Controle Estatístico de Processos

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DESCRIÇÃO
O Controle Estatístico é uma poderosa coleção de ferramentas úteis na obtenção da estabilidade do processo e na
melhoria da capacidade por meio da redução da variabilidade. Um processo estará sob controle (estável) se os
resultados estiverem em conformidade com os limites impostos. Caso contrário, o processo deve ser investigado para
que sejam detectadas as causas do desvio.
PROPÓSITO
Obter conhecimento sobre a aplicação das técnicas estatísticas e análise de dados relacionados ao controle da
qualidade de processos e suas aplicações práticas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este estudo, tenha em mãos uma calculadora, preferencialmente que execute cálculo de
exponenciais. Tenha também, se possível, um computador com aplicativo Microsoft Excel ou Apache OpenOffice,
como apoio para a solução dos problemas que serão apresentados.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos de Estatística Básica
MÓDULO 2
Definir como se deve determinar tamanhos de amostras
MÓDULO 3
Aplicar planos de amostragem
MÓDULO 4
Reconhecer a importância da análise da capacidade de processos
BEM-VINDO AOS ESTUDOS DO CONTROLE
ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos de Estatística Básica
IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA BÁSICA EM
PROCESSOS
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Neste módulo, vamos rever alguns conceitos de Estatística Básica, e outros que serão obrigatórios para a
compreensão dos demais módulos. O estudo da Estatística envolve Matemática e se baseia em cálculos de
números. Mas também depende muito de como os números são escolhidos e de como as estatísticas são
interpretadas.
Imagem: Shutterstock.com.
Considere os dois cenários a seguir e as interpretações baseadas nas estatísticas apresentadas. Você verá que os
números podem estar certos, mas a interpretação pode estar errada.
CENÁRIO 1
Um novo anúncio de sorvete feito pela sorveteria YDVQS e apresentado no final de novembro do ano passado
resultou em um aumento de 30% nas vendas de sorvete durante os três meses seguintes. O anúncio foi eficaz,
porém, uma grande falha é desconsiderar que o consumo de sorvete geralmente aumenta nos meses de dezembro,
janeiro e fevereiro, independentemente dos anúncios de sorvete feitos. Esse impacto é chamado de efeito histórico e
leva as pessoas a interpretar como final o resultado de uma variável quando outra variável (nesse caso, a época do
ano) é realmente a responsável.
CENÁRIO 2
Estão ocorrendo 75% mais casamentos inter-raciais este ano do que há 25 anos. Assim, nossa sociedade aceita
casamentos inter-raciais. Uma grande falha é que não temos todas as informações de que precisamos. O que
representa a taxa de casamentos que estão ocorrendo? Suponha que apenas 1% de casamentos há 25 anos eram
inter-raciais, e agora 1,75% de casamentos são inter-raciais (1,75 é 75% maior que 1). Mas esse número dificilmente
evidencia a aceitabilidade de casamentos inter-raciais. Portanto, simplesmente não há informações suficientes para
compreender totalmente o impacto das estatísticas.
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Em conjunto, esses exemplos mostram que as estatísticas não são apenas fatos e números, elas são mais do que
isso. No sentido mais amplo, estatística se refere a uma gama de técnicas e procedimentos para analisar, interpretar,
exibir e tomar decisões baseadas em dados.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Em Estatística, muitas vezes, contamos com uma amostra, isto é, um pequeno subconjunto de um conjunto maior de
dados, para fazer inferências sobre o conjunto maior, conhecido como população da qual a amostra é retirada. Veja
nos exemplos a seguir.
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EXEMPLO 1
Você foi escolhido pelo Tribunal Eleitoral para realizar uma pesquisa sobre como o povo de seu estado se sente em
relação à confiabilidade dos procedimentos de votação. A quem você vai perguntar?
Não será prático perguntar a cada pessoa como ela se sente em relação aos procedimentos de votação. Em vez
disso, consultamos um número relativamente pequeno de pessoas para poder tirar conclusões sobre o estado inteiro,
a partir de suas respostas.
As pessoas realmente consultadas são nossa amostra da maior população de todos os moradores do estado. Os
procedimentos matemáticos pelos quais convertemos informações sobre a amostra em suposições inteligentes sobre
a população se enquadram na rubrica de Estatística Inferencial.
Uma amostra é normalmente um pequeno subconjunto da população. No caso da votação, teríamos uma amostra
de alguns milhares de pessoas escolhidas entre milhões que compõem o estado. Ao escolher uma amostra, é
fundamental que não represente em demasia um tipo de cidadão em detrimento de outros. Falaremos sobre isso mais
à frente.
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EXEMPLO 2
Um treinador de basquete está interessado em saber quantas cestas de três pontos os calouros da faculdade podem
fazer em média. Oito voluntários dão um passo à frente. Depois de observar o desempenho deles, o treinador conclui
que calouros podem fazer uma média de 16 cestas de três pontos.
No exemplo, a população é a turma de calouros da universidade do treinador. A amostra é composta por oito
voluntários, porém, foi mal escolhida porque os voluntários têm mais probabilidade de fazer cestas de três pontos do
que a média dos calouros, pois as pessoas que sabem que não vão acertar provavelmente não se voluntariaram. No
exemplo, também não foi informado o gênero dos voluntários e isso pode afetar o resultado, contribuindo para a
natureza não representativa da amostra.
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AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Os pesquisadores adotam uma variedade de estratégias de amostragem. A mais simples é a amostragem aleatória
simples.
Ela requer que cada membro da população tenha uma chance igual de ser selecionado para a amostra. Além disso, a
seleção de um membro deve ser independente da seleção de todos os outros membros. Ou seja, escolher um
membro da população não deve aumentar ou diminuir a probabilidade de escolher qualquer outro membro (em
relação aos outros).
Nesse sentido, nós podemos dizer que a amostragem aleatória simples escolhe uma amostra por puro acaso. Para
você verificar sua compreensão da amostragem aleatória simples, considere o exemplo a seguir.
EXEMPLO
O que é a população? Qual é a amostra? A amostra foi colhida por simples amostragem aleatória? É tendenciosa?
Uma pesquisadora está interessada em estudar as experiências de gêmeos criados juntos, versus gêmeos criados
separados. Ela obtém uma lista de gêmeos dos registros em um estado e seleciona dois subconjuntos de indivíduos
para seu estudo. Primeiro, ela escolhe todos aqueles no registro cujo sobrenome começa com Z. Então, ela se volta
para todos aqueles cujo sobrenome começa com B. Por haver tantos nomes que começam com B, nossa
pesquisadora decide incorporar todos os outros nomes em sua amostra. Finalmente, ela envia uma pesquisa e
compara características de gêmeos criados separados e juntos.
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No exemplo, a população consiste em todos os gêmeos registrados no estado. É importante que a pesquisadora
apenas faça generalizações estatísticas para os gêmeos dessa lista, não para todos os gêmeos do país ou do mundo.
Ou seja, registro de gêmeos pode não representar todos os gêmeos. Mesmo que as inferências sejam limitadas para
o registro, vários problemas afetam o procedimento de amostragem que descrevemos.
Imagem: Shutterstock.com.
Escolher apenas gêmeos cujos sobrenomes começam com Z não dá a cada indivíduo uma chance igual de ser
selecionado para a amostra. Além disso, tal procedimento corre o risco de representar grupos étnicos com muitos
sobrenomes que começam com Z. Existem outras razões pelas quais escolher apenas o Z pode enviesar a amostra,
como a possibilidade de essas pessoas serem mais altas do que a média, porexemplo.
O mesmo problema ocorre com a escolha de gêmeos cujo sobrenome começa com B. Um problema adicional para o
B é que o procedimento "todos os outros" não permitia nomes adjacentes na parte B da lista de serem ambos
selecionados. Apenas esse defeito sozinho significa que a amostra não foi formada por meio de amostragem aleatória
simples.
O TAMANHO DA AMOSTRA É IMPORTANTE
Lembre-se de que a definição de uma amostra aleatória é aquela em que cada membro da população tem uma
chance igual de ser selecionado. Isso quer dizer que o procedimento de amostragem, em vez dos resultados do
procedimento, define o que significa uma amostra ser aleatória. Amostras aleatórias, especialmente se o tamanho da
amostra for pequeno, não representam necessariamente toda a população.
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 EXEMPLO
Se uma amostra aleatória de 20 indivíduos foi retirada de uma população com um número igual de homens e
mulheres, haveria uma probabilidade não trivial de 70% ou mais da amostra ser do sexo feminino. Tal amostra não
seria representativa, embora fosse sorteada aleatoriamente. Apenas um grande tamanho de amostra torna provável
que nossa amostra seja quase representativa da população. Por essa razão, as estatísticas inferenciais levam em
consideração o tamanho da amostra ao generalizar resultados de amostras para populações.
AMOSTRAGEM MAIS COMPLEXA
Às vezes, não é viável construir uma amostra usando amostragem aleatória simples. Veja o problema a seguir:
Considere o fato de que Dallas e Berlim estão competindo para ser o anfitrião dos Jogos Olímpicos de 2032. Imagine
que você seja contratado para avaliar se a maioria dos atletas prefere Berlim a Dallas como anfitrião, ou o contrário.
Considerando a inviabilidade de obter a opinião de cada um dos atletas, você deve construir uma amostra da
população de cada cidade.
Agora, observe como seria difícil proceder por amostragem aleatória simples. Por exemplo, como você entrará em
contato com os indivíduos de cada cidade? Mesmo entre as pessoas que você encontra na lista telefônica, como você
pode identificar aqueles que acabaram de se mudar para outra cidade (e não tinham motivo para informá-lo sobre a
mudança)?
Como você pode ver, às vezes, é muito difícil desenvolver um procedimento verdadeiramente aleatório. Por essa
razão, outros tipos de amostragens técnicas foram concebidas. Vamos discutir acerca de duas delas:
ATRIBUIÇÃO ALEATÓRIA
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
ATRIBUIÇÃO ALEATÓRIA
Na pesquisa experimental, as populações costumam ser hipotéticas. Por exemplo, em um experimento comparando a
eficácia de um novo medicamento antidepressivo com um placebo, não há uma população real de indivíduos tomando
a droga. Nesse caso, uma população especificada de pessoas com algum grau de depressão é definida e uma
amostra aleatória é retirada dessa população. A amostra é, então, dividida aleatoriamente em dois grupos: a um deles
é atribuída a condição de tratamento (droga) e a outro, a condição de controle (placebo). Essa divisão aleatória da
amostra em dois grupos é chamada de atribuição aleatória.
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A atribuição aleatória é crítica para a validade de um experimento por algumas razões. Por exemplo, considere o viés
que poderia ser introduzido se os 20 primeiros indivíduos a aparecerem no experimento fossem atribuídos ao grupo
experimental e os outros 20 fossem atribuídos ao grupo de controle. É possível que os sujeitos que chegaram depois
tendessem a ficar mais deprimidos do que aqueles que apareceram antes, tornando o grupo experimental menos
deprimido do que o grupo de controle antes mesmo de o tratamento ser administrado.
Em pesquisas experimentais desse tipo, a falha em designar assuntos aleatoriamente para grupos geralmente é mais
séria do que ter uma amostra não aleatória. A falha em randomizar – como pôde ser observado no exemplo que narra
um experimento entre um antidepressivo e um placebo – invalida os resultados experimentais. Um grupo não
aleatório – conforme observado no exemplo que representa a divisão entre grupo de controle e grupo experimental –
simplesmente restringe a generalização dos resultados.
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
Uma vez que a amostragem aleatória simples muitas vezes não garante uma amostra representativa, um método
denominado amostragem aleatória estratificada, às vezes, é usado para fazer com que ela seja mais representativa
na população. Na amostragem estratificada, identifique primeiro os membros de sua amostra que pertencem a cada
grupo. Então, você junta aleatoriamente cada um desses subgrupos de tal maneira que os tamanhos dos subgrupos
da amostra sejam proporcionais aos seus tamanhos na população.
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 EXEMPLO
Suponha que você estivesse interessado na pesquisa sobre pena de morte em uma universidade urbana. Você tem
tempo e recursos para entrevistar 200 alunos. O corpo discente é diversificado em relação à idade, e muitas pessoas
mais velhas trabalham durante o dia e matriculam-se em cursos noturnos (idade média de 39 anos), enquanto os
alunos mais jovens geralmente se matriculam em aulas diurnas (idade média de 19 anos).
É possível que os alunos da noite e os alunos do dia tenham opiniões diferentes sobre pena de morte. Se 70% dos
alunos eram alunos diurnos, faz sentido garantir que 70% da amostra consista nesse tipo de aluno. Assim, sua
amostra de 200 alunos consistiria em 140 alunos diurnos e 60 noturnos. A proporção de alunos diurnos na amostra e
na população (toda a universidade) seria o mesmo. Inferências para toda a população de alunos da universidade
estaria, portanto, mais segura.
TAMANHO DA AMOSTRA PARA GRÁFICOS DE CONTROLE
Você estudará mais adiante os gráficos de controle, e pode ser que surja a dúvida de qual deverá ser o tamanho da
amostra para a análise do processo. Não entraremos aqui em detalhes sobre como construir esses gráficos, mas
vamos discutir como se deve determinar o tamanho da amostra.
COMO OS LIMITES DE CONTROLE MUDAM COM O TEMPO, CONFORME O
NÚMERO DE AMOSTRAS TAMBÉM MUDA?
Você pode iniciar um gráfico de controle individual com apenas cinco pontos, recalcular os limites de controle com
cada novo ponto e, a seguir, travar os limites de controle após 20 pontos. Em seguida, recalcular após 100 pontos.
Qual foi o resultado desse esforço?
Você esperaria que os limites de controle baseados em cinco amostras fossem iguais aos baseados em
200 amostras? Provavelmente não.
Qual deles tem os limites de controle mais precisos?
Aquele com mais dados (200 amostras) fornecerá resultados mais precisos?
Veja a tabela a seguir.
n X R LSC LIC LSC - LIC
5 99,6 7,8 109,7 89,6 20,1
10 100,1 7,4 107,2 92,9 14,4
15 100,1 8,2 107,1 92,9 14,2
20 100,3 8,0 107,2 93,3 13,9
25 100,1 8,3 107,2 92,9 14,3
30 100,0 8,2 107,1 92,9 14,2
40 100,1 8,4 107,3 92,8 14,5
50 99,9 8,9 107,5 92,2 15,3
100 99,9 8,9 107,6 92,2 15,4
150 100,0 9,0 107,7 92,2 15,5
200 100,1 9,1 107,9 92,2 15,7
Tabela 1
Elaborada por Mauro Rezende Filho
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Imagem: Mauro Rezende Filho
O gráfico acima foi construído usando as primeiras 20 amostras. Observe na tabela que os limites de controle não
variam muito se aumentarmos o tamanho da amostra neste exemplo. Será interessante então plotarmos o gráfico do
COV (Coeficiente de Variação), e para isto precisamos determinar os graus de liberdade, ou seja, a quantidade de
informação que seus dados fornecem que você pode usar para estimar os valores de parâmetros populacionais
desconhecidos e calcular a variabilidade dessas estimativas.
Os graus de liberdade (df) associados ao intervalo móvel médio para uma amostra de tamanho “n” são determinados
por:
DF = 0, 62 (N - 1) = 0, 62 (20 - 1) = 0, 62 (19) = 11, 78
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O Coeficiente de variação para 11,8 graus de liberdade é:
COV =
1
√2DF
=
1
√2X11,8
= 20,6%
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela e o gráfico a seguir mostram quando os limites de controle começam a se estabilizar em função do tamanho
da amostra.
n df COV LSC LIC
5 2,48 44,90% 109,7 89,6
10 5,58 29,93% 107,2 92,9
15 8,68 24,00% 107,1 93,0
20 11,78 20,60% 107,2 93,3
25 14,88 18,33% 107,2 92,9
30 17,98 16,68% 107,1 92,9
40 24,18 14,38% 107,3 92,8
50 30,38 12,83% 107,5 92,2
100 61,38 9,03% 107,6 92,2
150 92,38 7,36% 107,7 92,2
200 123,38 6,37% 107,9 92,2
Tabela 2
Elaborada por Mauro Rezende Filho
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Imagem: Mauro Rezende Filho
Iniciamos um gráfico de controle individual com apenas cinco pontos, e depois recalculamos os limites de controle
com cada novo ponto e, a seguir, travamos os limites de controle no lugar após 20 pontos. Em seguida, recalculamos
após 100 pontos.
Foi uma boa estratégia?
Sim, e essa mesma abordagem funcionará para determinar quantas amostras você precisa para uma análise de
capacidade do processo. Muitas vezes, as pessoas usam 30 amostras para uma análise de capacidade do processo.
Qual é a incerteza para 30 amostras? Determine calculando o COV e indicando se está adequado.
VARIÁVEIS INDEPENDENTES E DEPENDENTES
Variáveis são propriedades ou características de algum evento, objeto ou pessoa que podem assumir diferentes
valores ou quantidades (ao contrário de constantes, como π, que não variam).
 VOCÊ SABIA?
Ao conduzir pesquisas, os pesquisadores frequentemente manipulam variáveis. Para comparar a eficácia de quatro
tipos de antidepressivos, por exemplo, a variável independente representa o tipo de antidepressivo. O experimento
visa determinar o efeito da variável independente no relevo da depressão. Nesse exemplo, o alívio da depressão é
chamado de variável dependente. Em geral, a variável independente é manipulada pelo pesquisador e seus efeitos
sobre a variável dependente são medidos.
Se um experimento compara um tratamento experimental com um tratamento de controle, então, a variável
independente (tipo de tratamento) tem dois níveis: experimental e de controle. Se um experimento comparasse
cinco tipos de dietas, então, a variável (tipo de dieta) teria cinco níveis.
VARIÁVEIS QUALITATIVAS E VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Uma distinção importante a ser feita é entre variáveis qualitativas e variáveis quantitativas. Variáveis qualitativas
expressam atributos como cor do cabelo, cor dos olhos, religião, filme favorito, gênero, entre outros. Valores da
variável “religião”, por exemplo, diferem qualitativamente, pois nenhuma ordenação de religiões está implícita. Já as
variáveis quantitativas são aquelas que permitem comparação, por meio de sua expressão por um valor numérico,
que, em geral, encontra-se dentro de uma escala quantitativa. Como exemplo, podemos citar: massa (balança),
altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
VARIÁVEIS DISCRETAS E VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Variáveis como o número de filhos em uma casa são chamadas de variáveis discretas porque as pontuações
possíveis são pontos discretos na escala. Por exemplo: uma casa poderia ter três ou seis filhos, mas não 4,53 filhos.
Outras variáveis, como tempo para responder a uma pergunta, são variáveis contínuas, pois a escala é contínua, e
não composta de etapas discretas. O tempo de resposta pode ser de 1,64 segundos ou de 1,64237123922121
segundos.
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética é a medida mais comum de tendência central. É simplesmente a soma dos números dividida pelo
total de números. O símbolo “μ” é usado para a média de uma população. O símbolo X é usado para a média de uma
amostra. A fórmula para μ é mostrada a seguir:
Μ =
∑ X
N
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Em que ∑ X é a soma de todos os números da população e “n” é o número de itens na população.
A fórmula para X é essencialmente idêntica:
X =
∑ X
N
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Em que ∑ X é a soma de todos os números da amostra e “N” é o número de itens na amostra.
 EXEMPLO
A média dos números 1, 2, 3, 6, 8 é 20÷5 = 4, independentemente se os números constituem toda a população ou
apenas uma amostra dela. Deve-se tomar muito cuidado com essa medida, pois dependendo dos valores que
compõem a amostra, ele poderá ser distorcido e nos levar a tomar conclusões equivocadas.
Veja a tabela a seguir, em que pegamos a idade de todos os alunos de uma sala de aula onde está presente um
professor:
IDADES
18 31 18 33
19 28 20 25
21 22 29 22
22 26 22 20
25 21 21 55
Tabela 3
Elaborada por Mauro Rezende Filho
MÉDIA
X =
18 + 19 + … + 55
20
X = 24, 9 ANOS
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MÉDIA SEM O PROFESSOR
X =
18 + 19 + … + 20
19
X = 23, 3 ANOS
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MEDIANA
A mediana também é uma medida frequentemente usada de tendência central. Ela representa o ponto médio de uma
distribuição: o mesmo número de pontuações está acima da mediana e abaixo dela. Para os dados das idades, são
19 pontuações sem o professor. A 10ª maior pontuação (que é igual a 22) é a mediana porque há 9 pontuações
abaixo da 10ª pontuação e 9 pontuações acima.
Quando há uma quantidade ímpar de números, a mediana é simplesmente o número do meio. Por exemplo, a
mediana de 2, 4 e 7 é 4. Quando há um número par de números, a mediana é a média dos dois números do meio.
Assim, a mediana dos números 2, 4, 7, 12 é:
4 + 7
2 = 5,5
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MODA
A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Para os dados dos alunos sem o professor, a moda é 22, já que
temos quatro alunos com esta idade, ou seja, a idade que mais aparece nos dados.
Com dados contínuos, como tempo de resposta medido para muitos decimais (Exemplo: 12,025; 12,0252; 12,02524;
13,036; 15,154), a frequência (quantas vezes aparece) de cada valor será qualquer um deles, já que não há duas ou
mais pontuações com o mesmo valor. Portanto, a moda de dados contínuos é calculada a partir de uma distribuição
de frequência agrupada, ou seja, no caso do exemplo dado temos as seguintes classes: de 12 a 13, de 13 a 14, de 14
a 15, e de 15 a 16. Assim, na classe de 12 a 13 temos 3 números, de 13 a 14 temos 1, de 14 a 15 temos 0 e de 15 a
16 temos 1. A moda é o ponto médio da classe de maior frequência. Portanto: Moda = (12 + 13) ÷ 2 = 12,5. A classe
modal é a classe de maior frequência, ou seja, de 12 a 13.
VARIÂNCIA
Uma vez conhecido um conjunto de dados, a variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada
valor desse conjunto está do valor central (média). Quanto menor é a variância, mais próximos os valores estão da
média, e quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média. Vejam as fórmulas:
PARA POPULAÇÃO
S =
∑ N
I= 1 XI - X 2
N
PARA AMOSTRA
S =
∑ N
I= 1 XI - X 2
N - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
Por exemplo, se um grupo de números varia de 1 a 10, terá uma média de 5,5. Se você elevar ao quadrado as
diferenças entre cada número e a média e, em seguida, encontrar sua soma, o resultado é 82,5. Para descobrir a
variância, divida a soma, 82,5, por n - 1, que é o tamanho da amostra (neste caso, 10) menos 1. O resultado é uma
variância de 82,5 / 9 = 9,17. Devido a esse quadrado, a variância não está mais na mesma unidade de medida que os
dados originais.
X xi - X)2
1 20,25
2 12,25
3 6,25
4 2,25
5 0,25
6 0,25
7 2,25
8 6,25
9 12,25
10 20,25
Total 55 Total 82,50
(
Média 5,5 Variância 9,17
Tabela 4
Elaborada por Mauro Rezende Filho
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DESVIO PADRÃO
O cálculo da variância usa quadrados porque pesa os outliers (fora do padrão) mais fortemente do que osdados mais
próximos da média. Esse cálculo também evita que diferenças acima da média cancelem aquelas abaixo, o que
resultaria em uma variação de zero.
O desvio padrão é calculado como sendo a raiz quadrada da variância, identificando a variação entre cada ponto de
dados em relação à média. Se os pontos estiverem mais distantes da média, há um desvio maior, e se estiverem mais
próximos da média, há um desvio menor. Portanto, quanto mais espalhado for o grupo de números, maior será o
desvio padrão.
Σ = √S
No exemplo anterior, temos
Σ = √S = √9,17 = 3,03
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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a probabilidade de
ocorrência desse valor na população. Em outras palavras, nós podemos visualizar a espessura da camada como uma
variável aleatória porque assume valores diferentes na população de acordo com algum mecanismo aleatório, então,
a distribuição de probabilidade de espessura da camada descreve a probabilidade de ocorrência de qualquer valor de
espessura da camada na população. Existem dois tipos de distribuição de probabilidade: contínuas e discretas.
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
javascript:void(0)
Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua, sua distribuição de probabilidade é
chamada de distribuição contínua.
Um exemplo é a distribuição de probabilidade da espessura da camada de metal.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Ocorrem quando o parâmetro que está sendo medido só pode assumir certos valores, como os inteiros 0, 1, 2,…, a
distribuição de probabilidade.
Um exemplo é a distribuição do número de não conformidades ou os defeitos nas placas de circuito impresso.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS IMPORTANTES
Várias distribuições discretas de probabilidade surgem com frequência no controle de qualidade estatístico. Vamos
discutir algumas, tais como:
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Suponha que haja uma população finita consistindo em N itens. Algum número, ou seja, um desses itens, enquadra-
se em uma classe de interesse. Uma amostra aleatória de “n” itens é selecionada da população sem reposição, e o
número de itens na amostra que se enquadra na classe de interesse (x, digamos) é observada. Então, x é uma
variável aleatória hipergeométrica com a distribuição de probabilidade definida a seguir.
DEFINIÇÃO:
A distribuição de probabilidade hipergeométrica é:
javascript:void(0)
P(X) =
D
X
N - D
N - X
N
N
X = 0,1, 2, . . . , MIN(N, D)
A média e a variância são:
Μ =
ND
N E S =
ND
N 1 -
D
N
N - N
N - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando de estatística que 
a
b =
a !
b ! ( a - b ) !
A distribuição hipergeométrica é o modelo de probabilidade apropriado para selecionar uma amostra aleatória de n
itens sem substituição de um lote de N itens, dos quais D não estão em conformidade ou estão com defeito.
Chamamos de amostra aleatória uma amostra que foi selecionada de maneira que todas as amostras possíveis
tenham a mesma chance de serem escolhidas. Por exemplo, suponha que um lote contenha 100 itens, dos quais 5
não estão em conformidade com os requisitos. Se 10 itens forem selecionados aleatoriamente sem substituição, a
probabilidade de encontrar um ou menos itens não conformes na amostra é:
P{X ≤ 1} = P{X = 0} + {PX = 1}
P (X) =
D
X
N - D
N - X
N
N
=
5
0
100 - 5
10 - 0
100
10
+
5
1
100 - 5
10 - 1
100
10
= 0,92314
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Considere um processo que consiste em uma sequência de n tentativas independentes. Por ensaios independentes,
queremos dizer que o resultado de cada ensaio independe do resultado generalizado de todos os ensaios. Quando o
resultado de cada tentativa é um "sucesso" ou um "fracasso", as tentativas são chamadas de julgamentos de
Bernoulli. Se a probabilidade de "sucesso" em qualquer tentativa, digamos “p”, for constante, então, o número de
"sucessos" x em n ensaios de Bernoulli tem a distribuição binomial com parâmetros n e p, definidos como na
sequência.
DEFINIÇÃO:
A distribuição binomial com parâmetros n ≥ 0 e 0 < p < 1 é:
P(X) =
N
X PX(1 - P)N - X X = 0,1, 2, . . . , N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ = NP E S = NP(1 - P)
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A distribuição binomial é frequentemente usada na engenharia da qualidade. É o apropriado modelo de probabilidade
para amostragem de uma população infinitamente grande, em que p representa a fração de itens defeituosos ou não
conformes na população. Nessas aplicações, x geralmente representa o número de itens não conformes encontrados
em uma amostra aleatória de n itens.
Por exemplo, se p = 0, 10 e n = 15, então, a probabilidade de obter x itens não conformes é calculado a partir da
equação anterior da seguinte forma:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Elaborada por Mauro Rezende Filho
Uma variável aleatória que surge com frequência no controle de qualidade estatístico é:
( )
P̂ =
X
N
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Em que x tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Frequentemente, é a proporção do número observado
de itens defeituosos ou não conformes em uma amostra (x) ao tamanho da amostra (n) e isso geralmente é chamado
de fração da amostra defeituosa ou de fração da amostra não conforme. O símbolo “ˆ” é usado para indicar que é
uma estimativa do valor verdadeiro desconhecido do parâmetro binomial p. A distribuição de probabilidade é obtida a
partir do binômio, então:
P P̂ ≤ A = P
X
N ≤ A = P{X ≤ NA} = ∑ NA
X = 0
N
X PX 1 - P)N - X
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Em que [na] denota o maior número inteiro menor ou igual a na. É fácil demonstrar que a média de p̂ é p e que a
variância de p̂ é:
SP =
P ( 1 -P )
N
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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Uma distribuição discreta útil no controle estatístico de qualidade é a distribuição de Poisson, assim definida:
DEFINIÇÃO:
A distribuição de Poisson é:
P X =
E - ΛΛX
X ! ONDE X = 0,1, 2, . . .
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A média e a variância são:
{ } { } ( ) (
( )
Μ=Λ E S=Λ
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Observe que a média e a variância da distribuição de Poisson são iguais ao parâmetro λ.
Uma aplicação típica da distribuição de Poisson no controle de qualidade é como um modelo do número de defeitos
ou não conformidades que ocorrem em uma unidade do produto. Na verdade, qualquer fenômeno aleatório que
ocorre por unidade (ou por unidade de área, por unidade de volume, por unidade de tempo etc.) é frequentemente
bem aproximado pela distribuição de Poisson.
Por exemplo, suponha que o número de defeitos de ligação de fio por unidade que ocorrem em um dispositivo
semicondutor é Poisson distribuído com parâmetro λ = 4. Então, a probabilidade de que um semicondutor selecionado
aleatoriamente no dispositivo conterá dois ou menos defeitos de ligação de fio é:
P(X ≤ 2) = ∑ 2
X = 0
E - 44X
X ! =
E - 440
0 ! +
E - 441
1 ! +
E - 442
2 ! = 0,238104
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DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS IMPORTANTES
Agora vamos discutir algumas distribuições contínuas que são importantes no controle estatístico da qualidade, que
incluem a distribuição normal, a log-normal, a exponencial e a Weibull.
DISTRIBUIÇÃO NORMALA distribuição normal é provavelmente a distribuição mais importante na teoria e aplicação de estatísticas. Se x é uma
variável aleatória normal, então, a distribuição de probabilidade de x é definido como segue.
Definição
A distribuição normal é:
F(X) =
1
Σ√2Π
E
1
2
X - Μ
Σ
2
 - ∞ < X < ∞
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( )
A média e a variância são:
Μ(-∞ < Μ < ∞) E S > 0
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A distribuição normal é usada tanto que frequentemente empregamos uma notação especial, x ∼ N (μ, s), para
implicar que x é normalmente distribuído com média e variância. A aparência da distribuição normal é uma curva
simétrica, unimodal ou em forma de sino e é mostrada na figura a seguir.
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição normal
Há uma interpretação simples do desvio padrão de uma distribuição normal, que é ilustrado na figura a seguir.
Observe que 68,26% dos valores da população situam-se entre os limites definidos pela média mais e menos um
desvio padrão; 95,46% dos valores estão entre os limites definidos pela média mais e menos dois desvios padrão; e
99,73% dos valores da população estão dentro dos limites definidos pela média mais e menos três desvios padrão.
Assim, o desvio padrão mede a distância na escala horizontal associada a 68,26%, 95,46% e os limites de contenção
de 99,73%. É comum arredondar essas porcentagens para 68%, 95%, e 99,7%.
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição normal e a variação de desvios padrão
Essa integral não pode ser avaliada de forma fechada. No entanto, usando a mudança de variável:
Z =
X - Μ
Σ
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A avaliação pode ser feita de forma independente de μ ou s. Então:
P{X ≤ A} = P A ≤
A - Μ
Σ = Φ
A - Μ
Σ
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Em que Φ (.) é a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão (média = 0, desvio padrão = 1). Uma
tabela da distribuição normal padrão cumulativa é encontrada em qualquer livro de Estatística ou na internet. A
transformação de “z” é normalmente chamada de padronização, porque converte uma variável aleatória N (μ, s) em
uma variável aleatória N(0, 1).
EXEMPLO
A resistência à tração do papel usado para fazer sacolas de supermercado é uma característica de qualidade
importante. É sabido que a força, digamos “x”, é normalmente distribuída com
média μ = 40 kg /pol2 e desvio padrão s = 2 kg /pol2, denotado N (40, 22). O comprador dos sacos exige que eles
tenham uma resistência de pelo menos 35 kg /pol2 . Calcule a probabilidade de as sacolas produzidas atenderem ou
excederem as especificações.
A probabilidade de que uma sacola produzida a partir desse papel atenda ou exceda a especificação é P(x ≥ 35).
Observe que:
P(X ≥ 35) = 1 - P(X ≤ 35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para avaliar essa probabilidade a partir das tabelas normais padrão, padronizamos o ponto 35 e encontramos:
{ } { }
P{X ≤ 35} = P A ≤
35 - 40
2 = P{X ≤ - 2,5} = Φ{-2,5} = 0,0062
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O valor 0,0062 foi tirado da tabela da distribuição normal padrão. Caso você tenha o Excel, não precisa buscar na
tabela, basta digitar em uma célula:
=DIST.NORMP.N(-2,5;1)
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Consequentemente, a probabilidade desejada é:
P(X ≥ 35) = 1 - P(X ≤ 35) = 1 – 0, 0062 = 0, 9938
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DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL
As variáveis em um sistema, às vezes, seguem uma relação exponencial, digamos x = exp (w). Se o expoente é uma
variável aleatória, digamos w, x = exp(w) é uma variável aleatória e a distribuição de x é a desejada. Um caso
especial importante ocorre quando w tem uma distribuição normal. No caso, a distribuição de x é chamada de
distribuição log-normal. O nome segue da transformação ln(x) = w. Ou seja, o logaritmo natural de x é normalmente
distribuído.
Probabilidades para x são obtidas a partir da transformação para w, mas precisamos reconhecer que o intervalo de x
é (0, ꚙ). Suponha que w é normalmente distribuído com média e variância, então, a função de distribuição cumulativa
para x é:
F(A) = P[X ≤ A] = P[EXP(W) ≤ A] = P[W ≤ LN(A)]
{ }
F(A) = P Z ≤
LN ( A ) - Θ
Ω = Φ
LN ( A ) - Θ
Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para X > 0, em que z é uma variável aleatória normal padrão. Portanto, como já comentado, a tabela disponível em
livros de Estatística ou na internet pode ser usada para determinar a probabilidade. Além disso, f (x) = 0, para x ≤ 0. A
variável aleatória log-normal é sempre não negativa. A distribuição log-normal é definida a seguir.
Definição
Seja w uma distribuição normal com média θ e variância ω2, então, x = exp (w) é uma variável aleatória log-normal, e
a distribuição log-normal é:
F(X) =
1
XΩ√Π
E -
LN ( X ) - Θ
2Ω2
2
 0 < X < ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ = E
Θ - Ω2
2 E S = E2Θ + Ω2
EΩ2
- 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os parâmetros de uma distribuição log-normal são θ e ω2, mas é necessário cuidado para interpretar que essas são a
média e a variância da variável aleatória normal w. A média e a variância de x são as funções desses parâmetros
mostrados na equação. A figura ilustra a distribuição log-normal para valores selecionados para os parâmetros.
[ ] [ ]
( )
( )
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição log-normal
A vida útil de um produto que se degrada ao longo do tempo é frequentemente modelada por uma variável log-normal.
Por exemplo, essa é uma distribuição comum para a vida útil de um semicondutor laser. Outras distribuições
contínuas também podem ser usadas nesse tipo de aplicação. Contudo, como a distribuição log-normal é derivada de
uma função exponencial simples de uma variável aleatória normal, é fácil entender e avaliar as probabilidades.
EXEMPLO
A vida útil de um laser medicinal, usado em cirurgia oftálmica, tem uma distribuição log-normal com θ = 6 e ω = 1,2.
Então, qual é a probabilidade de a vida útil desse laser ultrapassar a 500 horas?
Da função de distribuição cumulativa para a variável aleatória log-normal:
P(X > 500) = 1 - P[EXP(W) ≤ 500] = 1 - P[W ≤ LN(500)]
P X > 500 = Φ
LN ( 500 ) - 6
1,2 = 1 - Φ 0,1788 = 1 - 0,5710 = 0,4290
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Podemos observar o comportamento da variação do θ no gráfico a seguir:
( ) ( ) ( )
Imagem: Mauro Rezende Filho
Qual vida útil é excedida em 99% dos lasers? Agora a pergunta é determinar um tal que P (x > a) = 0, 99. Portanto,
P(X > A) = 1 - P[EXP(W) > A] = 1 - P[W > LN(A)]
P X > A = Φ
LN ( A ) - 6
1,2 = 0,99
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da tabela da log-normal, quando 1 - Φ(a) = 0,99,tiramos a = - 2,33. Portanto,
LN ( A ) - 6
1,2 = - 2,33, ENTÃO, A = EXP(3,204) = 24,63 HORAS
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Vamos determinar a média e o desvio padrão da vida útil. Então,
Μ = E
Θ + Ω2
2 = EXP(6 + 0,72) = 828,82 HORAS
( ) ( )
S = E2Θ + ΩS EΩ2 - 1 = EXP(12 + 1,44)[EXP(1,44) - 1] = 2.212.419,85
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, o desvio padrão da vida útil é de σ = √s = 1487,42 horas. Observe que o desvio padrão da vida útil é
grande em relação à média.
Podemos plotar a vida média em função do θ
Imagem: Mauro Rezende Filho
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição de probabilidade da variável aleatóriaexponencial é definida como segue.
Definição
A distribuição exponencial é:
F(X) = ΛE - ΛX X ≥ 0
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A média e a variância são:
Μ =
1
Λ E S =
1
Λ2
( )
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Várias distribuições exponenciais são mostradas na figura a seguir.
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuições exponenciais
A distribuição exponencial cumulativa é:
F(A) = P{X ≤ A} = ∫A0ΛE - ΛTDT = 1 - E - ΛA A ≥ 0
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Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição exponencial cumulativa
A distribuição exponencial é amplamente utilizada no campo da engenharia de confiabilidade como um modelo do
tempo até a falha de um componente ou sistema. Nessas aplicações, o parâmetro λ é chamado de taxa de falha do
sistema, e a média da distribuição 1/λ é chamada de tempo médio para falha.
Por exemplo, suponha que um componente eletrônico de um sistema de radar de uma aeronave tem vida útil descrita
por uma distribuição exponencial com uma taxa de falha de λ = 10−4 /h, ou seja, o tempo médio de falha para esse
componente é λ = 10−4/h. Se quiséssemos determinar a probabilidade de esse componente falhar antes de sua vida
esperada, avaliaríamos:
F(A) = P X ≤
1
Λ = ∫
1
Λ0ΛE - ΛTDT = 1 - E - 1 = 0,63212
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DISTRIBUIÇÃO WEIBULL
A distribuição Weibull é definida como segue.
Definição
A distribuição Weibull é:
F(X) =
Β
Θ
X
Θ
Β - 1
EXP -
X
Θ
Β
 X ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ = ΘΓ 1 +
1
Β E S = Θ2 Γ 1 +
2
Β - Γ 1 +
1
Β
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição Weibull é muito flexível, e pela seleção apropriada dos parâmetros θ e β, a distribuição pode assumir
uma grande variedade de formas. A distribuição cumulativa é:
{ }
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) { ( )} ]
F(A) = 1 - EXP -
A
Θ
Β
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição Weibull foi amplamente usada na engenharia de confiabilidade como um modelo de tempo de falha de
componentes e sistemas elétricos e mecânicos. Exemplos de situações em que a Weibull tem sido usada incluem
dispositivos eletrônicos, como elementos de memória, componentes mecânicos, como rolamentos e elementos
estruturais em aeronaves e automóveis.
EXEMPLO
O tempo até a falha de um componente eletrônico usado em sistema de monitoramento de um apartamento é
satisfatoriamente modelada por uma distribuição Weibull com β = 0,5 e θ = 5000. Encontre o tempo médio de falha e
a fração de componentes que devem sobreviver além de 20.000 horas.
O tempo médio para a falha é:
Μ = ΘΓ 1 +
1
Β = 5000 × Γ 1 +
1
0,5 = 5000 × Γ(3) = 10.000HORAS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fração de componentes esperada para sobreviver a = 20.000 horas é:
1 - F A = EXP -
X
Θ
Β
1 - F 20000 = EXP -
20000
5000
0,5
= E - 2 = 0,1353
[ ( ) ]
( ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, 13,53% dos subconjuntos falharão por 20.000 horas.
MÃO NA MASSA
1. UM PROCESSO DE FABRICAÇÃO PRODUZ MILHARES DE SEMICONDUTORES CHIPS
POR DIA. EM MÉDIA, 1% DESSES CHIPS APRESENTAM NÃO CONFORMIDADE COM AS
ESPECIFICAÇÕES. A CADA HORA, UM INSPETOR SELECIONA UMA AMOSTRA ALEATÓRIA
DE 25 CHIPS E CLASSIFICA CADA UM NA AMOSTRA COMO CONFORME OU NÃO
CONFORME. SE CHAMARMOS DE “X” A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O
NÚMERO DE CHIPS NÃO CONFORMES NA AMOSTRA, QUAL A PROBABILIDADE
APROXIMADA DE MENOS DE 2 CHIPS DA AMOSTRA SEREM NÃO CONFORMES?
A) 97,42%.
B) 96,47%.
C) 86,12%.
D) 77,78%.
E) 85,23%.
2. O DIÂMETRO DE UM EIXO DE METAL USADO EM UMA CAIXA DE MARCHA DE UM
TRATOR DE ESTEIRA É NORMALMENTE DISTRIBUÍDO COM MÉDIA DE 0,2508CM E
DESVIO PADRÃO 0,0005CM. AS ESPECIFICAÇÕES NO EIXO FORAM ESTABELECIDAS
COMO 0,2500 ± 0,0015CM. QUAL FRAÇÃO DOS EIXOS PRODUZIDOS ESTÁ EM
CONFORMIDADE COM AS ESPECIFICAÇÕES?
A) 99,73%.
B) 95,47%.
C) 93,06%.
D) 91,92%.
E) 94,78%.
3. UM COMPONENTE ELETRÔNICO PARA UMA UNIDADE DE RAIOS X É PRODUZIDO EM
LOTES DE TAMANHO N = 25. UM PROCEDIMENTO DE TESTE DE ACEITAÇÃO É USADO
PELO COMPRADOR PARA SE PROTEGER CONTRA LOTES QUE CONTÊM MUITOS
COMPONENTES NÃO CONFORMES. O PROCEDIMENTO CONSISTE EM SELECIONAR
CINCO COMPONENTES ALEATÓRIOS DO LOTE (SEM SUBSTITUIÇÃO) E TESTÁ-LOS. SE
NENHUM DOS COMPONENTES FOR NÃO CONFORME, O LOTE É ACEITO. QUAL É A
PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO DO LOTE?
A) 88,04%.
B) 92,36%.
C) 77,80%.
D) 60,21%.
E) 65,89%.
4. O DEPARTAMENTO DE COBRANÇA DE UMA GRANDE EMPRESA DE CARTÃO DE
CRÉDITO ESTÁ ANALISANDO UMA FORMA DE CONTROLAR ERROS (ADMINISTRATIVO,
DE TRANSMISSÃO DE DADOS ETC.) NAS CONTAS DOS CLIENTES. SUPONHA QUE OS
ERROS OCORREM DE ACORDO COM UMA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COM
PARÂMETRO Λ = 0,001. QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE UMA CONTA SELECIONADA
ALEATORIAMENTE DE UM CLIENTE CONTENHA UM ERRO?
A) 0,0001%.
B) 0,001%.
C) 0,01%.
D) 0,1%.
E) 99,99%.
5. CONSIDERE O SISTEMA MOSTRADO NA FIGURA A SEGUIR. ISSO É CHAMADO DE
SISTEMA REDUNDANTE EM ESPERA, PORQUE ENQUANTO O COMPONENTE 1 ESTÁ
LIGADO, O COMPONENTE 2 ESTÁ DESLIGADO; E QUANDO O COMPONENTE 1 FALHA, O
INTERRUPTOR LIGA AUTOMATICAMENTE O COMPONENTE 2. SE CADA COMPONENTE
TIVER UMA VIDA DESCRITA POR UMA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COM Λ = 10-2, A
CONFIABILIDADE DE UM SISTEMA DESTE TIPO É FALHAS = 1 – (1 – P(C1) (1 – P(C2)).
QUAL A CONFIABILIDADE DO SISTEMA?
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
A) 99,99%.
B) 99,00%.
C) 98,03%.
D) 96,45%.
E) 93,21%.
6. A RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DE UMA PEÇA DE METAL É NORMALMENTE DISTRIBUÍDA
COM MÉDIA DE 40LB E DESVIO PADRÃO DE 5LB. SE 50.000 PEÇAS FOREM PRODUZIDAS,
QUANTAS VOCÊ ESPERA QUE NÃO CUMPRAM UM LIMITE MÍNIMO DE ESPECIFICAÇÃO
DE RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DE 35LB? QUANTOS TERIAM UMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO
SUPERIOR A 48LB?
A) 45.148 e 41.487.
B) 43.423 e 35.651.
C) 38.104 e 26.458.
D) 41.057 e 38.104.
E) 40.026 e 32.751.
GABARITO
1. Um processo de fabricação produz milhares de semicondutores chips por dia. Em média, 1% desses chips
apresentam não conformidade com as especificações. A cada hora, um inspetor seleciona uma amostra
aleatória de 25 chips e classifica cada um na amostra como conforme ou não conforme. Se chamarmos de “x”
a variável aleatória que representa o número de chips não conformes na amostra, qual a probabilidade
aproximada de menos de 2 chips da amostra serem não conformes?
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Essa é uma distribuição discreta, uma vez que o número observado de não conformidades é x = 0, 1, 2,…, 25 e é
chamada de distribuição binomial. Podemos calcular a probabilidade de encontrar um ou menos elementos com não
conformidade na amostra, da seguinte maneira:
P(x) =
n
x px(1 - p)n - x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
P(x ≤ 1) = P(x = 0) + p(x = 1)
P(x ≤ 1) =
25
0 0,010(1 - 0,01)25 - 0 +
25
1 0,011(1 - 0,01)25 - 1
P(x ≤ 1) =
25 !
0 ! ( 25 - 0 ) ! 0,010(1 - 0,01)25 - 0 +
25 !
1 ! ( 25 - 1 ) ! 0,011(1 - 0,01)25 - 1
P(x ≤ 1) = 0,7778 + 0,1964 = 0,9742 = 97,42%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O diâmetro de um eixo de metal usado em uma caixa de marcha de um trator de esteira é normalmente
distribuído com média de 0,2508cm e desvio padrão 0,0005cm. As especificações no eixo foram estabelecidas
como 0,2500 ± 0,0015cm. Qual fração dos eixos produzidos está em conformidade com as especificações?
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Observe que:
P(0,2485 ≤ x ≤ 0,2515) = P{x ≤ 0,2515} - P{x ≥ 0,2485}
P(0,2485 ≤ x ≤ 0,2515) = Φ
0,2515 - 0,2508
0,0005- Φ
0,2845 - 0,2508
0,0005
P(0,2485 ≤ x ≤ 0,2515) = Φ(1,4) - Φ(-4,60) = 0,9192 - 0,0000 = 0,9192 = 91, 92 %
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esses dados foram tirados da tabela da distribuição normal, entretanto se você tem o Excel instalado em seu
equipamento, digite em uma célula:
=DIST.NORMP.N(1,4;0,0005)- DIST.NORMP.N(-4,6;0,0005)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um componente eletrônico para uma unidade de raios X é produzido em lotes de tamanho N = 25. Um
procedimento de teste de aceitação é usado pelo comprador para se proteger contra lotes que contêm muitos
componentes não conformes. O procedimento consiste em selecionar cinco componentes aleatórios do lote
(sem substituição) e testá-los. Se nenhum dos componentes for não conforme, o lote é aceito. Qual é a
probabilidade de aceitação do lote?
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A alternativa "C " está correta.
Solução:
Essa é uma distribuição discreta, uma vez que o número observado de não conformidades é x = 0, 1, 2,…, 25 e é
chamada de distribuição binomial. Podemos calcular a probabilidade de encontrar um ou menos elementos com não
conformidade na amostra, da seguinte maneira:
P(x) =
n
x
px(1 - p)n - x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
P(x = 0) =
25
0 0,010(1 - 0,01)25 - 0
P(x = 0) =
25 !
0 ! ( 25 - 0 ) ! 0,010(1 - 0,01)25 - 0 = 0,7778 = 77,80%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O departamento de cobrança de uma grande empresa de cartão de crédito está analisando uma forma de
controlar erros (administrativo, de transmissão de dados etc.) nas contas dos clientes. Suponha que os erros
ocorrem de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0,001. Qual é a probabilidade de que
uma conta selecionada aleatoriamente de um cliente contenha um erro?
A alternativa "C " está correta.
Solução:
Usando Poisson, temos:
p x0 = ∑ 0
x = 0
e - λλx
x ! =
e - 0,0010,0011
1 ! = 0,9999
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as não conformidades serão 1 – 0,9999 = 0,0001 = 0,01%.
5. Considere o sistema mostrado na figura a seguir. Isso é chamado de sistema redundante em espera,
porque enquanto o componente 1 está ligado, o componente 2 está desligado; e quando o componente 1
falha, o interruptor liga automaticamente o componente 2. Se cada componente tiver uma vida descrita por
uma distribuição de Poisson com λ = 10-2, a confiabilidade de um sistema deste tipo é Falhas = 1 – (1 – P(C1)
(1 – P(C2)). Qual a confiabilidade do sistema?
( )
( )
( )
( )
Imagem: Mauro Rezende Filho
A alternativa "C " está correta.
Solução:
p x = 1 =
e - λλx
x ! =
e - 0,010,011
1 ! = 0,0099
Falhas = 1 – (1 – 0, 0099) (1 – 0, 0099) = 0, 0197
Confiabilidade = 1 – 0, 0197 = 0, 9803 = 98, 03 %
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. A resistência à tração de uma peça de metal é normalmente distribuída com média de 40lb e desvio padrão
de 5lb. Se 50.000 peças forem produzidas, quantas você espera que não cumpram um limite mínimo de
especificação de resistência à tração de 35lb? Quantos teriam uma resistência à tração superior a 48lb?
A alternativa "B " está correta.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
GABARITO
( )
TEORIA NA PRÁTICA
As especificações de um componente eletrônico em um sistema de aquisição de alvos é que sua vida deve ser entre
5.000h e 10.000h. A vida é normalmente distribuída com média de 7.500h. O fabricante cobra $10 por unidade
produzida; contudo, as unidades defeituosas devem ser substituídas a um custo de $5. Dois fabricantes com
diferentes processos podem ser usados, sendo que ambos têm a mesma vida média. No entanto, o desvio padrão da
vida para o processo 1 é 1000h, enquanto para o processo 2 é apenas 500h. Os custos de produção para o processo
do fabricante 2 são o dobro daqueles para do fabricante 1, que custa $3/h. Levando em consideração o lucro, qual
seria a melhor escolha a ser feita?
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO PRÁTICA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. OS DIÂMETROS DE FURO DE OITO ROLAMENTOS SELECIONADOS ALEATORIAMENTE
SÃO MOSTRADOS AQUI (EM MM): 50,001; 50,002; 49,998; 50,006; 50,005; 49,996; 50,003;
50,004. A MÉDIA DA AMOSTRA E O DESVIO PADRÃO DA AMOSTRA SERÃO IGUAIS A:
A) 50,002 e 0,003.
B) 50,001 e 0,001.
C) 50,000 3 0,002.
D) 50,004 e 0,000.
E) 50,003 e 0,004.
2. UMA MONTAGEM MECATRÔNICA É SUBMETIDA A UMA INSPEÇÃO FUNCIONAL FINAL.
SUPONHA QUE OS DEFEITOS OCORRAM ALEATORIAMENTE NESSES CONJUNTOS, E
QUE OS DEFEITOS OCORREM DE ACORDO COM UMA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COM
PARÂMETRO Λ = 0,02. QUAL É A PROBABILIDADE DE APRESENTAR EXATAMENTE UM
DEFEITO?
A) 1,58%.
B) 1,96%.
C) 2,01%.
D) 1,89%.
E) 1,92%.
GABARITO
1. Os diâmetros de furo de oito rolamentos selecionados aleatoriamente são mostrados aqui (em mm): 50,001;
50,002; 49,998; 50,006; 50,005; 49,996; 50,003; 50,004. A média da amostra e o desvio padrão da amostra serão
iguais a:
A alternativa "A " está correta.
μ =
-
X = 
50,001 + 50,002 + … + 50,004
8 = 50,002
σ =
( 50,001 - 50,002 ) 2 + ( 50,002 - 50,002 ) 2 + … ( 50,004 - 50,002 ) 2
8 - 1 = 0,003
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma montagem mecatrônica é submetida a uma inspeção funcional final. Suponha que os defeitos ocorram
aleatoriamente nesses conjuntos, e que os defeitos ocorrem de acordo com uma distribuição de Poisson com
parâmetro λ = 0,02. Qual é a probabilidade de apresentar exatamente um defeito?
A alternativa "B " está correta.
p(x = 1) =
e - λλx
x ! =
e - 0,020,021
1 ! = 0,0196 = 1,96%
MÓDULO 2
 Definir como se deve determinar tamanhos de amostras
√
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE AMOSTRAS
DETERMINAÇÃO DE AMOSTRAS
Na maioria dos casos, as unidades do grupo são escolhidas aleatoriamente.
Imagem: Mauro Rezende Filho
É sempre necessário inspecionar/testar uma amostra para tirar uma conclusão sobre um lote inteiro? Não, não é. Se
você verificar 50 relógios que custam R$50.000,00 cada, pode fazer mais sentido verificar todos os 50, um por um.
Em contraste, se você comprar 4 recipientes de bolas de Natal custando R$2,00 cada, não faz sentido econômico
verificar 100% delas. Você precisa, nesse caso, trabalhar com base na amostragem aleatória.
Se um inspetor controla a qualidade de seus produtos na China, ele provavelmente verifica apenas uma parte do lote
inteiro. Mas como ele decide quantas peças escolher para sua inspeção? Como ele decide que quantidade de
unidades defeituosas é “demais”? E que certeza ele tem de tomar a decisão certa, visto que ela se baseia em suas
descobertas em uma amostra aleatória?
Digamos que você decidiu retirar amostras de um lote de produtos. Uma abordagem não sofisticada de amostragem
costuma ter a seguinte aparência: pegue 10% aleatoriamente e verifique essas peças. Não se sugere tal esquema
para uma atividade que a empresa realizará regularmente. Há duas razões para isso:
Como você pode fazer a ligação entre esse plano e seu risco como comprador, ou seja, de aceitar um lote pior do que
você está disposto a aceitar?
Digamos que você encontre 3% das amostras que você escolheu com defeito. Você fica negociando com a fábrica,
sem nenhuma regra previamente acordada, para decidir como eles devem agir, como classificar todo o lote e deixar
de lado os problemas.
Os estatísticos têm trabalhado arduamente neste tópico e criaram ferramentas simples para os profissionais, desde
os anos 1930. O plano mais popular foi desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos e foi
formalizado nos padrões MIL-STD 105E, 2859-1 e ANSI Z1.4. É denominado inspeção AQL.
INSPEÇÃO AQL
javascript:void(0)
AQL significa limite de qualidade aceitável e é definido como o nível de qualidade que é o pior tolerável.
Representa o número máximo de unidades com defeito, além doqual um lote é rejeitado.
Os importadores geralmente definem AQLs diferentes para defeitos críticos, principais e secundários. A maioria dos
exportadores asiáticos está familiarizada com esse tipo de ambiente.
 EXEMPLO
AQL de 1,5% significa que o comprador não aceita mais do que 1,5% de itens com defeito em toda a quantidade do
pedido, em média, ao longo de várias ordens de produção com aquele fornecedor.
Na prática, três tipos de defeitos são frequentemente distinguidos para a maioria dos bens de consumo. Os limites
são:
0% PARA DEFEITOS CRÍTICOS
Totalmente inaceitável pois o usuário pode ser prejudicado, ou quando os regulamentos não são respeitados.
2,5% PARA DEFEITOS MAIORES
Esses produtos geralmente não seriam considerados aceitáveis pelo usuário final.
4,0% PARA PEQUENOS DEFEITOS
Há alguns desvios das especificações, mas a maioria dos usuários não se importaria.
DEMONSTRAÇÃO
Uma organização de manufatura que deseja seguir as boas práticas certamente fará uma distinção entre três
estágios:
I. INSPEÇÃO DE ENTRADA
II. CONTROLE EM PROCESSO
III. INSPEÇÃO FINAL
INSPEÇÃO DE ENTRADA
Precisará de uma maneira econômica de verificar vários lotes. Uma inspeção AQL será uma boa estratégia.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
CONTROLE EM PROCESSO
A abordagem aqui geralmente é uma combinação de controles de processo e de controles de produto.
INSPEÇÃO FINAL
Você ainda quer um filtro, a fim de parar os lotes que ainda apresentam defeitos. A abordagem certa depende da sua
situação:
Se você trabalha com bens de consumo em geral, definir limites de AQL um pouco mais rígidos do que o que
seu cliente selecionaria costuma ser uma solução suficientemente adequada.
Se você não pode enviar nenhuma mercadoria com defeito, uma aceitação no plano zero faz mais sentido.
Agora, vamos dar uma olhada em cada tipo de plano descrito anteriormente, um por um. Se a empresa importar lotes
de produtos e esses lotes forem feitos de maneira contínua ou semicontínua, sem alterações no processo ou nos
componentes, isso faz sentido. Os estatísticos nos deram muitas variações desse plano. Vejamos dois deles:
Imagem: Shutterstock.com.
QUANTAS VEZES AS AMOSTRAS SÃO COLHIDAS?
Supondo que, em mais de 90% dos casos, uma abordagem de “estágio único” é seguida, isso significa que um
número (n) de peças é separado e tem suas peças inspecionadas. Esse número n depende do tamanho do lote
e do nível de inspeção. Se o número de defeitos estiver abaixo do limite AQL, o resultado é aprovado.
Um plano de amostragem de duplo estágio é um pouco mais eficiente. O inspetor começaria pegando menos
peças da amostra (n1). Se a descoberta não for clara, ou seja, nem muito boa nem muito ruim, mais amostras
deverão ser coletadas.
Existem também planos múltiplos e sequenciais. São mais complexos e exigem mais acompanhamento
administrativo, mas são ainda mais eficientes.
TODOS OS LOTES SÃO VERIFICADOS?
Mais uma vez, supõe-se que em mais de 90% dos casos o comprador decide verificar cada lote. Quando um
lote não é verificado, essa decisão não é derivada de regras estatísticas.
Um plano de ignorar lote, por outro lado, permite que o comprador inspecione apenas uma fração dos lotes, com
base no desempenho anterior. A maneira de decidir quando pode ser aplicada, e qual deve ser a fração, é
semelhante àquela que veremos mais à frente.
O plano de amostragem contínua faz sentido quando as seguintes condições são atendidas:
A inspeção é rápida e os resultados são conhecidos rapidamente.
Nenhum teste destrutivo está envolvido.
A qualidade do produto é conhecida por ser relativamente estável.
Os produtos são idênticos (mesmos materiais passando pelo mesmo processo sob as mesmas
especificações) e podem ser feitos em fluxo contínuo ou em lotes.
Consiste em várias fases:

I.
No início, cada peça é verificada (isso é “verificação 100%” ou “triagem”).
II
Depois que certo número de peças foi considerado satisfatório, apenas algumas peças são verificadas aleatoriamente
(essa é a “amostragem”).


III
Se a triagem durar muito tempo (significando que unidades defeituosas são frequentemente encontradas), a
prioridade é melhorar o processo e/ou configurar o teste na fonte para detectar problemas imediatamente.
 VOCÊ SABIA?
Implementar um plano de amostragem de “Aceitação em zero”: alguns importadores, que são sensíveis a litígios
legais de seus clientes ou que possuem padrões de alta qualidade, aceitam lotes somente se nenhuma unidade com
defeito for encontrada. Isso é comum em indústrias, como automotiva ou farmacêutica.
Em alguns casos, o próprio produtor adota esse tipo de abordagem para seu controle de qualidade de saída. Uma
grande vantagem é que menos amostras precisam ser verificadas. A princípio, só faz sentido se o processo tiver um
índice de capacidade (Cp) de pelo menos 1,67. Em termos simples, as principais características do produto são
medidas e se enquadram nas especificações na grande maioria dos casos.
Alguns outros tipos de planos de amostragem:
Se um plano for “por variáveis”, ele permite uma avaliação mais precisa. Por exemplo, o comprimento do produto é
medido e as descobertas exatas são levadas em consideração quando uma decisão é tomada.
Uma “retificação” é aplicável se os defeitos encontrados puderem ser corrigidos imediatamente. Leva em
consideração o fato de que o lote é de qualidade superior após a inspeção e, em caso de falha na inspeção, todo o
lote deve ser inspecionado.
Vamos ver agora como calcular o tamanho da amostra. Precisaremos definir:
n: é o tamanho necessário da amostra;
N: é toda a população-alvo em questão, ou seja, o tamanho do lote;
p: é a proporção média de registros que se espera que atendam aos vários critérios e (1-p) é a proporção
média de registros que se espera que não atendam aos critérios;
A: é a margem de erro considerada aceitável (calculada como uma proporção). Por exemplo, para 5% de
erro em qualquer direção, A = 0,05;
c: valor de uma constante.
Para ter 95% de certeza do resultado, a constante c = 1,96
Para ter 90% de certeza do resultado, a constante c = 1,645
Para ter 80% de certeza do resultado, a constante c = 1,28
A fórmula para o cálculo de n é:
N =
C2NP 1 - P
A2N + C2P 1 - P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja o exemplo:
N = 400
p = 70%
A = 0,05
c = 1,96 (95% de certeza do resultado)
Utilizando a fórmula, temos:
N =
1,962 × 400 × 0,7 1 - 0,7
0,052 × 400 + 1,962 × 0,7 × 1 - 0,7
= 102,77 = 103
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que há uma sensibilidade quando alteramos o valor de “c”:
Amostra
( )
( )
( )
( )
c = 95% 1,96 102,7666
c = 90% 1,645 78,33823
c = 80% 1,28 51,40276
Elaborada por Mauro Rezende Filho
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Agora vamos testar uma amostra de grãos de soja. Três valores são necessários para definir um plano de amostra
múltipla. Temos, então, como dados:
Número de grãos coletados = 100
Proporção média de registros = 90%
Margem de erro = 10%
Constante c para 90% = 1,645
Número máximo de positivos = 19
N =
1,6452 × 100 × 0,9 1 - 0,9
0,12 × 100 + 1,6452 × 0,9 × 1 - 0,9
= 19,58 = 20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos supor que o cliente aceite um AQL = 2. Ou seja, o cliente está exigindo agora uma não conformidade máxima
de 98% (100 – 2/100). Temos, então:
N =
1,6452 × 100 × 0,98 1 - 0,98
0,12 × 100 + 1,6452 × 0,98 × 1 - 0,98
= 85,89 = 86
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( )
( )
Estamos, então, muito próximos da amostragem 100%.
QUALIDADE MÉDIA DE SAÍDA (AOQ)
Um procedimento comum, quando a amostragem e o teste não são destrutivos, é inspecionar 100% dos lotes
rejeitados e substituir todos os defeituosos por boas unidades. Nesse caso, todos lotes rejeitados são tornados
perfeitos e osúnicos defeitos que restam são aqueles em lotes que foram aceitos. Se todos os lotes vierem com um
nível de defeito de exatamente p, e a curva OC para o escolhido (n, c) indica uma probabilidade Pa, de aceitação a
longo prazo, o AOQ pode facilmente ser mostrado como:
AOQ =
PA P ( N - N )
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde Pa - probabilidade acumulada, usualmente calculada nas distribuições discretas, como a Binomial.
Vamos pegar o primeiro exemplo e calcular o AOQ:
N = 400
p = 0,3
n = 103
c = 0
PA =
103 !
0 ! ( 103 - 0 ) ! 0,30(1 - 0,3)103 - 0 = 0,0305
AOQ =
0,0305 × 0,3 × ( 400 - 103 )
400 = 0,0078 = 0,78%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, plotar a curva para controle:
( )
Imagem: Shutterstock.com
Curva AOQ
Elaborada por Mauro Rezende Filho
LASP
Um plano de amostragem de aceitação de lote (LASP) é um esquema de amostragem e um conjunto de regras para a
tomada de decisões.
A decisão, baseada na contagem do número de defeituosos em uma amostra, pode aceitar o lote, rejeitar o lote, ou
ainda, para esquemas de amostragem múltiplo ou sequencial, tomar outra amostra e, em seguida, repetir o processo
de decisão.
Os LASPs se enquadram nas seguintes categorias:
PLANOS DE AMOSTRAGEM INDIVIDUAIS
Uma amostra de itens é selecionada aleatoriamente de um lote e a disposição do lote é determinada a partir da
informação resultante. Esses planos são geralmente denotados como (n, c) planos para uma amostra tamanho n, em
que o lote é rejeitado se houver mais de c defeituosos. Esses são os mais comuns (e mais fáceis) de planejar o uso,
embora não seja o mais eficiente em termos de número médio de amostras necessárias.
PLANOS DE AMOSTRAGEM DUPLA
Após a primeira amostra ser testada, existem três possibilidades:
Aceitar o lote.
Rejeitar o lote.
Sem decisão.
Se o resultado for (3) e uma segunda amostra for retirada, o procedimento é combinar os resultados de ambas as
amostras e tomar uma decisão final com base nessas informações.
PLANOS DE AMOSTRAGEM MÚLTIPLAS
Essa é uma extensão dos planos de amostragem dupla, em que mais de duas amostras são necessárias para se
chegar a uma conclusão. A vantagem de amostragens múltiplas é que os tamanhos de amostra são menores.
PLANOS DE AMOSTRAGEM SEQUENCIAL
Esse é o máximo de extensão de amostragem múltipla, em que os itens são selecionados de um lote de cada vez e
após a inspeção de cada item uma decisão é tomada para aceitar ou rejeitar o lote ou selecionar outra unidade.
MÃO NA MASSA
1. UMA INDÚSTRIA MONTA LOTES DE 1.000 UNIDADES DE DETERMINADO PRODUTO.
PARA A SUA ACEITAÇÃO, RETIRA ALEATORIAMENTE 10 UNIDADES E REJEITA O LOTE SE
O NÚMERO DE NÃO CONFORMIDADE FOR SUPERIOR A 1 UNIDADE. HISTORICAMENTE,
NÃO SÃO ACEITOS 1% DAS AMOSTRAS. A PROBABILIDADE DE O LOTE SER ACEITO É
APROXIMADAMENTE IGUAL A:
A) 99%.
B) 99,9%.
C) 99,7%.
D) 99,5%.
E) 99,3%.
2. O NÚMERO ESPERADO DE UNIDADES INSPECIONADAS É DESIGNADO POR AVERAGE
TOTAL INSPECTION (ATI) E É UMA MEDIDA DE DESEMPENHO DO PLANO DE
AMOSTRAGEM SIMPLES COM RETIFICAÇÃO DA INSPEÇÃO, E IGUAL A ATI = NPA + N[1 −
PA]. UM CLIENTE COMPRA LOTES DE 500 UNIDADES DE DETERMINADO PRODUTO, QUE
HISTORICAMENTE TEM UMA NÃO CONFORMIDADE DE 1%. PARA ACEITAR O LOTE, ELE
RETIRA 10 UNIDADES E REJEITA SE MAIS DE UMA UNIDADE FOR NÃO CONFORME. O ATI
DESSE LOTE SERÁ APROXIMADAMENTE IGUAL A:
A) 9,95.
B) 2,45.
C) 10,45.
D) 12,45.
E) 12,95.
3. SEJAM P I
A E P II
A AS PROBABILIDADES DE ACEITAÇÃO DO LOTE NA PRIMEIRA E NA
SEGUNDA FASES DE UM PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES. PARA UM PLANO DE
AMOSTRAGEM DUPLA CARACTERIZADO POR N1 = 50, C1 = 1, N2 = 100 E C2 = 3, SABE-SE
QUE EM MÉDIA 5% DAS UNIDADES SÃO NÃO CONFORMES. PARA ESSE PLANO, A
PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO DO LOTE SERÁ DE APROXIMADAMENTE:
A) 53,72%.
B) 27,94%.
C) 25,78%.
D) 45,62%.
E) 48,36%.
4. QUALIDADE DE SAÍDA MÉDIA (QSM) MEDE A QUALIDADE NO LOTE RESULTANTE DA
APLICAÇÃO DA INSPEÇÃO DE RETIFICAÇÃO, SENDO DEFINIDA POR:
QMS =
PA ( N - N )
N P
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
SUPONHA QUE, PARA UM LOTE DE 100 UNIDADES, NÃO MAIS DE 2 UNIDADES SEJAM
NÃO CONFORMES, QUE OS LOTES QUE ENTRAM SEJAM DE QUALIDADE 90%, QUE O
INTERVALO DE CONFIANÇA SEJA DE 90% E QUE A MARGEM DE ERRO DESEJADA SEJA
DE 5%. QUAL SERÁ O VALOR APROXIMADO DE QMS?
A) 0,59%.
B) 3,12%.
C) 8,12%.
D) 4,78%.
E) 0,41%.
5. INSPEÇÃO TOTAL MÉDIA (ITM) MEDE O NÚMERO MÉDIO DE ITENS INSPECIONADOS,
DEVIDO AO USO DE UM PROGRAMA DE INSPEÇÃO POR RETIFICAÇÃO. É DADO PELA
SEGUINTE FÓRMULA:
ITM = N + 1 - PA N - N
[ ]
( )( )
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
SUPONHA QUE, PARA UM LOTE DE 100 UNIDADES, NÃO MAIS DE 2 UNIDADES SEJAM
NÃO CONFORMES, QUE OS LOTES QUE ENTRAM SEJAM DE QUALIDADE 90%, QUE O
INTERVALO DE CONFIANÇA SEJA DE 90% E QUE A MARGEM DE ERRO DESEJADA SEJA
DE 5%, COM QMS APROXIMADO DE 0,49%. O VALOR APROXIMADO DO ITM É:
A) 92
B) 100
C) 8,12%
D) 4,78%
E) 0,24%
6. EM UM LOTE DE 200 ITENS, 10 SÃO DEFEITUOSOS. A PROBABILIDADE DE UMA
AMOSTRA DE 20 UNIDADES CONTER 2 ITENS DEFEITUOSOS É:
A) 0,15.
B) 0,10.
C) 0,12.
D) 0,13.
E) 0,22.
GABARITO
1. Uma indústria monta lotes de 1.000 unidades de determinado produto. Para a sua aceitação, retira
aleatoriamente 10 unidades e rejeita o lote se o número de não conformidade for superior a 1 unidade.
Historicamente, não são aceitos 1% das amostras. A probabilidade de o lote ser aceito é aproximadamente
igual a:
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Temos as seguintes informações:
N = 1000
n = 10
c = 1
p = 1%
Utilizamos a distribuição binomial, pois temos uma amostragem por atributos:
PA = P(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
P(X = 0) =
10
0 P0 1 - P)10 - 0 =
10
0 0,010 1 - 0,01)10 - 0 = 0,904
P(X = 1) =
10
1 P1 1 - P)10 - 1 =
10
1 0,011 1 - 0,01)10 - 1 = 0,091
P(X = 1) = 0, 904 + 0, 091 = 0, 995 = 99, 5 %
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O número esperado de unidades inspecionadas é designado por Average Total Inspection (ATI) e é uma
medida de desempenho do plano de amostragem simples com retificação da inspeção, e igual a ATI = nPa +
N[1 − Pa]. Um cliente compra lotes de 500 unidades de determinado produto, que historicamente tem uma não
conformidade de 1%. Para aceitar o lote, ele retira 10 unidades e rejeita se mais de uma unidade for não
conforme. O ATI desse lote será aproximadamente igual a:
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Temos as seguintes informações:
N = 500
n = 10
c = 1
p = 1%
Utilizamos a distribuição binomial, pois temos uma amostragem por atributos:
PA = P(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
P X = 0 =
10
0 P0 1 - P)10 - 0 =
10
0 0,010 1 - 0,01)10 - 0 = 0,904
P X = 1 =
10
1
P1 1 - P)10 - 1 =
10
1
0,011 1 - 0,01)10 - 1 = 0,091
P(X = 1) = 0, 904 + 0, 091 = 0, 995 = 99, 5 %
ATI = 10x0, 995 + 500x(1 – 0, 995) = 12, 45
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Sejam P I
a e PII
a as probabilidades de aceitação do lote na primeira e na segunda fases de um plano de
amostragem simples. Para um plano de amostragem dupla caracterizado por n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100 e c2 = 3,
( ) ( ( ) (
( ) ( ( ) (
( ) ( ) ( ( ) (
( ) ( ) ( ( ) (
sabe-se que em média 5% das unidades são não conformes. Para esse plano, a probabilidade de aceitação do
lote será de aproximadamente:
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Temos as seguintes informações:
n1 = 50
n2 = 100
c1 = 1
c2 = 3
p = 5%
Utilizamos a distribuição binomial, pois temos uma amostragem por atributos:
P = P I
a + PII
a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para P I
a temos:
P X = 0 =
50
0 P0 1 - P)50 - 0 =
50
0 0,050 1 - 0,05)50 - 0 = 0,0769
P X = 1 =
50
1
P1 1 - P)50 - 1 =
50
1
0,051 1 - 0,05)50 - 1 = 0,2025
P I
a = 0, 0769 + 0, 2025 = 0, 2794
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Para PII
a temos:
P X = 0 =
100
0 P0 1 - P)100 - 0 =
100
0 0,050 1 - 0,05)100 - 0 = 0,0059
P X = 1 =
100
1
P1 1 - P)100 - 1 =
100
1
0,051 1 - 0,05)100 - 1 = 0,0312
P X = 2 =
100
2 P0 1 - P)100 - 2 =
100
2 0,052 1 - 0,05)100 - 3 = 0,0812
P X = 3 =
100
3 P1 1 - P)100 - 3 =
100
3 0,053 1 - 0,05)100 - 3 = 0,1396
PII
a = 0, 0059 + 0, 0312 + , 00812 + 0, 1396 = 0, 2578
Então, P = P I
a + PII
a = 0, 2794 + 0, 2578 = 0, 5372 = 53, 72%
( ) ( ) ( ( ) (
( ) ( ) ( ( ) (
( ) ( ) ( ( ) (
( ) ( ) ( ( ) (
( ) ( ) ( ( ) (
( ) ( ) ( ( ) (
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Qualidade de Saída Média (QSM) mede a qualidade no lote resultante da aplicação da inspeção de
retificação, sendo definida por:
QMS =
Pa ( N - n )
N p
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que, para um lote de 100 unidades, não mais de 2 unidades sejam não conformes, que os lotes que
entram sejam de qualidade 90%, que o intervalo de confiança seja de 90% e que a margem de erro desejada
seja de 5%. Qual será o valor aproximado de QMS?
A alternativa "E " está correta.
UMA APLICAÇÃO DE QSM
5. Inspeção Total Média (ITM) mede o número médio de itens inspecionados, devido ao uso de um programa
de inspeção por retificação. É dado pela seguinte fórmula:
ITM = n + 1 - Pa N - n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que, para um lote de 100 unidades, não mais de 2 unidades sejam não conformes, que os lotes que
entram sejam de qualidade 90%, que o intervalo de confiança seja de 90% e que a margem de erro desejada
seja de 5%, com QMS aproximado de 0,49%. O valor aproximado do ITM é:
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Com os dados calculados, temos:
ITM = n + 1 - Pa N - n = 30 + 1 – 0, 1183 100 – 30 = 90, 53 = 92
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que é menor que o tamanho do lote.
[ ]
( )( )
( )( ) ( ) ( )
6. Em um lote de 200 itens, 10 são defeituosos. A probabilidade de uma amostra de 20 unidades conter 2 itens
defeituosos é:
A alternativa "B " está correta.
Solução:
Usando a distribuição hipergeométrica para achar a probabilidade, temos:
P(n = 2) =
10
2
200 - 10
20 - 2
200
20
= 0 ,10 de defeitos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma indústria monta lotes de 10.000 unidades de determinado produto. Para a sua aceitação, retira aleatoriamente
150 unidades e rejeita o lote se o número de não conformidade for superior a 5 unidades. Amostras não conformes
acima de 3% significam a rejeição do lote. A probabilidade de o lote ser aceito é aproximadamente igual a:
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DE TAMANHO DO LOTE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( ) ( )
( )
1. NA ESCOLHA DO TAMANHO DA AMOSTRA, DEVEMOS TER EM MENTE A MAGNITUDE
DA MUDANÇA QUE QUEREMOS DETECTAR, PORTANTO:
I. AMOSTRAS PEQUENAS PERMITIRÃO DETECTAR GRANDES MUDANÇAS NO
PROCESSO.
II. QUANDO O CUSTO DE AMOSTRAGEM 100% É MUITO BAIXO, DEVEMOS DEFINIR O
TAMANHO DA AMOSTRA A SER TESTADA DE UM LOTE.
III. SE O TAMANHO DA SUA AMOSTRA É MUITO GRANDE, UMA BOA ESTRATÉGIA SERÁ
DIMINUIR LIGEIRAMENTE O SEU NÍVEL DE CONFIANÇA OU AUMENTAR A MARGEM DE
ERRO ACEITÁVEL.
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) I e III, apenas.
E) II e III, apenas.
2. UM PLANO DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO COMPARADO COM A INSPEÇÃO 100%
OFERECE AS SEGUINTES VANTAGENS:
I. USUALMENTE É MENOS DISPENDIOSA, POIS HÁ MENOS INSPEÇÃO.
II. HÁ RISCOS DE ACEITAÇÃO DE LOTES “RUINS” E REJEIÇÃO DE LOTES “BONS”.
III. MENOS PESSOAS SÃO ENVOLVIDAS NAS ATIVIDADES DE INSPEÇÃO.
IV. APLICA-SE A TESTES DESTRUTIVOS.
É(SÃO) ERRADA(S) A(S) AFIRMATIVA(S):
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I e III, apenas.
GABARITO
1. Na escolha do tamanho da amostra, devemos ter em mente a magnitude da mudança que queremos
detectar, portanto:
I. Amostras pequenas permitirão detectar grandes mudanças no processo.
II. Quando o custo de amostragem 100% é muito baixo, devemos definir o tamanho da amostra a ser testada
de um lote.
III. Se o tamanho da sua amostra é muito grande, uma boa estratégia será diminuir ligeiramente o seu nível de
confiança ou aumentar a margem de erro aceitável.
Está correto o que se afirma em
A alternativa "C " está correta.
A alternativa I está errada, pois somente com amostras grandes poderemos notar a variabilidade do processo com
certeza estatística; a alternativa II está errada, pois faremos isso se o custo de amostragem 100% for alto; a a
alternativa III está correta, pois se diminuirmos um pouco o nível de confiança e/ou aumentarmos a margem de erro, o
tamanho da amostra diminuirá.
2. Um plano de amostragem de aceitação comparado com a inspeção 100% oferece as seguintes vantagens:
I. Usualmente é menos dispendiosa, pois há menos inspeção.
II. Há riscos de aceitação de lotes “ruins” e rejeição de lotes “bons”.
III. Menos pessoas são envolvidas nas atividades de inspeção.
IV. Aplica-se a testes destrutivos.
É(São) errada(s) a(s) afirmativa(s):
A alternativa "B " está correta.
A alternativa II está errada, pois o que afirma é uma desvantagem.
MÓDULO 3
 Aplicar planos de amostragem
RECONHECER, APLICAR E ANALISAR PLANOS DE
AMOSTRAGEM
INTRODUÇÃO AOS PLANOS AMOSTRAIS
A amostragem de aceitação está relacionada à inspeção e ao controle da fabricação em relação aos produtos, um
dos aspectos mais antigos da garantia da qualidade.
Nas décadas de 1930 e 1940, a amostragem de aceitação era um dos principais componentes do campo da
qualidade e era usado principalmente para inspeção de recebimento.
Posteriormente, tornou-se comum trabalhar com fornecedores para melhorar o desempenho de seus processos por
meio do uso de controle estatístico do processo e de experimentos projetados, e não depender tanto da amostragem
de aceitação como uma ferramenta de garantia de qualidade primária.
 EXEMPLO
Imagine a seguinte situação: você é o responsável pelo desenvolvimento de novos fornecedores e materiais. Acabou
de fechar uma parceria com um novo fornecedor que vai produzir um componente importante. Ambos estimam que a
porcentagem de não conformes não será superior a 5% e que cada lote terá 100 unidades. Estará hoje recebendo o
primeiro lote e deverá ter uma estratégia de aceitação. Você pensou nas seguintes alternativas:
conferir 100% do lote e solicitar reposição dos não conformes;
conferir 5% do lote e tomar uma decisão se esse número está adequado;
separar uma amostra e rejeitar o lote se estiver acima dos 5%;
separar uma amostra e se esse tiver inconformidades acima dos 5%, separar outra amostra, e se este novo lote
tiver inconformidades acima dos 5% rejeitar o lote;
não fazer nada e aceitar o lote.
Como você pôde verificar, existem várias opções do que chamamos de Plano de Amostragem.
Vamos estudar a partir de agora os mais utilizados; entretanto, na literatura, você encontrará uma grande variedade
de abordagens para a aceitação de um lote de produtos.
PLANOS DE AMOSTRAGEM
A maneira como o lote é formado pode influenciar a eficácia do plano de amostragem de aceitação. Há uma série de
considerações importantes na formação de lotes para inspeção. Algumas dessas são:
1. Os lotes devem ser homogêneos. As unidades do lote devem ser produzidas pelas mesmas máquinas, pelos
mesmos operadores e vir de matérias-primas comuns, aproximadamente no mesmo tempo.
2. Quando os lotes não são homogêneos, como quando as saídas de duas diferentes linhas de produção são
misturadas, o esquema de amostragem de aceitação pode não funcionar de maneira tão eficaz como poderia.
3. Lotes não homogêneos também torna mais difícil tomar medidas corretivas para eliminar a origem dos produtos
defeituosos.
4. Lotes maiores são preferidos em detrimento dos menores. Geralmente,é mais eficiente, economicamente falando,
inspecionar lotes grandes do que pequenos.
5. Os lotes devem ser adequados aos sistemas de manuseio de materiais usados tanto para os fornecedores como
para os consumidores. Além disso, os itens dos lotes devem ser embalados de modo a minimizar os riscos de
transporte e manuseio, e para fazer a seleção das unidades na amostra relativamente fácil.
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA
As unidades selecionadas do lote para inspeção devem ser escolhidas aleatoriamente, e devem ser representativas
de todos os itens do lote. O conceito de amostragem aleatória é extremamente importante na amostragem de
aceitação. A menos que sejam usadas amostras aleatórias, um viés será introduzido.
 EXEMPLO
O fornecedor pode garantir que as unidades embaladas no topo do lote sejam de qualidade extremamente boa,
sabendo que o inspetor selecionará a amostra da camada superior. Essa não deve ser uma prática comum, mas se
ocorrer e os métodos de amostragem não aleatória são usados, a eficácia do processo de inspeção é prejudicada.
A técnica frequentemente sugerida para se obter uma amostra aleatória é primeiro atribuir um número a cada item do
lote. Em seguida, n números aleatórios são sorteados, e o intervalo desses números é de 1 ao número máximo de
unidades do lote. Essa sequência de números aleatórios determina quais unidades do lote constituirão a amostra.
Se os produtos tiverem código de barras ou outro código de números, esses podem ser usados para evitar o
processo de realmente atribuir números a cada unidade. Outra possibilidade seria usar um número aleatório de três
dígitos para representar comprimento, largura e profundidade em um contêiner.
PLANOS DE AMOSTRAGEM ÚNICO PARA ATRIBUTOS
Suponha que um lote de tamanho N tenha sido enviado para inspeção. Um plano de amostragem única é definido
pelo tamanho da amostra n e o número de aceitação c. Assim, se o tamanho do lote for N = 10.000, então, o plano de
amostragem:
N = 89
C = 2
Isso significa que, de um lote de tamanho 10.000, uma amostra aleatória de n = 89 unidades é inspecionada e o
número de itens não conformes ou defeituosos d são observados. Se o número de defeituosos observados d for
menor ou igual a c = 2, o lote será aceito. Se o número de defeituosos observados d for maior que 2, o lote será
rejeitado.
 ATENÇÃO
Uma vez que a característica de qualidade inspecionada é um atributo, cada unidade na amostra é considerada
conforme ou não conforme. Um ou vários atributos podem ser inspecionados na mesma amostra. Geralmente, uma
unidade que não está em conformidade com as especificações de um ou mais atributos é considerada uma unidade
com defeito. Esse procedimento é chamado de plano de amostragem única porque o lote é condenado com base nas
informações contidas em uma amostra de tamanho n.
Uma medida importante do desempenho de um plano de amostragem de aceitação é a curva da característica
operacional (OC), que representa a probabilidade de aceitar o lote versus a fração defeituosa. Assim, a curva OC
exibe o poder discriminatório do plano amostral. Ou seja, mostra a probabilidade de um lote com determinada fração
defeituosa ser aceito ou rejeitado. A curva OC do plano de amostragem n = 89, c = 2 é mostrada a seguir.
Imagem: Mauro Rezende Filho
É fácil demonstrar como os pontos dessa curva são obtidos. Suponha que o tamanho do lote N é grande
(teoricamente infinito). Sob essa condição, a distribuição do número de defeituosos d em uma amostra aleatória de n
itens é binomial com os parâmetros n e p, em que p é a fração de itens com defeito no lote. Uma forma equivalente de
conceituar isso é desenhar muitos N itens aleatoriamente de um processo teoricamente infinito e, em seguida,
desenhar aleatoriamente amostras de n desses lotes. Amostrar do lote desta maneira é o equivalente a amostrar
diretamente do processo. A probabilidade de observar exatamente d defeituosos é:
P(D DEFEITOS) = F(D) =
N !
D ! ( N - D ) ! PD(1 - P) ( N - D )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A probabilidade de aceitação é simplesmente a probabilidade de que d seja menor ou igual a c, ou:
P(D ≤ C) = PA = ∑ C
D = 0
N !
D ! ( N - D ) ! PD(1 - P) ( N - D )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, se a fração do lote com defeito é p = 0,01, n = 89 e c = 2, então:
P(D ≤ 2) = PA = ∑ 2
D = 0
89 !
2 ! ( 89 - D ) ! 0,01D(1 - 0,01) ( 89 - D )
P(D ≤ 2) = PA =
89 !
0 ! ( 89 - 0 ) ! 0,010(1 - 0,01) ( 89 - 0 )
⏟
ZERO DEFEITO
+
89 !
1 ! ( 89 - 1 ) ! 0,011(1 - 0,01) ( 89 - 1 )
⏟
1 DEFEITO
+
89 !
2 ! ( 89 - 2 ) ! 0,012(1 - 0,01) ( 89 - 2 ) = 0,9397
⏟
2 DEFEITOS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INSPEÇÃO RETIFICADORA
Os programas de amostragem de aceitação requerem ação corretiva quando os lotes são rejeitados. Ela geralmente
assume a forma de inspeção 100% ou triagem de lotes rejeitados, com todos descobertos itens defeituosos
removidos para retrabalho subsequente ou devolução ao fornecedor ou substituídos de um estoque de itens em boas
condições. Esses programas de amostragem são chamados de programas de inspeção de retificação, porque a
atividade de inspeção afeta a qualidade final do produto que sai, ilustrado na figura a seguir.
Imagem: Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control, p. 643 adaptada por Roseane Bahiense
Suponha que os lotes de entrada para a atividade de inspeção tenham fração defeituosa p0. Alguns desses lotes
serão aceitos e outros serão rejeitados. Os lotes rejeitados serão selecionados e sua fração final com defeito será
zero. Contudo, lotes aceitos têm fração p0 defeituosa. Consequentemente, os lotes de saída da atividade de inspeção
são uma mistura de lotes com fração defeituosa p0 e fração defeituosa zero, então, a média da fração defeituosa no
fluxo de lotes de saída é p1, que é menor que p0. Assim, um programa de inspeção retificador serve para
“corrigir” a qualidade do lote.
Programas de inspeção retificador são usados em situações nas quais o fabricante deseja saber o nível médio de
qualidade que provavelmente resultará em determinado estágio da fabricação e das operações. Assim, programas de
inspeção de retificação são usados tanto na inspeção de recebimento quanto no processo inspeção de produtos
semiacabados ou na inspeção final de produtos acabados. O objetivo do uso na planta é dar garantia sobre a
qualidade média do material usado na próxima fase das operações de fabricação.
A qualidade média de saída é amplamente utilizada para a avaliação de uma amostra de um plano retificador. A
qualidade média de saída é a qualidade do lote que resulta da aplicação de inspeção retificadora. É o valor
médio da qualidade do lote que seria obtido ao longo de uma sequência de lotes de um processo com fração
defeituosa p. É simples desenvolver uma fórmula para qualidade média de saída (AOQ). Suponha que o tamanho do
lote seja N e que todos os defeituosos descobertos são substituídos por unidades boas. Então, em lotes de tamanho
N, temos:
1. n itens na amostra que, após inspeção, não contêm defeitos, porque todos os produtos defeituosos são
substituídos.
2. N - n itens que, se o lote for rejeitado, também não contêm defeitos.
3. N - n itens que, se o lote for aceito, contêm p(N - n) defeituosos.
Assim, os lotes na fase de saída da inspeção possuem um número esperado de unidades defeituosas igual a
Pap N - n , que podemos expressar como uma fração média defeituosa, chamada de média qualidade de saída ou:
AOQ =
PAP N - N
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para ilustrar, suponha que N = 10.000, n = 89 e c = 2, e que os lotes de entrada são de qualidade p = 0,01. Agora, em
p = 0,01, temos Pa = 0,9397, e o AOQ é:
( )
( )
AOQ =
PAP ( N - N ) =
N
0,9397 × 0,01 ( 10000 - 89 )
10000 = 0,0093
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
 DICA
A qualidade média de saída é 0,93% produtos com defeito. Outra medida importante em relação à inspeção de
retificação é a quantidade total de inspeção exigida pelo programa de amostragem. Se os lotes não contêm itens com
defeito, não há lotes rejeitados, e a quantidade de inspeção por lote será o tamanho da amostra n. Se os itens são
todos defeituosos, todos os lotes serão submetidos à inspeção de 100%, e a quantidade de inspeção por lote será o
tamanho do lote N. Se a qualidade do lote for 0 < p < 1, a quantidade média de inspeção por lote irá variar entre o
tamanho da amostra n e o tamanho do lote N.
Se o lote for de qualidade p e a probabilidade de aceitação do lote é Pa, então, a inspeção total média por lote será:
ATI = N + 1 − PA N − N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para ilustrar, considere nosso exemplo anterior com N = 10.000, n = 89, c = 2 e p = 0,01. Então, como Pa = 0,9397,
temos:
ATI = N + 1 − PA N − N = 89 + 1 – 0, 9397 10000 – 89 = 687
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PLANO DE AMOSTRAGEM DUPLO
Um plano de amostragem duplo consiste em um tamanho de amostra total e inicial com número (s) de aceitação e
rejeição associados. A inspeção da primeira amostra leva a uma decisão de aceitar, rejeitar ou tomar uma segunda
amostra; e o exame de uma segunda amostra, quando necessário, sempre leva a uma decisão de aceitar ou rejeitar.
Por exemplo, se na amostragem dupla os resultados da primeira amostra não forem conclusivos quanto à aceitação
ou à rejeição, uma segunda amostra é retirada.
( )( )
( )( ) ( )( )
Imagem: Shutterstock.com.
A aplicação de amostragem dupla requer que uma primeira amostra de tamanho n1 seja retirada aleatoriamente do
lote (grande). O número de defeituosos é, então, contado e comparado com o número de aceitação a1 da primeira
amostra e o número de rejeição r1. Chamando o número de defeituosos na amostra 1 por d1 e na amostra 2 por d2,
então:
Se d1 ≤ a1, o lote é aceito.

Se d1 ≥ r1, o lote é rejeitado.

a1 < d1 < r1
Se uma segunda amostra de tamanho n2 for obtida, o número de defeituosos, d2, será contado. O número total de
defeituosos é D2 = d1 + d2. Agora, isso é comparado com o número de aceitação a2 e o número de rejeição r2 da
amostra 2. Na amostragem dupla, r2 = a2 + 1 para garantir uma decisão sobre a amostra.
Se D2 ≤ a2, o lote é aceito.

Se D2 ≥ r2, o lote é rejeitado.
Existe uma variedade de tabelas que auxiliam o usuário na construção de planos de amostragem duplos e múltiplos.
O índice dessas tabelas é a razão p2/p1, em que p2>p1.
Tabelas para n1=n2
R = p2/p1
números aceitos Aproximação de pn1 Valores para
c1 c2 P=0,95 P=0,10
11,9 0 1 0,21 2,50
7,54 1 2 0,52 3,92
6,79 0 2 0,43 2,96
5,39 1 3 0,76 4,11
4,65 2 4 1,16 5,39
4,25 1 4 1,04 4,42
3,88 2 5 1,43 5,55
3,63 3 6 1,87 6,78
3,38 2 6 1,72 5,82
3,21 3 7 2,15 6,91
3,09 4 8 2,62 8,10
2,85 4 9 2,90 8,26
2,6 5 11 3,68 9,56
2,44 5 12 4,00 9,77
2,32 5 13 4,35 10,08
2,22 5 14 4,70 10,45
2,12 5 16 5,39 11,41
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Tabelas para n1=2n2
R = p2/p1
números aceitos Aproximação de pn1 Valores para
c1 c2 P=0,95 P=0,10
14.50 0 1 0.16 2.32
8.07 0 2 0.30 2.42
6.48 1 3 0.60 3.89
5.39 0 3 0.49 2.64
5.09 0 4 0.77 3.92
4.31 1 4 0.68 2.93
4.19 0 5 0.96 4.02
3.60 1 6 1.16 4.17
3.26 1 8 1.68 5.47
2.96 2 10 2.27 6.72
2.77 3 11 2.46 6.82
2.62 4 13 3.07 8.05
2.46 4 14 3.29 8.11
2.21 3 15 3.41 7.55
1.97 4 20 4.75 9.35
1.74 6 30 7.45 12.96
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Tabela 5
Extraída de Army Chemical Corps Engineering Agency
Exemplo: queremos construir um plano de amostragem duplo de acordo com:
P1 = 0, 01 P2 = 0, 05 Β = 0, 10 N1 = N2
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Os planos na tabela correspondente serão indexados na proporção:
R = P2 /P1 = 5
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Procuramos a linha cujo R está próximo de 5. Essa é a 5ª linha (R = 4,65). Isso dá c1 = 2 e c2 = 4. O valor de n1 é
determinado a partir de qualquer uma das duas colunas rotuladas como pn1. A da esquerda mantém α constante em
0,05 (P = 0,95 = 1 − α) e a da direita mantém β constante em 0,10 (P = 0,10). Então, mantendo α constante,
encontramos pn1 = 1,16, então, n1 = 1,16 / p1 = 116. E, mantendo β constante, encontramos pn1 = 5,39, então, n1 =
5,39 / p2 = 108. Assim, o plano de amostragem desejado é:
N1 = 108 C1 = 2 N2 = 108 C2 = 4
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Se optarmos por n2 = 2n1, e seguirmos o mesmo procedimento usando a tabela apropriada, o plano é:
N1 = 77 C1 = 1 N2 = 154 C2 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro plano precisa de menos amostras se o número de defeituosos na amostra 1 for maior que 2, enquanto o
segundo plano precisa de menos amostras se o número de defeituosos na amostra 1 for menor que 2.
AMOSTRAGEM SEQUENCIAL
A amostragem sequencial é diferente da amostragem única, dupla ou múltipla. Aqui, obtém-se uma sequência de
amostras de um lote. O número total de amostras examinadas é uma função dos resultados do processo de
amostragem.
A sequência pode ser uma amostra de cada vez e, então, o processo de amostragem é geralmente chamado de
amostragem sequencial item a item. Também é possível selecionar tamanhos de amostra maiores que um, caso em
que o processo é denominado amostragem sequencial de grupo. Item por item é mais popular, por isso nos
concentramos nele.
Imagem: Army Chemical Corps Engineering Agency
O número cumulativo observado de defeituosos é traçado no gráfico. Para cada ponto, o eixo x é o número total de
itens selecionados até o momento, e o eixo y é o número total de defeituosos observados. Se o ponto traçado cair
dentro das linhas paralelas, o processo continua selecionando outra amostra.
Assim que um ponto cai acima da linha superior, o lote é rejeitado. E quando um ponto cai na linha inferior ou abaixo
dela, o lote é aceito. O processo pode, teoricamente, durar até que o lote seja 100% inspecionado. No entanto, como
regra prática, os planos de amostragem sequencial são truncados depois que o número inspecionado atinge três
vezes o número que teria sido inspecionado usando um plano de amostragem único correspondente.
As equações para as duas linhas limites são funções dos parâmetros p1, α, p2 e β.
XA = - H1 + SN (RETA DE ACEITAÇÃO)
XR = H2 + SN (RETA DE REJEIÇÃO)
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Em que:
K = LOG
P2 1 - P1
P1 1 - P2
[ ( )
( ) ]
H1 =
1
K LOG
1 - Α
Β
H2 =
1
K LOG
1 - Β
Α
S =
1
K LOG
1 - P1
1 - P2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como exemplo, seja p1 = 0,01, p2 = 0,10, α = 0,05 e β = 0,10. As equações resultantes serão:
K = LOG
0,1 ( 1 - 0,01 )
0,01 ( 1 - 0,1 ) = 1,0414
H1 =
1
1,0414 LOG
1 - 0,05
0,1 = - 0,9389
H2 =
1
1,0414 LOG
1 - 0,1
0,05 = 1,2451
[ ( )]
[ ( )]
[ ( )]
[ ]
[ ( )]
[ ( )]
S =
1
1,0414 LOG
1 - 0,01
1 - 0,1 = 0,0397
XA = - 0, 939 + 0, 0397N
XR = 1, 2451 + 0, 0397N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os números de aceitação e rejeição devem ser inteiros. O número de aceitação é o próximo inteiro menor ou igual a
Xa e o número de rejeição é o próximo inteiro maior ou igual a Xr. Assim, para n = 1, o número de aceitação é -1, o
que é impossível, e o número de rejeição é 2, o que também é impossível. Para n = 24, o número de aceitação é 0 e
o número de rejeição é 3. Os resultados para n = 1,2,3,…, 26 são tabulados a seguir:
n n n n n n
inspeção aceito rejeitado inspeção aceito rejeitado
1 xx 14 x 2
2 x 2 15 x 2
3 x 2 16 x 2
4 x 2 17 x 2
5 x 2 18 x 2
6 x 2 19 x 2
[ ( )]
7 x 2 20 x 3
8 x 2 21 x 3
9 x 2 22 x 3
10 x 2 23 x 3
11 x 2 24 0 3
12 x 2 25 0 3
13 x 2 26 0 3
Tabela 6
Elaborada por Mauro Rezende Filho
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Portanto, para n = 24 o número de aceitação é 0 e o número de rejeição é 3. O “x” significa que a aceitação ou
rejeição não é possível.
MÃO NA MASSA
1. EM UM PLANO DE AMOSTRAGEM SEQUENCIAL TEMOS OS SEGUINTES DADOS: P1 =
0,01, Α = 0,05, P2 = 0,06 E Β = 0,10. AS RETAS DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO SERÃO IGUAIS
A:
A) xa = - 1, 22 + 0, 028n e xr = 1, 57 + 0, 028n
B) xa = 1, 22 + 0, 028n e xr = 1, 57 + 0, 028n
C) xa = - 1, 52 + 0, 068n e xr = 1, 77 + 0, 068n
D) xa = 1, 52 + 0, 068n e xr = 1, 77 + 0, 068n
E) xa = 1, 22 + 0, 028n e xr = - 1, 57 + 0, 028n
2. SUPONHA QUE UM FORNECEDOR ENVIE COMPONENTES EM LOTES DE TAMANHO
5.000. UM PLANO DE AMOSTRAGEM ÚNICA COM N = 50 E C = 2 ESTÁ SENDO USADO
PARA RECEBER INSPEÇÃO. PRODUTOS REJEITADOS DOS LOTES SÃO SELECIONADOS
E TODOS OS ITENS DEFEITUOSOS SÃO RETRABALHADOS E DEVOLVIDOS AO LOTE.
QUAL SERÁ O NÍVEL DE QUALIDADE DO LOTE QUE SERÁ REJEITADO 90% DO TEMPO?
A) 0,0984.
B) 0,0879.
C) 0,0516.
D) 0,0743.
E) 0,0683.
3. SUPONHA QUE UM PLANO DE AMOSTRAGEM ÚNICA COM N = 150 E C = 2 ESTÁ SENDO
USADO PARA RECEBER INSPEÇÃO EM QUE O FORNECEDOR ENVIA O PRODUTO EM
LOTES DE TAMANHO N = 3.000. SABENDO QUE HISTORICAMENTE 5% DAS PEÇAS SÃO
ENTREGUES COMO NÃO CONFORMES, A PORCENTAGEM DE PEÇAS DEFEITUOSAS
SERÁ:
A) 2,48%.
B) 1,79%.
C) 0,41%.
D) 0,05%.
E) 1,82%.
4. UM FABRICANTE DE ELETRÔNICOS COMPRA DISPOSITIVOS DE MEMÓRIA EM LOTES
DE 30.000 DE UM FORNECEDOR. O FORNECEDOR TEM UM LONGO REGISTRO DE
DESEMPENHO DE BOA QUALIDADE, COM UMA MÉDIA FRAÇÃO DEFEITUOSA DE
APROXIMADAMENTE 0,10%. A QUALIDADE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
SUGERIU O USO DE UM CONVENCIONAL PLANO DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO COM
N = 32, C = 0. QUAL É A PROBABILIDADE DE REJEIÇÃO DO LOTE?
A) 99,58%.
B) 96,85%.
C) 98,65%.
D) 97,38%.
E) 98,12%.
5. EM UM PLANO DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO DESENVOLVIDO PARA LOTES
CONTENDO 1.000 UNIDADES, O TAMANHO DA AMOSTRA N É 85 E C É 3. A
PORCENTAGEM DE DEFEITOS DOS LOTES RECEBIDOS É DE 2%, E A PROBABILIDADE DE
ACEITAÇÃO, QUE FOI OBTIDA A PARTIR DE UMA CURVA OC, É 0,64. QUAL É A
QUALIDADE MÉDIA DE SAÍDA?
A) 2%.
B) 64%.
C) 3,4%.
D) 1,2%.
E) 5,8%.
6. UMA EMPRESA PRODUZ LATAS PARA ACONDICIONAR ÓLEO. OS LOTES DE
PRODUÇÃO TÊM 200 LATAS, SENDO QUE POR PROBLEMAS DE IDADE DO EQUIPAMENTO
10 LATAS SÃO EM MÉDIA PRODUZIDAS EM NÃO CONFORMIDADE COM OS REQUISITOS
SOLICITADOS. SE 20 LATAS FOREM SELECIONADAS ALEATORIAMENTE DO LOTE SEM
SUBSTITUIÇÃO, ENTÃO, A PROBABILIDADE DE ENCONTRAR UMA OU MENOS LATAS
NÃO CONFORMES NA AMOSTRA É:
A) 25,48%.
B) 92,31%.
C) 86,04%.
D) 12,48%.
E) 50,00%.
GABARITO
1. Em um plano de amostragem sequencial temos os seguintes dados: p1 = 0,01, α = 0,05, p2 = 0,06 e β = 0,10.
As retas de aceitação e rejeição serão iguais a:
A alternativa "A " está correta.
EXEMPLO DE PLANO DE AMOSTRAGEM SEQUENCIAL
2. Suponha que um fornecedor envie componentes em lotes de tamanho 5.000. Um plano de amostragem
única com n = 50 e c = 2 está sendo usado para receber inspeção. Produtos rejeitados dos lotes são
selecionados e todos os itens defeituosos são retrabalhados e devolvidos ao lote. Qual será o nível de
qualidade do lote que será rejeitado 90% do tempo?
A alternativa "B " está correta.
Solução:
Temos então, N = 5000, n = 50, c = 2 e p = 0,1. Vamos calcular a probabilidade de aceitação:
P(d < c) = Pa = ∑ c
d = 0
n !
d ! ( n - d ) ! pd(1 - p) ( n - d )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, se a fração do lote com defeito é p = 0,01, n = 89 e c = 2, então:
P(d ≤ 2) = Pa = ∑ 2
d = 0
50 !
d ! ( 50 - d ) ! 0,1d(1 - 0,1) ( 50 - d )
P(d ≤ 2) = Pa =
50 !
0 ! ( 50 - 0 ) ! 0,10(1 - 0,1) ( 50 - 0 ) +
50 !
1 ! ( 50 - 1 ) ! 0,11(1 - 0,1) ( 50 - 1 ) +
50 !
2 ! ( 50 - 2 ) ! 0,12(1 - 0,1) ( 50 - 2 ) = 0,1117
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a probabilidade de rejeitados será 1 – 0,1117 = 0,8883
AOQ =
Pap ( N - n )
N =
0,8883 × 0,1 ( 5000 - 50 )
5000 = 0,0879
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Suponha que um plano de amostragem única com n = 150 e c = 2 está sendo usado para receber inspeção
em que o fornecedor envia o produto em lotes de tamanho N = 3.000. Sabendo que historicamente 5% das
peças são entregues como não conformes, a porcentagem de peças defeituosas será:
A alternativa "E " está correta.
Solução:
Temos, então, N = 150, n = 50, c = 2 e p = 0,05. Vamos calcular a probabilidade de aceitação:
P(d ≤ 2) = Pa = ∑ 2
d = 0
150 !
d ! ( 150 - d ) ! 0,05d(1 - 0,05) ( 150 - d )
P(d ≤ 2) = Pa =
150 !
0 ! ( 150 - 0 ) ! 0,050(1 - 0,05) ( 150 - 0 ) +
150 !
1 ! ( 150 - 1 ) ! 0,051(1 - 0,05) ( 150 - 1 ) +
150 !
2 ! ( 150 - 2 ) ! 0,052(1 - 0,05)1 ( 50 - 2 ) = 0,0182
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um fabricante de eletrônicos compra dispositivos de memória em lotes de 30.000 de um fornecedor. O
fornecedor tem um longo registro de desempenho de boa qualidade, com uma média fração defeituosa de
aproximadamente 0,10%. A qualidade do departamento de engenharia sugeriu o uso de um convencional
plano de amostragem de aceitação com n = 32, c = 0. Qual é a probabilidade de rejeição do lote?
A alternativa "B " está correta.
Solução:
Temos, então: n = 32; c = 0; p = 0,10%
Calculando a probabilidade:
P(d = 0) = Pa =
32 !
0 ! ( 32 - 0 ) ! 0,0010(1 - 0,001) ( 32 - 0 ) = 0,9685 = 96,85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Em um plano de amostragem de aceitação desenvolvido para lotes contendo 1.000 unidades, o tamanho da
amostra n é 85 e c é 3. A porcentagem de defeitos dos lotes recebidos é de 2%, e a probabilidade de
aceitação, que foi obtida a partir de uma curva OC, é 0,64. Qual é a qualidade média de saída?
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Temos, então:
AOQ = 
PdPa N - n
N =
0,02 × 0,64 × ( 1000 - 85 )
1000 = 0,012 = 1,2%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Uma empresa produz latas para acondicionar óleo. Os lotes de produção têm 200 latas, sendo que por
problemas de idade do equipamento 10 latas são em média produzidas em não conformidade com os
requisitos solicitados. Se 20 latas forem selecionadas aleatoriamente do lote sem substituição, então, a
probabilidade de encontrar uma ou menos latas não conformes na amostra é:
A alternativa "B " está correta.
Solução:
P{x ≤ 1} = {Px = 0} + {Px = 1}
P(X) =
D
x
N - D
n - x
N
n
P(X ≤ 1) =
10
0
200 - 10
20 - 0
200
20
+
10
1
200 - 10
20 - 1
200
20
= 0,9231 = 92,31%
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma indústria farmacêutica deseja construir um plano de amostragem sequencial item a item para o qual p1 = 0,01, α
= 0,05, p2 = 0,10 e β = 0,10. Qual será o plano?
RESOLUÇÃO
EXEMPLO PRÁTICO DE PLANO DE AMOSTRAGEM
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SOBRE PLANO DE AMOSTRAGEM, ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM
I. O OBJETIVO É DECIDIR SOBRE O LOTE, E NÃO ESTIMAR SUA QUALIDADE.
II. NÃO FORNECE DE FORMA DIRETA O CONTROLE DA QUALIDADE, UMA VEZ QUE
SIMPLESMENTE ACEITA OU REJEITA LOTES.
III. NÃO SERVE DE FERRAMENTA DE VERIFICAÇÃO PARA GARANTIR QUE A SAÍDA DO
PROCESSO ESTEJA DE ACORDO COM AS ESPECIFICAÇÕES.
IV. SELECIONANDO-SE UMA AMOSTRA DE UM LOTE, INSPECIONAMOS ALGUMA
CARACTERÍSTICA DA QUALIDADE.
A) I e II, apenas.
B) II e III, apenas.
C) II e III, apenas.
D) I, II e IV, apenas.
E) II e IV, apenas.
2. UM PLANO DE AMOSTRAGEM COMPARADO COM A INSPEÇÃO 100% OFERECE AS
SEGUINTES VANTAGENS:
V. USUALMENTE É MENOS DISPENDIOSA,POIS HÁ MENOS INSPEÇÃO.
VI. HÁ RISCOS DE ACEITAÇÃO DE LOTES “RUINS” E REJEIÇÃO DE LOTES “BONS”.
VII. MENOS PESSOAS SÃO ENVOLVIDAS NAS ATIVIDADES DE INSPEÇÃO.
VIII. APLICA-SE A TESTES DESTRUTIVOS.
É(SÃO) ERRADA(S) A(S) AFIRMATIVA(S):
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I e III, apenas.
GABARITO
1. Sobre Plano de Amostragem, está correto o que se afirma em
I. O objetivo é decidir sobre o lote, e não estimar sua qualidade.
II. Não fornece de forma direta o controle da qualidade, uma vez que simplesmente aceita ou rejeita lotes.
III. Não serve de ferramenta de verificação para garantir que a saída do processo esteja de acordo com as
especificações.
IV. Selecionando-se uma amostra de um lote, inspecionamos alguma característica da qualidade.
A alternativa "D " está correta.
A alternativa III está incorreta, pois planos de amostragem servem como uma ferramenta para garantir que a saída
esteja dentro das especificações.
2. Um plano de amostragem comparado com a inspeção 100% oferece as seguintes vantagens:
V. Usualmente é menos dispendiosa, pois há menos inspeção.
VI. Há riscos de aceitação de lotes “ruins” e rejeição de lotes “bons”.
VII. Menos pessoas são envolvidas nas atividades de inspeção.
VIII. Aplica-se a testes destrutivos.
É(São) errada(s) a(s) afirmativa(s):
A alternativa "B " está correta.
A alternativa II está errada, pois o que afirma é uma desvantagem.
MÓDULO 4
 Reconhecer a importância da análise da capacidade de processos
ANÁLISE DE CAPACIDADE DE PROCESSOS
CAPACIDADE DE PROCESSOS
COMO AVALIAR SE UM PROCESSO DE MANUFATURA É CAPAZ DE
PRODUZIR PEÇAS QUE ATENDAM AOS REQUISITOS DE ENGENHARIA?
Alguns, como o acabamento de um dente de engrenagem, são críticos, enquanto a rugosidade de uma superfície
sem contato não é crítica. As características críticas precisam ser identificadas e verificadas para determinar se o
processo é capaz. As avaliações de capacidade do processo (PCA) começam durante o processo de
desenvolvimento do produto e continuam na produção em série.
As peças do protótipo são criadas por uma variedade de métodos, desde as peças feitas à mão até fabricação de
curto prazo em um processo de intenção de produção sob condições de fábrica. Os métodos mais próximos da
produção em série são os mais realistas. Quando há uma especificação de engenharia de dois lados, o meio da faixa
de tolerância é geralmente o alvo do processo. Em algumas especificações, pode haver um alvo não centralizado.
Uma distribuição normal com um processo centralizado é apresentada nas figuras a seguir.
Quando estamos trabalhando com amostras, sempre podemos plotar um gráfico do processo e então determinar os
limites estatísticos de controle. Observe as curvas a seguir, em que a “A” mostra que o processo está fora do controle
estatístico e a “B” que está sob controle estatístico.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Entretanto temos também as especificações de projeto (especificações de engenharia), que serão os valores máximo
e mínimo de tolerância de fabricação que o processo precisa atender. Esses valores denominam-se Limite Inferior de
Especificação (LIE) e Limite Superior de Especificação (LSE). As curvas “C” e “D” apresentam estes casos, onde a
“C” está fora dos limites de especificação de projeto e a “D” atendendo esses limites.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Observe agora as curvas “E” e “F” a seguir.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Podemos observar que o gráfico “E” mostra um processo que atende aos limites de especificação de projeto (LIE e
LSE). Entretanto, alguma causa a ser investigada está indicando que o processo está produzindo itens fora dos
limites de controle estatístico (LIC e LSC). Apesar disto, o processo continua capaz de atender aos limites de
especificação de projeto definidos pela engenharia (LIE e LSE).
O gráfico “F” mostra um processo que está sob controle tanto de especificação como de estatística. Portanto, como
os controles de engenharia são os mais importantes, a situação ideal seria que ambos os limites, de engenharia e de
processo, fossem idênticos, o que nos daria uma garantia de controle ideal de processo, mas isto na prática
dificilmente ocorrerá.
Existem três casos para processos normais centrados com uma especificação de tolerância de dois lados.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Quanto maior a variação, mais difícil é para um processo ser capaz. Um processo capaz mostrado em azul está
dentro dos limites de tolerância e tem um Cp (ou Pp) = 1,67. Um processo que não é capaz é mostrado em verde-
claro, tem um Cp = 0,67. As caudas de distribuição ultrapassam os limites de especificação, permitindo a produção de
peças não conformes.
O processo marginal mostrado em verde escuro tem limites de distribuição 3σ que apenas tocam os limites de
tolerância. No processo marginal Cp = 1. No processo marginal, qualquer mudança na média do processo faz com
que uma cauda da distribuição cruze o limite de tolerância, permitindo que peças não conformes sejam produzidas.
Algumas empresas têm como alvo Pp ≥ 1,67 e Cp ≥ 1,33. Os praticantes de Seis Sigma têm como alvo Cp ≥ 2, para
um processo sob controle estatístico. O melhor desempenho vem de um processo centralizado. Um processo não
centralizado produz mais defeitos do que um processo centralizado. Observe a seguir as três distribuições com o
mesmo spread, mas centros diferentes.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Uma análise de capacidade do processo pode determinar se um processo é capaz de produzir peças que estejam em
conformidade com as especificações de engenharia. Embora as peças do protótipo possam fornecer informações
preliminares sobre o desempenho do processo, a avaliação final da capacidade do processo deve ser baseada na
produção em série. O índice de capacidade final é altamente dependente do processo centralizado entre os limites de
tolerância e a variação precisa ser menor que a faixa de tolerância
A lacuna entre o limite de tolerância mais próximo e o centro da distribuição é dividido por 3σ e captura o efeito de
centralização.
Imagem: Mauro Rezende Filho
MIN ( LSE - Μ , Μ - LIE )
3Σ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se partes do protótipo foram usadas para estimar μ e σ, então, o índice, calculado na equação, é Ppk. Se os dados
vierem da produção em série, o índice é Cpk. Se a faixa 6σ for muito menor do que a faixa de tolerância, o centro do
processo pode mudar, mas permanecer capaz. Se a faixa 6σ for igual ou maior que os limites de tolerância, o
processo não é capaz e precisa ser melhorado.
Para um processo capaz, os índices Pp, Ppk, Cp e Cpk devem ser maiores que 1. Para peças protótipo, algumas
organizações desejam que Pp e Ppk sejam maiores que 1,67. Como a produção em série deve incluir todas as fontes
de variação, algumas organizações desejam que o Cp e o Cpk sejam maiores que 1,33.
Esses conceitos, para tolerâncias nos dois lados, podem ser capturados em um roteiro de Process Capability
Analysis (PCA), na tabela a seguir.
Fonte
Performance do processo Capacidade do processo
Processo pequeno em estudo ou
protótipos
Processo produtivo em um estado de
controle estatístico
Estatística
μ ≅ X =
1
N ∑ X
σ ≅ s =
( X - X ) 2
N - 1
μ ≅ X
σ ≅
R
d2
Intervalo
(tolerância em
ambos os lados)
Pp =
( LSE - LIE )
6σ Cp =
( LSE - LIE )
6σ
Tolerância no centro Ppk =
min ( LSE - μ , μ - LIE )
3σ Cpk =
min ( LSE - μ , μ - LIE )
3σ
Roteiro de PCA
Elaborado por Mauro Rezende Filho
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Observe os diferentes cálculos estatísticos na primeira linha. Ambos são métodos reconhecidos para estimar a média,
μ, e o desvio padrão, σ. Na segunda coluna, a fonte é uma pequena amostra de protótipos. Na terceira coluna, a fonte
é o Controle Estatístico de Processos (CEP) de produção.
 ATENÇÃO
√
Algumas tolerâncias de engenharia não têm um limite de especificação superior e inferior. Frequentemente,as
restrições físicas não permitem valores negativos. Alguns exemplos são a rugosidade da superfície, desvio radial da
roda ou pneu, a resistência elétrica de interruptores eletrônicos. Nessas situações, apenas um limite superior de
especificação é necessário.
Nessa situação, a faixa de tolerância é ilimitada no limite indefinido. Não é possível calcular um índice Pp ou Cp. No
entanto, os índices Ppk e Cpk podem ser calculados usando a equação com o limite de especificação definido.
ESTIMATIVAS DE PORCENTAGEM DE DEFEITOS
A tolerância de engenharia para uma característica crítica é de 10 ± 0,2. Portanto, o limite de especificação inferior
(LIE) é 9,8 e o limite de especificação superior (LSE) é 10,2. Uma amostra de 30 peças forneceu medições da
característica crítica. A média da amostra (X) foi 9,951 e o desvio (σ) padrão da amostra foi 0,1825.
Tabelas estatísticas podem ser usadas para estimar as probabilidades cumulativas. Essas tabelas são encontradas
em livros de Estatística, mas podem ser organizadas de várias maneiras diferentes. Vamos assumir uma tabela do
normal padrão cumulativa tabulada para valores z de -6 a +6. Para calcular a probabilidade cumulativa de cauda
inferior, primeiro calcule o valor z1 para o LIE, por meio da equação:
Z1 =
LIE - Μ
Σ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em nosso exemplo, z1 = (9,8 - 9,951) / 0,1825 = -0,827. Isso expressa o LIE em múltiplos de σ. Examinar o valor z de
uma tabela de distribuição cumulativa normal padrão fornece a probabilidade de cauda inferior de 0,204, ou cerca de
20% na cauda inferior. A interpolação entre os valores da tabela geralmente é necessária. Um processo semelhante é
necessário para a cauda superior. O LSE é convertido em múltiplos de σ, por meio da equação:
Z2 =
LSE - Μ
Σ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em nosso exemplo, z2 = (10,2-9,951) / 0,1825 = 1,364. Olhando para cima, o valor fornece a distribuição cumulativa
de 0,914 para z2, que é subtraída de 1 para determinar a probabilidade da cauda superior de 0,086, ou 8,6%.
Um software moderno oferece ferramentas que são mais fáceis de usar. Por exemplo, o Excel fornece a função
DIST.NORM.N, que oferece suporte a cálculos de probabilidade normal cumulativa. A função requer um valor x; a
média μ; o desvio padrão σ; e um argumento lógico com um valor verdadeiro:
P(X≤X) = DIST.NORM.N (X;Μ;Σ;VERDADEIRO)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui, X é a variável aleatória normal. Para calcular a probabilidade de cauda inferior, substitua LIE por x:
P(X≤X) = DIST.NORM.N (LIE;Μ;Σ;VERDADEIRO)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CP VERSUS PORCENTAGEM DE DEFEITOS
A tolerância de engenharia para uma característica crítica é 10 ± 0,2. Portanto, o limite de especificação inferior (LIE)
é 9,8 e o limite de especificação superior (LSE) é 10,2. As peças produzidas forneceram medidas para a característica
crítica. O processo teve média de 9,951 com desvio padrão de 0,1825.
A média do processo de dados de amostra foi ligeiramente baixa em 9,951. Ajustar a média do processo, geralmente,
é fácil de realizar. Um ajuste pode ser simplesmente uma mudança de controle ou uma configuração mais complexa.
Para o nosso exemplo, vamos supor que a média do processo seja ajustada para produzir peças em 10. Reduzir a
variação é mais difícil, então, vamos assumir que o desvio padrão permanece em 0,1825.
O valor do índice Cp de (10,2 - 9,8) / (6 x 0,1825) = 0,37 indica um processo incapaz, ou seja, a distribuição
característica crítica (6σ) é mais ampla do que a largura de tolerância. Nessa situação, a centralização do processo
produz o menor número de não conformidades. Processos capacitados devem ter Cp> 1,0. Embora as metas de
qualidade sejam uma atividade de gerenciamento, muitas empresas de manufatura têm como alvo Cp ≥ 1,33. Os
praticantes de Seis Sigma geralmente têm como alvo o Cp ≥ 2,0.
No Excel, o percentual abaixo do LIE é 0,1366, ou 13,66%:
P(X ≤ 9,8) = DIST.NORM.N(9,8;10;0,1825;1)
OBS: NA CÉLULA DO EXCEL DIGITE: =
DIST.NORM.N(9,8;10;0,1825;1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O percentual acima do LSE é um pouco mais complicado. O percentual abaixo do LSE é 0,8634, ou 86,34%:
P(X ≤ 10,2) = DIST.NORM.N(10,2;10;0,1825;1)
OBS: NA CÉLULA DO EXCEL DIGITE: =
DIST.NORM.N(10,2;10;0,1825;1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O que é necessário é o percentual acima do LSE. Isso é calculado subtraindo o resultado da equação de 1,
resultando em 0,1366, ou 13,66%:
P(X > LSE) = 1 − P(X < LSE) = 0, 1366
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Há uma pequena aproximação nessa equação. Ele ignora a probabilidade teórica de que X = LSE, que é infinitamente
pequena. Portanto, a porcentagem total de não conformes é cerca de 0,274, ou aproximadamente 27%. Para esse
processo centralizado, se a variação do processo pode ser reduzida, então, o percentual de não conformidade diminui
e o índice Cp aumenta.
ANÁLISE DE CAPACIDADE
CP, PP, CPK E PPK
São indicadores de capacidade e desempenho de seu processo. Um processo é capaz? O processo é aceitável?
Como o processo está realmente se comportando versus como teoricamente poderia se comportar? Essas são
perguntas que você pode fazer durante a fase de medição (se você tiver bons dados existentes) ou na fase de
controle, depois de implementar suas alterações.
CP E CPK
São usados para Capacidade do Processo. Geralmente, você usa isso quando um processo está sob controle
estatístico. Isso acontece com um processo maduro que já existe há algum tempo. A capacidade do processo usa o
valor sigma do processo determinado a partir do intervalo móvel, intervalo ou gráficos de controle Sigma.
PP E PPK
São usados para Desempenho do Processo. Geralmente, você usa isso quando um processo é muito novo para
determinar se está sob controle estatístico, como quando há uma pequena execução de pré-produção ou você está
testando um novo processo. Como não há muitos dados históricos, coletamos grandes amostras do processo para
contabilizar a variação. Desempenho do processo usa sigma de amostra em seu cálculo.
Em teoria, Cpk será sempre maior ou igual a Ppk. Existem anomalias vistas quando o tamanho da amostra é pequeno
e os dados representam um curto período em que a estimativa usando R superestimará o desvio padrão e tornará
Cpk menor do que Ppk. Não é real, nunca pode haver menos variação no longo prazo, pois o longo prazo está usando
todos os dados, não apenas dois dados de cada subgrupo.
QUAL É A DIFERENÇA ENTRE CP E CPK?
Cp e Cpk medem o quão consistente você é em torno de seu desempenho médio. O “k” significa “fator centralizador”.
O índice leva em consideração o fato de que seus dados podem não estar centralizados. Cpk nos diz o que um
processo é capaz de fazer no futuro, supondo que permaneça em um estado de controle estatístico. Cpk é uma
medida para mostrar a quantos desvios padrão os limites de especificação estão do centro do processo. Em alguns
processos, você pode fazer isso visualmente. Outros requerem uma equação.
Para encontrar o Cpk, você precisa calcular uma pontuação Z para o limite de especificação superior (denominado Z
LSE) e uma pontuação Z para o limite de especificação inferior (denominado Z LIE). Visto que estamos tentando
medir quantos desvios padrão cabem entre a linha central e o limite de especificação, você não deve se surpreender
que o valor desses limites, a média do processo e o desvio padrão sejam todos componentes do cálculo Z. Cp é uma
abreviatura que se divide em duas partes, o superior e o inferior denotaram Cps e Cpi, respectivamente. Suas
equações são:
CPI =
Μ - LIE
3Σ E CPS =
LSE - Μ
3Σ
CP =
CPS + CPI
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilizea rolagem horizontal
 EXEMPLO
Vamos supor um processo sob controle cujos dados seguem distribuição normal. Para esse processo, temos as
seguintes especificações:
LSE = 10, 9, μ = 10, 7 e LIE = 10, 5
Vamos supor, ainda, que a média amostral do processo seja dada por X = 10,662 e R = 0,2, para uma amostra com
três elementos em cada subgrupo. Vamos, então, calcular a capacidade do processo. Inicialmente, calculamos o
desvio padrão:
σ =
R
d2
=
0 ,2
1 ,693 = 0 ,118
Lembre-se de que d2 = 1,693, para uma amostra de três elementos, tirado da tabela de CEP.
A pior situação (aquela em que o processo causa a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo Cpk, ou seja:
Cps =
LSE - μ
3σ =
10,9 - 10,7
3x0,118 = 0,67
Cpi =
μ - LIE
3σ =
10,7 - 10,5
3x0,118 = 0,46
Então:
Cpk = min(0, 67; 0, 46) = 0, 46
Cp =
Cps + Cpi
2 =
0,67 + 0,46
2 = 0,565
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UM PROCESSO EM QUE FORAM REALIZADAS TRÊS MEDIÇÕES (INÍCIO,
MEIO E FIM) DE CADA LOTE. AS ESPECIFICAÇÕES SÃO LSE = 12 E LIE = 9. CALCULOU-
SE, ENTÃO, A MÉDIA AMOSTRAL DO PROCESSO X = 10,51 E A MÉDIA DAS AMPLITUDES
DOS SUBGRUPOS 
-
R = 0,568, PARA UMA AMOSTRA COM TRÊS ELEMENTOS CADA
SUBGRUPO (D2 = 1,693). A CAPACIDADE DO PROCESSO SERÁ IGUAL A:
A) 0,3355.
B) 1,4804.
C) 1,5002.
D) 1,4902.
E) 1,2587.
2. UM PROCESSO DE FABRICAÇÃO DE UM EIXO DE AÇO INOX TEM AS ESPECIFICAÇÕES
LSE = 12 E LIE = 10. A TABELA A SEGUIR APRESENTA AS MEDIÇÕES REALIZADAS EM 10
DIAS, COM UMA AMOSTRA COM TRÊS ELEMENTOS CADA SUBGRUPO (D2 = 1,693). A
CAPACIDADE DO PROCESSO SERÁ IGUAL A:
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
A) 1,3435.
B) 1,9884.
C) 0,6986.
D) 0,2481.
E) 1,4502.
3. UMA AMOSTRA APRESENTA UM DESVIO PADRÃO IGUAL A 0,2841 E MÉDIA 12,56.
SABENDO-SE QUE CPS = 1,4584 E O CPI = 0,9847, OS LIMITES SUPERIOR E INFERIOR DE
CONTROLE SERÃO IGUAIS A:
A) 14,20 e 12,36.
B) 14,87 e 12,03.
C) 13,80 e 11,40.
D) 13,94 e 12,22.
E) 13,78 e 10,98.
4. O GRÁFICO A SEGUIR APRESENTA A VARIABILIDADE DE UM PROCESSO. COM BASE
NESSAS INFORMAÇÕES E SABENDO-SE QUE O LIMITE SUPERIOR DA CAPACIDADE É
IGUAL A 0,9874, O DESVIO PADRÃO SERÁ IGUAL A:
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
A) 1,2545.
B) 0,6824.
C) 0,3641.
D) 1,0698.
E) 0,9451.
5. SABENDO-SE QUE O ÍNDICE DE CAPACIDADE PCP (POSITIONAL CP) PODE SER
CALCULADO COMO A RAZÃO DE ÁREAS DAS REGIÕES DE TOLERÂNCIA E A DE
VARIAÇÃO, O GRÁFICO A SEGUIR APRESENTA O CORTE DE PERFIL DE UM EIXO DE AÇO
DE UM PRODUTO DE DIÂMETRO 10MM COM UMA VARIAÇÃO DE 1MM. COM BASE
NESSES DADOS, EM QUE SE ESPERA QUE 99,73% DAS OBSERVAÇÕES ESTEJAM
CONTIDAS, E QUE O PCP = 3,83, A VARIABILIDADE DO PROCESSO SERÁ IGUAL A:
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
A) 1,67.
B) 2,59.
C) 5,62.
D) 3,49.
E) 4,18.
6. A TABELA A SEGUIR APRESENTA OS DADOS REFERENTES AO CONTROLE DA
DISTÂNCIA DA BORDA LATERAL ESQUERDA DA APLICAÇÃO DE UM PROCESSADOR EM
UMA PLACA DE CIRCUITO IMPRESSO. A CADA LOTE DE 30 PEÇAS PRODUZIDAS, UMA
PEÇA FOI LEVADA AO LABORATÓRIO PARA SER MEDIDA EM UMA MÁQUINA DE
MEDIÇÃO AUTOMÁTICA. AS ESPECIFICAÇÕES PARA ESSES DADOS SÃO LSE = 9,825MM
E LIE = 9,815MM. A CAPACIDADE/PERFORMANCE DO PROCESSO SERÁ IGUAL A:
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
A) 1,235.
B) 0,0845.
C) 0,0956.
D) 1,2308.
E) 1,5634.
GABARITO
1. Considere um processo em que foram realizadas três medições (início, meio e fim) de cada lote. As
especificações são LSE = 12 e LIE = 9. Calculou-se, então, a média amostral do processo X = 10,51 e a média
das amplitudes dos subgrupos 
-
R = 0,568, para uma amostra com três elementos cada subgrupo (d2 = 1,693).
A capacidade do processo será igual a:
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Inicialmente, precisamos calcular o desvio padrão:
σ =
-
R
d2
=
0,568
1,693 = 0,3355
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O próximo passo é o cálculo dos limites laterais:
Cps =
LSE - μ
3σ =
12 - 10,51
3x0,3355 = 1,4804
Cpi =
μ - LIE
3σ =
10,51 - 9
3x0,3355 = 1,5002
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Cp =
Cps + Cpi
2 =
1,4804 + 1,5002
2 = 1,4902
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um processo de fabricação de um eixo de aço inox tem as especificações LSE = 12 e LIE = 10. A tabela a
seguir apresenta as medições realizadas em 10 dias, com uma amostra com três elementos cada subgrupo
(d2 = 1,693). A capacidade do processo será igual a:
Imagem: Mauro Rezende Filho
A alternativa "A " está correta.
Solução:
O primeiro passo será calcular a média das amostras e da amplitude:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Agora, precisamos calcular o desvio padrão:
σ =
-
R
d2
=
0,42
1,693 = 0,2481
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O próximo passo é o cálculo dos limites laterais:
Cps =
LSE - μ
3σ =
12 - 10,52
3x0,2481 = 1,9884
Cpi =
μ - LIE
3σ =
10,52 - 10
3x0,2481 = 0,6986
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Cp =
Cps + Cpi
2 =
1,9884 + 0,6986
2 = 1,3435
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Uma amostra apresenta um desvio padrão igual a 0,2841 e média 12,56. Sabendo-se que Cps = 1,4584 e o
Cpi = 0,9847, os limites superior e inferior de controle serão iguais a:
A alternativa "C " está correta.
Solução:
Com os dados, podemos calcular:
Cps =
LSE - μ
3σ =
LSE - 12,56
3x0,2841 = 1,4584 → LSE = 13,80
Cpi =
μ - LIE
3σ =
10,56 - LIE
3x0,2841 = 0,9847 → LIE = 11,40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O gráfico a seguir apresenta a variabilidade de um processo. Com base nessas informações e sabendo-se
que o limite superior da capacidade é igual a 0,9874, o desvio padrão será igual a:
Imagem: Mauro Rezende Filho
A alternativa "E " está correta.
Solução:
Com os dados, podemos calcular:
Cps =
LSE - μ
3σ =
14,0 - 11,2
3σ = 0,9874 → σ = 0,9452
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Sabendo-se que o índice de capacidade Pcp (positional CP) pode ser calculado como a razão de áreas das
regiões de tolerância e a de variação, o gráfico a seguir apresenta o corte de perfil de um eixo de aço de um
produto de diâmetro 10mm com uma variação de 1mm. Com base nesses dados, em que se espera que
99,73% das observações estejam contidas, e que o Pcp = 3,83, a variabilidade do processo será igual a:
Imagem: Mauro Rezende Filho
A alternativa "C " está correta.
UMA APLICAÇÃO DE CP
6. A tabela a seguir apresenta os dados referentes ao controle da distância da borda lateral esquerda da
aplicação de um processador em uma placa de circuito impresso. A cada lote de 30 peças produzidas, uma
peça foi levada ao laboratório para ser medida em uma máquina de medição automática. As especificações
para esses dados são LSE = 9,825mm e LIE = 9,815mm. A capacidade/performance do processo será igual a:
Imagem: Mauro Rezende Filho
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Temos que primeiro calcular a média e o desvio padrão da amostra:
-
x =
9,8112 + 9,82300 + … + 9,82220
30 = 9,82044
σ =
( 9,8212 - 9,82044 ) 2 + ( 9,823 - 9,82044 ) 2 + … + ( 9,88222 - 9,82044 ) 2
30 - 1 = 0,00135
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O próximo passo é o cálculo dos limites laterais:
Cps =
LSE - μ
3σ =
9,825 - 9,82044
3x0,00135 = 1,126
Cpi =
μ - LIE
3σ =
9,82044 - 9,815
3x0,00135 = 1,343
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Cp =
Cps + Cpi
2 =
1,126 + 1,343
2 = 1,235
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Sabendo que Razão de Capacidade (Rc) é o inverso do Cp, vamos analisar um processo sob controle cujos dados
seguem distribuição normal. Para o processo, temos as seguintes especificações:
√
LSE = 10,9 VN = 10,7 LIE = 10,3
A tabela a seguir apresenta os dados coletados:Com essas informações, verifique se o processo está sob controle.
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO PRÁTICA DE CP
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. OBSERVE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR:
I. ANÁLISE DE CAPACIDADE DO PROCESSO TEM POR OBJETIVO DIAGNOSTICAR SE OS
PROCESSOS SÃO CAPAZES DE ATENDER OS REQUISITOS DOS CLIENTES.
II. ANÁLISE DE PERFORMANCE TEM POR OBJETIVO COMPARAR A VARIABILIDADE
TOTAL DO PROCESSO (DEVIDO A CAUSAS COMUNS E ESPECIAIS) COM A TOLERÂNCIA
(OU ESPECIFICAÇÃO).
III. A CAPACIDADE DO PROCESSO PODE SER ESTABELECIDA SOMENTE QUANDO
NENHUM FATOR ESTRANHO O CONTAMINA, OU SEJA, SOMENTE CAUSAS ESPECIAIS DE
VARIAÇÃO ESTÃO PRESENTES.
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM
A) I, somente.
B) II, somente.
C) III, somente.
D) I e II, somente.
E) II e III, somente.
2. OBSERVE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR:
I. QUANDO TEMOS ESPECIFICAÇÕES BILATERAIS DE ENGENHARIA (LSE E LIE), NO
ÍNDICE CPK TEMOS A AVALIAÇÃO DA CAPACIDADE DO PROCESSO NA "PIOR SITUAÇÃO
POSSÍVEL".
II. EM SITUAÇÕES EM QUE SOMENTE É POSSÍVEL QUANTIFICAR, ALÉM DE CAUSAS
COMUNS, AS CAUSAS ESPECIAIS DE VARIAÇÃO, UTILIZAMOS OS ÍNDICES DE
CAPACIDADE DO PROCESSO (CP).
III. OS ÍNDICES DE CAPACIDADE DO PROCESSO NÃO DEVEM SER UTILIZADOS PARA
AVALIAR O PROCESSO COM RELAÇÃO A SUA VARIABILIDADE.
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM
A) I, somente.
B) II, somente.
C) III, somente.
D) I e II, somente.
E) II e III, somente.
GABARITO
1. Observe as afirmações a seguir:
I. Análise de capacidade do processo tem por objetivo diagnosticar se os processos são capazes de atender
os requisitos dos clientes.
II. Análise de performance tem por objetivo comparar a variabilidade total do processo (devido a causas
comuns e especiais) com a tolerância (ou especificação).
III. A Capacidade do processo pode ser estabelecida somente quando nenhum fator estranho o contamina, ou
seja, somente causas especiais de variação estão presentes.
Está correto o que se afirma em
A alternativa "D " está correta.
As afirmativas I e II estão corretas, mas a III está errada, pois somente podemos analisar processos estáveis, ou seja,
quando somente causas normais aleatórias são responsáveis pela sua variabilidade.
2. Observe as afirmações a seguir:
I. Quando temos especificações bilaterais de engenharia (LSE e LIE), no índice Cpk temos a avaliação da
capacidade do processo na "pior situação possível".
II. Em situações em que somente é possível quantificar, além de causas comuns, as causas especiais de
variação, utilizamos os índices de capacidade do processo (Cp).
III. Os índices de capacidade do processo não devem ser utilizados para avaliar o processo com relação a sua
variabilidade.
Está correto o que se afirma em
A alternativa "D " está correta.
Alternativa I: correta, as especificações se forem totalmente atendidas teremos um Cp = 1 que a pior situação
possível pois é limítrofe.
Alternativa 2: correta, pois ele nos indicará se o processo está centrado ou não, ou seja maior ou igual a 1 o processo
estará fabricando peças conformes e menor que 1 peças não conformes.
Alternativa 3: errada, os índices de capacidade SEMPRE devem ser utilizados para avaliar a variabilidade de um
processo. Veja o porquê no comentário da Alternativa II.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, estudamos que um plano de amostragem é amplamente utilizado em estudos para determinar a
amostra em controle estatístico de processos, que fornecem um esboço com base no qual o controle será conduzido.
Determina qual deve ser o tamanho da amostra e como os dados devem ser escolhidos na população.
Viram também que os planos de amostragem podem ser classificados como segue:
Planos de Amostragem Única
Planos de Amostragem Dupla
Planos de Amostragem Múltipla
Plano de Amostragem Sequencial (análise item por item).
Imagem: Mauro Rezende Filho
Podemos, então, concluir, afirmando que as vantagens da inspeção por amostragem:
são amplamente adequados na produção em massa.
são muito econômicos e fáceis de conduzir.
causam menos fadiga aos inspetores.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ADKINS, H.; BEYER, B.; BLANKINSHIP, P.; LEWANDOWSKI, P.; OPREA, A.; STUBBLEFIELD, A. Building secure &
reliable systems: best practices for designing, implementing and maintaining systems. New York: O’Reilly, 2020.
557p.
PALADINI, Edson. Gestão da Qualidade: Teoria e Prática. Rio de Janeiro: Grupo Gen, 2019. 280p.
WETHERILL, G.B. Sampling Inspection and Quality Control. New York: John Wiley & Sons, 1969. 152p.
EXPLORE+
Para quem deseja se aprofundar no assunto estudado, recomendamos:
Acesse o portal de periódicos da CAPES.
Pesquise o portal Domínio Público.
CONTEUDISTA
Mauro Rezende Filho
 CURRÍCULO LATTES
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