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2016.2B.1 - CALC. VETORIAL.pdf
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
AV2-2016.2B – 03/12/2016 
 
 
 
 
 
 
1. Dada a função
 
 , qual o domínio dessa função? 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 7. 
Comentário: As funções seno e exponencial estão definidas em todos os pontos do plano e a exponencial que aparece 
no denominador nunca passa pela origem, assim o domínio dessa função é todo o plano. 
 
2. De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se P N/m2 for a pressão, V metros cúbicos for o 
volume e T graus Celsius for a temperatura, teremos a fórmula PV = kT onde k é uma constante de 
proporcionalidade. Suponha que o volume de gás em certo recipiente seja de 100 m3 e que sua temperatura 
seja 90º e k = 8. Qual a taxa de variação de P por unidade de T se V permanece fixo? 
 
a) 0,08 
b) 0,1 
c) 0,21 
d) 0,06 
e) 0,14 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 36. 
Comentário: Derivando P parcialmente em relação a T encontramos , substituindo o valor de V encontramos a 
taxa de 0,08. 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) THIAGO ALBUQUERQUE 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D A D A D B E A C B 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
3. Qual o valor máximo da derivada direcional da função no ponto (1, -2)? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 117. 
 Comentário: Esse valor é o módulo do Gradiente da função no ponto estudado. 
∇ ⃗f=∂f/∂x i ⃗+∂f/∂y j ⃗ 
∇ ⃗f=(4x+3) i ⃗+(-2y-1) j ⃗ 
∇ ⃗f(1,-2)=7i ⃗+3j ⃗ 
|∇ ⃗f|=√(49+9)=√58 
 
4. Qual a equação do plano tangente ao parabolóide elíptico de equação no ponto (2, 4, 2)? 
 
a) 2x + y – 2z – 4 = 0 
b) 3x – 2y + z - 8 = 0 
c) – 4x + 6y + 3z – 90 = 0 
d) x + y + z = 1 
e) 6x – 7y + z = 6 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 38. 
Comentário: A equação do plano tangente é 
. Efetuando os cálculos 
encontramos a letra A como resposta. 
F_x=8x ; F_y=2y ;F_z=-16 
F_x (2,4,2)=16 ;F_y (2,4,2)=8 ;F_z (2,4,2)=-16 
16(x-2)+8(y-4)-16(z-2)=0 
16x+8y-16z-32=0 
2x+y-2z-4=0 
 
5. Calcule a integral dupla 
  
R
dAxy 223
 em que R é a região que consiste em todos os pontos (x,y) para os 
quais – 1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3. 
 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 44 
Comentário: Calculando as integrais iteradas, pode-se calcular tanto na ordem dxdy ou dydx (cuidado com os limites 
de integração). Livro texto – BUP página 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
6. Ache o volume do sólido limitado pela superfície , pelos planos x = 3, y = 2 e 
pelos três planos coordenados.. 
 
a) 20,5 
b) 21,5 
c) 22,6 
d) 23,7 
e) 20,8 
Alternativa correta: Letra B. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 44. 
Comentário: Volume calculado por uma integral dupla, os planos irão determinar os limites de integração, resposta 
letra B. 
 
 
7. Calcule o volume do sólido (em unidades de volume) no primeiro octante limitado pelo cone z = r e pelo 
cilindro r = 3sen(θ) 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
Alternativa correta: Letra E. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 50 
Comentário: Integral dupla em coordenadas polares com 0 ≤ r ≤ 3sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ π/2. 
 
 
 
8. Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo plano xy. 
 
a) 200π 
b) 210π 
c) 230π 
d) 250π 
e) 270π 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 66. 
Comentário: Integral tripla cujos limtes são expressos em termos dos planos e do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
9. Calcule a integral tripla 
  
2
0
1
0 0
2
)cos(
 x
dzdxdyyz
 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 1/10 
d) 2/5 
e) 2/7 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 66. 
Comentário: Basta calcular as integrais iteradas na ordem apresentada, resposta letra C. 
 
 
10. Calcule a massa do cilindro , 0 ≤ z ≤ 1, admitindo que a densidade seja dada por 
 
 
a) π/2 
b) π/4 
c) π/6 
d) π/8 
e) π/9 
Alternativa correta: Letra B. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 73. 
Comentário: calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
2016.2B.2 - CALC. VETORIAL.pdf
 
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
SEGUNDA CHAMADA -2016.2B – 10/12/2016 
 
 
 
 
 
 
1. Dada a função , qual o 
domínio dessa função? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: letra D 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
7 
Comentário: não existe raiz quadrada de números 
negativos, na disciplina só tratamos com números 
reais, e a divisão por zero não é definida. 
 
2. De acordo com a lei dos gases ideais para um 
gás confinado, se P N/m2 for a pressão, V metros 
cúbicos for o volume e T graus Celsius for a 
temperatura, teremos a fórmula PV = kT onde k é 
uma constante de proporcionalidade. Suponha que 
o volume de gás em certo recipiente seja de 100 m3 
e que sua temperatura seja 90º e k = 8. Qual a taxa 
de variação de V por unidade de P se T permanece 
fixo? 
 
a) – 125/9 
b) 125/8 
c) – 130/9 
d) 130/23 
e) – 130/31 
Alternativa correta: Letra A 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
36 
Comentário: Derivando V parcialmente em relação a P 
encontramos , substituindo o valor de P e T 
encontramos a taxa expressa na letra A. 
 
3. Dada a função , 
qual o valor máximo dessa função? 
 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 11 
e) 15 
Alternativa correta: Letra D 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
38 
Comentário: Aplicação de derivadas parciais, ponto 
crítico (3, -1). 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) THIAGO ALBUQUERQUE 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D A D C C A E E C B 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
O ponto crítico x = 3 e y = -1 é ponto de máximo 
O valor máximo de f(x,y) será 
 
4. Qual a equação do plano tangente ao 
parabolóide elíptico de equação 
no ponto (-1, 3, 2)? 
 
 
a) 2x + y – 2z – 4 = 0 
b) 3x – 2y + z - 8 = 0 
c) – 2x + 6y + 4z – 28 = 0 
d) x + y + z = 1 
e) 6x – 7y + z = 6 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
38 
Comentário: A equação do plano tangente é 
 
 
 
Efetuando os cálculos encontramos a letra C como 
resposta. 
 
 
 
 
 
5. Calcule a integral dupla
  
4
0
2/3
0
216
x
dydxx
 
 
a) 30 
b) 31 
c) 32 
d) 33 
e) 34 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
44 
Comentário: Calculando as integrais iteradas,a 
integral em relação a x precisa ser feita por 
substituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Seja D a região interior ao trapézio de vértices (2, 
2); (4, 2); (5, 4) e (1. 4). Calcule 

D
xydxdy8
. 
a) 448 
b) 458 
c) 468 
d) 438 
e) 478 
Alternativa correta: Letra A 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
44 
Comentário: Integrais iteradas, com x limitado por 
funções de y encontradas com os pontos acima. 
Esboço da região D auxilia na solução. 
 
 
 
 
 
 
 
7. Use a integral dupla para calcular a área da 
região D compreendida entre os gráficos das 
funções y = x e y = -x2 + x + 1, com – 1 ≤ x ≤ 1 
 
a) 2/3 
b) 3/5 
c) 4/9 
d) 5/6 
e) 4/3 
Alternativa correta: Letra E 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
44 
Comentário: Integral dupla com y limitado pelas 
funções de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
8. Calcule o volume do sólido B formado pela 
interseção dos sólidos x ≤ z e z ≤ 1 – y2 e x ≥ 0 e y 
≥ 0. 
 
a) 2/15 
b) 7/15 
c) 8/15 
d) 1/15 
e) 4/15 
 
Alternativa correta: Letra E 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
66 
Comentário: Integral tripla com z limitado pelas 
funções expressas e x limitado por função de y. 
 
 
 
 
 
 
9. Calcule a integral tripla 
  
2
0
1
0 0
2
)sin(
 x
dzdxdyyz
 
 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 1/10 
d) 2/5 
e) 2/7 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
66 
Comentário: Basta calcular as integrais iteradas na 
ordem apresentada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcule a massa do cilindro , 0 ≤ z 
≤ 1, admitindo que a densidade seja dada por 
 
 
a) π/2 
b) π/4 
c) π/6 
d) π/8 
e) π/9 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
73 
Comentário: calcular a integral tripla em coordenadas 
cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
2016.1B.3 - CALC. VETORIAL.pdf
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
FINAL 
GABARITO 
 2016.1B – 09/07/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 B B B E D C B B D A 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Considere ( ) 2216, yxyxf −−= , uma 
função real. O domínio e a imagem desta função 
são respectivamente. 
 
a) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 ≥ 16} e [0, 4] 
b) {(x, y) ∈∈∈∈ R2  x2 + y2 ≤≤≤≤ 16} e [0, 4] 
c) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 –16 = 0} e (0, 4) 
d) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 ≤ 0} e [0, 4) 
e) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 + 16 ≥ 0} e [0, 4) 
 
COMENTÁRIO: 
01. 
( ) 2216, yxyxf −−= . Domínio e imagem (?) 
 
Domínio 
( ){ }16,
16016
222
2222
≤+∈=
≤+∴≥−−
yxRyxD
yxyx
 
Imagem: 
Para qualquer valor real de “x e y”. 
x2 + y2 é sempre positivo ou zero e “x ou y” sempre 
menor ou igual a 4 
I = [0, 4] 
 
Resposta: 
( ){ } ]4,0[16, 222 eyxRyx ≤+∈
 
GABARITO: B 
 
2. Verifique as afirmações abaixo sobre as 
equações que correspondem aos respectivos 
gráficos: 
 
I. z = 3, representa uma reta paralela ao plano x 
y 
II. z = x – y + 1, representa um plano que pode 
ser definido pelos pontos (-1, 0, 0), (0, 1, 0) e 
(0, 0, 1). 
III. z = 2x2 + 2y2, representa uma curva 
denominada paraboloide. 
 
Podemos afirmar: 
 
a) apenas I e II são verdadeiras. 
b) apenas II e III são verdadeiras. 
c) apenas I e III são verdadeiras. 
d) todas são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
COMENTÁRIO: Analisando as afirmações. 
(I) z = 3, para uma função real no R3 representa um 
plano paralelo ao “xy”. 
 
 
 
(II) z = x – y + 1, representa um plano no R3 
substituindo os pontos: (-1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) 
encontramos sempre uma identidade. Então os pontos 
dados pertencem ao plano. 
(III) z = 2x2 + 2y2, representa uma Curva Quádrica cuja 
equação satisfaz a quádrica denominada. 
PARABOLÓIDE. (Paraboloide circular) 
Resposta: Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 
GABARITO: B 
 
3. Considere a função z = 2x2 – 4y3 + 5x2y2. 
A derivada 2
2
y
z
∂
∂
 é: 
 
a) 4x + 10y2 
b) – 24y + 10x2 
c) 20xy 
d) – 12y2 + 10x2 y 
e) – 3 + 4x2 
 
COMENTÁRIO: 
SOLUÇÃO 
 
Calculando a derivada parcial (1ª derivada): 
 
y
z
∂
∂
(consideramos “y” variável e “x” constante). 
 
( )
yxy
y
z
yxyyxyx
y
22
222232
1012
2.5120542
+−=
∂
∂
+−=+−
∂
∂
 
Calculando a derivada parcial de ou , temos: 
(2ª derivada). 
( )
2
2
2
22
2
2
1024
1012
xy
y
z
yxy
yy
z
+−=
∂
∂
+−
∂
∂
=
∂
∂
 
GABARITO: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
?.542 2
2
2232
=
∂
∂
+−=
y
zyxyxz
y
z
∂
∂
2
2
y
z
∂
∂
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f
∂∂
∂
−
∂∂
∂ 22
 
 
a) 12xy 
b) xy 
c) x+y 
d) 1 
e) zero 
 
COMENTÁRIO: 
04. 
( ) ?42, 224323 =
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+−+=
xy
f
yx
f
xyyxyxyxf
 
Pelo Teorema de Schwartz temos: 
0,
2222
=
∂∂
∂
−
∂∂
∂
∂∂
∂
=
∂∂
∂
xy
f
yx
fEntão
xy
f
yx
f
 
 
GABARITO: E 
 
5 . O vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + y2 no 
ponto (1, 3) é: 
 
a) (2;3) 
b) (2,0) 
c) (0,3) 
d) (2,6) 
e) (2,2) 
 
COMENTÁRIO: 
05. f(x, y) = x2 + y2 no ponto(1, 3) 
( )
( ) jifpontono
yxfouyjxif
y
y
f
ex
x
f
k
z
fj
y
fi
x
fff
623,1
2,222
22
?
+=∇∴
=∇+=∇
=
∂
∂
=
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇
 
 
GABARITO: D 
 
6. Considere um campo vetorial definido por
xyzkjeixf xy 25 3 ++=
→
, determine div f para o 
ponto (1, 0, 0). 
 
a) 8 
b) 7 
c) 16 
d) 20 
e) 1 
 
 
COMENTÁRIO: 
)0,0,1(/`?.25 3 Ppfdivxyzkjcixf xy =++=
→→
 
( )
( )
( )
( )
)0,0,1(/215
22
155
155
2
3
2
231
23
321
Ppxyxcxfdiv
xyxyz
zz
f
xcc
yy
f
xx
xx
f
xx
x
fdiv
y
f
y
f
x
fdivf
xy
xyxy
++=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
 
Resposta: 16 
GABARITO: C 
 
7. Calcule a integral dupla ∫ ∫D dxdy7 , num certo 
domínio dado por 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 5 e 1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 3. A solução 
para esta integral é: 
 
a) 7 
b) 70 
c) 77 
d) 17 
e) 14 
 
COMENTÁRIO: 
 
∫ ∫ ≤≤≤≤= 3150?7 yexdxdy 
 
Esta integral pode ser facilmente resolvida em qualquer 
ordem nos diferenciais. 
 
1º modo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: B 
 
 
( ) ( )
7035105
1.353.353535
3577
7
3
1
3
1
3
1
3
1
5
0
3
1
0
5
3
1
5
0
=−=
−===
==
∫
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
ydy
dydyxdxdy
dxdy
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
8. Considere a função constante de duas variáveis 
igual a unidade, ou seja, f (x, y) = 1. Seja “D” a 
região dada pelas desigualdades 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 e x2 ≤≤≤≤ y 
≤≤≤≤ x. O volume do sólido sob o gráfico da função e 
acima de “D” é dado por (em unidades de volume): 
 
a) 3
1 
b) 6
1
 
c) 2
1
 
d) 4
1
 
e) 5
1
 
 
COMENTÁRIO: 
SOLUÇÃO 
( ) xyxexyxf ≤≤≤≤= 210.1, 
Temos um caso típico de integral dupla: 
( ) ( )( )∫ ∫ ∫ ∫ 



=
D
b
a
y
y
dxdyyxfdxdyyxf
x
x
)(2
1
,,
 
∫ ∫ 


1
0 2
1 dxdy
x
x , resolvendo a integral interna. 
]∫ −==xx xx xxydy2 2 2 , substituindo. 
( )∫ =−=


−=−
1
0
1
0
32
2
6
1
3
1
2
1
32
xxdxxx
 
GABARITO: B 
 
 
9. Considere um campo de forças definido por 
( ) xyjixyxf −=→ 2, . Determine o trabalho 
realizado por este campo ao longo de um 
quarto de círculo r(t) = cost i + sent j, 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2pipipipi. 
 
a) 3
1
 
b) 3
1
−
 
c) 3
2
 
d) 3
2
−
 
e) Zero 
 
 
 
 
 
 
 
COMENTÁRIO 
SOLUÇÃO 
f = x2i – xyj é o campo. 
r(t) = Costi + Sentj com 0 ≤ t ≤ 2pi,é a curva. 
O trabalho ao longo de um quarto de círculo? 
 
SOLUÇÃO-09 
 
( )( ) ( )
( )( )
( ) CostjSentitr
CostSentjtiCostrf
dttrtrfrdf b
a
+−=
−=
=∫ ∫
→→
1
2
1
.
 
O produto: 
(Cos2t i; - Cost Sentj) . (- Sent i; Cost J). 
- Cos2t Sent – Cos2t Sent 
- 2 Cos2t Sent 
( )∫ ∫−=−2/0 2/0 22 22pi pi dtSenttCosdtSenttCos
 
Fazendo Sent
dudtSent
dt
duCostu −=∴−=∴=
 
( ) 32103
2
0cos
2
cos
3
2
3
2
3
22
22
33
2/
0
3
2/
0
3
2
0
2
2/
0
22/
0
2
−=−=






−=








=



==






−−=−=
∫
∫∫
pi
pi
pipi
pipi
tCos
uduu
Sent
duSentutSentdtCos
 
GABARITO: D 
 
10. Seja um campo vetorial definido por F(x, y) = (x 
+ y) i + (x – 5) j. Verifique a alternativa abaixo que 
corresponde as condições deste campo. 
 
a) F é conservativo 
b) F não é conservativo 
c) F é um campo elétrico 
d) F é um campo magnético 
e) F é um campo gravitacional 
 
COMENTÁRIO: 
SOLUÇÃO 
( ) ( ) ( ) jxiyxyxF 5, −++= , é do tipo F (x, y) = 
Pi + Qi 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
 (é conservativo) 
x
Q
y
P
∂
∂
≠
∂
∂
 (não é conservativo) 
 
( )
( )
x
Q
y
P
ox
xx
Q
yx
yy
P
∂
∂
=
∂
∂
=−
∂
∂
=
∂
∂
=+
∂
∂
=
∂
∂
,log,15
1
 
O Campo F é conservativo. 
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
 
 
2016.1B.2 - CALC. VETORIAL.pdf
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
SEGUNDA CHAMADA 
GABARITO 
 2016.1B – 18/06/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 D B B E D A B B D A 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Dada a função 
222x-4
4xyz
z) y, f(x,
zy −−
= . Observe as afirmações sobre o maior subconjunto de R3 
que define a função dada. (Domínio de f = D). 
 
I. D = {(x, y, z) ∈∈∈∈ R3  x2 + y2 + z2 < 4} 
II. D = {(x, y, z) ∈∈∈∈ R3  - x2 - y2 - z2 ≥≥≥≥ 4} 
III. O gráfico de D é uma esfera de centro na origem e raio 4. 
IV. O gráfico de D é uma esfera de centro na origem e raio 2. 
 
Sobre a s afirmações, podemos concluir que são verdadeiras: 
 
a) II e IV 
b) I e III 
c) II e III 
d) I e IV 
e) III e IV 
 A FUNÇÃO DADA 
222x-4
4xyz
 = z) y, f(x,
zy −− 
As afirmações se referem ao domínio e/ou o gráfico do domínio da função. 
(1) Domínio D 
Para que a função “f” descrita seja uma função real, temos: 
4
4
04
222
222
222
<++
−>−−−
>−−−
zyx
zyx
zyx
 
( ){ }4,, 2223 <++∈= zyxRzyxD 
(2) Gráfico de D 
 Encontramos 2222 2<++ zyx que representa uma esfera de raio 2. 
 Lembre-se: Equação da esfera é x2 + y2 + z2 = R2 
CONCLUSÃO: 
 As únicas afirmações verdadeiras são I e IV. 
GABARITO: D 
 
2. Determine fxxyz para a função f(x, y, z) = sen(3x+yz) 
 
a) xyz sen (3x+yz) 
b) 9(yz sen(3x+yz) – cos (3x+yz)) 
c) xyz cos (3x+yz) 
d) 3 (xyz sen (3x+yz) – cos (3x+yz)) 
e) xy sen (3x+yz) – xyz cos (3x+yz) 
 
02- fxxyz = ? f (x, y, z) = sen (3x+yz) 
Resolução: fx = 3Cos(3x+yz) : . fxx = - 9 sen (3x+yz). 
fxxy = - 9z Cos (3x+yz) : . fxxyz = - 9Cos (3x+yz) + 9yz sen (3x+yz) 
Resposta: 9(yz sen (3x+yz) – cos (3x+yz)) 
RESPOSTA: LETRA “ B “ 
3. Dada a função 42xy) f(x, 4323 +−+= xyyxy , determinando
a derivada parcial 2
2
x
f
∂
∂
 , temos: 
a) 12 x y2 + 6xy3 
b) 12xy2+6xy4 
c) 3xy2 – 5xy4 
 
 
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d) xy2-xy3 
 e) x2y3 
03. 
( ) ?.42, 2
2
4323
=
∂
∂
+−+=
x
f
xyyxyxyxf
 
( )
( )
42
2
2
4222
2
2
2
2
4222
4323
612
36?
36
42?
xyxy
x
f
yyxyx
xx
f
xx
f
x
f
yyxyx
x
f
xyyxyx
xx
f
x
f
+=
∂
∂
−+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∴=
∂
∂
−+=
∂
∂
+−+
∂
∂
=
∂
∂
∴=
∂
∂
 
Gabarito: B 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f
∂∂
∂
−
∂∂
∂ 22
 
a) 12xy 
b) xy 
c) x+y 
d) 1 
e) zero 
04. 
( ) ?42, 224323 =
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+−+=
xy
f
yx
f
xyyxyxyxf
 
Pelo Teorema de Schwartz temos: 
0,
2222
=
∂∂
∂
−
∂∂
∂
∂∂
∂
=
∂∂
∂
xy
f
yx
fEntão
xy
f
yx
f
 
GABARITO: E 
 
5. O vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 3) é: 
 
a) (2;3) 
b) (2,0) 
c) (0,3) 
d) (2,6) 
e) (2,2) 
05. f(x, y) = x2 + y2 no ponto(1, 3) 
( )
( ) jifpontono
yxfouyjxif
y
y
f
ex
x
f
k
z
fj
y
fi
x
fff
623,1
2,222
22
?
+=∇∴
=∇+=∇
=
∂
∂
=
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇
 
GABARITO: D 
 
 
 
 
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6. Um escoamento compressível é descrito pela função jxyeixevpf tt −−
→→
−== 2 . (Unidades SI). 
Determine a taxa de variação da densidade p em relação ao tempo t (para t = 0), no ponto P (3, 2, 2). 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 8 
 
06. ( )SIjxycixcf tt −−
→
−= 2 
0/? ==
∂
∂
tp
t
p
 no ponto P (3, 2, 2) 
SOLUÇÃO 
Um escoamento compressível pode ser determinado pela equação da continuidade: 
0=
∂
∂
+
→
t
pfdiv , onde 
→
f é um Campo Vetor. 
Sabendo que 
z
f
y
f
x
ffdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
321 
Temos: 
( )
tt
tt
xc
y
f
c
x
f
jxycixcdivfdiv
−−
−−
→
−=
∂
∂
=
∂
∂
−=
21
,2
2
 
Substituindo na equação da Continuidade: 
( )
( ) 202
0/02
−=
∂
∂
=
∂
∂
+−
==
∂
∂
+− −−
x
t
p
ou
t
p
x
tp
t
p
xcc tt
 
No ponto (3, 2, 2) tem-se x = 3 
1=
∂
∂
t
p
 
GABARITO: A 
 
7. Considere a função constante de duas variáveis igual a unidade, ou seja, f (x, y) = 1. Seja “D” a região dada 
pelas desigualdades 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 e x2 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ x. O volume do sólido sob o gráfico da função e acima de “D” é dado 
por: 
(Em unidades de volume): 
 
a) 3
1 
b) 6
1 
c) 2
1 
d) 4
1 
e) 5
1 
 
 
 
 
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07. 
 
 
Temos um caso típico de integral dupla: 
( ) ( )( )∫ ∫ ∫ ∫ 



=
D
b
a
y
y
dxdyyxfdxdyyxf
x
x
)(2
1
,, 
∫ ∫ 


1
0 2
1 dxdy
x
x
, resolvendo a integral interna. 
]∫ −==xx xx xxydy2 2 2 , substituindo. 
( )∫ =−=


−=−
1
0
1
0
32
2
6
1
3
1
2
1
32
xxdxxx 
GABARITO: B 
 
Obs.: 1º) Você pode considerar a área entre y = x2 e y = x. 
 2º) O volume obtido com a descrição da área. 
 
8. Determine o valor da integral ∫ ∫ ∫
S
dv , onde “S” representa o sólido no primeiro octante delimitado pela 
calha x=4–y2 e pelos planos z = y, x = 0 e z = 0. 
 
a) 2 
b) 4 
c) 16 
d) 32 
e) 64 
08. 
∫ ∫ ∫ ===−==
S
zexyzeyxdv 00,4? 2 
(1) A região de integração pode ser descrita por: 
0 ≤ x ≤ 4 – y2; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ y 
 
(2) Armando a integral iterada: 
[ ] ( ) ( )
448
4
2
42
4
44.
2
0
4
2
2
0
42
2
0
2
0
2
0
324
0
2
0
4
0
2
0
4
0
2
0
4
00
2
0
4
0 0
2
2 2 2
2
=−=


−=


−
−=−=




==




∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
−
− − −
−
yyyy
dyyydyyydyxy
dyydxydxdydxdydz
dzdxdy
y
y y yy
Y y
 
 
GABARITO: B 
 
9. Considere um campo de forças definido por ( ) xyjixyxf −=→ 2, . Determine o trabalho realizado por este 
campo ao longo de um quarto de círculo r(t) = cost i + sent j, 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2pipipipi. 
 
a) 3
1 
( ) xyxexyxf ≤≤≤≤= 210.1,
 
 
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b) 3
1
− 
c) 3
2 
d) 3
2
− 
e) Zero 
09. 
f = x2i – xyj é o campo. 
r(t) = Costi + Sentj com 0 ≤ t ≤ 2pi,é a curva. 
O trabalho ao longo de um quarto de círculo? 
 
 
SOLUÇÃO: 
( )( ) ( )
( )( )
( ) CostjSentitr
CostSentjtiCostrf
dttrtrfrdf b
a
+−=
−=
=∫ ∫
→→
1
2
1
.
 
O produto: 
(Cos2t i; - Cost Sentj) . (- Sent i; Cost J). 
- Cos2t Sent – Cos2t Sent 
- 2 Cos2t Sent 
( )∫ ∫−=−2/0 2/0 22 22pi pi dtSenttCosdtSenttCos 
Fazendo 
Sent
dudtSent
dt
duCostu −=∴−=∴= 
( ) 32103
2
0cos
2
cos
3
2
3
2
3
22
22
33
2/
0
3
2/
0
3
2
0
2
2/
0
22/
0
2
−=−=






−=








=



==






−−=−=
∫
∫∫
pi
pi
pipi
pipi
tCos
uduu
Sent
duSentutSentdtCos
 
GABARITO: D 
 
10. Podemos considerar como uma das contribuições do Teorema de Green. O Campo Vetorial definido por F 
(x, y) = (3+2xy) i + (x2 – 3y2) j é considerado um campo: 
 
a) Conservativo. 
b) Não conservativo. 
c) Eletromagnético. 
d) Eletrostático. 
e) Gravitacional. 
10. ( ) ( ) ( ) jxixyyxf 323, 2 −++=→ 
O Campo Vetorial 
→
f é do tipo: 
 
 
 
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0:, =
∂
∂
=
∂
∂
+=
→
x
Q
y
P
ondeQjPif (é conservativo) 
 
( ) ( ) xx
xx
Q
exxy
yy
P 23223 2 =−
∂
∂
=
∂
∂
=+
∂
∂
=
∂
∂
 
Então 
→
f é conservativo 
 
GABARITO: A 
 
2015.2A.1 - CALC. VETORIAL.pdf
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO COMENTADO 
2015.2A - 16/16/2015 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A C B E D A A E C B 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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 CALCULO VETORIAL Professor(a): Braulio Anchieta 
 
 
 
1. Seja 
2225 yxz 
. O domínio e a 
imagem da função são respectivamente: 
 
 a) 
    5,025, 222 eyxRyx 
 
 b) 
    5,0025, 222 eyxRyx 
 
 c) 
    5,05, 222 eyxRyx 
 
 d) 
    25,025, 222 eyxRyx 
 
 e) 
    25,5025, 222 eyxRyx 
 
01. 
2225 yxz 
. Domínio e imagem? 
Domínio da função – (domínio em R). 
25 – x2 – y2  0  - x2 – y2  - 25 (x(-1)) 
x2 + y2  25 (representa um disco de r = 5). 
D = {(x, y)  R2  x2 + y2  25} 
 
Imagem da função 
Para qq “x e y” temos x2 + y2 sempre positiva x2 + 
y2  25 ou x2 + y2  52 
Nestas condições: 0  z  5 ou [0,5] 
I = [0, 5] 
Gabarito: A 
 
2. Considere as equações abaixo e identifique o 
gráfico correspondente a cada equação. 
 
(1) z = 5 (2) z = 9 – 2x – 3y 
 (3) z = 2x2 + 2y2 
 
a) Uma reta paralela ao plano xy. 
Um plano definido pelos pontos (0,0,9); 
(0,3,0) e (4,5;0;0) 
Uma superfície cônica. 
 
b) Um plano paralelo ao eixo z. 
Um cone de base circular com raio 5. 
Um cone de base circular com raio 2. 
 
c) Um plano paralelo ao plano formado por xy. 
 
 
 
 
Um plano que pode ser definido pelos pontos 
(0,0,9), (0,3,0) e (4,5;0;0). 
Uma superfície conhecida como paraboloide. 
 
d) Uma reta paralela ao plano xy. 
Um plano definido por três pontos quaisquer do 
R3. 
Um cone de raio 2. 
 
e) Um plano paralelo ao eixo z. 
Um plano definido pelos pontos (0,0,0); (1,2,0) e 
(0,3,0) 
Uma superfície conhecida como paraboloide. 
02. AV1-CÁLCULO VETORIAL- (questão comentada) 
 
(1) - A equação (1) ´representa um plano paralelo ao 
plano á no xy, isto porque a equação está no R³ (três 
dimensões). 
(2) - A equação Z = 9 - 2X - -3Y, representa um plano 
passando pelos pontos (0,0,9), 
 (0,3, 0) e (4,5;0;0) 
(3) - A equação Z = 2X² +2Y², REPRESENTA A 
QUÁDRICA PARABOLOIDE. 
JUSTIFICATIVAS: Você encontra estes conteúdos no 
GUIA Nº 1, gráficos e curvas de 
Nível, e com ajuda de conhecimentos de GEOMETRIA 
ANALÍTICA. 
Gabarito letra C. 
 
3. Dada a 
função
42xy) f(x, 4323  xyyxy
, 
determinando a derivada parcial 
2
2
x
f


 , temos: 
 a) 12 x y2 + 6xy3 
 b) 12xy2+6xy4 
 c) 3xy2 – 5xy4 
 d) xy2-xy3 
 e) x2y3 
03. 
  ?.42,
2
2
4323 



x
f
xyyxyxyxf
 
 
 
 
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 CALCULO VETORIAL Professor(a): Braulio Anchieta 
 
 
 
 
42
2
2
4222
2
2
2
2
4222
4323
612
36?
36
42?
xyxy
x
f
yyxyx
xx
f
xx
f
x
f
yyxyx
x
f
xyyxyx
xx
f
x
f


































Gabarito: B 
 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f




 22
 
 
 a) 12xy 
 b) xy 
 c) x+y 
 d) 1 
 e) zero 
04. 
  ?42,
22
4323 






xy
f
yx
f
xyyxyxyxf
 
Pelo Teorema de Schwartz temos: 
0,
2222











xy
f
yx
f
Então
xy
f
yx
f
 
GABARITO: E 
 
5 . O vetor gradiente da função f (x, y) = x2 + y2 no 
ponto (1, 3) é: 
 
 a) (2;3) 
 b) (2,0) 
 c) (0,3) 
 d) (2,6) 
 e) (2,2) 
 
05. f (x, y) = x2 + y2 no ponto(1, 3) 
 
 
 
 
 
 
  jifpontono
yxfouyjxif
y
y
f
ex
x
f
k
z
f
j
y
f
i
x
f
ff
623,1
2,222
22
?























 
 
GABARITO: D 
 
6. Um escoamento compressível é descrito pela 
função 
jxyeixevpf tt 

 2
. (Unidades SI). 
Determine a taxa de variação da densidade p em 
relação ao tempo t (para t = 0), no ponto P (3, 2, 2). 
 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 5 
 e) 8 
06. 
 SIjxycixcf tt 

 2
 
0/? 


tp
t
p
 no ponto P (3, 2, 2) 
SOLUÇÃO 
Um escoamento compressível pode ser determinado 
pela equação da continuidade: 
0




t
p
fdiv
, onde 
f
 é um Campo Vetor. 
Sabendo que 
z
f
y
f
x
f
fdiv










321
 
Temos: 
 
tt
tt
xc
y
f
c
x
f
jxycixcdivfdiv










21 ,2
2
 
Substituindo na equação da Continuidade: 
 
 
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 CALCULO VETORIAL Professor(a): Braulio Anchieta 
 
 
 
  202
0/02










 
x
t
p
ou
t
p
x
tp
t
p
xcc tt
 
No ponto (3, 2, 2) tem-se x = 3 
1


t
p
 
GABARITO: A 
 
7. O volume do sólido, sob o gráfico da função f (x, 
y) = x + y e acima do domínio dado pelas 
desigualdades 0  x  4 e 0  y  4, em unidades 
apropriadas é: 
 
 a) 64 
 b) 12 
 c) 120 
 d) 18 
 e) 40 
07. f (x, y) = x + y. Com 0  x  4 e 0  y  4 
   
4
0
4
0
?dxdyyx
 
No caso, podemos optar por calcular quando das 
integrais inicialmente. 
   









 
4
0
4
0
4
0
2
4
0 2
dyyx
x
dydxyx
 
  
    643232424.8
28
2
4848
2
4
0
4
0
2
4
0
2




  yy
y
ydyy
 
Resposta: 64 
GABARITO: A 
 
8. Considere a integral dada por 
   



5
0
2
2
4
0
2x
dydxdzzyx
. Observe que esta 
 
 
 
 
integral pode ser identificada por uma simetria e a 
projeção do sólido que origina a região está no 
plano x z. Este sólido também está descrito como 
delimitado pela calha y = 4 – x2, o plano y = 0 (x z), 
o plano z = 5 e o plano z = 0 (x, y). Essa descrição 
determina os limites de integração. 
A integral acima descrita tem solução: 
 
 a) 
5
156
 
 b) 
5
228
 
 c) 
5
333
 
 d) 
3
458
 
 e) 
3
656
 
08. 
   


5
0
2
2
4
0
2
?
X
dydxdzzyx
 
 
Como podemos observar os limites são: 
 0  y  4 – x2; - 2  x  2 e 0  z 5 
Veja que para: - 2  x  2, constatamos que a 
projeção do sólido no plano xz é do tipo retangular. 
Por outro lado observamos que existe uma simetria em 
– 2  x  2, podendo escrever a integral assim: 
        
 

5
0
2
2
4
0
5
0
2
0
4
0
2 2
.2
x x
dzdydxzyxdydxdzzyx
 Esta simetria pode ser interpretada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
z 
-2 2 x 0 
(Plano xz) 
 
 
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 CALCULO VETORIAL Professor(a): Braulio Anchieta 
 
 
Resolvendo a integral: 
     



5
0
2
0
4
0
5
0
2
2
4
0
22 2
2
.2.2
x
x dxdzzy
y
xydydxdzzyx
 
     
5
0
5
0
2
2
0
233
5
0
45
223
4
5
0
2
0
5
0
2
0
2
22
2
15
188
30
80
2
15
188
15
80
2
84
2
4
33
4
410
2
8444
2
.2
4
2
4
4.2


 
 






























z
z
dz
z
dzxzx
xx
z
xxx
dxdzzxzxxx
x
x
dxdzxz
x
xx
 
Resposta: 
3
656
 
 
GABARITO: E 
 
9. Se g é dada por x = cost e y = sent, com 0  t  
2, determinando 
     
g
dstsentdsyx
2
0
2222 2cos2
 temos: 
 
 a)  
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 e) Zero 
09. 
     S dttsentdsyx
2
0
2222 2cos2
 
p 0  t  2 e equações: x = cost e y = sent 
SOLUÇÃO: 
 
 que cos2t+sen2t = 1 e substituindo: 
 
 
 
   




 

 2
0
2
0
2
2
2cos1
11 dt
t
dttsent
 
Substituímos a relação trigonométrica: 
2
2cos12 ttsen


para resolver a integral 










 

tsensenu
du
u
du
dt
dt
du
tutdt
tdtttdt
t
2
2
1
2
1
2
cos
2
22?2cos
2cos
2
1
2
1
2
2cos1
1
0
2
2
0


 
 
Vamos substituir na expressão acima: 
 





303
4.
4
1
3
4
2
1
.
2
1
2.
2
1
2
2
2
1
.
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
0
2
0
2
ou
sen
sen
tsentt
tdttt










 
 
Resposta: 3 
GABARITO: C 
 
10. Um Campo Vetorial é definido por F (x, y) = (x – 
y) i + (x – 2) j verifique a alternativa abaixo que 
corresponde as condições deste campo: 
 
 a) F é conservativo 
 b) F não é conservativo 
 c) F é um campo elétrico 
 d) F é um campo magnético 
 e) F é um campo gravitacional 
 
 
 
     S dttsentsentdttsent
2
0
22222 cos2cos
 
 
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 CALCULO VETORIAL Professor(a): Braulio Anchieta 
 
 
 
10. F9x, y) = (x – y) i + (x – 2) j 
Sabemos que o campo F (x, y) acima é do tipo: 
 
x
Q
y
P
ondeQjPiyxF





 ,,
 (F é 
conservativo). 
    121 











x
xx
Q
eyx
yy
P
 
Logo, F não é conservativo. 
GABARITO: B 
 
2016.1B.1 - CALC. VETORIAL.pdf
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
AV2 
GABARITO 
 2016.1B – 11/06/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A C B E D A A E C B 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Seja 
2225 yxz 
. O domínio e a 
imagem da função são respectivamente: 
 
a) 
    5,025, 222 eyxRyx 
 
b) 
    5,0025, 222 eyxRyx 
 
c) 
    5,05, 222 eyxRyx 
 
d) 
    25,025, 222 eyxRyx 
 
e) 
    25,5025, 222 eyxRyx 
 
01. 
2225 yxz 
. Domínio e imagem? 
Domínio da função – (domínio em R). 
25 – x2 – y2  0  - x2 – y2  - 25 (x(-1)) 
x2 + y2  25 (representa um disco de r = 5). 
D = {(x, y)  R2  x2 + y2  25} 
Imagem da função 
Para qq “x e y” temos x2 + y2 sempre positiva x2 + y2  
25 ou x2 + y2  52 
Nestas condições: 0  z  5 ou [0,5] 
I = [0, 5] 
Gabarito: A 
 
2. Considere as equações abaixo e identifique o 
gráfico correspondente a cada equação. 
(1) z = 5 (2) z = 9 – 2x – 3y (3) z = 2x2 + 2y2 
 
a) (1) Uma reta paralela ao plano xy. 
(2) Um plano definido pelos pontos (0,0,9); (0,3,0) 
e (4,5;0;0) 
(3) Uma superfície cônica. 
b) (1) Um plano paralelo ao eixo z. 
(2) Um cone de base circular com raio 5. 
(3) Um cone de base circular com raio 2. 
c) (1) Um plano paralelo ao plano formado por 
xy. 
(2) Um plano que pode ser definido pelos 
pontos (0,0,9), (0,3,0) e (4,5;0;0). 
(3) Uma superfície conhecida como 
paraboloide. 
d) (1) Uma reta paralela ao plano xy. 
(2) Um plano definido por três pontos quaisquer 
do R3. 
(3) Um cone de raio 2. 
e) (1) Um plano paralelo ao eixo z. 
(2) Um plano definido pelos pontos (0,0,0); (1,2,0) 
e (0,3,0) 
(3) Uma superfície conhecida
como paraboloide. 
 
3. Dada a função
42xy) f(x, 4323  xyyxy
, 
determinando a derivada parcial 
2
2
x
f


 , temos: 
 
 
a) 12 x y2 + 6xy3 
b) 12xy2+6xy4 
c) 3xy2 – 5xy4 
d) xy2-xy3 
 e) x2y3 
03. 
  ?.42,
2
2
4323 



x
f
xyyxyxyxf
 
 
 
42
2
2
4222
2
2
2
2
4222
4323
612
36?
36
42?
xyxy
x
f
yyxyx
xx
f
xx
f
x
f
yyxyx
x
f
xyyxyx
xx
f
x
f


































 
Gabarito: B 
 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f




 22
 
 
a) 12xy 
b) xy 
c) x+y 
d) 1 
e) zero 
04. 
  ?42,
22
4323 






xy
f
yx
f
xyyxyxyxf
 
Pelo Teorema de Schwartz temos: 
0,
2222











xy
f
yx
f
Então
xy
f
yx
f
 
GABARITO: E 
 
5 . O vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + y2 no 
ponto (1, 3) é: 
 
a) (2;3) 
b) (2,0) 
c) (0,3) 
d) (2,6) 
e) (2,2) 
05. f(x, y) = x2 + y2 no ponto(1, 3) 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
 
  jifpontono
yxfouyjxif
y
y
f
ex
x
f
k
z
f
j
y
f
i
x
f
ff
623,1
2,222
22
?























 
GABARITO: D 
 
6. Um escoamento compressível é descrito pela 
função 
jxyeixevpf tt 

 2
. 
(Unidades SI). 
 
Determine a taxa de variação da densidade p em 
relação ao tempo t (para t = 0), no ponto P (3, 2, 2). 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 8 
06. 
 SIjxycixcf tt 

 2
 
0/? 


tp
t
p
 no ponto P (3, 2, 2) 
SOLUÇÃO 
Um escoamento compressível pode ser determinado 
pela equação da continuidade: 
0




t
p
fdiv
, onde 
f
 é um Campo Vetor. 
Sabendo que 
z
f
y
f
x
f
fdiv










321
 
 
Temos: 
 
tt
tt
xc
y
f
c
x
f
jxycixcdivfdiv










21 ,2
2
 
Substituindo na equação da Continuidade: 
 
  202
0/02










 
x
t
p
ou
t
p
x
tp
t
p
xcc tt
 
No ponto (3, 2, 2) tem-se x = 3 
1


t
p
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
7. O volume do sólido, sob o gráfico da função f(x, 
y) = x + y e acima do domínio dado pelas 
desigualdades 0  x  4 e 0  y  4, em unidades 
apropriadas é: 
 
a) 64 
b) 12 
c) 120 
d) 18 
e) 40 
07. f (x, y) = x + y. Com 0  x  4 e 0  y  4 
   
4
0
4
0
?dxdyyx
 
No caso, podemos optar por calcular quando das 
integrais inicialmente. 
   









 
4
0
4
0
4
0
2
4
0 2
dyyx
x
dydxyx
 
  
    643232424.8
28
2
4848
2
4
0
4
0
2
4
0
2




  yy
y
ydyy
 
Resposta: 64 
GABARITO: A 
 
8. Considere a integral dada por 
   



5
0
2
2
4
0
2x
dydxdzzyx
. Observe que esta 
integral pode ser identificada por uma simetria e a 
projeção do sólido que origina a região está no 
plano x z. Este sólido também está descrito 
como delimitado pela calha y = 4 – x2, o plano 
y = 0 (x z), o plano z = 5 e o plano z = 0 (x, y). Essa 
descrição determina os limites de integração. 
A integral acima descrita tem solução: 
 
a) 
5
156
 
b) 
5
228
 
c) 
5
333
 
d) 
3
458
 
e) 
3
656
 
08. 
   


5
0
2
2
4
0
2
?
X
dydxdzzyx
 
 
Como podemos observar os limites são: 
 0  y  4 – x2; - 2  x  2 e 0  z 5 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
Veja que para: - 2  x  2, constatamos que a 
projeção do sólido no plano xz é do tipo retangular. 
 
Por outro lado observamos que existe uma simetria em 
– 2  x  2, podendo escrever a integral assim: 
        
 

5
0
2
2
4
0
5
0
2
0
4
0
2 2
.2
x x
dzdydxzyxdydxdzzyx
 
Esta simetria pode ser interpretada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo a integral: 
     



5
0
2
0
4
0
5
0
2
2
4
0
22 2
2
.2.2
x
x dxdzzy
y
xydydxdzzyx
 
     
5
0
5
0
2
2
0
233
5
0
45
223
4
5
0
2
0
5
0
2
0
2
22
2
15
188
30
80
2
15
188
15
80
2
84
2
4
33
4
410
2
8444
2
.2
4
2
4
4.2


 
 






























z
z
dz
z
dzxzx
xx
z
xxx
dxdzzxzxxx
x
x
dxdzxz
x
xx
 
Resposta: 
3
656
 
 
GABARITO: E 
 
9. Se g é dada por x = cost e y = sent, com 0  t  
2, determinando 
     
g
dstsentdsyx
2
0
2222 2cos2
 
temos: 
 
a)  
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) Zero 
 
 
09. 
     S dttsentdsyx
2
0
2222 2cos2
 
p 0  t  2 e equações: x = cost e y = sent 
 
SOLUÇÃO: 
     S dttsentsentdttsent
2
0
22222 cos2cos
 
 
Sabemos que cos2t+sen2t = 1 e substituindo: 
   




 

 2
0
2
0
2
2
2cos1
11 dt
t
dttsent
 
 
Substituímos a relação trigonométrica: 
2
2cos12 ttsen


para resolver a integral 










 

tsensenu
du
u
du
dt
dt
du
tutdt
tdtttdt
t
2
2
1
2
1
2
cos
2
22?2cos
2cos
2
1
2
1
2
2cos1
1
0
2
2
0


 
 
Vamos substituir na expressão acima: 
 





303
4.
4
1
3
4
2
1
.
2
1
2.
2
1
2
2
2
1
.
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
0
2
0
2
ou
sen
sen
tsentt
tdttt










 
Resposta: 3 
GABARITO: C 
 
10. Um Campo Vetorial é definido por F(x, y) = (x – 
y) i + (x – 2) j verifique a alternativa abaixo que 
corresponde as condições deste campo: 
 
a) F é conservativo. 
b) F não é conservativo. 
c) F é um campo elétrico. 
d) F é um campo magnético. 
e) F é um campo gravitacional. 
10. F9x, y) = (x – y) i + (x – 2) j 
Sabemos que o campo F (x, y) acima é do tipo: 
5 
z 
-2 2 x 0 
(Plano xz) 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
 
x
Q
y
P
ondeQjPiyxF





 ,,
 (F é 
conservativo). 
    121 











x
xx
Q
eyx
yy
P
 
Logo, F não é conservativo. 
GABARITO: B 
 
 
 
 
2016.2B.3 - CALC. VETORIAL.pdf
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
FINAL - 2016.2B – 17/12/2016 
 
 
 
 
 
 
1. Se a função indica a distribuição de temperatura sobre uma placa retangular 
situada no plano xy e uma partícula está parada no ponto (- 3, 1), que vetor indica a direção que essa 
partícula precisa seguir para se aquecer mais rápido? 
 
a) -6i + 4j 
b) 4i – 6j 
c) -6i + 2j 
d) 2i – 5j 
e) 6i – 3j 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 115. 
Comentário: Resposta letra C, o vetor gradiente da função no ponto indica sua direção de maior crescimento. 
 
 
 
2. O volume de um cone circular é dado por , com s sendo o comprimento da 
geratriz e y o diâmetro da base. Qual a taxa de variação do volume em relação à geratriz no ponto s = 10 
cm se o diâmetro é mantido constante com o valor de y = 16 cm enquanto a geratriz varia? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 36. 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) THIAGO ALBUQUERQUE 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
C A A C A A E A C C 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
Comentário: Derivando V parcialmente em relação a s e substituindo os valores encontramos a taxa, resposta 
letra A. 
 
Substituindo os valores de y e s, temos: 
 
 
3. Dada a função , qual o extremo relativo dessa função? 
 
a) -9/8 mínimo 
b) 9/8 máximo 
c) -9/8 máximo 
d) 9/8 mínimo 
e) 1 máximo 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 38. 
Comentário: Aplicação de derivadas parciais, ponto crítico (3, -1) Resposta letra A. 
 
 
 
Para o ponto (0, 1): 
 
Esse ponto não é extremo da função 
Para o ponto (1/2, 1) 
 
Como temos um ponto de mínimo da função. 
Para o ponto (-1/2, 1) 
 
Como temos um ponto de mínimo da função. 
O valor mínimo de f(x,y) será 
 
4. Qual a equação do plano tangente ao parabolóide elíptico de equação no ponto (-1, 
3, 2)? 
 
a) 2x + y – 2z – 4 = 0 
b) 3x – 2y + z - 8 = 0 
c) – 2x + 6y + 4z – 28 = 0 
d) x + y + z = 1 
e) 6x – 7y + z = 6 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 38. 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
Comentário: A equação do plano tangente é 
. Efetuando os cálculos 
encontramos a letra C como resposta. 
 
 
 
 
5. Calcule a integral dupla ∫ ∫
−
2
1
2
0
32 dydxyx 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 44. 
Comentário: Calculando as integrais iteradas, pode-se calcular tanto na ordem dxdy ou dydx (cuidado com os 
limites de integração), resposta letra A. 
 
6. Seja D a região interior ao trapézio de vértices (2, 2); (4, 2); (5, 4) e (1. 4). Calcule ∫∫
D
xydxdy8 . 
a) 448 
b) 458 
c) 468 
d) 438 
e) 478 
Alternativa correta: letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 44 
Comentário: Integrais iteradas, com x limitado por funções de y encontradas com os pontos acima. Esboço da 
região D auxilia na solução. Resposta letra A. 
 
 
7. Use a integral dupla para calcular a área da região D compreendida entre os gráficos das funções y = 
x2 e y = 4x - x2 . 
 
a) 2/3 
b) 3/5 
c) 4/9 
d) 5/6 
e) 8/3 
Alternativa correta: letra E. 
Identificação do conteúdo: BUP página 44. 
Comentário: Integral dupla com y limitado pelas funções de x. Resposta letra E. 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
8. Calcule o volume do sólido B formado pela interseção dos sólidos e 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 66. 
Comentário: Integral tripla com z limitado pelas funções expressas e x limitado por função de y. Resposta letra 
A. 
 
Nível da questão: Difícil. 
9. Calcule a integral tripla ∫ ∫ ∫
2
0
1
0 0
2
)cos(
pi x
dzdxdyyx 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 1/4 
d) 2/5 
e) 2/7 
Alternativa correta: letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 66. 
Comentário: Basta calcular as integrais iteradas na ordem apresentada, resposta letra C. 
 
 
10. Calcule, usando coordenadas esféricas, o volume de uma esfera de raio a. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
e) 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 73. 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
Comentário: calcular a integral tripla em coordenadas esféricas, resposta letra C. 
 
 
2015.1B.2 - CALC. VETORIAL.pdf
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
SEGUNDA CHAMADA – 1.B 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL 
PROFESSOR BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 25/07/2015 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
E C A D B 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
Professor(a) BRÁULIO ANCHIETA 
 
1- A derivada da função f, de R em R, definida por f(x) = – 2x5 + 4x3 + 3x – 6, no ponto de abscissa 
x0 = - 1, é igual a: 
a) 9 
b) 25 
c) 19 
d) 3 
e) 5 
 
2- Se a função 𝒇(𝒙) é dada por um produto na forma 𝒇 𝒙 = 𝒙. 𝐜𝐨𝐬⁡(𝒙). Quando calculamos a 
segunda derivada 𝒇′′(𝒙), encontramos: 
 
a) 𝑓 ′′ (𝑥) = −(𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + co s 𝑥 ) 
b) 𝑓 ′′ (𝑥) = −𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
c) 𝒇′′ 𝒙 = −𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝒙. 𝐜𝐨 𝐬 𝒙 
d) 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑥. (co s 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥))
e) 𝑓 ′′ (𝑥) = −2𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥 
 
3- Movimento de uma partícula. No instante 𝒕 (em segundos) a posição de um corpo que se 
desloca ao longo do eixo 𝒔 (em metros) é 𝒔 = 𝒕𝟑 − 𝟔𝒕𝟐 + 𝟗𝒕. Determine a aceleração do 
corpo, cada vez que a velocidade for nula. 
 
a) −𝟔𝒎/𝒔𝟐 𝒆 𝟔𝒎/𝒔𝟐 
b) 1𝑚/𝑠2 𝑒 3𝑚/𝑠2 
c) 3𝑚/𝑠2 𝑒 − 1𝑚/𝑠2 
d) −6𝑚/𝑠2 𝑒 2𝑚/𝑠2 
e) −5𝑚/𝑠2 𝑒 − 2𝑚/𝑠2 
4- Encontre o limite da função dada por 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝟐+𝟒𝒙−𝟔𝒙𝟑
𝟓−𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑
 
a) zero 
b) +∞ 
c) 1 
d) −𝟑 
e) 
2
5
 
5- Encontre o limite da função dada por 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏
𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟑
𝒙−𝟏
 
a) −∞ 
b) −2 
c) 𝑧𝑒𝑟𝑜 
d) +∞ 
e) 1 
Gabarito comentado 
 
1) 𝑓 𝑥 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 6 
Derivando, temos: 
𝑓′ 𝑥 = −10𝑥4 + 12𝑥2 + 3 
Substituindo 𝑥 = −1, encontramos: 
𝑓 ′ (−1) = −10 −1 4 + 12 −1 2 + 3 = 5 
 
 
2) 𝑓 𝑥 = 𝑥. cos⁡(𝑥) 
Derivando por meio da regra do produto: 
 𝑢. 𝑣 ′ = 𝑢′ . 𝑣 + 𝑢. 𝑣′ 
Então: 
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥. cos 𝑥 ′ = 1. cos 𝑥 + 𝑥. −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Derivando novamente: 
𝑓 ′′ 𝑥 = −sen 𝑥 − 1. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥. cos 𝑥 
𝑓 ′′ 𝑥 = −sen 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥. cos 𝑥 ] 
𝑓 ′′ 𝑥 = −2sen 𝑥 − 𝑥. cos 𝑥 ] 
 
 
3) 𝑠 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 
A primeira derivada de 𝑠 representa a velocidade, enquanto a segunda derivada representa a aceleração, 
assim: 
 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 3𝑡2 − 12𝑡 + 9 
A velocidade nula é representada por 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 0, então: 
3𝑡2 − 12𝑡 + 9 = 0 
Isolando o valor de 𝑡, encontramos: 
𝑡 =
12 ± 144 − 108
6
 
𝑡 = 1 ou 𝑡 = 3 
A aceleração é dada pela segunda derivada: 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
= 6𝑡 − 12 
Substituindo os tempos 𝑡 = 1 ou 𝑡 = 3, encontramos: 
 𝑑
2𝑠
𝑑𝑡2
 
𝑡=1
= 6 1 − 12 = −6𝑚/𝑠2 
 𝑑
2𝑠
𝑑𝑡2
 
𝑡=3
= 6(3) − 12 = 6𝑚/𝑠2 
 
 
4) lim𝑥→+∞
2+4𝑥−6𝑥3
5−3𝑥2+2𝑥3
= lim𝑥→+∞
𝑥3(
2
𝑥3
+
4
𝑥2
−6)
𝑥3(
5
𝑥3
−
3
𝑥
+2)
 
lim𝑥→+∞
2
𝑥3
+
4
𝑥2
−6
5
𝑥3
−
3
𝑥
+2
=
0+0−6
0−0+2
= −3 
 
 
5) lim𝑥→1
𝑥2−4𝑥+3
𝑥−1
 
Fatorando o numerador desse limite encontramos 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3), então: 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 3 = −2