada (variável manipulada) que define a corrente 𝐼𝐼(𝑡𝑡) a ser puxada pelo gerador, 𝑇𝑇𝑒𝑒(𝑡𝑡) é 
o torque mecânico gerado pelo vento, 𝑇𝑇𝑟𝑟(𝑡𝑡) é o torque elétrico gerado por 𝐼𝐼(𝑡𝑡), 𝑣𝑣(𝑡𝑡) é a velocidade do vento e 𝑤𝑤(𝑡𝑡) 
a velocidade de giro da turbina (variável de processo). Pede-se: 
a) Aplique a transformada de laplace nas equações apresentadas para a turbina-gerador eólica, considerando todas as 
condições iniciais iguais a zero. E obtenha as funções de transferência (De saída para entrada(s)): 
i. De 𝑤𝑤(𝑠𝑠) para 𝑇𝑇𝑒𝑒(𝑠𝑠), 𝑇𝑇𝑟𝑟(𝑠𝑠) 
ii. De 𝑇𝑇𝑒𝑒(𝑠𝑠) para 𝑣𝑣(𝑠𝑠) 
iii. De 𝑇𝑇𝑟𝑟(𝑠𝑠) para 𝐼𝐼(𝑠𝑠) 
iv. De 𝐼𝐼(𝑠𝑠) para 𝑤𝑤(𝑠𝑠), 𝑢𝑢(𝑠𝑠) 
b) Obtenha o diagrama de blocos do sistema em malha aberta, indicando todos os sinais envolvidos; 
 
c) Obtenha as funções de tranferência: 
i. De 𝑤𝑤(𝑠𝑠) para 𝑢𝑢(𝑠𝑠) para obter essa função de transferência considere 𝑣𝑣(𝑠𝑠) = 0 
ii. De 𝑤𝑤(𝑠𝑠) para 𝑣𝑣(𝑠𝑠) para obter essa função de transferência considere 𝑢𝑢(𝑠𝑠) = 0 
d) Obtenha a resposta temporal para: 
i. Para 𝑤𝑤(𝑠𝑠) considerando uma entrada do tipo degrau unitário em 𝑢𝑢(𝑠𝑠) 
ii. Para 𝑤𝑤(𝑠𝑠) considerando uma entrada do tipo degrau unitário em 𝑣𝑣(𝑠𝑠)