ESTATISTICA_1_2014

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ESTATÍSTICA 
 
 
O presente material foi elaborado com o objetivo de facilitar as atividades em sala de 
aula, seguindo a bibliografia apresentada no final do texto. Esclarece-se que o material, não 
substitui a bibliografia apresentada, portanto, é necessário consultar os livros recomendados. 
 
Profa. Sachiko Araki Lira 
. 
 
 
 
 
 
 
1º. SEMESTRE DE 2014 
 
SUMÁRIO 
ii 
 SUMÁRIO 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA ........................................................................................................ 1 
1.1 Variável Aleatória ................................................................................................................ 2 
1.2 Tipos de Escalas e Variáveis............................................................................................... 4 
1.3 Tabelas ............................................................................................................................... 5 
1.3.1 Normas para apresentação de tabelas ............................................................................. 5 
1.3.2 Tabelas de distribuição de frequências............................................................................. 6 
1.3.2.1 Variável Discreta ........................................................................................................... 6 
1.3.2.2 Variável Contínua .......................................................................................................... 8 
1.4 Gráficos ............................................................................................................................... 9 
1.4.1 Representação Gráfica ..................................................................................................... 9 
1.4.2 Histograma de Frequências.............................................................................................. 9 
1.4.3 Diagrama de Ramo e Folhas (Stem and Leaf Plot) ........................................................ 10 
1.4.4 Gráfico de Boxplot ou da Caixa ...................................................................................... 11 
1.4.5 Gráfico de Linhas ........................................................................................................... 12 
1.5 Medidas de Localização, Variabilidade e Forma da Distribuição ....................................... 12 
1.5.1 Tendência Central .......................................................................................................... 13 
1.5.1.1 Esperança matemática ou média aritmética ................................................................ 13 
1.5.1.2 Mediana ...................................................................................................................... 15 
1.5.1.3 Moda ........................................................................................................................... 18 
1.5.2 Medidas de Posição (ou Separatrizes) ........................................................................... 20 
1.5.2.1 Quartil.......................................................................................................................... 20 
1.5.3 Medidas de Dispersão .................................................................................................... 22 
1.5.3.1 Amplitude Total ........................................................................................................... 22 
1.5.3.2 Amplitude Interquartil ................................................................................................... 23 
1.5.3.3 Desvio Médio ............................................................................................................... 23 
1.5.3.4 Variância e Desvio Padrão .......................................................................................... 24 
1.5.3.5 Coeficiente de Variação............................................................................................... 27 
1.5.4 Forma da Distribuição .................................................................................................... 27 
1.5.4.1 Coeficiente do momento de assimetria ........................................................................ 27 
1.5.4.2 Coeficiente do momento de curtose ............................................................................ 28 
Lista de Exercícios no. 1 – Estatística Descritiva ..................................................................... 31 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES ....................................................................................... 34 
2.1 Experimento Aleatório (E) ................................................................................................ 34 
2.2 Espaço Amostral (S) ......................................................................................................... 34 
2.3 Evento ............................................................................................................................... 34 
2.3.1 Evento Complementar .................................................................................................... 35 
2.3.2 Eventos Independentes .................................................................................................. 35 
2.3.3 Eventos Mutuamente Exclusivos .................................................................................... 36 
2.4 Definição Clássica de Probabilidade ................................................................................. 37 
2.5 Definição Axiomática de Probabilidade ............................................................................. 37 
2.6 Probabilidade Condicional ................................................................................................. 37 
2.7 Teorema da Probabilidade Total ....................................................................................... 38 
2.8 Teorema de Bayes ............................................................................................................ 39 
Lista de Exercícios no. 2 - Probabilidades ............................................................................... 40 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES .............. 43 
3.1 Definições ......................................................................................................................... 43 
3.2 Distribuições de Probabilidades Discretas ......................................................................... 46 
3.2.1 Distribuição binomial ...................................................................................................... 46 
3.2.2 Distribuição de Poisson .................................................................................................. 48 
3.2.3 Distribuição Hipergeométrica .......................................................................................... 50 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
iii 
Lista de Exercícios no. 3 – Distribuições de Probabilidades Discretas .................................... 52 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES .............. 54 
4.1 Definições ......................................................................................................................... 54 
4.2 Distribuições de Probabilidades Continuas ........................................................................ 56 
4.2.1 Distribuição Exponencial ................................................................................................ 56 
4.2.2 Distribuição normal ou Gaussiana .................................................................................. 57 
4.3.2.1 Distribuição normal padronizada ou reduzida .............................................................. 59 
4.3.3 Distribuição 
2
 ( qui-quadrado)...................................................................................... 61 
4.3.4 Distribuição “ 
t
” de Student............................................................................................ 62 
4.3.5 Distribuição F de Snedecor ............................................................................................ 63 
Lista de Exercícios no. 4 – Distribuições de Probabilidades Contínuas ................................... 64 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS.............................................. 66 
5.1 Introdução ......................................................................................................................... 66 
5.2 Amostragem Probabilística ................................................................................................ 66 
5.2.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS) ............................................................................ 66 
5.2.2 Amostragem Sistemática ................................................................................................ 67 
5.2.3 Amostragem Estratificada............................................................................................... 68 
5.3 Distribuições Amostrais ..................................................................................................... 68 
5.3.1 Distribuição Amostral de Médias .................................................................................... 68 
5.3.2 Distribuição Amostral de Proporções .............................................................................. 72 
5.3.3 Distribuição Amostral da Variância ................................................................................. 72 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS .............................................................................................. 74 
6.1 Introdução ......................................................................................................................... 74 
6.2 Estimador e Estimativa ...................................................................................................... 74 
6.3 Qualidades de um Estimador ............................................................................................ 74 
6.4 Estimação por Pontos ....................................................................................................... 75 
6.4.1 Estimador da Média Populacional .................................................................................. 75 
6.4.2 Estimador da Variância Populacional ............................................................................. 75 
6.4.3 Estimador do Desvio Padrão Populacional ..................................................................... 76 
6.4.4 Estimador da Proporção Populacional ............................................................................ 76 
6.5 Estimação por Intervalo ..................................................................................................... 76 
6.5.1 Intervalo de Confiança para Média populacional ............................................................ 76 
6.5.2 Intervalo de Confiança para Diferença entre Duas Médias Populacionais 
1
 e 
2
......... 80 
6.5.3 Intervalo de Confiança para a Variância Populacional .................................................... 84 
6.5.4 Intervalo de Confiança para o Desvio Padrão Populacional ........................................... 85 
6.5.5 Intervalo de Confiança para Proporção Populacional ..................................................... 86 
6.6 Dimensionamento da Amostra .......................................................................................... 87 
6.6.1 Estimação da Média Populacional .................................................................................. 87 
6.6.2 Estimação da Proporção Populacional ........................................................................... 88 
Lista de Exercícios no. 5 - Intervalos de Confiança ................................................................ 89 
TESTES DE HIPÓTESES .......................................................................................................... 92 
7.1 Etapas para Testes de Hipóteses ...................................................................................... 92 
7.1.1 Nível de Significância ..................................................................................................... 92 
7.1.2 Erro Estatístico ............................................................................................................... 93 
7.2 Testes Estatísticos Paramétricos ...................................................................................... 93 
7.2.1 Teste para a Média Populacional ................................................................................... 93 
7.2.1.1 Quando a variância populacional 
2
 é Conhecida ...................................................... 93 
7.2.1.2 Quando a variância populacional 
2
 é desconhecida ................................................. 95 
7.2.2 Teste para a Proporção Populacional ............................................................................. 96 
7.2.3 Teste para a Variância Populacional .............................................................................. 98 
7.2.4 Teste para a Diferença entre Duas Médias Populacionais............................................ 100 
7.2.4.1 Quando as variâncias populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Conhecidas ................................ 100 
7.2.4.2 Quando as variâncias populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Desconhecidas .......................... 102 
7.2.5 Duas Amostras Emparelhadas ..................................................................................... 106 
7.2.6 Teste para Igualdade de Duas Variâncias .................................................................... 107 
 
SUMÁRIO 
iv 
Lista de Exercícios no. 6 – Testes de Hipóteses ................................................................... 110 
TESTES DE ADERÊNCIA ....................................................................................................... 113 
8.1 Teste Qui-quadrado de Aderência ................................................................................... 113 
8.2 Teste de Lilliefors ............................................................................................................ 117 
Lista de Exercícios no. 7 – Testes de Aderência ................................................................... 119 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA ........................................................................................................ 121 
9.1 Fundamentos da ANOVA ................................................................................................ 121 
9.2 Análise da Variância a um Critério de Classificação ........................................................ 123 
9.3 Comparações Múltiplas entre Médias .............................................................................. 128 
9.3.1 Teste de Scheffé .......................................................................................................... 128 
Lista de Exercícios no. 8 – Análise da Variância ................................................................... 131 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO SIMPLES ....................................................... 133 
10.1 Introdução ..................................................................................................................... 133 
10.2 Diagrama de Dispersão ................................................................................................. 133 
10.3 Análise de Correlação ................................................................................................... 134 
10.3.1 Coeficiente de Correlação Linear de Pearson ............................................................ 134 
10.3.1.1 Teste de Hipóteses para Coeficiente de Correlação ................................................136 
10.4 Análise de Regressão Linear Simples ........................................................................... 137 
10.4.1 Estimação dos Parâmetros ......................................................................................... 138 
10.4.2 Testes de Hipóteses na Regressão Linear ................................................................ 141 
10.4.2.1Teste 
t
 ..................................................................................................................... 141 
10.4.2.2 Análise da Variância ................................................................................................ 141 
10.4.3 Coeficiente de Determinação ou Explicação............................................................... 144 
10.5 Ajuste de Curva Geométrica (ou Função Potência) ....................................................... 147 
10.5.1 Estimativa dos Coeficientes ........................................................................................ 148 
10.5.2 Testes de Hipóteses ................................................................................................... 149 
10.5.2.1 Análise da Variância ................................................................................................ 149 
10.5.3 Coeficiente de Determinação ou Explicação............................................................... 149 
10.6 Ajuste de Função Exponencial ...................................................................................... 152 
10.6.1 Estimativa dos Coeficientes ........................................................................................ 153 
10.6.2 Testes de Hipóteses ................................................................................................... 154 
10.6.2.1 Análise da Variância ................................................................................................ 154 
10.6.3. Coeficiente de Determinação ou Explicação .............................................................. 154 
Lista de Exercícios no. 9 – Análise de Correlação e Regressão ............................................ 158 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA ..................................................................... 160 
11.1 Regressão Linear com 2 Variáveis Independentes ........................................................ 160 
11.1.1 Estimativas dos Coeficientes de Regressão ............................................................... 161 
1.1.2 Teste para Verificar a Existência de Regressão ........................................................... 161 
11.1.3 Cálculo do Coeficiente de Determinação ou Explicação ............................................. 161 
Lista de Exercícios no. 10 – Análise de regressão Linear Múltipla ........................................ 166 
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 168 
TABELA A1.1 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL ............................................................... 169 
TABELA A1.2 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL ............................................................... 170 
TABELA A2 - DISTRIBUIÇÃO ‘
t
’ DE STUDENT .................................................................. 171 
TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE 
2
 .................................................................................. 172 
TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância 1%) .................... 173 
TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância de 5%) ............... 174 
TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância de 10%) ............. 175 
TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS 
)cd(
 PARA TESTE DE LILLIERFORS ....................... 176 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
1 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
INTRODUÇÃO 
Estatística é a ciência que trata da coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos 
dados experimentais. O diagrama abaixo mostra o contexto em que se situa o estudo completo 
da Estatística, aqui subdividido em Estatística Descritiva e Estatística Indutiva (ou Inferência 
Estatística). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 1 - ESQUEMA GERAL DA ESTATÍSTICA 
FONTE: COSTA NETO (1994), p. 04. 
 
A Estatística Descritiva é a parte que trata da organização e descrição de dados, através dos 
cálculos de médias, variâncias, estudo de gráficos, tabelas etc. 
A Teoria das Probabilidades permite-nos modelar os fenômenos aleatórios, ou seja, aqueles em 
que está presente a incerteza. É uma ferramenta fundamental para a inferência estatística. 
A Estatística Indutiva compreende um conjunto de técnicas baseadas em probabilidades, que a 
partir de dados amostrais, permite-nos tirar conclusões sobre a população de interesse. 
A Amostragem é o ponto de partida para um estudo estatístico. O estudo de qualquer 
fenômeno, seja ele natural, social, econômico ou biológico, exige a coleta e a análise de dados 
estatísticos. A coleta de dados é, pois, a fase inicial de qualquer pesquisa. 
A População é o conjunto de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno. O 
conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma amostra da população. 
É a partir do dado amostral, que se desenvolvem os estudos, com o objetivo de se fazer 
inferências sobre a população. 
 
 
Estatística 
Descritiva 
Amostragem Cálculo das 
Probabilidade
s 
Estatística 
Indutiva 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
2 
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
O objetivo da estatística descritiva é organizar os dados e apresentá-los de forma a possibilitar a 
visualização das informações subjacentes (que não são observáveis). As técnicas estatísticas e 
gráficas, disponíveis para a análise exploratória de dados, podem ser aplicadas a qualquer 
conjunto de dados, sejam para dados populacionais ou amostrais. 
O parâmetro é uma medida numérica que descreve de forma reduzida alguma característica de 
uma população ou universo. É habitualmente representado por letras gregas. Por exemplo: μ 
(média), σ (desvio padrão), ρ (coeficiente de correlação). O parâmetro normalmente é 
desconhecido e, deseja-se estimar através de dados amostrais. 
Estatística ou medida amostral é uma medida numérica que descreve alguma característica de 
uma amostra. É habitualmente representada por letras latinas. Por exemplo: 
X
 (média), S 
(desvio padrão), r (coeficiente de correlação). 
Em resumo, a análise exploratória de dados permite organizar os dados através de tabelas, 
gráficos e medidas de localização e dispersão, procurando mostrar um padrão ou 
comportamento de um conjunto de dados. 
1.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
Variável aleatória é aquela cujo valor numérico não é conhecido antes da sua observação. Esta 
tem uma distribuição de probabilidades associada, o que permite calcular a probabilidade de 
ocorrência de certos valores. 
Geralmente, utilizam-se letras maiúsculas (X, Y, Z...) para designar as variáveis aleatórias, e 
minúsculas (x, y, z...) para indicar particulares valores dessas variáveis. O comportamento de 
uma variável aleatória é descrito por sua distribuição de probabilidade. 
Exemplo: Suponha que em um lote de 10 parafusos, 2 são defeituosos. A variável aleatória 
X=número de parafusos defeituosos, na escolha de 3 parafusos com reposição, pode assumir os 
seguintes valores: 












DDDsse,3
PDDsouDPDsouDDPsse,2
PPDsouPDPsouDPPsse,1
PPPsse,0
)s(X 
sendo P=perfeito e D=defeituoso. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA X 
xX 
 
)xX(P 
 
0 
512,0)108( 3 
 
1 
384,0)102()108(3 2 
 
2 
096,0)102()108(3 2 
 
3 
008,0)10/2( 3 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
3A função de repartição ou função de distribuição acumulada da v. a X é definida por 
Rx,)xX(P)x(F XX 
, ou seja, é definida como sendo a probabilidade de X assumir um valor 
menor ou igual a x. Para o exemplo tem-se: 
 
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DA VARIÁVEL 
ALEATÓRIA X 
xX 
 
)xX(P 
 
)x(F
X
 
0 
512,0)108( 3 
 0,512 
1 
384,0)102()108(3 2 
 0,896 
2 
096,0)102()108(3 2 
 0,992 
3 
008,0)10/2( 3 
 1,000 
1.1.1 ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS 
1. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último 
número que permanecer. 
Exemplo: seja o número 48,231, ao arredondar para 2 casas decimais ficará 48,23. 
2. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade 
o último algarismo a permanecer. 
Exemplo: o número 23,077, ao arredondar para 2 casas decimais ficará 23,08. 
3. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, haverá duas formas: 
a) como regra geral, aumenta-se de uma unidade o último algarismo a permanecer. 
Exemplo: 12,5253 ficará 12,53. 
b) se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado se for 
ímpar. 
Exemplo: 24,7750 passa a ser 24,78 
 24,7650 passa a ser 24,76. 
 
Exemplos: arredondar os números dados para 2 casa decimais. 
17,44452 ficará 17,44; 
179,5673 ficará 179,57; 
87,4931 ficará 87,49; 
4,5652 ficará 4,57; 
4,5650 ficará 4,56; 
4,575 ficará 4,58. 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
4 
4. Quando houver parcelas e total, e ocorrer diferença no arredondamento, deve-se fazer 
correção na parcela (ou parcelas) onde o erro relativo for menor. 
Exemplo: 
 2,4 para 2 
13,4 14 
16,1 16 
----- ---- 
31,9 32 
1.2 TIPOS DE ESCALAS E VARIÁVEIS 
Uma variável pode se apresentar das seguintes formas, quanto aos valores assumidos: 
1.o Escala nominal: é aquela que permite o agrupamento da unidade de observação (unidade da 
pesquisa) de acordo com uma classificação qualitativa em categorias definidas, ou seja, consiste 
simplesmente em nomear ou rotular, não sendo possível estabelecer graduação ou ordenamento. 
Ao se trabalhar com essa escala, cada unidade de observação deve ser classificada em uma e 
somente uma categoria, isto é, deve ser mutuamente excludente. 
Por exemplo, seja X, a variável, estado de uma peça de automóvel. Neste caso, a variável X 
assume as categorias “perfeita” e “defeituosa”, sendo denominada dicotômica. Quando assume 
mais de duas categorias é denominada politômica. Não tem significado aritmético ou de 
quantificação, não se faz cálculos, apenas a contagem. 
2.o Escala ordinal: permite o agrupamento da unidade de observação de acordo com uma ordem 
de classificação. A escala ordinal fornece informações sobre a ordenação das categorias, mas 
não indica a grandeza das diferenças entre os valores. 
Exemplo: Seja X a variável que indica a qualidade de um determinado produto. Tem-se então: A 
(indicando melhor qualidade), B (qualidade intermediária) e C (pior qualidade). 
3.º Escala intervalar: é uma escala ordinal em que a distância entre as categorias é sempre a 
mesma. As escalas para medir temperaturas como a Fahrenheit e a Centígrada são exemplos de 
escalas de intervalo. Não se pode afirmar que 40 graus é duas vezes mais quente que uma 
temperatura de 20 graus, embora se possa dizer que a diferença entre 20 graus e 40 graus é a 
mesma que entre 75 graus e 95 graus. 
4.º Escala de razão: quando uma escala tem todas as características de uma escala intervalar e 
o zero absoluto representa o ponto de origem, é chamada escala de razão. Sempre que possível, 
é preferível utilizar a medida de escala de razão, pois a partir desta pode-se transformar em 
escala intervalar, ordinal ou nominal, não ocorrendo o inverso. 
De acordo com o nível de mensuração, a variável pode ser classificada em qualitativa ou 
quantitativa. Variável qualitativa é aquela cujo nível de mensuração é nominal ou ordinal, 
enquanto a quantitativa é aquela em que o nível de mensuração é intervalar ou de razão. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
5 
A variável quantitativa pode ser ainda discreta ou contínua, sendo a primeira resultante de 
contagem, assumindo somente valores inteiros, e a última de medições, assumindo qualquer 
valor no campo dos números reais. Apresentam-se, a seguir, os conceitos de variáveis 
quantitativas discretas e contínuas. 
 
Variável aleatória discreta: uma variável aleatória X é discreta se o conjunto de valores 
possíveis de X for finito ou infinito numerável. 
Variável aleatória contínua: a variável aleatória X é chamada de contínua quando o seu 
contradomínio é um conjunto infinito. 
 
 
 Variável 
Qualitativa 
Quantitativa 
Nominal 
Ordinal 
Discreta 
Contínua 
 
FIGURA 2 - TIPOS DE VARIÁVEIS 
Exemplo de aplicação: Seja uma população de peças produzidas em um determinado 
processo. É possível ter as seguintes situações: 
 
VARIÁVEL TIPO 
Estado: Conforme ou Não-conforme Qualitativa Nominal 
Qualidade: 1ª., 2ª. ou 3ª. categoria Qualitativa Ordinal 
Número de peças conformes Quantitativa Discreta 
Comprimento das peças Quantitativa Contínua 
1.3 TABELAS 
1.3.1 NORMAS PARA APRESENTAÇÃO DE TABELAS 
Uma tabela deve apresentar os dados de forma resumida, oferecendo uma visão geral do 
comportamento do fenômeno analisado. 
Uma tabela é constituída dos seguintes elementos: 
1 - Título: é a indicação que precede a tabela e contém a identificação de três fatores do 
fenômeno. 
a) A data a qual se refere; 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
6 
b) o local onde ocorreu o evento; 
c) o fenômeno que é descrito. 
2 - Cabeçalho: é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas. 
3 - Corpo da tabela: é o espaço que contém as informações sobre o fenômeno observado. 
4 - Fonte: é a indicação da entidade responsável pelo levantamento dos dados. 
1.3.2 TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Serão apresentados alguns conceitos importantes para a construção de tabelas de frequências. 
 Dados brutos: É o conjunto de dados numéricos obtidos e que ainda não foram 
organizados. 
 Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente). 
 Amplitude (At): É a diferença entre o maior e o menor dos valores observados. 
 Frequência absoluta (
if
): É o número de vezes que um elemento aparece no conjunto de 
dados: 



k
1i
i nf
 onde 
n
 é o número total de observações e 
k
 é o número de valores diferentes 
observados. 
 Frequência Relativa (
rf
): 
n
f
f ir 
 e 
1f
k
1i
r 

 
 Frequência Absoluta Acumulada (
acf
): É a soma da frequência absoluta do valor 
i
 assumida 
pela variável com todas as frequências absolutas anteriores. 
1.3.2.1 VARIÁVEL DISCRETA 
Quando uma variável quantitativa discreta assume poucos valores, pode-se considerar que cada 
valor seja uma classe e que existe uma ordem natural nessas classes. 
Exemplo: Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção diária de todas as 
unidades de computadores produzidos durante os últimos 10 dias. O número de unidades não-
conformes são: 4 - 7 - 5 - 8 - 6 - 6 - 4 - 5 - 8 - 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
7 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO NÚMERO 
DE UNIDADES NÃO CONFORMES DE COMPUTADORES 
PRODUZIDOS DURANTE 10 DIAS 
NÚMERO DE DEFEITOS FREQUÊNCIA 
4 2 
5 2 
6 2 
7 2 
8 2 
FONTE: MONTEGOMERY, D. C. 
NOTA: A produção diária é de 100 computadores. 
 
 Número de Classes (k) 
Quandose tratar de uma variável quantitativa discreta que pode assumir um grande número de 
valores distintos, a construção da tabela de frequências e de gráficos considerando cada valor 
como uma categoria fica inviável. A solução é agrupar os valores em classes ao elaborar a 
tabela. 
Segundo Bussab e Morettin, a escolha dos intervalos dependerá do conhecimento que o 
pesquisador tem sobre os dados. Assim, a definição do número de intervalos ou classes é 
arbitrária. Mas, vale lembrar que, quando se utiliza um pequeno número de intervalos pode-se 
perder informações, e ao contrário, com um grande número de intervalos pode-se prejudicar o 
resumo dos dados. 
Existem duas soluções para a definição do número de intervalos bastante utillizadas, que são: 
1) Se o número de elementos (n) for menor ou igual a 25 então o número de classes (k) é igual a 
5; se n for maior que 25, então o número de classes é aproximadamente a raiz quadrada 
positiva de n. Ou seja: 
 Para n  25, k = 5 
 Para n > 25, k = 
n
 
2) Fórmula de Sturges para número de classes: 
)n(log3,31k 
. 
 Amplitude total ou “range” (At): É a diferença entre o maior e o menor valor observados no 
conjunto de dados. 
minmáxt XXA 
 
 Amplitude dos intervalos ou das classes (h): É a divisão da amplitude total (At) pelo número 
de intervalos (k). 
Ou seja: h 
k
At
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
8 
1.3.2.2 VARIÁVEL CONTÍNUA 
Quando a variável quantitativa em estudo é contínua, que assume muitos valores distintos, o 
agrupamento dos dados em classes será sempre necessário, na construção das tabelas de 
frequências. 
 
Exemplo 1: A tabela abaixo apresenta as medidas de uma dimensão de uma peça produzida por 
um processo de usinagem. Construir a tabela de distribuição de frequências em classes. 
102,8 - 136,4 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 149,3 - 125,3 - 144,8 - 129,7 - 132,7 
135,0 – 108,2 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 125,9 - 145,2 - 145,7 – 120,4 
ROL: 
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7 
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3 
50,468,1023,149XXA minmáxt 
 
5k 
 
103,9
5
50,46
k
A
h t 
 
 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS 
MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DE UMA PEÇA PRODUZIDA 
POR UM PROCESSO DE USINAGEM 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
102,8 |--- 112,8 3 0,15 3 
112,8 |--- 122,8 3 0,15 6 
122,8 |--- 132,8 4 0,20 10 
132,8 |--- 142,8 5 0,25 15 
142,8 |--- 152,8 5 0,25 20 
TOTAL 20 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
 
Exemplo 2: O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 30 determinações: 
 45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 - 34 - 45 
 41 - 57 - 38 - 46 - 46 - 58 - 57 - 36 - 58 - 35 - 31 - 59 - 44 - 57 - 35 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
9 
ROL: 
31 - 34 - 35 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 39 - 40 - 41 -41 - 43 - 44 - 45 
45 - 45 - 45 - 46 - 46 - 48 - 49 - 51 - 53 - 57- 57 - 57 - 58 - 58 – 59 
 
28,03159XXA minmáxt 
 
 
65,87)30log(3,31k 
 (fórmula de Sturges) 
 
54,7
6
28
k
A
h t 
 
 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DO TEMPO 
NECESSÁRIO PARA SE REALIZAR CERTA OPERAÇÃO 
INDUSTRIAL 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
31 |---- 36 4 0,13 4 
36 |---- 41 6 0,20 10 
41 |---- 46 8 0,27 18 
46 |---- 51 4 0,13 22 
51 |---- 56 2 0,07 24 
56 |---- 61 6 0,20 30 
TOTAL 30 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
1.4 GRÁFICOS 
1.4.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
O objetivo do gráfico é passar para o leitor uma visão clara do comportamento do fenômeno em 
estudo, uma vez que os gráficos transmitem informação mais imediata do que uma tabela. 
A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais: 
a) Simplicidade: O gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária. 
b) Clareza: o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do 
fenômeno em estudo. 
c) Veracidade: o gráfico deve ser a verdadeira expressão do fenômeno em estudo. 
1.4.2 HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS 
Este é um gráfico usado para apresentar dados organizados em intervalos de classes, utilizado 
principalmente para representar a distribuição de variáveis contínuas. 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS (STEM AND LEAF PLOT) 
Este diagrama é muito útil para uma primeira análise dos dados. 
Passos para construir um diagrama de ramo e folhas: 
1. ordenar os valores para encontrar o valor mínimo e máximo dos dados; 
2. dividir cada número 
ix
 em duas partes: um ramo, consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e 
uma folha, consistindo nos dígitos restantes ; 
3. listar os valores do ramo em uma coluna vertical; 
4. a partir dai colocam-se os valores na folha . O valor zero, significa que há informação e que é 
um número inteiro. Já, quando naquele valor inteiro não existe observações, não colocar nada, 
deixar em branco; 
5. escrever as unidades para o ramo e folhas no gráfico. 
Considerando os dados do exemplo 1: Os dados referem-se às medidas de uma dimensão de 
uma peça produzida por um processo de usinagem. 
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7 
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3 
 
RAMO FOLHA FREQ. 
10 2 8 2 
11 0 5 8 3 
12 0 5 5 9 4 
13 2 5 6 8 8 9 6 
14 4 4 5 5 9 5 
 
 
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Classes
Freq.
76 105 134 163 221192 250
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
11 
Considerando os dados do exemplo 2, tem-se: O tempo necessário para se realizar certa 
operação industrial foi cronometrado (em segundos): 
 
31 - 34 - 35 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 39 - 40 - 41 -41 - 43 - 44 - 45 
45 - 45 - 45 - 46 - 46 - 48 - 49 - 51 - 53 - 57- 57 - 57 - 58 - 58 – 59 
 
 
RAMO FOLHA FREQ. 
3 1 4 5 5 6 7 8 9 9 9 
4 0 1 1 3 4 5 5 5 5 6 6 8 9 13 
5 1 3 7 7 7 8 8 9 8 
1.4.4 GRÁFICO DE BOX PLOT OU DA CAIXA 
 
 
 Comprimento da caixa = amplitude interquartílica = Q3 - Q1 
A linha central do retângulo (“caixa”) representa a mediana da distribuição. As bordas superior e 
inferior do retângulo representam os quartis 1 e 3, respectivamente. Logo, a altura deste 
retângulo é chamada de amplitude interquartílica (IQ). Os traços horizontais ao final das linhas 
verticais são traçados sobre o último ponto (de um lado ou de outro) que não é considerado um 
outlier. 
Não há um consenso sobre a definição de um outlier. Porém, no caso do box plot em geral, a 
maior parte das definições considera que pontos acima do valor do 3º quartil somado a 1,5 vezes 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
12 
a IQ ou os pontos abaixo do valor do 1º quartil diminuído de 1,5 vezes a IQ, são considerados 
outliers. 
1.4.5 GRÁFICO DE LINHAS 
O gráfico de linhas é indicado para representar séries temporais ou sequência temporal, que é 
um conjunto de dados em que as observações são registradas na ordem em que elas ocorrem. 
Este tipo de gráfico é importante para a análise do controle de processo de produção e de 
séries temporais. 
A seguir, o gráfico de controle de média das medidas dos diâmetros internos (mm) de anéis de 
pistão de motores de automóveis, de 25 amostras, cujos tamanhos de amostras variam entre 3 
e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO, VARIABILIDADE E FORMA DA 
DISTRIBUIÇÃO 
Estimadorou estatística é uma função dos valores da amostra, ou seja, é uma variável aleatória, 
pois depende dos elementos selecionados para compor a amostra. 
Ao analisarmos a distribuição de frequências de uma variável quantitativa, proveniente de uma 
amostra, deve-se, verificar basicamente três características: 
 Localização; 
 Variabilidade ou Dispersão; 
 Forma. 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
13 
1.5.1 TENDÊNCIA CENTRAL 
As medidas de tendência central fazem parte, juntamente com as de posição, das chamadas 
medidas de localização, e indicam onde se concentra a maioria dos dados. 
1.5.1.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA 
A esperança matemática ou média aritmética de uma variável aleatória X é o centro de 
gravidade do conjunto de dados, e é definida como a soma de todos os valores da variável 
dividida pelo número de observações. 
a) Para dados simples 
A esperança matemática ou média aritmética populacional é dada pela expressão: 



N
1i
ix
N
1
)X(E
 
A média aritmética amostral é obtida através da seguinte expressão: 



n
1i
ix
n
1
X
 
b) Para dados agrupados em classes 
N
fx
)X(E
k
1i
i i
 
 (população) 
 onde: k é o número de classes; 
 
ix
é o ponto médio das classes. 
n
fx
X
k
1i
i i

 (amostra) 
onde: k é o número de classes; 
 
ix
é o ponto médio das classes. 
Propriedades da Esperança Matemática 
1. 
K)X(E)KX(E 
, sendo k=constante e X v.a. 
2. 
)X(Ek)K.X(E 
 
3. Sejam X e Y variáveis aleatórias. Então: 
 
)Y(E)X(E)YX(E 
 
4. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então: 
 
)Y(E.)X(E)Y.X(E 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
14 
5. 
0)XX(E 
 v.a. centrada 
A média e os valores extremos: a média apresenta um grave problema, ela é fortemente 
influenciada pelos valores extremos. Por esta razão, deve-se fazer uma análise cuidadosa dos 
dados. 
Exemplos de aplicação: 
1) Suponha que um engenheiro esteja projetando um conector de náilon para ser usado em uma 
aplicação automotiva. O engenheiro estabelece como especificação do projeto uma espessura 
de 3/32 polegadas, mas está inseguro acerca do efeito dessa decisão na força da remoção do 
conector. 
Oito unidades do protótipo são produzidas e suas forças de remoção são medidas (em libras-pé): 
12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1. A média da força de remoção será: 



n
1i
ix
n
1
X
 
  0,13
8
104
1,136,125,136,133,124,139,126,12
8
1
X 
libras-força 
2) Considere a seguinte distribuição: 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DO TEMPO 
NECESSÁRIO PARA SE REALIZAR CERTA OPERAÇÃO 
INDUSTRIAL 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
31 |---- 36 4 0,13 4 
36 |---- 41 6 0,20 10 
41 |---- 46 8 0,27 18 
46 |---- 51 4 0,13 22 
51 |---- 56 2 0,07 24 
56 |---- 61 6 0,20 30 
TOTAL 30 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
Calcular o tempo médio necessário para realizar a operação industrial. 
Solução: 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
iifx
 
31 |---- 36 4 33,5 134,0 
36 |---- 41 6 38,5 231,0 
41 |---- 46 8 43,5 348,0 
46 |---- 51 4 48,5 194,0 
51 |---- 56 2 53,5 107,0 
56 |---- 61 6 58,5 351,0 
TOTAL 30 1365,0 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
15 
45,50
30
1365
n
fx
X
k
1i
i i



 
3) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a média das medidas da dimensão das 
peças. 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS 
MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DE UMA PEÇA PRODUZIDA 
POR UM PROCESSO DE USINAGEM 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
102,8 |--- 112,8 3 0,15 3 
112,8 |--- 122,8 3 0,15 6 
122,8 |--- 132,8 4 0,20 10 
132,8 |--- 142,8 5 0,25 15 
142,8 |--- 152,8 5 0,25 20 
TOTAL 20 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
iifx
 
102,8 |--- 112,8 3 
107,8 323,4 
112,8 |--- 122,8 3 
117,8 353,4 
122,8 |--- 132,8 4 
127,8 511,2 
132,8 |--- 142,8 5 
137,8 689,0 
142,8 |--- 152,8 5 
147,8 739,0 
TOTAL 20 2616,0 
130,8
20
2616
n
fx
X
k
1i
i i



 
1.5.1.2 MEDIANA 
A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de observações de uma variável, 
dividindo o conjunto em duas partes iguais, sendo que 50% dos dados tomam valores menores 
ou iguais ao valor da mediana e os 50% restantes, acima do seu valor. 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
16 
a) Para dados simples 
Etapas para a obtenção da mediana: 
1. ordenar os dados em ordem crescente (pode ser também na ordem decrescente, mas não é 
comum e pode atrapalhar na hora de calcular as medidas de posição) 
2. o lugar ou posição que a mediana ocupa é: 
1
4
)1n(
2PosMe 


 
3. o valor da mediana é o valor da variável que ocupa o lugar 
ePosM
. 
 
A mediana é independente dos valores extremos, porque ela só leva em consideração os 
valores de posição central. 
Exemplo de aplicação: 
1) Considerando-se as forças de remoção, medidas em uma amostra de oito unidades do protótipo 
(em libras-força): 12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1. 
Rol: 12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 
5,41
4
)18(
2PosM e 


 
A mediana é a média aritmética dos valores que ocupam a posição 4 e 5. Logo, 
13,0
2
1,139,12
Me 


 
2) Os dados que seguem são os resultados da inspeção diária de todas as unidades de 
computadores produzidos durante os últimos 10 dias. O número de unidades não-conformes são: 
 4 - 7 - 5 - 8 - 6 - 6 - 4 - 5 - 8 - 7 
Calcular a mediana. 
Rol: 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 7 - 8 - 8 
5,51
4
)110(
2PosM e 


 
6
2
66
Me 


 
b) Dados agrupados em classes 
h
f
fac)2n(
LM
i
ie 


 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
17 
onde: 
iL
 é o limite inferior da classe que contém a mediana; 
n
 é o número de elementos do conjunto de dados; 
fac'
 é a freqüência acumulada da classe anterior a que contém a mediana; 
if
 é a freqüência simples da classe que contém a mediana; 
h
 é o intervalo ou amplitude da classe que contém a mediana. 
 
1) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a mediana das medidas da dimensão 
das peças. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
102,8 |--- 112,8 3 
112,8 |--- 122,8 3 
122,8 |--- 132,8 4 
132,8 |--- 142,8 5 
142,8 |--- 152,8 5 
TOTAL 20 
 
Solução: 
1) O passo inicial é calcular 
10
2
20
2
n

; 
2) Calcular as frequências acumuladas (
acf
). 
 
INTERVALO DE 
CLASSES 
if
 
acf
 
102,8 |--- 112,8 3 3 
112,8 |--- 122,8 3 6 
122,8 |--- 132,8 4 10 
132,8 |--- 142,8 5 15 
142,8 |--- 152,8 5 20 
TOTAL 20 
h
f
fac)2n(
LM
i
ie 


 
132,810
4
6)220(
8,122Me 


 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
18 
2) Considerando a distribuição a seguir, calcular a mediana. 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
Solução: 
INTERVALO DE 
CLASSES 
if
 
acf
 
31 |---- 36 
4 4 
36 |---- 41 
6 10 
41 |---- 46 
8 18 
46 |---- 51 
4 22 
51 |---- 56 
2 14 
56 |---- 61 
6 30 
TOTAL 30 
 
15
2
30
2
n

 
h
f
fac)2n(
LM
i
ie 


 
44,1255
8
10)15(
41Me 


 
1.5.1.3 MODA 
a) Para dados simples 
A moda, representada por 
oM
, é ovalor que apresenta maior frequência. Ela pode não existir 
(distribuição amodal), ter somente um valor (unimodal) ou pode ter dois ou mais (bimodal ou 
multimodal), principalmente quando a variável assume muitos valores. 
Exemplo: 
1) Considerando-se as forças de remoção, medidas em uma amostra de oito unidades do protótipo 
(em libras-força): 12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1. 
Para o exemplo tem-se que a moda é igual a 12,6 libras-força. 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
19 
b) Dados agrupados em classes 
X2M3M eo 
 ( moda de Pearson) 
onde: 
eM
é a mediana da distribuição de dados; 
X
 é a média da distribuição de dados. 
1) Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular a moda. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
 
Solução: 
Tem-se que a média e a mediana da distribuição são, respectivamente: 
45,50X 
 
44,125Me 
 
Logo, a moda será: 
41,37550,452125,443X2M3M eo 
 
 
2) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a moda das medidas da dimensão das 
peças. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
102,8 |--- 112,8 3 
112,8 |--- 122,8 3 
122,8 |--- 132,8 4 
132,8 |--- 142,8 5 
142,8 |--- 152,8 5 
TOTAL 20 
 
Solução: 
Tem-se que a média e a mediana da distribuição são, respectivamente: 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
20 
130,8X 
 
132,810
4
6)220(
8,122Me 


 
136,88,13028,1323X2M3M eo 
 
1.5.2 MEDIDAS DE POSIÇÃO (OU SEPARATRIZES) 
As separatrizes mais conhecidas são os quartis e os percentis. Os quartis dividem o conjunto de 
dados em quatro partes iguais e os percentis, em cem partes iguais. A cada quartil 
correspondem 25% do conjunto de dados e a percentil, 1%. 
Da mesma forma que para a mediana, as posições das separatrizes, para dados ordenados em 
ordem crescente. 
 
1.5.2.1 QUARTIL 
 
São três medidas 
)QeQ,Q( 321
que dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais, sendo 
que a cada quartil correspondem 25% dos dados. 
a) Para dados simples 
1
4
)1n(
iPosQ i 


, 
3,2,1i 
 
 
Exemplo 1: Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis: 
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0 
Calcular os quartis. 
3,01
4
)19(
1PosQ 1 


 (3º elemento) , logo 
6,12Q1 
 
5,01
4
)19(
2PosQ 2 


 (5º elemento) , logo 
1,13Q2 
 
7,0 1
4
)19(
3PosQ 3 


 (7º elemento) , logo 
5,13Q3 
 
Exemplo 2: Os dados abaixo são as medidas de uma dimensão de uma peça produzida por um 
processo de usinagem. 
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7 
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3 
 
Calcular os quartis (1,2 e 3) . 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
21 
5,751
4
)120(
1PosQ 1 


 (5,75º elemento) , 
logo 
119,92575,0*)5,1184,120(5,118Q1 
 
10,51
4
)120(
2PosQ 2 


 (10,5º elemento) , 
logo 
133,855,0*)7,1320,135(7,132Q2 
 
15,25 1
4
)120(
3PosQ 3 


 (15,25º elemento) , 
logo 
140,8025,0*)6,1394,144(6,139Q3 
 
b) Para dados agrupados em classes 
4
n
iPosQ i 
, 
3,2,1i 
 
h
f
fac)PosQ(
LQ
i
i
ii 


 
onde: 
n
 é o número de elementos do conjunto de dados; 
iL
 é o limite inferior da classe que contém o quartil; 
fac'
 é a freqüência acumulada da classe anterior a que contém o quartil; 
if
 é a freqüência simples da classe que contém o quartil; 
h
 é o intervalo ou amplitude da classe que contém a mediana. 
Exemplos: 
 
1) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular os quartis 1,2 e 3, das medidas da 
dimensão das peças. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 acf
 
102,8 |--- 112,8 3 3 
112,8 |--- 122,8 3 6 
122,8 |--- 132,8 4 10 
132,8 |--- 142,8 5 15 
142,8 |--- 152,8 5 20 
TOTAL 20 
Solução: 
a) 
5
4
20
1PosQ 1 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
22 
119,4710
3
35
8,1121Q 


 
10
4
20
2PosQ 2 
 
132,8010
4
610
8,1222Q 


 
15
4
20
3PosQ 3 
 
142,8010
5
1015
8,132Q3 


 
2) Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular os quartis 1,2 e 3. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
1.5.3 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Para descrever adequadamente a distribuição de frequências de uma variável quantitativa, além 
da informação do valor representativo da variável (tendência central), é necessário dizer também 
o quanto estes valores variam, ou seja, o quanto eles são dispersos. Somente a informação 
sobre a tendência central de um conjunto de dados não consegue representá-lo 
adequadamente. As medidas de dispersão medem o grau de variabilidade ou dispersão dos 
dados. 
1.5.3.1 AMPLITUDE TOTAL 
A amplitude total mede a distância entre o valor máximo e mínimo. Ela é uma estatística 
rudimentar, pois embora forneça uma noção de dispersão, não diz qual é sua natureza. 
 
minmáxt XXA 
 
Exemplo de aplicação: 
Exemplo 1: Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis: 
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0 
Tem-se que: 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
23 
7,23,120,15XXA minmáxt 
 
1.5.3.2 AMPLITUDE INTERQUARTIL 
A amplitude interquartil, ou comprimento da caixa, é a distância entre o primeiro e terceiro 
quartil. É muito útil para detectar valores extremos, e é usado no diagrama de Box plot. 
13 QQQI 
 
Exemplo: considerando o dados referentes aos diâmetros (em cm) de peças de automóveis e os 
quartis correspondentes, já calculados anteriormente, calcular a amplitude interquartil. 
3,01
4
)19(
1PosQ 1 


 (3º elemento) , logo 
6,12Q1 
 
7,0 1
4
)19(
3PosQ 3 


 (7º elemento) , logo 
5,13Q3 
 
9,06,125,13IQ 
 
 
Para a construção do gráfico box plot, tem-se: 
IQ5,1Qeriorinfitelim 1 
 
IQ5,1Qeriorsupitelim 3 
 
Para o exemplo em questão: 
25,119,05,16,12eriorinfitelim 
 
85,149,05,15,13eriorsupitelim 
 
 Existe um valor outlier, que é 15,0. 
1.5.3.3 DESVIO MÉDIO 
 
a) Para dados simples 
 
 O desvio médio é a média dos valores absolutos dos desvios. É calculada através da 
expressão: 
n
Xx
DM
n
1i
i



 
 
Exemplo de aplicação: 
Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis: 
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0. Tem-se que: 
22,13X 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
24 
QUADRO 3 - VALORES DA VARIÁVEL X E DES-
VIOS ABSOLUTOS EM RELAÇÃO À 
MÉDIA 
ix
 
Xx i 
 
12,3 0,92 
12,6 0,62 
12,6 0,62 
12,9 0,32 
13,1 0,12 
13,4 0,18 
13,5 0,28 
13,6 0,38 
15,0 1,78 

 5,22 
 
58,0
9
22,5
n
Xx
DM
n
1i
i





 
 
b) Para dados agrupados em classes 
 
n
fXx
DM
k
1i
ii



 
 
 Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular o desvio médio. Sabe-se que 
50,45X 
. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
Xx i 
 
ii fXx 
 
31 |---- 36 4 33,5 12,0 48 
36 |---- 41 6 38,5 7,0 42 
41 |---- 46 8 43,5 2,0 16 
46 |---- 51 4 48,5 3,0 12 
51 |---- 56 2 53,5 8,0 16 
56 |---- 61 6 58,5 13,0 78 
TOTAL 30 212 
 
07,70667,7
30
212n
fXx
DM
k
1i
ii





 
 
1.5.3.4 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
A variância da variável aleatória, representada por 
)X(V
 ou 
2
, é obtida elevando-se os desvios 
em relação à media ao quadrado. Quando se extrai a raiz quadrada da variância, tem-se o 
desvio padrão. 
Propriedades da Variância 
1. 
0)k(V 
, onde k=constante 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
25 
2. 
)X(Vk)kX(V 2
, onde k=constante e X v.a. 
3. Sejam X e Y v.a. independentes. Então: 
 
)Y(V)X(V)YX(V 
 
4. Sejam X e Y v.a. não independentes (ou dependentes). Então: 
 
)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V 
 
 
)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V 
 
onde: 
)Y(E)X(E)XY(E)Y,X(COV 
 (covariância) 
a) Para dados simples 
A variância e o desvio padrão populacional são obtidas pelas expressões: 
 
  


N
1i
22
ix
N
1
 (variância) 
 
2
 (desvio padrão) 
A variância e o desvio padrão amostral são obtidas pelas expressões: 
 
 




n
1i
2
2 Xx
1n
1
S i
 (variância) 
 
2
SS 
 (desvio padrão) 
 
Exemplo de aplicação: Considerando o exemplo tem-se: 
 
QUADRO 4 - VALORES DA VARIÁVEL X E DESVIOS 
SIMPLES E QUADRÁTICOS EM RELA-
ÇÃO À MÉDIA 
iX
 
Xx i 
 
  2Xx i 
 
12,3 -0,92 0,8464 
12,6 -0,62 0,3844 
12,6 -0,62 0,3844 
12,9 -0,32 0,1024 
13,1 -0,12 0,0144 
13,4 0,18 0,0324 
13,5 0,28 0,0784 
13,6 0,38 0,1444 
15,0 1,78 3,1684 

 5,1556 
 
  0,6445
19
1556,5
Xx
1n
1
S
n
1i
i
2
2 



 

 
0,80S 
 
 
b) Para dados agrupados em classes 
A variância e o desvio padrão populacional são obtidas pelas expressões: 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
26 
    
N
fx
f
fx
k
1i
2
i
k
1i
k
1i
2
i
2
i
i
i  

 
 






 (variância) 
 
2
 (desvio padrão) 
A variância e o desvio padrão amostral são obtidas pelas expressões: 
    
1n
fXx
1f
fXx
S
k
1i
2
i
k
1i
k
1i
2
i
2
i
i
i












 (variância) 
 
2
SS 
 (desvio padrão) 
 
Exemplo: 
Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular variância e o desvio padrão. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
if)Xx(
2
i 
 
102,8 |--- 112,8 3 107,8 1587,0 
112,8 |--- 122,8 3 117,8 507,0 
122,8 |--- 132,8 4 127,8 36,0 
132,8 |--- 142,8 5 137,8 245,0 
142,8 |--- 152,8 5 147,8 1445,0 
TOTAL 20 3820,0 
 
Dados: 
130,8X 
 
 
0526,201
120
3820
1n
fXx
S
k
1i
2
i
2
i








 
18,14S 
 
Exercício: Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular a variância e o desvio padrão. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
27 
1.5.3.5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
É uma medida de dispersão relativa. É definido como o quociente entre o desvio padrão e a 
média, multiplicado por 100, para expressar porcentagem. 
Em algumas situações é desejável comparar o grau de dispersão de dois conjuntos de dados 
com unidades de medidas diferentes. Neste caso, deve-se usar o coeficiente de variação (CV), 
que é uma medida de dispersão relativa, e ela não é afetada pelas unidades de medida da 
variável. Ou ainda, quando as médias dos dois conjuntos de dados são muito distintas, neste 
caso faz-se necessário utilizar uma medida de dispersão relativa. 
 
100CV 


 coeficiente de variação populacional 
 
100
X
S
CV 
 coeficiente de variação amostral 
Exemplo de aplicação: Para o exemplo tem-se: 
Dados: 
130,8X 
; 
18,14S 
 
Logo, 
%84,10100
8,130
18,14
CV 
 
1.5.4 FORMA DA DISTRIBUIÇÃO 
A distribuição de frequências de uma variável pode ter várias formas, mas existem três formas 
básicas, apresentadas através de histogramas e suas respectivas ogivas, que são gráficos 
específicos para distribuições de frequências. 
A distribuição é simétrica, quando as observações estão igualmente distribuídas em torno de um 
valor mais frequente (metade acima e metade abaixo). Já, a assimetria de uma distribuição pode 
ocorrer de duas formas: 
 assimetria positiva; 
 assimetria negativa. 
Em alguns casos, apenas o conhecimento da forma da distribuição de freqüências de uma 
variável já nos fornece uma boa informação sobre o comportamento dessa variável. 
1.5.4.1 COEFICIENTE DO MOMENTO DE ASSIMETRIA 
 
23
i
2
i
3
i
k
1i
i
k
1i
3
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a












 
 
Uma distribuição é classificada como: 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
28 
Simétrica: 
0a3 
 e tem-se que média=mediana=moda 
Assimétrica negativa: 
0a 3 
 e tem-se que média

mediana

moda 
Assimétrica positiva: 
0a3 
 e tem-se que moda

mediana

média 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
FIGURA 3: CLASSIFICAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES QUANTO A ASSIMETRIA 
1.5.4.2 COEFICIENTE DO MOMENTO DE CURTOSE 
A medida de curtose é o grau de achatamento da distribuição, é um indicador da forma desta 
distribuição. O coeficiente momento de curtose é definido como sendo: 
 
2
k
1i
2
k
1i
4
4
ii
ii
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a












 
 
Se 
3a4 
, a distribuição é platicúrtica e esta apresenta uma curva de frequência mais 
aberta, com os dados fracamente concentrados em torno de seu centro. 
 
Se 
3a4 
, a distribuição é mesocúrtica e os dados estão razoavelmente concentrados em 
torno de seu centro. 
Se 
3a4 
, a distribuição é leptocúrtica e esta apresenta uma curva de frequência bastante 
fechada, com os dados fortemente concentrados em torno de seu centro. 
 
A curtose ou achatamento é mais uma medida com a finalidade de complementar a 
caracterização da dispersão em uma distribuição. Esta medida quantifica a concentração ou 
dispersão dos valores de um conjunto de dados em relação às medidas de tendência central em 
uma distribuição de frequências. Uma distribuição é classificada quanto ao grau de achatamento 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
Assimetria positiva Simétrica Assimetria negativa 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
29 
 
 
 
 
 
 
FONTE: COSTA NETO (1994) 
 
Exemplo 1: Para a distribuição de frequências das medidas da dimensão das peças 
apresentadas a seguir e as estatísticas já calculadas anteriormente, calcular os coeficientes de 
assimetria e curtose. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
102,8 |--- 112,8 3 
112,8 |--- 122,8 3 
122,8 |--- 132,8 4 
132,8 |--- 142,8 5 
142,8 |--- 152,8 5 
TOTAL 20 
 
Solução: 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
)Xx( i 
 
ii f)Xx( 
 
i
2
i f)Xx( 
 
i
3
i f)Xx( 
 
i
4
i f)Xx( 
 
102,8 |--- 112,8 3 107,8 -23 -69 1.587 -3.6501 839.523 
112,8 |--- 122,8 3 117,8 -13 -39 507 -6.591 85.683 
122,8 |--- 132,8 4 127,8 -3 -12 36 -108 324 
132,8 |--- 142,8 5 137,8 7 35 245 1.715 12.005 
142,8 |--- 152,8 5 147,8 17 85 1.445 24.565 417.605 
TOTAL 20 0 3.820 -16.920 1.355.140 
 
-0,3205
820.320
1
)920.16(
20
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
23
2
3
23
i
k
1i
i
k
1i
ii
3 





















 
 
A distribuição apresenta assimetria negativa. 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
30 
1,8573
820.3
20
1
140.355.1
20
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
22
i
2
i
i
4
i
k
1i
k
1i
4 





















 
A distribuição é platicúrtica. 
 
Exemplo 2: Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular a assimetria e curtose. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
Solução: 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
)Xx( i 
 
ii f)Xx( 
 
i
2
i f)Xx( 
 
i
3
i f)Xx( 
 
i
4
i f)Xx( 
 
31 |---- 36 4 33,5 -12 -48 576 -6.912 82.944 
36 |---- 41 6 38,5 -7 -42 294 -2.058 14.406 
41 |---- 46 8 43,5 -2 -16 32 -64 128 
46 |---- 51 4 48,5 3 12 36 108 324 
51 |---- 56 2 53,5 8 16 128 1.024 8.192 
56 |---- 61 6 58,5 13 78 1.014 13.182 171.366 
TOTAL 30 0 2.080 5.280 277.360 
 
0,3049
080.2
30
1
)280.5(
30
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
23
2
3
23
i
k
1i
i
k
1i
ii
3 





















 
 
A distribuição apresenta assimetria ligeiramente positiva. 
 
1,9230
080.2
30
1
360.277
30
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
22
i
2
i
i
4
i
k
1i
k
1i
4 





















 
A distribuição é platicúrtica. 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
31 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 1 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
1. Conceitue: 
a) População ou Universo; 
b) Amostra; 
c) Parâmetro; 
d) Estatística ou medida amostral; 
e) Variável aleatória discreta e exemplifique; 
f) Variável aleatória contínua e exemplifique. 
 
2. Uma importante característica de qualidade da água é a concentração de material sólido 
suspenso. Em seguida são apresentadas 30 medidas de sólidos suspensos de um certo lago. 
42,4 - 65,7 - 29,8 - 58,7 - 52,1 - 55,8 - 57,0 - 68,7 - 67,3 - 67,3 - 54,3 - 54,0 - 73,1 - 81,3 - 59,9 
56,9 - 62,2 - 69,9 - 66,9 - 59,0 - 56,3 - 43,3 - 57,4 - 45,3 - 80,1 - 49,7 - 42,8 - 42,4 - 59,6 - 65,8 
a) construir a distribuição de frequências em classes; 
b) calcular as frequências relativa e acumulada; 
c) construir o histograma de frequências. 
 
3. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 40 determinações: 
 45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 – 34 - 45 - 35 
 41 - 57 - 38 - 46 - 46 - 58 - 57 - 36 - 58 - 35 - 31 - 59 - 44 - 57 - 45 - 44 
 38 - 43 - 33 - 56 - 47 - 48 - 44 - 49 
a) construir a distribuição de frequências em classes; 
b) calcular as frequências relativa e acumulada; 
c) construir o histograma de frequências. 
 
4. Foram obtidos oito medidas do diâmetro interno de anéis de pistão forjados de um motor de 
um automóvel. Os dados (em mm) são: 
 74,001 - 74,003 - 74,015 - 74,000 - 74,005 - 74,002 - 74,005 - 74,004 
Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio médio , o desvio padrão e o coeficiente de 
variação da amostra. 
 
5. Os tempos de esgotamento de um fluído isolante entre eletrodos a 34 kV, em minutos são: 
 0,19 - 0,78 - 0,96 - 1,31 - 2,78 - 3,16 - 4,15 - 4,67 - 4,85 - 6,50 - 7,35 - 8,01 - 8,27 - 12,06 - 31,75 - 
32,52 - 33,91 - 36,71 - 72,89. 
Calcule a média, mediana, quartil 1, quartil 3, desvio padrão e coeficiente de variação e comente 
os resultados obtidos. 
 
6. O pH de uma solução é medido oito vezes por uma operadora que usa o mesmo instrumento. 
Ela obteve os seguintes dados: 
 7,15 - 7,20 - 7,18 - 7,19 - 7,21 - 7,20 -7,16 - 7,18 
 Faça uma análise estatística dos dados e comente. 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
32 
7. Prevenir a propagação de trinca de fadiga em estruturas de aviões é um importante 
elemento de segurança em aeronaves. Um estudo de engenharia para investigar a trinca de 
fadiga em n=9 asas reportou os seguintes comprimentos (em mm) de trinca: 
 2,13 - 2,96 - 3,02 - 1,82 - 1,15 - 1,37 - 2,04 - 2,47 - 2,60 
Calcule a média, os quartis (1,2 e 3), o desvio padrão e o coeficiente de variação da 
amostra. Comente os resultados obtidos. 
 
8. Uma amostra de 7 corpos de prova de concreto forneceu as seguintes resistências à ruptura 
(
2cm/kg
) : 
 340 - 329 - 337 - 348 - 351 - 360 - 354 
Calcular a média, mediana, moda, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Comente 
os resultados obtidos. 
 
9. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 20 determinações: 
 45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 – 34 - 45 - 35 - 38 - 46 - 46 - 58 
Faça uma análise estatística dos dados construindo a distribuição de freqüências em 
classes(calcule também as medidas de assimetria e curtose). 
 
10. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram 
obtidas: 
 88,5 - 94,7 - 84,3 - 90,1 - 89,0 - 89,8 - 91,6 - 90,3 - 90,0 - 91,5 - 89,9 
 98,8 - 88,3 - 90,4 - 91,2 - 90,6 - 92,2 - 87,7 - 91,1 - 86,7 - 93,4 - 96,1 
Faça uma análise estatística dos dados (calcule também as medidas de assimetria e curtose). 
11. A propagação de trincas por fadiga em diversas peças de aeronaves tem sido objeto de 
muitos estudos. Os dados a seguir consistem dos tempos de propagação (horas de vôo/104) 
para atingir um determinado tamanho de trinca em furos de fixadores propostos para uso em 
aeronaves militares. 
 0,736 - 0,863 - 0,865 - 0,913 - 0,915 - 0,937 - 0,983 - 1,007 
 1,011 - 1,064 - 1,109 -1,132 - 1,140 - 1,153 - 1,253 - 1,394 
 a) Calcule e compare os valores da média e mediana amostrais; 
 b) calcule o desvio médio, desvio padrão e o coeficiente de variação; 
 c) qual é a conclusão sobre a forma da distribuição (assimetria e curtose)? 
12. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 12 medições: 
 45 – 37 – 39 – 48 – 51 – 40 - 53 – 49 – 39 – 41- 45 – 43 
a) calcular Q1 (quartil 1), Q2 (quartil 2) e Q3 (quartil 3); 
b) construir o gráfico Box plot. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
33 
13. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram 
obtidas: 
 88,5 - 94,7 – 80,0 - 90,1 - 89,0 - 89,8 - 91,6 - 90,3 - 90,0 - 91,5 - 89,9 
a) calcular Q1 (quartil 1), Q2 (quartil 2) e Q3 (quartil 3); 
b) construir o gráfico Box plot. 
 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
34 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
DEFINIÇÕES 
2.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E) 
Definição 1: É o fenômeno que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, 
apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso. 
2.2 ESPAÇO AMOSTRAL (S) 
Definição 2: É o conjunto formado por todos os resultados possíveis em qualquer experimento 
aleatório. 
Exemplos: 
a) Inspecionar uma peça de automóvel. 
 conformenão,conformeS 
; 
b) Tomar uma válvula eletrônica e verificar o tempo de vida. 
 0x,RxS 
; 
c) Inspecionar uma lâmpada. 
 defeituosanão,defeituosaS 
; 
d) Medir o conteúdo de cobre no latão. 
 %90x%50,RxS 
 
2.3 EVENTODefinição 3: É um subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Seja o espaço amostral 
 )n,n(),c,n(),n,c(),c,c(S 
, resultado do experimento de seleção de 
duas peças, sendo c=peça conforme e n=peça não conforme. 
Suponha que A seja o subconjunto de resultados para os quais, no mínimo uma peça seja 
conforme. Então o evento A será: 
 )c,n(,)n,c(),c,c(A 
. 
 
S 
 A 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
35 
Por serem subconjuntos, é possível realizar a operação de união (U) entre conjuntos. A União 
de Eventos representa a ocorrência de um evento OU de outro. Outra operação que pode ser 
feita sobre Eventos é a intersecção (∩). A intersecção de eventos representa a ocorrência de 
um E de outro. 
 
 União de eventos => 
BA
 
 
 
 Interseção de eventos => 
BA
 
 
 
2.3.1 EVENTO COMPLEMENTAR 
 O evento complementar do evento A, representado por 
A
, é aquele que ocorre somente 
se A deixar de ocorrer. E tem-se que: 
 
SAAAA 
 => 
1)AA(P 
 
 
 AAAA
Ø => 
0)AA(P 
 
 Seja o evento A, obter número 4 na face superior no lançamento de um dado 
 4A 
. O 
evento complementar 
A
 será: 
 6,5,3,2,1A 
 
2.3.2 EVENTOS INDEPENDENTES 
 Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da 
realização do outro e vice-versa. 
Exemplos: 
1) No lançamento de dois dados qual é a probabilidade de obter o nº 4 no primeiro dado e o nº 
3 no segundo dado ? 
61)1dadono4.no(P)1(P 
 
61)2dadono3.no(P)2(P 
 
3616161)2(P)1(P)2E1(P)21(P 
 
 
 
 A 
 B 
 
 
 
 A 
 B 
BA
 
 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
36 
2) Suponha que numa produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 peças que não 
satisfaçam as exigências dos consumidores. Duas peças são selecionadas, sendo que a 
primeira peça é reposta antes da segunda ser selecionada. Qual é a probabilidade das duas 
peças serem defeituosas? 
%35,00035,0
850
50
850
50
)DeD(P 
 
2.3.3 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
 Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a 
realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento 
"tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. 
 
 
 
 
 Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se 
realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: 
)B(P)A(P)BOUA(P)BA(P 
 
Exemplos: 
1) No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ? 
Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: 
316161)4.no(P)3.no(P)BOUA(P)BA(P  
2) Um parafuso é selecionado aleatoriamente de um lote de 100 parafusos, sendo que 15 
apresentam pequenos defeitos e 10 são não-conformes (não aceitáveis). Qual é a probabilidade 
do parafuso selecionado ser: 
a) Perfeito ou apresentar pequeno defeito? 
b) Apresentar pequeno defeito ou não-conforme? 
Solução: 
15,0
100
15
)defeitopequeno(P 
 
10,0
100
10
)conformenão(P 
 
 
 A 
 B 
S
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
37 
75,0
100
75
)perfeito(P 
 
a) 
90,0
100
15
100
75
)defeitopequenoouperfeito(P 
 
b) 
25,0
100
10
100
15
)conformenãooudefeitopequeno(P 
 
2.4 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE 
Seja A um subconjunto do espaço amostral S. Então, se todos os resultados elementares de S 
são equiprováveis, a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é dada por: 
)S(n
)A(n
Semelementosdenúmero
Aemelementosdenúmero
)A(P 
 
2.5 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 
 Seja o espaço amostral S associado a um certo experimento. A cada evento 
SA 
 
associa-se um número real representado por 
)A(P
, chamado de probabilidade de 
A
, 
satisfazendo as propriedades: 
1) 
1)A(P0 
 
2) 
1)S(P 
 (ou seja, a probabilidade do evento certo é igual a 1 ) 
3) sejam A e B dois eventos mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de 
A
 ou 
B
 
é igual à soma das probabilidades individuais. 
)B(P)A(P)BouA(P 
 
2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Definição 4: Sejam A e B eventos de um experimento E, com 
0)B(P 
. Então a probabilidade 
condicional do evento A dado que B tenha ocorrido é: 
)B(P
)BA(P
)B|A(P


 , 
EA
 
Exemplo: A tabela a seguir fornece um exemplo de 400 itens classificados por falhas na 
superfície e como defeituosos (funcionalmente). 
DEFEITUOSO 
FALHAS NA SUPERFÍCIE 
Sim Não TOTAL 
Sim 10 18 28 
Não 30 342 372 
TOTAL 40 360 400 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
38 
 
a) Qual é a probabilidade do item ser defeituoso, dado que apresenta falhas na superfície? 
b) Qual é a probabilidade de ter falhas na superfície dado que é defeituoso? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 A Probabilidade Condicional pode assumir a forma abaixo, chamada algumas vezes de 
teorema da multiplicação de probabilidades: 
)B(P)B|A(P)BA(P 
, ou de forma equivalente, 
)A(P)A|B(P)BA(P 
 
Exemplo: A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação,numericamente 
controlada, de usinagem para pistões com alta rpm atenda às especificações é igual a 0,90. 
Falhas são devido a variações no metal, alinhamento de acessórios, condições da lâmina de 
corte, vibração e condições ambientais. Dado que o primeiro estágio atende às especificações, a 
probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda à especificações é de 0,95. Qual a 
probabilidade de ambos os estágios atenderem as especificações? 
855,090,095,0)A(P)A|B(P)BA(P 
 
2.7 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 Suponha que eventos aleatórios 
k21 A,,A,A 
 sejam 
k
 conjuntos mutuamente 
exclusivos e exaustivos 
)S...,AAA( k21  
. Então: 
 

i
ii )A|B(P).A(P)B(P
 
Exemplos: 
1) A probabilidade de que um conector elétrico que seja mantido seco falhe durante o período de 
garantia de um computador portátil é 1%. Se o conector for molhado, a probabilidade de falha 
durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10% 
forem mantidos molhados, qual é a probabilidade dos conectores falharem durante o período da 
garantia? 
Solução: 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
39 
2) Suponha que na fabricação de semicondutores, a probabilidade seja de 0,10 de que um chip 
que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no 
produto. A probabilidade é de 0,005 de que um chip que não esteja sujeito a altos níveis de 
contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em um dado instante da 
produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Qual a probabilidade de 
um produto usando um desses chips vir a falhar? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
2.8 TEOREMA DE BAYES 
 Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo 
teorema de Bayes, que expressa uma probabilidade condicional em termos de outras 
probabilidades condicionais. 



k
1j
jj
ii
i
)A|B(P).A(P
)A|B(P).A(P
)B|A(P
 
 
Exemplo: Uma determinada peça é produzida por três fábricas, 1, 2 e 3. Sabe-se que a fábrica 
1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produziram o mesmo número de peças durante um 
período de produção especificado. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2 
são defeituosas,enquanto 4% daquelas produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças são 
colocadas num depósito. Uma peça é retirada ao acaso do depósito e se verifica que é 
defeituosa. Qual a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica 1? 
 
Definição dos eventos: 
B={ a peça é defeituosa} 
A1={ a peça é da fábrica 1} 
A2{ a peça é da fábrica 2} 
A3={ a peça é da fábrica 3} 
02,0)A|B(P 1 
 
2
1
)A(P 1 
 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
40 
02,0)A|B(P 2 
 
4
1
)A(P 2 
 
04,0)A|B(P 3 
 
4
1
)A(P 3 
 



k
1j
jj
ii
i
)A|B(P).A(P
)A|B(P).A(P
)B|A(P
 
)A|B(P).A(P)A|B(P).A(P)A|B(P).A(P
)A|B(P).A(P
)B|A(P
332211
11
1


 
40,0
04,04102,04102,021
02,021
)B|A(P 1 



 
2) Cada objeto manufaturado é submetido para exame com a probabilidade 0,55 a um 
controlador e com a probabilidade 0,45 a um outro. A probabilidade de passar no exame é, 
segundo o controlador, respectivamente igual a 0,90 e 0,98. Achar a probabilidade de que um 
objeto aceito tenha sido examinado pelo segundo controlador. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 2 - PROBABILIDADES 
1. De uma caixa contendo 100 peças entre as quais 10 são defeituosas se extraem quatro peças 
ao acaso, sem reposição. Encontrar a probabilidade de que entre estas não ocorra: 
a) nenhuma peça defeituosa; 
b) nenhuma peça boa. 
2. De um lote de 15 válvulas 10 são boas. Encontrar a probabilidade de que de 3 válvulas 
extraídas ao acaso, sem reposição, 2 sejam boas. 
3. Uma caixa contém 20 peças das quais 5 são defeituosas. Extraem-se duas ao acaso, sem 
reposição. Qual a probabilidade de: 
a) ambas serem boas? 
b) ambas serem defeituosas? 
c) uma boa e outra defeituosa? 
4. Dois aparelhos de alarme independentes funcionam, no caso de avaria, com a probabilidade 
0,95 e 0,90, respectivamente. Achar a probabilidade de que numa avaria funcione apenas um 
dos aparelhos. 
5. A probabilidade de que numa medição o erro ultrapasse o admitido é 0,4. Achar a 
probabilidade de que em apenas uma medição de uma série de três o erro ultrapasse o 
admitido. 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
41 
6. A probabilidade de que uma peça do tipo exigido se ache em cada uma de quatro caixas é 
igual, respectivamente, a 0,60; 0,70; 0,80 e 0,90. Calcular a probabilidade de que tal peça se 
encontre: 
a) no máximo em três caixas; 
b) pelo menos em duas caixas. 
7. Um circuito elétrico é constituído de três elementos ligados em série que deixam de funcionar 
com probabilidade 
10,0p1 
; 
15,0p2 
; 
20,0p3 
, respectivamente. Achar a probabilidade de que 
não haja corrente no circuito. 
8. Um dispositivo de freio de automóvel consiste de três subsistemas, que devem funcionar 
simultaneamente para que o freio funcione. Os subsistemas são um sistema eletrônico, um 
sistema hidráulico e um ativador mecânico. Ao frear, a probabilidade de sucesso dessas 
unidades é de 0,96, 0,95 e 0,95, respectivamente. Estime a confiabilidade do sistema, admitindo 
que os subsistemas funcionem independentemente. 
Comentário: Sistemas deste tipo podem ser representados graficamente, conforme ilustração 
abaixo, onde os subsistemas A (eletrônico), B (hidráulico) e C (ativador mecânico), dispõem-se 
em série. Considera-se a trajetória a-b como a trajetória do sucesso. 
 
 
 
9. Os automóveis são equipados com circuitos redundantes de frenagem; os freios falham 
somente quando todos os circuitos falham. Consideremos o caso de dois circuitos redundantes, 
ou paralelos, cada um com 0,95 de confiabilidade (probabilidade de sucesso). Determine a 
confiabilidade do sistema, supondo que os circuitos atuem independentemente. 
10. Respectivamente 60 e 84 por cento das peças fornecidas por duas máquinas automáticas, a 
produtividade da primeira sendo o dobro da segunda, são de alta qualidade. Tendo-se 
constatado que uma peça escolhida ao acaso é de alta qualidade, achar a probabilidade de que 
provenha da primeira máquina (teorema de Bayes). 
11. Um relatório de controle de qualidade de transistores acusa os seguintes resultados por 
fabricante e por qualidade: 
FABRI-
CANTE 
QUALIDADE 
Aceitável Marginal Inaceitável TOTAL 
A 128 10 2 140 
B 97 5 3 105 
C 110 5 5 120 
Escolhido um transistor ao acaso, qual a probabilidade: 
a) de provir do fabricante A e ser de qualidade aceitável? 
b) de ser aceitável, dado que provém do fabricante C? 
c) de provir do fabricante B, dado que apresenta qualidade marginal? 
 
0,96 0,95 0,95 a b 
A B C 
 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
42 
12) Suponha que na fabricação de semicondutores, as probabilidades de que um chip, sujeito a 
alto, médio ou baixo nível de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto 
sejam respectivamente iguais a 0,10, 0,01 e 0,001. Em um experimento particular da produção, 
20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação, 30% a níveis médios de 
contaminação e 50% a baixos níveis de contaminação. Qual a probabilidade de um produto 
falhar ao usar um desses chips? 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
43 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
3.1 DEFINIÇÕES 
 
Definição 1: Seja E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Variável 
aleatória unidimensional é uma função X, que associa a cada elemento 
Ss
, um número real 
)s(X
. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Uma caixa contém 4 válvulas, sendo duas perfeitas e duas defeituosas. Duas válvulas 
são retiradas aleatoriamente da caixa e testadas (sendo representadas por D se a peça é 
defeituosa e P se a peça é perfeita). O espaço amostral associado a este evento é: 
 S={PP,PD,DP,DD} 
 Seja a variável aleatória X=número de válvulas defeituosas. Os valores possíveis da 
variável aleatória X, serão: 
 }2,1,0{RX  
 
Definição 2: Seja X uma variável aleatória discreta. A função de probabilidade, associa um 
número real 
)xX(P i
, chamado de probabilidade de 
ix
, a cada possível resultado 
ix
. 
 Tem-se que: 
1)xX(P0 i 
 



Sx
1)xX(P i
 
 Uma distribuição de probabilidade é uma descrição, que fornece a probabilidade para 
cada valor da variável aleatória. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma 
tabela ou uma fórmula. 
 
Exemplo1: No lançamento de duas moedas ao ar, tem-se que os possíveis resultados são: CC, 
Ck, KC, KK (C=cara e K=coroa). Seja X, a variável aleatória número de caras. Então, X poderá 
assumir os valores: 
 
s
 
S
 
X
 
)s(X
 
XR
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
44 
 









CCsse,2
KCsouCKsse,1
KKsse,0
)s(X
 
 A distribuição de probabilidade da variável aleatória X é: 
xX 
 
)xX(P 
 
0 1/4 
1 1/2 
2 1/4 
 
Exemplo 2: Em um processo de fabricação de semicondutores, 3 pastilhas de um lote são 
testadas. Cada pastilha é classificada como “passa” ou “falha”. Suponha que a probabilidade de 
uma pastilha passar no teste seja de 0,8 e que as pastilhas sejam independentes. Seja X a 
variável número de pastilhas de um lote que passam no teste. A distribuição de probabilidade de 
X será: 
 
008,02,0)8,01()f,f,f(P)0x(P 33 
 
096,00,0323)20,020,080,0(3)p,f,f(Pou)f,p,f(Pou)f,f,p(P)1x(P 
 
0,3840,1283)20,080,080,0(3)p,p,f(Pou)p,f,p(Pou)f,p,p(P)2x(P 
 
0,5128,0)p,p,p(P)3x(P 3 
 
 
 
xX 
 
)xX(P 
 
0 0,008 
1 0,096 
2 0,384 
3 0,512 
 
Definição 3: Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição acumulada ou de 
repartição de X édefinida como 
 
 
)xX(P)x(F 
 
 
 Se X for variável discreta, tem-se 
 
)x(P)x(F i
xxi



 
 
Esperança 
O valor esperado, expectância ou a esperança matemática E(X), de uma variável 
aleatória discreta X, que é a média da distribuição, é definida por: 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
45 
)x(Px)X(E i
1i
i



 
 
 
Variância 
 A variância da variável aleatória discreta X, representada por 
)X(V
, é definida por: 
 
    )x(P)X(Ex)X(EXE)X(V i
1i
2
i
2




 
Exemplo 1: Seja X uma variável aleatória discreta que representa o número de peças 
defeituosas em cada 5 peças inspecionadas. Sabendo-se que a probabilidade de uma peça ser 
defeituosa é de 20%, obtém-se a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
ix
 0 1 2 3 4 5 
)x(p i
 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 
 
 Qual o valor esperado de X (
)X(E
) e a variância (
))X(V
? 
0003,050064,040512,032048,024096,013277,00)x(Px)X(E i
1i
i  


 
1)X(E 
 
 Portanto, em cada 5 peças inspecionadas, o número esperado de peça defeituosa é 1. 
    )x(P)X(Ex)X(EXE)X(V i
1i
2
i
2




 
 0512,0)13(2048,0)12(4096,0)11(3277,0)10()X(V 2222
 
0003,0)15(0064,0)14( 22 
 
0,7997)X(V 
 
 
Exemplo 2: O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma 
variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
t 2 3 4 5 6 7 
P(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
 
Calcular: 
)X(E
 e 
)X(V
 
a) 
)x(Px)X(E i
1i
i



 
6,41,072,062,053,041,031,02)X(E 
 
b) 
  )x(P)X(Ex)X(V i
1i
2
i



 
1,0)6,47(2,0)6,46(2,0)6,45(3,0)6,44(1,0)6,43(1,0)6,42()X(V 222222 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
46 
04,2)X(V 
 
Definição 4: Seja E um experimento com espaço amostral S. Sejam 
)s(XX 
 e 
)s(YY 
 duas 
funções, cada uma associando um número real a cada resultado 
Ss
. Tem-se então que (X,Y) 
é uma Variável Aleatória Bidimensional. 
 
 
 
 
 
Seja o experimento: retirar uma barra de ferro de um lote e observar a dimensão (largura 
e o comprimento); tem-se neste caso duas variáveis aleatórias X e Y. 
3.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS 
3.2.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Uma variável aleatória discreta X, que conta o número de sucessos em n provas 
independentes, que apresentam os resultados sucesso 
)p(
 ou fracasso 
)p1q( 
, tem 
distribuição binomial. Sua função de probabilidade é dada por: 
 
xnxqp
x
n
)xX(P 






, 
n,,2,1,0x 
 e 
1p0 
 
 A função de distribuição acumulada é dada por: 
 

















 


nxse,1
nx0se,qp
k
n
0xse,0
)xX(P)x(F
x
0k
knk
 
 Os parâmetros da distribuição são: 
Média 
pn)X(E 
 
Variância 
qpn)X(V 
 
Exemplo 1: Seja X uma v.a. que indica o número de peças não conformes (não segue a 
especificação definida no projeto de qualidade) produzidas pela máquina “Z”. Se a probabilidade 
desta maquina produzir uma peça não conforme é de 15%, ao selecionar aleatoriamente 5 
peças, pede-se: 
a) a probabilidade de nenhuma peça ser não conforme; 
b) a probabilidade de todas as peças serem de acordo com especificação do projeto de 
qualidade; 
c) obter a distribuição de probabilidade e o gráfico. 
 
 
S 
s  
s 
 X(s) 
 Y(s) 
YXR
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
47 
Solução: 
a) 
5n 
 
15,0p 
 
85,0q 
 
0x 
 (peça conforme) 
0,4437)85,0()15,0(
0
5
)0X(P 050 





 
 
b) 
0,4437)0X(P)çãoespecificaascomacordodetodas(P 
 
c) Distribuição de Probabilidade 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X 
x 
)xX(P 
 
0 0,4437 
1 0,3915 
2 0,1382 
3 0,0244 
4 0,0022 
5 0,0001 
 
 Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir, o gráfico da função de distribuição acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
48 
 
Exemplo 2: Seja X uma v.a. que indica o número de parafusos defeituosos produzidos pela 
máquina “A”. Se a probabilidade desta maquina produzir um parafuso defeituoso é de 5%, ao 
selecionar aleatoriamente dois parafusos, qual a probabilidade de ambos serem defeituosos? 
p
=probabilidade de ser defeituoso=0,05 
p1
= probabilidade de ser perfeito=1-0,05=0,95 
%25,00025,0)95,0()05,0(
2
2
)2X(P 222 





 
 
Ao selecionar 50 parafusos produzidos por esta máquina, espera-se uma média de 2,5 
parafusos defeituosos, e uma variância de 2,4 (parafusos defeituosos)2. 
3.2.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
A distribuição de Poisson pode ser aplicada a muitos casos práticos nos quais interessa 
o número de vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou 
distância, área ou outra unidade de medida análoga. 
Uma v.a. discreta X tem distribuição de Poisson se sua função de probabilidade é dada 
por: 
 
!x
)xX(P
xe 

, 
,2,1,0x 
 e 
0
 (probabilidade de sucesso) 
 A função de distribuição acumulada é dada por: 
 













x
0k
0xse,
!k
0xse,0
)xX(P)x(F ke
 
 Os parâmetros da distribuição são: 
Média: 
)X(E
 
Variância: 
)X(V
 
 
Exemplo 1: São contados os números de partículas radioativas emitidas em cada intervalo de 5 
segundos. Suponha que o número de partículas emitidas, durante cada intervalo de 5 segundos, 
tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 2,0. Pede-se: 
a) qual é a probabilidade de que menos de 3 partículas sejam emitidas? 
b) supondo que 10 contagens são realizadas, construir a distribuição de probabilidade. 
 
Solução: 
a) 
!2
2
!1
2
!0
2
)2X(P)1X(P)0X(P)3X(P
210 222 eee 

 
 
0,67672707,02707,01353,0)3X(P 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
49 
 
 
 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X 
X 
)xX(P 
 
0 0,1353 
1 0,2707 
2 0,2707 
3 0,1804 
4 0,0902 
5 0,0361 
6 0,0120 
7 0,0034 
8 0,0009 
9 0,0002 
10 0,0000 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função de distribuição acumulada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Seja X o número de acidentes mensais ocorridos numa determinada indústria. Se o 
número médio de acidentes por mês é 3, qual a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente 
no próximo mês? 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
50 
%5050,0
!0
3
)0X(P 3
3
e
e 0
 

 
3.2.3 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 Suponha que em um lote de N peças, k são defeituosas e (N-k) são perfeitas e 
escolhem-se ao acaso, n peças desse lote 
)Nn( 
. Pode-se estar interessado na probabilidade 
de selecionar x peças dos k rotulados como defeituosos e (n-x) perfeitas dos (N-k) rotulados 
como perfeitas. Esse experimento é chamado hipergeométrico. 
Uma v.a. discreta X tem distribuição hipergeométrica se sua f.p. é dada por: 
 





















n
N
xn
kN
x
k
)xX(P 
 A função de distribuição acumulada é dada por: 
 
 
jx0se,
jxse,1
n
Njn
kN
j
k
jxse,0
)xX(P)x(F
k
0j




































 

 
 Os parâmetros da distribuição são: 
Média: 
pn)X(E 
 
Variância: 
1N
nN
npq)X(V



, onde 
N
k
1q;
N
k
p 
. 
Exemplo 1: Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 30 unidades. Antes que 
uma remessa seja aprovada, um inspetor seleciona ao acaso 3 destes motores para inspeção. 
Se nenhum dos motores inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se um ou mais dos 
motores verificados forem defeituosos, o lote todo é inspecionado. Suponha que existam, de 
fato, 2 motores defeituosos no lote. Qual é a probabilidade de que a inspeção de todo o lote seja 
necessária? 
N=30 (número de casos total na população) 
k=2 (número de casos favoráveis na população) 
n=3 (tamanho da amostra) 
x=1,2,3 (número de casos desfavoráveis na amostra) 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
51 
 A probabilidade de que a inspeção seja necessária é igual a 
)3X(P)2X(P)1X(P 
 ou 
)0X(P1)1X(P 
 
%31,191931,08069,01
3
30
3
28
0
2
1
3
30
03
230
0
2
1)0X(P1)1X(P 







































 
 
 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE 
X 
 x 
 
 p(x) 
 
0 0,8069 
1 0,1862 
2 0,0069 
3 0,0000 
 
 Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função de distribuição acumulada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Uma empresa adquiriu diversas caixas contendo cada uma 15 lâmpadas. Ela 
decidiu fazer uma inspeção por amostragem sem reposição, analisando 5 lâmpadas de uma 
caixa. A caixa será aceita caso encontre no máximo duas defeituosas. Qual a probabilidade de 
aceitar uma caixa sabendo que a qualidade do produto é definida por 20% de defeituosos? 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
52 
N=15 
n=5 
2x 
 
315*20,0k 
 
)2X(P)1X(P)0X(P)2X(P 
 
%80,979780,0
003.3
937.2
003.3
660485.1792
5
15
25
315
2
3
5
15
15
315
1
3
5
15
05
315
0
3
)2X(P 
































































 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 3 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS 
1. O número de mensagens enviadas por hora, através de uma rede de computadores, tem a 
seguinte distribuição: 
 
x = número de 
mensagens 
10 11 12 13 14 15 
p(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07 
Calcular: 
E(X); 
V(X). 
2. Seja X=o número de cilindros do motor do próximo carro a ser regulado em certa oficina. A 
função de probabilidade é dada por: 
 
x 4 6 8 
p(x) 0,5 0,3 0,2 
a) calcular 
)X(E
 
b) calcular 
)X(V
 
c) calcular 

 
3. Um proprietário acaba de instalar 20 lâmpadas em uma nova casa. Supondo que cada 
lâmpada tenha 0,20 de probabilidade de funcionar por mais de três meses, pede-se: 
a) qual a probabilidade de ao menos cinco delas durarem mais de três meses? 
b) qual o número médio de lâmpadas que deverão ser substituídas em três meses? 
4. Repete-se um experimento 5 vezes. Supondo que a probabilidade de sucesso em uma prova 
seja 0,75, e admitindo a independência dos resultados das provas: 
a) qual a probabilidade de todas as cinco provas resultarem em sucesso? 
b) qual o número esperado de sucesso? 
5. Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer 
circuito integrado seja defeituoso é de 0,01. Os circuitos integrados são independentes. O 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
53 
produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade 
de que o produto opere? 
6. Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de 5 chamadas por hora. 
Qual a probabilidade de que em uma hora selecionada aleatoriamente sejam recebidas: 
a) Exatamente três chamadas? 
b) Menos que três chamadas? 
7. Bateladas que consistem em 50 molas helicoidais, provenientes de um processo de produção 
são verificadas com respeito à conformidade em relação aos requerimentos dos consumidores. 
O número médio de molas não-conformes em uma batelada é igual 5. Considere que o número 
de molas não-conformes em uma batelada, denotado por X, seja uma variável aleatória 
binomial. Pede-se: 
a) qual é a probabilidade do número de molas não-conformes em uma batelada seja menor ou 
igual a 2? 
b) qual é a probabilidade do número de molas não-conformes em uma batelada seja maior ou 
igual a 49? 
8. Suponha que 90% de todas as pilhas do tipo D, de certo fabricante, tenham voltagens 
aceitáveis. Um determinado tipo de lanterna necessita de 2 pilhas tipo D, e ela só funciona se as 
duas pilhas tiverem voltagem aceitável. Entre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, qual é a 
probabilidade de: 
a) pelo menos 9 funcionarem? 
b) no máximo 2 funcionarem? 
9. Seja X o número de falhas na superfície de uma caldeira de um determinado tipo selecionado 
aleatoriamente, com distribuição de Poisson de parâmetro 
5
. Calcular: 
a) 
)2x(P 
 
b) 
)8x(P 
 
c) 
)8x5(P 
 
10. Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional depois de serem 
preenchidos com chips semicondutores. Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem 
reposição para o teste funcional. 
a) se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de no mínimo 1 cartão defeituoso 
estar na amostra? 
b) se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de 1 cartão defeituoso aparecer na 
amostra? 
11. Num lote de 20 pneus enviadas a um fornecedor sabe-se que há 5 defeituosos. Um cliente 
vai a esse fornecedor comprar 4 pneus. Qual a probabilidade de levar 1 defeituoso? 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
54 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
4.1 DEFINIÇÕES 
Definição 1: Seja 
X
 uma variável aleatória continua. A função densidade de probabilidade 
)x(f
, é uma função que satisfaz as seguintes condições: 
0)x(f 
 para todo 
XRx
 
1)x(d)x(f 


. 
Exemplo: Seja X uma variável contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
16
x
)x(f 
, 
6x2 
 
0)x(f 
, para qualquer outros valores. 
 
 A função densidade de probabilidade é: 
Para 
2x 
 
8
1
16
2
)2(f 
 
Para 
4x 
  
8
2
16
4
)4(f 
 
Para 
6x 
  
8
3
16
6
)6(f  
 
A condição
1)x(d)x(f 


, indica que a área total limitada pela curva que representa 
)x(f
 e 
o eixo das abcissas é igual a 1. 
Seja o intervalo [a,b] de 
XR
. A probabilidade de um valor de X pertencer a esse intervalo 
será dada por: 

b
a
dx)x(f)bXa(P
, que representa a área sob a curva da função densidade 
de probabilidade. 
Para variáveis aleatórias contínuas, as probabilidades são interpretadas como áreas. 
Sendo X uma variável aleatória continua, a probabilidade em um ponto é nula, então: 
)bXa(P)bXa(P)bXa(P)bXa(P 
 
Definição 2: Seja X uma variável aleatória.A função de distribuição acumulada ou de 
repartição de X é definida como 
 
 
)xX(P)x(F 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
55 
 Se X for variável aleatória continua, tem-se: 
 
 



x
dx)x(f)xX(P)x(F
 
 Exemplo: Seja X uma variável contínua com função densidade de probabilidade dada 
por: 
16
x
)x(f 
, 
6x2 
 
0)x(f 
, para qualquer outros valores. 
 
 A função de distribuição acumulada é dada por: 
  1
32
32
26
32
1
2
x
16
1
dx
16
x
0dx)x(fdx)x(f)x(F 22
6
2
26
2
6
2
2









 

 
 
Esperança 
A esperança matemática E(X), de uma variável aleatória continua X, com função 
densidade de probabilidade 
)x(f
, é definida por: 
 
 



 dx)x(fx)X(E
 
 
Variância 
Se X é uma variável aleatória contínua, a variância, representada por 
)X(V
 é definida 
por: 
 


 dx)x(f)X(Ex)X(V
2
 
As propriedades da variância para variável aleatória continua são as mesmas das já 
apresentadas para variável aleatória discreta. 
 
Exemplo1: Seja X uma variável contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
16
x
)x(f 
, 
6x2 
 
 0)x(f  , para qualquer outros valores. 
 Qual é o valor esperado e a variância de X? 
  33,426
48
1
3
x
16
1
dxx
16
1
dx
16
x
x)X(E 33
6
2
36
2
2
6
2









 
 
 


 dx)x(f)X(Ex)X(V
2
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
56 
 
6
2
22
6
2
2 dx
16
x
)33,4x33,42x(dx
16
x
)33,4x()X(V
 
6
2
2
6
2
3
6
2
46
2
2
3
2
x
16
7489,18
3
x
16
66,8
4
x
16
1
dx)
16
x7489,18
x
16
66,8
16
x
()X(V


























 
 







 








 








 

2
26
16
7489,18
3
26
16
66,8
4
26
16
1
)X(V
223344
 



















2
32
16
7489,18
3
208
16
66,8
4
1280
16
1
)X(V
 
1,22)X(V 
 
 
Exemplo 2: Suponha que 
25,0)x(f 
, para 
4x0 
. Determine a média e a variância. 
Solução: 
a) 



 dx)x(fx)X(E
 
  204
2
25,0
2
x
25,0dxx25,0dx25,0x)X(E 22
4
0
24
0
4
0









 
 
b) 
 


 dx)x(f)X(Ex)X(V
2
 
   


























 
4
0
4
0
2
4
0
34
0
2
4
0
2
x4
2
x
4
3
x
25,0dx)4x4x(25,0dx25,02x)X(V
 
33,1)X(V 
 
 
4.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTINUAS 
4.2.1 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
Uma v.a. continua X, tem distribuição exponencial se sua função densidade de 
probabilidade é dada por: 
 
xe)x(f 
, 
0x 
 
 A função de distribuição acumulada é dada por: 
 
xx ee 1dx)xX(P)x(F x
0
   
, 
0x 
 
 Portanto: 
xe)xX(P 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
57 
 Os parâmetros da distribuição são: 
 Média: 


1
)X(E
 
 Variância 
2
1
)X(V


 
 
Essa distribuição tem papel importante na descrição de uma grande classe de 
fenômenos, particularmente nos assuntos relacionados a teoria da confiabilidade. 
 
Exemplo 1: O tempo de vida X (em horas) das lâmpadas elétricas fabricadas por uma 
empresa é uma variável aleatória, tendo sua função densidade de probabilidade dada por: 
 







0xse0
002,0)x(f
0xse,xe 002,0
 
a) qual a probabilidade do tempo de vida de uma lâmpada ser superior a 600 horas? 
b) qual é o tempo de vida esperado? 
 
Solução: 
 
a) 
002,0
 
  3012,0e0002,0)600X(P 600002,0600x002,0x002,0 ee600  



 
b) 
horas500
002,0
11
)X(E 

 
Exemplo 2: A vida média de um satélite é 4 anos, seguindo o modelo exponencial. Seja 
X a variável definindo o tempo de vida do satélite. Calcule a 
)4X(P 
. 
Solução: 
4
1
)X(E 

, portanto, 
4
1

 
Então, 
%79,363679,0)4X(P 1
4
4
1
eee x  


 
4.2.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA 
É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo aplicada em 
inúmeros fenômenos e frequentemente utilizada para o desenvolvimento teórico da inferência 
estatística. 
Uma v.a. continua X, tem distribuição normal ou Gaussiana se sua função densidade de 
probabilidade é dada por: 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
58 
 
2
x
2
1
e
2
1
)x(f










 , 
  R,R,Rx
, 
 A função de distribuição acumulada é dada por: 
  
dxe
2
1
)x(d)x(f)xX(P)x(F
2x
2
1
x x 

 


 


 
 
 Os parâmetros da distribuição são: 
Média: 
)X(E
 
Variância: 
2)X(V 
 
Quando se deseja especificar que a variável aleatória X, segue distribuição normal com 
média 

 e variância 
2
, usa-se a notação: 
)(N~X 2;
. 
A distribuição normal é definida a partir de dois parâmetros, a média 

 e a variância 
2
. 
Por exemplo, a curva da distribuição normal 
)x(f
 para 
40
 e 
10
, e valores da variável 
aleatória no intervalo (10, 70), é mostrada no gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível 
calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um 
determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc. 
A probabilidade 
)bXa(P 
 de a variável aleatória contínua X ser igual ou maior que 
a
 
e, ao mesmo tempo, menor ou igual a 
b
, é obtida da área definida pela função 
)x(f
 entre os 
limites 
a
 e 
b
, sendo 
ab 
. O cálculo é feito integrando-se a função 
)x(f
 no intervalo 
)b,a(
, 
que é bastante trabalhoso. 
 
 




b
a
dx
2
1
)bXa(P
2x
2
1
e
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
59 
Representação Gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É um gráfico em forma de sino. O seu posicionamento em relação ao eixo das ordenadas 
e seu achatamento são determinados pelos parâmetros 

 e 
2
, respectivamente. 
 A área compreendida entre 
 
 é igual a 
%27,68
; entre 
  2
 é igual a 
%45,95
 e 
entre 
  3
 é igual a 99,73%. 
 
 Propriedades da distribuição normal: 
1. 
)x(f
 possui um ponto de máximo para 
X
; 
2. 
)x(f
 tem dois pontos de inflexão cujas abcissas valem 

 e 

; 
3. 
)x(f
 é simétrica em relação a 
X
. E, ainda 
MdMo 
; 
4. 
)x(f
 tende a zero quando x tende para 

 (assintótica em relação ao eixo x); 
4.3.2.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU REDUZIDA 
 A variável normal padronizada Z é obtida através de uma transformação linear da 
variável normal X, obtendo-se assim uma escala relativa de valores na qual, a média é o ponto 
de referência e o desvio padrão, uma medida de afastamento da média. 
 Considere a transformação: 



X
Z
, então 


dX
dZ
. 
 Tem-se: 









dx
2
1
)x(F
x
2x
2
1
e
 
 Utilizando a transformação será: 
 
dz
2
1
)z(F
z
2
z
2
1
e




, que é a função de distribuição acumulada para a variável 
normal reduzida. 
 Os parâmetros da distribuição são: 
 Média: 
0)Z(E 
 
 Variância: 
1)Z(V 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
60 
 
 Gráfico da distribuição normal padrão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: O diâmetro de um eixo de um dispositivo ótico de armazenagem é normalmente 
distribuído, com média 0,2508 polegadas e desvio padrão de 0,0005 polegadas. As 
especificações do eixo são 
0015,02500,0 
 polegada. Que proporção de eixo obedece às 
especificações? 
2508,0
 
0005,0
 
?)2515,0X2485,0(P 
 
6,4
0005,0
2508,02485,0
Z1 


 
4,1
0005,0
2508,02515,0
Z2 


 
91,92%0,91920,0000-0,9192)4,1Z6,4(P)2515,0X2485,0(P 
 
 
Exemplo 2: O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 mm e 
variância 0,0004 mm2. Dentre uma amostra de 1.000 cabos, espera-se que quantos tenham 
diâmetro menor que 0,78 mm? 
8,0
 
0004,02 
 => 
02,0
 
1
02,0
8,078,0
Z 


 => 
1587,0)1Z(P 
 
7,1581587,0000.1n 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
61 
4.3.3 DISTRIBUIÇÃO 
2
 ( QUI-QUADRADO) 
A função densidade da distribuição “
2
” com 

 graus de liberdade é dada por: 
 
   222
2
2 e
12
x
2
2
1
)(f 












 , 
02 
, 
Os parâmetros da distribuição são: 
Média 
 )(E 2
 
Variância 
  2)(V 2
 
 Diz-se que 
2
 segue uma distribuição qui-quadrado com parâmetro 

. O parâmetro 

 
é chamado de graus de liberdade da distribuição. 
 Quando se deseja indicar que uma variável 
2
 segue uma distribuição qui-quadrado com 

 graus de liberdade, usa-se a notação: 
 
)(~ 22 
 ou 
22 ~ 
. 
 Esta distribuição possui numerosas aplicações em inferência estatística. Dentre as 
aplicações da Distribuição Qui-quadrado cita-se a construção de intervalos de confiança para 
variâncias e testes de hipóteses. 
Utilização da distribuição 
2
 
Determinar os valores de 
2

 tais que: 
a) 
975,0)0(P 23
2 
 
 Deseja-se obter o valor de 
2
3
 de maneira que, abaixo dele se encontrem a área 
correspondente a 97,5%. 
O valor é igual a: 
3484,923 
 
b) 
900,0)(P 210
2 
 
 Neste caso, o valor de 
2
10
 é o limite inferior da área que compreende 90% da 
distribuição qui-quadrado. 
O valor é igual a: 
8652,4210 
. 
 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
62 
4.3.4 DISTRIBUIÇÃO “ 
t
” DE STUDENT 
A função densidade da distribuição “t” com 

 graus de liberdade é dada por: 
 
2
)1(
2t
1
2
2
1
)t(f
























 






 , 
Rt
, 
 Os parâmetros da distribuição são: 
Média: 
0)t(E 
 
Variância: 
2
)t(V




 para 
2
, onde o parâmetro 

 é o graus de liberdade da 
distribuição. 
 A distribuição t é simétrica em relação a 
0t 
, sendo que, quando 

 ela tende para 
uma distribuição normal com média 0 e variância 1 (distribuição normal padronizada). O único 
parâmetro 

 que a define e caracteriza a sua forma é o número de graus de liberdade 
(número de observações livres para variar). Quando se deseja indicar que uma variável aleatória 
t segue uma distribuição t de Student com 

 graus de liberdade, usa-se a seguinte notação 
)(t~t 
 ou 
t~t
. 
 Dentre as utilizações da Distribuição t, citam-se os testes de hipóteses e intervalos de 
confiança para amostras pequenas 
)30n( 
 e testes de hipóteses para coeficiente de correlação 
amostral. 
 
Utilização da distribuição t de Student 
 
Determinar os valores de 
t
, tais que: 
a) 
05,0)tt(P 5 
 
Deseja-se obter o valor de 
5t
 tal que abaixo dele se encontrem 5% da área da 
distribuição. 
O valor é igual a: 
0150,2t5 
 
 
b) 
10,0)tt(P 8 
 
Deseja-se obter o valor de 
8t
 tal que acima dele se encontrem 10% da área da 
distribuição. 
O valor é igual a: 
1,3968t8 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
63 
4.3.5 DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR 
A função densidade da distribuição “F” com 
21 e 
 graus de liberdade é dada por: 
 




















































2
21
1
2
11
2
1
21
21
F1
F
22
2
1
)F(f
2
1
2
, 
0F 
, 
 Os parâmetros da distribuição são: 
Média:
2
)X(E
2
2




, 
22 
 
Variância: 
)4()2(
)2(2
)X(V
2
2
21
21
2
2




 , 
42 
 
A distribuição F de Snedecor depende de dois parâmetros, 
21 e 
, denominados, 
respectivamente, de graus de liberdade do numerador e denominador. 
Quando se deseja indicar que a variável aleatória F segue uma distribuição F de 
Snedecor com 
21 e 
 graus de liberdade , respectivamente no numerador e denominador, 
usa-se a notação 
 
),(F~F 21 
 ou 
21 ,
F~F 
 
Dentre as aplicações da Distribuição F é possível citar a análise de variância (ANOVA) e 
análise de regressão. 
Utilização da distribuição F 
Determinar os valores de 
21 ,
F 
, tais que: 
a) 
  01,0)10,6(FFP 
 
Deseja-se obter o valor de 
10,6F
 tal que abaixo dele estejam 1% da área da distribuição. 
39,5)10,6(F 
 
b) 
  05,0)5,3(FFP 
 
Deseja-se obter o valor de 
5,3F
 tal que acima dele estejam 5% da área da distribuição. 
5,4095)5,3(F 
 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
64 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 4 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTÍNUAS 
1. O tempo de operação de uma máquina de embalagem de frascos sem interrupção para 
manutenção, tem distribuição exponencial com média igual a duas horas. Qual a probabilidade 
dessa máquina conseguir operar mais de uma hora sem interrupção? 
2. Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de 1.000 
horas) que é considerado uma variável aleatória com função densidade de probabilidade 
0x,)x(f xe  
. Qual é a probabilidade de 
9,0x 
? 
3. O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória 
exponencialmente distribuída com parâmetro 
2/1
. Determine a probabilidade de que o 
tempo de reparo exceda duas horas. 
4. O diâmetro de uma determinada peça é uma característica da qualidade importante. Sabe-se 
que esse diâmetro segue um modelo normal com média 40 mm e desvio padrão 2 mm. Se a 
especificação estabelece que o diâmetro deve ser maior que 35mm, qual probabilidade que a 
peça produzida satisfaça a especificação? 
5. Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa 
máquina. Supondo que essa variável tenha distribuição normal com média igual 2 cm e desvio 
padrão igual a 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 
2,05 cm ? 
6. A tensão de ruptura (emnewtons) de uma fibra sintética é representada por X e distribuída 
como 
)12,800(N 2
. O controle de qualidade na fabricação da fibra exige uma tensão de no 
mínimo 772 N. Uma amostra da fibra é randomicamente testada. Qual é a probabilidade de 
obtermos 
)772X(P 
 ? 
7. Suponha que as frequências indesejáveis para um determinado sinal elétrico tenham uma 
variação normal com média 60 Hz e desvio padrão 15 Hz. 
a) Qual a probabilidade desse sinal elétrico possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a 
essas frequências indesejáveis? 
b) Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação por frequências 
indesejáveis seja de 10%? 
8. A vida média de certo aparelho é de oito anos, com desvio padrão de 1,8 ano. O fabricante 
substitui os aparelhos que acusam defeito dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir 
no máximo 5% dos aparelhos que apresentem defeito, qual deve ser o prazo de garantia? 
9. Um processo industrial produz peças com diâmetro médio de 2,00” e desvio padrão de 0,01”. 
As peças com diâmetro que se afaste da média por mais de 0,03” são consideradas defeituosas. 
Admitida a normalidade: 
a) qual a percentagem das peças defeituosas? 
b) qual a percentagem de peças perfeitas? 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
65 
10. Uma empresa usa anualmente milhares de lâmpadas elétricas, que permanecem acesa 
continuamente, dia e noite. A vida de uma lâmpada pode ser considerada uma variável aleatória 
normal, com média de 50 dias e desvio padrão de 15 dias. Em 1º de janeiro a companhia 
instalou 8.000 lâmpadas novas. Aproximadamente quantas deverão ser substituídas em 1º de 
fevereiro? 
11. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição normal com média 
25,08 in. e desvio padrão 0,05 in. Se as especificações para esse eixo são 
15,000,25 
in. 
Determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações. 
 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
66 
 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
 Razão para se trabalhar com amostras: 
  menor custo; 
  redução do tempo e de mão-de-obra para a realização da coleta de dados; 
  maior confiabilidade e qualidade dos dados; 
  facilidade na realização dos trabalhos. 
 
 dois tipos de amostragem: a probabilística e a não-probabilística. 
 
 amostragem probabilística  Todos os elementos da população têm probabilidade 
conhecida, e diferente de zero, de pertencer à amostra. 
 
 amostragem probabilística  melhor recomendação para garantir a representatividade da 
amostra, pois o acaso será o único responsável por eventuais diferenças entre população 
e amostra. 
 
 É possivel utilizar as técnicas de Inferência Estatística. 
5.2 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA 
Algumas técnicas de amostragem probabilística: 
5.2.1 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES (AAS) 
 
 método mais simples e mais importante para selecionar uma amostra probabilística; 
 listar todas as unidades elementares enumeradas de 1 a N; 
 sorteiam-se “n” elementos da população, sendo que todos os elementos têm a mesma proba- 
bilidade de serem selecionados; 
 com reposição ou sem reposição. 
 
Exemplo: Foram produzidos 500 anéis de pistão em certo processo de produção. Deseja-se 
obter uma amostra de 30 anéis de pistão deste processo. 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
67 
 Utilizando processo aleatório simples com reposição: 
1) enumerar os anéis de pistão de 1 a 500; 
2) todos os anéis terão a mesma probabilidade de compor a amostra, igual a 0,2%; 
3) gerar 30 números aleatórios ou selecionar 30 números utilizando tabelas de números 
aleatórios; 
4) os anéis que comporão a amostra serão aqueles correspondentes aos números aleatórios; 
 
290 271 211 4 456 451 389 487 397 410 
473 143 381 217 128 465 457 174 160 157 
206 369 155 285 421 239 454 341 424 289 
No excel: 
ALEATÓRIO()*(b-a)+a onde a=1; b=500 
 
5) a amostra de 30 anéis de pistão será composta pelos anéis com as numerações acima. 
 
5.2.2 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
 
 os elementos da população estão ordenados e a retirada das unidades amostrais é feita 
sistematicamente; 
  a cada dez itens produzidos, em uma linha de produção, retirar um para compor a 
amostra da produção diária. 
 
 Considerando o exemplo dos anéis de pistão: os anéis estão enumerados de 1 a 500. 
17
1
500
30
N
n
f 
 (fração amostral) 
 
1) gera-se ou seleciona-se um número aleatório entre 1 e 17; 
2) O número gerado foi 11. Para obter os demais elementos, soma-se sempre 17, até 
completar o tamanho da amostra. 
 
No excel: 
ALEATÓRIO()*(b-a)+a onde a=1; b=17 
 
11 28 45 62 79 96 113 130 147 164 
181 198 215 232 249 266 283 300 317 334 
351 368 385 402 419 436 453 470 487 4 
 
3) a amostra de 30 anéis de pistão será composta pelos anéis com as numerações acima. 
 
 
 
 
 
 
 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
68 
5.2.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
 
 A população pode ser dividida em subgrupos (estratos); 
 esse processo pode gerar amostras bastante precisas; 
 a estratificação é usada principalmente para resolver alguns problemas como a melhoria da 
precisão das estimativas. 
 quando a variável em estudo apresenta um comportamento heterogêneo entre os 
diferentes estratos, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração 
tais estratos. 
 
Exemplo: 
Dada a população de 5.000 operários de uma certa industria automobilística, selecionar 
uma amostra proporcional estratificada de operários para estimar seu salário médio. Usando a 
variável critério “cargo” para estratificar essa população, e considerando amostra total de 250 
operários, chega-se ao seguinte quadro: 
 
CARGO POPULAÇÃO PROPORÇÃO AMOSTRA 
Chefes de seção 500 0,10 25 
Operários especializados 1.500 0,30 75 
Operários não especializados 3.000 0,60 150 
TOTAL 5.000 1,00 250 
 
5.3 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 Ao retirar uma amostra aleatória de uma população, está-se considerando cada valor da 
amostra como um valor de uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é a mesma 
da população, no instante da retirada desse elemento para a amostra. 
 Em conseqüência do fato de os valores da amostra serem aleatórios, decorre que 
qualquer quantidade calculada em função dos elementos da amostra, também será uma variável 
aleatória. 
 Os parâmetros são valores teóricos correspondentes à população e as estatísticas são 
funções dos valores amostrais. 
 As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade, 
com uma média, variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma estatística chama-se, 
comumente, distribuição amostral ou distribuição por amostragem. 
 
5.3.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS 
O parâmetro 

 é um valor único e desconhecido. A estatística 
X
 é um valor conhecido, 
porém, pode variar de amostra para amostra. Se forem retiradas diferentes amostras aleatórias 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
69 
de mesmo tamanho, as médias das diferentes amostras não deverão ser iguais. Apesar de a 
média da população ser a mesma, a média da amostra dependerá de cada amostra. 
Com as médias das amostras, é possível construir a distribuição de freqüências das 
médias das amostras, denominada distribuição amostral, cuja média denomina-se média da 
distribuição amostral e seu desvio padrão, erro padrão. 
Embora os parâmetros, média e desvio padrão, da população não sejam conhecidos, 
considera-se para o exemplo a seguir, como sendo conhecidos. 
Seja uma população constituídados elementos: 
10e7,5,2
, sendo 
4N
. A média e a 
variância populacional são: 
00,6
 e 
50,82 
. 
Considere as possíveis amostras de 2 elementos (
2n 
), que podem ser retiradas desta 
população. 
 
a) Sem reposição 
O número de amostras possíveis é dado por 
n
N
Ck 
. Então, o número de amostras 
possíveis é igual a 6. 
 
QUADRO 1 - AMOSTRAS POSSÍVEIS RETIRADAS DE UMA POPULAÇÃO 
 
AMOSTRAS 
AMOS- 
TRA 1 
AMOS- 
TRA 2 
AMOS- 
TRA 3 
AMOS- 
TRA 4 
AMOS- 
TRA 5 
AMOS- 
TRA 6 
1X
 2 2 2 5 5 7 
2X
 5 7 10 7 10 10 
Média 3,5 4,5 6,0 6,0 7,5 8,5 
 
Observe que a média da amostra depende de cada amostra extraída. Qualquer 
inferência realizada sobre a média da população utilizando uma única amostra estará sujeita a 
alguma incerteza, pois a média de cada amostra pode ser diferente. 
A média das médias amostrais é obtida por: 
6
36
X
k
1
)X(E
k
1i
i  

 
6)X(E 
 
 
A média das médias amostrais ou a média da distribuição amostral coincide com a média da 
população. Tem-se, então, a primeira conclusão importante: a média das médias amostrais é 
a própria média da população. 
A variância das médias amostrais é dada por: 
 
6
17
25,625,20025,225,6
6
1
))X(EX(
k
1
)X(V
k
1i
2
i  

 
83,2)X(V 
 
 
 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
70 
A variância das médias amostrais é igual à variância da população multiplicada pelo 
fator: 
1N
nN
n
1



 
Tem-se então que: 
  X)X(E
 (Média da distribuição amostral de médias) 
1N
nN
n
)X(V
2
2
X 




 (Variância da distribuição amostral de médias) 
 
a) Com reposição 
 O número de amostras possíveis é dado por nNk  . Então, o número de amostras 
possíveis é igual a 16. 
 
AMOS-
TRAS 
AMOS- 
TRA 1 
AMOS- 
TRA 2 
AMOS- 
TRA 3 
AMOS- 
TRA 4 
AMOS- 
TRA 5 
AMOS- 
TRA 6 
AMOS- 
TRA 7 
AMOS- 
TRA 8 
1X
 
2 2 2 2 5 5 5 5 
2X
 2 5 7 10 2 5 7 10 
Média 2,0 3,5 4,5 6,0 3,5 5,0 6,0 7,5 
AMOS-
TRAS 
AMOS- 
TRA 9 
AMOS- 
TRA 10 
AMOS- 
TRA 11 
AMOS- 
TRA 12 
AMOS- 
TRA 13 
AMOS- 
TRA 14 
AMOS- 
TRA 15 
AMOS- 
TRA 16 
1X
 
7 7 7 7 10 10 10 10 
2X
 
2 5 7 10 2 5 7 10 
Média 4,5 6,0 7,0 8,5 6,0 7,5 8,5 10,0 
 
A média das médias amostrais é obtida por: 
16
96
X
k
1
)X(E
k
1i
i  

 
6)X(E 
 
 
A variância das médias amostrais é dada por: 
 
16
68
1625,6...25,225,616
16
1
))X(EX(
k
1
)X(V
k
1i
2
i  

 
25,4)X(V 
 
A variância das médias amostrais é igual à variância da população multiplicada pelo 
fator: 
n
1
 
Tem-se então que: 
  X)X(E
 (Média da distribuição amostral de médias) 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
71 
n
)X(V
2
2
X

 
 (Variância da distribuição amostral de médias) 
De forma geral, a forma da distribuição amostral depende da forma da distribuição da 
população. Se a distribuição da população for normal 
),( 2N
, a distribuição da média 
amostral também será normal, seja qual for o tamanho n da amostra. Se a distribuição da 
população não for normal, à medida que o tamanho da amostra aumentar, a distribuição da 
média amostral se aproximará da distribuição normal. 
De acordo com o teorema central do limite, a distribuição das médias de amostras de 
tamanho suficientemente grande poderá ser considerada como normal, seja qual for a forma da 
distribuição da população. 
 
Resumindo: 
a) Amostragem com reposição: 
  X)X(E
 (Média da distribuição amostral de médias) 
n
)X(V
2
2
X
 
 (Variância da distribuição amostral de médias) 
b) Amostragem sem reposição: 
  X)X(E
 (Média da distribuição amostral de médias) 
1N
nN
n
)X(V
2
2
X 



 (Variância da distribuição amostral de médias) 
onde o fator 
1N
nN


 é denominado de fator de população finita. Evidentemente, tem-se que: 
 
1
1N
nN
lim
N




 
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 
Em situações onde se tem 
n
, é possível aplicar o Teorema Central do Limite. 
Existem diversas versões do teorema central do limite. Será apresentada uma das versões. 
Teorema Central do Limite (versão i.i.d. em termos da média amostral) 
Sejam 
n21 XX,X ,,
, variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas 
(i.i.d.), tais que 
)X(E i
 e 
2
i )X(V 
, ambas finitas. Seja 
X
 a média amostral. Então: 
)1,0(N~
X
n
n
X
Z
2 






 







. 
A aproximação melhora com o aumento do tamanho da amostra. 
 
 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
72 
Se, de uma população com parâmetros 
),( 2
 for retirada uma amostra de tamanho 
n
 
suficientemente grande, a distribuição de 
X
 será aproximadamente normal 
)n,(N 
, seja 
qual for a forma da distribuição da população. 
O teorema central do limite é muito importante, pois permite utilizar a distribuição normal 
para realizar inferências da média amostral, seja qual for a forma da distribuição da população. 
5.3.2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES 
Seja uma população tal que, a probabilidade de sucesso de certo evento é 
p
 e de 
insucesso é 
p1q 
. Para cada amostra de tamanho 
n
, pode-se determinar o número 
k
 de 
sucesso e como consequência, a frequência relativa ou proporção dada por 
n
k
pˆfr 
. 
` O conjunto de frequências relativas calculadas para as amostras constitui a distribuição 
amostral das proporções ou de frequências relativas. 
 A média e o desvio padrão da distribuição amostral de proporções são apresentados a 
seguir, considerando-se amostras sem e com reposição. 
a) Com reposição 
ppˆ 
 (média da distribuição amostral de proporções) 
n
qp
pˆ


 ( desvio padrão da distribuição amostral de proporções) 
b) Sem reposição 
ppˆ 
 (média da distribuição amostral de proporções) 
1N
nN
n
pq
pˆ



 ( desvio padrão da distribuição amostral de proporções) 
 
Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral das proporções, que 
segue distribuição binomial, poderá se aproximar de uma distribuição normal de mesma média e 
mesma variância. Na prática, considera-se a amostra grande para 
30n 
 e 
p
 próximo de 0,5. 
5.3.3 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA VARIÂNCIA 
A estatística 
2
2
2 S)1n(




, segue uma distribuição qui-quadrado com 
1n
 graus de 
liberdade. Sendo que 
2S
 é a variância amostral, dada por: 
 





n
1i
2
i
2 )Xx(
1n
1
S
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
73 
A partir da expressão da expressão de estatística 
2
, tem-se que: 
 
2
2
2
)1n(
S 


, com 
2
1n
 
ou seja, 
2S
segue uma distribuição 
2
, com 
1n
 graus de liberdade. 
Tem-se para a distribuição amostral da variância 
2S
 que: 
22 )S(E 
 
 
1n
)S(V
4
2 2



 
 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
74 
 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
6.1 INTRODUÇÃO 
 
Inferência estatística  tem como objetivo fazer generalizações sobre uma população, com 
base nos dados amostrais. 
Inferência estatística  divide-se em duasgrandes áreas: estimação e teste de hipóteses. 
 Pontual 
 Estimação 
Inferência Por intervalo 
Estatística 
 Teste de Hipóteses 
 
Estimação  o objetivo é fornecer informações sobre os parâmetros populacionais, tendo 
como base uma amostra aleatória extraída da população de interesse. 
Estatística  qualquer quantidade calculada em função dos elementos da amostra. 
Distribuição amostral ou distribuição por amostragem  distribuição de probabilidade de 
uma estatística. 
6.2 ESTIMADOR E ESTIMATIVA 
Estimador  quantidade calculada em função dos elementos amostrais, que será utilizada no 
processo de estimação do parâmetro de interesse. 
Principais métodos de obtenção de estimadores: 
Método dos momentos; 
Método da máxima verossimilhança; 
Método dos mínimos quadrados; 
Estimativa  valor numérico obtido pelo estimador numa determinada amostra. 
6.3 QUALIDADES DE UM ESTIMADOR 
a) Não tendenciosidade ou não viesado 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
75 
 Um estimador 
ˆ
 é não tendencioso ou não viesado quando a sua média (ou esperança 
ou expectância) é o próprio valor do parâmetro populacional 

 que está se pretendendo 
estimar, ou seja: 
 )(E ˆ
 
b) Consistência 
 Um estimador 
ˆ
 é consistente se (além de ser não viesado) sua variância tende para 
zero, quando n tende para 

, isto é: 
 
 )(E ˆ
 e 
0)(V ˆlim
n


 
c) Eficiência 
 Dados dois estimadores 
1ˆ
 e 
2ˆ
 de um mesmo parâmetro, é mais eficiente aquele que 
apresenta menor variância, ou seja: 
 Se 
)(V)(V 21
ˆˆ  
 então 
1ˆ
 é mais eficiente que 
2ˆ
. 
 Ainda, se 
1ˆ
e 
2ˆ
 forem ambos não tendenciosos, a eficiência relativa será dado pelo 
quociente das respectivas variâncias, ou seja: 
 
)(V
)(V
2
1
ˆ
ˆ


. 
d) Suficiência 
 Um estimador é suficiente quando permite obter um resumo das informações trazidas 
pela amostra, ou seja, resume os dados sem perder nenhuma informação sobre o parâmetro 

. 
6.4 ESTIMAÇÃO POR PONTOS 
 Quando o parâmetro é estimado através de um único valor diz-se que a estimação é por 
ponto ou pontual. Por exemplo: 
X
 é um estimador pontual da média populacional 

; 
2S
 é um 
estimador pontual da variância populacional 
2
; etc. 
6.4.1 ESTIMADOR DA MÉDIA POPULACIONAL 
 O estimador utilizado é a média aritmética amostral 
X
, sendo um estimador não viesado, 
consistente, eficiente e suficiente. 
 



n
1i
ix
n
1
X
 
6.4.2 ESTIMADOR DA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 O estimador utilizado é a variância amostral 
2S
. As estimativas obtidas pelas 
expressões apresentadas a seguir são não tendenciosos e consistentes. 
 Quando a média populacional 

 for conhecida, a estimativa é dada por: 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
76 
 
n
)x(
S
n
1i
2
i
2
 



 
 E quando a média populacional 

 for desconhecida, por: 
 





n
1i
2
i
2 )Xx(
1n
1
S
 
6.4.3 ESTIMADOR DO DESVIO PADRÃO POPULACIONAL 
 Tem-se que 
2S
 é um estimador não tendencioso da variância populacional 
2
. No 
entanto, a raiz quadrada de 
2S
 não é um estimador não tendencioso do desvio padrão 
populacional 

. 
 A tendenciosidade de 
S
 tende a zero, à medida que aumenta o tamanho da amostra. 
6.4.4 ESTIMADOR DA PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 O estimador utilizado é a proporção amostral 
pˆ
. A expressão de 
pˆ
 é dada por: 
n
k
pˆ 
, 
onde 
k
 é o número de casos favoráveis. 
6.5 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO 
 Consiste em construir um intervalo em torno da estimativa por ponto, de tal forma que ele 
possua probabilidade conhecida (nível de confiança 
)1( 
) de conter o verdadeiro valor do 
parâmetro. 
Seja o parâmetro 

, tal que 
  1)tt(P 21
. Então, tem-se: 
21 tt  
  chamado de intervalo de confiança (I.C.) 
 
21 tet
  são denominados de limites de confiança 
 
1
 nível de confiança. 
 
 A escolha do nível de confiança depende do grau de precisão com que se deseja estimar 
o parâmetro. É comum utilizar os níveis de 95% e 99%. Evidentemente, o aumento no nível de 
confiança implica no aumento de sua amplitude. 
6.5.1 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA POPULACIONAL 
1) Quando a Variância Populacional 
2
 é Conhecida 
 
 




 1)
n
ZX
n
ZX(P 22
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
77 
onde: 
X
 é a média da amostra; 

 é o nível de significância adotado; 
2Z
 é o valor de Z da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e 
graus de liberdade 

; 

 é o desvio padrão da população; 
n
 é o tamanho da amostra. 
A utilização da expressão acima deve atender aos seguintes critérios: 
Para amostras pequenas 
)30n( 
, a população deve ser normalmente distribuída; 
Para grandes amostras 
)30n( 
, não existe a exigência de que a população seja normalmente 
distribuída (justificada pelo Teorema Central do Limite), e sendo 

 desconhecido, pode ser 
substituído pelo desvio padrão amostral 
S
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FIGURA 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
Exemplos de aplicação: 
1) O desvio padrão dos comprimentos de todas as peças produzidas por certa máquina é 2 mm. 
Uma amostra de 50 peças produzidas por essa máquina apresenta média igual a 25 mm. 
Construir o I.C. de 95% para o verdadeiro comprimento das peças produzidas por essa 
máquina. 
Solução: 
2
 
50n 
 
25X 
 
%951 
 ; 
%5
; 
96,1Z 2 
 
 
 
1 
2Z
 
2Z
 
2
 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO 
 
 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
78 
 Assim, o intervalo de confiança será: 










 1
n
ZX
n
ZXP 22
 
%95
50
2
96,125
50
2
96,125P 





 
 
  %95mm25,55mm24,45P  
 
 
2) Experiência passada indicou que a resistência à quebra de um fio usado na fabricação de 
material moldável é normalmente distribuída e que 
2
psi. Uma amostra aleatória de nove 
espécimes é testada e a resistência média à quebra é 98 psi. Encontre um intervalo bilateral de 
confiança de 95% para a resistência média à quebra. 
Solução: 
2
 
9n 
 
98X 
 
%951 
; 
%5
;
96,1Z 2 
 










 1
n
ZX
n
ZXP 22
 
%95
9
2
96,198
9
2
96,198P 





 
 
  %95sip99,31sip96,69P  
 
2) Quando a Variância Populacional 
2
 é Desconhecida 
 O estudo que trata de distribuições amostrais ou distribuições de probabilidade de 
estatísticas, de pequenas amostras (n<30), é chamado de Teoria das Pequenas Amostras. 
 A distribuição t de Student, desenvolvida por William Sealy Gosset, é uma distribuição 
de probabilidade estatística. Esta distribuição é de fundamental importância para a inferência 
estatística, quando o desvio padrão populacional 

 é desconhecido e trata-se de amostras 
pequenas (geralmente n<30). 
 O intervalo de confiança é obtida através de: 
   1)
n
S
tX
n
S
tX(P 22
 
onde: 
X
 é a média da amostra; 

 é o nível de significância adotado; 
2t
 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e 
1n
 graus de liberdade;SACHIKO ARAKI LIRA 
79 
S
 é o desvio padrão da amostra; 
n
 é o tamanho da amostra. 
A utilização do I. C. acima deve obedecer aos seguintes critérios: 
Para amostras pequenas 
)30n( 
, a população de onde a amostra foi retirada deve ser 
normalmente distribuída; 
Para grandes amostras 
)30n( 
, ele pode substituir o I. C. dado pela fórmula em que 

 é 
conhecido, pois, no caso de grandes amostras, a distribuição t de Student se aproxima de uma 
distribuição normal padronizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FIGURA 2 – DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 
Exemplos de aplicação 
1) Uma amostra de 20 cabos, produzidos por uma indústria, foram avaliados e medidas as 
tensões de rupturas (em kgf). A média e o desvio padrão da amostra são iguais a 762 kgf e 14,4 
kgf, respectivamente. Deseja-se construir o intervalo de confiança de 95% para a tensão média 
de ruptura de cabos produzidos pela indústria. 
Solução: 
 
20n 
 
762X 
 
4,14S 
 
%951 
; 
%5
; 
191n 
 
09,2t 2 
 
 Assim, o intervalo de confiança será dada por: 
 
 
 
1
 
2t 
 
2t 
 
2
 
2
 
 
 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
80 






   1
n
S
tX
n
S
tXP 22
 






  1
20
4,14
09,2762
20
4,14
09,2762P
 
  %95kgf768,73kgf755,27P  
 
 
2) A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele 
testa 12 corpos de prova e obtém dados abaixo. Construir um intervalo de 95% para a 
resistência média. 
Dados: 
92,2259X 
; 
57,35S 
 
Solução: 
12n 
 
%951 
 
%5
 
111n 
 
20,2t 2 
 
 






   1
n
S
tX
n
S
tXP 22
 






  1
12
57,35
20,292,2259
12
57,35
20,292,2259P
 
  %952.282,512.237,33P  
 
 
6.5.2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS 
POPULACIONAIS 
1
 E 
2
 
1) Quando as Variâncias Populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Conhecidas 













 1
nn
Z)XX()(
nn
Z)XX(P
2
2
2
1
2
1
22121
2
2
2
1
2
1
221
 
onde: 
1X
 é a média da amostra 1; 
2X
 é a média da amostra 2; 

 é o nível de significância adotado; 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
81 
2Z
 é o valor de Z da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e 
graus de liberdade 

; 
2
1
 é a variância da população 1; 
2
2
 é a variância da população 2; 
1n
 é o tamanho da amostra 1; 
2n
 é o tamanho da amostra 2. 
 
Exemplo de aplicação: 
1) Os desvios padrões das durações das lâmpadas elétricas fabricadas pelas indústrias A e B 
são, respectivamente, 50 horas e 80 horas. Foram ensaiadas 40 lâmpadas de cada marca e 
as durações médias obtidas foram 1.200 horas e 1.100 horas, para A e B, respectivamente. 
Construir o intervalo de confiança de 99% para a diferença entre os tempos médios de vida 
das lâmpadas de marcas A e B, ou seja, 
BA  
. 
Solução: 
50A 
 
80B 
 
40n 
 
1200XA 
 
1100XB 
 
%991 
 
 
58,2Z 2 
 
O intervalo de confiança (I.C.) de 
%100)1( 
 para 
BA  
, será dado por: 
 
B
2
B
A
2
A
BA
B
2
B
A
2
A
nn
Z)XX(
nn
Z)XX( 2BA2BA



 
 
40
80
40
50
58,2)11001200(
40
80
40
50
58,2)11001200(
22
BA
22
 
 
  %99horas138,48horas61,52P BA  
 
2) Quando as Variâncias Populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Desconhecidas e Supostamente 
Iguais 









   1)
n
1
n
1
(St)XX()
n
1
n
1
(St)XX(P
21
2
p21
21
2
p 221221
 
sendo que: 
2nn
S)1n(S)1n(
S
21
2
22
2
112
p



 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
82 
1X
 é a média da amostra 1; 
2X
 é a média da amostra 2; 

 é o nível de significância adotado; 
2t
 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e 
2nn 21 
 graus de liberdade; 
2
1S
 é a variância da amostra 1; 
2
2S
 é a variância da amostra 2; 
1n
 é o tamanho da amostra 1; 
2n
 é o tamanho da amostra 2. 
 
Exemplo de aplicação: 
Uma amostra de 5 tubos da fábrica A, apresentou os seguintes resultados quanto aos diâmetros 
(mm): 
40,45XA 
 ; 
30,1S2A 
 
E, uma amostra de 6 tubos da fábrica B, apresentou: 
17,44XB 
; 
37,1S2B 
. 
Construir o I. C. de 95% para as diferenças entre os diâmetros médios 
BA  
. 
Solução: 
5nA 
 
6nB 
 
%951 
 
2t
, com 
2nn 21 
 graus de liberdade, logo 
9
 
26,2t 2 
 
O intervalo de confiança (I.C.) de 
%100)1( 
 para 
21  
, será dado por: 
)
n
1
n
1
(St)XX()
n
1
n
1
(St)XX(
BA
2
pBA
BA
2
pBA 2BA2   
 
onde: 
1,34
265
)37,1)(16()30,1)(15(
2nn
S)1n(S)1n(
S
BA
2
BB
2
AA2
p 


















 
6
1
5
1
34,126,2)17,4440,45(
6
1
5
1
34,126,2)17,4440,45( BA
 
1,5823,11,5823,1 BA  
 
  %95mm2,81mm0,35-P BA  
 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
83 
3) Quando as Variâncias Populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Desconhecidas e Supostamente 
Diferentes 
 
Para a construção do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias 
populacionais 
1
 e 
2
, com base nos dados amostrais, desconhecendo-se os desvios padrões 
populacionais 
1
 e 
2
 sendo supostamente diferentes, deve-se fazer uma modificação no teste 
t, denominada correção de Aspin-Welch. 









   1
n
S
n
S
t)XX(
n
S
n
S
t)XX(P
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
221221
 
onde a variável 
t
 tem número de graus de liberdade dada por: 
 
 
1n
w
1n
w
ww
2
2
2
1
2
1
2
21





, onde 
1
2
1
1
n
S
w 
 e 
2
2
2
2
n
S
w 
 (método de Aspin-Welch) 
onde: 
1X
 é a média da amostra 1; 
2X
 é a média da amostra 2; 

 é o nível de significância adotado; 
2t
 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e 

 
graus de liberdade; 
2
1S
 é a variância da amostra 1; 
2
2S
 é a variância da amostra 2; 
1n
 é o tamanho da amostra 1; 
2n
 é o tamanho da amostra 2. 
Exemplo de aplicação: 
1) Dois operários mediram o tempo (em min) de certa operação industrial, obtendo: 
17,12X1 
 ; 
60,15X2 
 ; 
77,7S2
1

 ; 
30,16S22 
; 
6n1 
 ; 
5n2 
 
Estimar através de um I.C. de 95% a diferença 
21  
, supondo que as variâncias sejam 
diferentes. 
Solução: 
%951 
 
2t
 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e 

 
graus de liberdade. 
 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
84 
Onde: 
1n
w
1n
w
)ww(
2
2
2
1
2
1
2
21





, onde 
1
2
1
1
n
S
w 
 e 
2
2
2
2
n
S
w 
 
1,306
77,7
n
S
w
1
2
1
1 
 
3,26
5
30,16
n
S
w
2
2
2
2 
 
7
15
26,3
16
30,1
)26,330,1(
22
2






 
 O intervalo de confiança (I.C.) de 
%100)1( 
 para 
21  
, será dado por: 
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
n
S
n
S
t)XX(
n
S
n
S
t)XX( 221221   
 
5
3,16
6
77,7
36,2)6,1517,12(
5
3,16
6
77,7
36,2)6,1517,12( 21  
 
5,04-3,435,04-3,43 21  
 
  %95min 1,61min 8,47-P 21  
 
6.5.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL 








 


 


1
S)1n(S)1n(
P
2
21
2
2
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FIGURA 3 – DISTRIBUIÇÃO 
2
 
 
 
 
 
1
 
2
 
2
 
2
21 
 
2
2
 
 
)(f 2
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
85 
Exemplo de aplicação: 
Foram realizadas 12 determinações da densidade de certo metal (
3cm/g
), obtendo-se o 
seguinte resultado: 
02,0S2 
 
 Estimar a variância populacional da densidade através de um intervalo de confiança de 
95%. 
Solução: 
Tem-se então que 
02,0S2 
. Os valores de 
2
 tabelados serão: 
3,81572 21 
 
21,92002 2 
 
 Logo: 
2
21
2
2
2
2
2 S)1n(S)1n(
 





 
8157,3
02,0)112(
9200,21
02,0)112( 2 


 
  %950577,00100,0P 2  
 
6.5.4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA O DESVIO PADRÃO POPULACIONAL 
 Considerando a raiz quadrada positiva do intervalo de confiança da variância 
populacional, obtém-se o intervalo de confiança de 
%100)1( 
 para 

, dada por: 








 


 


1
S)1n(S)1n(
P
2
21
2
2
2
2 
Exemplo de aplicação: 
Considerando os resultados obtidos nas determinações da densidade de certo metal (
3cm/g
), 
apresentado no exemplo anterior, estimar o desvio padrão através de um intervalo de confiança 
de 95%. 
Solução: 
2
21
2
2
2
2 S)1n(S)1n(
 





 
8157,3
02,0)112(
9200,21
02,0)112( 



 
  %950,24010,1002P  
 
 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
86 
6.5.5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 Para o cálculo do desvio padrão, deve-se estimar a proporção populacional 
p
, utilizando 
a estimativa pontual 
pˆ
, assim fazendo 
pˆ1qˆ 
, tem-se: 
 







 


 1
n
qˆpˆ
Zpˆp
n
qˆpˆ
ZpˆP 22
 
onde 
n
x
pˆ 
 é a proporção amostral (onde x representa o número de casos favoráveis ao evento 
estudado). 
A utilização do I. C. acima deve obedecer aos seguintes critérios: 
a) 
5np 
 e 
5)p1(n 
, exigindo assim que a amostra seja grande. Os critérios exigidos estão 
teoricamente, de acordo com a aproximação da distribuição binomial à distribuição normal; 
b) Quando as condições do item (a) não são obedecidas, a amostra será pequena e a 
construção dos intervalos de confiança exige a utilização de uma tabela especial, resultando 
em I.C. tão amplos que não tem nenhum valor prático. 
Exemplo de aplicação: 
Em uma amostra de 200 peças produzidas por certa máquina, verificou-se que 10 eram 
defeituosas. Estimar a verdadeira proporção de peças defeituosas produzidas por essa 
máquina, utilizando I.C. de 90%. 
Solução: 
200n 
 
05,0
200
10
pˆ 
 
95,0pˆ1qˆ 
 
64,1Z 2 
 
Substituindo os valores na expressão do I.C., tem-se: 
200
95,005,0
64,105,0p
200
95,005,0
64,105,0




 
0753,0p0247,0 
 
  %90%53,7p%47,2P 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
87 
6.6 DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA 
 O objetivo do dimensionamento de amostras é o de determinar o tamanho mínimo de 
amostra que se deve tomar, de maneira que, ao se estimar o parâmetro, o erro seja menor do 
que um valor especificado. 
6.6.1 ESTIMAÇÃO DA MÉDIA POPULACIONAL 
 Suponha que se pretende dimensionar o tamanho da amostra para a estimação da 
média populacional 

, através do I.C. de 
%100)1( 
. Em se tratando extração de amostras 
com reposição, a precisão é dada pela semi-amplitude do I.C.: 
 
n
Ze 2o


, 
 quando o desvio padrão populacional 

 é conhecido. E assim, 
2
o
2
e
Zn 










 
 Já, quando se tratar de extração de amostras sem reposição, tem-se: 
1n
nN
n
Ze 2o





 
22
2
2
0
22
2
Z)1N(e
NZ
n






 
Exemplo de aplicação: 
Qual o tamanho mínimo da amostra para se estimar a média de uma população cujo desvio 
padrão é igual a 10, com confiança de 99% e precisão igual a 4? Supor que a amostragem é 
obtida: 
a) com reposição; 
b) sem reposição de uma população com 1000 elementos; 
Solução: 
a) Amostragem com reposição 
 Tem-se as seguintes informações: 
10
 
4e0 
 
%991 
, logo 
%1
 e 
58,2Z 2 
 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
88 
2
o
2
e
Zn 










 
4241,6025
4
58,2n
2
10









 
b) Amostragem sem reposição 
10
 
4e0 
 
000.1N
 
%991 
, logo 
%1
 e 
58,2Z 2 
 
22
2
2
0
22
2
Z)1N(e
NZ
n






 
4039,9792
1058,2)11000(4
10001058,2
n
222
22





 
6.6.2 ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL 
Suponha que se pretende dimensionar o tamanho da amostra para a estimação da 
proporção populacional 
p
 através do I.C. de 
%100)1( 
. A precisão é dada pela semi-
amplitude do I.C.: 
n
qp
e 2Z0


, 
2
0
2
2
e
qp
n Z

 
 
Exemplo de aplicação: 
Qual o tamanho de amostra suficiente para estimar a proporção de peças defeituosas fornecidas 
por certa máquina, com precisão de 0,08 e 99% de confiança, sabendo que essa proporção não 
ultrapassa a 0,10? 
Solução: 
10,0p 
 
03,0e0 
 
%991 
, logo 
%1
 e 
58,2Z 2 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
89 
2
0
2
2
e
qp
n Z

 
 
9493,6056
)08,0(
)10,01(10,058,2
n
2
2



 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 5 - INTERVALOS DE CONFIANÇA 
1. A cronometragem (em segundos), de certa operação, obtida em uma amostra, forneceu os 
seguintes resultados: 
11n 
; 
18,27X 
; 
2,49S 
. 
Supondo que o tempo para a execução da operação industrial seja normalmente distribuído, 
construir: 
a) O I.C. de 95% para a média populacional; 
b) O I.C. de 95% para a variância populacional; 
c) O I.C. de 95% para o desvio padrão populacional; 
2. Um fabricante produz anéis para pistões de um motor de um carro. Sabe-se que o diâmetro 
do anel é distribuído normalmente com 
001,0
 milímetro. Uma amostra aleatória de 15 
anéis tem um diâmetro médio de 74,036 milímetros. Construa o intervalo de confiança de 
99% para o diâmetro dos anéis de pistão. 
3. Sabe-se que a vida (em horas), de um bulbo de uma lâmpada de 75 W é distribuída 
normalmentecom 
25
horas. Uma amostra aleatória de 20 bulbos tem uma vida média de 
1.014 horas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a vida média. 
4. Um engenheiro do setor de pesquisa de um fabricante de pneu está investigando a vida 
média do pneu em relação a um novo componente de borracha. Ele fabricou 16 pneus e 
testou-os até o final da vida em um teste na estrada. A média e o desvio padrão da amostra 
são 60.139,7 e 3.645,94 km, respectivamente. Sabendo-se que a vida média do pneu é 
normalmente distribuída, encontre um intervalo de confiança de 95% para: 
a) a vida média do pneu; 
b) o desvio padrão do tempo de vida do pneu. 
5. Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de 
automóveis. Uma amostra aleatória de 15 bastões é selecionada e mede-se o diâmetro dos 
bastões. Os dados (em milímetro) resultantes são mostrados a seguir: 
 
15n 
; 
23,8X 
; 
03,0S 
 
 Sabendo-se que o diâmetro dos bastões distribui-se normalmente: 
a) encontre um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões; 
b) encontre um intervalo de confiança de 95% para a variância dos bastões; 
c) encontre um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão dos bastões; 
6. Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis, 
10 têm um acabamento de superfície que é mais rugoso do que as especificações 
permitidas. Consequentemente, uma estimativa pontual da proporção de mancais na 
 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
90 
população que excede a especificação de rugosidade é 
12,0
85
10
pˆ 
. Construir o intervalo de 
confiança de 95% para a proporção populacional. 
7. Um fabricante de calculadoras eletrônicas retira uma amostra aleatória de 1200 calculadoras 
e encontra 80 unidades defeituosas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a 
proporção de calculadoras defeituosas na população. 
8. Está-se estudando a fração de circuitos integrados defeituosos produzidos em um processo. 
Uma amostra de 300 circuitos é testada, revelando 13 defeituosos. Calcular o intervalo de 
confiança de 90% para a fração de circuitos defeituosos produzidos pelo processo. 
9. Um empresa vem tendo sérios problemas com sucata e retrabalho, de modo que um de seus 
engenheiros de qualidade decide investigar um determinado processo. Uma amostra 
aleatória de 150 itens é extraída num determinado dia, sendo encontrada uma porcentagem 
alta e alarmante de 16% de itens desconformes (ou seja, defeituosos) . O engenheiro decide 
criar um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de unidades defeituosas 
naquele momento. Qual é o intervalo obtido? 
10. Dois tipos de plásticos são adequados para uso por um fabricante de componentes 
eletrônicos. A resistência à quebra desse plástico é importante. É sabido que
0,121  
psi. 
A partir de uma amostra aleatória de 
10n1 
 e 
12n2 
, obteve-se 
5,162X1 
 e 
0,155X2 
 psi. 
A companhia não adotará o plástico 1, a menos que sua resistência média à quebra exceda 
do plástico 2, por no mínimo, 10 psi. Calcule o intervalo de confiança de 95% para a 
diferença de médias, supondo que ambas as populações sejam normalmente distribuídas. 
11. Duas formulações diferentes de um combustível oxigenado de um motor devem ser testadas 
com a finalidade de estudar sua octanagem na estrada. A variância da octanagem na 
estrada no caso da formulação 1 é 
5,121 
 e no caso da formulação 2 é 
2,122 
. Duas 
amostras aleatórias de 
15n1 
 e 
20n2 
 são testadas, sendo que as octanagens médias 
observadas são 
6,89X1 
 e 
5,92X2 
. Considere normalidade das distribuições. Calcular o 
intervalo de confiança de 90% para a diferença na octanagem média (
12 
) observada na 
estrada. 
12. Diâmetro de bastões de aço, fabricadas em duas máquinas extrusoras diferentes, está 
sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos de 
15n1 
 e 
17n2 
 são 
selecionadas e as médias e variâncias das amostras são 
73,8X1 
, 
35,0S21 
, 
68,8X2 
 e 
40,0S21 
, respectivamente. Suponha que 
2
2
2
1  
 e que os dados sejam retirados de uma 
população normal. Construa um intervalo de confiança de 98% para a diferença no diâmetro 
médio dos bastões. 
13. Duas companhias fabricam um material de borracha para uso em uma aplicação automotiva. 
A peça será sujeita a um desgaste abrasivo no campo de aplicação. Assim, decide-se 
comparar, através de um teste, o material produzido por cada companhia. Vinte e cinco 
amostras de material de cada companhia são testadas em um teste de abrasão, sendo a 
quantidade de desgaste observada depois de 1000 ciclos. Para a companhia 1, a média e o 
desvio padrão do desgaste na amostra são 
20X1 
miligramas/1000 ciclos e 
2S
1

 
miligramas/1000 ciclos, enquanto para companhia 2 são 
15X2 
miligramas/1000 ciclos e 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
91 
8S
2

 miligramas/1000 ciclos. Construa um intervalo de confiança para 95% e 99% para a 
diferença de média de desgastes, considerando que as populações são normalmente 
distribuídas. 
14. Um experimento realizado para estudar várias características de pinos de ferro resultou em 
38 observações sobre a resistência de corte (kip) de pinos de 3/8 polegada de diâmetro e 35 
observações sobre a resistência de pinos de 1/2 polegada de diâmetro. Os resultados 
obtidos foram: 
PINOS 
n
 
X
 
S
 
Pino diâmetro 3/8 38 6,140 0,9 
Pino diâmetro 1/2 35 4,250 1,3 
Construir um intervalo de confiança de 98% para diferença entre as resistências médias de 
corte, supondo normalidade das duas populações. 
15. Qual o tamanho mínimo de amostra para se estimar a média de uma população cujo desvio 
padrão é igual a 12, com confiança de 95% e precisão igual a 3? Supor que a amostragem é 
obtida sem reposição de uma população com 2000 elementos. 
16. Qual o tamanho de amostra suficiente para estimarmos a proporção de peças defeituosas 
fornecidas por certa máquina, com erro de 0,03 e 99% de confiança, sabendo que a proporção 
não ultrapassa de 0,10 
17. Determinar o número mínimo de elementos de uma amostra, se desejamos estimar a média 
populacional com 95% de confiança e erro amostral de 1, sendo que de uma amostra piloto com 
70 elementos obteve-se variância igual a 36. 
18. Um fabricante de peças acredita que aproximadamente 5% de seus produtos são 
defeituosos se ele deseja estimar a verdadeira porcentagem, com erro de 0,05, com 90% de 
confiança. Qual deverá ser o tamanho da amostra a ser retirada? 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
92 
 TESTES DE HIPÓTESES 
7.1 ETAPAS PARA TESTES DE HIPÓTESES 
Etapas básicas para testar a significância estatística: 
1) Estabelecer a hipótese nula 
0H
; 
2) Estabelecer a hipótese alternativa 
1H
; 
3) Fixar o nível de significância ; 
4) Escolher a distribuição de probabilidade adequada ao teste e a partir daí determinar a região 
de rejeição da hipótese nula 
0H
; 
Para a definição da região de rejeição de 0H é necessário considerar a hipótese 1H , uma vez 
que é ela que define o tipo do teste, se é unilateral à esquerda, unilateral à direita ou bilateral. 
Conforme o tipo do teste identifica-se a área de rejeição de 0H . Genericamente, tem-se: 
00 TT:H 
 
3Figura)bilateralteste(TT
2Figura)direitaàunilateralteste(TT
1Figura)esquerdaàunilateralteste(TT
:H
0
0
0
1


 
 
 
 
 
 
 
Os pontos -c e c são os pontos críticos, localizados nas tabelas das distribuiçõesdas estatísticas 
do teste, considerando-se o nível de significância adotado e o número de graus de liberdade em 
questão. 
5) Definir o tamanho da amostra, coletar os dados e calcular o valor da estatística 
correspondente; 
6) Rejeitar ou aceitar Ho, avaliando se o valor da estatística, obtida a partir dos dados amostrais, 
situa-se na área de rejeição ou na região de aceitação. 
7.1.1 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA 
 É a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o risco de um erro tipo I. 
 
 R.R. Figura 1 Figura 2 R.R. 
 R.R. 
Figura 3 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
93 
7.1.2 ERRO ESTATÍSTICO 
Dois tipos de erros são possíveis: 
Erro tipo I – Rejeitar a hipótese nula quando ela for verdadeira, também denominado 
erro alfa (

). 
)verdadeiraH/Hrejeitar(P 00
 
Erro tipo II – Não rejeitar a hipótese nula quando ela for falsa, também denominado erro 
beta (

). 
)falsaH/Haceitar(P 00
 
7.2 TESTES ESTATÍSTICOS PARAMÉTRICOS 
7.2.1 TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL 
7.2.1.1 QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL 
2
 É CONHECIDA 
 Para amostras pequenas 
)30n( 
, a população deve ser normalmente distribuída, e o 
desvio padrão populacional 

 deve ser conhecido. Para grandes amostras 
)30n( 
, não existe 
a exigência de que a população seja normalmente distribuída (justificada pelo Teorema Central 
do Limite). 
 Para realizar o teste de hipóteses, as etapas apresentadas na seção 7.1 devem ser 
seguidas. 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
00 :H  
 
 
)bilateralteste(
)direitaàunilateralteste(
)esquerdaàunilateralteste(
:H
0
0
0
1





 
 Estabelecido o nível de significância 

, o valor de Z crítico para este nível de 
significância será obtido em uma tabela da variável normal padronizada e, assim, definida a 
região de rejeição de 
0H
. Obtidos os dados amostrais, a estatística do teste é calculada por: 
 
n
X
Z 0



 
onde: 
X
 é a média amostral; 
0
 é o valor a ser testado; 

 é o desvio padrão populacional; 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
94 
n
 é o tamanho da amostra. 
 
 Deve-se rejeitar 
0H
 se o valor de Z amostral se situar na região de rejeição ou aceitar 
0H
 se situar na região de aceitação. 
Exemplos de aplicação: 
1) Uma peça ao ser fabricada, foi planejada de tal forma que uma de suas dimensões seja igual 
a 10 cm. Conhece-se o desvio padrão do processo produtivo, que é igual a 0,8 cm e sabe-se 
que a distribuição das dimensões é normal. Uma amostra de 40 peças forneceu uma dimensão 
média igual a 10,09 cm. Há interesse em testar se a média populacional é maior que 10 cm, ao 
nível de 5% de significância. 
Solução: 
Dados: 
8,0
 cm 
 
40n 
 
 
09,10X 
 
As hipóteses estatísticas são: 
10:H0 
 
 
10:H1 
 
A estatística do teste é calculada por:
0,71
40
8,0
1009,10
n
X
Z 0 






 
Conclusão: O valor de Z calculado é 0,71 e o tabelado 
64,1Z 05,0 
. Portanto, aceita-se 
0H
, logo, 
a média populacional é igual a 10 cm. 
2) Uma população normalmente distribuída tem desvio padrão conhecido, sendo igual a 5 mm. 
Uma amostra de 20 elementos, obtida dessa população, tem média igual a 46 mm. Pode-se 
afirmar que a média dessa população é superior a 43mm, ao nível de significância de 1%? 
Solução: 
a) Dados: 
5
 cm 
20n 
 
46X 
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
43:H0 
 
 
43:H1 
 
A estatística do teste é calculada por: 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
95 
 
n
X
Z 0



 
Conclusão: O valor de Z calculado é 2,68 e o tabelado 
33,2Z 01,0 
. Portanto, rejeita-se 
0H
, 
logo, a média populacional é maior que 43 mm. 
7.2.1.2 QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL 
2
 É DESCONHECIDA 
 Deve-se seguir as etapas já apresentadas anteriormente para fazer o teste. 
 
Para amostras pequenas 
)30n( 
, a população de onde a amostra foi retirada deve ser 
normalmente distribuída. Se 
2
 é desconhecida, a estatística do teste é calculada por: 
 
n
S
X
t 0


 
sendo a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. 
 
onde: 
X
 é a média amostral; 
0
 é o valor a ser testado; 
S
 é o desvio padrão amostral; 
n
 é o tamanho da amostra. 
 As áreas de rejeição e aceitação de 
0H
 devem ser definidos de acordo com o valor 
crítico de t, que deve ser obtido em uma tabela da distribuição t de Student, para nível de 
significância 

 e n-1 graus de liberdade. Deve-se rejeitar 
0H
 se o valor de t amostral situar-se 
na região de rejeição ou aceitar 
0H
 se situar-se na região de aceitação. 
Exemplos de aplicação: 
1) Uma amostra de 20 peças, retirada de uma população normalmente distribuída, apresenta 
diâmetro médio igual a 10,08 cm e desvio padrão igual a 0,9 cm. Pode-se afirmar que o 
diâmetro médio da população é superior a 10 cm, ao nível de significância de 1%? 
Solução: 
Dados: 
9,0S 
 cm 
20n 
 
8,10X 
 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
10:H0 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
96 
 
10:H1 
 
A estatística do teste é calculada por: 
 
98,3
20
9,0
108,10
n
X
t
S
0 





 
Conclusão: O valor de t calculado é 3,98 e o tabelado 
54,2t 19;01,0 
. Portanto, rejeita-se 
0H
, 
logo, a média populacional é maior do que 10 cm. 
2) Um fabricante afirma que a tensão média de ruptura dos cabos produzidos por sua 
companhia não é inferior a 500 kgf. Uma amostra de 7 cabos foi ensaiada, obtendo-se os 
resultados (em Kgf): 
14,485X 
 e 
77,7S 
. Sabendo-se que a tensão de ruptura é 
normalmente distribuída, testar a hipótese de que a média populacional é menor que 500 kgf, 
utilizando o nível de significância de 5%. 
Solução: 
 Cálculo das estatísticas a partir da amostra: 
77,7S 
 cm 
7n 
 
14,485X 
 
 As hipóteses estatísticas são: 
500:H0 
 
 
500:H1 
 
A estatística do teste é calculada por: 
n
X
t
S
0
 
-5,06
7
50014,485
t
77,7



 
Conclusão: O valor de t calculado é -5,06 e o tabelado 
943,16;t 
. Portanto, rejeita-se 
0H
, 
logo, a média populacional é menor que 500 kgf. 
7.2.2 TESTE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
 Utiliza-se o teste para a proporção populacional (p) quando se deseja testar a hipótese 
de que p é supostamente igual a um determinado valor. 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
97 
 
00 pp:H 
 
 
)bilateralteste(pp
)direitaàunilateralteste(pp
)esquerdaàunilateralteste(pp
:H
0
0
0
1


 
Os critérios a serem obedecidos é que 
5np 
 e 
5)p1(n 
, exigindo assim que a amostra seja 
grande. Para amostras suficientemente grandes (na prática, 
30n 
), a estatística do teste é 
dada por: 
 
n
)p1(p
ppˆ
Z
00
0



 
onde: 
pˆ
 é a proporção amostral; 
0p
 é o valor a ser testado; 
n
 é o tamanho da amostra. 
 
 Estabelecido o nível de significância 

, o valor de Z crítico para este nível de 
significância será obtido em uma tabela da variável normal padronizada e assim, definida a 
região de rejeiçãode 
0H
. Deve-se rejeitar 
0H
 se o valor de Z calculado situar-se na região de 
rejeição ou aceitar 
0H
 se situar-se na região de aceitação. 
Exemplos de aplicação: 
1) Um fabricante afirma que no máximo 3% das peças produzidas por sua indústria são 
defeituosas. Um comerciante comprou 50 peças e verificou que 4 eram defeituosas. Testar a 
hipótese de que a proporção de peças defeituosas é superior a 3%, utilizando nível de 
significância de 5%. 
Solução: 
50n 
 
08,050/4pˆ 
 
%5
 
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
03,0p:H0 
 
 
03,0p:H1 
 
A estatística do teste é dada por: 
 
n
)p1(p
ppˆ
Z
00
0



 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
98 
07,2
50
)03,01(03,0
03,008,0
Z 



 
 
645,1Z 05,0 
 (teste unilateral) 
 
Conclusão: O valor de Z calculado é maior que o Z tabelado, portanto, rejeita-se a hipótese 
0H
 
de que a proporção de defeituosos é igual a 3%. Logo, a proporção de defeituosos é maior que 
3%. 
2) Deseja-se determinar se um certo tipo de tratamento para evitar a corrosão é eficiente. O 
tratamento é considerado eficiente se mais de 95% dos tubos apresentarem resultado 
satisfatório. Em uma amostra de 50 tubos, observou-se que 48 apresentaram resultados 
satisfatórios. Qual a conclusão, ao nível de significância de 1%? 
Solução: 
50n 
 
96,050/48pˆ 
 
%1
 
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
 
95,0p:H0 
 
 
95,0p:H1 
 
A estatística do teste é dada por: 
 
n
)p1(p
ppˆ
Z
00
0



 
 
32,0
50
)95,01(95,0
95,096,0
Z 



 
 
 
33,2Z 01,0 
 (teste unilateral) 
 
 
Conclusão: O valor de Z calculado é menor que Z tabelado, portanto, aceita-se a hipótese 
0H
 
de que a proporção de tubos que apresentam resultado satisfatório é igual a 95%. 
7.2.3 TESTE PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 Para aplicar o teste para a variância é necessário que a população de onde foi extraída a 
amostra seja normalmente distribuída. 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
99 
 
 
2
0
2
0 :H  
 
 
)bilateralteste(
)direitaàunilateralteste(
)esquerdaàunilateralteste(
:H
2
0
2
2
0
2
2
0
2
1





 
 A estatística do teste é calculada por: 
 
 
2
0
2
2 S)1n(




 
 
 As regiões de rejeição e aceitação de 
0H
 serão definidas de acordo com o valor crítico 
obtido em uma tabela de distribuição 
2
, para nível de significância 

 e n-1 graus de liberdade. 
Deve-se rejeitar 
0H
 se o valor de
2
 calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar 
0H
 se 
situar-se na região de aceitação. 
Exemplos de aplicação: 
1) As chapas de aço, produzidas por uma indústria, têm especificação tal que a variância de 
suas espessuras (em mm) não deve ser superior a 0,0009 mm2. Uma amostra de 30 chapas, 
apresentaram espessura média de 3,157 mm e variância igual a 0,00098 mm2. O que se pode 
concluir a cerca da especificação da indústria ao nível de 5% de significância sendo que as 
espessuras das chapas têm distribuição normal? 
Solução: 
30n 
 
157,3X 
 
00098,0S2 
 
%5
 
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
0009,0:H 20 
 
0009,0:H 21 
 
A estatística do teste é calculada por: 
 
 
2
0
2
2 S)1n(




 
58,31
0009,0
00098,0)130(2 


 
 As áreas de rejeição e aceitação de 
0H
 encontram-se no gráfico abaixo: 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: O valor de 
2
 tabelado é 42,56, logo aceita-se 
0H
 , portanto, conclui-se que 
2
 
não é superior a 0,0009 mm2. 
2) Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica têm reclamado da alta variação na 
tensão (desvio padrão de 12 V). A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica na 
região instalou novos transformadores. Uma amostra de 30 observações forneceu um desvio 
padrão de 8V e a distribuição de freqüências dos valores da amostra sugere uma distribuição 
normal. Há evidência de redução na variação da tensão? Usar 
%5
. (
2
=12,89) 
7.2.4 TESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS 
7.2.4.1 QUANDO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS 
2
1
 E 
2
2
 SÃO CONHECIDAS 
 A aplicação do teste requer as seguintes suposições: 
 1. As duas populações 
1X
 e 
2X
 devem ser independentes; 
 2. Ambas as populações devem ser normais. 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
0210 d:H 
 
 
)bilateralteste(d
)direitaàunilateralteste(d
)esquerdaàunilateralteste(d
:H
021
021
021
1





 
A estatística do teste é dada por: 
 
2
2
2
1
2
1
021
nn
d)XX(
Z




 
 
 
A.R.
. 
42,56 
A.A.
. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
101 
onde: 
1X
 é a média da amostra 1; 
2X
 é a média da amostra 2; 
2
1
 é a variância da população 1; 
2
2
 é a variância da população 2; 
1n
 é o tamanho da amostra 1; 
2n
 é o tamanho da amostra 2. 
 Estabelecido o nível de significância 

, o valor de z crítico para este nível de 
significância será obtido em uma tabela da variável normal padronizada e assim, definida a 
região de rejeição de 
0H
. Deve-se rejeitar 
0H
 se o valor de z calculado situar-se na região de 
rejeição ou aceitar 
0H
 se situar-se na região de aceitação. 
Exemplos de aplicação: 
1) Duas amostras de tubos de aço das marcas A e B foram analisadas e obtidas as resistências 
médias, respectivamente de 40 kgf/mm2 e 35 kgf/ mm2. Conhecendo-se os desvios padrão 
populacionais das resistências, de 4 kgf/ mm2 e 6 kgf/ mm2 , respectivamente, e tamanhos de 
amostras iguais a 30, qual a conclusão a respeito das diferenças entre as médias, ao nível de 
significância de 5%? 
Solução: 
1) Dados: 
40X1 
; 
41 
; 
30n1 
 
35X2 
; 
52 
; 
30n2 
 
05,0
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
 
0:H 210 
 
 
0:H 211 
 
A estatística do teste é dada por: 
 
80,3
30
6
30
4
3540
nn
)XX(
Z
22
2
2
2
1
2
1
21








 
96,1Z 025,02/ 
 (teste bilateral) 
Conclusão: O valor de Z calculado é igual a 3,80 e valor tabelado é 1,96, portanto, rejeita-se 
0H
. Logo, as resistências médias das marcas A e B são diferentes. 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
102 
2) Uma amostra de 100 válvulas da Indústria A tem vida média 
h1530XA 
, sendo 
h100A 
. 
Uma outra amostra de 70 válvulas da Indústria B, tem vida média 
h1450XB 
, sendo 
h90B 
. 
Testar a hipótese de que as válvulas da indústria A em relação a B tem duração média superior 
a 100 h. Utilizar 
01,0
. 
Solução: 
Dados: 
530.1XA 
; 
100A 
; 
100nA 
 
450.1XB 
; 
902 
; 
70n2 
 
01,0
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
 
100:H BA0 
 
 
100:H BA1 
 
A estatística do teste é dada por: 
36,1
70
90
100
100
100)450.1530.1(
nn
d)XX(
Z
22
B
2
B
A
2
A
0BA 







 
33,2Z 01,0 
 
Conclusão: Como o valor de Z calculado é igual a -1,36 e o valor tabelado é 2,33, aceita-se 
0H
. 
Logo, a diferença entre as durações médias das válvulas da indústria A e B é igual a 100 h. 
7.2.4.2 QUANDO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS 
2
1
 E 
2
2
 SÃO DESCONHECIDAS 
 A aplicação do teste requer as seguintessuposições quando 
2
1
 e 
2
2
 são 
Desconhecidas: 
 1. As populações 
1X
e 
2X
 devem ser normalmente distribuídas; 
 2. Os tamanhos de amostras (
1n
 e 
2n
) devem ser pequenos (não exceder 40). 
a) Quando as Variâncias Populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Desconhecidas e Supostamente 
Iguais 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
0210 d:H 
 
 
)bilateralteste(d
)direitaàunilateralteste(d
)esquerdaàunilateralteste(d
:H
021
021
021
1





 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
103 
 A estatística do teste é dada por: 
 
)
n
1
n
1
(S
d)XX(
t
21
2
p
021



, onde 
2nn
S)1n(S)1n(
S
21
2
22
2
112
p



 
onde: 
1X
 é a média da amostra 1; 
2X
 é a média da amostra 2; 
2
1
S
 é a variância da amostra 1; 
2
2S
 é a variância da amostra 2; 
1n
 é o tamanho da amostra 1; 
2n
 é o tamanho da amostra 2. 
 A determinação da região crítica será com base no valor de t tabelado com 
2nn 21 
 graus de liberdade e nível de significância 

. Deve-se rejeitar 
0H
 se o valor de t 
calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar 
0H
 se situar-se na região de aceitação. 
Exemplo de aplicação: 
Dois tipos de soluções químicas foram ensaiados para se determinar os pH. Os resultados 
obtidos foram: 
 
516,7X1 
;
033,0S21 
; 
5n1 
 
505,7X2 
; 
011,0S22 
; 
6n2 
 
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os pH médios das duas populações, 
supondo que os desvios padrões populacionais são iguais. Usar 
05,0
. 
Solução: 
516,7X1 
;
033,0S21 
; 
5n1 
 
505,7X2 
; 
011,0S22 
; 
6n2 
 
05,0
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
 
0:H 210 
 
 
0:H 211 
 
 
A estatística do teste é dada por: 
 
)
n
1
n
1
(S
d)XX(
t
21
2
p
021



, onde 
2nn
S)1n(S)1n(
S
21
2
22
2
112
p



 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
104 
 
021,0
265
011,0)16(033,0)15(
S2p 



 
 
13,0
6
1
5
1
021,0
0)505,7516,7(
t 









 
 
 O número de graus de liberdade é dada por: 
92652nn 21 
. Portanto, o 
valor de 
2t
 com 
9
 graus de liberdade é 2,26. 
 
Conclusão: O valor de t calculado é igual 0,13, menor que o valor tabelado, logo, aceita-se 
0H
. 
Conclui-se, portanto, que os pH médios das duas populações são iguais. 
b) Quando as Variâncias Populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Desconhecidas e Supostamente 
Diferentes 
 Quando as variâncias das amostras não forem homogêneas, uma modificação do teste t, 
denominada correção de Aspin-Welch deve ser aplicada. 
 As hipóteses a serem testadas são: 
 
0210 d:H 
 
 
)bilateralteste(d
)direitaàunilateralteste(d
)esquerdaàunilateralteste(d
:H
021
021
021
1





 
 A estatística do teste é dada por: 
 
2
2
2
1
2
1
021
n
S
n
S
d)XX(
t



 
 A determinação da região crítica será com base no valor de t tabelado com 
 
1n
w
1n
w
ww
2
2
2
1
2
1
2
21





, onde 
1
2
1
1
n
S
w 
 e 
2
2
2
2
n
S
w 
 , graus de liberdade e nível de significância 

. 
Tem-se que: 
1X
 é a média da amostra 1; 
2X
 é a média da amostra 2; 
2
1
S
 é a variância da amostra 1; 
2
2S
 é a variância da amostra 2; 
1n
 é o tamanho da amostra 1; 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
105 
2n
 é o tamanho da amostra 2. 
 
 Deve-se rejeitar 
0H
 se o valor de t calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar 
0H
 se situar-se na região de aceitação. 
Exemplo de aplicação:. 
Uma mesma distância foi medida 5 vezes por dois instrumentos (em metros): 
Instrumento 1: 
46,100X1 
; 
473,0S21 
; 
5n1 
 
Instrumento 2: 
40,100X2 
; 
01,0S22 
; 
5n2 
 
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os resultados obtidos pelos dois 
instrumentos. Utilizar o nível de significância de 5%. 
Solução: 
46,100X1 
; 
473,0S21 
; 
5n1 
 
40,100X2 
; 
01,0S22 
; 
5n2 
 
05,0
 
As hipóteses estatísticas são: 
 
 
0:H 210 
 
 
0:H 211 
 
A estatística do teste é dada por: 
 
2
2
2
1
2
1
021
n
S
n
S
d)XX(
t



 
 A determinação da região crítica será com base no valor de t tabelado com 
 
1n
w
1n
w
ww
2
2
2
1
2
1
2
21





, onde 
1
2
1
1
n
S
w 
 e 
2
2
2
2
n
S
w 
 , graus de liberdade e nível de significância 

. 
19,0
5
01,0
5
473,0
0)40,10046,100(
t 



 
 
Cálculo de 

 (graus de liberdade): 
 
0946,0
5
473,0
n
S
w
1
2
1
1 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
106 
002,0
5
01,0
n
S
w
2
2
2
2 
 
 
 
416,4
4
002,0
4
0946,0
)002,00946,0(
1n
w
1n
w
ww
22
2
2
2
2
1
2
1
2
21 








 
 
Conclusão: O valor de 
2t
 com 
4
 graus de liberdade é 2,78, logo, aceita-se 
0:H 210 
. Conclui-se que as médias são iguais. 
7.2.5 DUAS AMOSTRAS EMPARELHADAS 
 Este teste deve ser utilizado quando os dados estão relacionados dois a dois de acordo 
com algum critério. 
 O teste t de Student para grupos dependentes é aplicado para comparação das médias 
de dois grupos emparelhados, que utiliza para o seu cálculo, a média das diferenças 
)d(
 entre 
cada um dos pares formados pelas duas amostras. 
 Se 
n
30 (pares), a suposição explícita de normalidade da população é desnecessária 
(Teorema Central do Limite). 
As hipóteses a serem testadas: 
00 d:H d 
 
)bilateralteste(d
)direitaàunilateralteste(d
)esquerdaàunilateralteste(d
:H
0
0
0
1
d
d
d





 
 A estatística do teste é dada por: 
 
nS
dd
t
d
0
, 
em que: 
n
d
d
n
1i
i

 e 







 


n
1i
22
i
2
d dnd
1n
1
S
 
d
é a media das diferenças; 
0d
 é o valor que ser quer testar; 
n
 é o tamanho da amostra. 
Se o valor de t calculado situar-se na região de rejeição, rejeita-se 
0H
 e se situar na 
região de aceitação, aceita-se 
0H
. 
Exemplo de aplicação: Uma amostra de 7 cabos de aço foi analisada antes e depois de sofrer 
um tratamento para aumentar sua resistência (em kgf/mm2). Os resultados obtidos foram: 
Antes: 50 54 51 50 55 53 52 
Depois: 60 61 57 54 59 58 60 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
107 
 Testar a hipótese de que o tratamento é eficiente, no nível de significância de 5%. Tratar 
os dados como emparelhados. 
 
Solução: 
 As hipóteses a serem testadas: 
0:H d0 
 ( o tratamento não é eficiente) 
0:H d1 
 ( o tratamento é eficiente) 
A estatística do teste é dada por: 
 
nS
dd
t
d
0
, em que: 
n
d
d
n
1i
i

 e 







 


n
1i
2
2
i
2
d dnd
1n
1
S
 
 Tem-se que 
44d
7
1i
i 

, logo 
29,6d 
 , 
90,4S2d 
 e 
21,2S 
. 
 Assim, a estatística ‘t” será : 
 
53,7
7
21,2
029,6
nS
dd
t 0 




 
Conclusão: O valor de 
tcom 
617 
 graus de liberdade é 1,943, logo, rejeita-se 
0d:H0 
. Conclui-se que o tratamento é eficiente. 
7.2.6 TESTE PARA IGUALDADE DE DUAS VARIÂNCIAS 
 Para aplicar o teste para a variância é necessário que a população de onde foi extraída a 
amostra seja normalmente distribuída. 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
2
2
2
10 :H  
 
 
)bilateralteste(
)direitaàunilateralteste(
)esquerdaàunilateralteste(
:H
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1





 
 A estatística do teste é calculada por: 
 
2
2
2
1
S
S
F 
 
onde: 
2
1S
 é a variância da amostra 1; 
2
2S
 é a variância da amostra 2; 
1n
 é o tamanho da amostra 1; 
2n
é o tamanho da amostra 2. 
 O valor crítico de F é obtido a partir da tabela da distribuição F, para o nível de 
significância 

 e 
1n11 
 graus de liberdade no numerador e 
1n22 
 graus de liberdade 
no denominador. 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
108 
 Rejeita-se 
0H
 se o valor de F calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar 
0H
 se 
situar-se na região de aceitação. 
Exemplo de aplicação: 
1) Foram testadas as durabilidades (em km) dos pneus das marcas A e B, obtendo-se para 5 
pneus de cada marca os seguintes resultados: 
Marca A: 30.000 32.000 28.000 26.000 31.000 
Marca B: 25.000 30.000 20.000 21.000 23.000 
 Existe diferença significativa entre as variâncias das durabilidades dos dois pneus, ao 
nível de 10% de significância? 
Solução: 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
2
2
2
10 :H  
 
 
2
2
2
11 :H 
 
 A estatística do teste é calculada por: 
 
2
2
2
1
S
S
F 
 
 Deve-se, portanto, calcular inicialmente os desvios padrão amostrais: 
000.800.5S2
1

 
5n1 
 
41n11 
 
000.700.15S2
2

 
5n2 
 
41n22 
 
37,0
000.700.15
000.800.5
S
S
F
2
2
2
1 
 
 A região de rejeição está representada no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
39,6FFF
)4;405,0(2;12(2 ;;
 
 
 
 
A.R. 
A.R. 
A.A.
. 
6,39 0,16 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
109 
16,0
39,6
1
F
1
FF
)1;22(
)2;1;2121 (





 
Conclusão: O valor de F calculado está na área de aceitação de 
0H
, portanto, variâncias das 
durabilidades dos dois pneus são iguais. 
2) Foram ensaiadas válvulas das marcas A e B, e verificou-se que os tempos de vida (em horas) 
foram: 
Marca A: 1.500 1.450 1.480 1.520 1.510 
Marca B: 1.000 1.300 1.180 1.250 
Testar a hipótese de igualdade para as variâncias do tempo de vida das válvulas de marcas A e 
B, ao nível de significância de 10%. 
Solução: 
 As hipóteses estatísticas são: 
 
2
B
2
A0 :H  
 
 
2
B
2
A1 :H 
 
 A estatística do teste é calculada por: 
 
2
B
2
A
S
S
F 
 
 Deve-se, portanto, calcular inicialmente os desvios padrão amostrais: 
 
770S2
A

 
5nA 
 
41nAA 
 
 
225.17S2
B

 
4nB 
 
31nBB 
 
04,0
225.17
770
S
S
F
2
B
2
A 
 
A região de rejeição está representada no gráfico: 
 
12,9FFF
)3;405,0()2;12(2 ;;
 
 
 
15,0
59,6
1
F
1
FF
)1;22(
)2;121(2
;
;1 




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A.R. 
A.R. 
A.A.
. 
6,39 0,16 
 
0,11 6,59 
 
0,15 9,12 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
110 
 Conclusão: O valor de F calculado é igual a 0,04 situando-se, portanto, na área de rejeição de 
0H
. Logo, as variâncias do tempo de vida das válvulas de marcas A e B são diferentes. 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 6 – TESTES DE HIPÓTESES 
 1. Sabe-se que os diâmetros internos de rolamentos usados no trem de pouso de aviões têm 
desvio padrão 
009,0
cm e normalmente distribuídos. Uma amostra aleatória de 15 rolamentos 
acusa um diâmetro interno médio de 8,2535 cm. Testar a hipótese de que o diâmetro interno 
médio do rolamento é maior que 8,25 cm. Usar 
05,0
. 
2. Deseja-se testar a hipótese de que o diâmetro médio da haste de liga de alumínio, produzidas 
em uma máquina de calibragem, é diferente de 0,5025 in. Uma amostra de 25 hastes 
apresentou um diâmetro médio de 0,5046 in e desvio padrão de 0,01 in. Utilizar 
05,0
 e supor 
distribuição normal. 
3. A força média de resistência de uma fibra sintética é uma característica de qualidade de 
interesse do fabricante, que deseja testar a hipótese de que a força média é maior que 50 psi, 
usando 
05,0
. O desvio padrão populacional da força de resistência é desconhecido. Uma 
amostra de 16 exemplares de fibra é selecionada e são obtidos os seguintes resultados: 
,8605X 
; 
1,66S 
. Sabe-se que a distribuição da força de resistência é normal. 
4. Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva. Deseja-se testar a 
hipótese de que a fração de itens não-conformes é menor que 10%. Em uma amostra aleatória 
de 250 cabos, detectou-se que 24 estavam fora das especificações. Usar 
05,0
. 
5. Em uma amostra aleatória de 80 mancais para virabrequins de automóveis, 15 apresentam o 
acabamento de superfície mais áspero do que as especificações permitem. Testar a hipótese de 
que a fração de não-conformes é diferente de 0,19, utilizando nível de significância de 2%. 
6. Uma amostra aleatória de 500 pinos de hastes de conexão contém 65 unidades não-
conformes. Testar a hipótese de que a verdadeira fração de defeituosos nesse processo é maior 
que 0,08. Usar 
01,0
. 
7. Dois catalisadores estão sendo testados para determinar como afetam o rendimento médio de 
um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está sendo usado atualmente, mas o 
catalisador 2 é aceitável. Como o catalisador 2 é mais barato, ele poderia ser adotado, desde 
que não alterasse o rendimento do processo. Um teste é realizado em uma fábrica piloto e os 
resultados são apresentados abaixo. Existe alguma diferença entre os rendimentos médios? 
Usar 
05,0
 e supor que as populações são normais e as variâncias iguais.. 
Dados: 
92,26X1 
; 
1,39S1 
; 
8n1 
; 
92,68X2 
; 
28,1S2 
; 
8n2 
 
8. Considerar o exercício anterior supondo que as variâncias populacionais não são iguais. 
9. Uma pesquisa apresenta os resultados de uma análise do peso do cálcio no cimento padrão e 
no cimento misturado com chumbo. Níveis reduzidos de cálcio são uma indicação de que o 
mecanismo de hidratação no cimento está bloqueado, o que permitirá a água atacar vários 
locais da estrutura de cimento. Dez amostras do cimento padrão acusaram um peso percentual 
médio de cálcio de 
0,90X1 
, com desvio padrão 
0,5S1 
 e 15 amostras do cimento misturado 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
111 
com chumbo apresentaram um peso médio de cálcio de 
0,87X2 
, com desvio padrão de 
0,4S2 
. Testar a hipótese de que 
21  
 é maior zero, utilizando 
01,0
 e supondo que 
ambas as populações são normalmente distribuídos e têm o mesmo desvio padrão. 
10. Dois técnicos de controle de qualidade mediram o acabamento da superfície de uma parte de 
metal, cujos dados estão apresentados abaixo. Suponha que as medidas sejam normalmente 
distribuídas. Testar a hipótese de que as medidas médias do acabamento da superfície obtidas 
pelos dois técnicos são iguais. Usar 
01,0
 e supor variâncias iguais. 
Dados: 
1,39X1 
; 
0,11S1 
; 
7n1 
; 
1,18X2 
; 
12,0S2 
;8n2 
 
11. Uma nova unidade de purificação é instalada em um processo químico. Antes de sua instalação, 
uma amostra aleatória forneceu os seguintes dados sobre a porcentagem de impureza: 
 
85,9X1 
 
 
73,81S21 
 
 
10n1 
 
Após a instalação, uma amostra aleatória resultou em: 
08,8X2 
 
46,78S22  
8n2  
É possível concluir que o novo aparelho de purificação reduziu a porcentagem média de 
impureza? Usar 
05,0
 e supor que as populações são normais e variâncias populacionais 
diferentes. 
12. Dois tipos diferentes de máquina são usados para medir a força de resistência de uma fibra 
sintética. Deseja-se saber se as duas máquinas fornecem os mesmos valores médios da 
força de resistência. Oito espécimes de fibra são aleatoriamente selecionados e uma 
medida da força é feita sobre cada espécime usando cada uma das máquinas. 
Testar a hipótese de que não há diferença entre as duas máquinas quanto à força média de 
resistência, 
05,0
. 
Observação: Os dados nesse experimento foram emparelhados para evitar que diferenças entre 
os espécimes de fibra (que podem ser substanciais) afetem o teste sobre a diferença das 
máquinas. 
 
ESPÉCIMES MÁQUINA 1 MÁQUINA 2 
1 74 78 
2 76 79 
3 74 75 
4 69 66 
5 58 63 
6 71 70 
7 66 66 
8 65 67 
 
13. Um operário realizou uma mesma operação com dois equipamentos diferentes, e os tempos 
gastos (em segundos foram): 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
112 
Equipamento A: 10 11 10 12 15 
Equipamento B: 8 10 15 12 
Existe diferença significativa entre as variâncias para os tempos gastos pelos dois 
equipamentos, ao nível de 10%? Supor as populações normalmente distribuídas. 
 
14. Foram testadas válvulas de marca A e verificou-se que os tempos de vida (em horas) foram: 
1500 1450 1480 1520 1510. Sabendo-se que os tempos de vida das válvulas são 
normalmente distribuídos, testar a hipótese de que a variância do tempo de vida é menor do que 
700, ao nível de 5% de significância. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
113 
 TESTES DE ADERÊNCIA 
INTRODUÇÃO 
 
O objetivo do teste de aderência é verificar se os dados de uma amostra comportam-se 
de acordo com uma distribuição teórica, tais como normal, binomial, Poisson, etc. 
8.1 TESTE QUI-QUADRADO DE ADERÊNCIA 
Os testes de aderência servem para testar hipóteses mais gerais sobre a distribuição dos 
dados. A idéia básica é que, dada uma amostra aleatória de tamanho n, observada de uma 
variável aleatória 
X
, deseja-se testar: 
00 f:H odistibuiçãtemX
 
01 f:H odistibuiçãtemnãoX
 
 A estatística de teste, chamada de 
2
 (qui-quadrado), é uma medida de distância entre 
as frequências observadas e as frequências esperadas de cada categoria, e é dada pela 
expressão: 




k
1i i
2
ii
E
EO )(2
, sendo 
iE
 obtida através de: 
ii pnE 
 
onde: 
iO
 é o número de observações ou freqüência absoluta observada da classe 
iA
; 
n é o número total de observações; 
ip
 é a probabilidade de obter uma observação na classe 
iA
; 
 Sendo verdadeira a hipótese nula, a estatística acima tem distribuição assintótica de Qui-
quadrado com 
1pk 
 graus de liberdade (
2
1pk; 
), onde 
k
 representa o número de classes e 
p
 o número de parâmetros da distribuição da população, estimados a partir da amostra. 
 Para utilizar este teste tem-se as seguintes regras: 
 A dimensão da amostra deve ser não-inferior a 30 (
30n 
) ; 
 A frequência esperada em cada classe deve ser 
5n 
. 
 
 Se esta última condição não prevalecer, o teste pode ainda ser utilizado, embora com 
moderada confiança, se não mais de 20% dos valores de 
iE
 forem inferiores a 5 e nenhum for 
inferior a 1. Quando tal não se verificar, procuram-se agregar classes adjacentes, de forma a 
obter novas classes que satisfaçam esta condição. 
 
TESTES DE ADERÊNCIA 
114 
 Se 
2
c
2
calc

 , aceita-se 
0H
 ( Há aderência à distribuição especificada) 
 Se 
2
c
2
calc

 , rejeita-se 
0H
 ( Não há aderência à distribuição especificada). 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de aplicação: 
1) Supõe-se que o número de defeitos nas placas de circuito impresso segue a distribuição de 
Poisson. Uma amostra de 60 placas impressas foi coletada e observou-se o número de defeitos, 
apresentados a seguir. 
NÚMERO DE 
DEFEITOS 
FREQUÊNCIA 
OBSERVADA 
0 32 
1 15 
2 9 
3 4 
A forma da distribuição de defeitos é Poisson? Usar 
05,0
. 
Solução: 
As hipóteses a serem testadas: 
oH
: a forma da distribuição de defeitos é Poisson 
1H
: a forma da distribuição de defeitos não é Poisson 
 É possível obter as probabilidades para cada valor de X. 
 
No. DE 
DEFEITOS (
ix
) 
NO. DE 
MÁQUINAS )xX(p i
 
0 32 0,53 
1 15 0,25 
2 9 0,15 
3 4 0,07 
TOTAL 60 1,00 
 Tem-se que o número médio de defeitos é dada por: 
 



n
1i
ii )x(px)X(E
 
 

 
2
c
 
A.A 
A.R 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
115 
 
75,007,0315,0225,0153,00)X(E 
 
 A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por: 
 
!x
)xX(P
xe 

 , onde 

 é a média. 
 Tem-se então que: 
 
472,0
!0
)75,0(
)0X(P
075,0e


 
 
354,0
!1
)75,0(
)1X(P
175,0e


 
 
133,0
!2
)75,0(
)2X(P
275,0e


 
 
041,0)133,0354,0472,0(1)2X(P1)3X(P 
 
 As frequências esperadas são obtidas pela multiplicação do tamanho da amostra 
60n 
 
pelas probabilidades 
)xX(Pp ii 
, ou seja, 
ii pnE 
. As frequências observadas e as 
esperadas estão apresentadas na tabela abaixo. 
 
NÚMERO DE 
DEFEITOS 
FREQUÊNCIA 
OBSERVADA 
FREQUÊNCIA 
ESPERADA 
0 32 
28472,060 
 
1 15 
21354,060 
 
2 9 
8133,060 
 
3 4 
3041,060 
 
 A estatística do teste é: 
  
74,2
3
)34(
8
)89(
21
)2115(
28
)2832(
E
EO 2222n
1i i
2
ii2 









 

 
 O número de graus de liberdade é k-p-1, onde 
k
 representa o número de classes e 
p
 o 
número de parâmetros da distribuição da população estimados a partir da amostra. Assim tem-
se: 
2114.l.g 
 
 O valor de 
2
 tabelado com 2 graus de liberdade e 5% de significância é 5,99. 
Conclusão: 
 Como 
74,22calc 
 é menor que 
99,52
.l.g2;05,0

, aceita-se a hipótese de que a forma 
da distribuição de defeitos é Poisson. 
 
2) Foram inspecionados 100 lotes de 3 peças cada um, sendo que o número X de peças 
defeituosas por lote segue distribuição abaixo. Testar a hipótese de que a distribuição é 
binomial, utilizando 
01,0
. 
 
No. de defeituosos 0 1 2 3 Total 
No. de lotes 65 30 4 1 100 
 
 
TESTES DE ADERÊNCIA 
116 
Solução: 
O número médio (média ou valor esperado) de válvulas defeituosas observadas é 
calculada por: 



4
1i
iipx)X(E
 , logo 
 
41,0
100
1
3
100
4
2
100
30
1
100
65
0)X(E 
 
 A distribuição binomial é dada por: 
xnxx
n qpC)xX(P

, onde p é a probabilidade de uma válvula ser defeituosa. 
Tem-se que a média da distribuição binomial é 
np)X(E  
 (parâmetro da distribuição 
binomial), assim, 
p3)X(E  
. 
Igualando as duas médias, 
)X(E
, tem-se: 
41,0p3 
, portanto, 
14,0p 
 e 
consequentemente, 
86,0q 
. Então, a distribuição binomial ajustada é: 
 
x3xx
3
)86,0()14,0(C)xX(P 
 
As probabilidades são calculadas atravésde: 
6361,0)86,0()14,0(C)0X(P 0300
3
  
3106,0)86,0()14,0(C)1X(P 1311
3
 
 
0506,0)86,0()14,0(C)2X(P 2322
3
 
 
0027,0)2X(P1)3X(P 
 
Foram agrupadas as duas últimas classes, pois a freqüência esperada da última classe é 
menor do que 1. 
As probabilidades, as frequências teóricas e observadas são: 
No. DE 
DEFEITUOSAS 
(
x
) 
)xX(P 
 FREQ. TEÓRICA 
(
iE
) 
FREQ. OBS. (
IO
) 
0 0,6361 100x0,6361=64 64 
1 0,3106 100x0,3106=31 31 
2
 0,0533 100x0,0533=5 5 
 
05,0
5
)55(
31
)3130(
64
)6465(
E
)EO( 2223
1i i
2
ii2 







 

 
 O número de graus de liberdade é k-p-1, onde 
k
 representa o número de classes e 
p
 o 
número de parâmetros da distribuição da população estimados a partir da amostra. Assim tem-
se: 
1113.l.g 
 
 O valor de 
2
 tabelado com 1 grau de liberdade e 1% de significância é 6,64. 
Conclusão: 
 Como 
05,02calc 
 é menor que 
64,62 .l.g1;01,0 
, aceita-se a hipótese de que a forma da 
distribuição de válvulas defeituosas é Binomial. 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
117 
8.2 TESTE DE LILLIEFORS 
 O teste de Lilliefors é utilizado para verificar a aderência dos dados a uma distribuição 
normal, sem a especificação de seus parâmetros, ou seja, a média e o desvio padrão são 
calculados a partir da amostra. 
As hipóteses são: 
0H
: a amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal 
1H
: a amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal 
 Calcula-se a estatística de teste, D, em termos da amostra em análise: 
 
 )x(S)x(F,)x(S)x(Fmaxd 1iiii
i

 
Exemplos: 
1) Um fabricante de autopeças está para fechar um grande contrato com a montadora. O ponto-
chave é a garantia da qualidade de seus produtos, especialmente do diâmetro (em mm) dos 
eixos produzidos, que ele supõe seguir uma distribuição normal. Para realizar o teste, a 
montadora selecionou uma amostra aleatória de 15 eixos, para testar as especificações a 5% de 
significância. Ao valores são apresentados a seguir. 
 
93,45 94,46 94,93 96,17 96,74 97,07 97,68 97,93 
99,10 99,30 100,73 103,29 103,60 103,83 105,20 
Solução: 
0H
: a amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal 
1H
: a amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal 
1. Construção da distribuição acumulada da amostra, 
)x(S
: 
OBS. 
ix
 
FREQ. 
RELATIVA )x(S i
 
1 93,45 0,0667 0,067 
2 94,46 0,0667 0,133 
3 94,93 0,0667 0,200 
4 96,17 0,0667 0,267 
5 96,74 0,0667 0,333 
6 97,07 0,0667 0,400 
7 97,68 0,0667 0,467 
8 97,93 0,0667 0,533 
9 99,10 0,0667 0,600 
10 99,30 0,0667 0,667 
11 100,73 0,0667 0,733 
12 103,29 0,0667 0,800 
13 103,60 0,0667 0,867 
14 103,83 0,0667 0,933 
15 105,20 0,0667 1,000 
Média 98,90 
Desvio Padrão 3,70 
 
 
TESTES DE ADERÊNCIA 
118 
2. Construção da função de distribuição acumulada 
)x(F
, para cada valor de 
ix
. Cada valor de 
diâmetro 
ix
 pode ser transformado em escore padronizado 
iZ
. Por exemplo: 
45,93x1 
  
-1,47
3,70
98,9045,93
Z1 


 
 A probabilidade acumulada até cada escore Z é obtida da tabela de áreas sob a curva 
normal. Para 
1Z
, tem-se: 
 
0708,0)ZX(P)X(F 1 
 
3. Cálculo das diferenças absolutas entre as distribuições acumuladas esperadas e observadas, 
)x(S)x(F ii 
 e 
)x(S)x(F 1ii 
. 
OBS. 
ix
 
FREQ. 
RELATIVA )x(S i
 
iZ
 
)x(F i
 
)x(S)x(F 1ii 
 
)x(S)x(F ii 
 
 0 
1 93,45 0,0667 0,067 -1,47 0,071 0,071 0,004 
2 94,46 0,0667 0,133 -1,20 0,115 0,049 0,018 
3 94,93 0,0667 0,200 -1,07 0,142 0,009 0,058 
4 96,17 0,0667 0,267 -0,74 0,231 0,031 0,036 
5 96,74 0,0667 0,333 -0,58 0,280 0,013 0,053 
6 97,07 0,0667 0,400 -0,49 0,311 0,023 0,089 
7 97,68 0,0667 0,467 -0,33 0,371 0,029 0,096 
8 97,93 0,0667 0,533 -0,26 0,397 0,070 0,137 
9 99,10 0,0667 0,600 0,05 0,522 0,012 0,078 
10 99,30 0,0667 0,667 0,11 0,543 0,057 0,124 
11 100,73 0,0667 0,733 0,49 0,690 0,023 0,044 
12 103,29 0,0667 0,800 1,19 0,882 0,149 0,082 
13 103,60 0,0667 0,867 1,27 0,898 0,098 0,031 
14 103,83 0,0667 0,933 1,33 0,909 0,042 0,025 
15 105,20 0,0667 1,000 1,70 0,956 0,022 0,044 
 
4. A maior diferença absoluta é igual a 0,149, logo, 
149,0d 
. 
5. A distância máxima admissível para 
15n 
 e 
%5
 é 
220,0dc 
. Como 
cdd 
, aceita-se 
0H
, logo, amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal. 
 
2) No controle estatístico de processos, uma suposição fundamental para a utilização de 
gráficos de controle de média de Shewhart é de que a distribuição das médias possa ser 
considerada normal. Um engenheiro quer saber se é possível aplicar gráficos de controle de 
médias a um processo produtivo. Para tanto, que avaliar a aderência das médias de 25 
amostras à distribuição normal. Os valores são: 
0,19 0,57 0,66 1,41 0,28 0,05 0,63 0,75 0,85 
0,99 1,68 3,01 0,31 5,48 0,66 0,76 5,94 0,85 
0,03 9,49 2,18 1,23 4,89 0,71 3,52 
 
 Com base nos dados apresentados, e utilizando nível de signficância de 1%, é possível 
usar gráfico de controle de média de Shewhart para monitorar o processo? 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
119 
Solução: 
0H
: a amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal 
1H
: a amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal 
 
OBS. 
ix
 
FREQ. 
RELATIVA )x(S i
 
iZ
 
)x(F i
 
)x(S)x(F 1ii 
 
)x(S)x(F ii 
 
1 0,03 0,04 0,040 -0,80 0,212 0,212 0,172 
2 0,05 0,04 0,080 -0,79 0,214 0,174 0,134 
3 0,19 0,04 0,120 -0,73 0,232 0,152 0,112 
4 0,28 0,04 0,160 -0,69 0,244 0,124 0,084 
5 0,31 0,04 0,200 -0,68 0,248 0,088 0,048 
6 0,57 0,04 0,240 -0,56 0,285 0,085 0,045 
7 0,63 0,04 0,280 -0,54 0,294 0,054 0,014 
8 0,66 0,04 0,320 -0,53 0,299 0,019 0,021 
9 0,66 0,04 0,360 -0,53 0,299 0,021 0,061 
10 0,71 0,04 0,400 -0,50 0,306 0,054 0,094 
11 0,75 0,04 0,440 -0,49 0,312 0,088 0,128 
12 0,76 0,04 0,480 -0,48 0,314 0,126 0,166 
13 0,85 0,04 0,520 -0,44 0,328 0,152 0,192 
14 0,85 0,04 0,560 -0,44 0,328 0,192 0,232 
15 0,99 0,04 0,600 -0,38 0,350 0,210 0,250 
16 1,23 0,04 0,640 -0,28 0,389 0,211 0,251 
17 1,41 0,04 0,680 -0,20 0,419 0,221 0,261 
18 1,68 0,04 0,720 -0,09 0,465 0,215 0,255 
19 2,18 0,04 0,760 0,13 0,551 0,169 0,209 
20 3,01 0,04 0,800 0,49 0,686 0,074 0,114 
21 3,52 0,04 0,840 0,71 0,760 0,040 0,080 
22 4,89 0,04 0,880 1,30 0,903 0,063 0,023 
23 5,48 0,04 0,920 1,55 0,940 0,060 0,020 
24 5,94 0,04 0,960 1,75 0,960 0,040 0,000 
25 9,49 0,04 1,000 3,28 0,999 0,039 0,001 
média 1,88 
DP 2,32 
 A distância máxima admissível para 
25n 
 e 
%5
 é 
0,173dc 
. Como 
cdd 
, 
rejeita-se 
0H
, logo, amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal. 
Assim, não é possível utilizar o gráfico de controle de média. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 7 – TESTES DE ADERÊNCIA 
1. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram 
obtidas. A média e o desvio padrão amostral são 90,59 e 3,18, respectivamente. A distribuição 
de freqüências encontra-se a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESTES DE ADERÊNCIA 
120 
 
TAXAS DE 
OCTANAGEM 
fi 
83,5 |--- 85,9 3 
85,9 |--- 88,4 9 
88,4 |--- 90,9 21 
90,9 |--- 93,4 15 
93,4 |--- 95,9 5 
95,9 |--- 98,4 1 
98,4 |--- 100,9 2 
TOTAL 56 
 
Verificar se amostra da taxa de octanagem provém de uma distribuição normal, utilizando05,0
. 
2. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 50 determinações. A média e o desvio padrão amostral são 46,32 e 
7,44. A distribuição de freqüências encontra-se a seguir: 
 
TEMPO 
(segundos) 
fi 
32 |--- 36 5 
36 |--- 40 7 
40 |--- 44 5 
44 |--- 48 14 
48 |--- 52 8 
52 |--- 56 3 
56 |--- 60 8 
TOTAL 50 
Verificar se a amostra do tempo necessário para realizar a operação provém de uma distribuição 
normal, utilizando 
01,0
. 
 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
121 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
INTRODUÇÃO 
 O objetivo da análise da variância, conhecida como ANOVA, é comparar k médias 
populacionais, sendo 
2k 
, com base nas amostras provenientes de 
k
 populações distintas. 
Enquanto no teste para igualdade de duas médias se utiliza as estatísticas Z ou t, conforme os 
desvios padrões populacionais sejam conhecidos ou não, na análise da variância, a estatística 
utilizada é a estatística F. 
 A análise da variância é um teste para igualdade de médias que utiliza variâncias para a 
tomada de decisões. 
9.1 FUNDAMENTOS DA ANOVA 
 Supondo que se deseja testar a hipótese de igualdade de k 
)2k( 
 médias 
populacionais, isto é: 
  k21 ...:H0
, 
contra a hipótese alternativa de que, pelo menos uma dessas médias seja diferente das demais, 
ou seja: 
:H1
pelo menos uma média
 i
. 
Na aplicação deste método, supõe-se que as populações são normalmente distribuídas e as 
variâncias populacionais iguais (homocedasticidade), ou seja: 
22
k
2
2
2
1 ...  
 
 Sejam as k amostras extraídas das populações, cujas médias serão testadas. A partir 
dessas amostras, é possível estimar a variância 
2
 de três maneiras, conforme apresentados a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
POPULAÇÃO 1 
1
 
 
2
 
POPULAÇÃO 2 
2
 
 
2
 

 
POPULAÇÃO k 
K
 
 
2
 
AMOSTRA 1 
1n
  
AMOSTRA 2 
2n
 
AMOSTRA k 
kn
 
 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
122 
1) Variância Total 
)S( 2
t
 
 Consiste em estimar a variância 
2
 considerando todas as k amostras reunidas em uma 
única amostra, o que é possível em função da suposição de que as variâncias populacionais são 
todas iguais a 
2
 . 
 Essa variância é estimada através de: 
 
1N
)Xx(
S
k
1j
n
1i
2
ji
2
t




  
 Onde: 
 
n
 é o tamanho de cada amostra; 
 
k
 é o número de amostras; 
 
jix
 é o i-ésimo elemento da j-ésima amostra; 
 
nkN 
 é o número de elementos em todas as amostras; 
 
N
x
X
k
1j
n
1i
ji
 

 é a média do conjunto de todas as amostras; 
 O numerador é denominado de Soma de Quadrados Total (SQT), então tem-se: 
 

 

k
1j
n
1i
2
ji )Xx(SQT
 
2) Variância entre Amostras 
)S( 2e
 
 Sendo verdadeira a hipótese 
0H
, é possível estimar a variância 
2
, através de: 
 
1k
)XX(
S
k
1j
n
1i
2
j
2
e




  
 Onde: 
 
n
x
X
n
1i
ji
j


 é a média da j-ésima amostra (j=1,2,...,k) 
 
n
 é o tamanho de cada amostra. 
 Esta variância 
)S( 2e
 é também chamada de Quadrado Médio Entre Amostras (QME). 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
123 
O numerador é denominado de Soma de Quadrados entre Amostras (SQE), então 
tem-se: 
 

 

k
1j
n
1i
2
j )XX(SQE
 
3) Variância Residual (ou Variância dentro) 
 Consiste em estimar as variâncias dentro de cada amostra e em seguida estimar um 
único valor para 
2
, por meio da combinação dessas k variâncias. Esta variância 
)S( 2r
 é 
chamada também de Quadrado Médio Residual (QMR). 
 Para uma amostra qualquer j, a estimativa da variância é dada por: 
 
1n
)Xx(
S
n
1i
2
jji
2
j




 
 Combinando as k variâncias, obtém-se a estimativa de 
2
, dada por: 
 
kN
)Xx(
S
k
1j
n
1i
2
jji
2
r




  
O numerador é denominado de Soma de Quadrados Residual (SQR), logo: 
 

 

k
1j
n
1i
2
jji )Xx(SQR
 
Onde: 
 
jX
 é a média da j-ésima amostra (j=1,2,...,k) 
 A Soma de Quadrados Residual pode também ser obtida através de: 
 
SQESQTSQR 
 
9.2 ANÁLISE DA VARIÂNCIA A UM CRITÉRIO DE CLASSIFICAÇÃO 
 Neste modelo, os elementos observados são classificados segundo um critério, ou seja, 
existe apenas uma característica de interesse a ser testada. 
 As etapas para a realização da ANOVA: 
a) Formulação das hipóteses: 
 
  k21 ...:H0
 
 
:H1
pelo menos uma média
 i
; 
b) Fixar o nível de significância 

; 
c) Determinar a região de rejeição (R.R.); 
 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
124 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O teste será sempre unilateral. O valor crítico de F será obtido para nível de significância 

 e 
)1k( 
 e 
)kN( 
 graus de liberdade, no numerador e denominador, respectivamente. 
d) Cálculo da estatística F 
 A estatística F é calculada através de: 
 
2
r
2
e
S
S
F 
 
e) Quadro da Análise da Variância 
 
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DE 
QUADRADOS 
G.L 
QUADRADOS 
MÉDIOS 
F 
Entre amostras 
SQE
 
1k 
 
1k
SQE
QMES2e


 
 
 
QMR
QME
S
S
F
e
r
2
e 
 Residual 
SQR
 
kN
 
kN
SQR
QMRS2r


 
 
Total SQT
 
1N
 
 
f) Conclusão 
 Se 
)kN,1k(FF  
, rejeita-se hipótese 
0H
 , caso contrário, aceita-se 
0H
. 
Exemplos da aplicação: 
1) Verificou-se os índices de produção, segundo os postos de trabalho, durante certo período. 
Analisar se há diferença nos índice de produção, devido aos postos de trabalho. Usar 
05,0
. 
 
 
POSTOS DE 
TRABALHO 
INDICES DE PRODUÇÃO (%) 
A 90,8 100,0 81,1 
B 85,5 83,0 73,7 
C 65,9 77,1 68,5 
 
 
R.R. 

 
1
 
R.A. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
125 
Solução: 
a) As hipóteses a serem testadas: 
  CBA:H0
 
:H1
pelo menos uma média
 i
 
b) Cálculo da Soma de Quadrados Total (SQT) 
 Tem-se que a soma de quadrados total é dada por: 
 

 

k
1j
n
1i
2
ji )Xx(SQT
 
 Logo, faz-se necessário calcular inicialmente a média do conjunto de todas as amostras 
)X(
. 
POSTOS DE 
TRABALHO 
INDICES DE PRODUÇÃO (%) (
jix
) 
SOMAS 
)x(
n
1i
i

 
MÉDIAS 
)X( j
 
A 90,8 100 81,1 271,90 90,63 
B 85,5 83 73,7 242,20 80,73 
C 65,9 77,1 68,5 211,50 70,50 
TOTAL 725,60 80,62 
 
 
 A média do conjunto de todas as amostras será: 
 
62,80
9
6,725
N
x
X
k
1j
n
1i
ji


  
 Então, tem-se: 
22222 )62,805,68()62,801,77()62,801,81()62,800,100()62,808,90(SQT  
 
932,78SQT 
 
 
c) Soma de Quadrados entre Amostras (SQE) 



 
k
1j
2
j
k
1j
n
1i
2
j )XX(n)XX(SQE
 
 
22 )62,805,70(3)62,8073,80(3)62,8063,90(3SQE 2 
 
607,88SQE 
 
d) Cálculo da Soma de Quadrados Residual (SQR) 
SQESQTSQR 
 
324,90607,88-932,78SQR 
 

 
k
1j
n
1i
jix
 
 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
126 
e) Quadro da ANOVA 
 
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DE 
QUADRADOS 
G.L 
QUADRADOSMÉDIOS 
F 
Entre amostras 
88,607SQE 
 2 
94,303
2
88,607
QME 
 
 
5,61F 
 Dentro da 
amostra (residual) 90,324SQR 
 6 
15,54
6
90,324
QMR 
 
 
Total 78,932SQT 
 8 
 
 
 O valor de F tabelado é: 
14,5F 6;2;05,0 
 
 
f) Conclusão: Como 
6;2;05,0FF 
, rejeita-se a hipótese 
oH
 de que os índices médios de 
produção são iguais. 
 
2) Em uma indústria, quatro operários executam uma mesma operação. Com o objetivo de 
identificar se existe diferença entre os tempos gastos para executar a operação mencionada, 
foram realizadas as seguintes observações desses tempos (em segundos): 
Operário 1: 8,1 8,3 8,0 8,1 8,5 
Operário 2: 8,4 8,4 8,5 8,3 
Operário 3: 8,8 8,7 8,9 
Operário 4: 8,3 8,4 8,2 8,2 8,3 8,4 
Verificar se a diferença é significativa ao nível de 1% de significância. 
Solução: 
a) As hipóteses a serem testadas: 
  4321:H0
 
:H1
pelo menos uma média
 i
 
b) Cálculo da Soma de Quadrados Total (SQT) 
 Tem-se que a soma de quadrados total é dada por: 
 

 

k
1j
n
1i
2
ji )Xx(SQT
 
 Logo, faz-se necessário calcular inicialmente a média do conjunto de todas as amostras. 
OPERA-
DORES 
 
TEMPOS (
jix
) 
SOMAS 
)x(
k
1j
j

 
MÉDIAS 
)X( j
 
1 8,1 8,3 8,0 8,1 8,5 41,0 8,2 
2 8,4 8,4 8,5 8,3 33,6 8,4 
3 8,8 8,7 8,9 26,4 8,8 
4 8,3 8,4 8,2 8,2 8,3 8,4 49,8 8,3 
 150,8 8,4 
 
 
 
 
k
1j
n
1i
jix
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
127 
A média do conjunto de todas as amostras será: 
 
4,8
18
8,150
N
x
X
k
1j
n
1i
ji


  
 Então, tem-se: 
2222 )4,84,8()4,80,8()4,83,8()4,81,8(SQT  
 
0,98 SQT 
 
 
c) Soma de Quadrados entre Amostras (SQE) 

 

k
1j
n
1i
2
j )XX(SQE
 
OBS: Neste caso, cada 
2
j )XX( 
 é multiplicado pelo seu respectivo tamanho de amostra. 
 2222 )4,83,8(6)4,88,8(3)4,84,8(4)4,82,8(5SQE 
 
0,74 SQE 
 
 
d) Cálculo da Soma de Quadrados Residual (SQR) 

 

k
1j
n
1i
2
jji )Xx(SQR
 
2222 )3,84,8()3,83,8()2,83,8()2,81,8(SQR  
 
0,24 SQR 
 
 
 
e) Quadro da ANOVA 
 
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DE QUADRADOS 
G.L 
QUADRADOS MÉDIOS 
F 
Entre amostras 
(Tratamentos) 74,0SQE 
 3 
3
74,0
QME 
 
 
39,14F 
 Dentro da amostra 
(residual) 24,0SQR 
 14 
14
24,0
QMR 
 
 
Total 98,0SQT 
 17 
 
 
 O valor de F tabelado é 
56,5F 14;3;01,0 
. 
 
Conclusão: Como 
14;3;01,0FF 
, rejeita-se a hipótese 
0H
 de que as quatro médias são iguais. 
 
 
 
 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
128 
9.3 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS ENTRE MÉDIAS 
 A análise da variância serve para verificar se existe diferença significativa entre as 
médias; porém, se houver diferenças, não é possível saber, através dela, quais as médias 
diferem entre si. A identificação de diferenças entre médias, tomando-as duas a duas, deve ser 
feita usando testes de comparações múltiplas entre médias. 
9.3.1 TESTE DE SCHEFFÉ 
 
 
A estatística de teste é a distribuição F de Snedecor com 
)kN,1k( 
graus de liberdade, 
corrigida por um fator que leva em conta o fato de se comparar k médias, duas a duas. 
 O Teste de Scheffé é um teste mais geral, permite usar amostras com dimensões 
diferentes e é robusto a violações dos pressupostos de normalidade e de igualdade de 
variâncias.
 
 
 Se 
 mi XX
, rejeita-se a hipótese nula de que 
mi0 :H  
, sendo que a 
estatística 

 é dada por: 
 
 







 ,kN,1kF
n
1
n
1
)1k(QMR
mi
. 
Exercícios de aplicação: 
1) Para o exemplo dos índices de produção segundo diferentes postos de trabalho, verificar 
quais médias são diferentes, utilizando 
05,0
. 
Solução: 
Os índices médios, segundo diferentes postos de trabalho são: 
POSTOS DE 
TRABALHO 
MÉDIAS 
)X( j
 
A 90,63 
B 80,73 
C 70,50 
 
Utilizando o teste de Scheffé: 
 
 







 ,kN,1kF
n
1
n
1
)1k(QMR
mi
 
onde: 
3k 
( postos de trabalho) 
639kN 
 
05,0
 
3n 
 (tamanho da amostra para cada grupo) 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
129 
15,54
6
90,324
QMR 
 ( do exemplo de aplicação no. 1) 
14,5F 05,0;6,2 
 
Considerando os postos de trabalha A e B, tem-se: 
 
26,1914,5
3
1
3
1
215,5405,0 






 
 Da mesma forma para A e C e B e C, pois os tamanhos de amostras são iguais a 3. 
 Portanto, tem-se: 
POSTOS DE 
TRABALHO 
DIFERENÇA DE MÉDIAS 
 DIFERENÇA 
SIGNIFICATIVA 
A e B 
90,973,8063,90 
 19,26 Não 
A e C 
13,2050,7063,90 
 19,26 Sim 
B e C 
23,1050,7073,80 
 19,26 Não 
 
 Conclui-se portanto que as médias dos postos de trabalho A e C são diferentes, para 
nível de 5% de significância. 
2) Para o exemplo de quatro operários que executam uma mesma operação em uma indústria, 
aplicar o método de Scheffé, utilizando 
01,0
. 
Solução: 
 Os tempos médios gastos para executar determinada operação, segundo operadores: 
OPERA-
DORES 
in
 
MÉDIAS 
)X( j
 
1 5 8,2 
2 4 8,4 
3 3 8,8 
4 6 8,3 
 Utilizando o teste de Scheffé: 
 
 







 ,kN,1kF
n
1
n
1
)1k(QMRXX
mi
mi
 
4k 
 ( operadores) 
18N
 
14418kN 
 
01,0
 
 
0171,0
14
0,24
QMR 
 ( do exemplo de aplicação no. 2) 
 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
130 
56,5F 01,0;14;3 
 
 Considerando os operários 1 e 2, tem-se: 
5n1 
 
4n2 
 
 Substituindo os valores na expressão do teste de Scheffé: 
0,36 56,5
4
1
5
1
30171,0 






 
 As médias dos operários 1 e 2 são: 
2,8X1  e 4,8X2  , portanto a diferença é 
2,0XX 21 
. Tem-se que 
0,36 2,0XX 21  
, logo não há diferença entre as duas 
médias. 
 Considerando os operários 1 e 3, tem-se: 
5n1 
 
3n2 
 
0,39 56,5
3
1
5
1
30171,0 






 
 Considerando os operários 1 e 4, tem-se: 
5n1 
 
6n2 
 
32,056,5
6
1
5
1
30171,0 






 
 Considerando os operários 2 e 3, tem-se: 
4n1 
 
3n2 
 
41,056,5
3
1
4
1
30171,0 






 
 Considerando os operários 2 e 4, tem-se: 
4n1 
 
6n2 
 
34,056,5
6
1
4
1
30171,0 






 
 Considerando os operários 3 e 4, tem-se: 
3n1 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
131 
6n2 
 
38,056,5
6
1
3
1
30171,0 






 
 Assim, tem-se: 
 
OPERADORES 
mi XX 
 

 CONCLUSÃO 
1 e 2 0,20 0,36 Não diferem 
1 e 3 0,60 0,39 diferem 
1 e 4 0,10 0,32 Não diferem 
2 e 3 0,40 0,41 Não diferem 
2 e 4 0,10 0,34 Não diferem 
3 e 4 0,50 0,38 diferem 
 
 A média do operador número 3 difere da média do operador 1 e 4, ao nível de 1% de 
significância. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 8 – ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
1. Uma empresa deseja adquirir certa máquina e verificou que existem no mercado três marcas 
diferentes: A, B, e C que satisfazem. Decidiu-se que será comprada a máquina que apresentar 
melhor rendimento. Foi realizado um ensaio com as três máquinas em períodos iguais durante 5 
dias e as produções resultantes foram: 
 
 A 120 123 121 125 122B 119 121 118 120 123 
 C 125 127 128 127 128 
Pergunta-se: com relação ao rendimento, existe diferença significativa entre as máquinas ao 
nível de 1% de significância? Aplicar o teste de Scheffé e concluir qual a máquina a ser 
adquirida. 
2. Foram testados três tipos de lâmpadas elétricas e os tempos de vida (em horas) obtidos 
foram: 
lâmpada A: 1.245 1.354 1.367 1.289 
lâmpada B: 1.235 1.300 1.230 1.189 
lâmpada C: 1.345 1.450 1.320 
Existe diferença significativa entre os tempos médios de vida dessas três marcas de lâmpadas, 
ao nível de significância de 1%? Se necessário, aplicar o teste de Scheffé. 
3. Três máquinas produzem parafusos. Encontram-se a seguir, os diâmetros correspondentes a 
uma amostra de 4 parafusos produzidos em cada máquina. 
 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
132 
 
 
 
MÁQUINAS 
A B C 
8 9 7 
7 7 9 
9 7 7 
7 8 7 
Testar se os diâmetros médios são iguais a um nível de significância de 5%. 
4) Pesquisadores investigaram três métodos diferentes de preparar o composto supercondutor 
86SPbMo
. Eles afirmam que a presença de oxigênio durante o processo de preparação afeta a 
temperatura de transição, 
cT
, da supercondução do material. Os métodos de preparação 1 e 2 
usam técnicas que são planejadas para eliminar a presença de oxigênio, enquanto o método 3 
permite a presença de oxigênio. Cinco observações de 
cT
 (em K) foram feitas para cada 
material, sendo os resultados apresentados a seguir. 
 
MÉTODO DE 
PREPARAÇÃO 
TEMPERATURA DE TRANSIÇÃO 
cT
 (K) 
1 14,8 14,8 14,7 14,8 14,9 
2 14,6 15,0 14,9 14,8 14,7 
3 14,2 14,4 14,4 12,2 11,7 
Há qualquer evidência que confirme a afirmação de que a presença de oxigênio durante a 
preparação afete a temperatura média de transição? Usar 
05,0
. 
5) A resistência de contato de um relé foi estudada para três materiais diferentes (todos eram 
ligas, tendo prata como base). Os dados encontram-se a seguir. 
 
LIGA RESISTÊNCIA DE CONTATO 
1 95 87 99 98 
2 104 102 102 105 
3 119 130 132 136 
 
O tipo de liga afeta a resistência média de contato? Usar 
01,0
. 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
133 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃ0 
SIMPLES 
10.1 INTRODUÇÃO 
A análise de correlação mede o grau de associação entre variáveis, e pode ser: 
 Correlação simples: mede a “força” ou “grau” de associação entre duas variáveis; 
 Correlação múltipla: mede a “força” ou “grau” de associação entre uma variável e um 
conjunto de outras variáveis. 
A análise de regressão estuda o relacionamento entre uma variável chamada 
dependente e outras variáveis chamadas variáveis independentes. Este relacionamento é 
representado por um modelo matemático, isto é, por uma equação que associa a variável 
dependente com as variáveis independentes. 
 Modelo de regressão linear simples: define uma relação linear entre a variável dependente e 
uma variável independente; 
 Modelo de regressão linear múltipla: define uma relação linear entre a variável dependente 
e duas ou mais variáveis independentes. 
10.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
O diagrama de dispersão é uma representação gráfica da relação entre duas ou mais 
variáveis. No diagrama de dispersão entre duas variáveis, X e Y, cada ponto no gráfico é um par 
(
ii y,x
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A visualização do diagrama de dispersão possibilita ter uma boa idéia de como as duas 
variáveis se correlacionam. 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
0
20
40
60
80
100
120
2 7 12 17 22
X
Y
 GRÁFICO 1 - DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁ- 
 VEIS X E Y 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
134 
10.3 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO 
10.3.1 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON 
Diferentes formas de correlação podem existir entre as variáveis. O caso mais simples e 
mais conhecido é a correlação linear simples, envolvendo duas variáveis, X e Y. 
Este coeficiente mostra o grau de relacionamento entre as variáveis, fornecendo um número, 
indicando como as variáveis variam conjuntamente. Não há a necessidade de definir as relações 
de causa e efeito, ou seja, qual é a variável dependente e a independente. 
 Quando para maiores valores de X, existe uma tendência de obter maiores valores de Y, 
diz-se que existe correlação linear positiva, conforme o gráfico 1, apresentado anteriormente. 
Entretanto, pode ocorrer o inverso, ou seja, para maiores valores de X, existir uma tendência de 
obter menores valores de Y, diz-se neste caso, que existe correlação linear negativa, 
conforme o gráfico 2. Obviamente, existem muitos casos em que as variáveis não são 
correlacionadas, isto é, a correlação linear é nula, como apresentado no gráfico 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente de correlação amostral é obtido através da expressão: 
  
   






n
1i
2
Y
n
1i
2
X
n
1i
YX
YX
YX
r
ii
ii
 
 A interpretação do coeficiente quando 
1r 
 é de que existe correlação linear perfeita 
entre as variáveis X e Y. A correlação é linear perfeita positiva quando 
1r 
 e linear perfeita 
negativa quando 
1r 
. Quando se tem 
0r 
, não existe correlação linear entre as variáveis X e 
Y. O coeficiente de correlação pode ser avaliado qualitativamente de acordo com os critérios 
abaixo: 
 
 
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
0
20
40
60
80
100
120
2 7 12 17 22
X
Y
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
0
10
20
30
40
50
60
70
2 7 12 17
X
Y
 GRÁFICO 2 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁ- 
 VEIS X E Y 
 
GRÁFICO 3 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁ- 
 VEIS X E Y 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
135 
 se 
30,0r0 
 existe fraca correlação linear; 
 se 
60,0r30,0 
 existe moderada correlação linear; 
 se 
90,0r60,0 
 existe forte correlação linear; 
 se 
00,1r90,0 
 existe correlação linear muito forte. 
Exemplo de aplicação: 
Seja o processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. O recobrimento é 
feito com metal fundido. 
X= quantidade utilizada de metal fundido (em gramas); 
Y = porcentagem de recobrimento obtida (%). 
 
QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTILIZADA 
E PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO 
OBTIDA 
OBSERVAÇÃO 
ix
 
iy
 
1 6,0 10 
2 4,0 10 
3 6,0 20 
4 8,0 20 
5 7,5 30 
6 8,5 40 
7 9,5 45 
8 11,0 50 
9 12,0 60 
10 12,0 65 
 O diagrama de dispersão é apresentado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A visualização do diagrama de dispersão possibilita ter uma boa idéia de como as duas 
variáveis se relacionam, ou seja, qual a tendência de variação conjunta que apresentam. O 
gráfico sugere a existência de uma relação linear entre as duas variáveis. Assim, calcular-se-á o 
coeficiente de correlação linear de Pearson. 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 4 6 8 10 12 14
Quantidade de metal
Porcentagem de 
recobrimento (%)
 GRÁFICO 4 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁVEIS QUANTI- 
 DADE DE METAL FUNDIDO E PORCENTAGEM DE RECOBRI- 
 MENTO 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
136 
 
OBS. 
ix
 
iy
 
)Xx( i 
 
)Yy( i 
 
)Yy)(Xx( ii 
 
2
i )Xx( 
 
2
i )Yy( 
 
1 6 10 -2,45 -25 61,25 6,00 625 
2 4 10 -4,45 -25 111,25 19,80 625 
3 6 20 -2,45 -15 36,75 6,00 225 
4 8 20 -0,45 -15 6,75 0,20 225 
5 7,5 30 -0,95 -5 4,75 0,90 25 
6 8,5 40 0,05 5 0,25 0,00 25 
7 9,5 45 1,0510 10,50 1,10 100 
8 11 50 2,55 15 38,25 6,50 225 
9 12 60 3,55 25 88,75 12,60 625 
10 12 65 3,55 30 106,50 12,60 900 

 84,5 350 465,00 65,73 3.600 
MÉDIA 8,45 35 
Tem-se que: 
  
   





 
n
1i
2
iY
n
1i
2
iX
n
1i
iYiX
YX
YX
r Y,Xˆ 
Substituindo os valores na expressão acima tem-se: 
0,9560
3.60065,73
465
r Y,Xˆ 
 
Sendo o 
9560,0r 
, conclui-se que existe correlação linear muito forte. 
10.3.1.1 TESTE DE HIPÓTESES PARA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
 O coeficiente de correlação linear 
r
, é uma estimativa da correlação populacional 
ρ
, 
obtida com base em uma amostra de tamanho n. O tamanho da amostra exerce papel 
fundamental na estimativa, desta forma, torna-se necessário testar a hipótese de que realmente 
existe correlação linear entre as variáveis estudadas. Assim, as hipóteses a serem testadas são: 
0:H
0

 ( a correlação populacional é igual a zero) 
0:H1 
 ( a correlação populacional é diferente de zero) 
 A estatística para testar a hipótese 
0:H0 
 contra 
0H :1 
, tem distribuição t com n - 2 
graus de liberdade, ou seja: 
 
2r1
2nr
t



 ~ 
2nt 
 . 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
137 
Exemplo de aplicação: 
Seja o exemplo do processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. Tem-se que 
o coeficiente de correlação estimado é 
0,9560r 
. Testar a hipótese de que a correlação 
populacional é diferente de zero, utilizando nível de significância de 5%. 
As hipóteses são: 
0:H
0

 ( a correlação populacional é igual a zero) 
0:H1 
 ( a correlação populacional é diferente de zero) 
 A estatística t é: 
9,22
9560,01
2109560,0
r1
2nr
t
22







 
 O valor de “t” tabelado para nível de significância e 5% e 8 graus de liberdade é 2,31, 
portanto, rejeita-se a hipótese 
0:H
0

. 
10.4 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 Análise de regressão linear simples é uma técnica de modelagem utilizada para analisar 
a relação entre uma variável dependente (Y) e uma variável independente 
X
. 
 O objetivo dessa técnica é identificar uma função que descreve, o mais próximo possível, 
a relação entre essas variáveis e assim poder predizer o valor que a variável dependente (Y) irá 
assumir para um determinado valor da variável independente X. 
 O modelo de regressão poderá ser expresso como: 
 
  XY
 
 Um valor de Y é formado pelo componente funcional ou regressão 
)X(  
, que 
representa a influência da variável independente X sobre o valor de Y e o componente aleatório 
)( 
, que representa a influência de outros fatores, bem como os erros de medidas da variável 
Y. 
 Apresenta-se a seguir, um gráfico, onde estão representados os pontos observados e a 
reta ajustada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
20
22
24
26
28
30
32
34
20 22 24 26 28 30
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
138 
Verifica-se no gráfico que nem todos os pontos tocam a reta, e essa diferença é o erro 
(), mas supõe-se que em média esses erros tendem a se anular, ou seja: 
0)(E i 
 
 Ao estabelecer o modelo de regressão linear simples, deve-se pressupor que: 
1) os erros 
)i(
têm distribuição normal; 
2) os erros 
)i(
são independentes; 
3) 
i
é uma variável aleatória com média igual a zero, isto é, 
0)(E i 
; 
4) A variância de 
i
é igual a 
2
 para todos os valores de X. 
10.4.1 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS 
 Uma vez escolhido o modelo de regressão, deve-se estimar os seus parâmetros, neste 
caso, os coeficientes da equação da reta, 

 e 

. Isso pode ser feito a partir da aplicação do 
Método dos Mínimos Quadrados. Neste método, a soma dos erros quadráticos (isto é, a soma 
dos quadrados da distância vertical entre as observações e a reta ajustada) é mínima. 
 Os parâmetros 

 e 

 são estimados através dos dados amostrais e a reta estimada 
será da forma: 
 
bXaYˆ 
 
 
 Seja 
ie
 a distância da reta ajustada aos pontos amostrais, o método dos mínimos 
quadrados minimiza a soma de 
2
ie
, ou seja: 
 
2
i
n
1i
i
n
1i
2
ii
n
1i
2
i )bxay()yˆy(e  

 
 Derivando a expressão acima em relação a “
a
” e igualando a zero, tem-se: 
 
0xb2na2y2)bxay(
n
1i
i
n
1i
i
2
i
n
1i
ia





 
 Derivando a expressão acima em relação a “
b
” e igualando a zero, tem-se: 
 
0xb2xa2yx2)bxay(
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
ii
2
i
n
1i
i
b





 
 Obtém-se assim o sistema de duas equações: 
 



n
1i
i
n
1i
i xbnay
 
 



n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
ii xbxayx
 
 A solução analítica do sistema de equações fornece os valores de 
"a"
 e 
"b"
, como 
apresentados a seguir. 
 
XbYa 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
139 
 







n
1i
2
i
n
1i
ii
)Xx(
y)Xx(
b
 
Exemplos de aplicação: 
1) Seja o processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. O recobrimento é 
feito com metal fundido. 
X= quantidade utilizada de metal fundido (em gramas); 
Y = porcentagem de recobrimento obtida (%). 
 
QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTILIZADA 
E PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO 
OBTIDA 
OBSERVAÇÃO ix
 
iy
 
1 6,0 10 
2 4,0 10 
3 6,0 20 
4 8,0 20 
5 7,5 30 
6 8,5 40 
7 9,5 45 
8 11,0 50 
9 12,0 60 
10 12,0 65 
 Ajustar um modelo de regressão linear simples aos dados: 
Solução: 
 Tem-se então que: 
OBS. 
ix
 
iy
 
)Xx( i 
 
2
i )Xx( 
 
ii y)Xx( 
 
1 6 10 -2,45 6,00 -24,50 
2 4 10 -4,45 19,80 -44,50 
3 6 20 -2,45 6,00 -49,00 
4 8 20 -0,45 0,20 -9,00 
5 7,5 30 -0,95 0,90 -28,50 
6 8,5 40 0,05 0,00 2,00 
7 9,5 45 1,05 1,10 47,25 
8 11 50 2,55 6,50 127,50 
9 12 60 3,55 12,60 213,00 
10 12 65 3,55 12,60 230,75 
Total 84,5 350 65,725 465,00 
Média 8,45 35 
 
45,8X 
 
35Y 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
140 
725,65)Xx(
n
1i
2
i 

 
00,465y)Xx(
n
1i
ii 

 
Logo, 
7,0749
725,65
00,465
)Xx(
y)Xx(
b
n
1i
2
i
n
1i
ii







 
 
7832,2445,80749,735XbYa  
 
 A equação de regressão linear será: 
 
X0749,77832,24Yˆ 
 
 Tem-se então que: 
 
OBS. 
ix
 
iy
 
iyˆ
 
1 6 10 17,7 
2 4 10 3,5 
3 6 20 17,7 
4 8 20 31,8 
5 7,5 30 28,3 
6 8,5 40 35,4 
7 9,5 45 42,4 
8 11 50 53,0 
9 12 60 60,1 
10 12 65 60,1 
 
 O gráfico a seguir, apresenta o diagrama de dispersão e a função linear ajustada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO LINEAR 
AJUSTADA
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15
Quantidade de metal fundido 
Recobrimento 
(%)
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
141 
10.4.2 TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO 
 Uma etapa importante da verificação da adequação de um modelo de regressão linear é 
a realização de um teste estatístico de hipóteses em relação aos parâmetros do modelo. 
10.4.2.1TESTE 
t
 
 Lembrando que o modelo é 
  XY
 , deve-se testar as hipóteses: 
0:H0 
 
0:H1 
 
 A estatística do teste é dada por: 
XX
2
S
S
b
:t


, que segue distribuição t com n-2 graus de liberdade. 
 Tem-se que: 
2n
bSS
S XYYY2



, que é a estimativade 
2
 
Onde: 



n
1i
2
iXX )Xx(S
 



n
1i
2
iYY )Yy(S
 
n
yx
yxS
n
1i
n
i
iin
1i
iiXY
 




 
 A conclusão do teste será: 
 Se 
22 ttt  
, aceita-se 
0H
 e conclui-se que não existe regressão e se 
2tt 
, 
rejeita-se 
0H
 e conclui-se que existe regressão. 
10.4.2.2 ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
 A análise da variância, conhecida como ANOVA, é um teste que permite verificar a 
existência da regressão, ou seja, se existe relação entre a variável dependente e independente, 
através do comportamento das variações totais, explicadas e residuais. Este teste é resumido no 
quadro da ANOVA. 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
142 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A estatística utilizada para o teste é a variável aleatória com distribuição F de Snedecor, 
com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador. As hipóteses 
são: 
 
:H0
 A regressão linear de Y sobre X não é significativa
 
:H1
 A regressão linear de Y sobre X é significativa
 
 As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de : 



n
1i
2
i )Yy(totaisquadradosdeSomaSQT
 
XYSblicadosexpquadradosdeSomaSQE 
 
onde: 
)Yy()Xx(S ii
n
1i
XY  

 
XYYY SbSresiduaisquadradosdeSomaSQR 
 
onde: 



n
1i
2
YY )Yy(S i
 
Tem-se que:
SQRSQESQT 
. 
 Para a ANOVA, faz-se necessária elaborar a tabela abaixo: 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
G.L. QUADRADO MÉDIO F 
Explicada 
XYSbSQE 
 1 
XYSbQME 
 
 
QMR
QME
F 
 
Residual 
XYYY SbSSQR 
 
2n
 
2n
SbS
QMR XYYY



 
Total 
YYSSQT 
 
1n
 
 Se 
)tabelado(FF 2n,1;calculado 
, rejeita-se 
0H
 e conclui-se que a regressão de 
Y
 
sobre
X
é significativa. 
GRÁFICO 5 – DESVIOS TOTAIS, EXPLICADOS E RESIDUAIS 
 
 
 
Y 
X 
iy 
)yˆy( ii 
 
)Yy( i  
)yˆY( i 
bXaYˆ  
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
143 
Exemplo de aplicação: 
1) Testar o modelo ajustado no exemplo 1, através do teste t e da análise da variância. Usar 
%5
. 
Solução: 
Para obter as somas dos quadrados faz-se necessário os seguintes cálculos: 
 
OBS. 
ix
 
iy
 
ii yx
 
)Xx( i 
 
)Yy( i 
 
2
i )Xx( 
 
2
i )Yy( 
 
)Yy()Xx( ii 
 
1 6 10 60,0 -2,45 -25 6,0 625 61,25 
2 4 10 40,0 -4,45 -25 19,8 625 111,25 
3 6 20 120,0 -2,45 -15 6,0 225 36,75 
4 8 20 160,0 -0,45 -15 0,2 225 6,75 
5 7,5 30 225,0 -0,95 -5 0,9 25 4,75 
6 8,5 40 340,0 0,05 5 0,0 25 0,25 
7 9,5 45 427,5 1,05 10 1,1 100 10,5 
8 11 50 550,0 2,55 15 6,5 225 38,25 
9 12 60 720,0 3,55 25 12,6 625 88,75 
10 12 65 780,0 3,55 30 12,6 900 106,5 
Total 84,5 350 3.422,5 65,70 3.600 465,00 
a) Teste “t” 
0:H0 
 
0:H1 
 
 Tem-se que: 
38,7656
8
465075,7
600.3
2n
bSS
S XYYY2 





 
Calculando inicialmente: 
 
70,65)Xx(S
n
1i
2
iXX  

 
600.3)Yy(S
n
1i
2
iYY  

 
465
10
3505,84
5,422.3
n
yx
yxS
n
1i
n
i
iin
1i
iiXY 


 



 
 A estatística do teste é dada por: 
9,21
70,65
7656,38
0075,7
S
S
b
t
XX
2






 , que segue distribuição t com n-2 graus de liberdade. 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
144 
Tem-se que 
31,28;2/05,0t 
, logo, rejeita-se 
0H
 e conclui-se que 
0
. 
b) ANOVA 
600.3)Yy(SSQT
n
1i
2
iYY  

 
 
XYSbSQE 
, 
 sendo que 
465)Yy()Xx(S i
n
1i
iXY  

 
 
7,0749b 
 (já calculado) 
 Assim, tem-se que: 
3289,82854650749,7SXYbSQE 
 
 
XYYY SSSQR b
 
 
310,17158285,3289600.3SSSQR XYYY b 
 
QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
G.L. QUADRADO MÉDIO F 
Explicada 
8285,289.3SQE 
 1 
8285,289.3QME 
 
 
84,85F 
 
Residual 
1715,310SQR 
 
82n 
 
38,7714
8
1715,310
QMR 
 
Total 
000,600.3SQT 
 
91n 
 
 Tem-se que 
32,5F 8,1;05,0 
, logo, conclui-se que a regressão de Y sobre X é significativa, 
para nível de 5% de significância. 
10.4.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO 
 Um outro indicador utilizado constantemente é o coeficiente de determinação, 2R , que 
indica quantos por cento a variação explicada pela regressão representa da variação total. Este 
varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, maior é a explicação pelo modelo das variação 
total. A expressão de 2R é dada por: 
SQT
SQE
R2 
 
 Para o exemplo 1, tem-se que: 
 
0,9138
000,600.3
829,289.3
SQT
SQE
R2 
 
 
 O modelo ajustado explica 91,38% das variações ocorridas na variável dependente Y. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
145 
2) Foi realizada uma experiência relacionando os alongamentos de uma mola (cm) com as 
cargas aplicadas (kg). Os resultados obtidos foram: 
Carga (kg) 3 4 5 6 7 8 9 10 
Alongamento (cm) 4,0 4,8 5,6 6,7 7,9 9,0 9,8 11,0 
Ajustar um modelo de regressão linear simples aos dados, testar a hipótese da 
significância da regressão e calcular o coeficiente de determinação. 
Solução: 
a) Ajuste do modelo de regressão linear simples 
 Tem-se que a variável dependente Y é o alongamento da mola e a independente X, a 
carga, Assim, para obter os coeficientes a e b, serão necessários os seguintes cálculos: 
X-> carga 
Y-> alongamento 
 
OBS. 
ix
 
iy
 
)Xx( i 
 
2
i )Xx( 
 
ii y)Xx( 
 
1 3 4,0 -3,5 12,25 -14,00 
2 4 4,8 -2,5 6,25 -12,00 
3 5 5,6 -1,5 2,25 -8,40 
4 6 6,7 -0,5 0,25 -3,35 
5 7 7,9 0,5 0,25 3,95 
6 8 9,0 1,5 2,25 13,50 
7 9 9,8 2,5 6,25 24,50 
8 10 11,0 3,5 12,25 38,50 
Total 52 58,8 0 42,00 42,70 
Média 6,5 7,35 
 Tem-se então que: 
5,6X 
 
35,7Y 
 
52)Xx(
n
1i
2
i 

 
70,42y)Xx(
n
1i
ii 

 
 Logo, 
1,01667
42
70,42
)Xx(
y)Xx(
b
n
1i
2
i
n
1i
ii








 
 
0,74165,61,0166735,7XbYa  
 
 A equação de regressão linear será: 
 
X0167,17415,0Yˆ 
 
 Tem-se que: 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
146 
 
 
OBS. 
ix
 
iy
 
iyˆ
 
1 3 4,0 3,8 
2 4 4,8 4,8 
3 5 5,6 5,8 
4 6 6,7 6,8 
5 7 7,9 7,9 
6 8 9,0 8,9 
7 9 9,8 9,9 
8 10 11,0 10,9 
 O gráfico a seguir, apresenta o diagrama de dispersão e a função linear ajustada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Teste da significância da regressão 
 Para obter as somas dos quadrados faz-se necessário os seguintes cálculos: 
 
OBS. 
ix
 
iy
 
)Xx( i 
 
)Yy( i 
 
2
i )Xx( 
 
2
i )Yy( 
 
)Yy()Xx( ii 
 
1 3 4,0 -3,5 -3,35 12,25 11,2225 11,725 
2 4 4,8 -2,5 -2,55 6,25 6,5025 6,375 
3 5 5,6 -1,5 -1,75 2,25 3,0625 2,625 
4 6 6,7 -0,5 -0,65 0,25 0,4225 0,325 
5 7 7,9 0,5 0,55 0,25 0,3025 0,275 
6 8 9,0 1,5 1,65 2,25 2,7225 2,475 
7 9 9,8 2,5 2,45 6,25 6,0025 6,125 
8 10 11,0 3,5 3,65 12,25 13,3225 12,775 
Total 52 58,8 42,00 43,56 42,70 
Média 6,5 7,35 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO LINEAR 
AJUSTADA
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
Carga
Alongamento
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
147 
 
56,43)Yy(SSQT
n
1i
2
iYY  

 
 
XYSbSQE 
, 
 sendo que 
70,42)Yy()Xx(S ii
n
1i
XY  

 
 
01667,1b 
 (jácalculado) 
 Assim, tem-se que: 
43,411770,4201667,1SXYbSQE 
 
 
XYYY SSSQR b
 
0,148343,411756000,43SSSQR XYYY b 
 
QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
G.L. QUADRADO MÉDIO F 
Explicada 
4117,43SQE
 1 
43,4117QME
 
1757,56F 
 Residual 
0,1483SQR 
 
62n 
 
0,0247QMR
 
Total 
5600,43SQT 
 
71n 
 
 Tem-se que 
99,5F 6,1;05,0 
, logo, conclui-se que a regressão de 
Y
 sobre 
X é 
significativa, para nível de 5% de significância. 
c) Coeficiente de determinação 
SQT
SQE
R2 
 
 Para o exemplo 2, tem-se que: 
 
0,9966
5600,43
4117,43
SQT
SQE
R2 
 
 
 O modelo ajustado explica 99,66% das variações ocorridas na variável dependente Y. 
10.5 AJUSTE DE CURVA GEOMÉTRICA (OU FUNÇÃO POTÊNCIA) 
Apresenta-se, a seguir, como se ajusta uma função potência, a um conjunto de pontos 
)y,x( ii
. A função potência é dada pela expressão a seguir: 
 XY
 
Graficamente, tem-se: 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
148 
 
 
 
 
 
 
10.5.1 ESTIMATIVA DOS COEFICIENTES 
 O modelo estimado será dado por: 

ˆ
XYˆ ˆ
 
Para ajustar uma curva geométrica 

ˆ
XYˆ ˆ
, a um conjunto de pontos 
)y,x( ii
, pode-se 
fazer através da seguinte transformação, considerando 
0Y 
 e 
0X 
: 
 
XlnlnYˆln ˆˆ  
, que poderá ser escrita da seguinte forma: 
 
TAˆZˆ ˆ
 
onde: 
YˆlnZˆ 
 
 ˆlnAˆ
 
XlnT 
 
 Os parâmetros 
A
 e 

 são estimados através dos dados amostrais e a reta estimada 
será da forma: 
 
TAˆZˆ ˆ
 
 Os valores de 
Aˆ
e 
ˆ
 serão obtidos a partir das equações apresentadas a seguir. 
 
TZAˆ ˆ
 
 








n
1i
2
i
n
1i
ii
)Tt(
z)Tt(
ˆ 
 Para obter a estimativa do modelo na sua forma original, faz-se a transformação inversa 
dos coeficientes 
Aˆ
e 
Bˆ
. Tem-se então que: 
 ˆlnAˆ
 , logo, Aˆeˆ  
FUNÇÃO POTÊNCIA 
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
140 240 340 440 540
X
Y
 
10 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
149 
E a função potência estimada será: 

ˆ
XYˆ ˆ
 
10.5.2 TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO 
10.5.2.1 ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
 A estatística utilizada para o teste é a variável aleatória com distribuição F de Snedecor, 
com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador. As hipóteses 
são: 
:H0
 A regressão de Y sobre X não é significativa
 
:H1
 A regressão de Y sobre X é significativa
 
As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de : 



n
1i
2
i )Zz(SQT
 
TZSSQE ˆ
 
onde: 
)Zz()Tt(S ii
n
1i
TZ  

 
TZZZ SSSQR ˆ
 
onde: 



n
1i
2
ZZ )Zz(S i
 
Tem-se que:
SQRSQESQT 
. 
 Para a ANOVA, faz-se necessária elaborar a tabela abaixo: 
 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
G.L. QUADRADO MÉDIO F 
Explicada 
TZSSQE ˆ
 1 
TZSQME ˆ
 
QMR
QME
F 
 Residual 
TZZZ SSSQR ˆ
 
2n 
 
2n
SS
QMR TZ
ˆ
ZZ




 
Total 
ZZSSQT 
 
1n 
 
Se 
)tabelado(FF 2n,1;calculado 
, rejeita-se 
0H
 e conclui-se que a regressão de 
Y
 sobre 
X 
é significativa. 
10.5.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
150 
O coeficiente de determinação, 2R , que indica quantos por cento a variação explicada 
pela regressão representa da variação total. Este varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, 
maior é a explicação pelo modelo das variação total. A expressão de 2R é dada por: 
SQT
SQE
R2 
 
 Exemplo: Os dados apresentados, a seguir, representam o desempenho (medido em km 
percorridos por litro de gasolina) dos carros em estrada e o deslocamento do pistão no motor, 
para uma amostra de 8 carros. 
 Sejam as variáveis: X= deslocamento do pistão 
)m( 3
 e Y= km percorridos em estrada 
por litro de gasolina. 
 
CARROS X Y 
1 215 13,2 
2 201 13,7 
3 196 14,1 
4 226 12,9 
5 226 12,3 
6 348 11,1 
7 226 13,1 
8 348 11,2 
a) construir o diagrama de dispersão; 
b) Ajustar uma função geométrica aos dados; 
c) testar a existência de regressão; 
d) calcular o coeficiente de determinação. 
Solução: 
a) Diagrama de dispersão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fazendo as transformações de variáveis necessárias, tem-se: 
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
80 130 180 230 280 330 380
Deslocamento do pistão
Km/litro de 
gasolina
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
151 
CARROS 
ix
 
iy
 
)yln(z ii 
 
)xln(t ii 
 
)Tt( i 
 
2
i )Tt( 
 
ii z)Tt( 
 
1 215 13,2 2,5802 5,3706 -0,1191 0,0142 -0,3074 
2 201 13,7 2,6174 5,3033 -0,1865 0,0348 -0,4880 
3 196 14,1 2,6462 5,2781 -0,2116 0,0448 -0,5600 
4 226 12,9 2,5572 5,4205 -0,0692 0,0048 -0,1770 
5 226 12,3 2,5096 5,4205 -0,0692 0,0048 -0,1737 
6 348 11,1 2,4069 5,8522 0,3624 0,1314 0,8724 
7 226 13,1 2,5726 5,4205 -0,0692 0,0048 -0,1781 
8 348 11,2 2,4159 5,8522 0,3624 0,1314 0,8756 
SOMA 0,3709 -0,1362 
MÉDIA 248,25 2,5383 5,4898 
a) Cálculo das estimativas dos parâmetros 
-0,3674
0,3709
0,1362-
)Tt(
z)Tt(
n
1i
2
i
n
1i
ii
ˆ 








 
4,55505,4898)3674,0(2,5383TZAˆ ˆ  
 
 O modelo ajustado é: 
T3674,05550,4TˆAˆZˆ 
 
 Mas tem-se que: 
 ˆlnAˆ
 , logo, 
95,10685550,4Aˆ eeˆ 
 
O modelo ajustado na forma potencial será: 
3674,0ˆ X1068,95XYˆ ˆ   
 
O gráfico a seguir apresenta o diagrama de dispersão e a função potencial ajustada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Utilizando a ANOVA para testar a significância da regressão: 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E CURVA POTENCIAL 
AJUSTADA
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
80 130 180 230 280 330 380
Deslocamento do pistão
Km/litro de 
gasolina
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
152 
CARROS 
ix
 
iy
 
 
)yln(z ii 
 )xln(t ii
 
 
)Zz( i 
 
 
2
i )Zz( 
 )Tt( i 
 
)Zz()Tt( ii 
 
1 215 13,2 2,5802 5,3706 0,0420 0,0018 -0,1191 -0,0050 
2 201 13,7 2,6174 5,3033 0,0791 0,0063 -0,1865 -0,0148 
3 196 14,1 2,6462 5,2781 0,1079 0,0116 -0,2116 -0,0228 
4 226 12,9 2,5572 5,4205 0,0190 0,0004 -0,0692 -0,0013 
5 226 12,3 2,5096 5,4205 -0,0287 0,0008 -0,0692 0,0020 
6 348 11,1 2,4069 5,8522 -0,1313 0,0172 0,3624 -0,0476 
7 226 13,1 2,5726 5,4205 0,0344 0,0012 -0,0692 -0,0024 
8 348 11,2 2,4159 5,8522 -0,1223 0,0150 0,3624 -0,0443 
SOMA 0,0543 -0,1362 
MÉDIA 248,25 2,5383 5,4898 
As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de : 
0,0543)Zz(SQT
n
1i
2
i  

 
TZSSQE ˆ
 
onde: 
-0,1362)Zz()Tt(S ii
n
1i
TZ  

 
0,0500)1362,0(3674,0SSQE TZ
ˆ  
 
0,00430500,00543,0SQESQTSQR 
 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
G.L. QUADRADO MÉDIO F 
Devido à regressão 
0500,0
 1 
0500,0
 
70,38
 Residuo 
0043,0
 
6
 
0,0007
 
Total 
0543,0
 
7
 
 Tem-se que 
99,5F 6;1;05,0 
. Como 
5,99F38,70F 6;1;05,0 
, conclui-se que a regressão 
de Y sobre X é significativa, ao nível de 5% de significância. 
 Finalmente, para analisar o grau de explicação do modelo, calcular-se-á o coeficiente de 
determinação. 
0,9214
0543,0
0,0500
SQT
SQE
R2 
 
 O modeloajustado explica 92,14% das variações ocorridas na variável Y. 
10.6 AJUSTE DE FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 Apresenta-se, a seguir, o ajuste de uma função exponencial 
XY 
, a um conjunto de 
pontos 
)y,x( ii
. 
Graficamente, tem-se: 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
153 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.6.1 ESTIMATIVA DOS COEFICIENTES 
O modelo estimado é: 
XˆˆYˆ 
 
Fazendo a transformação logarítmica: 
  ˆˆ lnXlnYˆln
, que poderá ser escrita como sendo: 
 
XBˆAˆZˆ 
 
 onde: 
 
YˆlnZˆ 
 
 
 ˆlnAˆ
 
 
 ˆlnBˆ
 
 Assim, reduz-se ao problema de ajuste de uma reta aos pontos 
)z,x( ii
, onde 
iylnzi 
. 
Os parâmetros 
A
 e 
B
 são estimados através dos dados amostrais e a reta estimada será da 
forma: 
 
XBˆAˆZˆ 
 
 Os valores de 
Aˆ
e 
Bˆ
 serão obtidos a partir das equações apresentadas a seguir. 
 XBˆZAˆ  
 







n
1i
2
i
n
1i
ii
)Xx(
z)Xx(
Bˆ
 
 Para obter a estimativa do modelo na sua forma original, faz-se a transformação inversa 
dos coeficientes 
Aˆ
e 
Bˆ
. Tem-se então que: 
 ˆlnAˆ
 , logo, 
Aˆeˆ 
 
 
 ˆlnBˆ
, logo, 
Bˆeˆ 
 
E o modelo exponencial estimado será: 
XˆˆYˆ 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 5 10 15
X
Y
 
1
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
154 
10.6.2 TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO 
10.6.2.1 ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
A estatística utilizada para o teste é a variável aleatória com distribuição F de Snedecor, 
com 1 grau de liberdade no numerador e n-2 graus de liberdade no denominador. As hipóteses 
são: 
:H0
 A regressão de Y sobre X não é significativa
 
:H1
 A regressão de Y sobre X é significativa
 
 As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de : 



n
1i
2
i )Zz(totaisquadradosdeSomaSQT
 
XZSBˆlicadosexpquadradosdeSomaSQE 
 
onde: 
)Zz()Xx(S ii
n
1i
XZ  

 
XZZZ SBˆSresiduaisquadradosdeSomaSQR 
 
onde: 



n
1i
2
ZZ )Zz(S i
 
Tem-se que:
SQRSQESQT 
. 
 Para a ANOVA, faz-se necessária elaborar a tabela abaixo: 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
G.L. QUADRADO MÉDIO F 
Explicada 
XZSBˆSQE 
 1 
XZSBˆQME 
 
QMR
QME
F 
 
Residual 
XZZZ SBˆSSQR 
 
2n
 
2n
SBˆS
QMR XZZZ



 
Total 
ZZSSQT 
 
1n
 
 Se 
)tabelado(FF 2n,1;calculado 
, rejeita-se 
0H
 e conclui-se que a regressão de 
Y
 sobre X 
é significativa. 
10.6.3. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO 
O coeficiente de determinação, 2R , que indica quantos por cento a variação explicada 
pela regressão representa da variação total. Este varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, 
maior é a explicação pelo modelo das variação total. A expressão de 2R é dada por: 
SQT
SQE
R2 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
155 
Exemplo: 
1) Seja o processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. O recobrimento é 
feito com metal fundido. 
X= quantidade utilizada de metal fundido (em gramas); 
Y = porcentagem de recobrimento obtida (%). 
 
QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTILIZADA 
E PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO 
OBTIDA 
OBSERVAÇÃO ix
 
iy
 
1 6,0 10 
2 4,0 10 
3 6,0 20 
4 8,0 20 
5 7,5 30 
6 8,5 40 
7 9,5 45 
8 11,0 50 
9 12,0 60 
10 12,0 65 
a) ajustar uma função exponencial aos dados; 
b) testar a existência de regressão utilizando nível de significância de 5%; 
c) calcular o coeficiente de determinação. 
Solução: 
a) ajuste da função exponencial 
OBS. 
ix
 
iy
 
)yln(z ii 
 
)Xx( i 
 
2
i )Xx( 
 
ii z)Xx( 
 
1 6,0 10 2,3026 -2,45 6,00 -5,6413 
2 4,0 10 2,3026 -4,45 19,80 -10,2465 
3 6,0 20 2,9957 -2,45 6,00 -7,3395 
4 8,0 20 2,9957 -0,45 0,20 -1,3481 
5 7,5 30 3,4012 -0,95 0,90 -3,2311 
6 8,5 40 3,6889 0,05 0,00 0,1844 
7 9,5 45 3,8067 1,05 1,10 3,9970 
8 11,0 50 3,9120 2,55 6,50 9,9757 
9 12,0 60 4,0943 3,55 12,60 14,5349 
10 12,0 65 4,1744 3,55 12,60 14,8191 
SOMA 84,5 350 65,73 15,7045 
MÉDIA 8,45 35 3,3674 
a.1) Cálculo do coeficiente 
Bˆ
: 
0,2389
65,73
15,7045
)Xx(
z)Xx(
Bˆ
n
1i
2
i
n
1i
ii








 
a.2) Cálculo do coeficiente 
Aˆ
 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
156 
3487,1)45,82389,0(3674,3XBˆZAˆ 
 
Assim, o modelo ajustado na forma linear será: 
X2389,03487,1XBˆAˆZˆ 
 
Mas tem-se que: 
 ˆlnAˆ
, logo, 
8524,33487,1Aˆ eeˆ 
 
 
 ˆlnBˆ
, logo, 
2699,12389,0Bˆ eeˆ 
 
a.3) O modelo ajustado na forma exponencial é: 
XX 2699,18524,3Yˆ ˆˆ  
 
 Assim, tem-se que: 
OBS. 
ix
 
iy
 
iyˆ
 
1 6,0 10 16,16 
2 4,0 10 10,02 
3 6,0 20 16,16 
4 8,0 20 26,05 
5 7,5 30 23,12 
6 8,5 40 29,36 
7 9,5 45 37,29 
8 11,0 50 53,36 
9 12,0 60 67,76 
10 12,0 65 67,76 
 O gráfico a seguir apresenta o diagrama de dispersão e a função exponencial 
ajustada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Teste para verificar a significância da regressão 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
AJUSTADA
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 4 6 8 10 12 14
Quantidade de metal fundido
Recobrimento 
(%)
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
157 
 
 
OBS. 
ix
 
iy
 
)yln(z ii 
 
)Xx( i 
 
)Zz( i 
 
2)Zz( i 
 
)Zz()Xx( ii 
 
1 6,0 10 2,3026 -2,45 -1,0648 1,1338 2,6088 
2 4,0 10 2,3026 -4,45 -1,0648 1,1338 4,7384 
3 6,0 20 2,9957 -2,45 -0,3717 0,1381 0,9106 
4 8,0 20 2,9957 -0,45 -0,3717 0,1381 0,1673 
5 7,5 30 3,4012 -0,95 0,0338 0,0011 -0,0321 
6 8,5 40 3,6889 0,05 0,3215 0,1033 0,0161 
7 9,5 45 3,8067 1,05 0,4393 0,1930 0,4612 
8 11,0 50 3,9120 2,55 0,5446 0,2966 1,3888 
9 12,0 60 4,0943 3,55 0,7269 0,5284 2,5807 
10 12,0 65 4,1744 3,55 0,8070 0,6512 2,8648 
SOMA 84,5 350 4,3177 15,7045 
MÉDIA 8,45 35 3,3674 
Calculando-se a soma dos quadrados tem-se: 
3177,4)Zz(SQT
n
1i
2
i  

 
XZSSQE Bˆ
 
 onde: 
7045,15)Zz()Xx(S ii
n
1i
XZ  

 
3,75257045,152389,0SXZBˆSQE 
 
0,56527525,33177,4SQRSQTSQR 
 
Quadro da ANOVA 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DE 
QUADRADOS 
GRAUS DE 
LIBERDADE 
QUADRADO 
MÉDIO F 
Explicada 3,7525 1 3,7525 
53,11 
Residual 0,5652 8 0,0706 
Total 4,3177 9 
Tem-se que 
32,5F 8;1;05,0 
. Como 
32,5F11,53F 8;1;05,0 
, conclui-se que a regressão 
de Y sobre X é significativa, ao nível de 5% de significância. 
c) Cálculo do coeficiente de determinação 
 Finalmente, para analisar o grau de explicação do modelo, calcular-se-á o coeficiente de 
determinação. 
0,8691
3177,4
7525,3
SQT
SQE
R2 
 
 O modelo ajustado explica 86,91% das variações ocorridas na variável Y. 
 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
158 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 9 – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
1. A a seguir relaciona os pesos (em centenas de kg) e as taxas de rendimento de combustível 
em rodovia (km/litro), numa amostra de 10 carros de passeio novos. 
 
Peso 12 13 14 14 16 18 19 22 24 26 
Rendimento 16 14 14 13 11 12 09 09 08 06 
Pede-se: 
a) Calcular o coeficiente linear de Pearson e testar a significância ao nível de 5%. 
b) Ajustar a função linear e testar a existência de regressão, adotando 05,0 . Qual é o 
coeficiente de explicação da função linear? 
c) Ajustar a função potencial e testar a existênciade regressão, adotando 05,0 . Qual é o 
coeficiente de explicação da função potencial? 
d) Ajustar a função exponencial e testar a existência de regressão, adotando 05,0 . Qual é o 
coeficiente de explicação da função exponencial? 
e) Qual das três funções ajustadas é a melhor? Comente? 
 
2) Um estudo foi desenvolvido para verificar o quanto o comprimento de um cabo da porta serial 
de microcomputadores influencia na qualidade da transmissão de dados, medida através do 
número de falhas em 100.000 lotes de dados transmitidos (taxa de falha). Os resultados foram: 
 
Comp. do 
Cabo (m) 
8 8 9 9 10 10 11 11 12 
Taxa de 
Falha 
2,2 2,1 3,0 2,9 4,1 4,5 6,2 5,9 9,8 
 
Comp. do 
Cabo (m) 
12 13 13 14 14 15 
Taxa de 
Falha 
8,7 12,5 13,1 19,3 17,4 28,2 
Pede-se: 
a) Calcular o coeficiente linear de Pearson e testar a significância ao nível de 5%. 
b) Ajustar a função linear e testar a existência de regressão, adotando 05,0 . Qual é o 
coeficiente de explicação da função linear? 
c) Ajustar a função potencial e testar a existência de regressão, adotando 05,0 . Qual é o 
coeficiente de explicação da função potencial? 
d) Ajustar a função exponencial e testar a existência de regressão, adotando 05,0 . Qual é o 
coeficiente de explicação da função exponencial? 
e) Qual das três funções ajustadas é a melhor? Comente. 
 
3) No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno (X) 
sobre a resistência mecânica da massa queimada (Y). Foram realizados 6 ensaios com níveis 
de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Os valores obtidos de 
resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente. 
Pede-se: 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
159 
a) Ajustar a função linear e testar a existência de regressão, adotando 
05,0
. Qual é o 
coeficiente de explicação da função linear? 
b) Ajustar a função potencial e testar a existência de regressão, adotando 
05,0
. Qual é o 
coeficiente de explicação da função potencial? 
c) Ajustar a função exponencial e testar a existência de regressão, adotando 
05,0
. Qual é o 
coeficiente de explicação da função exponencial? 
d) Qual das três funções ajustadas é a melhor? Comente. 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
160 
 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
11 INTRODUÇAO 
 O modelo estatístico de uma regressão linear múltipla, sendo 
Y
 a variável dependente e, 
as k (
1k 
) variáveis independentes 
k21 X,X,X 
, será dado por: 
 
  kk22110 XXXY 
 
 Na forma matricial: 
  XY
 


























































n
2
1
k
1
0
kn2n1n
k22221
k11211
n
2
1
X...XX1
X...XX1
X...XX1
Y
Y
Y

 
 A estimativa dessa equação de regressão será dada pelo modelo a seguir: 
 
kk2211 XbXbXbbYˆ 0  
 
 As estimativas 
k210 b,,b,b,b 
 dos coeficientes 
k21 ,,,,  
, podem ser calculadas 
pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas àquelas adotadas para 
regressão linear simples. 
 Adotando-se a forma matricial, as estimativas dos coeficientes, são obtidas através de: 
YX)XX( 1b  
 
Onde: 













k
1
0
b
b
b
b

 ; 













n
2
1
Y
Y
Y
Y

 ; 















kn2n1n
k22221
k11211
X...XX1
X...XX1
X...XX1
X

 
11.1 REGRESSÃO LINEAR COM 2 VARIÁVEIS INDEPENDENTES 
 O modelo de regressão com 2 variáveis independentes é dado por: 
 
  22110 XXY
 
 
 A estimativa dessa equação é expressa por: 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
161 
 
2211 XbXbbYˆ 0 
 
11.1.1 ESTIMATIVAS DOS COEFICIENTES DE REGRESSÃO 
As estimativas dos coeficientes 
21o e, 
 podem ser obtidas através de: 
YX)XX( 1b  
 
Onde: 











2
1
0
b
b
b
b
 ; 













n
2
1
Y
Y
Y
Y

 ; 













2n1n
2221
1211
XX1
XX1
XX1
X

 
1.1.2 TESTE PARA VERIFICAR A SIGNIFICÂNCIA DA REGRESSÃO 
 O teste para verificar a significância da regressão é feito através da estatística F, 
utilizando o quadro da ANOVA. 
 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS QUADRADOS G.L. QUADRADO MÉDIO F 
Explicada 
21 YX2YX1 SbSbSQE 
 2 
2
SQE
QME 
 
QMR
QME
F 
 Residual 
21 YX2YX1YY SbSbSSQR 
 
3n
 
2n
SQR
QMR


 
Total 
YYSSQT 
 
1n
 
 
onde: 
n
y
yS
2
n
1i
in
1i
2
iYY











 , sendo a variância de Y. 
n
xy
)xy(S
n
1i
i1
n
1i
in
1i
i1i1YX

















, que é a covariância entre Y e X1 
n
xy
)xy(S
n
1i
i2
n
1i
in
1i
i2i2YX

















 , que é a covariância entre Y e X2 
Se 
3n;2;calc FF 
, conclui-se que a regressão de Y sobre X1 e X2 é significativa. 
11.1.3 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO 
O coeficiente de determinação 2R , indica quantos por cento a variação explicada pela 
regressão representa da variação total. Este varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, maior 
é a explicação pelo modelo das variação total. 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
162 
 A expressão de 2R é dada por: 
SQT
SQE
S
SbSb
R
YY
YX2YX12 21 


 
Exemplos: 
1) Um estudo foi realizado sobre o desgaste de um mancal, Y, e sua relação com 
X1=viscosidade do óleo e X2=carga. Os seguintes dados foram obtidos: 
 
iy
 
i1x
 
i2x
 
243 1,6 851 
230 15,5 816 
172 22 1058 
91 43 1201 
58 33 1357 
125 40 1115 
190 35 918 
256 13 834 
256 11 845 
240 8,9 820 
 
Ajustar um modelo de regressão linear múltipla, testar a significância da regressão ao 
nível de 5% de significância e calcular o coeficiente de determinação. 
 
Solução: 
 

































240
256
256
190
125
58
91
172
230
243
Y
 

































8209,81
8450,111
8340,131
9180,351
11150,401
13570,331
10210,431
10580,221
8165,151
8516,11
X
 
 
 











8208458349181115135710211058816851
9,80,110,130,350,400,330,430,225,156,1
1111111111
X
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
163 











9.961.201237.874,69.815
237.874,66.859,02223
9.81522310
XX
 










 
0,00000,0001-0,0055-
0,0001-0,00130,0441
0,0055-0,04414,5640
)XX( 1
 













 
0002,00002,00004,00014,00003,00020,00001,00006,00007,00006,0
0051,00043,00010,00209,00127,00141,00102,00060,00036,00167,0
4056,03594,05086,00123,11394,05122,12057,03378,07187,00,0883-
X)XX( 1
 










 0,3011-
1,2114-
508,6320
YX)XX( 1b
 
O modelo estimado é: 
21 X3011,0X2114,16320,508Yˆ 
 
OBS. 
iy
 
i1x
 
i2x
 
i1ixy
 
i2ixy
 
2
iy
 
1 243 1,6 851 388,8 206.793 59.049 
2 230 15,5 816 3.565,0 187.680 52.900 
3 172 22,0 1058 3.784,0 181.976 29.584 
4 91 43,0 1201 3.913,0 109.291 8.281 
5 58 33,0 1357 1.914,0 78.706 3.364 
6 125 40,0 1115 5.000,0 139.375 15.625 
7 190 35,0 918 6.650,0 174.420 36.100 
8 256 13,0 834 3.328,0 213.504 65.536 
9 256 11,0 845 2.816,0 216.320 65.536 
10 240 8,9 820 2.136,0 196.800 57.600 
SOMA 1861 223 9.815 33.494,8 1.704.865 393.575 
MÉDIA 186,1 22,3 981,5 
47.242,9
10
1.861
- 393.575 
n
y
yS
2
2
n
1i
in
1i
2
iYY 











 
47.242,9SSQT YY 
 
-8.005,5
10
2231.861
- 33.494,8 
n
xy
)xy(S
n
1i
i1
n
1i
i
n
1i
i1i1YX 



















 
-121.706,5
5
9.815861.1
- 1.704.865 
n
xy
)xy(S
n
1i
i2
n
1i
in
1i
i2i2YX 



















 
 
946.343,689-121.706,50,3011)-8.005,5(2114,1SbSbSQE 21 YX2YX1 
 
899,21026899,343.469,242.47SbSbSSQR 21 YX2YX1YY 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
164 
 ANOVA para verificar a significância da regressão: 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS QUADRADOS G.L. 
QUADRADO 
MÉDIO 
F 
Explicada 
6899,343.46SQE 
 2 
2.3171,84QME 
 
180,38F 
 Residual 
2102,899SQR 
 7 
128,4586QMR 
 
Total 
9,242.47SQT 
 9 
Tem-se que :
74,4F 7,2;05,0 
 
Conclusão: Como F calculado é igual a 180,38 e é maior que 
74,4F 7,2;05,0 
, conclui-se 
que a regressão é significativa, ao nível de 5% de significância. 
Cálculo de coeficiente de determinação: 
0,9810
9000,242.47
6899,343.46
SQT
SQE
S
SbSb
R
YY
YX2YX12 21 


 
O modelo ajustado explica 98,10% das variações ocorridas em Y. 
 
2) Uma indústria fabrica um produto em dois tamanhos (pequeno e grande). Conhecendo-se o 
consumo total de matéria-prima (Y), em kg, durante 5 meses, e as respectivas produções 
mensais do tipo pequeno (X1) e do tipo grande (X2), pede-se: 
a) ajustar um modelo de regressão linear múltipla; 
b) verificar a significância da regressão, ao nível de significância de 10%; 
c) calcular o coeficiente de determinação. 
 
iy
 
i1x
 
i2x
 
145 151 70 
210 221 91 
193 215 92 
229 247 122 
195 243 79 
Solução: 
a) Cálculo das estimativas dos coeficientes 
 Tem-se que: 
YX)XX( 1b  
 

















195
229
193
210
145
Y ; 

















792431
1222471
922151
912211
701511
X ; 











79122929170
243247215221151
11111
X
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
165 











4277099792454
997922379251077
45410775
XX
 ; 










 
0,001150,0004-0,0209-
0,0004-0,00030,0292-
0,0209-0,0292-8,3935
)XX( 1
 













 
0242,00234,00015,00019,00010,0
0128,00026,00006,00016,00112,0
3600,03758,11866,00322,05170,2
X)XX( 1
 










 
0,7175
0,4957
22,4821
YX)XX( 1b
 
O modelo estimado é: 
21 X7175,0X4957,04821,22Yˆ 
 
 
OBS. iy
 
i1x
 
i2x
 
i1ixy
 
i2ixy
 
2
iy
 
1 145 151 70 21.895 10.150 21.025 
2 210 221 91 46.410 19.110 44.100 
3 193 215 92 41.495 17.756 37.249 
4 229 247 122 56.563 27.938 52.441 
5 195 243 79 47.385 15.405 38.025 
SOMA 972 1077 454 213.748 90.359 192.840 
MÉDIA 194,4 215,4 90,8 
 
Cálculo das somas de quadrados: 
3.883,2
5
972
- 192.840
n
y
yS
2
2
n
1i
in
1i
2
iYY 











 
2,883.3SSQT YY 
 
4.379,2
5
1077972
- 213.748
n
xy
)xy(S
n
1i
i1
n
1i
in
1i
i1i1YX 



















 
2.101,4
5
454972
- 90.359 
n
xy
)xy(S
n
1i
i2
n
1i
in
1i
i2i2YX 



















 
3.678,52394,101.27175,02,379.44957,0SbSbSQE 21 YX2YX1 
 
204,67615239,36782,3833SbSbSSQR 21 YX2YX1YY 
 
OU 
204,67615239,678.32000,883.3SQESQTSQR 
 
 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
166 
b) ANOVA para verificar a significância da regressão: 
FONTE DE 
VARIAÇÃO 
SOMA DOS QUADRADOS G.L. 
QUADRADO 
MÉDIO 
F 
Explicada 
5239,678.3SQE 
 2 
1839,262QME 
 
17,97F 
 Residual 
6761,204SQR 
 2 
102,338QMR 
 
Total 
2000,833.3SQT 
 4 
Tem-se que :
2,2;10,0F
 
Conclusão: Como F calculado é igual a 17,97 e é maior que 
00,9F 2,2;10,0 
, conclui-se que a 
regressão é significativa, ao nível de 10% de significância. 
c) Cálculo de coeficiente de determinação 
0,9473
2,833.3
5239,678.3
SQT
SQE
S
SbSb
R
YY
YX2YX12 21 


 
O modelo ajustado explica 94,73% das variações ocorridas em Y. 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 10 – ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
1) Uma investigação sobre um processo de fundição gerou os dados a seguir sobre 
1X
= 
temperatura da fornalha, 
2X
= tempo de moldagem da matriz e 
Y
= diferença de temperatura na 
superfície de moldagem da matriz. 
 
X1 1.250 1.300 1.350 1.250 1.300 1.250 1.300 1.350 1.350 
X2 6 7 6 7 6 8 8 7 8 
Y 80 95 101 85 92 87 96 106 108 
Ajustar o modelo de regressão linear múltipla e testar a significância da regressão, adotando 
05,0
. Qual é o coeficiente de explicação do modelo? 
2) Um estudo realizado para investigar a relação entre a variável resposta relativa a quedas de 
pressão em uma coluna de bolhas de uma chapa térmica e os previsores 
1X
= velocidade do 
fluído superficial e 
2X
= viscosidade do líquido, gerou os dados a seguir. 
OBS. VELOCIDADE VISCOSIDADE RESPOSTA 
1 2,14 10,00 28,9 
2 4,14 10,00 26,1 
3 8,15 10,00 22,8 
4 2,13 2,63 24,2 
5 4,14 2,63 15,7 
6 8,15 2,63 18,3 
 Continua 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
167 
 Continuação 
7 5,60 1,25 18,1 
8 4,30 2,63 19,1 
9 4,30 2,63 15,4 
10 5,60 10,10 12,0 
11 5,60 10,10 19,8 
12 4,30 10,10 18,6 
13 2,40 10,10 13,2 
14 5,60 10,10 22,8 
15 2,14 112,00 41,8 
16 4,14 112,00 48,6 
17 5,60 10,10 19,2 
18 5,60 10,10 18,4 
19 5,60 10,10 15,0 
 
Ajustar o modelo de regressão linear múltipla e testar a significância da regressão, adotando 
01,0
. Qual é o coeficiente de explicação do modelo? 
 
BIBLIOGRAFIA 
168 
BIBLIOGRAFIA 
 
1. BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo M.; BORNIA, Antonio C. Estatística para cursos de 
Engenharia e Infomática. 3a. ed. São Paulo: Editora Atlas S. A. , 2010. 
2. BUSSAB, W.O. & MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5ª Edição, Editora Saraiva, 2002. 
3. COSTA NETO, Pedro Luiz O. Estatística. 2 ed rev. São Paulo: Edgard Blücher, 1994. 
4. DEVORE, Jay L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2006. 
5. MARQUES, Jair M.; MARQUES, Marcos A. M. Estatística Básica para os Cursos de 
Engenharia. Curitiba: Domínio doSaber. 2009. 
6. MEYER, Paul L. Probabilidade. Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1978. 
7. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
8. RYAN, Thomas. Estatística Moderna para Engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009. 
9. Universidade Federal do Paraná. Normas para apresentação de documentos científicos, v. 
5. Curitiba: Ed. UFPR,2007. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
169 
TABELAS 
TABELA A1.1 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
-0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
 
TABELAS 
170 
TABELA A1.2 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
171 
TABELA A2 - DISTRIBUIÇÃO ‘
t
’ DE STUDENT 
 
 TESTE UNILATERAL 
P
 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,850 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 

 
1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 
2 0,142 0,289 0,445 0,617 0,817 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,979 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 
4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,500 
8 0,130 0,262 0,400 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,897 3,355 
9 0,129 0,261 0,398 0,544 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,813 2,228 2,764 3,16911 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,696 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,080 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,625 2,977 
15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,603 2,947 
16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,584 2,921 
17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,540 2,861 
20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
21 0,127 0,257 0,391 0,533 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,320 1,714 2,069 2,500 2,807 
24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 
28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 
29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 
30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 
40 0,127 0,255 0,388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,705 
50 0,126 0,255 0,388 0,528 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 
60 0,126 0,255 0,387 0,527 0,679 0,848 1,046 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 
70 0,126 0,254 0,387 0,527 0,678 0,847 1,044 1,294 1,667 1,994 2,381 2,648 
80 0,126 0,254 0,387 0,527 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 
90 0,126 0,254 0,387 0,526 0,677 0,846 1,042 1,291 1,662 1,987 2,369 2,632 
100 0,126 0,254 0,386 0,526 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 
200 0,126 0,254 0,386 0,525 0,676 0,843 1,039 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 
300 0,126 0,254 0,386 0,525 0,675 0,843 1,038 1,284 1,650 1,968 2,339 2,592 
400 0,126 0,254 0,386 0,525 0,675 0,843 1,038 1,284 1,649 1,966 2,336 2,588 

 0,126 0,253 0,385 0,524 0,675 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 
 
P
 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 
 TESTE BILATERAL 
 
 
 
 
 
 
TABELAS 
172 
TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE 2 
 
P
 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,250 0,750 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 

 
1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,102 1,323 2,706 3,842 5,024 6,635 7,879 
2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,575 2,773 4,605 5,992 7,378 9,210 10,597 
3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 4,108 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 
4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 5,385 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 
5 0,412 0,554 0,831 1,146 1,610 2,675 6,626 9,236 11,071 12,833 15,086 16,750 
6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 7,841 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 
7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 9,037 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 
8 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 5,071 10,219 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 
9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 11,389 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 
10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 12,549 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 
11 2,603 3,054 3,816 4,575 5,578 7,584 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 
12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 
13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 9,299 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688 29,820 
14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,165 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 
15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,037 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 
16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,912 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 
17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,792 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409 35,719 
18 6,265 7,015 8,231 9,391 10,865 13,675 21,605 25,989 28,869 31,526 34,805 37,157 
19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,562 22,718 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 
20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 15,452 23,828 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 
21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 16,344 24,935 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 
22 8,643 9,543 10,982 12,338 14,042 17,240 26,039 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 
23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 18,137 27,141 32,007 35,173 38,076 41,638 44,181 
24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 19,037 28,241 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559 
25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 19,939 29,339 34,382 37,653 40,647 44,314 46,928 
26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 20,843 30,435 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 
27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 21,749 31,528 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 
28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 22,657 32,621 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 
29 13,121 14,257 16,047 17,708 19,768 23,567 33,711 39,088 42,557 45,722 49,588 52,336 
30 13,787 14,954 16,791 18,493 20,599 24,478 34,800 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 
35 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 29,054 40,223 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 
40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 33,660 45,616 51,805 55,759 59,342 63,691 66,766 
45 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 38,291 50,985 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 
50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 42,942 56,334 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 
55 31,735 33,571 36,398 38,958 42,060 47,611 61,665 68,796 73,312 77,381 82,292 85,749 
60 35,535 37,485 40,482 43,188 46,459 52,294 66,982 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 
65 39,383 41,444 44,603 47,450 50,883 56,990 72,285 79,973 84,821 89,177 94,422 98,105 
70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 61,698 77,577 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215 
75 47,206 49,475 52,942 56,054 59,795 66,417 82,858 91,062 96,217 100,839 106,393 110,286 
80 51,172 53,540 57,153 60,392 64,278 71,145 88,130 96,578 101,880 106,629 112,329 116,321 
85 55,170 57,634 61,389 64,749 68,777 75,881 93,394 102,079 107,522 112,393 118,236 122,325 
90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 80,625 98,650 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299 
95 63,250 65,898 69,925 73,520 77,818 85,376 103,899 113,038 118,752 123,858 129,973 134,247 
100 67,328 70,065 74,222 77,930 82,358 90,133 109,141 118,498 124,342 129,561 135,807 140,170 
110 75,550 78,458 82,867 86,792 91,471 99,666 119,608 129,385 135,480 140,917 147,414 151,949 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
173 
TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR 
 
Nível de significância de 
%1
 
 
1
 1 2 3 4 5 6 7 8 12 24  
2
 
1 4.052,18 4.999,50 5.403,35 5.624,58 5.763,65 5.858,99 5.928,36 5.981,07 6.106,32 6.234,63 6.365,83 
2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,42 99,46 99,50 
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,05 26,60 26,13 
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,37 13,93 13,46 
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 9,89 9,47 9,02 
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,72 7,31 6,88 
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,47 6,07 5,65 
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,67 5,28 4,86 
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,11 4,73 4,31 
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,71 4,33 3,91 
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,40 4,02 3,60 
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,16 3,78 3,36 
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 3,96 3,59 3,17 
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,70 4,46 4,28 4,14 3,80 3,43 3,00 
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,67 3,29 2,87 
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,55 3,18 2,75 
17 8,40 6,11 5,194,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,46 3,08 2,65 
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,37 3,00 2,57 
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,30 2,92 2,49 
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,23 2,86 2,42 
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,17 2,80 2,36 
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,12 2,75 2,31 
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,07 2,70 2,26 
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,03 2,66 2,21 
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,86 3,63 3,46 3,32 2,99 2,62 2,17 
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 2,96 2,58 2,13 
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 2,93 2,55 2,10 
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 2,90 2,52 2,06 
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 2,87 2,49 2,03 
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 2,84 2,47 2,01 
40 
 
7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,66 2,29 1,80 
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,50 2,12 1,60 
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,34 1,95 1,38 

 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,18 1,79 1,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELAS 
174 
TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR 
 
Nível de significância de 
%5
 
 
1
 GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR 
1 2 3 4 5 6 7 8 12 24 

 
2
 
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 243,91 249,05 254,31 
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,41 19,45 19,50 
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,74 8,64 8,53 
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 5,91 5,77 5,63 
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,68 4,53 4,37 
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,00 3,84 3,67 
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,57 3,41 3,23 
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,28 3,12 2,93 
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,07 2,90 2,71 
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 2,91 2,74 2,54 
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,79 2,61 2,40 
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,69 2,51 2,30 
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,60 2,42 2,21 
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,53 2,35 2,13 
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,48 2,29 2,07 
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,42 2,24 2,01 
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,38 2,19 1,96 
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,34 2,15 1,92 
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,31 2,11 1,88 
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,28 2,08 1,84 
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,25 2,05 1,81 
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,23 2,03 1,78 
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,20 2,01 1,76 
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,18 1,98 1,73 
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,16 1,96 1,71 
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,15 1,95 1,69 
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,13 1,93 1,67 
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,12 1,91 1,65 
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,10 1,90 1,64 
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,09 1,89 1,62 
40 
 
4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,00 1,79 1,51 
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 1,92 1,70 1,39 
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,83 1,61 1,25 

 3,84 3,00 2,61 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,75 1,52 1,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
175 
TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR 
 
Nível de significância de 
%10
 
 
1
 GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR 
1 2 3 4 5 6 7 8 12 24 

 
2
 
1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 60,71 62,00 63,33 
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,41 9,45 9,49 
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,22 5,18 5,13 
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,90 3,83 3,76 
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,27 3,19 3,11 
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,90 2,82 2,72 
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,67 2,58 2,47 
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,50 2,40 2,29 
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,38 2,28 2,16 
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,28 2,18 2,06 
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,21 2,10 1,97 
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,15 2,04 1,90 
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,10 1,98 1,85 
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,05 1,94 1,80 
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,02 1,90 1,76 
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 1,99 1,87 1,72 
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 1,96 1,84 1,69 
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 1,93 1,81 1,66 
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,91 1,79 1,63 
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,89 1,77 1,61 
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,88 1,75 1,59 
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,86 1,73 1,57 
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,85 1,72 1,55 
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,83 1,70 1,53 
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,82 1,69 1,52 
26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,81 1,68 1,50 
27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,80 1,67 1,49 
28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,79 1,66 1,48 
29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,78 1,65 1,47 
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,77 1,64 1,46 
40 
 
2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,71 1,57 1,38 
60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,66 1,51 1,29 
120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,60 1,45 1,19 

 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,55 1,38 1,01 
 
 
TABELAS 
176 
 TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS 
)cd(
 PARA TESTE DE LILLIERFORS 
n 
%5
 
%1
 
4 0,381 0,417 
5 0,337 0,405 
6 0,319 0,364 
7 0,300 0,348 
8 0,285 0,331 
9 0,271 0,311 
10 0,258 0,294 
11 0,249 0,284 
12 0,242 0,275 
13 0,234 0,268 
14 0,227 0,261 
15 0,220 0,257 
16 0,213 0,250 
17 0,206 0,245 
18 0,200 0,239 
19 0,179 0,235 
20 0,190 0,231 
25 0,173 0,200 
30 0,161 0,187 
30n 
 
n
886,0
cd 
 
n
031,1
cd 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
177 
SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 1 
2. a) 
648,530nk 
 
 
5,518,293,81XXA minmáxt 
 
 
9h 
 
3. a) 
732,640nk 
 
 
283159XXA minmáxt 
 
 
4h 
 
4. 
004,74X 
 ; 
0035,74Me 
 ; 
005,74Mo 
; 
0030,0DM 
; 
0047,0S 
; 
0,0063%CV 
 
5. (agrupando os dados em classes) 
 
15,58X 
; 
17,36S 
; 
%111,40CV 
; 
11,57Me 
; 
4,60Q1 
; 
27,00Q3 
 
6. 
1838,7X 
; 
0207,0S 
; 
%29,0CV 
; 
185,7Me 
; 
17,7Q1 
; 
20,7Q3 
 
7. 
17,2X 
; 
66,0S 
; 
18,30CV 
; 
13,2Me 
; 
82,1Q1 
; 
60,2Q3 
 
8. 
57,345X 
; 
62,115S2 
; 
75,10S 
; 
%11,3CV 
; 
almodaMo 
 
9. 
44,5X 
; 
5,71S 
; 
12,84CV 
; 
71,44Me 
; 
0,18a3 
; 
2,33a4 
 
10. 
90,85X 
; 
2,98S 
; 
%3,28CV 
 ; 
90,68Me 
; 
0,3734a3 
; 
2,8423a4 
 
11. 
1,01X 
; 
0,15S 
; 
%15,16CV 
; 
0,99Me 
; 
0,5820a3 
 ; 
3,0660a4 
 
12. a) 
75,39Q1 
; 
00,44Q2 
 ; 
25,48Q3 
 ; 
5,8IQ 
; 
00,27LI 
; 
00,61LS 
 
 Não existem valores outliers. 
13. a) 
4,89Q1 
; 
00,90Q2
 ; 
90,90Q3 
; 
5,1IQ 
; 
15,87LI 
; 
15,93LS 
 
 Existem dois valores outliers: 80,00 e 94,17 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 2 
1. a) 
0,6516)p,p,p,p(P 
 ou 65,16% 
 b) 
0,0001)d,d,d,d(P 
 ou 0,01% 
2. 
4945,0)b2x(P 
 ou 49,45% 
3. a) 
5526,0)beb(P 
 ou 55,26% 
 b) 
0526,0)ded(P 
 ou 5,26% 
 c) 
3948,0)bed(P)deb(P)defeituosapeça1eboapeça1(P 
ou 39,48% 
4. 
1400,0)funcioneumapenas(P 
ou 14,00% 
5. 
4320,0)1x(P 
 ou 43,20% 
6. a) 
0,6976)3X(P 
ou 69,76% 
 b) 
0,95720,04281)2X(P 
 
 
SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS 
178 
7. 
0,3880)correntehajanão(P 
ou 38,30% 
8. 
8664,0R 
 ou 86,64% 
9. 
9975,0R 
 ou 
10. 
5882,0)Q|A(P 1 
 ou 58,82% 
11. a) 
3821,0)aceitávelqualidade|A(P 
ou 38,21% 
 b) 
9167,0)C|aceitávelqualidade(P 
 ou 91,67% 
 c) 
2500,0)inalargmqualidade|B(P 
 ou 25,00% 
12. 
%35,20235,0)B(P 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 3 
1. 
12,5)X(E 
 
 
1,85)X(V 
 
2. a) 
4,5)X(E 
 
 b) 
44,2)X(V 
 
 c) 
562,144,2 
 
 
3. a) 
37,0)5X(P 
 
 b) média=4 funcionarão mais de 3 meses 
 
16420 
 lâmpadas deverão ser substituídas 
4. a) 
2373,0)5X(P 
 ou 23,73% 
 b) 
75,3
 
4. 
0,6690)0X(P 
 ou 66,90% 
6. a) 
14,04%1404,0)3X(P 
 
 b) 
%47,121247,0)3X(P 
 
7. a) 
%17,111117,0)2X(P 
 
 b) 
4810x51,4)49X(P 
 
8. a) 
%68,404068,0)9x(P 
 
 b) 
0,01%0,0001)2x(P 
 
9. a) 
12,47%0,1247)2x(P 
 
 b) 
6,53%0,0653)8x(P 
 
 c) 
49,14%0,4914)8x5(P 
 
10. a) 
%44,969644,0)1X(P 
 
 b) 
%40,393940,0)1X(P 
 
11. 
%96,464696,0)1X(P 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 4 
1. 
6065,0)1X(P 
 
2. 
,59340)9,0X(P 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
179 
3. 
0,3679)2X(P 
 
4. 
0,9938)35X(P 
 
5. 
3944,0)05,2X2(P 
 
6. 
9902,0)772X(P 
 
7. a) 
6568,0)70X40(P 
 
 b) 
80,40x 
 
8. 
05,5x 
 
9. a) 
)97,1X(P 
ou 
0027,0)03,2X(P 
 
 b) 
9973,00027,01Perfeitas 
 
10. n=816 
11. 
9124,0)15,25X85,24(P 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 5 
1. a) 
  %9594,1960,16P  
 
 b) 
  %950949,190269,3P 2  
 
 c) 
  %953677,41,7399P 
 
2. 
 74,03670353,74 
 
3. 
 96,102404,1003 
 
4. a) 
 62082,0858197,33 
 
 b) 
)5.642,852.693,29(  
 
5. a) 
 247,8213,8  
 
 b) (
0022,00005,0 2  
) 
 c) (
05,002,0 
) 
6. 
 19,0p05,0 
 
7. 
 08,0p06,0 
 
8. 
 06,0p02,0 
 
9. 
 22,0p10,0 
 
10. 
 34,866,6 21  
 
11. 
 56,324,2 12  
 
12. 
 58,048,0 21  
 
13. a) 
 38,862,1 21  
 
 b) 
 57,943,0 21  
 
14. 
 2,521,26 21  
 
15. 
60n 
 
16. 
664n 
 
 
SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS 
180 
17. 
139n 
 
18. 
52n 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 6 
1. 
52,1Zcalc 
 
2. 
05,1tcalc 
 
3. 
07,2tcalc 
 
4. 
21,0Zcalc 
 
5. 
06,0Zcalc 
 
6. 
13,4Zcalc 
 
7. 
63,0tcalc 
 
8. 
63,0tcalc 
 
9. 
66,1tcalc 
 
10. 
52,3tcalc 
 
11. 
42,0tcalc 
 
12. 
-1,46tcalc 
 
13. 
0,4821Fcalc 
 
14. 
4,402
calc

 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 7 
1) 
2034,0d 
 
2) 
1440,0d 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 8 
1. 
58,02F 
 ; Teste de Scheffé: O rendimento da máquina C difere dos de A e B. 
2. 
4,88F 
 
3. 
0,09F 
 
4. 
5,69F 
 ; Teste de Scheffé: O método 3 difere dos métodos 1 e 2. 
5. 
45,75F 
 ; Teste de Scheffé: O tipo de liga 3 difere dos tipos 1 e 2. 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 9 
1. a) 
9585,0r 
 ; 
51,9tcalc 
 
 b) 
X6208,025,22Yˆ 
; 
41,90Fcalc 
; 
%87,91R2 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
181 
 c) 
086,1X6492,236Yˆ 
; 
25,90Fcalc 
; 
%86,91R2 
 
 d) 
X9414,05264,31Yˆ 
; 
06,106Fcalc 
; 
%99,92R2 
 
2. a) 
9306,0r 
 ; 
17,9tcalc 
 
 b) 
X9336,251296,3Yˆ 
; 
70,51Fcalc 
; 
%60,86R2 
 
 c) 
0013,4X0005,0Yˆ 
; 
10,568Fcalc 
; 
%61,98R2 
 
 d) 
X4409,11122,0Yˆ 
; 
10,2524Fcalc 
 ; 
%68,99R2 
 
3. a) X8286,360,36Yˆ  ; 08,76Fcalc  ; %01,95R2  
 b) 
2146,0X1557,39Yˆ 
; 
55,37Fcalc 
 ; 
%37,90R2 
 
 c) 
X0807,1758,37Yˆ 
; 
40,65Fcalc 
 ; 
%24,94R2 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 10 
1. 
21 X00,3X21,056,199Yˆ 
; 
31,319Fcalc 
; 
%07,99R2 
 
2. 21 X2409,0X3540,02422,19Yˆ  ; 43,28Fcalc  ; %04,78R2 