derivacao implicita (1)

Prévia do material em texto

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
As funções com as quais trabalhamos até o momento são todas dadas por equações da forma nas quais a variável dependente do lado esquerdo é definida explicitamente por uma expressão do lado direito que envolve a variável . Quando uma função é especificada desta forma, dizemos que se encontra na forma explicita. Assim, por exemplo, as funções:
, estão todas na forma explícita.
Às vezes, a solução de problemas leva a equações nas quais as variável não é definida explicitamente em termos da variável independente ; é o caso, por exemplo, de equações como:
.
Como a variável não aparece sozinha em um dos membros da equação, dizemos que uma equação deste tipo define implicitamente como função de x e que a função se encontra na forma implícita.
Suponha que seja conhecida uma equação que define implicitamente em função de e haja necessidade de se calcular a derivada . Podemos estar interessados, por exemplo, em calcular a inclinação da reta tangente à curva de uma função em um certo ponto. Uma abordagem seria obter uma equação explícita para e aplicar as regras de derivação já conhecidas. Acontece que nem sempre é possível definir explicitamente. Por exemplo: não existe uma forma óbvia de obter o valor de na equação .
Além disso, mesmo quando é possível obter uma equação explícita para , a expressão resultante pode ser complexa e difícil de derivar. Assim, por exemplo, explicitando na equação , obtemos:
O cálculo de a partir desta expressão seria trabalhoso, pois envolveria tanto a regra da potência como a regra do quociente. Existe uma técnica simples, baseada na regra da cadeia, que permite calcular mesmo sem dispor de uma expressão explícita para . Esta técnica, conhecida como derivação implícita, consiste em derivar em relação a ambos os membros da equação ussada para definir e, em seguida, explicitar . O exemplo abaixo ilustra o uso desta técnica.
Exemplo 1: Calcule para a função 
Solução:
Temos que derivar os dois membros da equação em relação a . Para não nos esquecermos de que é função de , substituiremos temporariamente pelo símbolo , deixando a equação na forma:
Vamos agora derivar termo a termo ambos os membros da equação em relação a :
Assim, temos:
Finalmente, substituindo por , obtemos:
Nota: Substituir temporariamente por , como no exemplo, é um recurso válido para ilustrar o processo de derivação implícita; entretanto, depois que você estiver familiarizado com a técnica pode deixar de lado este passo desnecessário e derivar diretamente a equação dada. Basta que não se esqueça de que é uma função de e, por isso, a regra da cadeia deve ser usada sempre que for necessário.
Exemplo 2: Calcule a inclinação da reta tangente à circunferência no ponto . Qual é a inclinação no ponto ?
Solução: 
Derivando ambos os membros da equação em relação a , obtemos:
A inclinação no ponto é o valor da derivada para .
Da mesma forma, a inclinação no ponto é o valor da derivada para .
Exemplo 3: Determine todos os pontos da curva nos quais a reta tangente à curva é horizontal. Existe algum ponto da curva para o qual a tangente é vertical? 
Solução: 
Derivando ambos os membros da equação em relação a , obtemos:
Os pontos nos quais a reta tangente à curva é horizontal são aqueles para os quais a inclinação é nula, ou seja, aqueles em que o numerador 2 de é zero:
Para calcular o valor correspondente de , basta fazer na equação dada e resolver a equação do segundo grau resultante.
Assim, os pontos nos quais a reta tangente é horizontal são os pontos: e .
Como a inclinação de uma reta vertical não é definida, os pontos nos quais a reta tangente à curva é vertical são aqueles para os quais o denominador de é zero:
Para calcular o valor correspondente de , é preciso fazer na equação dada e resolver a equação do segundo grau resultante:
Acontece que esta equação do segundo grau não tem raízes reais, o que significa que a curva dada não possui retas tangentes verticais.
EXERCÍCIOS:
Determine por derivação implícita:
R: 
R: 
R: 
R: 
R: 
R: 
R: 
R: 
R: 
R: 
Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
R: 
R: 
R: 
R: 
R: 
Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é:
horizontal;
vertical.
R: 
R: 
R: