Binômio de Newton

Prévia do material em texto

Binômio de Newton
Introdução
    Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
 
    De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .
    Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
    Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.
 Coeficientes Binomiais
    Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
	
    O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:
	
      É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
	
   Exemplos:
	
	
 
Propriedades dos coeficientes binomiais
	1ª)
		Se n, p, k  e p + k = n então 
   Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.
   Exemplos:
	
	
	
 
	2ª)
		Se n, p, k  e p p-1 0 então 
   Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).
   Exemplos:
	
	
	
 
Triângulo de Pascal
	    A  disposição  ordenada  dos números   binomiais,   como  na tabela ao lado, recebe  o  nome   de Triângulo de Pascal
	
    Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
    Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.
    Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
Construção do triângulo de Pascal
    Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:
1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.
3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele
      que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação
      de Stifel).
        Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
 
Propriedade do triângulo de Pascal
P1   Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
	
	     
   De fato, esses binomiais são complementares.
 
P2   Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .
              
   De modo geral temos:
	
 
P3   Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
	
	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 
1 + 4 + 10 + 20 = 35
 
P4    Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
	
	1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
   Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso:
quando n = 0 temos 
quando n = 1 temos 
quando n = 2 temos 
quando n = 3 temos 
quando n = 4 temos 
 
    Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
   De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
	
    Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui     n + 1 termos.
 
Fórmula do termo geral do binômio
   Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a + b)n,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma .
Quando p = 0 temos o 1º termo: 
Quando p = 1 temos o 2º termo: 
Quando p = 2 temos o 3º termo: 
Quando p = 3 temos o 4º termo: 
Quando p = 4 temos o 5º termo: 
..............................................................................
   Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:
  
	
Função de 1º grau
  Definição
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
    Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
    Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
		x
	Y
	0
	-1
	
	0
	
    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
    O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Função de 1º grau
Zero e Equação do 1º Grau
   Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0.
   Temos:
   f(x) = 0        ax + b = 0        
   Vejamos alguns exemplos:
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                                    f(x) = 0        2x - 5 = 0        
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                                    g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
   
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
    h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5
  
Crescimento e decrescimento
   Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
		
		x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	y
	-10
	-7
	-4
	-1
	2
	5
	8
	
      Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
    valores de y também aumentam. Dizemos, então que a 
    função y = 3x - 1 é crescente.
   Observamos novamente seu gráfico: 
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
 Função de 1º grau
Sinal
   Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x paraos quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
  1º) a > 0 (a função é crescente)
         y > 0       ax + b > 0         x > 
         y < 0      ax + b < 0         x < 
    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
          y > 0  ax + b > 0            x < 
         y < 0  ax + b < 0        x > 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.
 
Função Quadrática
  Definição
    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
 
Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
		x
	Y
	-3
	6
	-2
	2
	-1
	0
	
	
	0
	0
	1
	2
	2
	6
	
    Observação:
   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
 
Zero e Equação do 2º Grau
    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
	
    Temos:
                    
Observação
   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
quando é negativo, não há raiz real.
Função Quadrática
   
  Coordenadas do vértice da parábola
   Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
 
Imagem
     O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0, 
	a > 0
  
2ª quando a < 0,
	a < 0
Função Quadrática
   
Construção da Parábola
   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
Sinal
   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
    Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º -  > 0
   Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:
	quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2 
 
	quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
Função Quadrática
   
 2º -  = 0 
	quando a > 0
  
	quando a < 0
                 
 Função Quadrática
   
 3º -  < 0 
	quando a > 0
	quando a < 0
Sistemas Lineares
  Equação linear
  Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
	3x - 2y + 4z = 7
	-2x + 4z = 3t - y + 4
	(homogênea)
	
As equações a seguir não são lineares:
	xy - 3z + t = 8
	x2- 4y = 3t – 4
	
 ~
  Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
         A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
  
Sistemas Lineares
  Matrizes associadas a um sistema linear
       A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
 matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Em relação ao sistema:
a matriz incompleta é:
matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
  Sistemas homogêneos
      Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
 Veja um exemplo:
 
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
  
Sistemas Lineares
  Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
   
Resumindo, um sistema linear pode ser:
  a) possível e determinado (solução única);
  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
  c) impossível (não tem solução).
  Sistema normal
Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
 Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
  Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
 a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.
Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
 b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possívele indeterminado, tendo infinitas soluções.
  
Sistemas Lineares
c) impossível, se D=0 e Dxi0, 1 in; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:
                  
Como D=0 e Dx0,  o sistema é impossível e não apresenta solução.
 
 Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
          e    
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.
 Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:
e    
S1 ~S2
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
S1 ~S2
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo:
 
Dado  , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:
S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.
Sistemas Lineares
 Sistemas escalonados
   Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
   Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
   Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
 a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
 b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
 c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
     Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:   
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
	 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:   
          
	 Trocamos  a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
           
	Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
           
2º passo: Anulamos os coeficientes  da 2º incógnita a partir da 3º equação:
	Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:
           
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Então, x=2, y=-1 e z=3
Sistemas Lineares
Exemplo 2:   
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
	Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
          
	Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:
           
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:
	Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:
         
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.
II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)
Exemplo:
 
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
	Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
          
	Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:
                     
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:
	Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação
          
O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):
GI= n - m
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
	Consideramos o sistema em sua forma escalonada:
           
	Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
           GI  = n-m = 4-3 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t=, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:
12z - 6= 3012z= 30 + 6 =
Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:
Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:
Assim, a solução do sistema é dada por S=, com IR.
Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. 
Equações Trigonométricas
INTRODUÇÃO
         Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.
Exemplos:
1) sen x + cos x = e sen 2x = cos2 x  são equações trigonométricas.
2) x + ( tg 30º) . x2  e x + sen 60º = não são equações trigonométricas.
        Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.
        Na equação sen x - sen =0, por exemplo, os números  são algumas de suas raízes e os números  não o são.
        O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto verdade.
        Quase todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:
	sen x = sen a
	cos x = cos a
	tg x = tg a
       Estas são as equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais.
 
RESOLUÇÃO DA 1ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL
     Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares.
Logo, podemos escrever que:
	sen x = sen a 
O conjunto solução dessa equação será, portanto:
         
Logo, podemos escrever que:
	cos x = cos a x = a + 
O conjunto solução dessa equação será, portanto:
Equações Trigonométricas
    RESOLUÇÃO DA 3ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL
           Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos ou têm suas  extremidades simétricas em relação  ao centro do ciclo trigonométrico.
Logo, podemos escrever que:
	
O conjunto solução dessa equação será, portanto:
                                          
Inequações Trigonométricas
 INTRODUÇÃO
        Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma inequação, dizemos que esta inequação é trigonométrica.
Exemplos:
1) sen x > e sen2 x + tg 2 são inequações trigonométricas.
2) ( sen 30º) . (x2 - 1) > 0 não são inequações trigonométricas.
               Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos números s, sendo s elemento do domínio de f e de g, tais que f(s) < g(s).
               O conjunto S é chamado de conjunto solução da inequação e todo elemento de S é uma solução da inequação.
                Assim, na inequação sen x > , os números são algumas de suas soluções e os números não o são.
  RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
             Quase todas as inequações trigonométricas, quando convenientementetratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequações fundamentais. Vamos conhecê-las, a seguir, através de exemplos.
1º caso : sen x < sen a (sen x sen a)
 Por exemplo, ao resolvermos a inequação 
encontramos, inicialmente,
, que é uma solução particular no intervalo . Acrescentando às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:
               
 O conjunto solução é, portanto:
Por outro lado, se a inequação fosse , então, bastaria incluir as extremidades de 
e o conjunto solução seria:
Inequações Trigonométricas
2º caso: sen x > sen a (sen x sen a)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação sen x > sen ou sen x > encontramos, inicialmente, 
, que é uma uma solução
particular no intervalo .
Acrescentando às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:
            
          O conjunto solução é , portanto:
   
   
3º caso: cos x < cos a (cos x cos a)
 
Por exemplo, ao resolvermos a inequação 
encontramos, inicialmente,
, que é uma solução particular no intervalo
.
Acrescentando às extremidades do intervalo encontrado, temos a solução geral em IR,
que é:
            
O conjunto solução é, portanto:
               
Por outro lado, se a inequação fosse cos x cos ou cos x , então, bastaria incluir as extremidades de e o conjunto solução seria:
              
Inequações Trigonométricas
4º caso: cos x > cos a ( cos x cos a)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo . Acrescentando ) às extremidades 
dos intervalos encontrados, temos o conjunto solução seguinte:
 
5º caso: tg x < tg a   (tg x tg a)
Por exemplo, ao resolvermos  a inequação encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo . 
 A solução geral em IR pode ser expressa por .
 O conjunto solução é, portanto:
  
Inequações Trigonométricas
6º caso: tg x > tg a ( tg x tg a)
 Vamos estudar este último caso resolvendo a inequação tg x > tg como exemplo.
Então, na resolução da inequação encontramos, inicialmente,, que é uma solução particular no intervalo . 
 A solução geral em IR pode ser expressa por
.
 O conjunto solução é, portanto:
Matrizes
Introdução
   O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.
   A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
	 
	 Química
	Inglês
	Literatura
	Espanhol
	A
	8
	7
	9
	8
	B
	6
	6
	7
	6
	C
	4
	8
	5
	9
   Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
   Vamos agora considerar uma tabela de números  dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
    Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
   Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
   Veja mais alguns exemplos:
é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2
  Notação geral
   Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
   Na matriz , temos:
   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Matrizes
Denominações especiais
   Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
   
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
   
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.
   Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
    Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 (3  + 1 = 3 + 1)
Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
Por exemplo, .
   
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:
	
	
Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
	
	
Assim, para uma matriz identidade .
   
Matriz transposta: matriz At  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
    Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
   Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
Matrizes
Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.
   
Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, .
 Igualdade de matrizes
   Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
.
 Operações envolvendo matrizes
Adição
   Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo :
	A + B = C
Exemplos:
   
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
   Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
   Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
	A - B = A + ( - B )
Observe:
  
 Multiplicação de um número real por uma matriz
   Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
	B = x.A
    Observe o seguinte exemplo:
 Propriedades
   Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Matrizes
Multiplicação de matrizes
   O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.
   Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
   Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
1ª linha e 1ª coluna
   
1ª linha e 2ª coluna
   
2ª linhae 1ª coluna
   
2ª linha e 2ª coluna
   
   Assim, .
   Observe que:
   Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
   Vejamos outro exemplo com as matrizes :
 
    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
    
Propriedades
   Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
   Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
   
Matriz inversa
   Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .  
Determinantes
   Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
   A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
   Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;
Determinante de 1ª ordem
   Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
   Por exemplo:
	M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5
	M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3
Determinante de 2ª ordem
   Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:
    Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
   
                      
Menor complementar
   Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
   Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo , de ordem 3, temos:
	
	
Determinantes
   
Cofator
   Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que  Aij = (-1)i+j . MCij .
   Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
	
	
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
	
	
	
Teorema de Laplace
   O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
   Assim, fixando , temos:
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .
Determinantes
Regra de Sarrus
   O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
   Acompanhe como aplicamos essa regra para . 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.
Determinante de ordem n > 3
   Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Determinantes
Propriedades dos determinantes
   Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:
	
	
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
	
	
 
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
Determinantes
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
	
	
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
	
	
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
	
	
Determinantes
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:
	
	
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como: 
Exemplo:
P12) 
Exemplo:
Geometria Analítica: Circunferência
   
Equações da circunferência
Equação reduzida
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
    Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
 Equação geral
   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
   A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
   Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centroe o raio da circunferência.
   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;
não deve existir o termo xy.
   Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
   Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
   Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
	a) P é exterior à circunferência 
 
	
	b) P pertence à circunferência 
 
	
	c) P é interior à circunferência 
	
    Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 + ( y - b )2 - r2:
se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;
se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 =    0, então P pertence à circunferência;
se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
   Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :
    Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
Assim:
Condições de tangência entre reta e circunferência
   Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
Geometria Analítica - Cônicas
Elipse
   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
	
	
   A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
 Elementos
    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
focos : os pontos F1 e F2 
centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b
semidistância focal: c
vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
eixo maior: 
eixo menor:
distância focal: 
Relação fundamental
    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
	a2 =b2 + c2
Excentricidade
    Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
	
    Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Geometria Analítica - Cônicas
Equações
   Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
   Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:
	
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
   Nessas condições, a equação da elipse é:
	
		
Hipérbole
   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
	
	
 
	A figura obtida é uma hipérbole. 
Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
	
Geometria Analítica - Cônicas
Elementos
   Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
focos: os pontos F1 e F2 
vértices: os pontos A1 e A2 
centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de 
semi-eixo real: a
semi-eixo imaginário: b
semidistância focal: c
distância focal: 
eixo real: 
eixo imaginário:
 
Excentricidade
        Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
    Como c > a, temos e > 1.
 
Equações
   Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
	
	F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0)
    Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
    Nessas condições, a equação da hipérbole é:
	
	
Geometria Analítica - Cônicas
Hipérbole equilátera 
    Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:
	
	a = b
Assíntotas da hipérbole
    Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
    Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .
Equação
    Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
b) eixo vertical e C(0, 0)
    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
Parábola
    Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano equidistantes de F e d.
   Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
	
	
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
Elementos
   Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
foco: o ponto F
diretriz: a reta d
vértice: o ponto V
parâmetro: p
                Então, temos que:
o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
                Assim, sempre temos .
DF =p
V é o ponto médio de 
Equações
   Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
    Como a reta d tem equação   e na parábola temos:
;
P(x, y);
dPF = dPd ( definição);
        obtemos, então, a equação da parábola:
	y2 = 2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:
	
		y2 = -2px
c) parábola com vértice naorigem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
	
		   x2=2py
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
	
		 x2= - 2py
 Retas
Geometria analítica: retas
Introdução
   Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
   Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
 
Medida algébrica de um segmento  
   Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:
    A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
 
Plano cartesiano
   A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
   Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.
   Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:
    Exemplos:
A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.
 
Distância entre dois pontos
   Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:
	
	
   Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
Retas
Razão de secção
   Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta , o ponto C divide numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:
	
em que , pois se , então A = B.
   Observe a representação a seguir:
    Como o , podemos escrever:
    Vejamos alguns exemplos:
Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide é:
	
	
    Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:
Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:
	
	
   Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado contido em um eixo, temos:
se P é interior a , então rp > 0   
se P é exterior a , então rp < 0
se P = A, então rp =0 
se P = B, então não existe rp (PB = 0)
se P é o ponto médio de , então rp =1 
Retas
Ponto médio
   Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P,  que divide ao meio, temos:
	
	
Assim:
Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
Baricentro de um triângulo
   Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto, são as medianas desse triângulo:
    Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo.
   Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado.
Veja:
	
	
 
Cálculo das coordenadas do baricentro
   Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de , temos:
	
	
Mas:
Analogamente, determinamos . Assim:
   
Retas
Condições de alinhamento de três pontos
   Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:
            Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:
a) três pontos alinhados horizontalmente
    Neste caso, as ordenadas são iguais:
yA = yB = yC 
e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.
b) três pontos alinhados verticalmente
    Neste caso, as abscissas são iguais:
xA = xB = xC
 e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.
c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos
Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:
Desenvolvendo, vem:
Como:
então .
Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados.
Retas
Equações de uma reta
Equação geral
   Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.
   Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:
    Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:
	ax + by + c = 0
(equação geral da reta r)
   Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
                                        Acompanhe os exemplos:
Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).
        Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0
   Como a igualdade é verdadeira, então P r.
   Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
1 - 2 + 2 0
   Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.
 
Equação segmentária
   Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :
   A equação geral de r é dada por:
    Dividindo essa equação por pq  , temos:
    Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:
	
	
Retas
Equações paramétricas
   São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.
   Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma reta r.
   Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:
 x = t + 2 t = x -2
   Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:
y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0  ( equação geral de r)
 
Equação Reduzida
   Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:
   Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:
    Fazendo , vem:
	      y = mx + q
   Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
   Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.
 
Retas
Coeficiente angular
   Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:
    O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre .
            Assim:
para ( a tangente é positiva no 1º quadrante)
para ( a tangente é negativa no 2º quadrante)
            Exemplos:
 
Determinação do coeficiente angular
        Vamos considerar três casos:
a) o ângulo é conhecido
 
b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB)
	
	
Como ( ângulos correspondentes) temos que .
Mas, m = tg     Então:
Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:
c) a equação geral da reta é conhecida
Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:
Aplicandoo Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:
(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0
Da equação geral da reta, temos:
Substituindo esses valores em  , temos:
Retas
Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r
   Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(QP), podemos escrever:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1  e Y0=2. Logo:
y-y0=m(x-x0)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0
que é a equação geral de r.
 
Representação gráfica de retas
   Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( b0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta.
   Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.
 
Coordenadas do ponto de intersecção de retas
   A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas.
   Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:
    Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:
1 - y = -1
y = 2
   Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.
Graficamente, temos:
Posições relativas entre retas
Paralelismo
   Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.
Concorrência
   Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:
        Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:  
Perpendicularismo
        Se r  e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho:
Ângulo entre duas retas
   Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo , temos:
    Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo:
    Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois . O ângulo obtuso será o suplemento de .
 
Distância entre ponto e reta
   Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (dpr)é dada por:
	
	
Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.
Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2  e  c=1. Assim:
Bissetrizes
   Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0  e  s: a2x + b2y + c2 = 0, o que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, PQ, então P equidista de r e s:
 
        Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra.
       Vejamos um exemplo:
        Se r: 3x + 2y - 7 = 0  e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são:
 
Prof: Francisco Augusto de Freitas	Página 10