GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
Vetores: Viés Algébrico
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
 Prof. Ms. João Dimas Saraiva dos Santos
Revisão Técnica: 
Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
5
• Vetores no Plano
• Igualdade de Vetores
• Vetor caracterizado por dois pontos
Primeiramente, verificaremos os vetores no plano com ênfase às propriedades válidas para 
operações entre eles, com respaldo algébrico para comprovar essas operações.
Na etapa seguinte, será apresentada a base xOy, conhecida como a base do sistema ortogonal. 
É um sistema que consiste em vetores unitários, simbolizados pela letra i, uma referência ao 
eixo x e, pela letra j, que faz referência ao eixo y. 
O próximo passo é efetuar algebricamente as operações com vetores. Os argumentos 
algébricos aqui utilizados visam a corroborar o que se fez na Unidade I, geometricamente. 
No passo seguinte, vamos caracterizar algebricamente o vetor determinado por dois pontos 
e apresentar suas respectivas expressões analíticas. 
Serão então demonstrados os conceitos de ponto médio de um vetor, paralelismo entre 
vetores e módulo de um vetor, conceitos esses já representados graficamente, necessitando, 
portanto, de comprovação algébrica.
Na última etapa, serão apresentados os vetores no espaço. Isso equivale a sair do plano 
bidimensional, base canônica {i,j} e passar para o espaço tridimensional de base canônica {i,j,k}.
 · Anteriormente, estudamos vetores sob a visão geométrica, com 
base mais na observação e na intuição. 
 · Trataremos o estudo de vetores sob o viés algébrico, onde o 
que se discutiu anteriormente ganha mais rigor e precisão por 
meio da álgebra. 
Vetores: Viés Algébrico
• Ponto Médio
• Paralelismo de Dois Vetores
• Vetores no Espaço
6
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Contextualização
Vamos nessa contextualização, fazer o encadeamento de ideias que nos remeta ao trabalho no 
plano e no espaço. Pois é, os vetores podem encontrar-se no plano, ou seja, região bidimensional 
ou no espaço, região tridimensional. 
O plano cartesiano ortogonal envolve os dois eixos coordenados x e y, com os quais você 
deve ter, espera-se, uma boa familiaridade. Já o plano cartesiano tridimensional, que por certo, 
para muitos é algo relativamente novo, envolve três eixos, x, y e z. 
O termo “cartesiano”, é uma referência ao sobrenome do inventor desse sistema de loca-
lização de pontos, René Descartes (1596-1650).
Como mencionou-se anteriormente, as coordenadas cartesianas relacionam-se a um 
sistema de dois (plano) ou três eixos (espaço) que nos permite determinar a localização de um 
determinado ponto. 
No plano, temos o eixo das abscissas, x e y das ordenadas, já no espaço, esses eixos, x, y e 
z, além dos dois eixos anteriormente mencionados, junta-se a eles o terceiro eixo que recebe o 
nome de cota. 
Abaixo, Figuras (a) e (b), estão representados um plano e um espaço. As linhas inteiras 
indicam os semieixos positivos, já as linhas tracejadas indicam os semieixos negativos.
 
Com base no que foi acima exposto, localize graficamente, as coordenadas do ponto P, com 
base na informação a seguir:
Suponha que, a partir da origem, você tenha percorrido uma distância de três unidades ao 
longo do eixo x no sentido positivo, uma distância de duas unidades para a direita e então uma 
distância de quatro unidades para cima. 
Qual a sua localização atual?
Resolução:
Observe que, em relação aos eixos (x, y e z), os deslocamentos são todos positivos. Quando 
trabalhamos no plano tridimensional, nos referimos a octantes, uma vez que esse plano pode ser 
dividido em oito regiões. A única região que apresenta os três semieixos positivos é o primeiro 
octante. Vamos denominar de P, a sua localização atual. Devemos então, a partir da origem, 
7
a qual tem coordenadas (0, 0, 0), nos movermos três unidades sobre o eixo x, no sentido 
positivo. Em seguida, vamos duas unidades para a direita. Ir para a direita, não significa ir numa 
direção qualquer, devemos nos deslocar paralelamente ao eixo y. Por fim, devemos subir quatro 
unidades. Aqui cabe ressaltar que esse movimento ascendente, deverá se dar paralelamente ao 
eixo z. Acompanhe a representação geométrica abaixo.
 
Note que a P’(3, 2), localiza-se no plano xy e P(3, 2, 4), localiza-se no primeiro octante. Logo, 
sua posição atual é P(3, 2, 4) e você se situa no primeiro octante. 
Ao longo da Unidade II você obterá mais informações sobre os octantes e suas localizações.
8
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Vetores no Plano
Observe na figura (2.1) a seguir a representação dos vetores (v⃗1 ) e (v⃗2 ) não-paralelos, com 
origem no mesmo ponto O, sendo r e s retas contendo esses representantes, respectivamente. 
 
Veja a seguir as representações em função de (v⃗1) e (v⃗2), dos vetores u⃗, v⃗, x⃗, y⃗ e z⃗.
 · u⃗ = - 6 (v⃗1) – 2 (v⃗2)
 · v⃗ = 5 (v⃗1) + 3 (v⃗2)
 · x⃗ = 3 (v⃗1)
 · y⃗ = 2 (v⃗2)
 · z⃗ = 4 (v⃗1) – (v⃗2)
A expressão geral nos permite representar um vetor v⃗, a partir de dois vetores (v⃗1) e (v⃗2), associa-
dos a uma única dupla de números reais a1 e a2, é: v⃗ = a1 (v⃗1) + a2 (v⃗2).
A figura 2.1, a seguir, ilustra graficamente v⃗ = a1 (v⃗1) + a2 (v⃗2). Essa expressão é chamada de 
combinação linear de (v⃗1) + (v⃗2).
O conjunto B = {v⃗1, v⃗2} é chamado base no plano. Perceba que qualquer conjunto de dois 
vetores não paralelos constitui uma base no plano. A base foi considerada como um conjunto. 
Porém, é importante ter em mente que devemos considerar esse conjunto como ordenado. 
Em v⃗ = a1 (v⃗1) ⃗ + a2 (v⃗2), os números a1 e a2 são chamados de componentes ou coordenadas 
de v⃗ na base B (a1 é a primeira coordenada e a2 é a segunda coordenada). O vetor v⃗ da 
igualdade pode ser representado também por v⃗ = (a1, a2).
9
A base a ser utilizada é a que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. Os 
vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i⃗ e j⃗ , ambos com origem em O 
e extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente. 
Na Figura 2.2, a seguir, está representada a base C={1,1}, que é denominada base canônica. 
Logo, i ⃗ = (0, 1) e j ⃗ = (0, 1). 
Figura 2.2
A representação algébrica para a Figura 2.2 é v⃗ = x i⃗ + y j⃗ .
Os números reais x e y são as componentes de v⃗ na base canônica. A componente x é 
denominada abscissa de v⃗ e a componente y é a ordenada de v⃗.
O vetor v⃗ que se encontra representado graficamente na Figura 2.3 terá a seguinte represen-
tação algébrica: v⃗ = (x, y).
Figura 2.3
 
Do que até aqui se discutiu nessa Unidade concluímos que:
Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.
O par ordenado (x, y) é denominado expressão analítica de v⃗. Veja alguns exemplos de 
vetores e suas respectivas representações analíticas:
- 2i⃗ + j⃗ = (-2, 1) - 5i⃗ = (-5, 0)
4j⃗ = (0, 4) 0⃗ = (0, 0)
10
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Igualdade de Vetores
Os vetores u⃗ = (x1, y1) e v⃗ = (x2, y2) são ditos iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2, e 
estabelecemos que u⃗ = v⃗.
Exemplo
Dados dois vetores u⃗=(2x + 1, 5) e v⃗ =(3, y – 6), iguais, determine a expressão analítica u⃗ = v⃗
= (x, y).
Resolução 
Operações com vetores
A conclusão é de que, para somar dois vetores, somamos as coordenadas correspondentes, 
e para multiplicar um número real por um vetor, multiplicamos cada componente do vetor por 
esse número real.
As Figuras 2.4(a) e 2.4(b), a seguir, ilustram geometricamente como adicionar dois vetores e 
multiplicar um número real por um vetor:
 Figura 2.4 (a) Figura 2.4 (b)
 
11
Atividades
Resoluções
Desenvolvendo a equação temos:
x-2u = -1/2v –x
2x = 2u -1/2 e substituindo as coordenadas de u e v temos:
2x= 2(-2,3) – ½(1,-3)
2x = (-4,6) + (-½,3/2)
2x = (-9/2,15/2)
X =(-9/4, 15/4)
3) Devemos reescrever v⃗ = a1 v⃗1 + a2 v⃗2 substituindo v⃗ = (5, –5), v⃗1= (2, 4) e v⃗2= (–1, 3) , logo:
v⃗ = a1 v⃗1 + a2 v⃗2 ⇒ (5, –5) = a1 (2, 4) + a2 (–1, 3) ⇒ (2a1, 4a1) + (–a2 + 3a2) = (5, –5) ⇒ (2a1 
– a2, 4a1 + 3a2) = (5, –5).
Obteremos o seguinte sistema de equações: 
2 5
4 3 5
1 2
1 2
a a
a a
− =
+ = −



Para resolver o sistema podemos multiplicar a primeira equação por três, obtendo então um 
novo sistema equivalente, e na sequência somar, termo a termo, as duas equações:
2 5 3
4 3 5
6 3 15
4 3 5
1 2
1 2
1 2
1 2
a a vezes
a a
a a
a a
− = ( )
+ = −




− =
+ = −



∼
Somando as duas equações teremos: 10a1=10 ⇒ a1= 
10
10
 = 1. Substituindo a1 = 1 em 2a1 – a2 
= 5, obtemos: 2.1 – a2 = 5 ⇒ 2 – a2 = 5 ⇒ –a2 = 5 – 2 ⇒ –a2 = 3 ⇒ a2 = –3. Logo, a1 = 1 e 
a2 = – 3.
12
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
1) Primeiramente, vamos representar a expressão analítica de D(x, y).
(CD) = 
3
2
 (AB) = ⇒ D – C = 
3
2
 (B – A) ⇒ (x, y) – (–1, 5) = 
3
2
 [(4, 3) – (–2, 1)] ⇒ (x + 1, 
y – 5) = 
3
2
 [(4 + 2, 3 – 1)] ⇒ (x + 1, y – 5) = 
3
2
 (6, 2) ⇒ (x + 1, y – 5) = (
3
2
 6,
3
2
 2) ⇒ (x + 
1, y – 5) = (9, 3) ⇒ 
x
y
+ =
− =



1 9
5 3
 ⇒ x + 1 = 9 ⇒ x = 8 e y – 5 = 3 ⇒ y = 8.
Portanto: D(x, y) = (8, 8)
Trocando Ideias
Observe que a atividade 3 gerou um sistema de equações de primeiro grau, que foi resolvido pelo 
método da adição. A primeira equação foi multiplicada por 3 para podermos cancelar -3a2 com 
3a2 e ficarmos apenas com a incógnita a1. Existe também a opção de resolução pelo método da 
substituição. Que tal visitar os sites recomendados anteriormente e verificar as possibilidades de 
resolução de sistemas de equações? Você deve ter percebido que quando os vetores são abordados 
sob o viés algébrico devemos ter um bom domínio da aritmética e da álgebra. Sem isso, nosso 
trabalho torna-se desgastante e moroso.
Vetor caracterizado por dois pontos
Dado o vetor de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade B(x2, y2), conforme representado 
na Figura 2.5 e as expressões analíticas dos vetores e são: = (x1, y1) e = (x2, 
y2), note que, do triângulo OAB da figura, temos + = daí = - , ou, 
substituindo e pelas suas respectivas expressões analíticas, = (x2, y2) – (x1, y1), logo 
 = (x2 - x1, y2 - y1).
Concluímos que as componentes de são obtidas pela subtração das coordenadas de 
origem A das coordenadas de extremidade B. Daí o motivo de escrevermos = B – A.
Figura 2.5
 
Na figura 2.6, a seguir, encontra-se o representante natural de um vetor , mais comumente 
conhecido como vetor posição. Note que o vetor posição tem origem em O(0,0) e extremidade 
em P (x2 - x1, y2 - y1). 
13
Vamos relembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados 
de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
No entanto, o vetor que melhor caracteriza um vetor qualquer é o vetor posição.
Figura 2.6
 
Na figura 2.7, estão representados os vetores , e , por meio dos segmentos 
orientados. Esses segmentos orientados representam o mesmo vetor, ou seja, têm o mesmo 
tamanho, mesma direção e mesmo sentido. 
Vamos expressar analiticamente esses três vetores:
Figura 2.7
 
Observe que as componentes dos três vetores representados na figura 2.7 acima são iguais, 
o que os caracteriza como vetores iguais. Na representação gráfica da Figura 2.7, está claro que 
os vetores , 
o que os caracteriza como vetores iguais. Na representação gráfica da Figura 2.7, está claro que 
 e têm origens diferentes, o que não interfere no fato de representarem 
o mesmo vetor, uma vez que apresentam mesmo tamanho, mesma direção e mesmo sentido.
14
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Atividades 
1) Dados os pontos A(-2, 1), B(4, 3) e C(-1, 5), determinar o ponto D de modo que 
2) Sendo A(1, 4) e B(3, 4) extremidades de um segmento, determinar os pontos C e D que 
dividem o segmento AB em três segmentos de mesmo comprimento.
3) Dados A(-2, 3) e B(3, 5) vértices de um paralelogramo ABCD e M(3, 6) o ponto de 
intersecção das diagonais, determinar os vértices C e D.
Resoluções
1) Primeiramente, vamos representar a expressão analítica de D(x, y).
2- Primeiramente, vamos representar a situação enunciada por meio de um esboço.
3) Na unidade 1, na abordagem geométrica de vetores, você encontra a justificativa para a utiliza-
ção de uma propriedade muito importante dos paralelogramos. No entanto, essa propriedade carece 
de uma justificativa algébrica, mais rigorosa, a qual se dará após a resolução dessa atividade. Vamos, 
primeiramente, fazer a representação gráfica de um paralelogramo e a intersecção de suas diagonais.
15
Aplicando-se a definição de ponto médio para encontrar as coordenadas de C(x, y), temos:
Vamos, agora, determinar as coordenadas do ponto D:
Quando abordada sob o ponto de vista geométrico, ficou claro, por meio de 
figuras, que as diagonais de um paralelogramo se interceptam (tocam), no ponto 
médio dessas. Essa conclusão de que as diagonais se interceptam no ponto médio 
necessita de mais rigor. Os instrumentos utilizados para fazer os desenhos podem 
conter imprecisões e a grafite apresenta uma espessura que pode comprometer 
as medições. Nesse caso, o que fornecerá rigor e precisão às nossas conclusões 
é a álgebra. Vamos agora utilizar a álgebra para demonstrar que o ponto M, 
representado na figura a seguir, é ponto médio de AC⃗. Acompanhe a seguir, passo 
a passo, essa demonstração. 
Vamos considerar o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD e seja M o ponto médio de 
AC, o que corresponde a afirmar que . 
16
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Temos que provar que M também é ponto médio de BD.
Pela definição da soma de vetores, temos que 
Pela igualdade de vetores, Observe que AD

 é substituído por BC

e, CM

é 
substituído por MA

(igualdade de vetores).
 
Note que pela propriedade comutativa BM

=MA

+AD

.
Como BM

=MD

, concluímos que M é ponto médio de BD

.
Ponto Médio
Vamos agora consolidar o procedimento para a obtenção do ponto médio entre dois pontos AB.
Seja o segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2, y2), conforme ilustrado na Figura (2.8) a seguir. 
Considerando M(x, y) o ponto médio de AB, pode-se expressar de forma vetorial como AM

= 
MB

 ou (x - x1, y - y1) = (x2 - x, y2 - y) e, então, 
x x x x x x x x x x x x
x x
e
y y y y y y y y
− = − ⇒ + = + ⇒ = + ⇒ =
+
− = − ⇒ + = + ⇒
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
2
22
21 2
1 2y y y y
y y
= + ⇒ =
+
Figura 2.8
Portanto, M 
Atividade
Determinar o ponto médio do segmento A(3, -4) e B(5, 2).
17
Resolução
Paralelismo de Dois Vetores
 Vimos na Unidade 1, na abordagem geométrica, que se dois vetores u

= (x1, y1) e v

 = (x2, 
y2) são paralelos, então existe um número real a tal que u

= a v

, isto é, (x1, y1) = a (x2, y2) ⇒ 
(x1, y1) = (ax2, ay2). 
Utilizando a condição de igualdade, temos: 
Observe que é uma igualdade entre duas frações, ou seja, é uma proporção. 
Portanto, concluímos que dois vetores serão paralelos se, e somente se, suas componentes 
forem proporcionais. 
Atividade
Verificar se os vetores u

= (2, 4) e v

= (-1, -2) são paralelos.
Resolução
Temos de verificar se u

 // v

. Para isso , devemos utilizar o que se discutiu anteriormente 
sobre o paralelismo entre dois vetores. Vimos que, dois vetores são paralelos quando suas 
componentes forem proporcionais, isto é, = a. 
Então, a = 
2 4
1 2
=
− −
 = -2. Logo, u

 // v

.Módulo de um vetor
Na Unidade 1, discutimos como se calcula o módulo de um vetor. Vamos agora, a partir da 
resolução de uma atividade, estender esse conceito, bem como analisar outras aplicações. 
Consideremos o vetor v

 = (x, y) (Figura 2.9). Aplicando o teorema de Pitágoras, temos |v

| = 
Figura 2.9
18
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Atividade
Calcular o módulo do vetor v

 = (- 4, 8).
Resolução
 u.c. (unidades de comprimento).
Observação
Quando as soluções gerarem raízes, essas deverão ser mantidas. Queremos dizer, não calcule 
a raiz aproximada de 80, mas sim fatore o 80, do seguinte modo: 80 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5. 
 Queremos obter 
Conclusões 
A distância entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) (Figura 2.10) é o comprimento (módulo) do 
vetor AB

, isto é, d(A, B) = |AB

|. Sabemos que AB

 = B – A = (x2 - x1, y2 - y1), obtemos d(A, B) 
= =√(x2- x1)
2+ (y2- y1)
2
Figura 2.10
 
Vimos do tratamento geométrico, Unidade 1, que a todo vetor v

, v

 ≠ 0 podemos associar 
dois vetores unitários e paralelos a v

. São eles: que é o versor de v

 e - , o seu oposto.
Atividades 
1. Determinar o versor de v

 = (-8, 6).
2. Dados os pontos A(-1, 2) e B(4, -1) e os vetores u

 = (3, -1) e v

 = (2, 10), determinar:
a.| v

|
b.|u

+ v

|
c.|3u

- 2 v

|
d. A distância entre os pontos A e B
 
19
3. Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja equidistante dos pontos A(1, 3) e B(4, 7).
4. Dado o vetor v

 = (-1, 2), encontrar o vetor paralelo a v

 que tenha:
a. O mesmo sentido de v

 e três vezes o módulo de v

;
b. O sentido contrário ao de v

 e a metade do módulo de v

;
c. O mesmo sentido de v

 e módulo 5;
d. O sentido contrário ao de v

 e módulo 3.
Resoluções
1. v v
v


= =
−( )
−( ) +
=
−( )
+
=
−( )
=
−( )
=
−8 6
8 6
8 6
64 36
8 6
100
8 6
10
8
102 2
, , , ,
,
66
10
4
5
3
5





 = −





,
Note que quando encontramos o versor de um determinado vetor, na verdade, determinamos 
o vetor unitário relativo ao vetor v

 fornecido. 
Observe a comprovação do que foi exposto acima.
Vamos calcular o módulo (comprimento) de v v

= −





4
5
3
5
, :

= −




 +





 =
+ = =
4
5
3
5
16
25
9
25
25
25
1
2 2
2a) | v

| = √(22+102 ) = √(4+100) = √104 = √(2 •2 •2 •13) = √(4 •26) = 2 √26
2b)|u

+ v

 | = √106
Primeiramente, calculamos: u

 + v

 = (3, -1) + (2, 10) = (5, 9), logo
|u

+ v

 | = |(5,9)| = √(52+ 92 ) = √(25+81) = √106.
Observe que a resposta aqui fica √106, pois ao fatorar 106 (2 • 53) não conseguiremos 
extrair nenhum fator do radical.
2c)|3u

- 2 v

|
Primeiramente, resolvemos 3u

 - 2 v

 = 3(3, -1) – 2(2, 10) = (9, -3) – (4, 20) = (9-4, 
-3-20) = (5, -23)
|3u

- 2 v

| = c) |(5,-23)| = √(52+(-23)2 ) = √(25+529) = √554 
d) A distância entre os pontos A e B
AB

 = B – A = (4, -1) – (-1, 2) = (5, -3), daí vem 
d(A,B) = |AB

| = |(5,-3)| = √(52+ (-3)2 = √(25+9) = √34
20
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
3) O ponto Ox está sobre o eixo x e, portanto, é do tipo P(x, 0). O ponto P deve ser equidistante 
a A(1, 3) e B(4, 7). Ser equidistante implica estar à mesma distância de A e B. Logo, 
devemos ter d(P, A) = d(P, B).
|PA

| = |PB

|. Temos que, PA

 = A – P = (1 – x, 3 – 0) = (1 – x, 3) e PB

 = (4 – x, 7 – 0) = 
(4 – x, 7). Sabendo que|PA

|=|PB

|√(1-x)2+ 32) = √(4-x)2+ 72).
Resolvendo a equação: 
√(1-x)2+ 32 ) = √(4-x)2+ 72 ) ⇒ [√(1-x)2+ 32]2 = [√(4-x)2+ 72]2 ⇒ (1 – x)2 + 32 = (4 – x)2 
+ 72 ⇒ 1 – 2x + x2 + 9 = 16 – 8x + x2 + 49 ⇒ - 2x + x2 + 8x - x2 = 16 + 49 – 1 – 9 ⇒ 6x = 
55 ⇒ x = 55
6
. Portanto P = (0, 55
6
)
3a) Basta multiplicar v

 por 3. 3 v

 = 3(-1, 2) = (-3, 6).
3b) Basta multiplicar v

 por - 
1
2 , vez que o sinal de menos inverte o sentido do vetor e 
multiplicar por 1
2
 é o mesmo que considerar a metade dele. 
Assim, temos: - 
1
2
 v

 = - 
1
2
 (-1, 2) = (
1
2
, -1)
3c) Primeiramente, devemos calcular o versor de v

, ou seja, o vetor unitário e, depois multiplicá-
lo por 5. O vetor unitário obtido a partir de v

 é é 
o versor de v

. 
Agora, devemos multiplicar o versor por 5, o que garante que o vetor encontrado será paralelo 
a v

 e tenha módulo 5. 
2d) Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 3 e sentido contrário ao de v

, basta 
multiplicar o versor de v

 por -3. 
Observe que no item c o versor de v

, já foi calculado.
Vetores no Espaço
Até agora, estudamos vetores na base canônica {i,j}, no plano cartesiano ortogonal xOy, base 
essa que determina um ponto P(x, y) qualquer desse plano, que corresponde ao vetor OP

 = x i

 + y 
j

, ou seja, as próprias coordenadas x e y do ponto P são as componentes do vetor OP

.
21
O que se discutiu até aqui faz referência ao plano cartesiano bidimensional, xOy. De modo 
semelhante, vamos considerar a base canônica {i, j, k} como a que irá determinar o sistema 
ortogonal Oxyz, em que três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com 
origem no ponto O (Figura 2.11).
O ponto O e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: 
eixo Ox ou eixo dos x (abscissas) corresponde ao vetor i

; o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) 
corresponde ao vetor j

 e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetor k

. As setas 
nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. 
Figura 2.11
Z
Y
1
1
1
X
i
g
k
Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Isso equivale a dizer que, cada dupla 
de vetores de base e também determina um plano coordenado. Ficam assim determinados três 
planos coordenados: xOy ou xy, o plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz. Observe nas figura 
2.12(a) e 2.12(b), uma ideia dos planos xy e xz, respectivamente.
Assim como no plano, a cada ponto P(x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor OP

 = x
i

 + y j

 + zk

, isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor 
OP

 na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, 
respectivamente.
22
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
A Figura 2.13(a) ilustra um ponto P(x, y, z) no espaço e a Figura 2.13(b) o correspondente 
vetor v

 = OP

, que apresenta a diagonal do paralelepípedo, cujas arestas são definidas pelos 
vetores xi

, y j

 e zk

.
 (b)
O vetor v

 = xi

 + y j

 + zk

 também será expresso por v

 = (x, y, z) que é a expressão analítica 
de v

. Acompanhe os exemplos a seguir
3i

 - 2 j

 + 5k

 = (3, -2, 5)
-i

 + k

 = (-1, 0, 1)
-3 j

 - k

 = (0, -3, -1)
2k

 = (0, 0, 2)
E temos, ainda, os casos particulares i

 = (1, 0, 0), j

 = (0, 1, 0) e k

 = (0, 0, 1).
No paralelepípedo a seguir (Figura 2.14), estão algumas considerações a pontos como 
também poderíamos referi-las aos correspondentes vetores. Observe que no paralelepípedo foi 
tomado P(3, 2, 4) como referência. 
Figura 2.14
23
Com base na figura acima e levando-se em conta que um ponto (x, y, z) está no:
a. Eixo dos x quando y = 0 e z = 0, tem-se A(3, 0, 0);
b. Eixo dos yquando x = 0 e z = 0, tem-se C(0, 2, 0);
c. Eixo dos z quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0, 0, 4);
d. Plano xy quando z = 0, tem-se B(3, 2, 0);
e. Plano xz quando y = 0, tem-se F(3, 0, 4);
f. Plano yz quando x = 0, tem-se D(0, 2, 4).
O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos 
yz e xz, respectivamente. O ponto A(3, 0, 0) é a projeção de P(3, 2, 4) no eixo dos x, assim como 
C(0, 2, 0) e E(0, 0, 4) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente. 
Como todos os pontos da face
a. PDEF distam 4 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 4, isto 
é, são pontos do tipo (x, y, 4);
b. PBCD distam 2 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y 
= 2, isto é, são pontos do tipo (x, 2, z);
c. PFAB distam 3 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x = 
3, isto é, são pontos do tipo (3, y, z). 
Na Figura 2.14, a seguir, ilustra-se que o eixo dos x pode ser descrito como o conjunto 
dos pontos do tipo (x, 0, 0), ou seja, daqueles que têm y = 0 e z = 0, enquanto que o plano 
xy como o conjunto dos pontos do tipo (x, y, 0), ou seja, daqueles que têm z = 0. 
Conclusões análogas podem ser tiradas para os outros eixos e planos coordenados 
indicados na figura.
Figura 2.14
 
24
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Acompanhe na ilustração a seguir, Figura 2.15, como marcar um ponto no espaço, 
suponhamos P(2, -3, 5):
1º Marca-se o ponto P’(2, -3, 0) no plano xy;
2º Desloca-se P’ paralelamente ao eixo dos z, 5 unidades para cima (se fosse -5 seriam 5 
unidades para baixo) para obter o ponto P.
Figura 2.15
 
Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos, dividindo o espaço em oito 
regiões denominadas octantes (Figura 2.16). 
A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido 
positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é constituído dos pontos de coordenadas 
todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir 
do primeiro, no sentido positivo. Os octantes a seguir do plano xy se sucedem na mesma ordem 
a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro.
Figura 2.16
25
A Figura 2.17 apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota 
igual a 3, enquanto A’, B’, C’ e D’ estão a seguir desse plano e têm cota -3:
Ponto A(4, 5, 3), situado no 1º octante;
Ponto B(-3, 2, 3), situado no 2º octante;
Ponto C(-5, -4, 3), situado no 3º octante;
Ponto D(6, -2, 3), situado no 4º octante;
Ponto A’(4, 5, -3), situado no 5º octante;
Ponto B’(-3, 2, -3), situado no 6º octante;
Ponto C’(-5, -4, -3), situado no 7º octante;
Ponto D’(6, -2, -3), situado no 8º octante.
Figura 2.17
As definições e conclusões para vetores no plano são análogas às do espaço. Veja 
algumas delas:
I. Dois vetores u

 = (x1, y1, z1) e v

 = (x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1= y
2, 
z1= z2.
II. Dados os vetores u

 = (x1, y1, z1) e v

 = (x2, y2, z2) e a ∈ R, define-se:
u

 + v

 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
a u

 = (ax1, ay1, az1)
 III. Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então AB

 = B – A = (x2 - x1, 
y2 - y1, z2 - z1).
26
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Já vimos que: se v

 = B – A ⇒ B = A + v

.
A figura 2.18 a seguir indica que para encontrar as coordenadas do ponto extremo B somam-
se ordenadamente as coordenadas do ponto inicial A com as componentes do vetor v

.
Figura 2.18
 Z
Y0
A (x1, y1, z1)
B (x1 + a, y1 + b, z1 + c)
v = (a, b, c)
IV. Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de AB 
é M = 
V. Se os vetores u

 = (x1, y1, z1) e v

 = (x2, y2, z2) são paralelos, então u

 = av

 ou 
VI. O módulo do vetor v

 = (x, y, z) é dado por |v

| = √(x2+ y2+ z2).
Atividades
1. Dados os pontos A(0, 2, -2) e B(2, 4, -2) e os vetores u

 = (-4, -2, 2), v

 = (6, 0, -2) e w

 
= (-4, 4, 4), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que w

 = a1 AB

 + a2 u

+ a3 v

. 
2. Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(6, -4, 8), B(10, 
2, -6) e C(0, 2, 4). 
3. Sabendo que o ponto P(-6, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(2, -4, 8) e 
B(-2, 6, 2), determine m e n.
4. Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2), calcular o comprimento 
da mediana do triângulo relativa ao lado AB.
Resoluções
1. w

 = a1 AB

 + a2 u

 + a3 v

AB

 = B – A = (2, 4, -2) – (0, 2, -2) = (2, 2, 0)
(-4, 4, 4) = a1(2, 2, 0) + a2(-4, -2, 2) + a3(6, 0, -2)
(-4, 4, 4) = (2a1, 2a1, 0) + (-4a2, - 2a2 + 2a2) + (6a3, 0, -2a3)
27
Vamos isolar a_1 em (II) e a_3 em (III)
2a1 - 2a2 = 4 (II) ⇒ 2a1= 4+ 2a2 ⇒ a1 = ⇒ a1 = 2 + a2
2a2- 2a3=4 (III) ⇒ 2a2- 2a3 = 4 ⇒ - 2a3 = 4 - 2a2 ⇒ a3 = ⇒ a3 = -2 + a2 
Substituindo a1 e a3 em (I), temos: 
2a1- 4a2+ 6a3= -4 (I)
2(2 + a2) - 4a2 + ¨6(-2 + a2) = -4 ⇒ 4 + 2a2 - 4a2 -12 + 6a2 = -4 ⇒ - 8 + 4a2 = -4 ⇒ 
4a2 = -4 + 8 ⇒ 4a2 = 4 ⇒ a2 = 
4
4
 = 1
(II) 2a1- 2a2= 4 ⇒ 2a1- 2 •1 =4 ⇒ 2a1=4 + 2 ⇒ a1 = 
6
2
 = 3
2a2- 2a3 = 4 ⇒ 2 • 1 - 2a3 = 4 ⇒ - 2a3 = 4 – 2 ⇒ - 2a3 = 2 ⇒ a3 = 
2
2−
 ⇒ a3 = - 1. 
Logo, a solução é a1 = 3, a2 = 1 e a3 = -1
2. De acordo com a demonstração feita anteriormente, as diagonais de um paralelogramo 
têm o mesmo ponto médio. Vamos utilizar essa informação para calcular o vértice D, 
oposto de B.
 Vamos considerar M(a, b, c). Sabe-se que M é ponto médio de AC. Então: 
Logo, M = (3, -1, 6)
Para calcular as coordenadas de D=(x, y, z), basta aplicar raciocínio análogo ao anterior. 
2 -4
28
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
3. Como os pontos A, B e P pertencem à mesma reta, conforme figura a seguir, qualquer 
dupla de vetores formados utilizando estes três pontos é paralela (AB

 // AP

). 
AB

 = B – A = (-2, 6, 2) – (2, -4, 8) = (-4, 10, -6)
AP

 = P – A = (-6, m, n) – (2, -4, 8) = (-8, m+4, n-8)
(-4, 10, -6) // (-8, m+4, n-8)
Utilizando a condição de que dois vetores são paralelos quando duas componentes forem 
proporcionais, temos:
4. No triângulo desenhado a seguir, está representada a mediana MC. Mediana de um 
triângulo é o segmento de reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do 
lado oposto a este vértice. 
 
O que queremos calcular é o módulo do vetor MC

. Primeiro, temos de calcular as 
coordenadas de M. M é o ponto médio de AB. Logo: 
Agora, devemos calcular as coordenadas de MC

.
MC

 = C – M = (1, -1, -2) – (3, 2, -4) = (-2, -3, 2)
Por fim, calculamos o módulo (comprimento) de MC

.
|MC

| = √(-2)2+ (-3)2+ 22 )= √(4+9+4) = √17
29
Material Complementar
Para complementar seus estudos, consulte:
CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3.ed. São Paulo. Pearson 
Prentice Hall, 2005.
JULIANELLI, José Roberto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 2000.
ANTON, H. Álgebra Linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
30
Unidade: Vetores: Viés Algébrico
Referências
BOULOS , Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: i, tratamento vetorial – São 
Paulo: Mc Graw-Hill 2005, 3 edição
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Espaço – Rio de Janeiro: Coleção do professor de 
Matemática, 1993.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill 1987.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica – volume 2. São Paulo:Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1994, 2 edição
VENTURI, Jaci J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica – Curitiba: Scientia et Labor – 
Editora da UFPR, 1990, 3 edição
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books Ltda, 2000
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Rua Galvão Bueno, 868
Tel: (55 11) 3385-3000