exercício de calculo

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Lista 4 Nome:
Departamento de Ana´lise GAN
To´picos de Matema´tica Aplicada - A1
1. Calcule os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais das seguintes func¸o˜es. Indicar o valor da func¸a˜o
nesses pontos:
(a) f(x, y) = x2 + y2 + xy − 3y + 2
(b) f(x, y) = −3x2 + 2xy − y2 − 6x + 2y + 10
(c) f(x, y) = x2 − 2xy + 2y
3
3
− 4y + 4x + 1
(d) f(x, y) = x4 − y3 − 2x2 + y2 + y + 1
(e) f(x, y) = 100xye−(x+y)
(f) f(x, y) = y ln(x)
(g) f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1)
(h) f(x, y) = x4 + 2xy + y4 + 1
(i) f(x, y) =
√
xy − x− y + 2
(j) f(x, y) = 3xey − x3 − e3y
2. Formas alternativas dum mesmo gene sa˜o chamadas de alelos. Treˆs alelos A,B,O determinam
os tipos sangu´ıneos humanos, A, B, O e AB. Se p, q, r sa˜o as proporc¸o˜es de A,B,O em uma certa
populac¸a˜o (de modo que p+q+r = 1). Nesse caso, a lei de Hardy-Weinberg da gene´tica afirma
que a proporc¸a˜o de individuos com aleleos diferentes e dada por P (p, q, r) = 2pq + 2pr + 2qr.
Qual e´ o maior valor poss´ıvel de P? (Dica: observe que r = 1−p−q, substituindo na expressa˜o
de P temos que e´ uma func¸a˜o das duas varia´veis p, q).
3. Tres reagentes A,B,C reagem para dar um produto. A eficieˆncia da reac¸a˜o e´ medida em func¸a˜o
das proporc¸o˜es x, y dos dois primeiros reagentes respeito do terceiro (Exemplo: se x = 2, y = 3
temos dois unidades de A e treˆs unidades de B por cada unidade de C). A eficieˆncia toma
valores entre 0 e 1 onde valores maiores implicam maior eficieˆncia. Se a eficieˆncia dessa reac¸a˜o
qu´ımica e´ modelada pela func¸a˜o:
E(x, y) =
1
x2 + y2 − 2x− 4y + 7
Para quais proporc¸o˜es de A e B respeito de C a eficieˆncia e´ ma´xima? Qual e´ o valor da eficieˆncia
ma´xima?
4. Um pacote com o formato de uma caixa retangular pode ser enviado pelo correio como en-
comenda postal sempre que o seu comprimento (soma dos comprimentos das suas arestas) for
de, no ma´ximo, 108 cm. Determine as dimenso˜es do pacote de maior volume que pode ser
enviado como encomenda postal.