Amostragem de Aceitação para Atributos

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Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 14 
(montgomery)
Amostragem de Aceitação Lote a 
Lote para Atributos
� Introdução
– A Amostragem pode ser definida como a técnica
estatística usada para o cálculo de estimativas de
uma ou mais características de uma população com
base na observação de uma fração dessa
população – a amostra – escolhida com esse
objetivo.
– Estudaremos os seguintes planos de amostragem
de aceitação para atributos:
� Amostragem única, dupla, múltipla e sequencial;
Amostragem de Aceitação Lote a 
Lote para Atributos
� Motivação
– Suponha que uma indústria recebe um carregamento de
um fornecedor como, por exemplo, uma determinada
matéria-prima usada no processo de produção.
– Selecionando-se uma amostra de um lote,
inspecionamos alguma característica da qualidade.
– De posse dessa informação toma-se uma decisão com
relação a aceitação ou rejeição do lote
– Os lotes aceitos são enviados para processamento
posterior, e os lotes rejeitados são retrabalhados ou
sucateados. Algumas vezes denominam essa decisão
de Sentenciamento do Lote.
Problema da Amostragem de 
Aceitação 
Aspectos importantes:
1. O objetivo é decidir sobre o lote, e não estimar sua 
qualidade.
2. Não fornece qualquer forma direta de controle de 
qualidade. Simplesmente aceita ou rejeita lotes.
3. Serve de ferramenta de verificação para garantir que 
a saída do processo esteja de acordo com as 
especificações.
Amostragem de Aceitação Lote a 
Lote para Atributos
� Diferentes Abordagens
– Aceitar sem inspeção – Útil em situações em que o 
processo é muito bom (capacidade do processo 3 ou 4) 
ou quando há necessidade de conter despesas;
– Inspeção 100% -. Há inspeção de todos os itens do lote. 
Remove-se todas as unidades que apresentaram 
defeito. Utilizada em situações onde é extremamente 
critico a passagem de itens defeituosos ou quando a 
capacidade é duvidosa;
Amostragem de Aceitação Lote a 
Lote para Atributos
� Diferentes Abordagens
– Amostragem de aceitação – Útil nas seguintes situações:
� O teste for destrutivo;
� Quando o custo da inspeção 100% for muito alto;
� Quando há muitos itens a serem inspecionados;
� Quando houver bom histórico da qualidade;
� Quando houver sérios riscos potenciais para a
credibilidade do produto, sendo necessário um programa
de monitoramento contínuo.
Amostragem de Aceitação versus 
inspeção 100%
Vantagens Desvantagens
� Usualmente é menos dispendiosa,
pois há menos inspeção;
� Há menos manuseio do produto, logo
menos avarias;
� Aplica-se a testes destrutivos;
� Menos pessoas são envolvidas nas
atividades de inspeção;
� Em geral, reduz enormemente a
quantidade de erros de inspeção;
� A rejeição de lotes inteiros em lugar
do simples retorno de defeituosos, em
geral, fornece uma motivação mais
forte ao vendedor em relação a
melhorias na qualidade
� Há riscos de aceitação de lotes
“ruins” e rejeição de lotes “bons”;
� Em geral, gera-se menos
informação sobre o produto ou
sobre o seu processo de
manufatura;
� A amostragem de aceitação exige
planejamento e documentação do
procedimento de amostragem, ao
contrário da inspeção 100%.
Tipos de Planos de Amostragem
– Plano de Amostragem Única – Selecionam-se n itens do lote e
conta-se a quantidade de defeitos d. Fixado o número de
aceitação c, aceitamos o lote se d ≤ c e rejeitamos se d > c;
– Planos de Amostragem Dupla – Toma-se a decisão de
aceitação ou rejeição, baseado em mais de uma amostra. A partir
da informação da amostra inicial toma-se uma decisão para
aceitar o lote, rejeitá-lo ou extrair uma nova amostra. A informação
de ambas as amostras serão combinadas para se chegar a uma
decisão;
– Plano de Amostragem Múltipla – Extensão da amostragem
dupla para mais de duas amostras;
– Plano de Amostragem Sequencial - unidades do lote são
selecionadas uma de cada vez. Uma decisão é tomada no sentido
de aceitar o lote, rejeitá-lo ou selecionar uma outra amostra
Formação dos Lotes
– A maneira como o lote é formado pode influenciar
na eficiência do plano de amostragem de aceitação
– Aspectos Importantes:
� Os lotes devem ser homogêneos;
� Lotes maiores são preferíveis a lotes menores
(economicamente);
� Deve ser fácil o acesso ao lote para escolha dos itens que
irão fazer parte da amostra.
– As unidades de um lote devem ser escolhidas
aleatoriamente, e devem ser representativas de
todos os itens do lote.
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� Definição
– É definido pelo tamanho amostral n e pelo número de
aceitação c
� Exemplo
– Considere o tamanho do lote N = 10.000.
– O plano amostral n = 89 e c = 2, significa que, de um
lote de tamanho 10.000, inspeciona-se uma amostra
aleatória de n = 89 unidades, observando-se o número d
de itens não-conformes ou defeituosos.
– Se d ≤ c = 2, o lote será aceito e se d > c = 2, o lote será
rejeitado.
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� Definição
– Note, também, que no problema de aceitação ou
rejeição de um lote a característica da qualidade é
dicotômica. Logo a distribuição do número de defeitos d
em uma amostra de n itens será Binomial (N → ∞) e
Hipergeométrica (N é finito) e p será a fração de itens
defeituosos.
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� A Curva Característica de Operação (CO)
– Uma medida importante para o plano de amostragem de
aceitação é a Curva Característica de Operação, que plota a
probabilidade de aceitação do lote versus a fração de
defeituosos.
– A curva CO mostra o poder discriminatório do plano amostral.
Assim, dado um plano amostral, a probabilidade de aceitação
de um lote será obtida por
– onde d ~ Binomial (n,p) e p é a fração de itens defeituosos no
lote.
( ) ( )
dnd
c
d
a pp
dnd
n
cdPP −
=
= −
−
=≤ ∑ 1!!
!)(
0
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� Curva Característica de Operação
Exemplo:
� Se a fração de defeituosos do lote é p = 0,01, n = 89 e c = 2, 
então
( ) ( )
9397,0
)99,0()01,0(
!87!2
!89
)99,0()01,0(
!88!1
!89)99,0()01,0(
!89!0
!89
99,0)01,0(
!89!
!89)(
872
881890
89
2
0
=
+
+=
−
=≤= −
=
∑ dd
d
a
dd
cdPP
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� Curva Característica de Operação (CO) para n = 89 e c = 2
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� Infelizmente a Curva CO Ideal
quase nunca pode ser obtida na
prática. Na teoria, poderia ser
obtida pela inspeção 100%, se
esta fosse livre de erro.
� A forma da curva CO ideal pode
ser aproximada aumentando o
tamanho da amostra, mantendo
c proporcional a n.
Efeitos de n e c sobre as Curvas CO
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� Efeitos de n e c sobre as Curvas CO
� Os planos com menores valores de c fornecem discriminação a 
níveis mais baixos da fração de defeituosos do lote do que planos 
com maiores valores de c. 
Planos de Amostragem Única para 
Atributos
� A Curva CO Tipo A
� É utilizada para calcular
probabilidades de aceitação
em lotes de tamanho finito.
Neste caso, a distribuição
será Hipergeométrica.
� No entanto, a Pa poderá ser 
calculada a partir da 
distribuição Binomial (Curva 
CO tipo B) em lotes, cujo N 
é grande.
Elaboração de um Plano de 
Amostragem Única
� Curva CO Especificada
– Suponha que desejamos construir um plano amostral, com
probabilidade de aceitação “1- α” para lotes com fração de
defeituosos p1, e com probabilidade de aceitação β para
lotes com fração de defeituosos p2.
– Supondo que a distribuição Binomial é adequada (N
grande), temos que o tamanho de amostra n e o número de
aceitação c são as soluções do sistema de equações
( ) ( )
( ) ( )
dnd
c
d
dnd
c
d
pp
dnd
n
pp
dnd
n
−=
−
=
−
−
=
−
−
=−
∑
∑
22
0
11
0
1
!!
!
1
!!
!1
β
α
Elaboração de um Plano de 
Amostragem Única
� Curva CO Especificada
– As duas equações simultâneas são não-lineares,
e não possuem solução simples
– Os valores de “n” e “c” que são a solução desse
sistema de equações são obtidos através do
Nomograma Binomial (http://pt.wikipedia.org/wiki/Nomograma).
� Exemplo
– Suponha um plano amostral para o qual:
– p1=0.01, α=0.05, p2=0.06 e β=0.10
– A intersecção das retas que ligam (p1=0.01, 1-
α=0.95) e (p2=0.06 e β=0.10) no nomograma,
sugere que o planejamento seja n=89 e c=2.
Inspeção de Retificação
� Suponha que os lotes que chegam para a atividade de
inspeção tenham fração de defeituosos p0. Alguns desses
lotes serão aceitos, e outros rejeitados.
� Os lotes rejeitados sofrerão uma varredura (Inspeção
100%), e sua fração de defeituosos final será zero. No
entanto, os lotes aceitos têm fração de defeituosos p0.
� Consequentemente, os lotes que saem da atividade de
inspeção são uma mistura desses lotes e a fração de
defeituosos zero, de modo que a fração média de
defeituosos no conjunto será, agora, p1 < p0.
Inspeção de Retificação
� Medidas Importantes
– Qualidade de Saída Média (QSM) - mede a qualidade no
lote resultante da aplicação da inspeção de retificação, sendo
definida por
– Exemplo:
– Suponha N=10.000, n=89 e c=2, e que os lotes que entram sejam
de qualidade p=0,01, obtendo Pa=0,9397. Logo,
– Note que o QMS < p
p
N
nNPQMS a 


 −
=
)(
0093,0)01,0(
000.10
)89000.10)(9397,0(
=


 −
=QMS
Inspeção de Retificação
� Medidas Importantes
– Inspeção Total Média (ITM) - mede o número médio de itens
inspecionados, devido ao uso de um programa de inspeção
por retificação.
– Exemplo:
– Note que n < ITM < N.
))(1( nNPnITM a −−+=
687)89000.10)(9397,01(89 =−−+=ITM
Plano de Amostragem Dupla
� É um procedimento no qual, sob certas circunstâncias, exige-se
uma segunda amostra antes do lote ser sentenciado.
� O plano de amostragem Dupla é definido por quatro parâmetros:
– n1: tamanho da primeira amostra;
– c1: número de aceitação da primeira amostra;
– n2: tamanho da segunda amostra;
– c2: número de aceitação da segunda amostra
� A principal vantagem de um plano de amostragem dupla é que
ele pode reduzir o total de inspeção exigida.
� Execução: observa-se o número de defeitos d1 na 1ª amostra.
Se que d1 ≤ c1 aceita-se o lote e se d1 > c2 rejeita-o. Contudo,
se estiver entre c1 < d1 ≤ c2 inspeciona-se uma 2ª amostra. Se
(d1 + d2) ≤ c2 aceita-se o lote, e se (d1 + d2) > c2 rejeita-o.
Planos de Amostragem Dupla
� Exemplo: Suponha n1=50, c1=1, n2=100 e c2=3, 
teremos graficamente
Plano de Amostragem Dupla
� Curva CO
– Um plano de amostragem
Dupla é representado por 3
curvas características de
operação
� Primária: ilustra a
probabilidade de aceitação
nas amostra combinadas
� Suplementares: ilustra a
probabilidade de aceitação e
rejeição do lote na 1a
amostra.
Plano de Amostragem Dupla
CO – Curva Primária
� A representação da CO Primária será construída a partir da
probabilidade de aceitação combinada (Pa), sendo definda por
� onde denotam a probabiliade de aceitação na 1a e 2a
amostras, respectivamente.
II
a
I
aa PPP +=
II
a
I
a PP e 
22211
2
11
12
2
1
111
1
1
)1()1(
),(
)1()!(!
!)(
2
2
1 0 1
1
122211
0 111
1
11
dnddn
c
cd
dc
d
dII
a
II
a
dnd
c
d
I
a
pp
d
n
pp
d
n
P
dcdcdcPP
pp
dnd
n
cdPP
−−
+=
−
=
−
=
−





×−





=
=−≤≤<=
−
−
=≤=
∑ ∑
∑
Plano de Amostragem Dupla
CO – Curva Primária
� Exemplo
– Considerando o plano de amostragem Dupla com n1=50,
c1=1, n2=100 c2=3 e p =0.05 (fração de def. do lote), temos
[ ]{ } { }
289,0
que temosLogo, .01,0001,0009,0
)0()3()1()0()2(
)95,0(05,0100)05,0()05,0(50
279,0)95,0()05,0()!50(!
!50
21221
100
2
50
3
2
3
0 1
50
1
0 11
221
1
1
2
1
11
1
=+=
=+=
=×=+=+=×==






×





=
=
−
=
−−
=
−
=
−
=
∑∑
∑
II
a
I
aa
II
a
II
a
ddd
d
d
d
dII
a
dd
d
I
a
PPP
P
dPdPdPdPdPP
dd
P
dd
P
Plano de Amostragem Dupla
CO – Curvas Secundária
� A representação das CO’s Secundárias será:
– A CO referente a probabilidade de aceitação na 1a amostra
será construída de forma idêntica ao caso do Plano de
Amostragem Única, através de um gráfico de vs p.
– A CO referente a probabilidade de rejeição na 1a amostra
será construída a partir de um gráfico de vs p.
111
1
1
)1()!(!
!)(
0 111
1
11
dnd
c
d
I
a ppdnd
n
cdPP −
=
−
−
=≤= ∑
I
aP






−
−
−=≤−=>= −
=
∑ 111
2
1
)1()!(!
!1)(1)(
0 111
1
2121
dnd
c
d
I
R ppdnd
n
cdPcdPP
I
RP
Plano de Amostragem Dupla
� Tamanho de Amostrá Médio (TAM)
– A fórmula geral para o tamanho amostral médio na
amostragem dupla, supondo inspeção total da segunda
amostra, é
– Logo, o TAM equivale ao tamanho de n1 somada ao tamanho
de n2, ponderada pela chance de ocorrência de uma 2a
amostra.
)1()1)(()( 21211 IRIaIRIaIRIa PPnnPPnnPPnTAM −−+=−−+++=
Elaborando um Plano de 
Amostragem Dupla
– Sejam (p1,1-α) e (p2 ,β) os dois pontos de interesse na curva
CO. Um procedimento simples que pode ser usado para obter
tais planos, através do Nomograma, é restringir que n2 seja
um múltiplo de n1.
– Duncan (1986) apresenta uma discussão detalhada dessas
técnicas.
– Por outro lado, é possível “calibrar” a eficiência de um plano
de amostragem dupla com valores n1, c1, n2 e c2, através das
curvas CO Primária e Secundária.
Planos de Amostragem Dupla –
Inspeção de Retificação
� Inspeção de Retificação
– A Qualidade de Saída Média será dada por
– A Inspeção Total Média será dada por
[ ] p
N
nnNPnNPQMS
II
a
I
a






−−+−
=
)()( 211
)1()( 211 aIIaIa PNPnnPnITM −+++=
Planos de Amostragem Múltipla
� O Plano de Amostragem Múltipla é uma
extensão do Plano de Amostragem Dupla no
sentido que mais de duas amostras podem ser
necessárias para o sentenciamento do Lote.
� O aspecto negativo da Amostragem Múltipla é a
dificuldade de implantação deste Plano.
� Duncan (1986) apresenta uma discussão
detalhada dessa técnica.
Planos de Amostragem Sequencial
� Plano de amostragem no qual são retiradas
unidades de amostra, uma a uma, inspecionadas
e, com base nos resultados, tomada decisão
sobre a aceitação, rejeição do lote, ou inspeção
de nova unidade.
� É baseada no teste sequencial da razão da
probabilidade (TSRP) desenvolvido por
Wald(1947).
Planos de Amostragem Sequencial
� Operação de um plano de amostragem sequencial 
item a item
� Considerar o número acumulado de defeituosos (d) 
� Construir um gráfico onde, no eixo das abscissas temos o número 
total de itens selecionados (n) até aquele momento, versus o 
número total de defeituosos (d).
� Se os pontos plotados permanecem dentro dos limites das retas 
de aceitação e rejeição, outra amostra deve ser retirada.
� Tão logo um ponto caia sobre ou acima da linha superior, o lote é 
rejeitado. 
� Se o ponto cair sobre ou abaixo da linha inferior, o lote é aceito. 
Planos de Amostragem Sequencial
� Equações para as duas retas limite para 
valores especificados de (p1, 1-α) e (p2, β) são
(reta de aceitação)
(reta de rejeição)
onde,
snhX A +−= 1
snhX R += 2
kh
kh
/1log
/1log
2
1





 −
=




 −
=
α
β
β
α
[ ] kpps
pp
ppk
/)1()1(log
)1(
)1(log
21
21
12
−−=
−
−
=
Planos de Amostragem Sequencial
� Exemplo:
– Construa as equações de aceitação e rejeição, 
considerando p1 = 0.01, α = 0.05, p2 = 0.06 e β = 0.10.
nX A 028,022,1 1 +−=
nX R 028,057,1 +=57,1/05.0
10.01log
22,1/
10.0
05.01log
2
1
=




 −
=
=




 −
=
kh
kh
[ ] 028.080066.0/)06.01()01.01(log
80066.0)06.01(01.0
)01.01(06.0log
=−−=
=
−
−
=
s
k
Planos de Amostragem Sequencial
� Observações:
– Os números de aceitação (XA) e rejeição (XB) tem que 
ser inteiros.
– XA é o inteiro mais próximo menor ou igual.
– XR é o inteiro mais próximo maior ou igual. 
– Assim, para n=45, temos que
– Note que o lote pode não ser aceito a não ser que, pelo 
menos, n=44 unidades tenham sido testadas (XA < 0).
00,004,0)45(028,022,1 1 →=+−=AX
00,383,2)45(028,057,1 →=+=RX
Exemplo
Desenhe a curva CO tipo B para o plano de 
amostragem única n=50, c=1.
Exemplo
Desenhe as curvas primária e
suplementares para um plano de
amostragem dupla com n1=50, c1=2, n2=100
e c2=6. Se os lotes que entram têm uma
fração de não-conformes p=0,05, qual a
probabilidade de aceitação na 1º amostra?
Qual a probabilidade de aceitação final?
Calcule a probabilidade de rejeição na
primeira amostra?
Exemplo
Deduza um plano de amostragem
sequencial item a item para o qual p1=0,01,
α=0,05, p2=0,10 e β=0,10.