A6 GPI Métodos Quantitativos Prof Jederson

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Métodos Quantitativos
Aula 6
Prof. Jéderson da Silva
Organização da Aula
� Tema 1: Correlação linear: 
coeficiente de correlação 
de Pearson
� Tema 2: Teste de hipótese
para a existência de correlação
� Tema 3: Regressão linear 
simples
� Tema 4: Estimador da variância
� Tema 5: ANOVA da regressão
� Tema 6: Coeficiente de 
determinação
� Tema 7: Estimações e previsões
Tema 1
Correlação Linear: 
Coeficiente de 
Correlação de Pearson
Correlação Linear: 
Coeficiente de 
Correlação de Pearson (r)
� Objetivo: exploração de 
relação entre as variáveis
� Ex.: velocidade e 
deslocamento de uma partícula
� O coeficiente de correlação 
de Pearson busca quantificar 
o quão forte é a correlação 
linear entre duas variáveis 
intervalares
(MARTINS, 2010)
2
(ROSA, 2009)
Coeficiente de Correlação de 
Pearson:
Exemplo
� Objetivo: verificar se existe
associação entre a temperatura da 
água onde as matrizes de corte são
temperadas
e o grau
de dureza
adquirido
(PEINADO E GRAEML, 2007)
Solução
Tema 2
Teste de Hipótese 
para a Existência de 
Correlação (Thec)
THEC
� Baseado em testar a hipótese 
nula , ou seja, testar se 
a correlação linear entre X e Y 
é estatisticamente diferente 
de zero, considerando para 
isso fixo 
Premissa:
� Variáveis populacionais 
(X, Y) com distribuição 
normal bivariada (n>30)
(MARTINS, 2010) 
3
Etapas do THEC
1. X 
2. Fixar e escolher uma distribuição 
t de Student, com 
graus 
de liberdade
3. Com o auxílio 
da tabela t, 
determinam-se RA e RC (MARTINS, 2010)
4. Cálculo do valor da variável
5. Conclusão 
• Teste bilateral 
• Se , não se pode 
rejeitar
• Se ou , rejeita-se
(MARTINS, 2010)
Exemplo
� Com base nos dados do 
exemplo do Tema 1, teste se 
a correlação linear indicada é 
estatisticamente diferente de 
zero utilizando o THEC. Adote
um nível de significância de 5%
� Dados:
� Solução:
1. X
2.
3. Aproximando-se para 45 graus 
de liberdade
4. Cálculo do valor da variável
5. Conclusão: como 
podemos rejeitar a hipótese 
nula e concluir que a 
correlação é estatisticamente 
diferente de zero
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Tema 3
Regressão Linear Simples
Regressão Linear Simples
� Objetivo: obter uma equação
que explique a relação entre 
uma variável resposta Y e uma
variável preditora X
(PORTAL ACTION, 2014)
Relação entre X e 
Y é determinística
Modelo de Regressão 
Linear Simples
� Como determinar 
a e b? 
� Método dos 
Mínimos 
Quadrados
Método dos Mínimos 
Quadrados (MMQ)
Deve ser minimizada
� Resolvendo para a e b,
, onde:
(MARTINS, 2010)
Exemplo
� Objetivo: estabelecer uma relação
entre a variável de entrada
(temperatura) e a variável de saída
(dureza)
(PORTAL ACTION, 2014)
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Solução
MMQ para cálculo 
de a e b
MMQ para cálculo 
de a e b
� Portanto o modelo ajustado é dado por:
Dureza = a + b x Temperatura =
Dureza = 364,18 – 1,032 x Temperatura
Tema 4
Estimador da Variância
Estimador da Variância
� Objetivo: verificar a qualidade
do modelo de regressão ajustado
(MARTINS, 2010)
Variância
Desvio 
padrão
(MARTINS, 2010)
Variância
Desvio
padrão
� Alternativamente o cálculo da 
variância e do desvio padrão
pode ser feito como:
Exemplo
� Com base nos dados do exemplo
do Tema 3, calcule a estimativa da 
variância e do desvio padrão para 
o modelo de regressão ajustado
Dados:
6
Solução
Logo:
Tema 5
Análise de Variância 
(ANOVA) da Regressão
ANOVA da Regressão
� Objetivo: verificar a qualidade
do modelo de regressão ajustado
� Definindo:
Soma dos quadrados 
devido à regressão
Soma dos quadrados 
devido aos erros
Soma dos quadrados
totais 
Quadrados médios da 
regressão
Quadrados médios 
dos resíduos
P número de variáveis do modelo
n número total de observações
Tabela ANOVA da regressão:
Teste F:
1. x
2. Fixar e escolher uma 
distribuição F de Snedecor, com 
p-1 e n-p graus de liberdade
3. Com o auxílio da tabela de 
distribuição F de Snedecor, 
determinam-se RA e RC
4. Cálculo da variável teste
5. Conclusão:
se rejeita-se 
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Exemplo
� Com base nos dados do 
exemplo do Tema 3, realizar
a ANOVA da regressão e 
interpretar os resultados
obtidos. Admitir significância
de 5%
Dados:
(PORTAL ACTION, 2014)
Solução
� Tabela ANOVA da regressão:
(PORTAL ACTION, 2014)
� Para 5% de significância:
� Como rejeita-se 
a hipótese nula
Tema 6
Coeficiente de 
Determinação (R²)
Coeficiente de Determinação
� Objetivo: indicar o quanto o 
modelo foi capaz de explicar
os dados coletados
Soma dos quadrados 
devido à regressão
Soma dos quadrados
totais 
Coeficiente de 
determinação
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Exemplo
� Com base nos dados do 
exemplo do Tema 3 e 
Tema 5 realizar a ANOVA 
da regressão e interpretar
os resultados obtidos. 
Admitir significância de 5%
Dados:
(PORTAL ACTION, 2014)
Solução:
Tema 7
Estimações e Previsões
Estimações e Previsões
� Objetivo: utilizar o modelo
de regressão para previsões
de Y, dados valores de X
Estimação do valor 
médio de y, para um 
valor específico de x
Previsão de um 
particular valor de y, 
para um dado valor de x
(MARTINS, 2010)
Exemplo
� Considerando os dados dos 
exemplos anteriores, deseja-
se construir um IC para 
o valor médio de dureza, 
com 95% de confiança, 
para temperatura de 220ºC
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Temos:
Dados:
Dureza = 364,18 – 1,032 x Temperatura
Dureza (225) = 364,18 – 1,032 x 220 = 
137,14
Solução
Tabela t de Student:
Logo:
Referências de Apoio
� MARTINS, G. A. Estatística 
Geral e Aplicada. 4. ed. 
Editora Atlas, 2011. p. 421.
� PEINADO, J.; GRAEML, A. R. 
Administração da Produção 
(Operações Industriais e de 
Serviços). Centro Universitário 
Positivo, 2007.
Sites
� CORRÊA DA ROSA, J. M. Estatística 
II (Notas de Aula). Departamento 
de Estatística UFPR, 2009. 
Disponível em: 
<http://www.est.ufpr.br/ce003/mat
erial/apostilace003.pdf>.
� Portal Action. Disponível em: 
<http://www.portalaction.com.br/>.