Aula 08 ... CMSF... EMPUXO

Prévia do material em texto

OBRAS DE TERRA
EMPUXO DE TERRA
Segundo CAPUTO, “entende-se por empuxo de terra a ação
produzida pelo maciço terroso sobre as obras com ele em
contato”.
Sua determinação é fundamental na análise de projetos de
obras como muro de arrimo, cortina de estaca-prancha,
construções de subsolos, encontro de pontes,...
As teorias clássicas, Rankine (1856) e Coulomb (1773)
continuam válidas, apesar de mais modernamente terem sido
estudadas e criticadas por Caquot, Ohde, terzaghi e outros.
 DUAS ABORDAGENS:
 MATEMÁTICA: REQUER CONHECIMENTO DO COMPORTAMENTO DA
RELAÇÃO TENSÃO X DEFORMAÇÃO. IMPLICA EM DIFICULDADES
MATEMÁTICAS E LEVA A SIMPLIFICAÇÕES QUE DISTANCIA DA
PRÁTICA;
 EMPÍRICO – EXPERIMENTAL: ATRAVÉS DE INFORMAÇÕES COLHIDAS
EM LABORATÓRIO E OBRAS EXPERIMENTAIS.
A AUTOMATIZAÇÃO DOS MÉTODOS NUMÉRICOS (COMPUTADORES), A
EVOLUÇÃO DAS TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM E ENSAIOS, TEM
MELHORADO SIGNIFICATIVAMENTE O PROCESSO MATEMÁTICO –
TEÓRICO.
TEORIA DE RANKINE
 Empuxo de terra: é a resultante da tensão lateral “σh”
produzida por um maciço terroso sobre as obras em contato
com ele.
01
ENVOLTÓRIA DE 
RUPTURA
CÍRCULOS DE MOHR
REPOUSO
 SOLOS GRANULARES:
02
Em grande parte dos problemas de engenharia de solos, é
necessário o conhecimento do estado de tensões em pontos do
subsolo, antes e depois da construção de uma estrutura
qualquer. As tensões na massa de solo são causadas por cargas
externas ou pelo próprio peso do solo.
A natureza do solo não varia horizontalmente e não há carregamento
externo (cargas aplicadas e distribuídas) próxima a região considerada,
caracteriza uma situação de tensões geostáticas.
E SE O SOLO FOR ESTRATIFICADO?
E SE O SOLO FOSSE SATURADO?
03
Solo não sofreu acréscimo de
deformações horizontais, logo, estado
de tensões é o de repouso. Ou seja, as
deformações horizontais são
impedidas.
“k” é denominado de
coeficiente de tensão
lateral ou de EMPUXO, que
é função do tipo de solo.
à situação para a qual o maciço entra em equilíbrio plástico e, por maiores que sejam os
deslocamentos da parede, não é possível reduzir mais o valor da tensão principal menor ( ’ha).
Neste caso, o solo terá atingido a condição ativa de equilíbrio plástico.
04
Se ocorre deslocamento
lateral aproximando-se do
solo, ocorrerá uma
diminuição das tensões →
Empuxo passivo
ESSES ESTADOS LIMITES DE EQUILÍBRIO OU ESTADOS PLÁSTICOS, O 
PRIMEIRO ESTADO DE EQUILÍBRIO INFERIOR, E O SEGUNDO, EQUILÍBRIO 
SUPERIOR →CHAMADOS “ESTADOS DE RANKINE”. 
Nota-se que: dp > da
Como se pode observar pelo diagrama acima, o valor dos
empuxos ativo e passivo dependem do deslocamento. A
mobilização do empuxo passivo máximo exigiria grandes
deslocamentos, que geralmente não são suportados pela
estrutura.
O empuxo atuando sobre o elemento estrutural provoca
deslocamentos horizontais que, por sua vez, alteram o valor e a
distribuição do empuxo, ao longo das fases construtivas da obra.
 EXEMPLO:
PARA O TERRENO INDICADO NA FIGURA, TRAÇAR O DIAGRAMA DAS 
PRESSÕES ATIVAS QUE AGEM SOBRE O PLANO VERTICAL “AB”. 
Ɣ = 1,8 t/m3
ⱷ = 30 ᵒ
C = 0
Ɣ = 1,6 t/m3
ⱷ = 15ᵒ
C = 0 t/m2
A
B
 SOLUÇÃO:
Ɣ = 1,8 t/m3
ⱷ = 30 ᵒ
C = 0
Ɣ = 1,6 t/m3
ⱷ = 15ᵒ
C = 0 t/m2
• PRESSÕES NO SOLO 01:
 Ka = tg2 (45 - ⱷ/2) = tg2 (45 - 30/2) = 0,3333
 Solo 01 é sobrecarga sobre solo 02 = Ɣ . h = 
1,8 . 3,0 = 5,4 t/m2
 PRESSÕES NO SOLO 02:
 Ka = tg2 (45 - ⱷ/2) =tg2 (45 - 15/2) = 0,59
 Sobrecarga solo 02 = Ɣ . h = 1,6 x 5 = 8,0
SOLO PROF (m) PRESSÕES ATIVAS (t/m2)
1 0 0,3333 x 6 = 2,0
1 3 2,0 + (0,3333x5,4) = 3,8
2 3 0,59 x (6 + 5,4) = 6,73
2 8 0,59 x (6 + 5,4 + 8) = 11,45
 SOLUÇÃO: DIAGRAMA DE TENSÕES
Ɣ = 1,8 t/m3
ⱷ = 30 ᵒ
C = 0
Ɣ = 1,6 t/m3
ⱷ = 15ᵒ
C = 0 t/m2
2,00
3,80 6,73
11,45
 SOLOS COESIVOS ( C ≠ 0)
 Empuxo ativo:
 Empuxo Passivo:
Empuxo em terraplenos inclinados
Se a superfície livre do terrapleno apresenta uma inclinação “β“ com a horizontal,
segundo Rankine, os valores dos empuxos, serão:
 EMPUXO SOBRE AÇÃO DE SOBRECARGA:
EXERCÍCIOS
1) A SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM MURO DE ARRIMO DE GRAVIDADE,
EM CONCRETO ARMADO, É COMO MOSTRADO NA FIGURA SEGUINTE.
NÃO HÁ SOBRECARGA NEM ÁGUA NO SOLO ATÉ O NÍVEL DA BASE. O
SOLO SUPORTADO NÃO APRESENTA COESÃO. A TENSÃO HORIZONTAL
NA COTA MAIS BAIXA DO MURO É DE 3,2TF/m2. O EMPUXO ATIVO PODE
SER ESTIMADO, ENTÃO, EM:
a) 7,2 tf/m
b) 8,4 tf/m
c) 9,6 tf/m
d) 10,2 tf/m
e) 11,6 tf/m
SOLUÇÃO:
 O EMPUXO ATIVO É CALCULADO EM FUNÇÃO DO “Ɣ” , “H” e “Ka”. O
COEFICIENTE DE EMPUXO PODE SER DETERMINADO COM BASE NO ÂNGULO DE
ATRITO INTERNO (ⱷ) → Ka = tg2 (45 - ⱷ/2).
 NESTE CASO NÃO CONHECEMOS O ATRITO INTERNO DO SOLO, PORÉM A
TENSÃO HORIZONTAL NA BASE DO MURO → σ = Ɣ . H . Ka;
 O EMPUXO ATIVO → Ea = (Ka . Ɣ . H2 )/2;
 FAZENDO AS DEVIDAS SUBSTITUIÇÕES:
Ea = [( σ/Ɣ . H) . Ɣ . H2 ] /2 → Ea = (σ . H )/ 2 → Ea = ( 3,2 . 6 )/ 2 → Ea = 9,6 tf/m
 COMO A TENSÃO CRESCE LINEARMENTE DE ZERO (NÃO HÁ SOBRECARGA) ATÉ
O VALOR MAXIMO → A ÁREA DO DIAGRAMA TRIANGULAR CORRESPONDE AO
Ea e TEM CENTRO DE GRAVIDADE (RESULTANTE) A 1/3 MEDIDO DA BASE.
2) SUPONDO UM TALUDE DE TERRA (ARGILA) COM 10 m DE ALTURA,
CALCULE O EMPUXO DE TERRA RESULTANTE DESSE MACIÇO?
Ɣ = 2,2 t/m2
Como não há contenção as forças são ativas.
Solo é argila
Ea = [(Ka.Ɣ.Z) – (2.c.√𝐾𝑎)] . Z2
2
O que falta para completar a fórmula?
Kp = 1/Ka 
Ka = 1/1,42 = 0,70
Z1 = (2.c. √𝐾𝑎))/(Ka.Ɣ) = (2.0,1. √0,70)/(0,70.2,2)
Z1 = 0,168/ 1,54 = 0,11 m
Ea = [(0,7.2,2.10) – (2.0,1.√0,7)].9,89/ 2 = 150,64/ 2 = 75,32 t/m 
3) Determinar analiticamente, pela teoria de Rankine, as tensões laterais
sobre um muro de arrimo de 5m de altura. Supondo maciço com
superfície horizontal; Ɣ = 2,0 tf/m3; S = σ.tg 30ᵒ.
(resposta deverá ser apresentada em kN/m)
Equação para solos granulares:
Ea = Ka.Ɣ.Z2 → Ka????? 
2
Ka = tg2 (45ᵒ - ⱷ/2) = 0,333
Ea = 0,333 . 2 . 25 = 8,33 tf/m = 83,3 kN/m
2
PONTO DE APLICAÇÃO = 1/3H = 1,67m DA 
BASE.
4) Determinar analiticamente, pela teoria de Rankine, as tensões laterais
sobre um muro de arrimo de 5m de altura. Supondo maciço com
superfície horizontal; Ɣ = 2,0 tf/m3; S = 1 + σ.tg 15ᵒ.
(resposta deverá ser apresentada em kN/m)
Ea = (Ka.Ɣ.Z) – (2.c. 0,59 ) . Z2
2
O que nos falta??? Ka e Z2 (= Z – Z1)
Ka = tg2 (45ᵒ - ⱷ/2) = 0,59
Z1 = (2.c. 𝐾𝑎)/Ka.Ɣ = (2.1.0,77)/0,59.2
Z1 = 1,3 m → Z2 = 5 – 1,3 = 3,7 m
Ea = [(0,59.2.5) – (2.1.0,77) . 3,7]/2 =
Ea = 8,06 tf/m = 80,6 kN/m
5) Um determinado muro de peso será executado para arrimar
umdesnível de 5metros no terreno.Opeso específico do solo é
18 kN/m³ e o coeficiente de empuxo ativo é 1/3. O valor do
empuxo ativo total sobre este muro, segundo a teoria de
Rankine, é:
a) 125 kN/m;
b) 250 kN/m;
c) 30 kN/m;
d) 75 kN/m;
e) 150 kN/m.
Ea = (0,3333 x 18 x 25)/2 = 75 kN/m
6) PARA O MURO DE ARRIMO
ABAIXO CALCULAR O EMPUXO
ATIVO?
E = Ka.Ɣ.H2 + q.H.Ka
2
QUE FALTA??? → Ka
Ka = tg2 (45 - ⱷ/2) = 0,333
Ea = 0,333.16.36 + 20.6.0,333
2
Ea = 95,90 + 39,96 = 135,86 kN/m
 E SE O SOLO FOR ESTRATIFICADO???
 CALCULAR AS TENSÕES HORIZONTAIS;
 DESENHAR O DIAGRAMA DE TENSÕES;
 CALCULAR O EMPUXO PELAS ÁREAS.
CALCULAR O EMPUXO ATIVO TOTAL SOBRE O ANTEPARO AB????
 SOLUÇÃO:
1. CALCULAR AS TENSÕES HORIZONTAIS:
SOLO PROF TENSÃO VERTICAL TENSÃO HORIZONTAL
1 0 Ɣ.H = 17,5 x 0 = 0 Ka x σv = 0
1 4 17,5 x 4 = 70kN/m2 0.33 x 70 = 23,1 kN/m2
2 4 70 + (16 x 0) = 70 (70x0,29) – (2.c.√Ka)= 18,14
2 7 70 + (16x3) = 118 (118x0,29) – (4.√0,29)= 32,06
3 7 118 + (20,5x0) = 118 118 x 0,21 = 24,78
3 17 118 + (20,05x10) =323 323 x 0,21 = 67,83 Kn/m2
 SOLUÇÃO:1. TRAÇAR DIAGRAMA DE TENSÕES HORIZONTAIS:
 SOLUÇÃO:
1. CALCULAR O EMPUXO TOTAL PELAS ÁREAS:
Et = 23,01x4 + 18,14x3 + (32,06 – 18,14)x3 + 24,78x10 + (67,83 – 24,78)x10
2 2 2
Et = 584,55 kN/m
OBRIGADO!!!