Aula 3 Fluxo de Caixa Uniforme EngEconomica

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Engenharia Econômica
Aula 3
Fluxo de Caixa Uniforme
Rodrigo Mendonça
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 Aprender a mecânica do fluxo de caixa uniforme e sua aplicação na empresa.
Objetivo da aprendizagem
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Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.
É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa.
Por exemplo, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa.
Fluxo de Caixa
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Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos, exigindo cada um deles um tratamento específico em termos de formulações.
Esquematicamente, os fluxos de caixa são identificados com base na seguinte classificação:
Fluxo de Caixa
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Período de Ocorrência 
Periodicidade
Duração
Valores
Postecipados
Antecipados
Diferidos
Periódicos
Não periódicos
Limitados (Finitos)
Indeterminados
Indefinidos
Constantes
Variáveis
Fluxo de Caixa Uniforme (Modelo-padrão)
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a) Postecipados – indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo, não havendo carência, a prestação inicial de um financiamento é paga ao final do primeiro período do prazo contratado, vencendo as demais em intervalos sequenciais.
Fluxo de Caixa Uniforme (Modelo-padrão)
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b) Limitados – o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o número de termos (pagamentos e recebimentos). Por exemplo, um financiamento por 2 anos envolve desembolsos neste intervalo fixo de tempo sendo, consequentemente, limitado o número de termos do fluxo (prestação do financiamento).
Fluxo de Caixa Uniforme (Modelo-padrão)
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c) Constantes – indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de caixa são iguais entre si.
d) Periódicos – é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si. Ou seja, o tempo entre um fluxo e outro é constante.
Fluxo de Caixa Uniforme (Modelo-padrão)
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Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da seguinte forma:
PMT (Payment – Pagamento) = valor das prestações.
Fluxo de Caixa Uniforme (Modelo-padrão)
0
1
3
2
n - 1
n (tempo)
4 .....
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
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O valor presente de um fluxo de caixa uniforme, para uma taxa periódica de juros, é determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um de seus valores.
Valor Presente e Fator de Valor Presente
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Fórmula do Valor Presente
Valor Presente e Fator de Valor Presente
PV = PMT x 1 – (1 + i)-n
 i
PMT = PV x i x 
 1 – (1 + i)-n 
Fórmula dos Pagamentos
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Exemplo 1:
Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a.m., até que preço compensa adquirir o aparelho a vista?
Valor Presente e Fator de Valor Presente
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PMT = $ 4.000,00		i = 2,6% a.m. (0,026)
n = 7							PV = ?
PV = PMT x 1 – (1 + i)-n
 i
PV = 4.000 x 1 – (1,026)-7
 0,026
PV = 4.000 x 1 – 0,835542
 0,026
 
						
Valor Presente e Fator de Valor Presente
PV = 4.000 x 0,164457
 0,026
PV = 4.000 x 6,325269 
PV = $ 25.301,07
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Exemplo 2:
Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos de $ 700,00 sendo a taxa de juros igual a 1,7% a.m.
Valor Presente e Fator de Valor Presente
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PMT = $ 700,00				n = 12 pagtos trimestrais.
i = 1,7% a.m.(1,017)3 –1 x 100 = 5,19% a.t (0,0519)
PV = ?
PV = PMT x 1 – (1 + i)-n
 i
PV = 700 x 1 – (1,0519)-12
 0,0519
PV = 700 x 1 – 0,544887
 0,0519
						
Valor Presente e Fator de Valor Presente
PV = 700 x 0,455112
 0,0519
PV = 700 x 8,769017 
PV = $ 6.138,31
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Exemplo 3:
Uma geladeira está anunciada na loja Ponto Gelado por $ 600,00 para pagamento a vista ou em 6 parcelas iguais, mensais e consecutivas, sendo que a primeira parcela será paga um mês após a compra. A taxa de juros cobrada é de 8% a.m. Calcule o valor das prestações.
Valor Presente e Fator de Valor Presente
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PV = $ 600,00 					n = 6 pagtos mensais.	 
i = 8% a.m. (0,08)				PMT = ?			
PMT = PV x i x 
 1 – (1 + i)-n 
PMT = 600 x 0,08 x
 1 – (1,08)-6
PMT = 600 x 0,08 x
 1 – 0,630169
						
Valor Presente e Fator de Valor Presente
PMT = 600 x 0,08 x
 0,369830
PMT = 600 x 0,216315 
PMT= $ 129,79
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Exemplo 4:
Um veículo novo está sendo vendido por $ 4.000,00 de entrada mais 6 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5,5% a.m. determinar até que preço interessa comprar o veículo a vista.
Valor Presente e Fator de Valor Presente
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Entrada = $ 4.000,00		PMT = $ 3.000,00	 PV =? 
n = 06 pagtos mensais 	i = 5,5% a.m. (0,055)
PV = Entrada + PMT x 1 – (1 + i)-n
 				 i
PV = 4.000 + 3.000 x 1 – (1,055)-6
 0,055
PV = 4.000 + 3.000 x 0,274754 
 0,055
PV = 4.000 + [3.000 x 4,995527] = $ 18.986,59
						
Valor Presente e Fator de Valor Presente
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O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos montantes de cada um dos termos da série de pagamentos/recebimentos.
Valor Futuro e Fator de Valor Futuro
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Fórmula do Valor Futuro
Valor Futuro e Fator de 
Valor Futuro
FV = PMT x (1 + i)n – 1 
 i
PMT = FV x i x 
 (1 + i)n – 1 
Fórmula dos Pagamentos
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Exemplo 1:
Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m.
Valor Futuro e Fator de Valor Futuro
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PMT = $ 800,00						n = 7		
i = 2,1% a.m. (0,021)				FV = ?
FV = PMT x (1 + i)n – 1 
 i
FV = 800 x (1,021)7 – 1 
 0,021
FV = 800 x 1,156592 – 1 
 0,021
Valor Futuro e Fator de Valor Futuro
FV = 800 x 0,156592
 0,021
FV = 800 x 7,456761 
FV = $ 5.965,41
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Exemplo 2:
Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00 daqui a um ano para realizar uma viagem. Para tanto, está sendo feita uma economia mensal de $ 1.250,00, a qual é depositada numa conta de poupança que remunera os depósitos a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. Determinar se essa pessoa terá acumulado o montante necessário ao final de um ano para fazer a sua viagem.
Valor Futuro e Fator de Valor Futuro
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PMT = $ 1.250,00		n = 12		
i = 4% a.m. (0,04)		FV = ?
FV = PMT x (1 + i)n – 1 
 i
FV = 1.250 x (1,04)12 – 1 
 0,04
FV = 1.250 x 1,601032 – 1
 0,04
Valor Futuro e Fator de Valor Futuro
FV = 1.250 x 0,601032
 0,04
FV = 1.250 x 15,0258 
FV = $ 18.782,25
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Exemplo 3:
Uma Senhora deseja saber quanto deve aplicar por mês, a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. para resgatar daqui a 5 meses a quantia de $ 5.000,00?
Valor Futuro e Fator de Valor Futuro
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FV = $ 5.000,00		i = 4% a.m. (0,04)
n = 5 meses			PMT = ?
 
PMT = FV x i x 
 (1 + i)n – 1
PMT = 5.000 x 0,04 x
 (1,04)5 – 1
PMT = 5.000 x
0,04 x
					 1,216652 – 1
Valor Futuro e Fator de Valor Futuro
PMT = 5.000 x 0,04 x x			 0,216652
PMT = 5.000 x 0,184627 
PMT = $ 923,13
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Referências Bibliográficas
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira objetiva e aplicada.9 ed. São Paulo: Elsevier, 2011.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 5. ed. São Paulo: Pretence Hall, 2010.
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Bibliografia complementar
BRUNI, Adriano Leal & FAMÁ, Rubens. Matemática financeira com HP-12C e Excel.5 ed. São Paulo: Atlas, 2008.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com Hp 12 C e Excel - Uma Abordagem Descomplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson Education – Br, 2010.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6. ed., 5. tiragem. São Paulo: Saraiva Siciliano S/A, 2008. 
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. 1ª ed. Rio de Janeiro: Campus 2005.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira: com + de 600 exercícios resolvidos e propostos. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
SILVA, André Luiz Carvalhal. Matemática financeira aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010.
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