Resumão AP1 C4

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Resumão 
Cálculo 4 – AP1 
Integrais Duplas 
 Da mesma forma que, nas integrais simples, “somamos” os valores de uma função 𝑓(𝑥) 
em comprimentos 𝑑𝑥, nas integrais duplas, fazemos o mesmo para funções 𝑓(𝑥, 𝑦) em uma 
área: 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦. 
O intervalo de integração passa a ser uma região (área) de integração. Aqui, usamos o Teorema 
de Fubini. Sendo a região de integração um retângulo 𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑]: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎𝑅
 
Assim, calculamos separadamente as integrais em 𝑥 e em 𝑦. 
Se liga!! Começamos sempre resolvendo a integral de dentro! 
O teorema não serve só para regiões retangulares, podemos usá-lo para uma região D qualquer. 
Aí os limites de integração de dentro vão ser funções e os de fora, números. 
Para facilitar, separamos as regiões em dois tipos: I ou II. Vamos ver como elas são. 
 Dizemos que D é uma região do tipo I se D for limitada à esquerda pela reta vertical 𝑥 = 𝑎, 
à direita pela reta vertical 𝑥 = 𝑏, inferiormente pela curva de equação 𝑦 = 𝑔1(𝑥) e 
superiormente pela curva 𝑦 = 𝑔2(𝑥), onde 𝑔1 e 𝑔2 são contínuas. 
 
Logo, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)}. Prova-se que: 
∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎
 
 Dizemos que D é uma região do tipo II se D for limitada inferiormente e superiormente por 
retas horizontais 𝑦 = 𝑐 e 𝑦 = 𝑑, respectivamente, pela esquerda pela curva 𝑥 = ℎ1(𝑦) e 
pela direita pela curva 𝑥 = ℎ2(𝑦), onde ℎ1 e ℎ2 são contínuas. 
 
Dica: O intervalo que é função sempre fica dentro e os diferenciais devem estar na ordem dos 
intervalos! 
Mas e se a região não se encaixa em nenhum desses tipos? Bom, nesse caso, você 
provavelmente vai ter que dividir sua região em duas partes! Como assim? Dá uma olhada na 
região abaixo: 
 
Não dá pra escrever como tipo I nem II, né? Mas se a gente dividir a região em duas (em 𝑥 =
𝑎), podemos escrever cada uma das partes como tipo I: para 𝐷1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 e 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓1(𝑥) e 
para 𝐷2 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 e 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓2(𝑥). Beleza? 
Passo a passo – Mudança na ordem de integração 
1. Ver que não dá pra integrar em y, mas em x fica mais fácil (ou vice-versa); 
2. Fazer um esboço da região de interação; 
3. Trocar o jeito de escrever a região (tipo I vira II e vice-versa); 
4. Reescrever a integral com os diferenciais invertidos e com os novos intervalos; 
5. Integrar! 
Mudança de Variáveis 
 Muitas vezes, a saída de uma questão de integral dupla é mudar as variáveis das 
integrais, procurando deixa-las mais fáceis de calcular. 
Dica: Fazemos mudança de variáveis quando encontramos: 
1. Termos repetidos na função a ser integrada; 
2. Termos repetidos nas funções que limitam a região de integração; 
3. Termos complicados dentro de senos, cossenos, raízes, etc. 
 Para fazer uma mudança de variáveis em integrais duplas, usamos essa fórmula aqui: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =∬𝑓(𝑢, 𝑣)|𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑄𝐷
 
Para isso, temos que calcular o Jacobiano da mudança, que vai ser: 
𝐽 = 𝐽𝜑(𝑢, 𝑣) =
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
= |
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
| ≠ 0 
Observação: Pelo teorema da função inversa, o jacobiano de 𝜑−1 é dado por 𝐽𝜑−1(𝑥, 𝑦) =
 |
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
| = (𝐽𝜑(𝑢, 𝑣))−1 =
1
𝐽(𝜑(𝑢,𝑣))
 
Repare que o termo que acrescentamos à integral é o módulo do Jacobiano, portanto, |J|. 
Perceba também que, além de reescrevermos a função a ser integrada nas novas variáveis, 
também temos que achar a nova região de integração. 
Passo a passo – Mudança de variáveis 
1. Chamar os termos complicados e/ou que se repetem de u e v; 
2. Calcular o Jacobiano da mudança; 
3. Encontrar a nova região de integração no plano 𝑢𝑣, fazendo a mudança nas funções do 
plano 𝑥𝑦; 
4. Reescrever a integral com os intervalos da nova região – não esquecer o Jacobiano; 
5. Integrar! 
Coordenadas Polares 
 Para escrever um ponto em coordenadas polares, precisamos de duas informações: sua 
distância até a origem, que chamamos de r, e o ângulo 𝜃 que o segmento r faz com o eixo x. 
 
Assim, a mudança que fazemos é a seguinte: 
{
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin𝜃
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
 
Dica: Pense em coordenadas polares quando a região de integração tiver circunferências/elipses 
e quando a função a ser integrada tiver termos 𝑥² e 𝑦². 
Passo a passo – Coordenadas Polares 
1. Ver que a boa é fazer a mudança polar; 
2. Fazer um esboço da região e encontrar os intervalor de r e 𝜃 (se preciso, substituir a 
mudança polar nas equações que limitam a região); 
3. Reescrever a integral, fazendo a mudança polar na função a ser integrada, trazendo os 
intervalos de r e 𝜃 e trocando 𝑑𝑥𝑑𝑦 por 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃; 
4. Integrar! 
Massa 
 Imaginemos B como uma lâmina delgada. Se 𝛿(𝑥, 𝑦) é uma função densidade 
superficial de massa associada a B, então 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐵 = ∬𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐵
 
 Se 𝛿(𝑥, 𝑦) for constante e igual a k, então a massa de B será igual ao produto de k pela 
área de B. Diremos, neste caso, que a lâmina é homogênea; caso contrário, diremos que a 
lâmina é não-homogênea. 
Centro de Massa 
 �̅� =
∬ 𝑥𝛿(𝑥,𝑦)𝑑𝐴𝐷
𝑀
 �̅� =
∬ 𝑦𝛿(𝑥,𝑦)𝑑𝐴𝐷
𝑀
 
Observação: Se 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑘, k constante, o ponto (�̅�, �̅�) é dito centróide e temos as seguintes 
fórmulas: 
 �̅� =
∬ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
 e �̅� =
∬ 𝑦𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦
∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
 
Momento de Inércia 
 Os momentos de inércia D em relação aos eixos x e y, são, respectivamente: 
𝐼𝑥 =∬𝑦
2𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
 
𝐼𝑦 =∬𝑥
2𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
 
 O momento de inércia polar em relação à origem é dado por: 
𝐼0 =∬(𝑥
2 + 𝑦2)
𝐷
𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
Simetria em Integral Dupla 
 Seja 𝐷 ⊂ ℝ², simétrica em relação ao eixo y e f(x, y) ímpar na variável x, isto é, f(−x, 
y) = −f(x, y). Então, ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0𝐷 . Com efeito, como D tem simetria em relação ao eixo 
y, observamos que D está limitada à direita pela curva 𝑥 = 𝑥(𝑦) e à esquerda pela curva 
𝑥 = −𝑥(𝑦). Supondo que a projeção de D sobre o eixo y seja o intervalo [c, d], temos o 
seguinte esboço para D: 
 
 
Então, ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑥(𝑦)
−𝑥(𝑦)⏟ 𝑑𝑦
=0 (∗)
𝑑
𝑐𝐷
= ∫ 0𝑑𝑦 = 0
𝑑
𝑐
 
(*) Aqui, usa-se que ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑎
−𝑎
 se 𝑔(𝑥) é uma função ímpar. 
 Analogamente, se D tem simetria em relação ao eixo x e 𝑓(𝑥, 𝑦) é impar na variável y, 
então ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0𝐷 . Veja o esboço para D na figura a seguir. 
 
Observações: 
1. Se a densidade 𝛿(𝑥, 𝑦) é uma função par na variável x (isto é, 𝛿(−𝑥, 𝑦) =
𝛿(𝑥, 𝑦)), então 𝑥𝛿(𝑥, 𝑦) é ímpar na variável x. Se D tem simetria em relação ao 
eixo y, então ∬ 𝑥𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0𝐷 e portanto, �̅� = 0. 
Analogamente, se 𝛿(𝑥, 𝑦) é uma função par na variável y e se D tem simetria 
em relação ao eixo x, então �̅� = 0. 
2. Se D é uma lâmina homogênea e tem simetria em relação ao eixo y, então 
�̅� = 0. 
Analogamente, se D é homogênea e tem simetria em relação ao eixo x, então 
�̅� = 0. 
 
Integrais Triplas 
 Da mesma forma que temos integrais simples (para funções do tipo 𝑓(𝑥)) e integrais 
duplas (para funções 𝑓(𝑥, 𝑦)), temos as integrais triplas, para funções 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). 
Aqui, não temos mais um intervalo de integração ou uma região plana, como vimos nas 
integrais simples e duplas, mas sim um volume. Ou seja, integramos a função em um volume 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧.O Teorema de Fubini continua valendo! Sendo 𝑃 um paralelepípedo [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] × [𝑒, 𝑓]: 
∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑃
𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑓
𝑒
 
 Da mesma forma que fizemos nas integrais duplas, sempre resolvemos as triplas 
começando pelas integrais de dentro! 
 E, novamente, esse teorema vale para quaisquer regiões, em que os intervalos das 
integrais de dentro são funções em vez de números. 
 Podemos dividir estas regiões em três tipos: 
 
 
Para resolver essas integrais, escrevemos uma integral simples em uma variável e uma integral 
dupla no plano das variáveis que sobrarem. Aí, resolvemos essa integral dupla da forma que já 
sabemos! 
 
Passo a passo – Integrais Triplas 
1. Fazer um esboço da região; 
2. Ver se a boa é escrever como tipo I, II, ou III e escrever uma das variáveis entre 
duas superfícies, chamando a projeção no plano “tal” de D; 
3. Montar a integral tripla como uma dupla em D, mais uma simples na variável que 
sobrou; 
4. Resolver a integral simples; 
5. Descobrir quem é D e achar os intervalos da integral dupla; 
6. Resolver a integração dupla. 
 
Massa 
 Se 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) é contínua e positiva em W, e representa a densidade volumétrica de massa 
(massa por unidade de volume), então a massa M de W é dada por: 
𝑀 =∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑊
 
Centro de Massa 
 O centro de massa (�̅�, �̅�, 𝑧̅) é dado por: 
�̅� =
∭ 𝑥𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝑊
𝑀
 
�̅� =
∭ 𝑦𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝑊
𝑀
 
𝑧̅ =
∭ 𝑧𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝑊
𝑀
 
Momento de inércia 
 O momento de inércia em relação a um eixo E é dado por: 
𝐼𝐸 =∭ 𝑟
2
𝑊
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∗ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 
onde 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = distância de (𝑥, 𝑦, 𝑧) ao eixo E. 
Se eixo E = eixo z, então 𝐼𝑧 =∭ (𝑥
2 + 𝑦2)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝑊
. 
Se eixo E = eixo y, então 𝐼𝑦 =∭ (𝑥
2 + 𝑦2)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝑊
. 
Se eixo E = eixo x, então 𝐼𝑥 =∭ (𝑦
2 + 𝑧2)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝑊
. 
Mudança de Variável na Integral Tripla 
 A mudança de variável é semelhante à das integrais duplas: 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤)|𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤
𝑄𝑊
 
onde, 𝐽 =
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
= |
|
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
|
| ≠ 0 é o jacobiano da mudança de variáveis. 
Coordenadas Cilíndricas 
Para escrever um ponto em coordenadas cilíndricas, escrevemos sua projeção no plano 𝑥𝑦 em 
coordenadas polares (𝑟 e 𝜃 são os mesmos que você já conhece) e sua coordenada 𝑧 continua a 
mesma: 
 
aqui é z², ou seja, ficará (x²+z²)
Ana claudia
Realce
Em resumo, temos: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin𝜃
𝑧 = 𝑧
𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
 
Dica: Usamos essa mudança de variáveis quando a região envolve cilindros, cones, 
paraboloides. Em geral, quando temos simetria em relação ao eixo z e a projeção fica bem 
escrita em coordenadas polares. 
Coordenadas Esféricas 
Para escrever um ponto em coordenadas esféricas, precisamos de três informações: sua distância 
até a origem 𝜌, o ângulo 𝜃 que a projeção de 𝜌 no plano 𝑥𝑦 faz com o eixo 𝑥 e o ângulo 𝜑 que 𝜌 
faz com a parte positiva do eixo 𝑧. 
 
Para fazer a mudança para coordenadas esféricas, usamos as seguintes equações: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 𝜌 sin𝜙 cos 𝜃
𝑦 = 𝜌 sin𝜙 sin𝜃
𝑧 = 𝜌 cos𝜙
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌2 sin𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃
𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝜌²
 
com 𝜌 ≥ 0, 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 e, também, 𝜃0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃0 + 2𝜋, para algum 𝜃0. 
 A coordenada 𝜌 mede a distância do ponto P à origem (portanto 𝜌 ≥ 0). A coordenada 
𝜃 é a mesma que a coordenada cilíndrica e sua variação é encontrada na projeção de W no plano 
𝑥𝑦. A coordenada 𝜙 é o ângulo entre o eixo z positivo (onde 𝜙 = 0) e a semirreta OP. A 
variação máxima de 𝜙 é 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋. 
Dica: Fazemos essa mudança de variáveis quando a região de integração envolve esferas, cones, 
elipsoides. Em geral, quando temos simetria em relação à origem. 
Passo a passo – Mudança cilíndrica/esférica 
1. Fazer um esboço da região; 
2. Ver qual mudança é melhor e achar os intervalos de 𝜌, 𝜙 𝑒 𝜃, ou 𝑟, 𝜃 𝑒 𝑧. Para isso, faça 
a mudança de variáveis nas equações das superfícies que limitam a região; 
3. Reescrever a integral com os novos intervalos (do passo anterior), fazendo a mudança 
na função a ser integrada e trocando 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 por 𝜌² sin𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃ou 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 
(dependendo da mudança); 
4. Resolver as três integrais, começando pela de dentro! 
Curvas Parametrizadas 
Relembrando... 
Teremos ter que trabalhar com parametrização de curvas o tempo todo nessa parte. Então é uma 
boa dar uma revisada nisso. 
 
1. O que é parametrizar uma curva? 
É escrever cada uma de suas variáveis (𝑥,𝑦,𝑧) em função de uma variável, ou seja, 𝑥,𝑦,𝜃,𝑡, etc. 
Uma curva tem infinitas parametrizações, cabe a nós escolhermos a que torna o problema mais 
simples. 
 
 Isolar uma variável: é a forma mais básica de parametrizar. Você isola uma variável e 
escolhe a outra como parâmetro. 
 Circunferências, elipses: a boa, em geral, é usar coordenadas polares. 
 
Observação: Todas essas “alterações” que fizemos nas coordenadas polares são para “cancelar” 
esses coeficientes nas equações das curvas e nos levar à identidade 𝑠𝑒𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=1 quando 
fazemos a mudança polar. 
 Segmento de reta entre dois pontos: 
Digamos que você queira parametrizar o segmento que vai do ponto (2,5) ao (3,8). Você pode 
achar a equação da reta que liga esses pontos, parametrizar ela e tal, mas vamos te dar um 
truque mais rápido aqui. 
É o método “𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟×𝑡+𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜”. 
1. Ache um vetor paralelo a esse segmento, fazendo 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=(3,8)−(2,5)=(1,3); 
2. Multiplique esse vetor pelo parâmetro 𝑡 e some um ponto pelo qual o segmento passe: 
𝛾(𝑡)=(1,3)𝑡+(2,5)=(𝑡+2,3𝑡+5); 
3. Descubra o intervalo de 𝑡, pode testar os pontos na parametrização. No caso, temos 0≤𝑡≤1. 
Pronto! 
 
Integrais de Linha 
 
Agora que já relembramos as curvas parametrizadas, podemos dizer que calculamos as integrais 
de linha com a seguinte fórmula: 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) ∗ ‖𝜎′⃗⃗ ⃗(𝑡)‖𝑑𝑡⏟ 
𝑑𝑠
𝑏
𝑎𝐶
 
Onde 𝜎 (𝑡) é a parametrização da curva 𝐶, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 é o intervalo do parâmetro 𝑡 e 
𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) é o campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) escrito em função da parametrização. 
Comprimento de arco 
𝐿 = ∫𝑑𝑠
𝐶
 
Massa de um fio 
Sendo 𝛿 sua densidade, a massa do fio C é: 
𝑀 = ∫𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠
𝐶
= ∫ 𝛿(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))‖𝜎′⃗⃗ ⃗(𝑡)‖
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 
Passo a passo – Integrais de Linha (Caso Escalar) 
1. Parametrizar a curva 𝜎 (𝑡) (encontrando o intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏); 
2. Calcular 𝜎′⃗⃗ ⃗(𝑡); 
3. Tirar o módulo desse vetor ‖𝜎′⃗⃗ ⃗(𝑡)‖; 
4. Aplicar a fórmula que demos lá em cima, trazendo os valores encontrados dos passos 
anteriores e lembrando de escrever o campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) nas variáveis da 
parametrização; 
5. Fazer o produto escalar 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) ∗ ‖𝜎′⃗⃗ ⃗(𝑡)‖; 
6. Resolver a integral! 
 
Centro de massa do arame 
 (�̅�, �̅�) 
𝑀�̅� = ∫𝑥𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠
𝐶
 
𝑀�̅� = ∫𝑦𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠
𝐶
 
 
 
 (�̅�, �̅�, 𝑧̅) 
𝑀�̅� = ∫𝑥𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠
𝐶
 
𝑀�̅� = ∫𝑦𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠
𝐶
 
𝑀𝑧̅ = ∫𝑧𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠
𝐶
 
Momento de Inércia 
 
𝐼𝐸 = ∫𝑟
2
𝐶
(𝑥, 𝑦) ∗ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 
𝐼𝐸 = ∫𝑟²
𝐶
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∗ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠